Pitagorasz-tétel

Más tételek és problémák sorsa sajátos... Hogyan magyarázható például a matematikusok és a matematika szerelmeseinek ilyen kivételes figyelme a Pitagorasz-tétel iránt? Miért nem elégedtek meg közülük sokan a már ismert bizonyítékokkal, hanem megtalálták a magukét, így a bizonyítékok száma több százra nőtt huszonöt, viszonylag előrelátható évszázadon keresztül?
Amikor arról beszélünk a Pitagorasz-tételről a nevével kezdődik a szokatlan. Úgy tartják, hogy nem Pythagoras fogalmazta meg először. Azt is kétségesnek tartják, hogy igazolta-e. Ha Pythagoras - igazi arc(van, aki ezt kétségbe is vonja!), akkor nagy valószínűséggel a 6-5. I.E e. Ő maga nem írt semmit, filozófusnak nevezte magát, ami az ő felfogásában a „bölcsességre való törekvést” jelentette, és megalapította a Pitagorasz Uniót, amelynek tagjai zenét, gimnasztikát, matematikát, fizikát és csillagászatot tanultak. Úgy tűnik, kiváló szónok is volt, amit a következő legenda bizonyít, amely Croton városában való tartózkodására vonatkozik: „Püthagorasz első megjelenése a krotoni emberek előtt a fiatalokhoz intézett beszéddel kezdődött, amelyben szigorúan, de egyben olyan lenyűgözően vázolták fel a fiatalok kötelességeit, és a város vének kérték, hogy ne hagyják őket utasítás nélkül. E második beszédében a törvényességre és az erkölcsök tisztaságára mutatott rá, mint a család alapjára; a következő kettőben gyerekeket és nőket szólított meg. Következmény utolsó beszéd, amelyben különösen elítélte a luxust, az volt, hogy több ezer becses ruhát szállítottak Héra templomába, mert azokban már egyetlen nő sem mert megjelenni az utcán...” Ennek ellenére még a Krisztus utáni második században, i.e. 700 évvel később egész jól éltek és dolgoztak. igazi emberek, rendkívüli tudósok, akikre egyértelműen a Pythagorean szövetség hatása volt, és akik nagy tiszteletben tartották azt, amit a legenda szerint Pythagoras alkotott.
Az is kétségtelen, hogy a tétel iránti érdeklődést az is okozza, hogy az egyik központi helyek, és a bizonyítékok szerzőinek elégedettsége, akik túllépték azokat a nehézségeket, amelyeket a korszakunk előtt élt római költő, Quintus Horace Flaccus jól mondott: „Nehéz jól ismert tényeket kifejezni.”
Kezdetben a tétel megállapította az összefüggést a derékszögű háromszög befogójára és száraira épített négyzetek területei között:
.
Algebrai megfogalmazás:
IN derékszögű háromszög a hipotenusz hosszának négyzete egyenlő az összeggel lábhosszúságú négyzetek.
Vagyis a háromszög befogójának hosszát c-vel, a lábak hosszát a és b-vel jelölve: a 2 + b 2 =c 2. A tétel mindkét megfogalmazása ekvivalens, de a második megfogalmazás elemibb, nem igényli a terület fogalmát. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről, és csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérjük meg.
Fordított Pitagorasz-tétel. Minden háromra pozitív számok a, b és c, úgy, hogy
a 2 + b 2 = c 2, van egy derékszögű háromszög, amelynek a és b lábai és c hipotenusza.

Bizonyíték

On pillanatnyilag V tudományos irodalom Ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették. Valószínűleg a Pitagorasz-tétel az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítással rendelkezik. Ez a sokféleség csak megmagyarázható alapvető fontosságú tételek a geometriához.
Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. Közülük a leghíresebbek: területmódszeres bizonyítások, axiomatikus és egzotikus bizonyítások (például differenciálegyenletekkel).

Hasonló háromszögeken keresztül

Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a bizonyítások közül a legegyszerűbb, közvetlenül az axiómákból szerkesztve. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.
Legyen ABC derékszögű C derékszögű háromszög. Rajzolja le C-ből a magasságot, és jelölje H-vel az alapját. Az ACH háromszög két szögben hasonló az ABC háromszöghöz.
Hasonlóképpen, a CBH háromszög hasonló az ABC-hez. A jelölés bevezetésével

kapunk

Mi az egyenértékű

Összeadva azt kapjuk

vagy

Bizonyítások területmódszerrel

Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindannyian a terület tulajdonságait használják, amelyek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.

Bizonyítás egyenértékű kiegészítéssel

1. Helyezzen el négy egyenlő derékszögű háromszöget az ábrán látható módon.
2. A c oldalú négyszög négyzet, mivel két hegyesszög összege 90°, az egyenes szöge pedig 180°.
3. A teljes ábra területe egyrészt egyenlő az (a + b) oldalú négyzet területével, másrészt a területek összegével négy háromszögés egy belső tér.



Q.E.D.

Bizonyítás az ekvivalencián keresztül

Egy ilyen bizonyításra egy példa látható a jobb oldali rajzon, ahol a hipotenuzusra épített négyzet átrendeződik két, a lábakra épített négyzetre.

Eukleidész bizonyítéka

Eukleidész bizonyításának gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele, majd a a nagy és a két kis négyzet egyenlő. Nézzük a bal oldali rajzot. Rajta négyzeteket építettünk egy derékszögű háromszög oldalaira, és a csúcsból rajzoltunk derékszög Az AB befogóra merőleges s sugárral két téglalapra - BHJI-re, illetve HAKJ-ra - vágja a befogóra épített ABIK négyzetet. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével. Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. adott téglalap, egyenlő az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe megegyezik az AHK háromszög területével (az ábrán nem látható), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével. Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe a fenti tulajdonság szerint egyenlő a négyzet területének felével). Ez az egyenlőség nyilvánvaló, a háromszögek mindkét oldalán egyenlők és a köztük lévő szög. Ugyanis - AB=AK,AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: a CAK háromszöget 90°-kal elforgatjuk az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a két háromszög megfelelő oldalai kérdés egybeesik (annak a ténynek köszönhetően, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°). A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségének indoklása teljesen hasonló. Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeiből tevődik össze.

Leonardo da Vinci bizonyítéka

A bizonyítás fő elemei a szimmetria és a mozgás.

Tekintsük a rajzot, ahogy a szimmetriából is látszik, a CI szakasz az ABHJ négyzetet két azonos részre vágja (mivel ABC háromszögekés a JHI felépítésében egyenlő). Az óramutató járásával ellentétes 90 fokos elforgatással látjuk a CAJI és a GDAB árnyékolt ábrák egyenlőségét. Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a hipotenuzusra épített négyzet területének felével, plusz az eredeti háromszög területével. A bizonyítás utolsó lépését az olvasóra bízzuk.

GEOMETRIAI ÁBRÁK TERÜLETÉNEK MÉRÉSE.

58. § PYTAGOREUSI TÉTEL 1.

__________
1 Pythagoras egy görög tudós, aki körülbelül 2500 évvel ezelőtt élt (i. e. 564-473).
_________

Adjunk egy derékszögű háromszöget, amelynek oldalai A, bÉs Vel(267. rajz).

Építsünk négyzeteket az oldalaira. Ezeknek a négyzeteknek a területe egyenlő A 2 , b 2 és Vel 2. Bizonyítsuk be Vel 2 = a 2 + b 2 .

Szerkesszünk meg két MKOR és M"K"O"R négyzetet (268., 269. rajz), mindegyik oldalának felvéve az ABC derékszögű háromszög szárainak összegével megegyező szakaszt.

A 268. és 269. ábrán látható konstrukciók ezekben a négyzetekben való kivitelezése után látni fogjuk, hogy az MCOR négyzet két területre oszlik. A 2 és b 2 és négy egyenlő derékszögű háromszög, amelyek mindegyike egyenlő az ABC derékszögű háromszöggel. Az M"K"O"R" négyzetet egy négyszögre (a 269. rajzon árnyékolva van) és négy derékszögű háromszögre osztották, amelyek mindegyike megegyezik az ABC háromszöggel. Az árnyékolt négyszög négyzet, mivel az oldalai egyenlőek (mindegyik egyenlő az ABC háromszög befogójával, azaz. Vel), és a szögek megfelelőek / 1 + / 2 = 90°, honnan / 3 = 90°).

Így a lábakra épített négyzetek területeinek összege (a 268-as rajzon ezek a négyzetek árnyékolva vannak) egyenlő az MCOR négyzet területével az összeg nélkül négy négyzet egyenlő háromszögek, és a hipotenúzusra épített négyzet területe (a 269. rajzon ez a négyzet is árnyékolt) egyenlő az M"K"O"R négyzet területével, egyenlő az MCOR négyzettel, négy hasonló háromszög területének összege nélkül. Ezért a derékszögű háromszög befogójára épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területének összegével.

Megkapjuk a képletet Vel 2 = a 2 + b 2 hol Vel- hypotenus, AÉs b- derékszögű háromszög lábai.

A Pitagorasz-tételt általában a következőképpen fogalmazzák meg röviden:

Egy derékszögű háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

A képletből Vel 2 = a 2 + b 2 a következő képleteket kaphatja meg:

A 2 = Vel 2 - b 2 ;
b 2 = Vel 2 - A 2 .

Ezekkel a képletekkel lehet megtalálni ismeretlen oldala egy derékszögű háromszög a két adott oldala mentén.
Például:

a) ha a lábak adottak A= 4 cm, b=3 cm, akkor megtalálhatja a hipotenuszt ( Vel):
Vel 2 = a 2 + b 2, azaz Vel 2 = 4 2 + 3 2; ahol 2 = 25, honnan Vel= √25 =5 (cm);

b) ha a hypotenusát adják Vel= 17 cm és láb A= 8 cm, akkor találsz egy másik lábat ( b):

b 2 = Vel 2 - A 2, azaz b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, honnan b= √225 = 15 (cm).

Következmény: Ha két ABC és A derékszögű háromszögnek 1 B 1 C 1 befogója van VelÉs Vel 1 egyenlő, és láb b Az ABC háromszög hosszabb, mint a láb b 1 háromszög A 1 B 1 C 1,
majd a lábát A Az ABC háromszög kisebb, mint a láb A 1 háromszög A 1 B 1 C 1. (Készítsen rajzot, amely szemlélteti ezt a következményt.)

Valójában a Pitagorasz-tétel alapján a következőket kapjuk:

A 2 = Vel 2 - b 2 ,
A 1 2 = Vel 1 2 - b 1 2

Az írott formulákban a minuendek egyenlőek, és az első képlet részfeje nagyobb, mint a második képlet részfeje, ezért az első különbség kisebb, mint a második,
azaz A 2 < A 1 2 . Ahol A< A 1 .

Gyakorlatok.

1. Bizonyítsa be a 270. rajz segítségével a Pitagorasz-tételt egy egyenlő szárú derékszögű háromszögre!

2. Egy derékszögű háromszög egyik lába 12 cm, a másik 5 cm. Számítsa ki ennek a háromszögnek a befogójának hosszát!

3. Egy derékszögű háromszög befogója 10 cm, az egyik szár 8 cm. Számítsa ki ennek a háromszögnek a másik lábának hosszát!

4. Egy derékszögű háromszög befogója 37 cm, egyik szára 35 cm. Számítsa ki ennek a háromszögnek a másik lábának a hosszát!

5. Szerkesszünk egy négyzetet, amelynek területe kétszer akkora, mint a megadott!

6. Szerkesszünk egy négyzetet, amelynek területe fele akkora, mint a megadott! Jegyzet. Végezze el adott négyzetátlók. Ezeknek az átlóknak a felére épített négyzetek lesznek azok, amelyeket keresünk.

7. Egy derékszögű háromszög lábai rendre 12 cm, illetve 15 cm. Számítsuk ki ennek a háromszögnek a befogó hosszát 0,1 cm-es pontossággal!

8. Egy derékszögű háromszög befogója 20 cm, az egyik lába 15 cm. Számítsa ki a másik láb hosszát 0,1 cm pontossággal!

9. Milyen hosszúnak kell lennie a létrának, hogy 6 m magasságban lévő ablakra rögzíthető legyen, ha a létra alsó vége 2,5 m-re kell, hogy legyen az épülettől? (271. ábra.)

Egy dologban száz százalékig biztos lehetsz, ha megkérdezik, hogy miért egyenlő a négyzettel hipotenúza esetén minden felnőtt bátran válaszol: „A lábak négyzeteinek összege.” Ez a tétel mindenki fejében szilárdan rögzült. művelt ember, de csak meg kell kérni valakit, hogy bizonyítson, és nehézségek adódhatnak. Emlékezzünk tehát és mérlegeljük különböző módokon a Pitagorasz-tétel bizonyítása.

Rövid életrajz

A Pitagorasz-tétel szinte mindenki számára ismert, de valamilyen oknál fogva annak a személynek az életrajza, aki a világra hozta, nem olyan népszerű. Ez javítható. Ezért, mielőtt megvizsgálná Pythagoras tételének bizonyításának különböző módjait, röviden meg kell ismernie személyiségét.

Pythagoras - filozófus, matematikus, gondolkodó ma nagyon nehéz megkülönböztetni életrajzát a legendáktól, amelyek e nagyszerű ember emlékére alakultak ki. De ahogy követőinek munkáiból az következik, Szamoszi Pythagoras Szamosz szigetén született. Apja közönséges kőfaragó volt, de anyja nemesi családból származott.

A legenda alapján Pythagoras születését egy Pythia nevű nő jósolta meg, akinek tiszteletére a fiút elnevezték. Jóslata szerint a megszületett fiúnak sok hasznot és jót kellett volna hoznia az emberiségnek. Pontosan ezt tette.

A tétel születése

Fiatalkorában Pythagoras Egyiptomba költözött, hogy ott találkozzon híres egyiptomi bölcsekkel. A velük való találkozás után megengedték neki, hogy tanuljon, ahol megtanulta az egyiptomi filozófia, matematika és orvostudomány minden nagyszerű vívmányát.

Valószínűleg Egyiptomban ihlette Pythagorast a piramisok fensége és szépsége, és alkotta meg nagyszerű elméletét. Ez sokkolhatja az olvasókat, de a modern történészek úgy vélik, hogy Pythagoras nem igazolta elméletét. De tudását csak követőinek adta át, akik később minden szükséges matematikai számítást elvégeztek.

Bárhogy is legyen, ma ennek a tételnek nem egy bizonyítási módszere ismert, hanem egyszerre több. Ma már csak találgatni tudjuk, hogy az ókori görögök pontosan hogyan végezték számításaikat, ezért itt a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait fogjuk megvizsgálni.

Pitagorasz-tétel

Mielőtt bármilyen számításba kezdene, ki kell találnia, hogy melyik elméletet szeretné bizonyítani. A Pitagorasz-tétel így hangzik: „Egy háromszögben, amelyben az egyik szög 90°, a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével.

Összesen 15 különböző módszer létezik a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Ez elég nagy szám, ezért figyeljünk a legnépszerűbbekre.

1. módszer

Először is határozzuk meg, mit kaptunk. Ezek az adatok a Pitagorasz-tétel más bizonyítási módszereire is vonatkoznak, ezért érdemes azonnal megjegyezni az összes rendelkezésre álló jelölést.

Tegyük fel, hogy kapunk egy derékszögű háromszöget, amelynek a, b lábai és egy c-vel egyenlő befogója. Az első bizonyítási módszer azon a tényen alapul, hogy derékszögű háromszögből négyzetet kell rajzolni.

Ehhez hozzá kell adni a b lábnak megfelelő szegmenst az a lábhosszhoz, és fordítva. Ebből kettőnek kell lennie egyenlő oldalak négyzet. Már csak két párhuzamos vonalat kell húzni, és kész is a négyzet.

A kapott ábrán belül egy másik négyzetet kell rajzolnia egy oldallal egyenlő a hypotenusával az eredeti háromszög. Ehhez az ас és св csúcsokból kettőt kell rajzolni párhuzamos a szegmenssel egyenlő Így a négyzet három oldalát kapjuk, amelyek közül az egyik az eredeti derékszögű háromszög befogója. Már csak a negyedik szegmens megrajzolása van hátra.

A kapott ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a külső négyzet területe (a + b) 2. Ha belenézünk az ábrába, láthatjuk, hogy a belső négyzeten kívül még négy derékszögű háromszög található. Mindegyik területe 0,5 av.

Ezért a terület egyenlő: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Ezért (a+c) 2 =2ab+c 2

Ezért c 2 =a 2 +b 2

A tétel bebizonyosodott.

Második módszer: hasonló háromszögek

Ezt a Pitagorasz-tétel bizonyítási képletét a geometria hasonló háromszögekre vonatkozó szakaszának állítása alapján vezették le. Azt állítja, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogójával arányos átlag és a 90°-os szög csúcsából kiinduló befogószakasz.

A kezdeti adatok ugyanazok maradnak, ezért kezdjük rögtön a bizonyítással. Hajtsuk végre oldalra merőlegesen AB szegmens CD. A fenti állítás alapján a háromszögek oldalai egyenlőek:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

A Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó kérdés megválaszolásához a bizonyítást mindkét egyenlőtlenség négyzetre emelésével kell befejezni.

AC 2 = AB * AD és CB 2 = AB * DV

Most össze kell adnunk a kapott egyenlőtlenségeket.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), ahol AD ​​+ DV = AB

Kiderül, hogy:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

És ezért:

AC 2 + CB 2 = AB 2

A Pitagorasz-tétel bizonyítása és különféle módokon megoldásai e probléma sokoldalú megközelítését igénylik. Ez a lehetőség azonban az egyik legegyszerűbb.

Egy másik számítási módszer

A Pitagorasz-tétel különböző bizonyítási módszereinek leírása nem feltétlenül jelent semmit, amíg el nem kezdi önállóan gyakorolni. Sok technika nem csak matematikai számításokat foglal magában, hanem új figurák felépítését is az eredeti háromszögből.

IN ebben az esetben Egy másik VSD derékszögű háromszöget kell kitölteni a BC oldalról. Így most két háromszög van közös szárral BC.

Tudva, hogy a terület hasonló figurák arányuk van, mint a hasonló négyzetei lineáris méretek, Ez:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(2-től 2-ig) = a 2 *(S avd -S vsd)

2-től 2-ig =a 2

c 2 =a 2 + b 2

Mivel a Pitagorasz-tétel 8. évfolyamra vonatkozó bizonyítási módjai közül ez a lehetőség aligha alkalmas, használhatja a következő módszert.

A Pitagorasz-tétel bizonyításának legegyszerűbb módja. Vélemények

A történészek szerint ezt a módszert először a tétel bizonyítására használták ókori Görögország. Ez a legegyszerűbb, mivel nem igényel semmiféle számítást. Ha helyesen rajzolja meg a képet, akkor az a 2 + b 2 = c 2 állítás bizonyítéka jól látható lesz.

Feltételek a ezt a módszert kissé eltér majd az előzőtől. A tétel bizonyításához tegyük fel, hogy egy téglalap ABC háromszög- egyenlő szárú.

Vegyük az AC hipotenuszt a négyzet oldalának, és rajzoljuk meg a három oldalát. Ezenkívül a kapott négyzetben két átlós vonalat kell húzni. Így benne négy egyenlő szárú háromszöget kap.

Rajzolnia kell egy négyzetet az AB és CB lábakhoz, és mindegyikbe húznia kell egy-egy átlós egyenest. Az első vonalat az A csúcsból, a másodikat a C csúcsból húzzuk.

Most alaposan meg kell néznie a kapott rajzot. Mivel az AC hipotenuszon négy, az eredetivel megegyező háromszög található, az oldalakon pedig kettő, ez jelzi ennek a tételnek a valódiságát.

Egyébként a Pitagorasz-tétel bizonyítási módszerének köszönhetően híres mondat: "A pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő."

J. Garfield bizonyítéka

James Garfield az Amerikai Egyesült Államok huszadik elnöke. Amellett, hogy az Egyesült Államok uralkodójaként beírta magát a történelembe, tehetséges autodidakta is volt.

Pályája elején közönséges tanár volt egy állami iskolában, de hamarosan az egyik legmagasabb iskola igazgatója lett oktatási intézményekben. Az önfejlesztés vágya lehetővé tette számára, hogy felajánlja új elmélet a Pitagorasz-tétel bizonyítása. A tétel és a megoldás példája a következő.

Először két derékszögű háromszöget kell rajzolnia egy papírra, hogy az egyik lába a második folytatása legyen. Ezeknek a háromszögeknek a csúcsait össze kell kapcsolni, hogy végül trapézt alkossanak.

Mint tudják, a trapéz területe megegyezik az alapjai és a magassága összegének felével.

S=a+b/2 * (a+b)

Ha a kapott trapézt három háromszögből álló alaknak tekintjük, akkor a területe a következőképpen található:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Most ki kell egyenlítenünk a két eredeti kifejezést

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 + b 2

A Pitagorasz-tételről és annak bizonyítási módszereiről nem egy kötetet lehetne írni. oktatási segédlet. De van-e értelme annak, amikor ezt a tudást nem lehet a gyakorlatban alkalmazni?

A Pitagorasz-tétel gyakorlati alkalmazása

Sajnos modernben iskolai programok Ezt a tételt csak az alábbiakban kívánjuk használni geometriai problémák. A végzősök hamarosan otthagyják az iskolát anélkül, hogy tudnák, hogyan alkalmazhatják tudásukat és készségeiket a gyakorlatban.

Valójában használja a Pitagorasz-tételt mindennapi élet mindenki tud. És nem csak benne szakmai tevékenység, hanem a hétköznapi háztartási munkákban is. Nézzünk meg néhány olyan esetet, amikor a Pitagorasz-tétel és a bizonyítási módszerek rendkívül szükségesek lehetnek.

A tétel és a csillagászat kapcsolata

Úgy tűnik, hogyan lehet összekapcsolni a papíron lévő csillagokat és háromszögeket. Valójában a csillagászat az tudományos terület, amely széles körben használja a Pitagorasz-tételt.

Vegyük például a mozgást fénysugár a térben. Ismeretes, hogy a fény mindkét irányban azonos sebességgel mozog. Nevezzük AB pályának, amelyen a fénysugár mozog l. És nevezzük a fénynek A pontból B pontba jutáshoz szükséges idő felét t. És a sugár sebessége - c. Kiderül, hogy: c*t=l

Ha ugyanezt a sugarat egy másik síkról nézzük, például egy v sebességgel mozgó térbélésről, akkor a testek ilyen módon történő megfigyelésekor a sebességük megváltozik. Ebben az esetben még az álló elemek is elkezdenek v sebességgel az ellenkező irányba mozogni.

Tegyük fel, hogy a képregény jobbra vitorlázik. Ezután az A és B pont, amelyek között a sugár rohan, balra mozog. Sőt, amikor a sugár A pontból B pontba mozog, az A pontnak van ideje mozogni, és ennek megfelelően a fény már megérkezik új pont C. Annak a távolságnak a felének meghatározásához, amellyel A pont elmozdult, meg kell szorozni a bélés sebességét a nyaláb utazási idejének felével (t").

És ahhoz, hogy megtudja, milyen messzire juthat el egy fénysugár ez idő alatt, meg kell jelölnie az út felét egy új s betűvel, és a következő kifejezést kell kapnia:

Ha elképzeljük, hogy a C és B fénypontok, valamint a térbélés a csúcsok egyenlő szárú háromszög, akkor az A ponttól a vonalzóig tartó szakasz két derékszögű háromszögre osztja azt. Ezért a Pitagorasz-tételnek köszönhetően megtalálhatja azt a távolságot, amelyet egy fénysugár megtehet.

Ez a példa persze nem a legsikeresebb, hiszen csak kevesen lehet szerencsések a gyakorlatban kipróbálni. Ezért nézzük meg ennek a tételnek a hétköznapibb alkalmazásait.

Mobil jelátviteli tartomány

A modern élet már nem képzelhető el okostelefonok nélkül. De mekkora hasznuk lenne, ha nem tudnának mobilkommunikáción keresztül összekötni az előfizetőket?!

A mobilkommunikáció minősége közvetlenül attól függ, hogy a mobilszolgáltató antennája milyen magasságban található. Annak kiszámításához, hogy egy mobil toronytól milyen távolságra tud jelet fogadni, alkalmazhatja a Pitagorasz-tételt.

Tegyük fel, hogy meg kell találni egy álló torony hozzávetőleges magasságát, hogy 200 kilométeres sugarú körben el tudjon terjeszteni egy jelet.

AB (torony magassága) = x;

BC (jelátviteli sugár) = 200 km;

OS (sugár földgolyó) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

A Pitagorasz-tételt alkalmazva megtudjuk, hogy minimális magasság a torony legyen 2,3 kilométer hosszú.

Pitagorasz-tétel a mindennapi életben

Furcsa módon a Pitagorasz-tétel még a hétköznapi dolgokban is hasznos lehet, például egy gardrób magasságának meghatározásánál. Első pillantásra nincs szükség ilyen használatára összetett számítások, mert egyszerűen mérőszalaggal mérhet. Sokan azonban csodálkoznak azon, hogy miért merülnek fel bizonyos problémák az összeszerelési folyamat során, ha az összes mérést pontosabban végezték el.

A helyzet az, hogy a szekrény össze van szerelve vízszintes helyzetés csak ezután emelik fel és szerelik fel a falhoz. Ezért a szerkezet felemelése során a szekrény oldalának szabadon kell mozognia mind a szoba magasságában, mind átlósan.

Tegyük fel, hogy van egy 800 mm mélységű szekrény. Távolság a padlótól a mennyezetig - 2600 mm. Egy tapasztalt bútorkészítő azt mondja, hogy a szekrény magasságának 126 mm-rel kisebbnek kell lennie, mint a szoba magassága. De miért pont 126 mm? Nézzünk egy példát.

Ideális szekrényméretekkel ellenőrizzük a Pitagorasz-tétel működését:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - minden passzol.

Mondjuk a szekrény magassága nem 2474 mm, hanem 2505 mm. Majd:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Ezért ez a szekrény nem alkalmas ebbe a helyiségbe való beépítésre. Mert függőleges helyzetbe emelése károsíthatja a testét.

Talán, ha megvizsgáljuk a Pitagorasz-tétel különböző tudósok általi bizonyításának módjait, arra a következtetésre juthatunk, hogy ez több mint igaz. Most már használhatja a kapott információkat a mindennapi életében, és teljesen biztos lehet benne, hogy minden számítás nemcsak hasznos, hanem helyes is lesz.

Középszint

Derékszögű háromszög. A teljes illusztrált útmutató (2019)

TÉGYSZÖGŰ HÁROMSZÖG. BEVEZETŐI SZINT.

Problémák esetén a derékszög egyáltalán nem szükséges - a bal alsó, ezért meg kell tanulnia felismerni a derékszögű háromszöget ebben a formában,

és ebben

és ebben

Mi a jó egy derékszögű háromszögben? Nos... először is vannak különlegesek szép nevek az oldalaiért.

Figyelem a rajzra!

Ne feledje és ne keverje össze: két lába van, és csak egy hypotenusa van(egyetlen, egyedi és leghosszabb)!

Nos, megbeszéltük a neveket, most a legfontosabb: a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz-tétel.

Ez a tétel a kulcsa számos derékszögű háromszöggel kapcsolatos probléma megoldásának. Pythagoras bizonyította már egészen időtlen időkben, és azóta is sok hasznot hozott az ismerőknek. És az a legjobb benne, hogy egyszerű.

Így, Pitagorasz-tétel:

Emlékszel a viccre: „A pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő!”?

Rajzoljuk le ugyanezeket Pitagorasz nadrágés nézzük meg őket.

Nem úgy néz ki, mint valami rövidnadrág? Nos, melyik oldalon és hol egyenlők? Miért és honnan jött a vicc? És ez a vicc pontosan a Pitagorasz-tételhez kapcsolódik, pontosabban azzal, ahogyan maga Pythagoras megfogalmazta tételét. És így fogalmazta meg:

"Összeg négyzetek területei, a lábakra épített, egyenlő négyzet alakú terület, amely a hipotenuszra épül."

Tényleg kicsit másképp hangzik? És így, amikor Pythagoras lerajzolta tételének kijelentését, pontosan ez a kép rajzolódott ki.

Ezen a képen a kis négyzetek területeinek összege megegyezik a nagy négyzet területével. És hogy a gyerekek jobban emlékezzenek arra, hogy a lábak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével, valaki szellemes kitalálta ezt a viccet a Pitagorasz nadrágról.

Miért most fogalmazzuk meg a Pitagorasz-tételt?

Pythagoras szenvedett, és beszélt a négyzetekről?

Látod, az ókorban nem volt... algebra! Nem voltak jelek és így tovább. Nem voltak feliratok. El tudod képzelni, milyen szörnyű volt a szegény ókori diákoknak mindenre szavakban emlékezni??! És örülhetünk, hogy van egyszerű megfogalmazás Pitagorasz-tétel. Ismételjük meg, hogy jobban emlékezzünk rá:

Most már könnyűnek kell lennie:

A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Nos, itt van főtétel derékszögű háromszögről beszélünk. Ha érdekel, hogyan bizonyított, olvassa el következő szintek elmélet, és most menjünk tovább... arra sötét erdő... trigonometria! A szörnyű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens szavakra.

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben.

Valójában egyáltalán nem minden olyan ijesztő. Természetesen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens „valódi” definícióját érdemes megnézni a cikkben. De tényleg nem akarom, igaz? Örülhetünk: a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák megoldásához egyszerűen töltse ki a következő egyszerű dolgokat:

Miért csak a sarkon múlik minden? Hol van a sarok? Ennek megértéséhez tudnia kell, hogy az 1-4 állítások hogyan íródnak szavakkal. Nézd, értsd és emlékezz!

1.
Valójában így hangzik:

Mi a helyzet a szöggel? Létezik-e a sarokkal szemközti, vagyis egy szemközti (szögre) láb? Természetesen van! Ez egy láb!

Mi a helyzet a szöggel? Nézd meg alaposan. Melyik láb szomszédos a sarokkal? Természetesen a láb. Ez azt jelenti, hogy a szögnél a láb szomszédos, és

Most figyelj! Nézd, mit kaptunk:

Nézd meg, milyen klassz:

Most térjünk át az érintőre és a kotangensre.

Ezt most hogy írjam le szavakkal? Mekkora a láb a szöghez viszonyítva? Természetesen szemben - a sarokkal szemben "fekszik". Mi van a lábbal? A sarokkal szomszédos. Szóval mi van?

Látod, hogyan cserélődött fel a számláló és a nevező?

És most megint a sarkok és csere történt:

Folytatás

Röviden írjuk le mindazt, amit tanultunk.

Pitagorasz-tétel:

A derékszögű háromszögekre vonatkozó fő tétel a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz-tétel

Egyébként jól emlékszel, mik a lábak és a hypotenus? Ha nem túl jó, akkor nézze meg a képet - frissítse tudását

Elképzelhető, hogy Ön már sokszor használta a Pitagorasz-tételt, de elgondolkozott már azon, hogy miért igaz egy ilyen tétel? Hogyan tudom bebizonyítani? Tegyünk úgy, mint az ókori görögök. Rajzoljunk egy négyzetet oldallal.

Nézze meg, milyen ügyesen osztottuk fel az oldalait hosszúságú szegmensekre és!

Most kössük össze a megjelölt pontokat

Itt azonban mást is megjegyeztünk, de te magad nézd meg a rajzot, és gondold át, miért van ez így.

Mekkora a nagyobb négyzet területe? Igaz, . Mi a helyzet egy kisebb területtel? Természetesen,. A négy sarok összterülete megmarad. Képzeld el, hogy egyszerre kettőt vettünk, és egymásnak támasztottuk őket a hypotenusaikkal. Mi történt? Két téglalap. Ez azt jelenti, hogy a „vágások” területe egyenlő.

Most rakjuk össze az egészet.

Alakítsuk át:

Meglátogattuk hát Pythagorast – ősi módon bebizonyítottuk tételét.

Derékszögű háromszög és trigonometria

Derékszögű háromszög esetén a következő összefüggések érvényesek:

Hegyesszög szinusza egyenlő az aránnyal a hypotenusával ellentétes oldalon

Egy hegyesszög koszinusza megegyezik az aránnyal szomszédos láb a hypotenushoz.

Egy hegyesszög érintője egyenlő az ellenkező oldal és a szomszédos oldal arányával.

Egy hegyesszög kotangense egyenlő a szomszédos oldal és a szemközti oldal arányával.

És mindezt még egyszer egy tabletta formájában:

Nagyon kényelmes!

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei

I. Két oldalon

II. Lábon és hypotenuson keresztül

III. A hypotenusával és éles sarok

IV. A lábszár és hegyesszög mentén

a)

b)

Figyelem! Itt nagyon fontos, hogy a lábak „megfelelőek” legyenek. Például, ha ez így megy:

AKKOR A HÁROMSZÖGEK NEM EGYENLŐK, annak ellenére, hogy egy hegyesszögük azonos.

Ez szükséges mindkét háromszögben a láb szomszédos volt, vagy mindkettőben ellentétes volt.

Észrevetted, hogy a derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei miben térnek el a háromszögek szokásos egyenlőségének jeleitől? Vessen egy pillantást a témára, és figyeljen arra, hogy a „közönséges” háromszögek egyenlőségéhez három elemüknek egyenlőnek kell lennie: két oldalnak és a köztük lévő szögnek, két szögnek és a köztük lévő oldalnak vagy három oldalnak. De a derékszögű háromszögek egyenlőségéhez csak két megfelelő elem elegendő. Remek, igaz?

Körülbelül ugyanez a helyzet a derékszögű háromszögek hasonlóságának jeleivel.

Derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei

I. Hegyesszög mentén

II. Két oldalról

III. Lábon és hypotenuson keresztül

Derékszögű háromszög mediánja

Miért van ez így?

Derékszögű háromszög helyett tekintsünk egy egész téglalapot.

Rajzoljunk egy átlót, és vegyünk egy pontot - az átlók metszéspontját. Mit tudunk a téglalap átlóiról?

És mi következik ebből?

Szóval ez kiderült

1. - medián:

Emlékezz erre a tényre! Sokat segít!

Ami még meglepőbb, hogy ennek az ellenkezője is igaz.

Mi haszna származhat abból, hogy a hipotenuszhoz húzott medián egyenlő a hipotenusz felével? Nézzük a képet

Nézd meg alaposan. Megvan: , azaz a pont és a háromszög mindhárom csúcsa közötti távolság egyenlőnek bizonyult. De a háromszögben csak egy pont van, a távolságok a háromszög mindhárom csúcsától egyenlők, és ez a KÖR KÖZÉPJE. Szóval mi történt?

Kezdjük tehát ezzel a „mellett...”.

Nézzük meg és.

De hasonló háromszögek minden szög egyenlő!

Ugyanez elmondható az és

Most rajzoljuk le együtt:

Milyen előnyök származhatnak ebből a „hármas” hasonlóságból?

Hát például... két képlet egy derékszögű háromszög magasságára.

Írjuk fel a megfelelő felek kapcsolatait:

A magasság megállapításához megoldjuk az arányt és kapjuk az első képlet "Magasság derékszögű háromszögben":

Tehát alkalmazzuk a hasonlóságot: .

Mi lesz most?

Ismét megoldjuk az arányt, és megkapjuk a második képletet:

Nagyon jól kell emlékeznie mindkét képletre, és azt kell használnia, amelyik kényelmesebb. Írjuk le őket újra

Pitagorasz-tétel:

Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével: .

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

• két oldalról:
• lábbal és hipotenusszal: ill
• a lábszár és a szomszédos hegyesszög mentén: vagy
• a lábszár mentén és az ellenkező hegyesszögben: vagy
• hipotenúza és hegyesszög szerint: vagy.

A derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei:

• egy hegyes sarok: ill
• a két láb arányosságából:
• a lábszár és a hypotenus arányosságától: ill.

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben

• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti oldal és a hipotenusz aránya:
• A derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza a szomszédos láb és az alsó rész aránya:
• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya:
• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya: .

Derékszögű háromszög magassága: vagy.

Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott medián egyenlő a befogó felével: .

Egy derékszögű háromszög területe:

• lábakon keresztül:

Minden iskolás tudja, hogy a hipotenusz négyzete mindig egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyike négyzetes. Ezt az állítást Pitagorasz-tételnek nevezzük. Ő az egyik legtöbb híres tételek trigonometria és általában a matematika. Nézzük meg közelebbről.

A derékszögű háromszög fogalma

Mielőtt áttérnénk a Pitagorasz-tételre, amelyben a hipotenusz négyzete egyenlő a négyzetre emelt lábak összegével, meg kell vizsgálnunk a derékszögű háromszög fogalmát és tulajdonságait, amelyre a tétel érvényes.

Háromszög - lapos alak három szöggel és három oldallal. A derékszögű háromszögnek, ahogy a neve is sugallja, van egy derékszöge, vagyis ez a szög egyenlő 90 o-kal.

Tól általános tulajdonságok az összes háromszögre ismert, hogy ennek az ábrának mindhárom szögének összege 180 o, ami azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögnél két nem derékszögű szög összege 180 o - 90 o = 90 o. Utolsó tény azt jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármely szöge, amely nem derékszögű, mindig kisebb lesz 90 o-nál.

A derékszöggel ellentétes oldalt hipotenusznak nevezzük. A másik két oldal a háromszög lábai, lehetnek egyenlőek egymással, vagy eltérőek is. A trigonometriából tudjuk, hogy minél nagyobb a szög, amellyel egy háromszög egyik oldala bezárul, annál nagyobb az oldal hossza. Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben a befogó (a 90 o-os szöggel szemben helyezkedik el) mindig nagyobb lesz, mint bármelyik szár (a szögekkel szemben helyezkedik el)< 90 o).

Pitagorasz-tétel matematikai jelölése

Ez a tétel kimondja, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyikét előzőleg négyzetre vetették. Ennek a megfogalmazásnak a matematikai felírásához tekintsünk egy derékszögű háromszöget, amelyben a, b és c oldalak a két szár, illetve a befogó. Ebben az esetben a tétel, amely úgy van megfogalmazva, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, a következő képlettel ábrázolható: c 2 = a 2 + b 2. Innen további, a gyakorlat szempontjából fontos képletek is előállíthatók: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) és c = √(a 2 + b 2).

Vegye figyelembe, hogy téglalap esetén egyenlő oldalú háromszög, azaz a = b, megfogalmazás: a hipotenusz négyzete egyenlő a négyzetű lábak összegével, matematikailag a következőképpen írva: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, amiből következik, hogy egyenlőség: c = a√2.

Történelmi háttér

A Pitagorasz-tételt, amely kimondja, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak összegével, amelyek mindegyike négyzetes, már jóval azelőtt ismert volt, hogy a híres görög filozófus ráfigyelt volna. Sok papirusz Az ókori Egyiptom, és azt is agyagtáblák A babilóniaiak megerősítik, hogy ezek a népek egy derékszögű háromszög oldalainak említett tulajdonságát használták. Például az egyik első egyiptomi piramisok, a Khafre piramis, melynek építése a Kr. e. 26. századra nyúlik vissza (Püthagorasz élete előtt 2000 évvel), a képarány ismerete alapján készült 3x4x5 derékszögű háromszögben.

Akkor most miért viseli a tétel a görög nevét? A válasz egyszerű: Pythagoras az első, aki matematikailag bizonyítja ezt a tételt. A túlélő babiloni és egyiptomi írott források Csak a használatáról beszél, de nem ad matematikai bizonyítékot.

Úgy tartják, Pitagorasz a kérdéses tételt a hasonló háromszögek tulajdonságainak felhasználásával igazolta, amelyet úgy kapott, hogy egy derékszögű háromszögben megrajzolta a magasságot a befogóhoz képest 90°-os szögből.

Példa a Pitagorasz-tétel használatára

Mérlegeljük egyszerű feladat: meg kell határozni az L ferde lépcső hosszát, ha ismert, hogy magassága H = 3 méter, és a faltól való távolság, amelyen a lépcső felfekszik a lábáig, P = 2,5 méter.

Ebben az esetben H és P a lábak, és L a hypotenus. Mivel a befogó hossza egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, a következőt kapjuk: L 2 = H 2 + P 2, ahonnan L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3,905 méter vagy 3 m és 90,5 cm.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete