Meghatározás.

Ez egy hatszög, amelynek két alapja van egyenlő négyzet, és az oldallapok egyenlő téglalapok

Oldalsó borda- Ezt közös oldal két szomszédos oldallap

Prizma magassága- ez egy szegmens merőleges az alapokra prizmák

Prizma átlós- egy szakasz, amely összeköti az alapok két csúcsát, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz

Átlós sík- egy sík, amely átmegy a prizma átlóján és annak oldalsó bordák

Átlós szakasz- a prizma és az átlósík metszéspontjának határai. A szabályos négyszög alakú prizma átlós keresztmetszete egy téglalap

Merőleges metszet (merőleges metszet)- ez a prizma és az oldaléleire merőleges sík metszéspontja

Szabályos négyszögű prizma elemei

Az ábrán két szabályos négyszög alakú prizma látható, amelyeket a megfelelő betűk jelölnek:

• Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 alapok egyenlőek és párhuzamosak egymással
• Oldalsó arcok AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C és CC 1 D 1 D, amelyek mindegyike egy téglalap
• Oldalsó felület- a prizma összes oldallapja területének összege
• Teljes felület - az összes alap és oldalfelület területének összege (az oldalfelület és az alapok területének összege)
• Oldalbordák AA 1, BB 1, CC 1 és DD 1.
• Átló B 1 D
• Alapátló BD
• Átlós metszet BB 1 D 1 D
• Merőleges metszet A 2 B 2 C 2 D 2.

Szabályos négyszögű prizma tulajdonságai

• Az alap két egyenlő négyzet
• Az alapok párhuzamosak egymással
• Az oldallapok téglalap alakúak
• Az oldalsó élek egyenlőek egymással
• Az oldalfelületek merőlegesek az alapokra
• Az oldalsó bordák egymással párhuzamosak és egyenlőek
• Merőleges metszet, amely merőleges az összes oldalbordára és párhuzamos az alapokkal
• A merőleges metszet szögei - egyenesek
• A szabályos négyszög alakú prizma átlós keresztmetszete egy téglalap
• Az alapokra merőleges (merőleges metszet) párhuzamos

Szabályos négyszögű prizma képletei

Útmutató a problémák megoldásához

Amikor problémákat old meg a témában " helyes négyszögű prizma " azt jelenti, hogy:

Helyes prizma- egy prizma, amelynek tövében fekszik szabályos sokszög, és az oldalbordák merőlegesek az alap síkjaira. Ez azt jelenti, hogy egy szabályos négyszögű prizma az alján van négyzet. (lásd fent a szabályos négyszögű prizma tulajdonságait) jegyzet. Ez egy geometriai problémákkal foglalkozó lecke része (metszet sztereometria - prizma). Itt vannak olyan problémák, amelyeket nehéz megoldani. Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A visszakeresés műveletének jelzésére négyzetgyök a szimbólumot a problémák megoldásában használják√ .

Feladat.

Egy szabályos négyszögű prizmában az alapterület 144 cm 2, a magassága pedig 14 cm. Határozza meg a prizma átlóját és a teljes felületét!

Megoldás.
A szabályos négyszög négyzet.
Ennek megfelelően az alap oldala egyenlő lesz

√144 = 12 cm.
Honnan származik az alap átlója? derékszögű hasáb egyenlő lesz
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Átlós helyes prizma az alap átlójával és a prizma magasságával alkot derékszögű háromszög. Ennek megfelelően a Pitagorasz-tétel szerint egy adott szabályos négyszögű prizma átlója egyenlő lesz:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Válasz: 22 cm

Feladat

Határozzuk meg egy szabályos négyszög alakú prizma teljes felületét, ha az átlója 5 cm, az oldallapjának az átlója pedig 4 cm!

Megoldás.
Mivel egy szabályos négyszögű prizma alapja négyzet, ezért a Pitagorasz-tétel segítségével megtaláljuk az alap oldalát (a jelöléssel):

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Az oldallap magassága (h-val jelölve) ekkor egyenlő lesz:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

A teljes felület egyenlő lesz az oldalfelület és az alapterület kétszeresének összegével

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Válasz: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

A különböző prizmák különböznek egymástól. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához meg kell értenie, hogy milyen típusú.

Általános elmélet

A prizma bármely poliéder oldalain amelyek paralelogramma alakúak. Ezenkívül az alapja bármilyen poliéder lehet - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ami nem vonatkozik az oldalfelületekre, az az, hogy méretük jelentősen eltérhet.

A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükséges lehet az oldalfelület ismerete, vagyis minden olyan lap, amely nem alap. Teljes felület máris egyesülni fog a prizmát alkotó összes arc.

Néha a problémák a magassággal kapcsolatosak. Az alapokra merőleges. A poliéder átlója egy olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapterülete nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha ők azonos figurák a felső és alsó oldalon, akkor területük egyenlő lesz.

Háromszög prizma

Az alján egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög van. Mint tudod, lehet másképp is. Ha igen, akkor elég megjegyezni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.

A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.

A bázis területének megtudásához Általános nézet, hasznosak lesznek a képletek: Gém és az, amelyikben az oldal fele a hozzá húzott magasságba kerül.

Az első képletet a következőképpen kell felírni: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ez a jelölés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.

Második: S = ½ n a * a.

Ha tudnia kell az alap területét háromszög prizma, ami szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalúnak bizonyul. Van rá egy képlet: S = ¼ a 2 * √3.

Négyszögletű prizma

Alapja az ismert négyszögek bármelyike. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben saját képletre lesz szüksége.

Ha az alap téglalap, akkor területét a következőképpen határozzuk meg: S = ab, ahol a, b a téglalap oldalai.

Amikor arról beszélünk egy négyszög alakú prizmáról, akkor a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítjuk ki. Mert ő fekszik az alapoknál. S = a 2.

Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, a következő egyenlőségre lesz szükség: S = a * n a. Előfordul, hogy egy paralelepipedon oldala és az egyik szög adott. Ezután a magasság kiszámításához egy további képletet kell használnia: n a = b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a „b” oldallal, és az n magasság ezzel a szöggel ellentétes.

Ha a prizma alján rombusz van, akkor a területének meghatározásához ugyanarra a képletre lesz szükség, mint a paralelogrammánál (mivel ez egy speciális eset). De ezt is használhatod: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.

Szabályos ötszögletű prizma

Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre osztjuk, amelyek területét könnyebb kideríteni. Bár előfordul, hogy a figuráknak különböző számú csúcsa lehet.

Mivel a prizma alapja az szabályos ötszög, akkor öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ezután a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.

Szabályos hatszögletű prizma

Az ötszögletű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszöge 6 egyenlő oldalú háromszögre osztható. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak azt kell hattal szorozni.

A képlet így fog kinézni: S = 3/2 a 2 * √3.

Feladatok

1. sz. Adott egy szabályos egyenes, az átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapterületét és a teljes felületet.

Megoldás. A prizma alapja négyzet, oldala azonban ismeretlen. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (h) viszonyít. x 2 = d 2 - n 2. Másrészt ez az „x” szakasz egy olyan háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 = a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Cserélje be a d helyett a 22-es számot, és cserélje ki az „n”-et annak értékére - 14, akkor kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm Most csak megtudja az alap területét: 12 * 12 = 144 cm 2.

A teljes felület területének meghatározásához hozzá kell adni dupla érték alapterület és négyszeres oldalfelület. Ez utóbbi könnyen megtalálható a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. teljes terület A prizma felülete 960 cm 2 -nek bizonyul.

Válasz. A prizma alapterülete 144 cm2. A teljes felület 960 cm2.

2. sz. Adott Az alapnál egy 6 cm-es oldalfelület található. Ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: az alap és az oldalfelület.

Megoldás. Mivel a prizma szabályos, az alapja egy egyenlő oldalú háromszög. Ezért a területe egyenlő a 6 négyzetével, megszorozva ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.

Minden oldallap azonos, és téglalapok, amelyek oldalai 6 és 10 cm-esek A területük kiszámításához csak szorozza meg ezeket a számokat. Majd szorozd meg hárommal, mert a prizmának pontosan ennyi oldallapja van. Ezután a seb oldalsó felületének területe 180 cm 2 -nek bizonyul.

Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.

A fizikában gyakran használnak háromszög alakú, üvegből készült prizmát a spektrum tanulmányozására fehér fény, mivel képes egyedi komponensekre bontani. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a térfogati képletet

Mi az a háromszög prizma?

Mielőtt megadnánk a térfogatképletet, vegyük figyelembe ennek az ábrának a tulajdonságait.

Ennek eléréséhez egy háromszöget kell venni szabad formaés magaddal párhuzamosan mozgasd kicsit távolabb. A háromszög csúcsait a kezdeti és a véghelyzetben egyenes szakaszokkal kell összekötni. Megkapta térfogati ábra háromszög prizmának nevezzük. Öt oldalból áll. Ezek közül kettőt bázisnak neveznek: párhuzamosak és egyenlőek egymással. A kérdéses prizma alapjai háromszögek. A maradék három oldal paralelogramma.

A szóban forgó prizmát az oldalakon kívül hat csúcs (minden alaphoz három) és kilenc él jellemzi (6 él az alapok síkjában fekszik, és 3 él az oldalsó oldalak metszéspontjából jön létre). Ha az oldalélek merőlegesek az alapokra, akkor egy ilyen prizmát téglalap alakúnak nevezünk.

A háromszög alakú prizma és az osztály többi alakja között az a különbség, hogy mindig konvex (négy-, öt-, ..., n-szögű prizmák homorú is lehet).

Ez téglalap alakú alak, melynek alapjában egy egyenlő oldalú háromszög található.

Általános háromszög prizma térfogata

Hogyan találjuk meg a háromszög alakú prizma térfogatát? A képlet általában hasonló bármely típusú prizma képletéhez. Neki van egy matematikai jelölés:

Itt h az ábra magassága, vagyis az alapjai közötti távolság, S o a háromszög területe.

Az S o értéke akkor található meg, ha a háromszög néhány paramétere ismert, például egy oldal és két szög vagy két oldal és egy szög. A háromszög területe egyenlő a magassága és az oldal hosszának szorzatának felével, amellyel ez a magasság le van csökkentve.

Ami az ábra h magasságát illeti, azt a legegyszerűbb téglalap alakú prizmára találni. BAN BEN az utóbbi eset h egybeesik az oldalél hosszával.

Szabályos háromszög prizma térfogata

Általános képlet a cikk előző részében megadott háromszög prizma térfogata felhasználható a szabályos háromszög prizma megfelelő értékének kiszámításához. Mivel az alapja egyenlő oldalú háromszög, területe egyenlő:

Bárki megkaphatja ezt a képletet, ha emlékszik rá egyenlő oldalú háromszög minden szög egyenlő egymással és 60 o. Itt az a szimbólum a háromszög oldalának hossza.

A h magasság az él hossza. Semmiképpen nem kapcsolódik egy szabályos prizma alapjához, és tetszőleges értékeket vehet fel. Ennek eredményeként a megfelelő típusú háromszög alakú prizma térfogatának képlete így néz ki:

A gyökér kiszámítása után a képletet a következőképpen írhatja át:

Így egy szabályos prizma térfogatának meghatározásához háromszög alap, az alap oldalát négyzetre kell emelni, ezt az értéket meg kell szorozni a magassággal és a kapott értéket megszorozni 0,433-mal.

A „Get an A” videotanfolyam tartalmazza az összes szükséges témát sikeres teljesítés Matematika egységes államvizsga 60-65 pontért. Teljesen minden probléma 1-13 Profil egységes államvizsga matematika. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.

Minden szükséges elmélet. Gyors módszerek az egységes államvizsga megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5-öt tartalmaz nagy témákat, egyenként 2,5 óra. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges problémákés a valószínűségelmélet. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referencia anyag, minden típusú egységes államvizsga-feladat elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, fejlesztés térbeli képzelet. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Vizuális magyarázat összetett fogalmak. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. A megoldás alapja összetett feladatok Egységes Államvizsga 2 része.

Iskolások, akik készülnek letette az egységes államvizsgát matematikában mindenképpen meg kell tanulnod az egyenes és szabályos prizma területének megtalálásával kapcsolatos problémák megoldását. Sok éves gyakorlat megerősíti azt a tényt, hogy sok diák az ilyen geometriai feladatokat meglehetősen nehéznek tartja.

Ugyanakkor a középiskolásoknak bármilyen képzettséggel meg kell tudniuk találni a szabályos és egyenes prizma területét és térfogatát. Csak ebben az esetben számíthatnak arra, hogy az egységes államvizsga eredménye alapján versenyképes pontszámokat kapnak.

Fontos tudnivalók

• Ha egy prizma oldalélei merőlegesek az alapra, azt egyenesnek nevezzük. Az ábra minden oldallapja téglalap alakú. Az egyenes prizma magassága egybeesik az élével.
• Szabályos prizma az, amelynek oldalélei merőlegesek arra az alapra, amelyben a szabályos sokszög található. Ennek az ábrának az oldallapjai egyenlő téglalapok. A helyes prizma mindig egyenes.

Az egységes államvizsgára való felkészülés Shkolkovóval együtt a siker kulcsa!

Ha egyszerűbbé és a lehető leghatékonyabbá szeretné tenni óráit, válassza matematikai portálunkat. Itt minden bemutatásra kerül szükséges anyag, amely segít felkészülni a minősítési teszt letételére.

Szakemberek oktatási projekt„Shkolkovo” azt javasolja, hogy az egyszerűtől a bonyolultig menjünk: először adjuk meg az elméletet, alapképletek, tételek és elemi feladatok megoldással, majd fokozatosan térjünk át a szakértői szintű feladatokra.

Az alapvető információk rendszerezve és világosan bemutatásra kerülnek az „Elméleti információk” részben. Ha már sikerült megismételnie a szükséges anyagot, javasoljuk, hogy gyakorolja a feladatok megoldását a megfelelő prizma területének és térfogatának megtalálásában. A „Katalógus” rész gyakorlatok széles választékát mutatja be változó mértékben nehézségek.

Próbálja kiszámolni egy egyenes és szabályos prizma területét vagy éppen most. Elemezzen bármilyen feladatot. Ha nem okoz nehézséget, nyugodtan áttérhet a szakértői szintű gyakorlatokra. És ha bizonyos nehézségek merülnek fel, javasoljuk, hogy rendszeresen készüljön fel az egységes államvizsgára online a Shkolkovo matematikai portállal együtt, és az „Egyenes és szabályos prizma” témájú feladatok könnyűek lesznek.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete