A racionális törtek egyszerűbbre bontásának módszerei. Személyes adatok védelme

Alapvető tulajdonságukon alapul: ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla polinommal osztjuk el, akkor egyenlő törtet kapunk.

Csak a szorzót csökkentheti!

A polinomok tagjai nem rövidíthetők!

Az algebrai tört csökkentéséhez először a számlálóban és a nevezőben lévő polinomokat faktorizálni kell.

Nézzünk példákat a törtek csökkentésére.

A tört számlálója és nevezője monomokat tartalmaz. Ők képviselik munka(számok, változók és hatványaik), szorzók csökkenthetjük.

A számokat a legnagyobbra csökkentjük közös osztó, azaz a legnagyobb szám, amellyel ezek a számok el vannak osztva. 24 és 36 esetén ez 12. A csökkentés után 2 marad a 24-ből, és a 3 a 36-ból.

A fokokat a legalacsonyabb indexű fokkal csökkentjük. A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk ugyanazzal az osztóval, és kivonjuk a kitevőket.

a² és a⁷ a²-re redukálódnak. Ebben az esetben egy marad az a² számlálójában (csak abban az esetben írunk 1-et, ha redukció után nem marad más tényező. 24-ből 2 marad, tehát a²-ből nem írunk 1-et). A7-ből a redukció után a5 marad.

b-t és b-t b-vel csökkentjük;

c3º és c5 lerövidül c5-re. Ami a c³º-ból megmarad, az c²⁵, a c⁵-ből egy (nem írjuk). És így,

Ennek az algebrai törtnek a számlálója és nevezője polinomok. Nem törölheti a polinomok feltételeit! (nem csökkentheti pl. 8x² és 2x!). Ennek a törtrésznek a csökkentéséhez szükséges. A számlálónak van közös szorzó 4x. Vegyük ki a zárójelből:

A számlálónak és a nevezőnek is ugyanaz a tényezője (2x-3). Ezzel a tényezővel csökkentjük a törtet. A számlálóban 4x-et kaptunk, a nevezőben - 1. 1 tulajdonságra algebrai törtek, a tört 4x.

Csak a tényezőket csökkentheti (ezt a törtet nem csökkentheti 25x²-el!). Ezért a tört számlálójában és nevezőjében szereplő polinomokat faktorizálni kell.

A számláló az összeg teljes négyzete, a nevező a négyzetek különbsége. A rövidített szorzási képletekkel végzett bontás után a következőket kapjuk:

A törtet csökkentjük (5x+1) (ehhez a számlálóban kitevőként húzzuk ki a kettőt, így marad (5x+1)² (5x+1)):

A számláló közös tényezője 2, ezt vegyük ki a zárójelből. A nevező a kockák különbségének képlete:

A bővítés eredményeként a számláló és a nevező azonos tényezőt kapott (9+3a+a²). Ezzel csökkentjük a törtet:

A számlálóban lévő polinom 4 tagból áll. az első tagot a másodikkal, a harmadikat a negyedikkel, és távolítsa el az x² közös tényezőt az első zárójelekből. A nevezőt a kockaösszeg képlettel bontjuk:

A számlálóban vegyük ki a közös tényezőt (x+2) a zárójelekből:

Csökkentse a törtet (x+2-vel):

Kezdjük néhány meghatározással. Polinom n-edik fokozat(vagy n-edik rendű) a $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) formájú kifejezést fogjuk meghívni )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Például a $4x^(14)+87x^2+4x-11$ kifejezés egy polinom, amelynek foka $14$. A következőképpen jelölhető: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Két polinom $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ arányát ún. racionális funkció vagy racionális tört. Pontosabban, ez az racionális funkció egy változó (azaz $x$ változó).

A racionális tört ún helyes, ha $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В másképp(ha $n ≥ m$) a tört meghívásra kerül rossz.

1. számú példa

Jelölje meg, hogy az alábbi törtek közül melyik a racionális! Ha a tört racionális, akkor derítse ki, hogy helyes-e vagy sem.

1. $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
2. $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
3. $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
4. $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) Ez a tört nem racionális, mert $\sin x$-t tartalmaz. A racionális tört ezt nem teszi lehetővé.

2) Megvan a két polinom aránya: $5x^2+3x-8$ és $11x^9+25x^2-4$. Ezért a definíció szerint a $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ kifejezés racionális tört. Mivel a polinom fokszáma a számlálóban $2$, a polinom mértéke pedig a nevezőben egyenlő $9$-val, akkor adott tört helyes (mert 2 dollár< 9$).

3) Ennek a törtnek a számlálója és nevezője is polinomokat tartalmaz (tényezős). Számunkra teljesen mindegy, hogy a számláló és a nevező polinomokat milyen formában jelenítjük meg: faktorizáltak-e vagy sem. Mivel két polinom aránya van, ezért a definíció szerint a $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ racionális tört.

Annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy egy adott tört helyes-e, meg kell határozni a polinomok hatványait a számlálóban és a nevezőben. Kezdjük a számlálóval, azaz. a $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$ kifejezésből. Ennek a polinomnak a mértékének meghatározásához természetesen kinyithatja a zárójeleket. Sokkal egyszerűbb azonban racionálisan cselekedni, mert minket csak az érdekel legnagyobb foka$x$ változó. Minden zárójelből a legnagyobb mértékben kiválasztjuk a $x$ változót. A $(2x^3+8x+4)$ zárójelből $x^3$, a $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ zárójelből $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$, és a $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ zárójelből a $x^7$-t választjuk. Ezután a zárójelek megnyitása után a $x$ változó legnagyobb hatványa a következő lesz:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$

A számlálóban található polinom foka $46$. Most térjünk rá a nevezőre, azaz. a $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$ kifejezésre. Ennek a polinomnak a fokát ugyanúgy határozzuk meg, mint a számlálónál, azaz.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$

A nevező 41-es fokú polinomot tartalmaz. Mivel a polinom fokszáma a számlálóban (azaz 46) nem kisebb, mint a polinom fokszáma a nevezőben (azaz 41), ezért a racionális tört $\frac((2x^3+8x+4)(8x) ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ hibás.

4) A $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ tört számlálója tartalmazza a $3$ számot, azaz. polinom nulla fok. Formálisan a számláló a következőképpen írható fel: $3x^0=3\cdot1=3$. A nevezőben van egy polinom, amelynek mértéke $6\cdot 4=24$. Két polinom aránya racionális tört. 0 dollár óta< 24$, то данная дробь является правильной.

Válasz: 1) a tört nem racionális; 2) racionális tört (helyes); 3) racionális tört (szabálytalan); 4) racionális tört (saját).

Most térjünk át az elemi törtek fogalmára (ezeket a legegyszerűbb racionális törteknek is nevezik). Az eleminek négy típusa van racionális törtek:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Megjegyzés (kívánatos a szöveg teljesebb megértéséhez): show\hide

Miért van szükség a $p^2-4q feltételre?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим másodfokú egyenlet$x^2+px+q=0$. Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa $D=p^2-4q$. Lényegében a $p^2-4q feltétel< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет igazi gyökerek. Azok. a $x^2+px+q$ kifejezés nem faktorizálható. Ez a felbonthatatlanság érdekel bennünket.

Például a $x^2+5x+10$ kifejezéshez ezt kapjuk: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Mivel $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Egyébként ehhez az ellenőrzéshez egyáltalán nem szükséges, hogy a $x^2$ előtti együttható 1 legyen. Például $5x^2+7x-3=0$ esetén a következőt kapjuk: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 USD. Mivel $D > 0$, a $5x^2+7x-3$ kifejezés faktorizálható.

A feladat a következő: adott helyes a racionális törtet elemi racionális törtek összegeként ábrázolja. Az ezen az oldalon bemutatott anyag ennek a problémának a megoldására szolgál. Először meg kell győződnie arról, hogy befejezte következő feltétel: a megfelelő racionális tört nevezőjében lévő polinom úgy van faktorizálva, hogy ez a bővítés csak $(x-a)^n$ vagy $(x^2+px+q)^n$ ($p) alakú zárójeleket tartalmaz ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

1. A nevezőben található $(x-a)$ zárójelek mindegyike egy $\frac(A)(x-a)$ törtnek felel meg.
2. A nevezőben található $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) zárójelek $n$ törtek összegének felelnek meg: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
3. Minden zárójelben a $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
4. Minden egyes zárójelben a $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

Ha a tört helytelen, akkor a fenti séma alkalmazása előtt fel kell osztani az egész rész (polinom) és a megfelelő racionális tört összegére. A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy ez pontosan hogyan történik (lásd 2. példa, 3. pont). Néhány szó róla betűjelölések a számlálókban (azaz $A$, $A_1$, $C_2$ és hasonlók). Ízlés szerint bármilyen betűt használhat. Csak az a fontos, hogy ezek a betűk legyenek különféle minden elemi törtben. Ezen paraméterek értékeinek megtalálásához használja a meghatározatlan együtthatók módszerét vagy a részértékek helyettesítésének módszerét (lásd a 3., 4. és 5. példát).

2. példa

Bontsa fel a megadott racionális törteket elemiekre (a paraméterek megtalálása nélkül):

1. $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
2. $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
3. $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) Van egy racionális törtünk. Ennek a törtnek a számlálója egy 4-es fokú polinomot tartalmaz, a nevező pedig egy olyan polinomot, amelynek foka $17$ (a fok meghatározásának részletes leírása az 1. példa 3. bekezdésében található). Mivel a polinom fokszáma a számlálóban kisebb, mint a nevezőben lévő polinom foka, ez a tört helyes. Térjünk rá ennek a törtnek a nevezőjére. Kezdjük a $(x-5)$ és $(x+2)^4$ zárójelekkel, amelyek teljesen a $(x-a)^n$ alakba tartoznak. Ezen kívül vannak még $(x^2+3x+10)$ és $(x^2+11)^5$ zárójelek. A $(x^2+3x+10)$ kifejezés alakja $(x^2+px+q)^n$, ahol $p=3$; $q=10$, $n=1$. Mivel $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем következő kimenet: a nevezőben lévő polinom úgy van faktorizálva, hogy ez a faktorizálás csak $(x-a)^n$ vagy $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q) zárójeleket tartalmaz< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

Az eredmény a következőképpen írható fel:

$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

Ekkor a $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ tört más formában is ábrázolható:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$

A $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ tört egy megfelelő racionális tört, mivel a számlálóban lévő polinom fokszáma (azaz 2) kisebb, mint a polinom foka a nevezőben (azaz 3). Most nézzük ennek a törtnek a nevezőjét. A nevező egy polinomot tartalmaz, amelyet faktorizálni kell. Néha a Horner-séma hasznos a faktorizáláshoz, de esetünkben könnyebben boldogulunk a terminusok csoportosításának szokásos „iskolai” módszerével:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x) -2)\cdot(x^2+4)) $$

Az előző bekezdésekben leírt módszerekkel a következőket kapjuk:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

Tehát végre megvan:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

Ennek a témának a folytatása lesz a második részben.

Nagyon gyakran a tört számlálója és nevezője algebrai kifejezések, amelyet először faktorálni kell, majd miután azonosakat találtunk közöttük, el kell osztani velük a számlálót és a nevezőt is, azaz csökkenteni kell a törtet. A 7. osztályos algebra tankönyv egy egész fejezetét szenteljük a polinom faktorálásának. A faktorizálás elvégezhető 3 módon, valamint e módszerek kombinációja.

1. Rövidített szorzóképletek alkalmazása

Mint ismeretes, hogy megszorozni egy polinomot egy polinommal, meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A polinomok szorzásának legalább 7 (hét) gyakran előforduló esete szerepel a fogalomban. Például,

1. táblázat: Faktorizálás az 1. módon

2. A közös tényező kivétele a zárójelekből

Ez a módszer az eloszlási szorzás törvényének alkalmazásán alapul. Például,

Az eredeti kifejezés minden tagját elosztjuk azzal a tényezővel, amelyet kivettünk, és zárójelben egy kifejezést kapunk (vagyis zárójelben marad az eredmény, ha elosztjuk azzal, amit kivettünk). Először is szüksége van helyesen határozza meg a szorzót, amelyet ki kell venni a tartóból.

A közös tényező lehet egy zárójelben lévő polinom is:

A „faktorizálás” feladat végrehajtása során különösen ügyelni kell a jelekre, amikor az össztényezőt zárójelbe teszed. Az egyes kifejezések előjelének megváltoztatása zárójelben (b-a), vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből -1 , és a zárójelben lévő minden egyes kifejezést -1-gyel osztunk: (b - a) = - (a - b) .

Ha a zárójelben lévő kifejezés négyzetes (vagy bármilyen páros fokozat), Ez a zárójelben lévő számok felcserélhetők teljesen szabadon, mivel a zárójelből kivett mínuszok szorozva továbbra is pluszba fordulnak: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 stb…

3. Csoportosítási módszer

Néha egy kifejezésben nem minden kifejezésnek van közös tényezője, hanem csak néhánynak. Aztán lehet próbálkozni csoportkifejezések zárójelben, hogy mindegyikből ki lehessen venni valamilyen tényezőt. Csoportosítási módszer- ez a gyakori tényezők kétszeres eltávolítása a zárójelekből.

4. Egyszerre több módszer alkalmazása

Néha nem egy, hanem több módszert kell alkalmaznia egy polinom faktorálásához.

Ez a téma összefoglalása "Faktorizáció". Válassza ki a következő lépéseket:

• Tovább a következő összefoglalóhoz:

Ez a szolgáltatás forma töredékeinek lebontására szolgál:

Egyszerű törtek összegére. Ez a szolgáltatás hasznos lesz az integrálok megoldásához. lásd a példát.

Utasítás. Adja meg a tört számlálóját és nevezőjét. Kattintson a Megoldás gombra.

Változóként való tervezéskor használja az x t z u p λ-t

Jegyzet: Például az x 2 mint x^2, az (x-2) 3 mint (x-2)^3. A tényezők közé szorzójelet (*) teszünk.

A függvény bevitelének szabályai

Ez a mező a kifejezés számlálójának bevitelére szolgál
Az x általános változót először ki kell venni a zárójelekből. Például x 3 + x = x(x 2 + 1) vagy x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

A függvény bevitelének szabályai

Ez a mező a kifejezés nevezőjének bevitelére szolgál. Például az x 2 mint x^2, az (x-2) 3 mint (x-2)^3. A tényezők közé szorzójelet (*) teszünk.
Az x általános változót először ki kell venni a zárójelekből. Például x 3 + x = x(x 2 + 1) vagy x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

A bizonytalan együtthatók módszerének algoritmusa

1. A nevező faktorálása.
2. Egy tört felbontása meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegeként.
3. A számláló csoportosítása x azonos hatványaival.
4. Egy olyan lineáris algebrai egyenletrendszer beszerzése, amelynek együtthatói nem meghatározottak, mint ismeretlenek.
5. SLAE megoldása: Cramer-módszer, Gauss-módszer, inverz mátrix módszer vagy ismeretlenek kiküszöbölésének módszere.

Példa. A legegyszerűbbekre bontás módszerét alkalmazzuk. Bontsuk le a függvényt a legegyszerűbb kifejezésekre:


Tegyük egyenlővé a számlálókat, és vegyük figyelembe, hogy a for együtthatók egyenlő fokozatok x, a bal és a jobb oldalon állónak meg kell egyeznie
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Megoldva a következőket találjuk:
A = 1/16;B = -1/9;C = -5/12;D = 7/144;

Tovább ezt a leckét figyelembe veszik különböző módokon a nevező faktorálása algebrai törtek összeadásakor és kivonásakor. Valójában felidézzük azokat a módszereket, amelyeket korábban már tanulmányoztunk. Ez magában foglalja a közös tényező zárójelből való kiemelését, a kifejezések csoportosítását, a rövidített szorzóképletek használatát, valamint a kiemelést teljes négyzet. Mindezeket a módszereket alkalmazzuk algebrai törtek összeadásakor és kivonásakor különböző nevezők. A lecke részeként megjegyezzük az összes fenti szabályt, és elemezzük e szabályok alkalmazásának példáit.

Emlékezzünk vissza, hogy az algebrai tört az a kifejezés, ahol polinomok vannak. A polinomokat pedig lehet és kell is faktorozni. Tegyük fel, hogy két algebrai törtet kell összeadnunk vagy kivonnunk: .

Mi a cselekvéseink algoritmusa?

1. Csökkentse vagy egyszerűsítse az egyes törteket.

2. Keresse meg a legkisebbet közös nevező két frakció.

Ezek a műveletek faktorálási polinomokat igényelnek.

Nézzünk néhány példát a törtek csökkentésére (egyszerűsítésére).

1. példa Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

Az első dolog, amit meg kell tennie a csökkentés során, hogy kiveszi a közös tényezőt a zárójelekből.

Esetünkben a számlálónak és a nevezőnek is vannak zárójelből kivehető tényezői.

.

Ezután csökkentjük a számláló és a nevező közös tényezőit. Kapunk:

Ugyanakkor figyelembe vesszük, hogy a tört nevezője nem lehet egyenlő a -val. Azaz: .

Válasz:.

2. példa Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

Az előző példa megoldási sémáját használva megpróbáljuk kivenni a közös tényezőt a zárójelekből. Ezt a számlálóban nem lehet megtenni, de a nevezőben ki lehet venni a zárójelből.

Ha nem tudja kitalálni az általános tényezőt, meg kell próbálnia a rövidített szorzási képleteket. Valójában a számláló a különbség teljes négyzetét tartalmazza. Kapunk:

.

Hasonló zárójeleket látunk a számlálóban és a nevezőben.

Előjelükben azonban különböznek.

Ehhez a következő egyenlőséget fogjuk használni: . Innen kapjuk: . Kapunk:

Válasz:.

Nézzünk most egy példát, amelyben le kell egyszerűsítenünk két tört különbségét.

3. példa Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

Mivel az első tört nevezője a kockák különbsége, a rövidített szorzási képletet fogjuk használni. Kapunk:

Válasz:.

Emlékezzünk: mi az a polinom? a monomok összege. A monomiális változók és számok hatványainak szorzata.

Most példákat sorolunk fel és elemezünk a polinomok faktorizálására.

1. módszer. A közös tényező zárójelből való kiemelése.

4. példa Tényező: .

5. példa Tényező: .

BAN BEN utolsó példa a közös tényező a binomiális.

2. módszer. Csoportosítás.

6. példa. Tényező: .

Megoldás:

Ebben a példában a közös tényezőt nem lehet kivenni a zárójelekből. Ebben az esetben meg kell próbálnia csoportosítani a közös tényezőkkel rendelkező kifejezéseket.

Ebben a példában célszerű a és -t tartalmazó monomokat csoportosítani. Kapunk: . Látjuk, hogy a zárójelben lévő kifejezések egy jelig szinte azonosak. Kapunk: .

Válasz:.

3. módszer. Rövidített szorzóképletek.

Soroljuk fel alapképletek rövidített szorzás:

1. - négyzetek különbsége;

2. - az összeg négyzete (különbség);

3. - kockák különbsége (a második zárójelben lévő kifejezést az összeg nem teljes négyzetének nevezzük);

Kockák összege (a második zárójelben lévő kifejezést a különbség nem teljes négyzetének nevezzük).

Nemcsak emlékeznie kell ezekre a képletekre, hanem meg kell tudnia találni és alkalmazni is kell őket valós problémákban.

7. példa. Tényező: .

8. példa. Tényező: .

Megoldás:

Itt a különbség négyzetének képlete önmagát sugallja. Felmerül azonban a kérdés: hogyan kell alkalmazni ezt a képletet. A legegyszerűbb módja a négyzetek kijelölése, majd a keresés dupla termék. BAN BEN ebben a példában: . Vagyis a szerepben. Kapunk: .

Válasz:.

Ezt ne felejtsd el tiszta forma Ezeket a módszereket ritkán használják. A kombinált módszereket gyakrabban használják.

4. módszer. Teljes négyzet kiválasztása.

Tekintsük az alkalmazást ez a módszer konkrét példán.

9. példa. Tényező: .

Megoldás:

A teljes négyzet kiválasztása általában az első két kifejezés használatával történik. Valóban, már megvan az első négyzete. Ez azt jelenti, hogy a második tagnak az első és a második kifejezés kettős szorzatának kell lennie. Azaz: . Ez azt jelenti, hogy ha a különbség négyzetes képletéből a szerep, akkor a szerepnek . Ennek a képletnek az alkalmazásához nincs elég . Ha valami hiányzik, akkor hozzáadhatja ezt a kifejezést, és kivonhatja, hogy ne változzon a kifejezés jelentése. Értjük.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete