Hogyan állapítható meg, hogy a vektorok lineárisan függenek-e. Példák a vektorok kollinearitásának tanulmányozására szolgáló problémákra

Vektorok, tulajdonságaik és műveleteik velük

Vektorok, műveletek vektorokkal, lineáris vektortér.

A vektorok egy rendezett gyűjtemény végső mennyiség valós számok.

Műveletek: 1. Egy vektor szorzata egy számmal: lambda*vektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Vektorok összeadása (ugyanahhoz a vektortérhez tartoznak) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenziós (lineáris tér) vektor x + vektor 0 = vektor x

Tétel. Annak érdekében, hogy egy n vektorból álló rendszer n-dimenziós lineáris tér lineárisan függő volt, szükséges és elegendő, hogy az egyik vektor a többi vektor lineáris kombinációja legyen.

Tétel. A jelenségek n-dimenziós lineáris terének n+ 1. vektorának tetszőleges halmaza. lineárisan függő.

Vektorok összeadása, vektorok szorzása számokkal. Vektorok kivonása.

Két vektor összege a vektor elejétől a vektor végéig irányított vektor, feltéve, hogy a vektor eleje egybeesik a vektor végével. Ha a vektorokat a kibontásukkal adjuk meg bázisegységvektorokban, akkor a vektorok összeadásakor a megfelelő koordinátáikat összeadjuk.

Tekintsük ezt egy derékszögű koordinátarendszer példáján. Hadd

Mutassuk meg

A 3. ábrából jól látszik, hogy

Az összeg bármely véges szám vektorokat a sokszögszabály segítségével találhatjuk meg (4. ábra): véges számú vektor összegének megszerkesztéséhez elegendő minden egyes következő vektor elejét az előző végével kombinálni, és megszerkeszteni a kezdetét összekötő vektort. az első vektor végével az utolsó.

A vektorösszeadási művelet tulajdonságai:

Ezekben a kifejezésekben m, n számok.

A vektorok közötti különbséget vektornak nevezzük. A második tag a vektorral ellentétes, de hosszában egyenlő vektor.

Így a kivonási vektorok műveletét egy összeadási művelet váltja fel

Azt a vektort, amelynek az origója és vége az A pontban van (x1, y1, z1), az A pont sugárvektorának nevezzük, és egyszerűen jelöljük. Mivel a koordinátái egybeesnek az A pont koordinátáival, egységvektorokban való kiterjesztésének alakja

Egy vektor, amely az A(x1, y1, z1) pontban kezdődik és a B(x2, y2, z2) pontban végződik, felírható

ahol r 2 a B pont sugárvektora; r 1 - az A pont sugárvektora.

Ezért a vektor kiterjesztésének egységvektorokban van formája

Hossza megegyezik az A és B pontok távolságával

SZORZÁS

Tehát síkfeladat esetén egy vektornak a = (ax; ay) b szám szorzatát a képlet találja meg

a b = (ax b; ay b)

Példa 1. Határozzuk meg az a = (1; 2) vektor szorzatát 3-mal!

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tehát egy térbeli probléma esetén az a = (ax; ay; az) vektor b számmal való szorzatát a képlet találja meg.

a b = (ax b; ay b; az b)

1. példa Határozzuk meg az a = (1; 2; -5) vektor szorzatát 2-vel!

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

A vektorok pontszorzata és ahol az és a vektorok közötti szög ; ha valamelyik, akkor

A skalárszorzat definíciójából az következik

ahol például a vektor vetületének nagysága a vektor irányára.

Skaláris négyzetes vektor:

A pontszerű termék tulajdonságai:

Pont szorzat koordinátákban

Ha Hogy

Szög vektorok között

Szög vektorok között - ezen vektorok irányai közötti szög (legkisebb szög).

Keresztszorzat (Két vektor keresztszorzata.) - ez egy pszeudovektor, merőleges a síkra, amely két tényezőből épül fel, ami a bináris művelet eredménye vektor szorzás» vektorok felett a háromdimenziós euklideszi térben. A szorzat sem nem kommutatív, sem nem asszociatív (antikommutatív), és különbözik a vektorok pontszorzatától. Számos mérnöki és fizikai feladatban meg kell tudni alkotni két meglévőre merőleges vektort – a vektorszorzat erre lehetőséget ad. A keresztszorzat hasznos a vektorok – hosszúság – merőlegességének „mérésére”. vektor termék két vektor egyenlő a hosszuk szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy ellentétesek.

A keresztszorzat csak háromdimenziós és hétdimenziós terekben van meghatározva. A vektorszorzat eredménye, akárcsak a skalárszorzat, az euklideszi tér metrikájától függ.

Ellentétben a pontszorzatvektorok koordinátáinak háromdimenziós téglalap alakú koordinátarendszerben történő kiszámításának képletével, a keresztszorzat képlete az orientációtól függ. téglalap alakú rendszer koordinátái vagy más szóval „kiralitása”

A vektorok kollinearitása.

Két nullától eltérő (0-val nem egyenlő) vektort kollineárisnak nevezünk, ha párhuzamos egyeneseken vagy ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Egy elfogadható, de nem ajánlott szinonimája a „párhuzamos” vektorok. A kollineáris vektorok lehetnek azonos irányúak (egyirányúak) vagy ellentétes irányúak (in az utóbbi eset néha "antikollineárisnak" vagy "antiparallelnek" nevezik).

vektorok vegyes szorzata ( a, b, c)- az a vektor skaláris szorzata, valamint a b és c vektorok vektorszorzata:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

néha hármasnak nevezik skaláris szorzat vektorok, valószínűleg annak a ténynek köszönhető, hogy az eredmény skalár (pontosabban pszeudoszkalár).

Geometriai jelentés: A kevert szorzat modulusa számszerűen egyenlő a vektorok által alkotott paralelepipedon térfogatával (ABC) .

Tulajdonságok

Vegyes munka ferde-szimmetrikus minden érve tekintetében: i.e. e. bármely két tényező átrendezése megváltoztatja a termék előjelét. Ebből következik, hogy a vegyes termék a jobb oldalon Descartes-rendszer koordináták (ortonormális alapon) egyenlő egy vektorokból álló mátrix determinánsával és:

A vegyes szorzat a bal oldali derékszögű koordinátarendszerben (ortonormális alapon) egyenlő a vektorokból álló mátrix determinánsával, és mínusz előjellel felvéve:

Különösen,

Ha bármely két vektor párhuzamos, akkor bármelyik harmadik vektorral nullával egyenlő vegyes szorzatot alkotnak.

Ha három vektor lineárisan függő (vagyis egysíkú, egy síkban fekszik), akkor vegyes szorzatuk nulla.

Geometriai jelentés - Vegyes termék által abszolút érték egyenlő az és vektorok által alkotott paralelepipedon térfogatával (lásd az ábrát); az előjel attól függ, hogy ez a vektorhármas jobb- vagy balkezes.

Vektorok egysíkúsága.

Három vektor (vagy nagyobb szám) koplanárisnak nevezzük, ha ezekre redukálva vannak általános kezdet, feküdj ugyanabban a síkban

A koplanaritás tulajdonságai

Ha a három vektor közül legalább az egyik nulla, akkor a három vektort is egysíkúnak tekintjük.

A kollineáris vektorpárt tartalmazó vektorok hármasa koplanáris.

Egysíkú vektorok vegyes szorzata. Ez három vektor egysíkúságának kritériuma.

A koplanáris vektorok lineárisan függenek. Ez is a koplanaritás kritériuma.

A 3 dimenziós térben 3 nem egysíkú vektor alkot bázist

Lineárisan függő és lineárisan független vektorok.

Lineárisan függő és független vektorrendszerek.Meghatározás. A vektorrendszert ún lineárisan függő, ha ezeknek a vektoroknak legalább egy nem triviális lineáris kombinációja van, amely egyenlő a nulla vektorral. BAN BEN másképp, azaz ha csak adott vektorok triviális lineáris kombinációja egyenlő a nullvektorral, akkor a vektorok meghívásra kerülnek lineárisan független.

Tétel (lineáris függőségi kritérium). Ahhoz, hogy egy lineáris térben lévő vektorrendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen vektorok közül legalább az egyik a többi vektor lineáris kombinációja.

1) Ha a vektorok között van legalább egy nulla vektor, akkor a teljes vektorrendszer lineárisan függő.

Valójában, ha például , akkor, feltételezve, hogy van egy nemtriviális lineáris kombinációnk .▲

2) Ha a vektorok közül néhány lineárisan függő rendszert alkot, akkor az egész rendszer lineárisan függő.

Valóban, legyenek a , vektorok lineárisan függőek. Ez azt jelenti, hogy van egy nem triviális lineáris kombináció, amely egyenlő a nulla vektorral. De akkor, feltételezve , akkor a nulla vektorral egyenlő nemtriviális lineáris kombinációt is kapunk.

2. Alap és méret. Meghatározás. Lineáris rendszer független vektorok vektorteret nevezzük alapon ennek a térnek, ha bármely vektor a -ból ábrázolható e rendszer vektorainak lineáris kombinációjaként, azaz. minden vektorhoz vannak valós számok úgy, hogy az egyenlőség fennáll Ezt az egyenlőséget nevezzük vektorbontás az alap és a számok szerint hívják a vektor koordinátái a bázishoz viszonyítva(vagy az alapban) .

Tétel (a bővítés egyediségéről a bázishoz képest). A térben minden vektor bázissá bővíthető az egyetlen módon, pl. a bázis minden vektorának koordinátáit egyértelműen meghatározzák.

Ebben a cikkben a következőkre térünk ki:

• mik azok a kollineáris vektorok;
• melyek a vektorok kollinearitásának feltételei;
• milyen tulajdonságai vannak a kollineáris vektoroknak;
• mekkora a kollineáris vektorok lineáris függése.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

A kollineáris vektorok olyan vektorok, amelyek párhuzamosak egy egyenessel vagy egy egyenesen fekszenek.

1. példa

A vektorok kollinearitásának feltételei

Két vektor kollineáris, ha a következő feltételek bármelyike ​​teljesül:

• 1. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, ha van olyan λ szám, amelyre a = λ b;
• 2. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, amikor egyenlő bánásmód koordináták:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, feltéve, hogy a keresztszorzat és a nulla vektor egyenlő:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

1. megjegyzés

2. feltétel nem alkalmazható, ha az egyik vektorkoordináta nulla.

Jegyzet 2

3. feltétel csak azokra a vektorokra vonatkozik, amelyek a térben vannak megadva.

Példák a vektorok kollinearitásának tanulmányozására szolgáló problémákra

1. példa

Megvizsgáljuk az a = (1; 3) és b = (2; 1) vektorokat a kollinearitás szempontjából.

Hogyan lehet megoldani?

BAN BEN ebben az esetben szükséges a 2. kollinearitási feltétel alkalmazása. Adott vektoroknál ez így néz ki:

Az egyenlőség hamis. Ebből arra következtethetünk, hogy az a és b vektorok nem kollineárisak.

Válasz : a | | b

2. példa

Mekkora m értéke szükséges az a = (1; 2) és b = (- 1; m) vektornak ahhoz, hogy a vektorok kollineárisak legyenek?

Hogyan lehet megoldani?

A második kollinearitási feltételt használva a vektorok kollineárisak lesznek, ha koordinátáik arányosak:

Ez azt mutatja, hogy m = -2.

Válasz: m = -2.

A vektorrendszerek lineáris függésének és lineáris függetlenségének kritériumai

Tétel

Egy vektortérben lévő vektorrendszer csak akkor lineárisan függő, ha a rendszer egyik vektora kifejezhető a rendszer többi vektorával.

Bizonyíték

Legyen a rendszer e 1 , e 2 , . . . , e n lineárisan függő. Írjuk fel ennek a rendszernek a nulla vektorral egyenlő lineáris kombinációját:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

amelyben a kombinációs együtthatók legalább egyike nem egyenlő nullával.

Legyen a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk egy nem nulla együtthatóval:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Jelöljük:

A k - 1 a m , ahol m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ebben az esetben:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

vagy e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Ebből következik, hogy a rendszer egyik vektora a rendszer összes többi vektorán keresztül fejeződik ki. Amit bizonyítani kellett (stb.).

Megfelelőség

Legyen az egyik vektor lineárisan kifejezve a rendszer összes többi vektorán keresztül:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Az e k vektort átvisszük jobb oldal ez az egyenlőség:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mivel az e k vektor együtthatója egyenlő -1 ≠ 0, a nulla nem triviális reprezentációját kapjuk az e 1, e 2, vektorok rendszerével. . . , e n , ez pedig azt jelenti ezt a rendszert A vektorok lineárisan függenek. Amit bizonyítani kellett (stb.).

Következmény:

• Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha egyik vektora sem fejezhető ki a rendszer összes többi vektorával.
• Egy vagy két nulla vektort tartalmazó vektorrendszer egyenlő vektor, lineárisan függő.

Lineárisan függő vektorok tulajdonságai

1. A 2- és 3-dimenziós vektorok esetében a következő feltétel teljesül: két lineárisan függő vektor kollineáris. Két kollineáris vektor lineárisan függ.
2. 3-dimenziós vektorok esetén teljesül a feltétel: három lineárisan függő vektorok- egysíkú. (3 koplanáris vektor lineárisan függő).
3. N-dimenziós vektorok esetén a következő feltétel teljesül: n + 1 vektor mindig lineárisan függ.

Példák a vektorok lineáris függésével vagy lineáris függetlenségével járó problémák megoldására

3. példa

Ellenőrizzük az a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. A vektorok lineárisan függőek, mivel a vektorok mérete kisebb mennyiségben vektorok.

4. példa

Ellenőrizzük az a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. Megtaláljuk azon együtthatók értékeit, amelyeknél a lineáris kombináció egyenlő lesz a nulla vektorral:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Írjuk fel vektor egyenlet lineáris formában:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ezt a rendszert Gauss módszerrel oldjuk meg:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

A 2. sorból kivonjuk az 1.-et, a 3.-ból az 1.-et:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Az 1. sorból kivonjuk a 2-at, a 3-ashoz adjuk a 2-at:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

A megoldásból az következik, hogy a rendszernek számos megoldása van. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan x 1, x 2, x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja, amelyeknél a, b, c lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral. Ezért az a, b, c vektorok lineárisan függő.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Megoldás. Keres közös döntés egyenletrendszerek

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauss módszer. Ehhez ezt a homogén rendszert koordinátákba írjuk:

Rendszermátrix

Az engedélyezett rendszer a következő formában van: (r A = 2, n= 3). A rendszer együttműködő és bizonytalan. Általános megoldása ( x 2 – szabad változó): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => x o = . Egy nem nulla konkrét megoldás jelenléte például azt jelzi, hogy a vektorok a 1 , a 2 , a 3 lineárisan függő.

2. példa

Nézze meg, hogy egy adott vektorrendszer lineárisan függő vagy lineárisan független:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Megoldás. Tekintsünk egy homogén egyenletrendszert a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

vagy bővített formában (koordinátákkal)

A rendszer homogén. Ha nem degenerált, akkor van egyetlen döntés. Amikor homogén rendszer– nulla (triviális) megoldás. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a vektorok rendszere független. Ha a rendszer degenerált, akkor nem nulla megoldásai vannak, és ezért függő.

Ellenőrizzük a rendszer elfajulását:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

A rendszer nem degenerált, és így a vektorok a 1 , a 2 , a 3 lineárisan független.

Feladatok. Nézze meg, hogy egy adott vektorrendszer lineárisan függő vagy lineárisan független:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Bizonyítsuk be, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő, ha tartalmazza:

a) két egyenlő vektor;

b) két arányos vektor.

Meghatározás. Vektorok lineáris kombinációja a 1 , ..., a n együtthatókkal x 1 , ..., x n vektornak nevezzük

x 1 a 1 + ... + x n a n .

jelentéktelen, ha minden x 1, ..., x n együttható nulla.

Meghatározás. Az x 1 a 1 + ... + x n a n lineáris kombinációt nevezzük nem triviális, ha az x 1, ..., x n együtthatók legalább egyike nem egyenlő nullával.

lineárisan független, ha ezeknek a vektoroknak nincs nem triviális kombinációja a nulla vektorral.

Vagyis az a 1, ..., a n vektorok lineárisan függetlenek, ha x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 akkor és csak akkor, ha x 1 = 0, ..., x n = 0.

Meghatározás. Az a 1, ..., a n vektorokat nevezzük lineárisan függő, ha van ezeknek a vektoroknak a nulla vektorral egyenlő nem triviális kombinációja.

Lineárisan függő vektorok tulajdonságai:

2 és 3 dimenziós vektorokhoz.

Két lineárisan függő vektor kollineáris. ( Kollineáris vektorok- lineárisan függő.) .

3-dimenziós vektorokhoz.

Három lineárisan függő vektor egysíkú. (Három koplanáris vektor lineárisan függ.)

• N-dimenziós vektorokhoz.

  n + 1 vektorok mindig lineárisan függőek.

Példák a vektorok lineáris függésének és lineáris függetlenségének problémáira:

1. példa Ellenőrizze, hogy az a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorok lineárisan függetlenek-e .

Megoldás:

A vektorok lineárisan függenek, mivel a vektorok mérete kisebb, mint a vektorok száma.

2. példa Ellenőrizze, hogy az a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorok lineárisan függetlenek-e.

Megoldás:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

vonjuk ki a másodikat az első sorból; adjon hozzá egy második sort a harmadikhoz:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ez a megoldás azt mutatja, hogy a rendszernek sok megoldása van, vagyis létezik az x 1, x 2, x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja úgy, hogy az a, b, c vektorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektor, például:

A+b+c=0

és ez azt jelenti, hogy az a, b, c vektorok lineárisan függőek.

Válasz: az a, b, c vektorok lineárisan függőek.

3. példa Ellenőrizze, hogy az a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorok lineárisan függetlenek-e.

Megoldás: Keressük meg azoknak az együtthatóknak az értékeit, amelyeknél ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja egyenlő lesz a nulla vektorral.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Ez a vektoregyenlet felírható rendszerként lineáris egyenletek

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Oldjuk meg ezt a rendszert Gauss módszerrel

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

vonjuk ki az elsőt a második sorból; vonjuk ki az elsőt a harmadik sorból:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

vonjuk ki a másodikat az első sorból; adjon hozzá egy másodikat a harmadik sorhoz.

1. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e. A vektorrendszert a rendszer mátrixa adja meg, melynek oszlopai a vektorok koordinátáiból állnak.

.

Megoldás. Legyen a lineáris kombináció egyenlő nullával. Ezt az egyenlőséget koordinátákba írva azt kapjuk, hogy a következő rendszert egyenletek:

.

Az ilyen egyenletrendszert háromszögnek nevezzük. Csak egy megoldása van . Ezért a vektorok lineárisan független.

2. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e.

.

Megoldás. Vektorok lineárisan független (lásd 1. feladat). Bizonyítsuk be, hogy a vektor vektorok lineáris kombinációja . Vektor kiterjesztési együtthatók egyenletrendszerből határozzuk meg

.

Ez a rendszer, akárcsak egy háromszögletű, egyedi megoldással rendelkezik.

Ezért a vektorok rendszere lineárisan függő.

Megjegyzés. Az 1. feladattal azonos típusú mátrixokat nevezzük háromszög alakú és a 2. feladatban – lépcsős háromszögletű . Egy vektorrendszer lineáris függésének kérdése könnyen megoldható, ha ezen vektorok koordinátáiból álló mátrix lépcsős háromszög alakú. Ha a mátrix nem rendelkezik speciális típus, majd használja elemi karakterlánc-konverziók , mentés lineáris relációk az oszlopok között lépcsőzetes háromszög alakúra redukálható.

Elemi átalakulások vonalak mátrixok (EPS) a mátrixon a következő műveleteket nevezzük:

1) húrok átrendezése;

2) egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;

3) újabb karakterlánc hozzáadása egy karakterlánchoz, megszorozva egy tetszőleges számmal.

3. feladat. Keresse meg a maximális lineárisan független alrendszert, és számítsa ki a vektorrendszer rangját!

.

Megoldás. Az EPS-t használó rendszer mátrixát redukáljuk lépés-háromszög alakra. Az eljárás magyarázatához a transzformálandó mátrix sorszámát tartalmazó sort a szimbólummal jelöljük. A nyíl utáni oszlop azokat a műveleteket jelöli a konvertálandó mátrix sorain, amelyeket végre kell hajtani az új mátrix sorainak megszerzéséhez.

.

Nyilvánvaló, hogy a kapott mátrix első két oszlopa lineárisan független, a harmadik oszlop ezek lineáris kombinációja, a negyedik pedig nem függ az első kettőtől. Vektorok alapnak nevezzük. Maximálisan lineárisan független alrendszert alkotnak a rendszerben , és a rendszer rangja három.

Alap, koordináták

4. feladat. Keresse meg az ezen az alapon lévő vektorok alapját és koordinátáit azon geometriai vektorok halmazán, amelyek koordinátái kielégítik a feltételt .

Megoldás. A halmaz az origón áthaladó sík. Egy tetszőleges bázis egy síkon két nem kollineáris vektorból áll. A kiválasztott bázisban lévő vektorok koordinátáit a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával határozzuk meg.

Van egy másik módja ennek a probléma megoldásának, amikor a koordináták segítségével megtalálhatja az alapot.

Koordináták A terek nem koordináták a síkon, mivel a reláció összefügg , vagyis nem függetlenek. A független változók és (ezeket szabadnak nevezzük) egyedileg definiálnak egy vektort a síkon, ezért koordinátákként választhatók a -ben. Aztán az alap szabad változók halmazainak megfelelő vektorokból áll És , vagyis .

5. feladat. Keresse meg az ezen a bázison lévő vektorok bázisát és koordinátáit azon a térbeli vektorok halmazán, amelyek páratlan koordinátái egyenlők egymással.

Megoldás. Válasszunk az előző feladathoz hasonlóan a térbeli koordinátákat.

Mert , majd szabad változók alapján egyedileg határozzák meg a vektort, és ezért koordináták. A megfelelő bázis vektorokból áll.

6. feladat. Keresse meg a vektorok alapját és koordinátáit ezen a bázison az alak összes mátrixának halmazán , Ahol – tetszőleges számok.

Megoldás. Minden mátrix egyedileg ábrázolható a következő formában:

Ez az összefüggés a vektor kiterjesztése a bázishoz képest
koordinátákkal .

7. feladat. Keresse meg egy vektorrendszer lineáris burkának méretét és alapját!

.

Megoldás. Az EPS segítségével a mátrixot a rendszervektorok koordinátáiból lépés-háromszög alakúra alakítjuk.

.

Oszlopok az utolsó mátrixok lineárisan függetlenek, és az oszlopok lineárisan kifejezve rajtuk keresztül. Ezért a vektorok alapot képeznek , És .

Megjegyzés. Alap be félreérthetően van kiválasztva. Például vektorok alapot is képeznek .

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete