Meg kell ismerkednünk ennek a műveletnek a tulajdonságaival, amit ebben a részben meg is fogunk tenni.

Minden tulajdonság csak a gyökérjelek alatt található változók nem negatív értékére van megfogalmazva és bizonyított.

Bizonyíték. Vezessük be a következő jelölést: Be kell bizonyítanunk, hogy x, y, z nemnegatív számokra teljesül az x-yz egyenlőség.
Mert
Tehát, de ha két nemnegatív szám hatványa egyenlő, és a kitevői egyenlőek, akkor az alapok egyenlőek fokon; Ez azt jelenti, hogy az x n =(уz) n egyenlőségből az következik, hogy x-yz, és ezt kellett bizonyítani.

Adjunk rövid megjegyzés tétel bizonyítása.

Megjegyzések:

1. Az 1. tétel érvényben marad arra az esetre, amikor radikális kifejezés kettőnél több nemnegatív szám szorzata.
2. Az 1. tétel megfogalmazható a „ha...akkor” konstrukcióval (a matematikában a tételeknél megszokott módon: ha a és b nemnegatív számok, akkor ez az egyenlőség). hogyan fogjuk megfogalmazni a következő tételt.

Egy rövid (bár pontatlan) megfogalmazás, amely kényelmesebb a gyakorlatban: a gyökér törtek törtével egyenlő a gyökerektől.

Bizonyíték. Röviden összefoglaljuk a 2. Tétel bizonyítását, és megpróbálhatunk megfelelő megjegyzéseket tenni az 1. Tétel bizonyításához hasonlókhoz.

TE persze észrevetted, hogy a bizonyított két tulajdonság gyökerek nth fokok a négyzetgyökök tulajdonságainak általánosítása, amelyeket Ön a 8. osztályos algebra tanfolyamból ismer. És ha a gyökereknek más tulajdonságai is lennének n-edik fokozat nem volt, akkor minden egyszerű (és nem túl érdekes) lett volna. Valójában több érdekes és fontos tulajdonságait amelyeket ebben a részben tárgyalunk. De először nézzünk meg néhány példát az 1. és 2. tétel használatára.

1. példa Kiszámítja
Megoldás. A gyökök első tulajdonságát felhasználva (1. tétel) megkapjuk:

3. megjegyzés. Ezt a példát természetesen másképp is meg lehet oldani, különösen, ha van kéznél egy mikrokalkulátor: szorozza meg a 125, 64 és 27 számokat, majd vegye ki a kapott szorzat kockagyökét. De látja, a javasolt megoldás „intelligensebb”.
2. példa Kiszámítja
Megoldás. Fordítsuk meg vegyes szám nem megfelelő törtbe.
A gyökök második tulajdonságának felhasználásával (2. tétel) kapjuk:

3. példa Kiszámítja:
Megoldás. Az algebra bármely képletét, amint azt jól tudod, nemcsak „balról jobbra”, hanem „jobbról balra” is használják. Így a gyökök első tulajdonsága azt jelenti, hogy ábrázolhatók a formában, és fordítva, helyettesíthetők kifejezéssel. Ugyanez vonatkozik a gyökök második tulajdonságára is. Ezt figyelembe véve végezzük el a számításokat:

4. példa Kovesd ezeket a lepeseket:
Megoldás, a) Rendelkezünk:
b) Az 1. Tétel csak gyökök szorzását teszi lehetővé ugyanolyan mértékben, azaz csak azonos indexű gyökök. Itt azt javasoljuk, hogy az a szám 2. gyökerét szorozzuk meg ugyanannak a számnak a 3. gyökével. Még nem tudjuk, hogyan tegyük ezt. Később térjünk vissza erre a problémára.
Folytassuk a gyökök tulajdonságainak tanulmányozását.

Más szóval, ahhoz, hogy egy gyökeret természetes hatalommá emeljünk, elég a radikális kifejezést erre a hatalomra emelni.
Ez az 1. Tétel következménye. Valójában például k = 3 esetén azt kapjuk, hogy pontosan ugyanúgy érvelhetünk minden más esetén természeti érték indikátor k.

Más szóval, ahhoz, hogy gyökeret kinyerjünk a gyökérből, elég megszorozni a gyökerek mutatóit.
Például,
Bizonyíték. A 2. Tételhez hasonlóan itt is röviden összefoglaljuk a bizonyítást, és Ön megpróbálhatja önállóan megtenni a megfelelő megjegyzéseket, hasonlóan az 1. Tétel bizonyításához.

4. megjegyzés. Vegyünk egy levegőt. Mit tanultunk a bizonyított tételekből? Megtudtuk, hogy a gyökökön négy művelet hajtható végre: szorzás, osztás, hatványozás és gyökérkivonás (a gyökérből). De mi a helyzet a gyökök összeadásával és kivonásával? Semmiképpen. Erről még 8. osztályban beszéltünk a négyzetgyök kivonásának műveletéről.

Például nem írhatod helyette a Valóban, de nyilvánvaló, hogy Vigyázz!
Legnagyobb valószínűséggel érdekes ingatlan gyökerek - erről lesz szó a következő tételben. Figyelembe véve ennek a tulajdonságnak a különleges jelentőségét, megengedjük magunknak a megsértést bizonyos stílus Az 5. Tétel megfogalmazása egy kicsit „puhább” és a bizonyítása világosabbá tétele érdekében ebben a részben kidolgozott megfogalmazások és bizonyítások.

Például:

(a gyök és gyök kifejezés mutatóit elosztottuk 4-gyel);

(a gyökér és gyök kifejeződés mutatóit 3-mal osztjuk);

(a gyök és gyök kifejezés mutatóit megszoroztuk 2-vel).

Bizonyíték. Jelöljük bal oldal betűvel bizonyítandó egyenlőség Ekkor a gyök definíciója szerint az egyenlőségnek teljesülnie kell

Jelöljük jobb oldal a személyazonosságot y betűvel kell igazolni:

Ezután a gyök meghatározása szerint az egyenlőség

Emeljük fel az utolsó egyenlőség mindkét oldalát ugyanarra a p hatványra; kapunk:

Tehát (lásd az (1) és (2) egyenlőséget),

Összehasonlítva ezt a két egyenlőséget, arra a következtetésre jutunk, hogy x nр = y nр, tehát x = y, amit bizonyítani kellett.
A bizonyított tétel lehetővé teszi, hogy megoldjuk azt a problémát, amellyel a fentiekben találkoztunk az 5. példa megoldása során, ahol a gyököket különböző kitevőkkel kellett szorozni:

Általában így okoskodnak ilyenkor.
1) Az 5. tétel szerint egy kifejezésben meg lehet szorozni a gyök kitevőjét (azaz a 2-es számot) és a gyökkifejezés kitevőjét (azaz az 1-es számot) ugyanazzal a természetes számmal. Ezt kihasználva mindkét mutatót megszorozzuk 3-mal; kapunk:
2) Az 5. Tétel szerint egy kifejezésben meg lehet szorozni a gyök kitevőjét (azaz a 3-as számot) és a gyökkifejezés kitevőjét (azaz az 1-es számot) ugyanazzal a természetes számmal. Ezt kihasználva mindkét mutatót megszorozzuk 2-vel; kapunk:

3) Mivel azonos 6. fokú gyökereket kaptunk, megszorozhatjuk őket:

5. megjegyzés. Elfelejtette, hogy a gyökök összes tulajdonságát, amelyet ebben a részben tárgyaltunk, csak arra az esetre vettük figyelembe, amikor a változók csak nem negatív értékeket vesznek fel? Miért kellett ilyen korlátozást bevezetni? Mert n-edik gyök A negatív szám hatványainak nem mindig van értelme - csak n páratlan értékeire van meghatározva.

A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály

Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat vitatott kérdések szónoki kérdéseket diákoktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsi kiságyak tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék

Óra és előadás a témában: "N-edik gyökfüggvény. Példák megoldásokra. Grafikonok rajzolása"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 11. évfolyamnak
Interaktív kézikönyv 9–11. osztályos „Trigonometria”
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

n-edik gyökérfüggvény

Srácok, folytatjuk egy valós szám n-edik gyökerének tanulmányozását. Ma megvizsgáljuk a $y=\sqrt[n](x)$ függvényt, felállítunk egy gráfot és megtaláljuk a tulajdonságait.
Először is vizsgáljuk meg a függvényünket nem negatív argumentumérték esetén.
Függvényünk az $y=x^n$ függvény inverze, ami az monoton funkció(ez azt jelenti, hogy van inverz függvény). Készítsük el a $y=x^n$ függvény grafikonját, ekkor a $y=\sqrt[n](x)$ függvényünk grafikonja szimmetrikus lesz az $y=x$ egyeneshez képest. Ne felejtsük el, hogy az argumentum nem negatív értékének esetét vizsgáljuk, azaz $x≥0$.

Funkció tulajdonságai

A $y=\sqrt[n](x)$ függvény tulajdonságai $x≥0$ esetén:
1. $D(f)=(x)$, ha n páratlan létezik, és $x esetén $f(-x)=\sqrt[n]((-x))=-\sqrt[n](x)= -f(x)$,ahol $n=3,5,7,9…$.
Emlékezés a gráf tulajdonságára páratlan függvény– szimmetria az origóra vonatkozóan, készítsük el a $y=\sqrt[n](x)$ függvény grafikonját $n=3,5,7,9…$ esetén.
Mutassuk meg az elején kapott függvény grafikonját az origóhoz viszonyítva.
Figyeljük meg, hogy az ordináta tengelye érinti a függvényünk grafikonját a $x=0$ pontban.

Példa.
Szerkessze meg és olvassa el a $y=f(x)$ függvény grafikonját, ahol $f(x)$:
$f(x)=\begin(esetek)\sqrt(x), x≤1\\ \frac(1)(x), x>1\end(esetek)$.
Megoldás. Szerkesszük meg egymás után a függvény két grafikonját különbözően koordinátasíkok, akkor a kapott grafikonokat egyesítjük egybe. Ábrázoljuk a $y=\sqrt(x)$, $x≤1$ függvényt.
Értéktáblázat:
A $y=\frac(1)(x)$ függvény gráfja jól ismert számunkra, ez egy hiperbola, készítsünk grafikont $x>1$-ra.
style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"> Kombináljuk a két grafikont:

Srácok, írjuk le a függvényünk tulajdonságait:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Se páros, se nem páratlan.
3. $$-al csökken.
4. Alulról korlátlan, felülről korlátlan.
5. Legalacsonyabb érték Nem, legmagasabb érték egyenlő 1.
6. Folyamatos.
7. $E(f)=(-∞;1]$.
8. A függvény mindenhol differenciálható, kivéve a $x=0$ és $x=1$ pontokat.
9. $\lim_(x \jobbra nyíl +∞) f(x)=0$.

Példa. Keresse meg a függvények meghatározásának tartományát:

A) $y=\sqrt(2x-10)$.
b) $y=\sqrt(3x-6)$.
c) $y=\sqrt(3x-6)+\sqrt(25-x^2)$.

Megoldás:
a) Függvényünk gyökének kitevője páros, ami azt jelenti, hogy a gyök alatt kell lennie Nem negatív szám.
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget:
$2x-10≥0$.
$2x≥10$.
$x≥5$.
Válasz: $D(y)=.$ Ez az eredeti függvény definíciós tartománya.
Válasz: $D(y)=$.

Önállóan megoldandó problémák

1. Ábrázolja a függvényt: $y=\sqrt(x-3)+1$.
2. Oldja meg a $\sqrt(x)=-x-2$ egyenletet.
3. Szerkessze meg és olvassa el a $y=f(x)$ függvény grafikonját, ahol $f(x)$: $f(x)=\begin(cases)\sqrt(x), x≥1\\ x ^3, x 4. Keresse meg a függvények definíciós tartományát:
a) $y=\sqrt(3x-15)$.
b) $y=\sqrt(2x-10)$.
c) $y=\sqrt(4x-12)+\sqrt(36-x^2)$.

Első szint

Gyökér és tulajdonságai. Részletes elmélet példákkal (2019)

Próbáljuk meg kitalálni, mi a „gyökér” fogalma, és „mivel eszik”. Ehhez nézzünk meg olyan példákat, amelyekkel már találkoztál az órán (na jó, vagy épp most fogsz találkozni ezzel).

Például van egy egyenletünk. Mi a megoldás adott egyenlet? Milyen számokat lehet négyzetre vetni? A szorzótáblára emlékezve könnyen megadhatja a választ: és (végül is, ha két negatív számot szorozunk, pozitív számot kapunk)! Az egyszerűsítés kedvéért a matematikusok bevezették a négyzetgyök egy speciális fogalmát, és hozzárendelték különleges karakter.

Határozzuk meg az aritmetikai négyzetgyököt.

Miért kell a számnak nem negatívnak lennie? Például mivel egyenlő? Nos, próbáljunk meg egyet választani. Talán három? Ellenőrizzük: , nem. Talán,? Ismét ellenőrizzük: . Nos, nem illik? Ez várható is – mert nincsenek olyan számok, amelyek négyzetre vetve negatív számot adnak!
Ezt kell emlékezned: a gyökjel alatti szám vagy kifejezés nem lehet negatív!

A legfigyelmesebbek azonban valószínűleg már észrevették, hogy a definíció szerint „egy szám négyzetgyökének megoldását így hívják. nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő ". Néhányan azt mondják, hogy a legelején elemeztük a példát, kiválasztottuk a négyzetbe vonható és megkapható számokat, a válasz és volt, de itt valamiféle „nem negatív számról” beszélünk! Ez a megjegyzés teljesen helyénvaló. Itt csak különbséget kell tenni a másodfokú egyenletek és a szám aritmetikai négyzetgyöke között. Például nem egyenértékű a kifejezéssel.

Ebből következik, hogy vagyis, ill. ("" téma olvasása)

És ebből következik.

Ez persze nagyon zavaró, de nem szabad elfelejteni, hogy az előjelek az egyenlet megoldásának eredménye, hiszen az egyenlet megoldása során fel kell írnunk az összes X-et, amelyet behelyettesítve eredeti egyenlet megfelelő eredményt fog adni. Miénkben másodfokú egyenlet mindkettőre alkalmas.

Ha azonban csak kivonat Négyzetgyök valamitől, akkor mindig egy nem negatív eredményt kapunk.

Most próbálja meg megoldani ezt az egyenletet. Már nem minden olyan egyszerű és gördülékeny, igaz? Próbáld végigmenni a számokon, talán sikerül valami? Kezdjük a legelejéről - elölről: - nem illik, lépj tovább - háromnál kevesebb, azt is félresöpörjük, mi lenne ha. Ellenőrizzük: - szintén nem alkalmas, mert... ez több mint három. Ugyanez a történet a negatív számokkal. Akkor most mit tegyünk? Valóban semmit sem hozott a keresés? Egyáltalán nem, most már biztosan tudjuk, hogy a válasz valamilyen és közötti szám lesz, valamint és között. Természetesen a megoldások nem egész számok lesznek. Ráadásul nem racionálisak. Szóval, mi lesz ezután? Ábrázoljuk a függvényt, és jelöljük rajta a megoldásokat.

Próbáljuk meg becsapni a rendszert, és egy számológép segítségével kapjuk meg a választ! Szedjük ki belőle a gyökeret! Ó-ó-ó, kiderült. Ez a szám soha nem ér véget. Hogy emlékezhet erre, hiszen nem lesz számológép a vizsgán!? Minden nagyon egyszerű, nem kell emlékezni rá, csak emlékezni kell (vagy gyorsan meg kell tudni becsülni) a hozzávetőleges értéket. és maguk a válaszok. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezik, hogy leegyszerűsítsék az ilyen számok írását, hogy bevezették a négyzetgyök fogalmát.

Nézzünk egy másik példát ennek megerősítésére. Nézzük a következő problémát: átlósan km-es oldalú négyzetmezőn kell átmenni, hány km-t kell megtenni?

A legkézenfekvőbb itt az, hogy a háromszöget külön vizsgáljuk, és használjuk a Pitagorasz-tételt: . És így, . Tehát mekkora itt a szükséges távolság? Nyilván a távolság nem lehet negatív, ezt kapjuk. A kettő gyöke megközelítőleg egyenlő, de amint azt korábban megjegyeztük, - már teljes válasz.

Ahhoz, hogy a gyökerekkel kapcsolatos példákat problémák okozása nélkül megoldhassa, látnia és felismernie kell őket. Ehhez ismernie kell legalább a számok négyzeteit től ig, és tudnia kell felismerni azokat. Például tudnod kell, hogy mi egyenlő a négyzettel, és fordítva, mi egyenlő a négyzettel.

Felfogtad, mi az a négyzetgyök? Ezután oldjon meg néhány példát.

Példák.

Nos, hogy sikerült? Most nézzük ezeket a példákat:

Válaszok:

köbgyök

Nos, úgy tűnik, megoldottuk a négyzetgyök fogalmát, most próbáljuk meg kitalálni, mi a kockagyök, és mi a különbségük.

Egy szám kockagyöke az a szám, amelynek kockája egyenlő. Észrevetted, hogy itt minden sokkal egyszerűbb? Nincsenek korlátozások a kocka gyökérjel alatti érték és a kinyert szám lehetséges értékeire vonatkozóan. Azaz a kockagyök tetszőleges számból kinyerhető: .

Érted, mi az a kockagyökér, és hogyan lehet kivonni? Akkor menj tovább, és oldd meg a példákat.

Példák.

Válaszok:

Gyökér - ó fok

Nos, megértettük a négyzet- és kockagyök fogalmát. Most pedig foglaljuk össze a koncepcióval szerzett ismereteket 1. gyökér.

1. gyökér egy szám olyan szám, amelynek th hatványa egyenlő, azaz.

egyenértékű.

Ha – akár, Ez:

• negatívval, a kifejezésnek nincs értelme (negatív számok páros gyöke nem távolítható el!);
• nem negatívnak() kifejezésnek egy nem negatív gyöke van.

Ha a - páratlan, akkor a kifejezésnek egyedi gyöke van bármelyikhez.

Ne ijedjen meg, itt ugyanazok az elvek érvényesek, mint a négyzet- és kockagyökereknél. Vagyis a négyzetgyökök számításánál alkalmazott elvek minden páros fokú gyökre kiterjednek.

A kockagyökhöz használt tulajdonságok pedig a páratlan fokú gyökerekre vonatkoznak.

Nos, világosabb lett? Nézzünk példákat:

Itt minden többé-kevésbé világos: először nézzük meg – igen, a fokszám páros, a gyök alatti szám pozitív, ami azt jelenti, hogy a feladatunk az, hogy találjunk egy számot, amelynek negyedik hatványa ad nekünk. Nos, valami tippelés? Talán,? Pontosan!

Tehát a fok egyenlő - páratlan, a gyökér alatti szám negatív. Az a feladatunk, hogy találjunk egy számot, amelyet hatványra emelve produkál. Elég nehéz azonnal észrevenni a gyökeret. A keresést azonban azonnal szűkítheti, igaz? Először is, a szükséges szám határozottan negatív, másodszor pedig észrevehető, hogy páratlan, és ezért a kívánt szám páratlan. Próbáld megtalálni a gyökeret. Persze nyugodtan el lehet utasítani. Talán,?

Igen, ezt kerestük! Vegye figyelembe, hogy a számítás egyszerűsítése érdekében a fokok tulajdonságait használtuk: .

A gyökerek alapvető tulajdonságai

Ez egyértelmű? Ha nem, akkor a példák megtekintése után mindennek a helyére kell kerülnie.

Gyökerek szaporodása

Hogyan szaporítsuk a gyökereket? A legegyszerűbb és legalapvetőbb tulajdonság segít megválaszolni ezt a kérdést:

Kezdjük valami egyszerűvel:

A kapott számok gyökerei nincsenek pontosan kivonva? Nem probléma – íme néhány példa:

Mi van, ha nem kettő, hanem több szorzó van? Ugyanaz! A gyökerek szorzásának képlete számos tényezővel működik:

Mit tehetünk vele? Nos, persze, rejtse el a hármat a gyökér alá, ne feledje, hogy a három a négyzetgyöke!

Miért van erre szükségünk? Igen, csak hogy bővítsük a képességeinket a példák megoldása során:

Nektek hogy tetszik a gyökereknek ez a tulajdonsága? Sokkal könnyebbé teszi az életet? Számomra ez pontosan így van! Csak emlékezned kell erre A páros fok gyökjele alá csak pozitív számokat írhatunk be.

Lássuk, hol lehet még ez hasznos. Például a probléma két szám összehasonlítását igényli:

Hogy több:

Nem tudod azonnal megmondani. Nos, használjuk azt a disassembled tulajdonságot, hogy a gyökérjel alá írjunk be egy számot? Akkor hajrá:

Nos, tudván mit nagyobb szám a gyökér jele alatt minél nagyobb maga a gyökér! Azok. ha akkor, . Ebből határozottan arra következtetünk. És senki sem fog minket meggyőzni az ellenkezőjéről!

Ezt megelőzően a gyökér jele alá írtunk be egy szorzót, de hogyan lehet eltávolítani? Csak faktorokba kell számolnia, és ki kell bontania, amit kivon!

Lehetett más utat választani, és más tényezőkre is kiterjeszteni:

Nem rossz, igaz? Ezen megközelítések bármelyike ​​helyes, döntsön, ahogy akarja.

Például itt van egy kifejezés:

Ebben a példában a fokszám páros, de mi van, ha páratlan? Ismét alkalmazzuk a kitevők tulajdonságait, és faktoráljunk mindent:

Ezzel minden világosnak tűnik, de hogyan lehet kivonni egy szám gyökerét egy hatványba? Itt van például ez:

Elég egyszerű, igaz? Mi van, ha a fokozat nagyobb, mint kettő? Ugyanezt a logikát követjük a fokok tulajdonságaival:

Nos, minden világos? Akkor itt egy példa:

Ezek a buktatók, róluk mindig érdemes emlékezni. Ezt tulajdonképpen a tulajdonságpéldák tükrözik:

páratlannak: egyenletes és:

Ez egyértelmű? Erősítse meg példákkal:

Igen, látjuk, hogy a gyök páros hatványhoz tartozik, a gyök alatti negatív szám szintén páros hatványhoz tartozik. Nos, ez ugyanúgy működik? Íme:

Ez minden! Íme néhány példa:

Megvan? Akkor menj tovább, és oldd meg a példákat.

Példák.

Válaszok.

Ha megkaptad a válaszokat, nyugodt szívvel továbbléphetsz. Ha nem, akkor értsük meg ezeket a példákat:

Nézzük meg a gyökér két másik tulajdonságát:

Ezeket a tulajdonságokat példákon kell elemezni. Nos, csináljuk ezt?

Megvan? Biztosítsuk.

Példák.

Válaszok.

GYÖKEREK ÉS TULAJDONSÁGAIK. ÁTLAGOS SZINT

Aritmetikai négyzetgyök

Az egyenletnek két megoldása van: és. Ezek olyan számok, amelyek négyzete egyenlő.

Tekintsük az egyenletet. Oldjuk meg grafikusan. Rajzoljuk meg a függvény grafikonját és egy vonalat a szinten. Ezeknek az egyeneseknek a metszéspontjai lesznek a megoldások. Látjuk, hogy ennek az egyenletnek két megoldása is van - az egyik pozitív, a másik negatív:

De ebben az esetben a megoldások nem egészek. Ráadásul nem racionálisak. Hogy ezeket leírjam irracionális döntések, bevezetünk egy speciális négyzetgyök szimbólumot.

Aritmetikai négyzetgyök egy nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő. Ha a kifejezés nincs definiálva, mert Nincs olyan szám, amelynek négyzete egyenlő negatív számmal.

Négyzetgyök: .

Például, . És ebből következik, hogy ill.

Még egyszer felhívom a figyelmet, ez nagyon fontos: A négyzetgyök mindig nem negatív szám: !

köbgyök egy szám olyan szám, amelynek kocka egyenlő. A kockagyök mindenki számára definiálva van. Bármely számból kinyerhető: . Amint látja, negatív értékeket is felvehet.

A szám th gyöke az a szám, amelynek hatványa egyenlő, azaz.

Ha páros, akkor:

• ha, akkor a th gyöke nincs definiálva.
• ha, akkor az egyenlet nemnegatív gyökét nevezzük a és a th fok számtani gyökének, és jelöljük.

Ha - páratlan, akkor az egyenletnek egyedi gyöke van bármelyikhez.

Észrevetted, hogy balra a gyök jele fölé írjuk a fokát? De nem a négyzetgyökért! Ha egy gyökér fok nélkül látható, az azt jelenti, hogy négyzet (fok).

Példák.

A gyökerek alapvető tulajdonságai

GYÖKEREK ÉS TULAJDONSÁGAIK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Négyzetgyök (számtani négyzetgyök) nem negatív számból ezt nevezzük nemnegatív szám, amelynek négyzete

A gyökerek tulajdonságai:

Ez a cikk a gyökerek tulajdonságaival kapcsolatos részletes információk gyűjteménye. A témát figyelembe véve kezdjük a tulajdonságokkal, tanulmányozzuk az összes megfogalmazást és bizonyítékokkal szolgálunk. A téma megszilárdítása érdekében az n-edik fokú tulajdonságokat vizsgáljuk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A gyökerek tulajdonságai

Beszéljünk az ingatlanokról.

1. Ingatlan szorzott számok aÉs b, amelyet az a · b = a · b egyenlőségként ábrázolunk. Tényezők formájában ábrázolható, pozitív vagy nullával egyenlő a 1 , a 2 , … , a k mint a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. az a hányadosból: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, ebben a formában is felírható a b = a b;
3. Tulajdonság egy szám hatványából a páros kitevővel a 2 m = a m tetszőleges számra a, például egy szám négyzetének tulajdonsága a 2 = a.

Bármelyik bemutatott egyenletben felcserélheti a szaggatott jel előtti és utáni részeket, például az a · b = a · b egyenlőség a · b = a · b-re transzformálódik. Az egyenlőségi tulajdonságokat gyakran használják összetett egyenletek egyszerűsítésére.

Az első tulajdonságok bizonyítása a négyzetgyök definícióján és a -val való hatványok tulajdonságain alapul természetes mutató. A harmadik tulajdonság igazolására utalni kell egy szám modulusának meghatározására.

Mindenekelőtt az a · b = a · b négyzetgyök tulajdonságait kell igazolni. A definíció szerint figyelembe kell venni, hogy a b egy pozitív vagy nullával egyenlő szám, amely egyenlő lesz a b az építkezés során egy négyzetbe. Az a · b kifejezés értéke pozitív vagy nulla a nem negatív számok szorzataként. A szorzott számok hatványainak tulajdonsága lehetővé teszi, hogy az egyenlőséget (a · b) 2 = a 2 · b 2 formában ábrázoljuk. A négyzetgyök definíciója szerint a 2 = a és b 2 = b, akkor a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Hasonló módon lehet ezt bizonyítani a termékből k szorzók a 1 , a 2 , … , a k egyenlő lesz e tényezők négyzetgyökének szorzatával. Valóban, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Ebből az egyenlőségből az következik, hogy a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Nézzünk néhány példát a téma megerősítésére.

1. példa

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 és 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .

Bizonyítani kell a hányados számtani négyzetgyökének tulajdonságát: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. A tulajdonság lehetővé teszi az a: b 2 = a 2: b 2 és a 2: b 2 = a: b egyenlőség felírását, míg a: b egy pozitív szám vagy egyenlő nullával. Ez a kifejezésés bizonyíték lesz belőle.

Például 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 és 30,121 = 30,121.

Tekintsük egy szám négyzetének négyzetgyökének tulajdonságát. Felírható egyenlőségként, mint a 2 = a Bizonyítani ezt az ingatlant, részletesen figyelembe kell venni több egyenlőséget a ≥ 0és at a< 0 .

Nyilvánvaló, hogy a ≥ 0 esetén igaz az a 2 = a egyenlőség. Nál nél a< 0 az a 2 = - a egyenlőség igaz lesz. Valójában ebben az esetben − a > 0és (− a) 2 = a 2 . Megállapíthatjuk, hogy a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Nézzünk néhány példát.

2. példa

5 2 = 5 = 5 és - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

A bizonyított tulajdonság segít igazolni egy 2 m = a m-t, ahol a- igazi, és m-természetes szám. Valójában a hatalom növelésének tulajdonsága lehetővé teszi számunkra, hogy a hatalmat lecseréljük egy 2 m kifejezés (a m) 2, akkor a 2 m = (a m) 2 = a m.

3. példa

3 8 = 3 4 = 3 4 és (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Az n-edik gyökér tulajdonságai

Először is mérlegelnünk kell alapvető tulajdonságait n-edik gyökér:

1. Tulajdonság a számok szorzatából aÉs b, amelyek pozitívak vagy egyenlőek nullával, az a · b n = a n · b n egyenlőséggel fejezhetők ki, ez a tulajdonság igaz a szorzatra k számok a 1 , a 2 , … , a k mint a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. tól től törtszám a b n = a n b n tulajdonsággal rendelkezik, ahol a bármely valós szám, amely pozitív vagy egyenlő nullával, és b– pozitív valós szám;
3. Bármilyen aés még mutatók is n = 2 m a 2 · m 2 · m = a igaz, és páratlanra n = 2 m − 1 az a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a egyenlőség fennáll.
4. Az a m n = a n m-ből való kivonás tulajdonsága, ahol a– tetszőleges szám, pozitív vagy nullával egyenlő, nÉs m – egész számok, ez a tulajdonság a formában is ábrázolható. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2. . . nk ;
5. Bármilyen nem negatív a és tetszőleges nÉs m, amelyek természetesek, definiálhatjuk az a m n · m = a n igazságos egyenlőséget is;
6. A diploma tulajdona n egy szám hatványából a, ami pozitív vagy egyenlő nullával, in természetes fok m, amelyet az a m n = a n m egyenlőség határoz meg;
7. Hasonlítsa össze a tulajdonságokat ugyanazok a mutatók: bármilyen pozitív szám esetén aÉs b oly módon, hogy a< b , az egyenlőtlenség a n< b n ;
8. Hasonlítsa össze a tulajdonságokat ugyanazok a számok gyökér alatt: ha mÉs n – természetes számok, hogy m > n, majd at 0 < a < 1 az a m > a n egyenlőtlenség igaz, és mikor a > 1 kivégzett egy m< a n .

A fent megadott egyenlőségek akkor érvényesek, ha az egyenlőségjel előtti és utáni részek felcserélődnek. Ebben a formában is használhatók. Ezt gyakran használják a kifejezések egyszerűsítése vagy átalakítása során.

A gyök fenti tulajdonságainak bizonyítása egy szám definícióján, fokának tulajdonságain és modulusának meghatározásán alapul. Ezeket a tulajdonságokat bizonyítani kell. De minden rendben van.

1. Először is bizonyítsuk be az a · b n = a n · b n szorzat n-edik gyökének tulajdonságait. Mert aÉs b , amely vannak pozitív vagy egyenlő nullával , az a n · b n érték is pozitív vagy egyenlő nullával, mivel ez a nemnegatív számok szorzásának következménye. A szorzatnak a természetes hatványhoz való tulajdonsága lehetővé teszi az a n · b n n = a n n · b n n egyenlőség felírását. A gyökér meghatározása szerint n-edik fokú a n n = a és b n n = b, ezért a n · b n n = a · b. A kapott egyenlőség pontosan az, amit bizonyítani kellett.

Ez a tulajdonság a terméknél is hasonlóképpen igazolható k tényezők: nemnegatív számok esetén a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Íme példák a root tulajdonság használatára n a termékből származó teljesítmény: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 és 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Igazoljuk az a b n = a n b n hányados gyökének tulajdonságát. Nál nél a ≥ 0És b > 0 az a n b n ≥ 0 feltétel teljesül, és a n b n n = a n n b n n = a b.

Mutassunk példákat:

4. példa

8 27 3 = 8 3 27 3 és 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. A következő lépéshez az n-edik fok tulajdonságait kell igazolni a számtól a fokig n. Képzeljük el ezt a 2 m 2 m = a és a 2 m - 1 2 m - 1 = a egyenlőségként bármely valósra. aés természetes m. Nál nél a ≥ 0 kapunk a = a és a 2 m = a 2 m, ami az a 2 m 2 m = a egyenlőséget bizonyítja, és az a 2 m - 1 2 m - 1 = a egyenlőség nyilvánvaló. Nál nél a< 0 kapunk rendre a = - a és a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Egy szám utolsó transzformációja érvényes a hatványtulajdonság szerint. Pontosan ez bizonyítja, hogy a 2 m 2 m = a és a 2 m - 1 2 m - 1 = a egyenlőség lesz igaz, mivel a páratlan fokot - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 bármilyen számhoz c , pozitív vagy egyenlő nullával.

A kapott információk konszolidálása érdekében nézzünk meg néhány példát a tulajdonság használatával:

5. példa

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 és (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Igazoljuk a következő egyenlőséget a m n = a n m . Ehhez fel kell cserélni az egyenlőségjel előtti és utáni számokat a n · m = a m n . Ez azt jelenti, hogy a bejegyzés helyes. Mert a, ami pozitív vagy egyenlő nullával , az a m n alakú pozitív szám vagy egyenlő nullával. Térjünk rá a hatalom hatalommá emelésének tulajdonságára és annak meghatározására. Segítségükkel az egyenlőségeket a m n n · m = a m n n m = a m m = a formában alakíthatja át. Ez bizonyítja a szóban forgó gyökér gyökének tulajdonságát.

Más tulajdonságok is hasonlóképpen bizonyítottak. Igazán, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Például 7 3 5 = 7 5 3 és 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Bizonyítsuk be következő ingatlan a m n · m = a n . Ehhez meg kell mutatni, hogy egy n egy szám, pozitív vagy egyenlő nullával. Ha n m hatványra emeljük, akkor egyenlő a m. Ha a szám a akkor pozitív vagy egyenlő nullával n fokú közülük a pozitív szám vagy egyenlő nullával. Ebben az esetben a n · m n = a n n m , amit bizonyítani kell.

A megszerzett ismeretek megszilárdítása érdekében lássunk néhány példát.

1. Igazoljuk a következő tulajdonságot – az a m n = a n m alakú hatvány gyökének tulajdonságát. Nyilvánvaló, hogy mikor a ≥ 0 az a n m fokszám nemnegatív szám. Ráadásul őt n a th hatvány egyenlő a m, valóban, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ez bizonyítja a vizsgált végzettség tulajdonságát.

Például 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Ezt minden pozitív szám esetén be kell bizonyítani aés b a feltétel teljesül a< b . Tekintsük az a n egyenlőtlenséget< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Ezért egy n< b n при a< b .

Például adjunk 12 4-et< 15 2 3 4 .

1. Tekintsük a gyökér tulajdonságát n-edik fokozat. Először is figyelembe kell venni az egyenlőtlenség első részét. Nál nél m > nÉs 0 < a < 1 igaz a m > a n . Tegyük fel, hogy a m ≤ a n. A tulajdonságok lehetővé teszik a kifejezés egyszerűsítését a n m · n ≤ a m m · n értékre. Ekkor a természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai szerint teljesül az a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n egyenlőtlenség, azaz a n ≤ a m. A kapott érték at m > nÉs 0 < a < 1 nem felel meg a fent megadott tulajdonságoknak.

Ugyanígy bizonyítható, hogy mikor m > nÉs a > 1 az a m feltétel igaz< a n .

A fenti tulajdonságok megszilárdítása érdekében vegyen figyelembe néhányat konkrét példák. Nézzük meg az egyenlőtlenségeket meghatározott számok segítségével.

6. példa

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Gratulálunk: ma a gyökereket fogjuk megnézni - a 8. osztály egyik legelgondolkodtatóbb témáját :)

Sokan összezavarodnak a gyökerekkel kapcsolatban, nem azért, mert bonyolultak (mi olyan bonyolult ebben - néhány definíció és még néhány tulajdonság), hanem azért, mert a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökerek olyan dzsungelen keresztül vannak meghatározva, hogy csak a tankönyvek szerzői. maguk is megérthetik ezt az írást. És akkor is csak egy üveg jó whiskyvel :)

Ezért most megadom a gyökér leghelyesebb és legkompetensebb meghatározását - az egyetlent, amelyre valóban emlékeznie kell. És akkor elmagyarázom: miért van szükség erre, és hogyan kell alkalmazni a gyakorlatban.

De először emlékezz egyet fontos pont, amelyről sok tankönyv-összeállító valamiért „elfelejti”:

A gyökerek lehetnek páros fokozatúak (kedvenc $\sqrt(a)$, valamint mindenféle $\sqrt(a)$ és páros $\sqrt(a)$) és páratlan fokos (mindenféle $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ stb.). A páratlan fok gyökének meghatározása pedig némileg eltér a párostól.

Valószínűleg a gyökerekkel kapcsolatos hibák és félreértések 95%-a ebben a kibaszott „kicsit más”-ban rejtőzik. Tehát egyszer s mindenkorra tisztázzuk a terminológiát:

Meghatározás. Még root n a $a$ számból bármely nem negatív a $b$ szám olyan, hogy $((b)^(n))=a$. És ugyanannak az $a$ számnak a páratlan gyöke általában bármely $b$ szám, amelyre ugyanaz az egyenlőség vonatkozik: $((b)^(n))=a$.

Mindenesetre a gyökér jelölése a következő:

\(a)\]

Az ilyen jelölésben szereplő $n$ számot gyökérkitevőnek, az $a$ számot pedig gyökkifejezésnek nevezzük. Konkrétan $n=2$ esetén megkapjuk a „kedvenc” négyzetgyökünket (ez egyébként páros fok gyöke), $n=3$ esetén pedig egy köbgyököt (páratlan fok), ami problémákban és egyenletekben is gyakran megtalálható.

Példák. Klasszikus példák négyzetgyök:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(igazítás)\]

Egyébként $\sqrt(0)=0$, és $\sqrt(1)=1$. Ez teljesen logikus, mivel $((0)^(2))=0$ és $((1)^(2))=1$.

A kockagyökerek is gyakoriak – nem kell tőlük félni:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(igazítás)\]

Nos, néhány „egzotikus példa”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(igazítás)\]

Ha nem érti, mi a különbség a páros és a páratlan fok között, olvassa el újra a definíciót. Ez nagyon fontos!

Addig is megvizsgáljuk a gyökök egy kellemetlen tulajdonságát, ami miatt külön definíciót kellett bevezetnünk a páros és páratlan kitevőkre.

Miért van szükség egyáltalán a gyökerekre?

A definíció elolvasása után sok diák megkérdezi: „Mit dohányoztak a matematikusok, amikor ezt kitalálták?” És tényleg: miért van egyáltalán szükség ezekre a gyökerekre?

A kérdés megválaszolásához térjünk vissza egy pillanatra általános osztályok. Ne feledjük: azokban a távoli időkben, amikor zöldebbek voltak a fák és finomabbak a gombócok, a fő gondunk a számok helyes szorzása volt. Nos, valami olyasmi, mint „öt-öt – huszonöt”, ez minden. De a számokat nem párban, hanem hármasban, négyesben és általában egész halmazban szorozhatja:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Azonban nem ez a lényeg. A trükk más: a matematikusok lusta emberek, ezért nehezen írták le a tíz ötös szorzását így:

Ezért jöttek a diplomák. Miért nem helyette hosszú sor Miért nem írjuk fel a faktorok számát felső indexként? Valami ilyesmi:

Nagyon kényelmes! Minden számítás jelentősen lecsökken, és nem kell egy csomó pergamenlapot és jegyzetfüzetet pazarolnia ahhoz, hogy leírjon mintegy 5183-at. Ezt a rekordot egy szám hatványának nevezték, egy csomó tulajdonságot találtak benne, de a boldogság rövid életűnek bizonyult.

Egy grandiózus ivászat után, amelyet csak a fokozatok „felfedezéséért” szerveztek, egy különösen makacs matematikus hirtelen megkérdezte: „Mi van akkor, ha egy szám fokszámát ismerjük, de maga a szám ismeretlen?” Nos, ha tudjuk, hogy egy bizonyos $b$ szám, mondjuk az 5. hatványig 243-at ad, akkor hogyan lehet kitalálni, hogy maga a $b$ mekkora számmal egyenlő?

Ez a probléma sokkal globálisabbnak bizonyult, mint amilyennek első pillantásra tűnhet. Mert kiderült, hogy a legtöbb „kész” erő esetében nincsenek ilyen „kezdeti” számok. Ítéld meg magad:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Jobbra b=4\cdot 4\cdot 4\Jobbra b=4. \\ \end(igazítás)\]

Mi van, ha $((b)^(3))=50 USD? Kiderült, hogy meg kell találnunk egy bizonyos számot, amelyet ha háromszor megszorozunk önmagával, akkor 50-et kapunk. De mi ez a szám? Egyértelműen nagyobb, mint 3, mivel 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Azaz ez a szám valahol három és négy között van, de nem fogod megérteni, hogy mivel egyenlő.

Pontosan ez az oka annak, hogy a matematikusok $n$-edik gyököket találtak ki. Pontosan ezért vezették be a $\sqrt(*)$ radikális szimbólumot. Pont a $b$ szám kijelölésére, amely a jelzett mértékben egy korábban ismert értéket ad

\[\sqrt[n](a)=b\Jobbra ((b)^(n))=a\]

Nem vitatom: gyakran ezek a gyökerek könnyen kiszámíthatók - több ilyen példát láttunk fent. De mégis, a legtöbb esetben, ha akarod tetszőleges szám, majd próbáld kiszedni belőle egy tetszőleges fokozat gyökérzetét, iszonyatos balhé lesz.

Mi van ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $\sqrt(2)$ sem ábrázolható a megszokott formában - egész számként vagy törtként. És ha beírja ezt a számot egy számológépbe, ezt fogja látni:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Mint látható, a tizedesvessző után végtelen számsor következik, amely nem engedelmeskedik semmilyen logikának. Természetesen ezt a számot kerekítheti, hogy gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:

\[\sqrt(2)=1,4142...\kb 1,4 \lt 1,5\]

Vagy itt van egy másik példa:

\[\sqrt(3)=1,73205...\kb. 1,7 \gt 1,5\]

De mindezek a kerekítések először is meglehetősen durvaak; másodszor pedig hozzávetőleges értékekkel is tudni kell dolgozni, különben egy csomó nem nyilvánvaló hibát elkaphat (egyesített államvizsga profilon egyébként az összehasonlítás és a kerekítés készségét kell tesztelni).

Ezért a komoly matematikában nem nélkülözheti a gyököket - ezek ugyanazok a valós számok $\mathbb(R)$ halmazának egyenlő képviselői, akárcsak a számunkra régóta ismert törtek és egészek.

A gyökér képtelensége a $\frac(p)(q)$ alak törtrészeként ábrázolni azt jelenti adott gyökér nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és csak egy radikális vagy más, speciálisan erre tervezett konstrukció (logaritmus, hatvány, határérték stb.) segítségével ábrázolhatók pontosan. De erről majd máskor.

Nézzünk meg néhány példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is megmaradnak a válaszban.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\kb. 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Természetesen szerint kinézet gyökér szinte lehetetlen kitalálni, hogy mely számok jönnek a tizedesvessző után. Számológépre azonban számíthat, de a legfejlettebb dátumkalkulátor is csak az első néhány számjegyet adja meg irracionális szám. Ezért sokkal helyesebb a válaszokat $\sqrt(5)$ és $\sqrt(-2)$ formában írni.

Pontosan ezért találták ki őket. A válaszok kényelmes rögzítéséhez.

Miért van szükség két definícióra?

A figyelmes olvasó valószínűleg már észrevette, hogy a példákban szereplő összes négyzetgyök pozitív számokból származik. Hát be utolsó lehetőségként a semmiből. De a kockagyökereket nyugodtan ki lehet húzni abszolút bármilyen számból - legyen az pozitív vagy negatív.

Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $y=((x)^(2))$ függvény grafikonjára:

Menetrend másodfokú függvény két gyökeret ad: pozitív és negatív

Próbáljuk meg kiszámítani a $\sqrt(4)$ értékét ezzel a grafikonnal. Ehhez a grafikonon egy vízszintes vonalat húzunk $y=4$ (pirossal jelölve), amely két pontban metszi a parabolát: $((x)_(1))=2$ és $((x) )_(2)) =-2$. Ez teljesen logikus, hiszen

Minden világos az első számmal - ez pozitív, tehát ez a gyökér:

De akkor mi a teendő a második ponttal? Mintha négynek két gyökere lenne egyszerre? Hiszen ha a −2 számot négyzetre emeljük, akkor 4-et is kapunk. Miért nem írunk akkor $\sqrt(4)=-2$? És miért nézik a tanárok az ilyen hozzászólásokat, mintha meg akarnának enni? :)

Az a baj, hogy ha nem szab további feltételeket, akkor a quadnak két négyzetgyöke lesz - pozitív és negatív. És bármely pozitív számnak kettő is lesz belőle. De a negatív számoknak egyáltalán nem lesz gyökere - ez ugyanabból a grafikonból látható, mivel a parabola soha nem esik a tengely alá y, azaz negatív értékeket nem fogad el.

Hasonló probléma jelentkezik minden páros kitevővel rendelkező gyökérnél:

1. Szigorúan véve minden pozitív számnak két gyöke lesz páros kitevővel $n$;
2. Negatív számokból a páros $n$ gyökér egyáltalán nem kerül kivonásra.

Éppen ezért a páros $n$ fokú gyök definíciójában kifejezetten elő van írva, hogy a válasznak nemnegatív számnak kell lennie. Így megszabadulunk a kétértelműségtől.

De páratlan $n$ esetén nincs ilyen probléma. Ennek megtekintéséhez nézzük meg a $y=((x)^(3))$ függvény grafikonját:

Egy kockaparabola bármilyen értéket felvehet, így a kockagyök tetszőleges számból vehető

Ebből a grafikonból két következtetés vonható le:

1. A kocka alakú parabola ágai, a szokásostól eltérően, mindkét irányban a végtelenbe mennek - fel és le. Ezért nem számít, milyen magasságban húzunk egy vízszintes vonalat, ez a vonal biztosan metszi a grafikonunkat. Következésképpen a kocka gyökér mindig bármilyen számból kinyerhető;
2. Ezenkívül egy ilyen kereszteződés mindig egyedi lesz, így nem kell gondolkodnia azon, hogy melyik szám tekinthető „helyes” gyökérnek, és melyiket hagyja figyelmen kívül. Éppen ezért a páratlan fok gyökeinek meghatározása egyszerűbb, mint a páros fok esetén (nincs előírás a negativitásra).

Kár, hogy ezeket az egyszerű dolgokat a legtöbb tankönyv nem magyarázza el. Ehelyett az agyunk szárnyalni kezd mindenféle számtani gyökérrel és azok tulajdonságaival.

Igen, nem vitatkozom: azt is tudni kell, mi az a számtani gyök. És erről részletesen egy külön leckében fogok beszélni. Ma erről is fogunk beszélni, mert enélkül a $n$-edik multiplicitás gyökereiről való minden gondolat hiányos lenne.

De először világosan meg kell értened a fentebb megadott definíciót. Ellenkező esetben a kifejezések bősége miatt olyan zűrzavar kezdődik a fejedben, hogy a végén már egyáltalán nem értesz semmit.

Csak annyit kell tennie, hogy megértse a páros és páratlan mutatók közötti különbséget. Ezért ismét gyűjtsük össze mindazt, amit a gyökerekről igazán tudni kell:

1. A páros fok gyöke csak nemnegatív számból létezik, és maga is mindig nemnegatív szám. Negatív számok esetén az ilyen gyök nem definiált.
2. De a páratlan fok gyöke bármely számból létezik, és maga is tetszőleges szám lehet: pozitív számok esetén pozitív, negatív számok esetén pedig, ahogy a sapka utal, negatív.

Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Ez egyértelmű? Igen, ez teljesen nyilvánvaló! Tehát most gyakorolunk egy kicsit a számításokkal.

Alapvető tulajdonságok és korlátozások

Nagyon sok gyökér van furcsa tulajdonságokés korlátozások – erről külön lecke lesz. Ezért most csak a legfontosabb „trükköt” vesszük figyelembe, amely csak az egyenletes indexű gyökerekre vonatkozik. Írjuk fel ezt a tulajdonságot képletként:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\jobbra|\]

Más szóval, ha felemel egy számot páros fokozat, majd ebből kivonjuk az azonos fokú gyökét, nem az eredeti számot, hanem annak modulusát kapjuk. Ez egyszerű tétel, ami könnyen igazolható (elég külön figyelembe venni a nem negatív $x$-okat, majd külön figyelembe venni a negatívakat). A tanárok folyamatosan beszélnek róla, mindenben tanítják iskolai tankönyv. De ha egyszer döntés születik irracionális egyenletek(vagyis gyökjelet tartalmazó egyenletek), a tanulók egyöntetűen elfelejtik ezt a képletet.

A probléma részletesebb megértéséhez felejtsük el az összes képletet egy percre, és próbáljunk meg két számot kiszámítani közvetlenül előre:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Ez nagyon egyszerű példák. A legtöbb ember megoldja az első példát, de sokan elakadnak a másodiknál. Minden ilyen szar problémamentes megoldásához mindig fontolja meg az eljárást:

1. Először a számot a negyedik hatványra emeljük. Nos, ez valahogy könnyű. Kapsz egy új számot, amely még a szorzótáblában is megtalálható;
2. És most ebből az új számból ki kell vonni a negyedik gyökért. Azok. a gyökerek és az erők „csökkenése” nem történik - ezek egymást követő műveletek.

Nézzük az első kifejezést: $\sqrt(((3)^(4)))$. Nyilvánvalóan először ki kell számítania a gyökér alatti kifejezést:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Ezután kivonjuk a 81-es szám negyedik gyökerét:

Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először a −3 számot a negyedik hatványra emeljük, amihez meg kell szorozni önmagával 4-szer:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ bal (-3 \jobb)=81\]

Pozitív számot kaptunk, mert teljes 4 mínusz van a munkában, és mindegyik kioltja egymást (végül is a mínusz a mínuszért pluszt ad). Ezután ismét kivonjuk a gyökeret:

Ezt a sort elvileg nem lehetett volna megírni, mert hiába, hogy ugyanaz lesz a válasz. Azok. ugyanazon páros teljesítmény páros gyöke „égeti” a mínuszokat, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen egy normál modultól:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \jobbra|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]

Ezek a számítások jól egyeznek a páros fok gyökének definíciójával: az eredmény mindig nem negatív, és a gyökjel is mindig tartalmaz nemnegatív számot. BAN BEN másképp a gyökér nincs definiálva.

Megjegyzés az eljáráshoz

1. A $\sqrt(((a)^(2)))$ jelölés azt jelenti, hogy először négyzetre tesszük az $a$ számot, majd vesszük a kapott érték négyzetgyökét. Ezért biztosak lehetünk benne, hogy a gyökjel alatt mindig van nem negatív szám, hiszen $((a)^(2))\ge 0$ mindenképpen;
2. De a $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ jelölés éppen ellenkezőleg, azt jelenti, hogy először egy bizonyos $a$ szám gyökerét vesszük, és csak azután négyzetesre vesszük az eredményt. Ezért az $a$ szám semmi esetre sem lehet negatív – ez a definícióban foglalt kötelező előírás.

Így semmi esetre sem szabad meggondolatlanul redukálni a gyökereket és a fokozatokat, ezzel állítólag „leegyszerűsítve” az eredeti kifejezést. Mert ha a gyökérnek negatív a száma, és a kitevője páros, akkor egy csomó problémát kapunk.

Mindezek a problémák azonban csak a páros mutatók esetében relevánsak.

A mínusz jel eltávolítása a gyökérjel alól

Természetesen a páratlan kitevővel rendelkező gyököknek is megvan a saját jellemzőjük, ami elvileg nem létezik páros kitevővel. Ugyanis:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Röviden: eltávolíthatja a mínuszt a páratlan fokok gyökereinek jele alól. Ez nagyon hasznos ingatlan, amely lehetővé teszi az összes negatív "kidobását":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(igazítás)\]

Ez az egyszerű tulajdonság nagyban leegyszerűsíti számos számítást. Most már nem kell aggódnia: hirtelen a gyökerek alatt rejtőzik negatív kifejezés, de a gyökér foka párosnak bizonyult? Elég csak „kidobni” az összes mínuszt a gyökereken kívül, ami után egymás szaporodhatnak, oszthatók, és általában sok gyanús dolgot csinálhatnak, ami a „klasszikus” gyökerek esetében garantáltan oda vezet. egy hiba.

És itt egy másik meghatározás lép színre – ugyanaz, amellyel a legtöbb iskola elkezdi a tanulást irracionális kifejezések. És ami nélkül érvelésünk hiányos lenne. Találkozz velünk!

Aritmetikai gyök

Tegyük fel egy pillanatra, hogy a gyökjel alatt csak pozitív számok, vagy szélsőséges esetben nulla lehet. Felejtsük el a páros/páratlan mutatókat, felejtsük el az összes fent megadott definíciót – csak nem negatív számokkal fogunk dolgozni. Akkor mit?

És akkor kapunk egy aritmetikai gyökeret - ez részben átfedésben van a „szokásos” definícióinkkal, de mégis eltér tőlük.

Meghatározás. Egy nemnegatív $a$ szám $n$-edik fokának számtani gyöke egy $b$ nemnegatív szám, így $((b)^(n))=a$.

Amint látjuk, minket már nem érdekel a paritás. Ehelyett egy új megszorítás jelent meg: a radikális kifejezés mostantól mindig nem negatív, és maga a gyök is nem negatív.

Hogy jobban megértsük, miben tér el az aritmetikai gyök a szokásostól, vessünk egy pillantást a már ismert négyzet- és köbparabola grafikonokra:

Aritmetikai gyökér keresési területe - nem negatív számok

Mint látható, ezentúl csak azokra a grafikondarabokra vagyunk kíváncsiak, amelyek az elsőben találhatók koordinátanegyed— ahol a $x$ és $y$ koordináták pozitívak (vagy legalább nullák). Többé nem kell a mutatót nézni, hogy megértsük, jogunk van-e negatív számot a gyökér alá helyezni vagy sem. Mert a negatív számokat elvileg már nem veszik figyelembe.

Felteheti a kérdést: „Nos, miért van szükségünk ilyen ivartalan definícióra?” Vagy: „Miért nem boldogulunk a fent megadott standard definícióval?”

Nos, csak egy tulajdonságot adok meg, ami miatt az új meghatározás megfelelővé válik. Például a hatványozás szabálya:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Figyelem: a gyökkifejezést tetszőleges hatványra emelhetjük, ugyanakkor a gyökkitevőt megszorozhatjuk ugyanennyi hatványral – és az eredmény ugyanannyi lesz! Íme, példák:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Szóval mi a nagy baj? Miért nem tudtuk ezt megtenni korábban? Íme, miért. Tekintsünk egy egyszerű kifejezést: $\sqrt(-2)$ - ez a szám klasszikus felfogásunk szerint teljesen normális, de a számtani gyök szempontjából abszolút elfogadhatatlan. Próbáljuk meg átalakítani:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Mint látható, az első esetben eltávolítottuk a mínuszt a radikális alól (van minden jogot, mert a mutató páratlan), a másodikban pedig a fenti képletet használtuk. Azok. Matematikai szempontból minden a szabályok szerint történik.

WTF?! Hogyan lehet ugyanaz a szám pozitív és negatív is? Semmiképpen. Csak arról van szó, hogy a hatványozási képlet, amely kiválóan működik pozitív számokra és nullára, negatív számok esetén teljes eretnekséget kezd produkálni.

Azért találták ki, hogy megszabaduljanak a kétértelműségtől számtani gyökök. Külön nagy leckét szentelünk nekik, ahol részletesen megvizsgáljuk minden tulajdonságukat. Tehát most nem foglalkozunk velük - a lecke már túl hosszúnak bizonyult.

Algebrai gyök: azoknak, akik többet szeretnének tudni

Sokáig gondolkodtam, hogy ezt a témát külön bekezdésbe rakjam-e vagy sem. Végül úgy döntöttem, itt hagyom. Ezt az anyagot azoknak szól, akik még jobban meg akarják érteni a gyökereket - már nem az átlagos „iskolai”, hanem az olimpia szintjéhez közeli szinten.

Tehát: a szám $n$-edik gyökének „klasszikus” definíciója és az ehhez kapcsolódó páros és páratlan kitevőkre való felosztás mellett létezik egy „felnőttebb” definíció, amely egyáltalán nem függ a paritástól és egyéb finomságoktól. Ezt algebrai gyökérnek nevezzük.

Meghatározás. Bármely $a$ algebrai $n$-adik gyöke az összes $b$ szám halmaza úgy, hogy $((b)^(n))=a$. Az ilyen gyökerekre nincs meghatározott megjelölés, ezért csak egy kötőjelet teszünk a tetejére:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \jobbra. \jobbra\) \]

Alapvető különbség a szabványos definíció A lecke elején elmondható, hogy az algebrai gyök nem egy konkrét szám, hanem egy halmaz. És mivel együtt dolgozunk valós számok, ennek a készletnek csak három típusa van:

1. Üres készlet. Akkor fordul elő, amikor meg kell találni egy páros fokú algebrai gyökét egy negatív számból;
2. Egyetlen elemből álló készlet. Minden gyökér páratlan fokok, valamint a nullától számított páros hatványok gyökerei ebbe a kategóriába tartoznak;
3. Végül a halmaz két számot tartalmazhat – ugyanazt a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))=-((x)_(1))$, amelyet a gráf másodfokú függvény. Ennek megfelelően egy ilyen elrendezés csak akkor lehetséges, ha egy pozitív számból kivonjuk a páros fok gyökét.

Az utolsó eset részletesebb vizsgálatot érdemel. Nézzünk néhány példát, hogy megértsük a különbséget.

Példa. Értékelje a kifejezéseket:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Megoldás. Az első kifejezés egyszerű:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ez két szám, amely a halmaz részét képezi. Mert mindegyik négyzetes négyzetet ad.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Itt egy csak egy számból álló halmazt látunk. Ez teljesen logikus, mivel a gyökérkitevő páratlan.

Végül az utolsó kifejezés:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Kapott üres készlet. Mert nincs egyetlen valós szám sem, amelyet a negyedik (vagyis páros!) hatványra emelve a −16 negatív számot kapjuk.

Végső megjegyzés. Figyelem: nem véletlenül jegyeztem meg mindenhol, hogy valós számokkal dolgozunk. Mert van több komplex számok— ott teljesen ki lehet számolni $\sqrt(-16)$ és még sok más furcsaságot.

Azonban a modern iskolai tanfolyam A matematikában szinte soha nem találkozunk komplex számokkal. A legtöbb tankönyvből eltávolították őket, mert tisztviselőink szerint a téma „túl nehezen érthető”.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete