A lábak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz felével. Rövid életrajz

A soha el nem felejthető Pitagorasz-tétel. Egy derékszögű háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábainak négyzeteinek összegével. Más szóval, egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe megegyezik a lábaira épített négyzetek területeinek összegével.

A háromszög befogójának hosszát c-vel, a lábak hosszát a és b-vel jelöljük:

Átfogó- Ez egy derékszögű háromszög egyik oldala. Ebben a háromszögben is kettő van láb.

Ebben az esetben a hypotenus az ellentétes oldal derékszög. A lábak pedig azok az oldalak, amelyek adott szöget alkotnak.

A Pitagorasz-tételnek megfelelően a hipotenusz négyzete egyenlő lesz a lábak négyzeteinek összegével.

Vagyis AB = AC + BC.

Ennek fordítva is igaz - ha ez az egyenlőség egy háromszögben áll fenn, akkor ez a háromszög derékszögű.

Ez a tulajdonság számos geometriai probléma megoldásában segít.

Ennek a tételnek egy kissé eltérő megfogalmazása van: az hipotenuszra épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével.

A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével...az iskolából fejből. Ez az egyik olyan szabály, amely örökre emlékezetes marad.)))

A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével

Ez pontos, a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Természetesen ezt megtanították nekünk, és ez a Pitagorasz-tétel nem hagy kétséget, olyan jó a szokásos rutin közepette emlékezni arra, amit régen tanítottak.

Ez a hipotenusz hosszától függ. Ha egyenlő egy méterrel, akkor a négyzete egy négyzetméter. És ha például 39,37 hüvelyk, akkor a négyzet 1550 négyzethüvelyk, ez ellen nem lehet mit tenni.

A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével - Pitagorasz-tétel (mellesleg, a geometriai tankönyv legegyszerűbb bekezdése)

Igen, a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Úgy tűnik, ezt tanították nekünk az iskolában. Hány év telt el, és még mindig emlékszünk erre a szeretett tételre. Valószínűleg keményen fogok dolgozni, és bebizonyítom, akárcsak az iskolai tantervben.

Mondtak is egy kis számláló mondókát Pitagorasz nadrág, minden irányban egyenlő

A tanár azt mondta nekünk, hogy ha alszol és hirtelen tűz van, ismerned kell a Pitagorasz-tételt))) Egyenlő a lábak négyzeteinek összegével

A hipotenusz négyzete egyenlő a háromszög másik két oldalának (lábainak) négyzetösszegével.

Emlékszel erre, vagy egyszer s mindenkorra megérted, miért van ez így.

először nézzük meg derékszögű háromszög azonos lábakkal, és helyezze egy oldalsó négyzetbe egyenlő a hypotenusával.

A nagy négyzet területe megegyezik a benne lévő négy azonos háromszög területével.

Gyorsan számoljunk ki mindent, és kapjuk meg a szükséges eredményt.



Ha a lábak nem egyformák, akkor minden nagyon egyszerű:

A nagy négyzet területe egyenlő négy egyforma háromszög területének összegével, plusz a középső négyzet területével.



Bármit mondjunk is, mindig egyenlőséget kapunk

a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével.

Az egyik leghíresebb geometria, a Pitagorasz-tétel kimondja:

Ez a tétel derékszögű háromszögre vonatkozik, vagyis olyanra, amelyben az egyik szög 90 fokkal egyenlő. A derékszög oldalait lábaknak, a ferde oldalait hipotenusznak nevezzük. Tehát, ha három négyzetet rajzol a háromszög mindkét oldalán egy alappal, akkor a láb közelében lévő két négyzet területe megegyezik a hipotenuzus közelében lévő négyzet területével.

Pitagorasz tétel: A lábakon nyugvó négyzetek területeinek összege ( aÉs b), egyenlő a hipotenuszon épített négyzet területével ( c).

Geometriai összetétel:

A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:

Algebrai megfogalmazás:

Vagyis a háromszög befogójának hosszát jelöli c, és a lábak hossza át aÉs b :

A tétel mindkét megfogalmazása ekvivalens, de a második megfogalmazás elemibb, nem igényli a terület fogalmát. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről, és csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérjük meg.

Fordított Pitagorasz-tétel:

Bizonyíték

Tovább Ebben a pillanatban V tudományos irodalom Ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették. Valószínűleg a Pitagorasz-tétel az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítással rendelkezik. Ez a sokféleség csak megmagyarázható alapvető fontosságú tételek a geometriához.

Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. A leghíresebbek közülük: területek módszerével történő bizonyítások, axiomatikus és egzotikus bizonyítások (például differenciálegyenletek segítségével).

Hasonló háromszögeken keresztül

Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a bizonyítások közül a legegyszerűbb, közvetlenül az axiómákból szerkesztve. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.

Hadd ABC van derékszögű derékszögű háromszög C. Rajzoljuk le a magasságot Cés jelölje az alapját H. Háromszög ACH háromszöghöz hasonló ABC két sarkán. Hasonlóképpen, háromszög CBH hasonló ABC. A jelölés bevezetésével

kapunk

Mi az egyenértékű

Összeadva azt kapjuk

Bizonyítások területmódszerrel

Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindannyian a terület tulajdonságait használják, amelyek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.

Bizonyítás egyenértékű kiegészítéssel

1. Rendezzünk négy egyenlő derékszögű háromszöget az 1. ábrán látható módon.
2. Négyszög oldalakkal c négyzet, mivel kettő összege éles sarkok 90°, a kihajtott szög pedig 180°.
3. A teljes ábra területe egyrészt egyenlő az (a + b) oldalú négyzet területével, másrészt a területek összegével négy háromszögés két belső négyzet.

Q.E.D.

Bizonyítás az ekvivalencián keresztül

Elegáns bizonyítás permutációval

Egy ilyen bizonyításra egy példa látható a jobb oldali rajzon, ahol egy, a hipotenuszon épített négyzet átrendeződik két, a lábakra épített négyzetre.

Eukleidész bizonyítéka

Rajz Eukleidész bizonyításához

Illusztráció Eukleidész bizonyításához

Eukleidész bizonyításának gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele, majd a a nagy és a két kis négyzet egyenlő.

Nézzük a bal oldali rajzot. Rajta négyzeteket szerkesztettünk egy derékszögű háromszög oldalaira, és a C derékszög csúcsából s sugarat rajzoltunk az AB hipotenuszra merőlegesen, a befogóra épített ABIK négyzetet két téglalapra vágja - BHJI és HAKJ, illetőleg. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével.

Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. adott téglalap, egyenlő az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe megegyezik az AHK háromszög területével (az ábrán nem látható), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével.

Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe a fenti tulajdonság szerint egyenlő a négyzet területének felével). Az egyenlőség nyilvánvaló, a háromszögek mindkét oldalán egyenlők és a köztük lévő szög. Ugyanis - AB=AK,AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: a CAK háromszöget 90°-kal elforgatjuk az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a két háromszög megfelelő oldalai kérdés egybeesik (annak a ténynek köszönhetően, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°).

A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségének indoklása teljesen hasonló.

Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeiből tevődik össze. A bizonyíték mögött meghúzódó gondolatot tovább szemlélteti a fenti animáció.

Leonardo da Vinci bizonyítéka

Leonardo da Vinci bizonyítéka

A bizonyítás fő elemei a szimmetria és a mozgás.

Tekintsük a rajzot, amint a szimmetriából is látszik, szegmensnek Cén vágja a négyzetet ABHJ két egyforma részre (hiszen háromszög ABCÉs JHén felépítésében egyenlő). Az óramutató járásával ellentétes 90 fokos elforgatással látjuk az árnyékolt ábrák egyenlőségét CAJén És GDAB . Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a hipotenuzusra épített négyzet területének felével, plusz az eredeti háromszög területével. A bizonyítás utolsó lépését az olvasóra bízzuk.

Bizonyítás infinitezimális módszerrel

A következő, differenciálegyenleteket használó bizonyítást gyakran a híres angol matematikusnak, Hardynak tulajdonítják, aki a 20. század első felében élt.

Az ábrán látható rajzot nézve és az oldal változását figyelve a, a következő összefüggést írhatjuk fel infinitezimális oldalnövekményekre Val velÉs a(háromszög hasonlóságot használva):

Bizonyítás infinitezimális módszerrel

A változók szétválasztásának módszerével azt találjuk

Több általános kifejezés mindkét láb növekménye esetén a hypotenusát megváltoztatni

Integrálás adott egyenletés a kezdeti feltételeket felhasználva azt kapjuk

Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz

Amint az könnyen belátható, a végső képletben a másodfokú függés a háromszög oldalai és a növekmény közötti lineáris arányosság miatt jelenik meg, míg az összeg a különböző lábak növekményéből származó független hozzájárulásokhoz kapcsolódik.

Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik lábon nem tapasztalható növekedés (in ebben az esetben láb b). Ekkor megkapjuk az integrációs állandót

Változatok és általánosítások

• Ha négyzetek helyett más hasonló alakzatokat építünk az oldalakra, akkor igaz a Pitagorasz-tétel alábbi általánosítása: Egy derékszögű háromszögben a területek összege: hasonló figurák a lábakra épített figura területe megegyezik a hipotenuzusra épített figura területével. Különösen:
  • Az oldalakra épített szabályos háromszögek területének összege egyenlő a területtel szabályos háromszög, a hipotenúzára épült.
  • A lábakra épített félkörök területének összege (mint az átmérőnél) megegyezik az alsó részre épített félkör területével. Ez a példa a két kör ívei által határolt, hippokratészi lunuláknak nevezett alakzatok tulajdonságainak bizonyítására szolgál.

Sztori

Chu-pei Kr.e. 500–200. A bal oldalon a felirat: a magasság és az alap hosszának négyzetösszege a befogó hosszának négyzete.

Az ősi kínai könyv, a Chu-pei beszél Pitagorasz háromszög 3., 4. és 5. oldallal: Ugyanebben a könyvben egy olyan rajzot javasolnak, amely egybeesik Bashara hindu geometriájának egyik rajzával.

Cantor (a matematika legnagyobb német történésze) úgy véli, hogy a 3² + 4² = 5² egyenlőséget az egyiptomiak már Kr.e. 2300 körül ismerték. e., I. Amenemhat király idejében (a berlini múzeum 6619. számú papirusza szerint). Cantor szerint a harpedonaptes, vagyis a „kötélhúzók” derékszögeket építettek 3, 4 és 5 oldalú derékszögű háromszögek felhasználásával.

Nagyon könnyű reprodukálni az építési módjukat. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet, és kössünk rá egy színes csíkot 3 m távolságra. egyik végétől és 4 méterre a másiktól. A derékszöget 3 és 4 méter hosszú oldalak közé kell zárni. Kifogásolható a Harpedonaptians ellen, hogy az építési módszerük feleslegessé válik, ha például egy fából készült négyzetet használunk, amelyet minden asztalos használ. Valóban ismertek egyiptomi rajzok, amelyeken ilyen eszköz található, például egy asztalosműhelyt ábrázoló rajzok.

A babilóniaiaknál valamivel többet tudunk a Pitagorasz-tételről. Az egyik szövegben, amely Hammurapi idejére nyúlik vissza, azaz ie 2000-ig. Például egy derékszögű háromszög befogójának hozzávetőleges számítását adjuk meg. Ebből arra következtethetünk, hogy Mezopotámiában derékszögű háromszögekkel is tudtak számításokat végezni, legalábbis bizonyos esetekben. Egyrészt az egyiptomi és babiloni matematika jelenlegi tudásszintje, másrészt egy kritikai tanulmány alapján. Görög források Van der Waerden (holland matematikus) a következő következtetésre jutott:

Irodalom

Oroszul

• Skopets Z. A. Geometriai miniatúrák. M., 1990
• Elensky Shch. Pythagoras nyomában. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Az ébredő tudomány. Matematika Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország. M., 1959
• Glazer G.I. A matematika története az iskolában. M., 1982
• W. Litzman, „A Pitagorasz-tétel”, M., 1960.
  • A Pythagorean-tételről szóló oldal nagyszámú bizonyítással, V. Litzmann könyvéből vett anyag, nagyszámú rajz látható külön grafikus fájlok formájában.
• A Pitagorasz-tétel és a Pitagorasz-hármasok fejezete D. V. Anosov „Pizzítás a matematikára és valami belőle” című könyvéből
• A Pitagorasz-tételről és annak bizonyítási módszereiről G. Glaser, az Orosz Oktatási Akadémia akadémikusa, Moszkva

Angolul

• Pitagorasz-tétel a WolframMathWorld-ben
• Cut-The-Knot, szakasz a Pitagorasz-tételről, mintegy 70 bizonyíték és kiterjedt kiegészítő információ (angol)

Wikimédia Alapítvány.

2010.

• Győződjön meg arról, hogy a kapott háromszög derékszögű, mivel a Pitagorasz-tétel csak derékszögű háromszögekre vonatkozik.

Derékszögű háromszögekben a három szög egyike mindig 90 fokos. A derékszögű háromszög derékszögét egy négyzet ikon jelzi, nem pedig a ferde szögeket ábrázoló görbe. Jelölje meg a háromszög oldalait. Jelölje a lábakat „a” és „b” jelzéssel (a lábak oldalai derékszögben metszik egymást), a befogót pedig „c”-vel (a befogó a legnagyobb

Minden iskolás tudja, hogy a hipotenusz négyzete mindig egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyike négyzetes. Ezt az állítást Pitagorasz-tételnek nevezzük. Ő az egyik legtöbb híres tételek trigonometria és általában a matematika. Nézzük meg közelebbről.

A derékszögű háromszög fogalma

Mielőtt áttérnénk a Pitagorasz-tételre, amelyben a hipotenusz négyzete egyenlő a négyzetre emelt lábak összegével, meg kell vizsgálnunk a derékszögű háromszög fogalmát és tulajdonságait, amelyre a tétel igaz.

Háromszög - lapos alak három szöggel és három oldallal. A derékszögű háromszögnek, ahogy a neve is sugallja, van egy derékszöge, vagyis ez a szög egyenlő 90 o-kal.

Tól től általános tulajdonságok az összes háromszögre ismert, hogy ennek az ábrának mindhárom szögének összege 180 o, ami azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögnél két nem derékszögű szög összege 180 o - 90 o = 90 o. Utolsó tény azt jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármely szöge, amely nem derékszögű, mindig kisebb lesz 90 o-nál.

A derékszöggel ellentétes oldalt hipotenusznak nevezzük. A másik két oldal a háromszög lábai, lehetnek egyenlőek egymással, vagy eltérőek is. A trigonometriából tudjuk, hogy minél nagyobb a szög, amellyel egy háromszög egyik oldala bezárul, annál nagyobb az oldal hossza. Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben a befogó (a 90 o-os szöggel szemben helyezkedik el) mindig nagyobb lesz, mint bármelyik szár (a szögekkel szemben helyezkedik el)< 90 o).

Pitagorasz-tétel matematikai jelölése

Ez a tétel kimondja, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyikét előzőleg négyzetre vetették. Ennek a megfogalmazásnak a matematikai felírásához tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelyben a, b és c oldalak a két szár, illetve a befogó. Ebben az esetben a tétel, amely úgy van megfogalmazva, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, a következő képlettel ábrázolható: c 2 = a 2 + b 2. Innen további, a gyakorlat szempontjából fontos képletek is előállíthatók: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) és c = √(a 2 + b 2).

Vegye figyelembe, hogy téglalap esetén egyenlő oldalú háromszög, azaz a = b, megfogalmazás: a hipotenusz négyzete egyenlő a négyzetű lábak összegével, matematikailag a következőképpen írva: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, amiből következik, hogy egyenlőség: c = a√2.

Történelmi hivatkozás

A Pitagorasz-tételt, amely kimondja, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyike négyzetes, már jóval azelőtt ismert volt, hogy a híres görög filozófus ráfigyelt volna. Az ókori Egyiptom papiruszai, valamint a babilóniaiak agyagtáblái megerősítik, hogy ezek a népek a derékszögű háromszög oldalainak megemlített tulajdonságát használták. Például az egyik első egyiptomi piramisok, a Khafre piramis, melynek építése a Kr.e. 26. századra nyúlik vissza (Püthagorasz élete előtt 2000 évvel), a képarány ismerete alapján épült fel egy 3x4x5 derékszögű háromszögben.

Akkor most miért viseli a tétel a görög nevét? A válasz egyszerű: Pythagoras az első, aki matematikailag bizonyítja ezt a tételt. A túlélő babiloni és egyiptomi írott források Csak a használatáról beszél, de nem ad matematikai bizonyítékot.

Úgy tartják, Pitagorasz a kérdéses tételt a hasonló háromszögek tulajdonságainak felhasználásával igazolta, amelyet úgy kapott, hogy egy derékszögű háromszögben megrajzolta a magasságot a befogóhoz képest 90°-os szögből.

Példa a Pitagorasz-tétel használatára

Mérlegeljük egyszerű feladat: meg kell határozni az L ferde lépcső hosszát, ha ismert, hogy magassága H = 3 méter, és a faltól való távolság, amelyen a lépcső felfekszik a lábáig, P = 2,5 méter.

Ebben az esetben H és P a lábak, és L a hypotenus. Mivel a befogó hossza egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, a következőt kapjuk: L 2 = H 2 + P 2, ahonnan L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3,905 méter vagy 3 m és 90,5 cm.

A kreativitás lehetőségét általában annak tulajdonítják bölcsészettudományok, természetesen tudományos, meghagyva a képletek és számok elemzését, gyakorlatias megközelítését és száraz nyelvezetét. Matematika a humanitárius tárgyak Semmilyen módon nem tudsz kapcsolódni hozzá. De kreativitás nélkül nem jutsz messzire a „minden tudomány királynőjében” – ezt már régóta tudják az emberek. Püthagorasz kora óta például.

Az iskolai tankönyvek sajnos általában nem magyarázzák el, hogy a matematikában nem csak tételek, axiómák és képletek zsúfolása fontos. Fontos megérteni és átérezni alapelvek. És ugyanakkor próbálja meg felszabadítani elméjét a kliséktől és az elemi igazságoktól - csak ilyen körülmények között születik minden nagy felfedezés.

Ilyen felfedezések közé tartozik az, amit ma Pitagorasz-tételként ismerünk. Segítségével megpróbáljuk megmutatni, hogy a matematika nem csak tud, de izgalmasnak is kell lennie. És hogy ez a kaland nem csak a vastag szemüveges nebulóknak alkalmas, hanem mindenkinek, aki erős elmében és erős lélekben.

A kérdés történetéből

Szigorúan véve, bár a tételt „Pitagorasz-tételnek” nevezik, maga Pythagoras nem fedezte fel. A derékszögű háromszöget és speciális tulajdonságait már jóval előtte tanulmányozták. Ebben a kérdésben két sarkos nézőpont létezik. Az egyik változat szerint Pythagoras volt az első, aki teljes bizonyítást talált a tételre. Egy másik szerint a bizonyítás nem Püthagorasz szerzőségéhez tartozik.

Ma már nem tudod ellenőrizni, hogy kinek van igaza és kinek nincs igaza. Azt tudjuk, hogy Pythagoras bizonyítéka, ha valaha is létezett, nem maradt fenn. Vannak azonban olyan felvetések, hogy az Euklidész elemeiből származó híres bizonyíték Pythagorasé lehet, és Eukleidész csak feljegyezte.

Ma az is ismert, hogy a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák I. Amenemhat fáraó idejéből származó egyiptomi forrásokban találhatók babiloni nyelven. agyagtáblák Hammurapi király uralkodásának időszaka, a „Sulva Sutra” című ősi indiai értekezésben és a „Zhou-bi suan jin” című ősi kínai műben.

Amint láthatja, a Pitagorasz-tétel ősidők óta foglalkoztatja a matematikusok elméjét. Ezt mintegy 367 különböző ma létező bizonyíték erősíti meg. Ebben semmilyen más tétel nem versenyezhet vele. Között híres szerzők bizonyítékok idézhetők fel Leonardo da Vincitől és James Garfield huszadik amerikai elnöktől. Mindez e tétel rendkívüli fontosságáról beszél a matematika számára: a geometria tételeinek többsége ebből származik, vagy valamilyen módon kapcsolódik hozzá.

A Pitagorasz-tétel bizonyításai

BAN BEN iskolai tankönyvek Főleg algebrai bizonyítást adnak. De a tétel lényege a geometriában van, ezért először nézzük meg a híres tétel azon bizonyításait, amelyek ezen a tudományon alapulnak.

Bizonyíték 1

A legtöbbre egyszerű bizonyíték A Pitagorasz-tétel szerint egy derékszögű háromszöghez ideális feltételeket kell felállítani: legyen a háromszög ne csak derékszögű, hanem egyenlő szárú is. Okkal feltételezhetjük, hogy az ókori matematikusok kezdetben pontosan ezt a háromszöget vették figyelembe.

Nyilatkozat „Egy derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet egyenlő a lábaira épített négyzetek összegével” az alábbi rajzzal szemléltethető:

Nézd meg az egyenlő szárú téglalap alakúakat ABC háromszög: Az AC hipotenuszon négy háromszögből álló négyzetet készíthet, amely megegyezik az eredeti ABC-vel. Az AB és BC oldalakon pedig egy négyzet épül, amelyek mindegyike két hasonló háromszöget tartalmaz.

Ez a rajz egyébként számos vicc és rajzfilm alapját képezte, amelyeket a Pitagorasz-tételnek szenteltek. A leghíresebb valószínűleg "A Pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő":

Bizonyíték 2

Ez a módszer ötvözi az algebrát és a geometriát, és Bhaskari matematikus ősi indiai bizonyítékának egy változatának tekinthető.

Szerkesszünk derékszögű háromszöget oldalakkal a, b és c(1. ábra). Ezután építs két négyzetet oldalakkal egyenlő az összeggel két láb hossza, - (a+b). Mindegyik négyzetben készítsen konstrukciókat a 2. és 3. ábrán látható módon.

Az első négyzetbe építs négy, az 1. ábrához hasonló háromszöget. Az eredmény két négyzet: az egyiknek a oldala, a másodiknak oldala b.

A második négyzetben négy hasonló háromszög alkot egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő a befogóval c.

A 2. ábrán megszerkesztett négyzetek területeinek összege megegyezik a 3. ábrán a c oldallal megszerkesztett négyzet területével. Ez könnyen ellenőrizhető, ha kiszámítja a négyzetek területét az ábrán. 2 a képlet szerint. A beírt négyzet területét pedig a 3. ábrán úgy, hogy a négyzetbe írt négy egyenlő derékszögű háromszög területét kivonjuk egy oldallal rendelkező nagy négyzet területéből (a+b).

Mindezt leírva a következőket kapjuk: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Nyissa ki a zárójeleket, végezze el az összes szükséges algebrai számítást, és kapja meg a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Ebben az esetben a 3. ábrán beírt terület. négyzet a hagyományos képlettel is kiszámítható S=c 2. Azok. a 2 +b 2 =c 2– bebizonyítottad a Pitagorasz-tételt.

Bizonyíték 3

Magát az ősi indiai bizonyítást a 12. században ismertették „A tudás koronája” („Siddhanta Shiromani”) című értekezésben, és fő érvként a szerző a hallgatók és követők matematikai tehetségére és megfigyelőkészségére irányuló felhívást használ: „ Néz!"

De ezt a bizonyítékot részletesebben elemezzük:

A négyzeten belül építs négy derékszögű háromszöget a rajz szerint. Jelöljük a nagy négyzet, más néven hipotenusz oldalát, Val vel. Nevezzük a háromszög lábait AÉs b. A rajz szerint a belső négyzet oldala az (a-b).

Használja a képletet egy négyzet területére S=c 2 a külső négyzet területének kiszámításához. És ugyanakkor számítsa ki ugyanazt az értéket a belső négyzet területének és mind a négy derékszögű háromszög területeinek összeadásával: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Mindkét lehetőséget használhatja a négyzet területének kiszámításához, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ugyanazt az eredményt adják. És ez jogot ad arra, hogy ezt leírja c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. A megoldás eredményeként megkapja a Pitagorasz-tétel képletét c 2 =a 2 + b 2. A tétel bizonyítást nyert.

4. bizonyítás

Ezt a különös ősi kínai bizonyítékot „menyasszonyi széknek” nevezték el – az összes konstrukcióból származó székszerű alak miatt:

A második próba során azt a rajzot használja, amelyet a 3. ábrán már láthattunk. A c oldalú belső négyzet pedig ugyanúgy van megszerkesztve, mint a fentebb megadott ősi indiai bizonyításban.

Ha gondolatban levágott két zöld derékszögű háromszöget az 1. ábra rajzából, mozgassa őket ide ellentétes oldalak csatlakoztassunk egy c oldalú négyzetet az orgona háromszögek befogóihoz, akkor egy „menyasszonyi szék” nevű figurát kapunk (2. ábra). Az egyértelműség kedvéért ugyanezt megteheti papír négyzetekkel és háromszögekkel. Győződjön meg arról, hogy a „menyasszonyi széket” két négyzet alkotja: kicsik, amelyeknek oldala van bés nagy oldalával a.

Ezek a konstrukciók lehetővé tették az ókori kínai matematikusok és mi, őket követve, arra a következtetésre jutni c 2 =a 2 + b 2.

Bizonyíték 5

Ez egy másik módja annak, hogy geometria segítségével megoldást találjunk a Pitagorasz-tételre. Ezt Garfield-módszernek hívják.

Szerkesszünk derékszögű háromszöget ABC. Ezt be kell bizonyítanunk BC 2 = AC 2 + AB 2.

Ehhez folytassa a lábát ACés egy szegmenst készítünk CD, melyik egyenlő a lábával AB. Engedje le a merőlegest HIRDETÉS vonalszakasz ED. Szegmensek EDÉs AC egyenlőek. Összekötni a pontokat EÉs BAN BEN, és EÉs VAL VELés kap egy rajzot, mint az alábbi képen:

A torony bizonyításához ismét a már kipróbált módszerhez folyamodunk: kétféleképpen keressük meg a kapott figura területét, és egyenlővé tesszük a kifejezéseket.

Keresse meg egy sokszög területét EGY ÁGY megtehető az azt alkotó három háromszög területeinek összeadásával. És egyikük, ERU, nemcsak téglalap alakú, hanem egyenlő szárú is. Ne feledkezzünk meg arról sem AB=CD, AC=EDÉs BC=SE– ezzel leegyszerűsíthetjük a felvételt, és nem terheljük túl. Így, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy EGY ÁGY- Ez egy trapéz. Ezért a területét a következő képlet segítségével számítjuk ki: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Számításainkhoz kényelmesebb és áttekinthetőbb a szegmens ábrázolása HIRDETÉS mint a szegmensek összege ACÉs CD.

Írjuk fel az ábra területének kiszámításának mindkét módját, és tegyünk közéjük egyenlőségjelet: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Az egyszerűsítéshez a már általunk ismert és fentebb leírt szegmensek egyenlőségét használjuk jobb oldal bejegyzés: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Most nyissuk meg a zárójeleket, és alakítsuk át az egyenlőséget: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Az összes átalakítást követően pontosan azt kapjuk, amire szükségünk van: BC 2 = AC 2 + AB 2. A tételt bebizonyítottuk.

Természetesen a bizonyítékok listája még korántsem teljes. A Pitagorasz-tétel vektorok segítségével is igazolható, komplex számok, differenciál egyenletek, sztereometria stb. És még a fizikusok is: ha például folyadékot öntünk a rajzokon láthatóhoz hasonló négyzet és háromszög alakú térfogatokba. Folyadék öntésével bizonyíthatja a területek egyenlőségét és ennek eredményeként magát a tételt.

Néhány szó a Pitagorasz-hármasokról

Az iskolai tantervben keveset vagy egyáltalán nem foglalkoznak ezzel a kérdéssel. Eközben nagyon érdekes és van nagyon fontos a geometriában. A Pitagorasz-hármasokat sok megoldására használják matematikai problémákat. Ezek megértése hasznos lehet a továbbtanulás során.

Tehát mik azok a Pitagorasz-hármasok? Így hívják egész számok, hármasban gyűjtjük, amelyek közül kettő négyzeteinek összege egyenlő a négyzet harmadik számával.

A Pitagorasz-hármasok lehetnek:

• primitív (mindhárom szám viszonylag prím);
• nem primitív (ha egy hármas minden számát megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor egy új hármast kapunk, ami nem primitív).

Az ókori egyiptomiakat már korszakunk előtt is lenyűgözte a számmánia. Pitagorasz hármas: A feladatokban egy derékszögű háromszöget néztek, melynek oldalai 3,4 és 5 egységnyiek. Egyébként minden olyan háromszög, amelynek oldalai megegyeznek a Pitagorasz-hármasból származó számokkal, alapértelmezés szerint téglalap alakú.

Példák a Pitagorasz-hármasokra: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) stb.

A tétel gyakorlati alkalmazása

A Pitagorasz-tételt nemcsak a matematikában használják, hanem az építészetben és az építőiparban, a csillagászatban és még az irodalomban is.

Először az építésről: a Pitagorasz-tétel megtalálja benne széles körű alkalmazás feladatokban különböző szinteken nehézségek. Például nézzünk meg egy román stílusú ablakot:

Jelöljük az ablak szélességét mint b, akkor a fő félkör sugarát így jelölhetjük Rés kifejezni keresztül b: R=b/2. A kisebb félkörök sugara keresztül is kifejezhető b: r=b/4. Ebben a feladatban minket az ablak belső körének sugara érdekel (nevezzük p).

A Pitagorasz-tétel csak hasznos a számításhoz R. Ehhez egy derékszögű háromszöget használunk, amelyet az ábrán pontozott vonal jelöl. A háromszög hipotenusza két sugárból áll: b/4+p. Az egyik láb a sugarat jelenti b/4, egy másik b/2-p. A Pitagorasz-tétel segítségével ezt írjuk: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Ezután kinyitjuk a zárójeleket, és megkapjuk b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Alakítsuk át ezt a kifejezést a következőre bp/2=b 2 /4-bp. És akkor elosztjuk az összes kifejezést b, hasonlókat mutatunk be 3/2*p=b/4. És a végén azt találjuk p=b/6- amire szükségünk volt.

A tétel segítségével kiszámíthatja a szarufák hosszát egy nyeregtetőhöz. Határozza meg, milyen magas mobiltelefon-toronyra van szükség ahhoz, hogy a jel elérjen egy bizonyos értéket település. És még telepíteni is folyamatosan karácsonyfa a város főterén. Mint látható, ez a tétel nem csak a tankönyvek lapjain él, hanem gyakran hasznos a való életben is.

Az irodalomban a Pitagorasz-tétel az ókor óta ihlette az írókat, és ez a mai napig is így van. Például a tizenkilencedik századi német író, Adelbert von Chamisso ihletet kapott egy szonett megírására:

Az igazság fénye nem oszlik el egyhamar,
De miután ragyogott, nem valószínű, hogy eloszlik
És mint több ezer évvel ezelőtt,
Nem fog kétséget vagy vitát okozni.

A legbölcsebb, ha megérinti a tekintetét
Az igazság fénye, hála az isteneknek;
És száz levágott bika hazudik -
Viszonzó ajándék a szerencsés Pythagorastól.

Azóta a bikák kétségbeesetten ordítanak:
Örökre riasztotta a bika törzset
Itt említett esemény.

Úgy tűnik nekik: mindjárt eljön az idő,
És újra feláldozzák őket
Valami nagyszerű tétel.

(Viktor Toporov fordítása)

És a huszadik században szovjet író Jevgenyij Veltisztov „Az elektronika kalandjai” című könyvében egy egész fejezetet szentelt a Pitagorasz-tétel bizonyításának. És még egy fél fejezet a kétdimenziós világról szóló történethez, amely akkor létezhetne, ha a Pitagorasz-tétel egyetlen világ alaptörvényévé, sőt vallásává válna. Ott élni sokkal könnyebb, de sokkal unalmasabb is lenne: például ott senki sem érti a „kerek” és a „bolyhos” szavak jelentését.

A „The Adventures of Electronics” című könyvben pedig a szerző Taratar matematikatanár szájával ezt mondja: „A matematikában a legfontosabb a gondolatok mozgása, az új ötletek.” Pontosan ebből a kreatív gondolatmenetből adódik a Pitagorasz-tétel – nem hiába van annyi változatos bizonyítása. Segít túllépni az ismerős határain, és új szemmel tekinteni az ismerős dolgokra.

Következtetés

Ennek a cikknek az a célja, hogy segítsen túl nézni iskolai tananyag matematikából, és nemcsak a Pitagorasz-tétel azon bizonyításait tanulja meg, amelyeket a „Geometria 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) és „Geometry 7-11” (A.V. Pogorelov) tartalmaz, hanem és más érdekes bizonyítási módokat is. a híres tétel. És lásson példákat arra is, hogyan lehet alkalmazni a Pitagorasz-tételt a mindennapi életben.

Először is, ez az információ lehetővé teszi, hogy többre jogosult legyen magas pontszám matematika órákon - információ a témában től további források mindig nagyra értékelik.

Másodszor, segíteni akartunk Önnek abban, hogy átérezhesse a matematikát érdekes tudomány. Győződjön meg róla konkrét példák hogy mindig van benne hely a kreativitásnak. Reméljük, hogy a Pitagorasz-tétel és ez a cikk ösztönözni fogja Önt független keresésekés izgalmas felfedezések a matematikában és más tudományokban.

Mondja el nekünk a megjegyzésekben, ha érdekesnek találta a cikkben bemutatott bizonyítékokat. Hasznosnak találta ezeket az információkat tanulmányai során? Írja meg nekünk, mit gondol a Pitagorasz-tételről és erről a cikkről – mindezt szívesen megbeszéljük Önnel.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.