Keresse meg az ellipszis fókuszának és excentricitásának féltengely koordinátáit! Másodrendű sorok

balra>

Nem állami oktatási magánintézmény

magasabb szakképzés

"Moszkvai Szociális és Humanitárius Intézet"

ELŐADÁSI JEGYZETEK A FEGYELEMRŐL

"MATEMATIKAI TALÁLKOZOTT ÓDÁK A PSZICHOLÓGIÁBAN"

1. RÉSZ

1. sz. előadás

BEVEZETÉS A „MATEMATIKAI MÓDSZEREK A PSZICHOLÓGIÁBAN” TANFOLYAMHOZ

Kérdések:

1.Matematika és pszichológia

2.A matematika alkalmazásának módszertani kérdései a pszichológiában

3.Matematikai pszichológia

3.1.Bevezetés

3.2. Fejlődéstörténet

3.3.Pszichológiai mérések

3.4.Nem hagyományos modellezési módszerek

1822. Ez akkoriban a német királyi királynál volt tudományos társaság Elolvastam a „A matematika alkalmazásának lehetőségéről és szükségességéről a pszichológiában” című jelentést. A jelentés fő gondolata a fent említett véleményből fakadt: ha a pszichológia tudomány akar lenni, mint a fizika, akkor a matematikát kell és lehet használni benne.

Két évvel e programszerű jelentés után kiadta a „Pszichológia mint tudomány, tapasztalatokra, metafizikára és matematikára alapozva” című könyvét. Ez a könyv több szempontból is figyelemre méltó. Véleményem szerint (lásd G. V. Szuhodolszkij) ez volt az első kísérlet egy olyan pszichológiai elmélet megalkotására, amely az egyes alanyok számára közvetlenül elérhető jelenségek körén, nevezetesen a tudatban egymást helyettesítő eszmék áramlásán alapul. Ennek az áramlásnak a jellemzőiről akkor nem léteztek empirikus adatok, amelyeket kísérleti úton szereztek, mint a fizika. Ezért Herbartnak ezen adatok hiányában, ahogy ő maga is írta, hipotetikus modelleket kellett kidolgoznia az elmében felbukkanó és eltűnő eszmék harcáról. Ezeket a modelleket analitikus formába helyezve, például φ =α(l-exp[-βt]), ahol t az idő, φ a reprezentációk változásának sebessége, α és β a tapasztalattól függő állandók, Herbart, manipulálva a numerikus a paraméterek értékeit, próbálta leírni az elképzelések változásának lehetséges jellemzőit.

Nyilvánvalóan az elsőnek az az elképzelése, hogy a tudatáram tulajdonságai mennyiségek, és ezért további fejlődés a tudományos pszichológia mérés tárgyát képezi. Ő állt elő a „tudatküszöb” ötletével is, és ő használta először a „matematikai pszichológia” kifejezést.

U be Lipcse Az egyetem hallgatóra és követőre talált, aki később a filozófia és a matematika professzora lett, Moritz-Wilhelm Drobisch. A tanári programötletet a maga módján elfogadta, kidolgozta és megvalósította. A Brockhaus és Efron szótár azt írja Drobishról, hogy a 19. század 30-as éveiben matematikai és pszichológiai kutatásokkal foglalkozott, és publikált latin. De 1842. A Bish Lipcsében jelent meg német monográfiája egyértelmű címmel: „Empírikus pszichológia természettudományos módszer szerint”.

Véleményem szerint ez a könyv M.-V. Drobisha ad csodálatos példa a tudás elsődleges formalizálása a tudatpszichológia területén. Nem létezik matematika a képletek, szimbólumok és számítások értelmében, de világos fogalomrendszer van a tudati eszmeáramlás jellemzőiről, mint egymással összefüggő mennyiségekről. Már az előszóban M.-V. Drobish azt írta, hogy ez a könyv megelőz egy másik, már kész könyvet, vagyis egy matematikai pszichológiáról szóló könyvet. De mióta pszichológus kollégák nem kellően felkészült a matematikára, szükségesnek tartotta az empirikus pszichológia bemutatását, először minden matematika nélkül, de csak szilárd természettudományos alapokon.

Nem tudom, hogy ez a könyv hatással volt-e a filozófusokra és teológusok aki pszichológiát tanult. Valószínűleg nem. De kétségtelenül hatással volt a műhöz hasonlóan a lipcsei természettudományos végzettségű tudósokra is.

Csak nyolc évvel később, in 1850 g. Lipcsében jelent meg M.-V. második alapkönyve. Drobish – „A matematikai pszichológia alapjai”. Így ennek a pszichológiai diszciplínának is van pontos dátum megjelenés a tudományban. Néhány modern pszichológusok, a matematikai pszichológia területéről író, fejlődését egy 1963-ban megjelent amerikai magazinnal sikerült elindítani. Valójában „minden új az elfeledett régi”. Egy egész évszázaddal ezelőtt amerikaiak Kialakult a matematikai pszichológia, pontosabban a matematizált pszichológia. Tudományunk matematizálásának folyamatát pedig M.-V. Drobish.

Azt kell mondanunk, hogy az innovációk tekintetében Drobish matematikai pszichológiája alulmúlja azt, amit tanára, Herbart csinált. Igaz, Drobish a fejében küszködő két ötlethez egy harmadikat is hozzátett, és ez nagyon megnehezítette a döntéseket. De a lényeg, véleményem szerint, más. A legtöbb A könyv kötete a numerikus modellezés példáiból áll. Sajnos sem a kortársak, sem a leszármazottak nem értették és nem értékelték M.-V. tudományos bravúrját. Drobish: nem volt számítógépe numerikus modellezéshez. És be modern pszichológia A matematikai modellezés a 20. század második felének terméke. A herbarti pszichológia Nyecsajev-fordításának előszavában orosz professzor, aki a „metafizika nélküli pszichológiájáról” híres, nagyon lekicsinylően beszélt Herbart azon kísérletéről, hogy a matematikát a pszichológiában használja. De ez nem a természettudósok reakciója volt. És a pszichofizikusok, különösen Theodor Fechner és a híres Wilhelm Wundt, akik Lipcsében dolgoztak, nem hagyhatták figyelmen kívül M.-W. alapvető publikációit. Drobisha. Hiszen ők valósították meg matematikailag a pszichológiában Herbart gondolatait a pszichológiai mennyiségekről, a tudatküszöbökről, az emberi tudat reakcióidejéről, és a kortárs matematika segítségével megvalósították azokat.

A matematika akkori fő módszerei a differenciális ill integrálszámítás, viszonylag egyszerű függőségek egyenletei – eléggé alkalmasnak bizonyultak a legegyszerűbb pszichofizikai törvények és különféle emberi reakciók azonosítására és leírására, de nem voltak alkalmasak a komplex tanulmányozására pszichés jelenségekés entitások. W. Wundt nem hiába tagadta kategorikusan a lehetőséget empirikus pszichológia magasabb mentális funkciók feltárása. Wundt szerint egy speciális, lényegében metafizikai néplélektani fennhatósága alatt maradtak.

Matematikai eszközök összetett többdimenziós objektumok tanulmányozásához, beleértve a magasabbakat is mentális funkciók- intelligencia, képességek, személyiség, kezdett alkotni Angol nyelvű tudósok. Többek között az is kiderült, hogy a leszármazottak testmagassága hajlamos visszatérni az őseik átlagos magasságához. Megjelent a „regresszió” fogalma, és olyan egyenleteket kaptunk, amelyek kifejezik ezt a függőséget. A francia Bravais által korábban javasolt együtthatót javították. Ez az együttható mennyiségileg kifejezi két változó változó kapcsolatát, vagyis a korrelációt. Most ez az együttható az egyik nélkülözhetetlen eszközök többváltozós elemzés adatok, még a szimbólum is el lett mentve rövidítés: kis latin "g" az angolból kapcsolat- hozzáállás.

Még Cambridge-i diákként Francis Galton észrevette, hogy a matematika vizsgák sikeres teljesítési aránya záróvizsga, - több ezertől néhány száz pontig változik. Később, összekapcsolva ezt a tehetségek elosztásával, Galton arra az ötletre jutott, hogy speciális tesztek teszik lehetővé a jövő előrejelzését. életsikerek emberek. Tehát a 80-as években. A 19. században megszületett a Galton-féle vizsgálati módszer.

A tesztek ötletét a francia-A. Beat, V. Henri és mások, akik elkészítették az első teszteket a szociálisan retardált gyermekek kiválasztásához. Ez volt a pszichológiai tesztelés kezdete, ami viszont a pszichológiai mérések kifejlesztéséhez vezetett.

A teszteken végzett mérések numerikus eredményeinek nagy tömbjei - pontokban - számos tanulmány tárgyává váltak, beleértve a matematikai és pszichológiai vizsgálatokat is. Különleges szerepe van itt az Amerikában dolgozó angol mérnöknek - Charles Spearman

Először, C. Spearman, aki úgy vélte, hogy az egész pontszámok sorozatai vagy rangsorai közötti korreláció kiszámításához speciális mértékre van szükség, miután megpróbálta különböző változatok(Elolvastam terjedelmes cikkét az American Psychological Journal 1904-ben), végül megállapodtam a rangkorrelációs együttható azóta is az ő nevét viselő formájában.

Másodszor A tesztek számszerű eredményeinek nagy tömbjeivel és az eredmények közötti összefüggésekkel foglalkozva C. Spearman azt javasolta, hogy ezek a korrelációk egyáltalán nem fejezik ki az eredmények kölcsönös hatását, hanem egy közös látens mentális ok hatására fejtik ki együttes változékonyságukat, vagy tényező, például az intelligencia. Ennek megfelelően Spearman egy „általános” faktor elméletét javasolta, amely meghatározza a teszteredmény-változók együttes variabilitását, és kidolgozott egy módszert ennek a faktornak a korrelációs mátrix segítségével történő azonosítására. Ez volt az első módszer faktoranalízis, pszichológiában és pszichológiai célokra készült.

Ch. Spearman egytényezős elmélete gyorsan ellenfelekre talált. Az összefüggéseket magyarázó ellentétes, többtényezős elméletet Leon Thurstone javasolta. Az övé az első, a felhasználáson alapuló többtényezős elemzési módszer is lineáris algebra. C. Spearman és L. Thurstone után a faktoranalízis nemcsak a többdimenziós adatelemzés egyik legfontosabb matematikai módszere lett a pszichológiában, hanem messze túlmutat annak határain és általános tudományos módszer elemzés, adatok.

A 20. század 20-as évei óta a matematikai módszerek egyre inkább behatoltak a pszichológiába, és kreatívan alkalmazzák őket benne. A mérések pszichológiai elmélete intenzíven fejlődik. A Markov-lánc-apparátusra alapozva sztochasztikus tanulási modelleket fejlesztenek ki a viselkedéspszichológiában. Ronald Fisher készítette a biológiából varianciaanalízis a genetikai pszichológia fő matematikai módszerévé válik. Az automatikus vezérlés elméletéből és a Shannon információelméletből származó matematikai modelleket széles körben használják a mérnöki és Általános pszichológia. Ennek eredményeként modern tudományos pszichológia számos ágában jelentős mértékben matematizálódik. Ugyanakkor az újonnan megjelenő matematikai újításokat a pszichológusok gyakran kölcsönözik saját céljaikra. Például a megjelenés algoritmikus nyelv ellenőrzési problémákra javasolt és szinte azonnal felhasznált algoritmusok összeállítására a vasúti diszpécser tevékenységéhez.

Fel kell vetni a kérdést: mit speciális tulajdonságok a matematika rendelkezik, ha ugyanazokat a matematikai módszereket sikeresen alkalmazzák a különböző tudományokban. A kérdés megválaszolásakor a matematika tárgyához és tárgyaihoz kell fordulni.

Sok évszázadon át azt hitték, hogy a matematika tárgya minden, ami létezik - a természet benne tág értelemben. Az ókori matematikusok úgy vélték, hogy a matematikai formák isteni eredetűek. Így, Plató ideális eidosznak tekintették a geometrikus alakzatokat, vagyis a legmagasabb istenek által emberek általi másolásra létrehozott képeket, természetesen már nem abban tökéletes forma. Egy híres Pythagoras a számokban és bizonyos számkombinációkban a mennyei szférák előre megállapított harmóniáját látta.

Az emberek vallásos világképe évszázadok óta összekapcsolta a világ isteni teremtését matematikai eszközökkel, amelyekkel a természet törvényei kifejeződnek. Mélyen vallásos uram Isaac Newtonúgy vélte, hogy „a természet könyve a matematika nyelvén van megírva”, és természetfilozófiájában széles körben alkalmazta a matematikai módszereket.

Azt kell mondanunk, hogy még a világ isteni teremtésébe vetett hitét is feladva sok matematikus továbbra is a természetet a matematika tárgyának tekintette. Széles körben ismerjük az egyszerre adott megfogalmazást F. Engels: "A matematika tárgya az anyagi világ térbeli formái és mennyiségi viszonyai." Még ma is megtalálható ez a megfogalmazás az oktatási irodalomban. Igaz, a téma más értelmezései is megjelentek - mint minden dolog legelvontabb modelljei. De itt véleményünk szerint a matematika tárgya ismét egy szolgáltatási funkcióra szűkül - a modellezésre és ismét a tág értelemben vett természetre.

Felmerül a kérdés: helyes-e a teremtés gondolatának feladásával a természetet továbbra is a matematika tárgyának tekinteni? Végül is ez nem csak következetlen. A lényeg, hogy ugyanaz természeti törvény matematikailag többféleképpen kifejezhető, és a tudományos pontosság határain belül nem bizonyítható, hogy melyik kifejezés igaz. Ilyen például a logaritmikus Weber-Fechner törvény és a Stevens-féle hatványtörvény, amelyekről kimutatták, hogy bizonyos feltevések alapján egy bizonyos általánosított pszichofizikai törvény. Az a tény, hogy ugyanaz a matematikai módszer különböző tudományokból származó jelenségeket ír le, szintén nem a természet, mint a matematika tárgya mellett tanúskodik.

Tehát ha nem a természet, akkor mi a matematika tárgya? Válaszom kétségtelenül rendkívül meglepő lesz a fizikai és matematikai tudományok sok képviselője számára: a matematika tárgya saját terméke. matematikai objektumok, amelyből a matematika mint tudomány áll.

Matematikai objektum - ez egy termék emberi gondolat, amely az öt alapforma legalább egyikében valósul meg: verbális, grafikus, táblázatos, szimbolikus vagy elemző. Biztosan, ókori gondolkodó találhatna matematikai objektumok analógjait a természetben - geometriai formák, számok, amelyek valamilyen módon fizikailag megtestesültek (egyenes nádszál, öt kő stb.). De matematikai entitás elvonatkoztatni kellett az anyagi természeti formától. Csak ezután vált matematikaivá, nem pedig fizikaivá (biológiai stb.). És ezt csak egy ember teheti meg. Nemzedékek hosszú sorozata során - gyakorlati célból és érdeklődésből is - az emberek létrehozták a matematikai objektumok (beleértve a matematikai objektumok relációit és műveleteit is) azt a világát, amelyet matematikának neveznek.

A pszichológiához hasonlóan a matematika is hatalmas és viharos fejlődő terület tudás. De távolról sem homogén: nemcsak számos ágat, hanem „különböző matematikusokat” is magában foglal. Létezik „tiszta” és alkalmazott, „folyamatos” és diszkrét, „nem konstruktív” és konstruktív, formális-logikai és tartalmi matematika.

Talán, ahogyan nincs pszichológus, aki ismeri a pszichológia minden ágát, úgy nincs matematikus, aki ismerné a modern matematika minden ágát és területét. Hiszen még az enciklopédiák és segédkönyvek is, a klasszikus, hagyományos, mindenki számára közös rovatokkal együtt tartalmaznak különféle kiegészítő és korántsem új matematikai információkat. A matematikai elméletek és módszerek bősége és változatossága választási problémákat vet fel és gyakorlati használat határain túli matematika, beleértve a pszichológiát is. De erről majd beszélünk utolsó fejezet könyveket.

A matematika elvont természete és a tágabb értelemben vett természettől való függetlensége lehetővé teszi a matematikai módszerek alkalmazásának széles skáláját. Természetesen fontos, hogy a módszer megfelelő legyen ahhoz az objektumhoz, amelyre a vizsgálatot használják.

A felülvizsgálat befejezéséhez általános kérdéseket, térjünk ki arra, hogy mit értünk matematikai módszerek alatt.

Minden tudományban a tárgyán kívül léteznek e tudományban rejlő speciális módszerek. Így a vizsgálati módszer a modern pszichológiára jellemző. A benne alkalmazott megfigyelési, beszélgetési, kísérletezési stb. módszerek, amelyekről tankönyvek írnak, nem a pszichológiára jellemzőek, más tudományokban is széles körben alkalmazzák. Általában, ritka kivételektől eltekintve modern tudományos módszerek univerzálisak, és ahol csak lehetséges, használhatók.

Hasonló a helyzet a matematikával is. És bár a legtöbb matematikus meg van győződve a sajátosságról magától értetődő megközelítés, matematikai indukcióés bizonyítások, valójában mindezeket a módszereket a matematikán kívül is használják.

Amint azt már megjegyeztem, a matematikai objektumok olyan emberek szövegeiben és gondolataiban léteznek, akik egy, néhány vagy az öt alapvető formában – verbális, grafikus, táblázatos, szimbolikus és analitikus – gondolkodnak róluk. Ezek objektumok nevei, geometriai ábrák vagy rajzok és grafikonok, különféle táblázatok, objektumok szimbólumai, műveletek és kapcsolatok, és végül különféle képletek, amelyek az objektumok közötti kapcsolatokat fejezik ki. Tehát a matematikai módszerek matematikai objektumok létrehozására, átalakítására, mérésére és kiszámítására szolgáló szabályok vagy eljárások – a módszereknek csak négy fő típusa van. Mindegyik között vannak egyszerűek és összetettek, például két szám összegzése és egy korrelációs mátrix faktorálása. Az ötödik típus - a főbbek kombinációja - korlátlan lehetőségeket nyit az új tervezéshez matematikai módszerek bizonyos tudományos alkalmazásokhoz szükséges.

Végezetül megjegyzem, hogy számos módszer magában a matematikában szolgálati szerepet tölt be, mint például a tételek bizonyítása vagy az előadás bizonyos szigora, amelyet a matematikusok annyira szívesen fogadnak. Mert praktikus alkalmazások a matematikán kívüli matematikai módszerekre, beleértve a pszichológiát is, nincs szükség matematikai szigorra és finomságra: elfedik azoknak az eredményeknek a lényegét, amelyekben a matematikának a háttérben kell lennie, például a Weber-Fechner pszichofizikai törvény logaritmikus alapját.

2. kérdés A MATEMATIKA PSZICHOLÓGIAI ALKALMAZÁSÁNAK MÓDSZERTANI KÉRDÉSEI

Az alapfokú bölcsész végzettséggel rendelkező pszichológusok kritikusan viszonyulnak a matematikai módszerek pszichológiai alkalmazásához, és kételkednek azok hasznosságában. Érveik a következők: a matematikai módszereket olyan tudományokban hozták létre, amelyek objektumai összetettségükben nem hasonlíthatók össze a pszichológiai tárgyakkal; a pszichológia túlságosan specifikus a matematikához ahhoz, hogy bármi haszna legyen.

Az első érv bizonyos mértékig igaz. Ezért a pszichológiában jöttek létre olyan matematikai módszerek, amelyeket kifejezetten összetett objektumokra terveztek, például korrelációs és faktoranalízist. A második érv azonban nyilvánvalóan téves: a pszichológia semmivel sem specifikusabb, mint sok más, matematikát használó tudomány. És maga a pszichológia története is megerősíti ezt. Emlékezzünk vissza I. Herbart és M.-V. Drobish, és a modern pszichológia teljes fejlődési útja. Megerősít egy általános igazságot: a tudásterület akkor válik tudománnyá, amikor elkezdi alkalmazni a matematikát.

, Az egyéni szorongás egyéni, szubjektív és személyes megnyilvánulásairól // Ananyev Readings - 2003. St. Petersburg, St. Petersburg State University Publishing House. 58-59.

A pszichológiának mindig is sok bevándorlója volt természettudományok, a 20. században pedig - a műszaki tudományokból. A matematika területén jól felkészült migránsok természetesen alkalmazták a rendelkezésükre álló matematikát az új pszichológiai területen, anélkül, hogy kellően figyelembe vették volna a lényegeseket. pszichológiai sajátosságok, ami természetesen létezik a pszichológiában, mint minden tudományban. Ennek eredményeként in pszichológiai ágak Nagyon sok olyan matematikai modell jelent meg, amelyek tartalmilag nem megfelelőek. Ez különösen érvényes a pszichometriára és a mérnöki pszichológiára, de az általános, szociális és egyéb „népszerű” pszichológiai ágakra is.

A nem megfelelő matematikai formalizmusok elidegenítik a humanitárius-orientált pszichológusokat, és aláássák a matematikai módszerekbe vetett bizalmat. Eközben a migránsok a pszichológiához a természeti és műszaki tudományok Biztosak vagyunk abban, hogy a pszichológiát olyan szintre kell matematizálni, ahol a psziché lényege matematikailag kifejeződik. Úgy gondolják, hogy a matematikában elegendő módszer létezik pszichológiai felhasználás a pszichológusoknak pedig csak matematikát kell tanulniuk.

E nézetek alapja a matematika mindenhatóságának, úgyszólván papírral-tollal felfegyverzett téves elképzelése, ahogyan azt a pozitront a fizikában megjósolták.

A matematikai módszerek iránti minden tiszteletem, sőt szeretetem mellett azt kell mondanom, hogy a matematika nem mindenható; a tudományok közé tartozik, de tárgyainak absztraktsága miatt könnyen és hasznosan alkalmazható más tudományokra is. Valójában minden tudományban hasznos a számítás, és fontos a minták lakonikus szimbolikus formában történő bemutatása, vizuális diagramok és rajzok használata. A matematikán kívüli matematikai módszerek alkalmazása azonban a matematikai specifikum elvesztéséhez vezethet.

Az évszázadok mélyéről származó hiedelem, miszerint „a természet könyve a matematika nyelvén van írva”, a mindent és mindenkit teremtő Úristentől származik, oda vezetett, hogy a „természet könyve a matematika nyelvén van megírva” matematikai modellek", "matematikai módszerek" a közgazdaságtanban, biológiában, pszichológiában, fizikában, de hogyan létezhetnek matematikai modellek a fizikában? Hiszen kellenek és persze vannak matematika felhasználásával felépített fizikai modellek. És olyan fizikusok alkotják őket, akik jártasak a matematikában, vagy olyan matematikusok, akik jártasak a fizikában.

Röviden, be matematikai fizika matematikainak kell lennie fizikai modellekés módszerek, a matematikai pszichológiában pedig - matematikai-pszichológiai. Egyébként a „matematikai modellek” hagyományos változatában a matematikai redukcionizmus megy végbe.

A redukcionizmus általában a matematikai kultúra egyik alapja: mindig csökkentse az ismeretlent, új feladat ismertre, és bevált módszerekkel oldja meg. A matematikai redukcionizmus az, ami a pszichológiában és más tudományokban gyengén megfelelő modellek megjelenését okozza.

Egészen a közelmúltig elterjedt volt a pszichológusaink körében az a vélemény, hogy a pszichológusok fogalmazzanak meg feladatokat olyan matematikusok számára, akik meg tudják oldani azokat. Ez a vélemény nyilvánvalóan téves: csak a szakemberek tudnak konkrét problémákat megoldani, de vajon a matematikusok is ilyenek a pszichológiában. Megkockáztatom, hogy a matematikusok is nehezen döntenek pszichológiai feladatok, mint pszichológusok - matematikai problémák: elvégre azt a tudományterületet kell tanulmányozni, amelyhez a probléma kapcsolódik, ehhez pedig évekre van szükség, és érdeklődni kell az „idegen” iránt. tudományos terület, amelyben egyéb kritériumok tudományos eredményeket. Így a tudományos rétegződéshez a matematikusnak „matematikai” felfedezéseket kell tennie és új tételeket kell bizonyítania. Mi köze ehhez a pszichológiai feladatoknak? Ezeket maguknak a pszichológusoknak kell megoldaniuk, akiknek meg kell tanulniuk megfelelő matematikai módszereket használni. Így ismét visszatérünk a matematikai módszerek pszichológiában való megfelelőségének és hasznosságának kérdéséhez.

Nemcsak a pszichológiában, de minden tudományban a matematika hasznossága abban rejlik, hogy módszerei lehetőséget adnak a mennyiségi összehasonlításra, a lakonikus szimbolikus értelmezésekre, az előrejelzések és döntések érvényességére, az ellenőrzési szabályok kifejtésére. De mindez az alkalmazott matematikai módszerek megfelelőségétől függ.

Megfelelőség- ez megfeleltetés: a módszernek meg kell felelnie a tartalomnak, és meg kell felelnie abban az értelemben, hogy a nem matematikai tartalom matematikai eszközökkel történő leképezése homomorf. Például a közönséges halmazok nem alkalmasak a kognitív folyamatok leírására: nem tükrözik a szükséges ismétlések gyakoriságát. Itt csak a multiset lesz megfelelő. Az olvasó, aki megismerte a szöveg tartalmát előző fejezetek Könnyen megérti, hogy a figyelembe vett matematikai módszerek általában megfelelőek pszichológiai alkalmazásokhoz, de a részletekben a megfelelőséget konkrétan kell értékelni.

Az általános szabály: ha pszichológiai tárgy véges tulajdonsághalmaz jellemzi, akkor egy megfelelő módszer a teljes halmazt megjeleníti, és ha valami nem jelenik meg, akkor az adekvátság csökken. Így az adekvátság mértéke a módszer által megjelenített értelmes tulajdonságok száma. Ebben az esetben két körülmény fontos: a versengő, egyenértékű alkalmazási módszerek megléte, valamint az eredmények kölcsönös verbális-szimbolikus, táblázatos, grafikus és elemző megjelenítésének lehetősége.

A versengő módszerek közül a legegyszerűbbet vagy a legérthetőbbet kell választani, és célszerű ellenőrizni az eredményt különböző módszerek. Például, varianciaanalízisés egy kísérlet matematikai tervezésével ésszerűen azonosíthatóak a függőségek a tudományban.

Nem szabad egy vagy két matematikai formára korlátozni magát, úgy tűnik (és ez mindig létezik), mindegyiket használni, bizonyos redundanciát teremtve az eredmények matematikai leírásában.

A matematikai módszerek konkrét alkalmazásának legfontosabb feltétele a megértésük mellett természetesen az értelmes és formális értelmezés. A pszichológiában négyféle értelmezést kell megkülönböztetni és végrehajtani; pszichológiai-pszichológiai, pszichológiai-matematikai, matematikai-matematikai és (inverz) matematikai-pszichológiai. Ciklusba szerveződnek.

Bármilyen kutatás ill gyakorlati probléma a pszichológiában először pszichológiai és pszichológiai értelmezéseknek vetik alá, amelyek révén az elméleti nézetektől a működésileg meghatározott fogalmak és empirikus eljárások felé haladnak. Ezután a pszichológiai és matematikai értelmezések sora következik, amelyek segítségével kiválasztják és megvalósítják az empirikus kutatás matematikai módszereit. A kapott adatokat fel kell dolgozni, és a feldolgozás során matematikai és matematikai értelmezéseket kell végezni. Végül a feldolgozás eredményeit értelmesen kell értelmezni, azaz matematikai-pszichológiai interpretációt végezni a szignifikanciaszintekről, közelítő függőségekről stb. A ciklus lezárul, és vagy megoldódik a probléma, és át lehet lépni egy másikra, vagy szükséges az előző tisztázása és a vizsgálat megismétlése. Ez a cselekvési logika a matematika alkalmazásában – és nem csak a pszichológiában, hanem más tudományokban is.

És egy utolsó dolog. Lehetetlen alaposan áttanulmányozni a könyvben tárgyalt összes matematikai módszert a jövőbeli felhasználás érdekében, egyszer s mindenkorra. Elég elsajátítani bármelyiket összetett módszerek sok tucat, sőt több száz edzési kísérletre van szükség. De meg kell ismerkedni a módszerekkel, és meg kell próbálni általánosságban megérteni őket a későbbi felhasználás érdekében, a részletekkel pedig a későbbiekben szükség szerint megismerkedhetsz.

3. kérdés Matematikai pszichológia

3.1. Bevezetés

Matematikai pszichológia - ez a szakasz elméleti pszichológia, amelyet elméletek és modellek felépítésére használnak matematikai berendezés.

„A matematikai pszichológia keretein belül meg kell valósítani az absztrakt analitikus kutatás elvét, amelyben nem a szubjektív valóságmodellek konkrét tartalmát vizsgálják, hanem általános formákés a mentális tevékenység mintái" [Krylov, 1995].

A matematikai pszichológia tárgya : természetes rendszerek pszichés tulajdonságokkal rendelkezik; jelentőségteljes pszichológiai elméletekés az ilyen rendszerek matematikai modelljei. Tétel - formális apparátus kialakítása és alkalmazása mentális tulajdonságokkal rendelkező rendszerek megfelelő modellezésére. Módszer - matematikai modellezés.

A pszichológia matematizálásának folyamata attól a pillanattól kezdve kezdődött, hogy kísérleti tudományágként azonosították. Ez a folyamat végbemegy szakaszok sorozata.

Első - matematikai módszerek alkalmazása a kísérleti kutatások eredményeinek elemzésére és feldolgozására, valamint egyszerű törvényszerűségek levezetésére ( késő XIX V. - XX. század eleje). Ez a tanulás törvényének, a pszichofizikai törvénynek és a faktoranalízis módszerének kialakulásának ideje.

Második (40-50-es évek) - modellek készítése mentális folyamatokés az emberi viselkedés egy korábban kifejlesztett matematikai apparátus segítségével.

Harmadik (60-as évektől napjainkig) - a matematikai pszichológia külön tudományággá válása, amelynek fő célja a mentális folyamatok modellezésére és a pszichológiai kísérletekből származó adatok elemzésére szolgáló matematikai apparátus kifejlesztése.

Negyedik még nem érkezett meg a színpad. Ezt az időszakot az elméleti pszichológia megjelenése és a matematikai pszichológia elsorvadása kell jellemeznie.

A matematikai pszichológiát gyakran a matematikai módszerekkel azonosítják, ami téves. A matematikai pszichológia és a matematikai módszerek ugyanúgy viszonyulnak egymáshoz, mint az elméleti és a kísérleti pszichológia.

3.2. Fejlődéstörténet

A „matematikai pszichológia” kifejezést a „Matematical Psychology kézikönyv” megjelenésével kezdték használni 1963-ban az Egyesült Államokban. Ugyanebben az évben kezdett itt megjelenni a Journal of Mathematical Psychology.

Az IP RAS Matematikai Pszichológiai Laboratóriumában végzett munka elemzése lehetővé tette számunkra, hogy kiemeljük fő trendeka matematikai pszichológia fejlesztése.

A 60-70-es években. A tanulás, a memória, a jelfelismerés, a viselkedés és a döntéshozatal modellezésére irányuló munka széles körben elterjedt. Kidolgozásukhoz a valószínűségi folyamatok matematikai apparátusát, a játékelméletet, a hasznosságelméletet stb matematikai elmélet kiképzés. A leghíresebb modellek R. Bush, F. Mosteller, G. Bauer, V. Es-tes, R. Atkinson. (A következő években csökkent a témával foglalkozó munkák száma.) Számos matematikai modell jelenik meg a pszichofizikában, például S. Stevens, D. Ekman, Y. Zabrodin, J. Swets, D. Green, M. Mikhailevskaya, R. Lewis (lásd a 3.1. szakaszt). A csoportmodellezésről szóló munkákban és egyéni viselkedés, többek között a bizonytalan helyzetekben hasznossági elméleteket, játékokat, kockázati és sztochasztikus folyamatokat alkalmaztak. Ezek J. Neumann, M. Csetlin, V. Krylov, A. Tverskoy, R. Lewis modelljei. A vizsgált időszakban az alapvető mentális folyamatok globális matematikai modelljei születtek.

A 80-as évekig tartó időszakban. megjelennek a pszichológiai mérésekkel foglalkozó első munkák: faktoranalízis módszerei, axiomatika és mérési modellek fejlesztése folyik, különféle besorolások skálák, folyamatban van az adatok osztályozási és geometriai ábrázolási módszereinek kidolgozása,

a modellek egy nyelvi változó alapján épülnek fel (L. Zadeh).

A 80-as években Speciális figyelem a különböző elméletek axiomatikájának fejlesztésével kapcsolatos modellek tisztázása és fejlesztése.

A pszichofizikában Ez: modern elmélet jelfelismerés (D. Svete, D. Green), szenzoros terek szerkezete (Yu. Zabrodin, Ch. Izmailov), véletlenszerű séták (R. Lewis, 1986), Link-diszkrimináció stb.

A modellezés területén csoportos és egyéni viselkedés vizsgálata : döntési és cselekvési modell pszichomotoros aktusokban (G. Korenev, 1980), célirányos rendszer modellje (G. Korenev), A. Tverskoy preferencia „fái”, tudásrendszer modelljei (J. Greeno), valószínűségi tanulási modell (A. Drynkov, 1985), viselkedésmodell a diádikus interakcióban (T. Savchenko, 1986) folyamatmodellezés információk keresése és előhívása a memóriából (R. Shifrin, 1974), döntési stratégiák modellezése a tanulási folyamatban (V. Venda, 1982) stb.

Méréselméletben:

a többdimenziós skálázás (MS) számos modellje, amelyekben hajlamos csökkenni az összetett rendszerek leírásának pontossága - preferencia modellek, nem metrikus skálázás, skálázás pszeudoeuklideszi térben, MS „fuzzy” halmazokon (R. Shepard , K. Coombs, D. Kruskal, V. Krylov, G. Golovina, A. Drynkov);

Osztályozási modellek: hierarchikus, dendritikus, „fuzzy” halmazokon (A. Drynkov, T. Savchenko, V. Pljuta);

Megerősítő elemzési modellek, amelyek lehetővé teszik a kísérleti kutatások végzésének kultúrájának megteremtését;

Matematikai modellezés alkalmazása a pszichodiagnosztikában (A. Anastasi, P. Kline, D. Kendall, V. Druzhinin)

A 90-es években A mentális folyamatok globális matematikai modelljei gyakorlatilag nincsenek kidolgozva, azonban a pontosítással és kiegészítéssel foglalkozó munkák száma jelentősen növekszik meglévő modellek, a méréselmélet és a tesztkonstrukció elmélete továbbra is intenzíven fejlődik; új, a valóságnak megfelelőbb skálákat fejlesztenek ki (D. Lewis, P. Suppes, A. Tversky, A. Marley); A modellezés szinergetikus megközelítését széles körben bevezetik a pszichológiába.

Ha a 70-es években. A matematikai pszichológiával foglalkozó művek főként az USA-ban jelentek meg, majd a 80-as években Oroszországban rohamosan fejlődött, ami sajnos mára érezhetően visszaesett az alaptudományok elégtelen finanszírozása miatt.

A legtöbb jelentős modellek megjelent a 70-es években és a 80-as évek elején, tovább kiegészítették és pontosították. A 80-as években A méréselmélet intenzíven fejlődött. Ez a munka ma is folytatódik. Különösen fontos, hogy a többváltozós elemzés számos módszerét megkapták széles körű alkalmazás kísérleti vizsgálatokban; Számos program létezik kifejezetten a pszichológusoknak a pszichológiai tesztek adatainak elemzésére.

AZ USA-BAN nagy figyelmet a modellezés tisztán matematikai kérdéseivel foglalkozik. Ezzel szemben Oroszországban a matematikai modellek gyakran nem rendelkeznek kellő szigorral, ami a valóság nem megfelelő leírásához vezet.

Matematikai modellek a pszichológiában. A matematikai pszichológiában két irányt szokás megkülönböztetni: a matematikai modelleket és a matematikai módszereket. Megtörtük ezt a hagyományt, mert úgy gondoljuk, hogy nincs szükség az adatelemzési módszerek külön kiemelésére pszichológiai kísérlet. Modellek felépítésének eszközei: osztályozás, látens struktúrák, szemantikai terek stb.

3.3. Pszichológiai mérések

A matematikai módszerek és modellek alkalmazása bármely tudományban a mérésen alapul. A pszichológiában a mérés tárgyai a mentális rendszer vagy alrendszereinek tulajdonságai, mint például az észlelés, a memória, a személyiség orientáció, a képességek stb. A mérés a tárgyakhoz való hozzárendelés. számértékek, amely egy adott objektumban egy tulajdonság jelenlétének mértékét tükrözi.

1. Kör. 2Körméret hívott locus egy fix ponttól egyenlő távolságra lévő pontok, amelyeket a kör középpontjának neveznek. A kör tetszőleges pontjától a középpontig mért távolságot nevezzük a kör sugara.

g Ha a kör középpontja pontban van, a sugár pedig az R, akkor a kör egyenlete a következő alakú:

4Jelöljön (3.5. ábra) egy tetszőleges pontot a körön. A két áram közötti távolság képletével (3.1) és a kör definíciójával kapjuk: . A kapott egyenlőség négyzetre emelésével a (3.13) képletet kapjuk.3

2. Ellipszis. 2 Ellipszis azoknak a pontoknak a helye, amelyeknek két fix ponttól való távolságának összege, úgynevezett fókuszpont, állandó érték.

Az ellipszis kanonikus (legegyszerűbb) egyenletének levezetéséhez a tengelyt vesszük Ökör gócokat összekötő egyenes vonal F 1 és F 2. A gócok legyenek szimmetrikusak az origóhoz képest, azaz. koordinátái lesznek: és . Itt a 2 Val vel jelzi a gócok közötti távolságot. Jelöljük azzal xÉs y tetszőleges pont koordinátái M ellipszis (3.6. ábra). Ekkor az ellipszis definíciója szerint a ponttól mért távolságok összege M pontokhoz F 1 és F A).

A (3.14) egyenlet egy ellipszis egyenlete. Egyszerűsítsünk adott egyenlet, megszabadulni négyzetgyök. Ehhez mozgassa az egyik gyököt ide jobb oldal egyenlőség (3.14), és a kapott egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük:

Az utolsó egyenlőség négyzetre emelésével kapjuk

Osszuk fel mindkét részt:

.

Mivel az ellipszis egy tetszőleges pontjától a fókuszpontjaiig mért távolságok összege nagyobb távolság fókuszok között, azaz. 2 A > 2c, Azt .

Jelöljük azzal b 2. Ekkor az ellipszis legegyszerűbb (kanonikus) egyenlete a következő lesz:

ahol lennie kell

A koordinátatengelyek az ellipszis szimmetriatengelyei, egyenlet adja meg(3,15). Valóban, ha egy pont aktuális koordinátákkal ( x; y) az ellipszishez tartozik, akkor az előjelek tetszőleges kombinációjához tartozó pontok az ellipszishez tartoznak.

2Az ellipszis szimmetriatengelyét, amelyen a gócok találhatók, fókusztengelynek nevezzük. Az ellipszis és szimmetriatengelyeinek metszéspontjait az ellipszis csúcsainak nevezzük. Helyettesítés x= 0 vagy y= 0 az ellipszis egyenletében megtaláljuk a csúcsok koordinátáit:

A 1 (a; 0), A 2 (– a; 0), B 1 (0; b), B 2 (0; – b).

2 Szegmensek A 1 A 2 és B 1 B 2 összeköti az ellipszis ellentétes csúcsait, valamint azok hosszát 2 aés 2 b, az ellipszis nagy- és kistengelyének nevezzük. Számok aÉs b, az ellipszis nagy-, illetve kis féltengelyének nevezzük.

2Az ellipszis excentricitása a fókuszpontok közötti távolság aránya (2 Val vel) a főtengelyhez (2 a), azaz

Mert AÉs Val vel pozitívak, és c < a, akkor az ellipszis excentricitása Nulla felett, de egynél kevesebb ().

Ha az ellipszis gócai a tengelyen helyezkednek el Oy(3.7. ábra), akkor az ellipszis egyenlete ugyanaz marad, mint az előző esetben:

Azonban ebben az esetben a féltengely b több lesz mint a(az ellipszis a tengely mentén meghosszabbodik Oy). A (3.16) és (3.17) képlet a következő változásokon megy keresztül:

3. Hiperbola. 2Túlzás azoknak a pontoknak a helye, amelyeknek két fix ponttól való távolságkülönbség modulusa, úgynevezett fókuszpont, állandó érték.

Kimenet kanonikus egyenlet hiperbolákat ugyanúgy, mint az ellipszis esetében. A tengely mögött Ökör a gócokat összekötő egyenest fogadjuk el F 1 és F 2 (3.8. ábra). A gócok legyenek szimmetrikusak az origóhoz képest, azaz. koordinátái lesznek: és . 2-ben Val vel, mint korábban, a gócok közötti távolság látható.

Jelöljük ( x; y M túlzás. Ekkor a hiperbola definíciója szerint a távolságok különbsége egy ponttól M pontokhoz F 1 és F 2 egyenlő egy állandóval (ezt az állandót 2-vel jelöljük A).

Az ellipszis egyenletének egyszerűsítésére használthoz hasonló transzformációkat végrehajtva a hiperbola kanonikus egyenletéhez jutunk:

, (3.21)
ahol lennie kell

A koordinátatengelyek a hiperbola szimmetriatengelyei.

2A hiperbola szimmetriatengelyét, amelyen a gócok találhatók, fókusztengelynek nevezzük. A hiperbola és a szimmetriatengelyek metszéspontjait a hiperbola csúcsainak nevezzük. Tengellyel Oy a hiperbola nem metszi egymást, mert az egyenletnek nincs megoldása. Helyettesítés y= 0 a (3.21) egyenletbe, akkor megtaláljuk a hiperbola csúcsainak koordinátáit: A 1 (a; 0), A 2 (– a; 0).

2 2. szegmens a, melynek hossza megegyezik a hiperbola csúcsai közötti távolsággal, a hiperbola valós tengelyének nevezzük. 2. szakasz b a hiperbola képzeletbeli tengelyének nevezzük. Számok aÉs b, a hiperbola valós, illetve képzeletbeli féltengelyének nevezzük.

Bizonyítható, hogy egyenesek

a hiperbola aszimptotái, azaz. olyan egyenesek, amelyekhez a hiperbola pontjai korlátlanul közelednek, amikor korlátlanul távolodnak az origótól ().

2A hiperbola excentricitása a gócok közötti távolság aránya (2 Val vel) Nak nek valódi tengely (2a), azaz, mint egy ellipszis esetében

Az ellipszissel ellentétben azonban a hiperbola excentricitása nagyobb, mint egy.

Ha a hiperbola gócai a tengelyen helyezkednek el Oy, akkor a hiperbola-egyenlet bal oldalán az előjelek az ellenkezőjére változnak:

. (3.25)

Ebben az esetben a féltengely b valódi lesz, és a féltengely a– képzeletbeli. A hiperbola ágai szimmetrikusak lesznek a tengely körül Oy(3.9. ábra). A (3.22) és (3.23) képlet nem változik, a (3.24) képlet így fog kinézni a következő módon:

4. Parabola. Parabola egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helye, amelyet fókusznak nevezünk, és egy adott egyenestől, amelyet irányítónak nevezünk (feltételezzük, hogy a fókusz nem az irányítóponton fekszik).

Egy parabola legegyszerűbb egyenletének összeállításához a tengelyt vesszük Ökör egy egyenes vonal, amely áthalad a fókuszán, merőlegesen a direktrixre, és a direktrixtől a fókusz felé irányul. A szakasz közepét vesszük a koordináták origójának O fókuszból F lényegre törő A tengely metszéspontjai Ökör az igazgatónővel. Szakasz hossza A.F.által jelölve pés a parabola paraméterének nevezzük.

Ebben a koordinátarendszerben a pontok koordinátái AÉs F lesz, illetve , . A parabola irányítószámának egyenlete a következő lesz. Jelöljük ( x; y) tetszőleges pont koordinátái M parabolák (3.10. ábra). Ezután a parabola definíciója szerint:

. (3.27)

Nézzük négyzetre a (3.27) egyenlőség mindkét oldalát:

, vagy

, ahol

1. Másodrendű vonalak az euklideszi síkon.

2. Másodrendű egyenes egyenletek invariánsai.

3. A másodrendű egyenesek típusának meghatározása az egyenlete invariánsaiból.

4. Másodrendű sorok az affin síkon. Egyediség tétel.

5. Másodrendű vonalak középpontjai.

6. Másodrendű vonalak aszimptotái és átmérői.

7. A másodrendű egyenesek egyenleteinek a legegyszerűbbre redukálása.

8. A másodrendű vonalak fő irányai és átmérői.

BIBLIOGRÁFIA

1. Másodrendű sorok az euklideszi síkban.

Meghatározás:

Euklideszi sík 2-es dimenziójú tér,

(kétdimenziós valós tér).

A másodrendű vonalak metszésvonalak körkúp csúcsán át nem menő síkokkal.

Ezek a sorok gyakran megtalálhatók különféle kérdéseket természettudományok. Például a mozgás anyagi pont a központi gravitációs mező hatása alatt ezen vonalak egyike mentén történik.

Ha a vágási sík a kúp egy üregének összes egyenes vonalú generatricáját metszi, akkor a metszet egy ún. ellipszis(1.1. ábra, a). Ha a vágási sík metszi a kúp mindkét üregének generatricáit, akkor a szakasz egy ún. túlzás(1.1.,6. ábra). És végül, ha a vágási sík párhuzamos a kúp egyik generátorával (1.1, V- ez a generátor AB), akkor a szakasz egy sor nevű sort fog előállítani parabola. Rizs. 1.1 ad vizuális ábrázolás a vizsgált vonalak alakjáról.

1.1. ábra

A másodrendű sor általános egyenlete következő nézet:

(1)

(1*)

Ellipszis a síkon azon pontok halmaza, amelyeknél a távolságok összege kettőhöz fix pontok F 1 És F 2 ez a gócoknak nevezett sík állandó érték.

Ebben az esetben nem kizárt az ellipszis gócainak egybeesése. Magától értetődően ha a gócok egybeesnek, akkor az ellipszis egy kör.

Az ellipszis kanonikus egyenletének levezetéséhez az O origót választjuk Descartes-rendszer koordináták a szakasz közepén F 1 F 2 , és a tengelyek ÓÉs OU Irányítsuk az ábrán látható módon. 1.2 (ha trükkök F 1 És F 2 egybeesik, akkor O egybeesik F 1 És F 2, és a tengelyhez Ó bármilyen áthaladó tengelyt vehet RÓL RŐL).

Legyen a szakasz hossza F 1 F 2 F 1 És F 2 rendre (-с, 0) és (с, 0) koordinátákkal rendelkezik. Jelöljük azzal 2a az ellipszis definíciójában hivatkozott állandó. Nyilvánvalóan 2a > 2c, azaz. a > c ( Ha M- az ellipszis pontja (lásd 1.2. ábra), akkor | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 a , és mivel két oldal összege M.F. 1 És M.F. 2 háromszög M.F. 1 F 2 több harmadik fél F 1 F 2 = 2c, majd 2a > 2c. Természetes, hogy a 2a = 2c esetet kizárjuk, hiszen akkor a pont M szegmensen található F 1 F 2 és az ellipszis szegmenssé fajul. ).

Hadd M- a sík pontja koordinátákkal (x, y)(1.2. ábra). Jelöljük r 1 és r 2 -vel a pont távolságait M pontokhoz F 1 És F 2 illetőleg. Az ellipszis definíciója szerint egyenlőség

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

szükséges és elégséges feltétele az M (x, y) pont adott ellipszisen való elhelyezkedésének.

A két pont távolságának képletével azt kapjuk, hogy

(1.2)

Az (1.1)-ből és (1.2)-ből az következik, hogy hányados

(1.3)

szükséges és elégséges állapot az x és y koordinátákkal rendelkező M pont elhelyezkedése egy adott ellipszisen. Ezért az (1.3) relációt úgy tekinthetjük, mint ellipszis egyenlet. A „gyökök elpusztításának” standard módszerével ez az egyenlet a formára redukálódik

(1.4) (1.5)

Mivel az (1.4) egyenlet az algebrai következmény ellipszis egyenlet (1.3), majd a koordináták x és y bármely ponton M ellipszis is kielégíti az (1.4) egyenletet. Mivel a gyökök megszabadulásával kapcsolatos algebrai transzformációk során „többletgyökök” jelenhetnek meg, ügyelnünk kell arra, hogy minden pont M, amelynek koordinátái kielégítik az (1.4) egyenletet, ezen az ellipszisen található. Ehhez nyilvánvalóan elegendő annak bizonyítása, hogy az r értékei 1 és r 2 minden pontra kielégíti az (1.1) összefüggést. Tehát hagyjuk a koordinátákat xÉs nál nél pontokat M teljesítsük az (1.4) egyenletet. Az érték helyettesítése 2-kor(1.4)-ből az (1.2) kifejezés jobb oldalára r 1 esetén egyszerű transzformációk után azt találjuk, hogy

, Akkor .

Pontosan ugyanígy találjuk azt is

. Így a kérdéses ponthoz M , (1.6)

azaz r 1 + r 2 = 2a,és ezért az M pont egy ellipszisen helyezkedik el. Az (1.4) egyenletet nevezzük ellipszis kanonikus egyenlete. Mennyiségek AÉs b ennek megfelelően hívják az ellipszis nagy és kis féltengelyei(a „nagy” és „kicsi” elnevezést az magyarázza, hogy a>b).

Megjegyzés. Ha az ellipszis féltengelyei AÉs b egyenlőek, akkor az ellipszis egy kör, amelynek sugara egyenlő R = a = b, és a középpont egybeesik az origóval.

Túlzás azon pontok halmaza a síkon, amelyekre abszolút érték két fix pont távolságának különbsége, F 1 És F 2 ennek a síknak, az úgynevezett fókusznak van egy állandó értéke ( Trükkök F 1 És F 2 természetes, hogy a hiperbolákat különbözőnek tekintjük, mert ha a hiperbola definíciójában megadott állandó nem egyenlő nullával, akkor a síknak nincs egyetlen pontja sem, ha egybeesnek. F 1 És F 2 , amely kielégítené a hiperbola meghatározásához szükséges követelményeket. Ha ez az állandó nulla és F 1 egybeesik F 2 , akkor a sík bármely pontja kielégíti a hiperbola definíciójának követelményeit. ).

A hiperbola kanonikus egyenletének levezetéséhez választjuk ki a koordináták origóját a szakasz közepén F 1 F 2 , és a tengelyek ÓÉs OU Irányítsuk az ábrán látható módon. 1.2. Legyen a szakasz hossza F 1 F 2 egyenlő 2s. Ezután a kiválasztott koordináta-rendszerben a pontokat F 1 És F 2 rendre (-с, 0) és (с, 0) koordinátái vannak. Jelöljük 2-vel A a hiperbola definíciójában hivatkozott állandó. Nyilvánvalóan 2a< 2с, т. е. a < с. Meg kell győződnünk arról, hogy az (1.9) egyenlet, amelyet a algebrai transzformációk az (1.8) egyenlet nem kapott új gyökereket. Ehhez elég ezt minden pontnál bizonyítani M, koordináták xÉs nál nél amelyek kielégítik az (1.9) egyenletet, az r 1 és r 2 értékei kielégítik az (1.7) összefüggést. Az (1.6) képletek levezetése során megfogalmazottakhoz hasonló érveket végrehajtva a következő kifejezéseket találjuk a számunkra érdekes r 1 és r 2 mennyiségekre:

(1.11)

Így a kérdéses ponthoz M nekünk van

, és ezért egy hiperbolán helyezkedik el.

Az (1.9) egyenletet nevezzük a hiperbola kanonikus egyenlete. Mennyiségek AÉs b valósnak, illetve képzeletbelinek nevezzük a hiperbola féltengelyei.

Parabola a sík azon pontjainak halmaza, amelyek távolsága valamely fix ponttól F ez a sík egyenlő egy rögzített egyenes távolságával, amely szintén a vizsgált síkban található.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete