A távolság meghatározása: 1 - pont és sík; 2 - egyenes és lapos; 3 - síkok; 4 - a keresztező egyeneseket együtt tekintjük, mivel ezeknek a problémáknak a megoldási algoritmusa lényegében ugyanaz, és a következőkből áll: geometriai konstrukciók, amelyet az adott A pont és az α sík távolságának meghatározásához kell végrehajtani. Ha van eltérés, az csak abban áll, hogy a 2. és 3. esetben a feladat megoldásának megkezdése előtt meg kell jelölni egy tetszőleges A pontot az m egyenesen (2. eset) vagy a β síkon (3. eset). A metsző egyenesek közötti távolságokat először az α és β párhuzamos síkba zárjuk, majd meghatározzuk e síkok közötti távolságot.

Tekintsük a problémamegoldás minden említett esetét.

1. Pont és sík távolságának meghatározása.

A pont és a sík távolságát egy pontból a síkra húzott merőleges szakasz hossza határozza meg.

Ezért a probléma megoldása a következő grafikus műveletek egymás utáni végrehajtásából áll:

1) az A pontból leengedjük az α síkra merőlegest (269. ábra);

2) keresse meg ennek a merőlegesnek az M metszéspontját az M = a ∩ α síkkal;

3) határozza meg a szakasz hosszát.

Ha az α sík általános helyzetben van, akkor ahhoz, hogy erre a síkra merőlegest lehessen engedni, először meg kell határozni ennek a síknak a vízszintes és frontális vetületének irányát. Ennek a merõlegesnek a síkkal való találkozási pontjának megtalálása további geometriai konstrukciókat is igényel.

A probléma megoldása leegyszerűsödik, ha az α sík egy adott pozíciót foglal el a vetületi síkokhoz képest. Ebben az esetben mind a merőleges kivetítése, mind a síkkal való találkozási pont megtalálása további segédkonstrukciók nélkül történik.

PÉLDA 1. Határozza meg az A pont és a frontálisan kiálló α sík távolságát (270. ábra).

MEGOLDÁS. A"-n keresztül megrajzoljuk az l" ⊥ h 0α merőleges vízszintes vetületét, és A"-n keresztül - annak l" ⊥ f 0α frontális vetületét. Jelöljük az M" = l" ∩ f 0α pontot. AM óta || π 2, akkor [A" M"] == |AM| = d.

A vizsgált példából jól látható, hogy a probléma milyen egyszerűen megoldható, ha a sík egy kiálló pozíciót foglal el. Ezért, ha a forrásadatokban egy általános helyzetsíkot adunk meg, akkor a megoldás folytatása előtt a síkot egy tetszőleges vetítési síkra merőleges pozícióba kell mozgatni.

2. PÉLDA Határozza meg a K pont és a ΔАВС által meghatározott sík távolságát (271. ábra).

1. A ΔАВС síkot átvisszük a vetületi helyzetbe *. Ehhez az xπ 2 /π 1 rendszerből az x 1 π 3 /π 1-be lépünk: az új x 1 tengely irányát a háromszög vízszintes síkjának vízszintes vetületére merőlegesen választjuk meg.

2. Vetítsük az ΔABC-t egy új π 3 síkra (az ΔABC síkot a [ C " 1 B " 1 ]-ben π 3-ra vetítjük).

3. Vetítse ki a K pontot ugyanarra a síkra (K" → K" 1).

4. A K" 1 ponton keresztül meghúzzuk (K" 1 M" 1)⊥ a [C" 1 B" 1] szakaszt. A szükséges távolság d = |K" 1 M" 1 |

A probléma megoldását leegyszerűsíti, ha a síkot nyomvonalak határozzák meg, mivel nincs szükség szintvonalak vetületeinek rajzolására.

3. PÉLDA Határozza meg a K pont és az α sík távolságát, amelyet a pályák határoznak meg (272. ábra).

* A háromszög síkjának vetületi helyzetbe való áthelyezésének legracionálisabb módja a vetítési síkok cseréje, hiszen ebben az esetben elegendő csak egy segédvetületet megszerkeszteni.

MEGOLDÁS. A π 1 síkot helyettesítjük a π 3 síkkal, ehhez rajzolunk egy új x 1 ⊥ f 0α tengelyt. A h 0α-n megjelölünk egy tetszőleges 1" pontot, és meghatározzuk annak új vízszintes vetületét a π 3 (1" 1) síkon. Az X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) és 1" 1 pontokon keresztül h 0α 1 -et rajzolunk. Meghatározzuk a K → K" 1 pont új vízszintes vetületét. A K" 1 pontból leeresztjük a merőlegest h 0α 1 -re, és megjelöljük a metszéspontját h 0α 1 - M" 1 -vel. A K" 1 M" 1 szakasz hossza jelzi a szükséges távolságot.

2. Egyenes és sík távolságának meghatározása.

Az egyenes és a sík távolságát az egyenes tetszőleges pontjából a síkra ejtett merőleges szakasz hossza határozza meg (lásd 248. ábra).

Ezért az m egyenes és az α sík távolságának meghatározására vonatkozó probléma megoldása nem különbözik az 1. bekezdésben tárgyalt példáktól a pont és a sík távolságának meghatározására (lásd 270 ... 272. ábra). Pontnak bármely m egyeneshez tartozó pontot vehetünk.

3. A síkok közötti távolság meghatározása.

A síkok közötti távolságot az egyik síkon vett pontból a másik síkra ejtett merőleges szakasz mérete határozza meg.

Ebből a definícióból az következik, hogy az α és β síkok közötti távolság megállapításának problémáját megoldó algoritmus csak abban tér el egy hasonló algoritmustól, amely az m egyenes és az α sík távolságának meghatározására szolgál, csak abban az m egyenesnek az α síkhoz kell tartoznia. , azaz az α és β síkok közötti távolság meghatározásához a következőket kell tenni:

1) vegyünk egy m egyenest az α síkban;

2) válasszunk egy tetszőleges A pontot az m egyenesen;

3) az A pontból engedjük le az l merőlegest a β síkra;

4) határozza meg az M pontot - az l merőleges találkozási pontját a β síkkal;

5) határozza meg a szegmens méretét.

A gyakorlatban célszerű más megoldási algoritmust használni, amely csak annyiban tér el a megadotttól, hogy az első lépés előtt a síkokat át kell vinni a vetítési pozícióba.

Ennek a további műveletnek az algoritmusba foglalása kivétel nélkül leegyszerűsíti az összes többi pont végrehajtását, ami végső soron egyszerűbb megoldáshoz vezet.

PÉLDA 1. Határozza meg az α és β síkok távolságát (273. ábra).

MEGOLDÁS. Az xπ 2 /π 1 rendszerből az x 1 π 1 /π 3 rendszerbe lépünk. Az új π 3 síkhoz képest az α és β síkok vetületi pozíciót foglalnak el, ezért az új f 0α 1 és f 0β 1 frontális nyomok közötti távolság a kívánt.

A mérnöki gyakorlatban gyakran meg kell oldani egy adott síkkal párhuzamos és attól távoli síkot meghatározott távolság. Az alábbi 2. példa egy ilyen probléma megoldását mutatja be.

2. PÉLDA Adott α (m || n) síkkal párhuzamos β sík vetületeit kell megszerkeszteni, ha ismert, hogy a köztük lévő távolság d (274. ábra).

1. Az α síkban rajzoljunk tetszőleges h (1, 3) vízszintes vonalakat és f (1,2) frontvonalakat.

2. Az 1. pontból visszaállítjuk az l merőlegest az α(l" ⊥ h", l" ⊥ f" síkra).

3. Az l merőlegesen egy tetszőleges A pontot jelölünk.

4. Határozza meg a szakasz hosszát - (a pozíció az ábrán az l egyenes metrikusan torzításmentes irányát jelzi).

5. Helyezze el a = d szakaszt az egyenesre (1"A 0) az 1. pontból".

6. Jelölje be az l" és l" vetületeken a B" és B" pontot, pontnak megfelelő 0-nál.

7. A B ponton keresztül megrajzoljuk a β (h 1 ∩ f 1) síkot. To β || α, meg kell felelni a h 1 || feltételnek h és f 1 || f.

4. A metsző egyenesek távolságának meghatározása.

A metsző egyenesek közötti távolságot a párhuzamos síkok közé zárt merőleges hossza határozza meg, amelyhez a metsző egyenesek tartoznak.

Az α és β egymással párhuzamos síkok megrajzolásához az egymást metsző m és f egyeneseken keresztül, elegendő az A ponton (A ∈ m) egy p egyenest húzni, amely párhuzamos az f egyenessel, és a B ponton (B ∈ f) keresztül. az m egyenessel párhuzamos k egyenes. Az m és p, f és k egymást metsző egyenesek határozzák meg az egymással párhuzamos α és β síkokat (lásd 248. ábra, e). Az α és β síkok közötti távolság egyenlő az m és f metszésvonalak szükséges távolságával.

A metsző egyenesek távolságának meghatározására egy másik módszer is javasolható, amely valamilyen transzformációs módszer alkalmazása ortogonális vetületek az egyik keresztezési vonal átkerül a kiálló helyzetbe. Ebben az esetben az egyenes egyik vetülete ponttá degenerálódik. A keresztező egyenesek új vetületei (A" 2 pont és a C" 2 D" 2 szakasz) közötti távolság a szükséges.

ábrán. A 275. ábra egy megoldást mutat az a és b metszésvonalak közötti távolság meghatározására, adott [AB] és [CD] szakaszon. A megoldást a következő sorrendben hajtjuk végre:

1. Mozgassa az egyik keresztező vonalat (a) egy pozícióba párhuzamos a síkkalπ 3; Ehhez lépjen az xπ 2 /π 1 vetületi síkok rendszeréből az új x 1 π 1 /π 3-ba, az x 1 tengely párhuzamos az a egyenes vízszintes vetületével. Határozzuk meg: a" 1 [A" 1 B" 1 ] és b" 1.

2. A π 1 síkot π 4 síkra cserélve lefordítjuk az egyenest

és az a" 2 helyzetbe a π 4 síkra merőlegesen (az új x 2 tengely a" 1-re merőlegesen van megrajzolva).

3. Szerkesszük meg a b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] egyenes új vízszintes vetületét.

4. Az A" 2 pont és a C" 2 D" 2 egyenes (szakasz (A" 2 M" 2 ]) távolsága (a szükséges.

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy az egyik keresztező egyenesnek a vetületi helyzetbe való átvitele nem más, mint a párhuzamosság síkjainak átvitele, amelyekbe az a és b egyenesek bezárhatók, szintén a vetületi helyzetbe.

Valójában az a egyenest a π 4 síkra merőleges helyzetbe mozgatva biztosítjuk, hogy minden a vonalat tartalmazó sík merőleges legyen a π 4 síkra, beleértve az a és m egyenesek által meghatározott α síkot is (a ∩ m, m | |. b ). Ha most húzunk egy n egyenest, amely párhuzamos a-val és metsző egyenest b, akkor megkapjuk a β síkot, amely a párhuzamosság második síkja, amely tartalmazza az a és b metsző egyeneseket. Mivel β || α, majd β ⊥ π 4 .

Szentpétervári Állami Tengerészeti Műszaki Egyetem

Osztály számítógépes grafikaés információs támogatás

4. LECKE

GYAKORLATI FELADAT 4. sz

Repülőgép.

Egy pont és egy sík távolságának meghatározása.

1. Egy pont és a vetületi sík távolságának meghatározása.

Egy pont és egy sík közötti tényleges távolság meghatározásához a következőket kell tennie:

· egy pontból merőleges leengedése egy síkra;

· keresse meg a megrajzolt merőleges metszéspontját a síkkal;

· meghatározza egy szakasz tényleges méretét, melynek eleje az adott pont, vége pedig a talált metszéspont.

Egy repülőgép is elfoglalhat helyet TábornokÉs magán pozíció. Alatt magán arra a helyzetre utal, ahol a sík merőleges a vetítési síkhoz – az ilyen síkot vetítésnek nevezzük. A kiálló pozíció fő jellemzője: egy sík merőleges a vetítési síkra, ha átmegy a vetületi egyenesen. Ebben az esetben a sík egyik vetülete egy egyenes – úgy hívják követve a repülőt.

Ha a sík kinyúlik, akkor könnyen meghatározható a pont és a sík tényleges távolsága. Mutassuk meg ezt egy ponttól való távolság meghatározásának példáján BAN BEN a következőben megadott frontálisan vetülő síkra K2 a felszínen P2(1. ábra).

Repülőgép K merőleges a vetületek homloksíkjára, ezért minden rá merőleges egyenes párhuzamos lesz a síkkal P2.És akkor derékszög a síkhoz képest P2 torzítás nélkül lesz kivetítve, és ez a pontból lehetséges AT 2 merőlegesen rajzoljunk a nyomra K2 . Vonalszakasz VC egy adott helyzetben van, amelyben a frontális vetület V2K2 egyenlő a szükséges távolság valódi értékével.

1. ábra. Egy pont és a vetítési sík távolságának meghatározása.

2. Egy pont és egy általános sík távolságának meghatározása.

Ha a sík általános pozíciót foglal el, akkor át kell vinni a kiálló helyzetbe. Ehhez egy adott pozícióból álló egyenest húzunk benne (az egyik vetületi síkkal párhuzamosan), amely egy rajztranszformációval átvihető a vetítési pozícióba.

A síkkal párhuzamos egyenes P1, vízszintes síknak nevezzük, és betűvel jelöljük h. A vetületek homloksíkjával párhuzamos egyenes P2, a sík frontálisának nevezzük, és betűvel jelöljük f.Sorok hÉs f hívják a sík fő vonalai. A probléma megoldását a következő példa mutatja (2. ábra).

Kiinduló állapot: háromszög ABC meghatározza a síkot. M- egy pont a síkon kívül. Az adott gép foglalt általános álláspont. A kivetítési pozícióba helyezéséhez hajtsa végre a következő lépéseket. Mód engedélyezése ORTO (ORTO), parancsot használjon Vonalszakasz (Vonal) – rajzoljon tetszőleges vízszintes vonalat, amely metszi a háromszög homlokvetületét А2В2С2 két ponton. Az ezeken a pontokon áthaladó vízszintes vonal vetülete látható h2 . Ezután egy vízszintes vetületet készítünk h1 .

Fő vonal h olyan vetületi pozícióvá alakítható, amelyben az adott sík is vetületté válik. Ehhez el kell forgatni az összes pont vízszintes vetületét (segédnégyszög ABCM) egy új pozícióba, ahol a vonal h1 a tengelyre merőleges függőleges helyzetet fog elfoglalni x. Ezeket a konstrukciókat célszerű sík-párhuzamos átvitellel végrehajtani (a vetítés másolatát a képernyő szabad helyére helyezzük).

Ennek eredményeként a sík új frontális vetülete egyenes vonalnak (síknyom) fog kinézni. A2*B2*. Most a lényegről M2* merőlegest rajzolhat a sík nyomára. Új frontális vetítés M2*K2* = MK azok. a szükséges távolság a ponttól M adott síkra ABC.

Ezután távoli vetületeket kell készíteni a kezdeti állapotban. Ahhoz, hogy ezt a lényeg M1 rajzoljon egy szakaszt az egyenesre merőlegesen h1 , és azon a ponttól el kell halasztani M1 egyenlő méretű szegmens M1*K1*. Egy pont frontális vetületének megalkotása K2 pontból K1 függőleges kommunikációs vonalat húzunk, és a ponttól K2* vízszintes. A konstrukciók eredményét a 2. ábra mutatja.

4. FELADAT. Keresse meg a pontos távolságot egy ponttól M a háromszög által meghatározott síkra ABC. Adja meg a választ mm-ben (1. táblázat)

Asztal 1

4. számú FELADAT ellenőrzése és teljesítése.

Utasítás

Megtalálni a távolságot pontokat előtt repülőgép leíró módszerekkel: válassza ki repülőgép tetszőleges pont; húzzon rajta két egyenes vonalat (ebben fekve repülőgép); helyre merőlegesen repülőgép ezen a ponton áthaladva (egyszerre mindkét metsző egyenesre merőleges egyenest építeni); rajzoljunk egy adott ponton keresztül a megszerkesztett merőlegessel párhuzamos egyenest; keresse meg ennek az egyenesnek a síkkal való metszéspontja és az adott pont közötti távolságot.

Ha a pozíció pontokat a háromdimenziós koordinátái és a pozíciója adja meg repülőgép – lineáris egyenlet, majd keresse meg a távolságot repülőgép előtt pontokat, használja a módszereket analitikus geometria: adja meg a koordinátákat pontokat x-en, y-n, z-n keresztül rendre (x – abszcissza, y – ordináta, z – alkalmazza); jelölje A, B, C, D az egyenleteket repülőgép(A – paraméter az abszcisszán, B – a , C – az alkalmazásnál, D – ingyenes tag); számítsa ki a távolságot pontokat előtt repülőgép képlet szerint:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,ahol s a pont és a sík távolsága,|| - abszolút érték(vagy modul).

Példa: Keresse meg a távolságot az A pont (2, 3, -1) koordinátákkal és a sík között, egyenlettel adott: 7x-6y-6z+20=0 Megoldás a feltételekből következik, hogy: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. Helyettesítsd ezeket az értékeket a fentiekbe: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2. Válasz: Távolság tól től pontokat előtt repülőgép egyenlő 2-vel (tetszőleges mértékegységek).

2. tipp: Hogyan határozzuk meg egy pont és egy sík távolságát

A távolság meghatározása pontokat előtt repülőgép- az egyik közös feladat iskolai planimetria. Mint ismeretes, a legkisebb távolság tól től pontokat előtt repülőgép ebből merőleges lesz húzva pontokat ehhez repülőgép. Ezért ennek a merőlegesnek a hosszát veszik a távolságnak pontokat előtt repülőgép.

Szükséged lesz

• sík egyenlet

Utasítás

Adjuk meg az f1 párhuzamos elsőjét az y=kx+b1 egyenlet. A kifejezés fordítása nyelvre általános forma, akkor kx-y+b1=0, azaz A=k, B=-1. Ennek normális értéke n=(k, -1).
Most az f1 x1 pontjának tetszőleges abszcisszája következik. Ekkor az ordinátája y1=kx1+b1.
Legyen az f2 párhuzamos egyenesek második egyenlete a következő:
y=kx+b2 (1),
ahol k azonos párhuzamosságuk miatt mindkét egyenesre.

Ezután létre kell hozni kanonikus egyenlet f2-re és f1-re is merőleges egyenes, amely tartalmazza az M (x1, y1) pontot. Ebben az esetben feltételezzük, hogy x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Ennek eredményeként a következő egyenlőséget kell kapnia:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Az (1) és (2) kifejezésekből álló egyenletrendszer megoldása után megtaláljuk a második pontot, amely meghatározza az N(x2, y2) párhuzamosak közötti távolságot. Maga a szükséges távolság egyenlő lesz d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Példa. Legyen adott párhuzamos egyenesek egyenlete az f1 – y=2x +1 (1) síkon;
f2 – y=2x+5 (2). Vegyünk egy tetszőleges pontot x1=1 az f1-en. Ekkor y1=3. Így az első pont M (1,3) koordinátákkal rendelkezik. Általános merőleges egyenlet (3):
(x-1)/2 = -y+3 vagy y=-(1/2)x+5/2.
Ezt az y értéket (1) behelyettesítve a következőt kapjuk:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
A merőleges második alapja az N (-1, 3) koordinátájú pontban van. A párhuzamos vonalak távolsága a következő lesz:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Források:

• Tüdőfejlődés atlétika Oroszországban

Bármely lapos vagy volumetrikus teteje geometriai alakzat egyedileg a térbeli koordinátái határozzák meg. Ugyanígy ugyanabban a koordináta-rendszerben tetszőleges tetszőleges pont egyedileg meghatározható, és ez lehetővé teszi ezen tetszőleges pont és az ábra csúcsa közötti távolság kiszámítását.

Szükséged lesz

• - papír;
• - toll vagy ceruza;
• - számológép.

Utasítás

A feladatot redukáljuk egy szakasz hosszának meghatározására két pont között, ha ismertek a feladatban megadott pont koordinátái és a geometriai ábra csúcsai. Ezt a hosszt a Pitagorasz-tétel segítségével lehet kiszámítani egy szakasznak a koordináta tengelyre való vetületeihez képest - ez egyenlő lesz négyzetgyök az összes vetület hosszának négyzeteinek összegéből. Például legyen megadva egy háromdimenziós koordinátarendszerben bármely geometriai alakzat A(X1;Y₂;Z1) pontja és C csúcsa (X2;Y2;Z2) koordinátákkal. Majd a közöttük lévő szakasz vetületeinek hosszát rá koordináta tengelyek lehet X1-X2, Y1-Y2 és Z1-Z2, és a szegmens hossza √((X1-X2)2+(Y1-Y2)2+(Z1-Z2)2). Például, ha a pont koordinátái A(5;9;1), a csúcsok pedig C(7;8;10), akkor a köztük lévő távolság egyenlő lesz √((5-7)²+ (9-8)²+(1-10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Először számítsa ki a csúcs koordinátáit, ha azok nem jelennek meg kifejezetten a feladatfeltételekben. A konkrét módszer az ábra típusától és az ismerttől függ további paraméterek. Például, ha három A(X1;Y1;Z1), B(X2;Y2;Z2) és C(X3;Y3;Z3) csúcs háromdimenziós koordinátái ismertek, akkor a negyedik csúcsának koordinátái (szemben) a B) csúcshoz (X3+X2-X1;Y3+Y2-Y1; Z3+Z2-Z1). A hiányzó csúcs koordinátáinak meghatározása után a távolság kiszámítása egy tetszőleges ponttól ismét lecsökken a két pont közötti szakasz hosszának meghatározására. adott rendszer koordináták – ezt az előző lépésben leírtakhoz hasonlóan végezze el. Például az ebben a lépésben leírt paralelogramma csúcsa és az (X4;Y4;Z4) koordinátákkal rendelkező E pont esetében az előző lépéstől való távolság kiszámításának képlete a következő lehet: √((X3+X2-X1- X4)²+(Y3+Y2-Y1-Y4)²+(Z3+Z2-Z1-Z4)²).

Gyakorlati számításokhoz használhatja például a beépített keresőmotor Google. Tehát az érték kiszámításához az előző lépésben kapott képlet segítségével az A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), írja be ezt keresési lekérdezés: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). A kereső kiszámítja és megjeleníti a számítás eredményét (5.19615242).

Videó a témáról

Felépülés merőleges Nak nek repülőgép- az egyik fontos feladatokat a geometriában számos tétel és bizonyítás alapjául szolgál. Egy merőleges egyenes megalkotása repülőgép, több lépést kell végrehajtania egymás után.

Szükséged lesz

• - adott sík;
• - a pont, ahonnan merőlegest szeretne rajzolni;
• - iránytű;
• - vonalzó;
• - ceruza.

Tekintsük a 3. feladat megoldásának algoritmusát.

1. Innen adott pont P rajzoljunk t merőlegest az α síkra (az α sík az 1. feladatban megszerkesztett ábra síkja); (·)Gödör; t ^ α (lásd az 5.1. példát).

2. Határozza meg a merőleges metszéspontját (T pont) az α síkkal! t ∩ α = (·) T (lásd az 5.2. példát).

3. Határozza meg a P pont és a sík közötti távolság tényleges értékét │PT│ (lásd az 5.3. példát).

Vizsgáljuk meg részletesebben a fenti algoritmus egyes pontjait a következő példák segítségével.

5.1. példa. A P pontból rajzoljunk egy t merőlegest az α síkra, amelyet három α (ABC) pont határoz meg (5.1. ábra).

Az egyenes és a sík merőlegességére vonatkozó tételből ismert, hogy ha egy egyenes t ^ α, akkor a diagramon annak vízszintes vetülete t 1 merőleges az azonos nevű vízszintes sík vetületére, azaz t 1 ^ h 1, és ennek t 2 frontális vetülete merőleges az azonos nevű frontális vetületre, akkor van t 2 ^ f 2 . Ezért a probléma megoldását építéssel kell kezdeni α vízszintes és frontális sík, ha nem szerepelnek benne adott repülőgép . Ebben az esetben emlékezni kell arra, hogy bármely vízszintes felépítését frontális vetülettel kell kezdeni, mivel a h vízszintes h 2 frontális vetülete mindig párhuzamos az OX tengellyel (h 2 ││OX). És bármely frontális felépítése az f frontális f 1 vízszintes vetületével kezdődik, amelynek párhuzamosnak kell lennie az OX tengellyel (f 1 ││OX). Tehát az ábrán. 5.1, a C ponton át a C-1 vízszintes vonal (C 2 -1 2; C 1 -1 1), az A ponton pedig az A-2 frontvonal (A 1 -2 1; A 2 -2) 2). A kívánt t merőleges t 2 frontális vetülete az A 2 -2 2 -re merőleges P 2 ponton, a t 1 vízszintes vetülete pedig a C 1 -1 1 -re merőleges P 1 ponton halad át.

5.2. példa. Határozzuk meg a t merőleges metszéspontját az α síkkal (azaz határozzuk meg a merőleges alapját).

Legyen az α síkot két egymást metsző α (h ∩ f) egyenes. A t egyenes merőleges az α síkra, mivel t 1 ^ f 1, és

t 2 ^ f 2 . A merőleges alapjának megtalálásához végre kell hajtani következő konstrukciók:

1. tÎb (b – segédvetítési sík). Ha b egy vízszintesen vetülő sík, akkor degenerált vízszintes vetülete (b 1 vízszintes nyom) egybeesik a t egyenes t 1 vízszintes vetületével, azaz b 1 ≡t 1. Ha b egy frontálisan vetülő sík, akkor annak degenerált frontális vetülete (b 2 frontális nyom) egybeesik a t egyenes t 2 frontális vetületével, azaz b 2 ≡ t 2. BAN BEN ebben a példában frontális vetítési síkot használtunk (lásd 5.2. ábra).

2. α ∩ b = 1-2 – két sík metszésvonala;

3. határozza meg a T pontot - a merőleges alapját; (·)T= t ∩ 1-2.

5.3. példa. Határozza meg a P pont és a sík távolságát!

A P pont és a sík távolságát a PT merőleges szakasz hossza határozza meg. A PT egyenes általános helyet foglal el a térben, ezért a meghatározási sorrendet természetes méret szakaszt, lásd a 7., 8. oldalt (3.4. és 3.5. ábra).

A 3. számú feladat diagrammegoldása a P pont és a távolság meghatározásával lapos alakábrán látható, mégpedig egy adott feltételek szerint megszerkesztett négyzet síkjához*. 5.3. Emlékeztetni kell arra, hogy a P pont vetületeit a megadott koordináták szerint kell megszerkeszteni (lásd a feladat változatát).

6. FELADATOK LEHETŐSÉGEI ÉS PÉLDA A MUNKA TELJESÍTMÉNYÉRE

A feladatok feltételeit és a pontok koordinátáit a 6.1. táblázat tartalmazza.

FELADATOK LEHETŐSÉGEI 148