A vektorok összege, ha moduljaik ismertek. Vektorvetítési tételek
A matematikában és a fizikában a diákok és az iskolások gyakran találkoznak olyan problémákkal, amelyek a vektormennyiségekkel és a különféle műveletek felettük. Mi a különbség a vektormennyiségek és az általunk megszokott skaláris mennyiségek között, amelyek egyetlen jellemzője a számértékük? Az tény, hogy van irányuk.
A vektormennyiségek használatát legvilágosabban a fizika magyarázza. A legtöbb egyszerű példák erők (súrlódási erő, rugalmas erő, súly), sebesség és gyorsulás, mivel a számértékeken kívül működési irányuk is van. Összehasonlításképpen adjuk meg példa skaláris mennyiségekre: Ez lehet két pont távolsága vagy egy test tömege. Miért szükséges műveleteket végrehajtani a vektor mennyiségek mint az összeadás vagy kivonás? Erre azért van szükség, hogy meg lehessen határozni egy 2 vagy több elemből álló vektorrendszer hatásának eredményét.
A vektormatematika definíciói
Mutassuk be a lineáris műveletek végrehajtása során használt főbb definíciókat.
- A vektor egy irányított szakasz (amelynek kezdő- és végpontja van).
- A hossz (modulus) az irányított szakasz hossza.
- A kollineáris két vektor, amelyek vagy párhuzamosak ugyanazzal az egyenessel, vagy egyidejűleg fekszenek rajta.
- Az ellentétes irányú vektorokat kollineárisnak és egyben befelé irányítottnak nevezzük különböző oldalak. Ha az irányuk egybeesik, akkor egyirányúak.
- A vektorok akkor egyenlőek, ha egyirányúak és azonos nagyságrendűek.
- Két vektor összege aÉs b egy ilyen vektor c, amelynek eleje egybeesik az első kezdetével, a vége pedig a második végével, feltéve, hogy b ugyanazon a ponton kezdődik, ahol véget ér a.
- Vektor különbség aÉs b nevezd meg az összeget aÉs ( - b ), Ahol ( - b ) - a vektorral ellentétes irányban b. Szintén két vektor különbségének definíciója a következőképpen adható meg: a különbség c vektorpárok aÉs b ezt hívják c, amelyet a részfejhez hozzáadva b minuendet alkot a.
Analitikai módszer
Analitikai módszer magában foglalja a különbség koordinátáit egy képlet segítségével, ábrázolás nélkül. Lehetőség van számítások elvégzésére lapos (kétdimenziós), térfogati (háromdimenziós) ill. n-dimenziós tér.
Kétdimenziós térhez ill vektor mennyiségek a {a1;a₂) És b {b1;b₂} számításai lesznek következő nézet: c {c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.
Harmadik koordináta hozzáadása esetén a számítás hasonlóan történik, és a a {a1;a₂; a₃) És b {b1;b2; b₃) a különbség koordinátáit páronkénti kivonással is megkapjuk: c {c1; c2; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b2; a₃ – b₃}.
A különbség grafikus kiszámítása
A különbség felépítése érdekében grafikusan, használd a háromszög szabályt. Ehhez a következő műveletsort kell végrehajtania:
- Által adott koordináták megszerkeszteni azokat a vektorokat, amelyeknél meg kell találni a különbséget.
- Kösd össze a végeiket (azaz alkoss két, a megadottakkal megegyező irányított szakaszt, amelyek ugyanabban a pontban végződnek).
- Kösse össze mindkét irányított szegmens kezdetét, és jelezze az irányt; az eredő ugyanazon a ponton kezdődik, ahol a vektor, amely a minuend, és azon a ponton ér véget, ahol a részirány kezdődött.
A kivonási művelet eredménye az alábbi ábrán látható.
Létezik egy módszer is a különbség felépítésére, amely kissé eltér az előzőtől. Lényege a vektorkülönbség tétel alkalmazásában rejlik, amely megfogalmazásra kerül a következő módon: egy irányított szegmenspár különbségének meghatározásához elegendő az elsőnek az összegét a másodikkal ellentétes irányú szegmenssel megkeresni. Az építési algoritmus így fog kinézni:
- Szerkessze meg a kezdeti irányított szegmenseket.
- A kivontnak tükröződnie kell, azaz vele ellentétes irányú és vele egyenlő szegmenst kell építeni; majd kombináld az elejét a minuenddel.
- Konstruáljunk összeget: kössük össze az első szakasz elejét a második végével.
A döntés eredménye az ábrán látható:
Problémamegoldás
A készség megszilárdítása érdekében több olyan feladatot elemezünk, amelyekben analitikusan vagy grafikusan kell kiszámítani a különbséget.
1. probléma. A síkon 4 pont van megadva: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Határozza meg a q = AB - CD vektor koordinátáit, és számítsa ki a hosszát is.
Megoldás. Először meg kell találnia a koordinátákat ABÉs CD. Ehhez vonjuk ki a kezdeti pontok koordinátáit a végpontok koordinátáiból. Mert AB a kezdet az A(1; -3), és a vége – B(0; 4). Számítsuk ki az irányított szakasz koordinátáit:
AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}
Hasonló számítást végeznek CD:
CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}
Most a koordináták ismeretében megtalálhatja a vektorok közötti különbséget. Képlet a analitikus megoldás repülőgépproblémákról korábban szó esett: azért c = a- b A koordináták alakja ( c1; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Mert konkrét esetírható:
q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}
A hossz megtalálásához q, használjuk a | képletet q| = √(q1² + q₂²) = √((-9)² + (-1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
2. probléma. Az ábrán az m, n és p vektorok láthatók.
Különbségeket kell konstruálni számukra: p- n; m- n; m-n- p. Nézze meg, melyikük rendelkezik a legkisebb modulussal.
Megoldás. A probléma három konstrukciót igényel. Nézzük meg részletesebben a feladat egyes részeit.
1. rész. Az ábrázolás érdekében p- n, Használjuk a háromszög szabályt. Ehhez használja párhuzamos átvitel kösse össze a szegmenseket úgy, hogy egybeessenek végpont. Most pedig kapcsolódjunk kiindulópontokés határozza meg az irányt. Esetünkben a különbségvektor ugyanott kezdődik, mint a részhárd n.
2. rész.Ábrázoljuk m - n. Most a megoldáshoz a vektorkülönbség tételt használjuk. Ehhez készítsen egy ellentétes vektort n, majd keresse meg az összegét -val m. A kapott eredmény így fog kinézni:
3. rész A különbség megtalálása érdekében m - n - p, a kifejezést két cselekvésre kell osztania. óta ben vektor algebra az aritmetikai törvényekhez hasonló törvények érvényesek, akkor a következő lehetőségek lehetségesek:
- m - (n + p): ebben az esetben először az összeget ábrázoljuk n+p, amelyet azután levonunk m;
- (m - n) - p: itt először meg kell találnia m - n, majd vonjuk le ebből a különbségből p;
- (m - p) - n: az első művelet meg van határozva m - p, ami után le kell vonni a kapott eredményből n.
Mivel a feladat előző részében már megtaláltuk a különbséget m - n, csak le kell vonnunk belőle p. Szerkesszük meg két adott vektor különbségét a különbségtétel segítségével. A válasz az alábbi képen látható (a piros a köztes eredményt, a zöld pedig a végeredményt jelöli).
Meg kell határozni, hogy a szegmensek közül melyik rendelkezik a legkisebb modulussal. Emlékezzünk arra, hogy a hossz és a modulus fogalma a vektormatematikában azonos. Vizuálisan becsüljük meg a hosszokat p- n, m-nÉs m-n-o. Nyilvánvalóan a legrövidebb és a legkisebb modulusú válasz a feladat utolsó részében található, nevezetesen m-n-o.
Sok fizikai mennyiségek egy bizonyos szám megadásával teljesen meghatározhatók. Ilyenek például a térfogat, tömeg, sűrűség, testhőmérséklet stb. Az ilyen mennyiségeket skalárnak nevezzük. Emiatt a számokat néha skalároknak is nevezik. De vannak olyan mennyiségek is, amelyeket nem csak egy szám, hanem egy bizonyos irány megadásával határoznak meg. Például, amikor egy test mozog, nemcsak a test mozgási sebességét kell jeleznie, hanem a mozgás irányát is. Ugyanígy, ha bármely erő hatását tanulmányozzuk, nemcsak ennek az erőnek az értékét kell feltüntetni, hanem a hatás irányát is. Az ilyen mennyiségeket ún vektor. Leírásukra bevezették a vektor fogalmát, amely hasznosnak bizonyult a matematika számára.
Vektor meghatározás
Bármely rendezett pár A-tól B-ig a térben meghatározza irányított szegmens, azaz egy szakaszt a rajta megadott iránnyal együtt. Ha az A pont az első, akkor azt az irányított szakasz kezdetének, B pontnak pedig a végét nevezzük. Egy szakasz irányának az elejétől a végéig tartó irányt tekintjük.
Meghatározás
Az irányított szakaszt vektornak nevezzük.
Egy vektort a \(\overrightarrow(AB) \) szimbólummal fogunk jelölni, ahol az első betű a vektor elejét, a második pedig a végét jelzi.
Olyan vektort, amelynek eleje és vége egybeesik, ún nullaés \(\vec(0)\) vagy egyszerűen 0 jelöli.
A vektor kezdete és vége közötti távolságot vektornak nevezzük hosszés jelölése \(|\overrightarrow(AB)| \) vagy \(|\vec(a)| \).
A \(\vec(a) \) és \(\vec(b) \) vektorokat ún. kollineáris, ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. A kollineáris vektorok iránya azonos vagy ellentétes lehet.
Most már megfogalmazhatjuk fontos fogalom két vektor egyenlősége.
Meghatározás
A \(\vec(a) \) és \(\vec(b) \) vektorokat egyenlőnek mondjuk (\(\vec(a) = \vec(b) \)), ha kollineárisak, azonosak iránya és hosszuk egyenlő .
ábrán. Az 1. ábra a bal oldalon egyenlőtlen vektorokat, a jobb oldalon pedig a \(\vec(a) \) és a \(\vec(b) \) egyenlő vektorokat mutatja. A vektorok egyenlőségének definíciójából az következik, hogy ha adott vektorönmagával párhuzamosan mozogva az adott vektorral egyenlő vektort kapunk. Ebben a tekintetben a vektorok in analitikus geometria hívott ingyenes.
Vektor vetítése egy tengelyre
Legyen adott a térben az \(u\) tengely és valamilyen \(\overrightarrow(AB)\) vektor. Rajzoljunk a \(u\) tengelyre merőleges síkokat az A és B pontokon keresztül. Jelöljük A"-val és B"-vel e síkok metszéspontjait a tengellyel (lásd 2. ábra).
A \(\overrightarrow(AB) \) vektor vetülete a \(u\) tengelyre az A"B" irányított szakasz A"B" értéke az \(u\) tengelyen. Emlékezzünk erre
\(A"B" = |\jobbra nyíl(A"B")| \) , ha a \(\overrightarrow(A"B") \) irány egybeesik a \(u\) tengely irányával,
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , ha a \(\overrightarrow(A"B") \) irány ellentétes a \(u\) tengely irányával,
A \(\overrightarrow(AB)\) vektor \(u\) tengelyre való vetületét a következőképpen jelöljük: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Tétel
A \(\overrightarrow(AB) \) vektor vetülete az \(u\) tengelyre megegyezik a \(\overrightarrow(AB) \) vektor hosszával megszorozva a \ vektor közötti szög koszinuszával. (\overrightarrow(AB) \) és a tengely \( u\) , azaz.
Megjegyzés
Legyen \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) és néhány \(u\) tengely. A tétel képletét ezekre a vektorokra alkalmazva azt kapjuk, hogy
Vektor vetületek koordináta tengelyekre
Legyen adott egy téglalap alakú Oxyz koordinátarendszer és egy tetszőleges \(\overrightarrow(AB)\) vektor a térben. Legyen továbbá \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Az X, Y, Z vektor \(\overrightarrow(AB)\) koordinátatengelyekre vetületeit ún. koordináták. Ugyanakkor írnak
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Tétel
Bármi legyen is az A(x 1 ; y 1 ; z 1) és B(x 2 ; y 2 ; z 2) pont, a \(\overrightarrow(AB) \) vektor koordinátáit a következő képletek határozzák meg :
X = x 2 - x 1 , Y = y 2 - y 1 , Z = z 2 - z 1
Megjegyzés
Ha a \(\overrightarrow(AB) \) vektor elhagyja az origót, pl. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, akkor a \(\overrightarrow(AB) \) vektor X, Y, Z koordinátái megegyeznek a végének koordinátáival:
X = x, Y = y, Z = z.
Egy vektor iránykoszinuszai
Legyen egy tetszőleges vektor \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); Feltételezzük, hogy a \(\vec(a) \) az origóból jön ki, és nem fekszik semmilyen koordinátasíkban. Rajzoljunk a tengelyekre merőleges síkokat az A ponton keresztül. Együtt koordinátasíkok téglalap alakú paralelepipedont alkotnak, melynek átlója az OA szakasz (lásd az ábrát).
Tól től elemi geometria ismert, hogy az átló hosszának négyzete téglalap alakú paralelepipedon egyenlő az összeggel három dimenziójának hosszának négyzetei. Ennélfogva,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
De \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); így kapjuk meg
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
vagy
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Ez a képlet egy tetszőleges vektor hosszát fejezi ki a koordinátáin keresztül.
Jelöljük \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) a \(\vec(a) \) vektor és a koordinátatengelyek közötti szögeket. A vektor tengelyre vetítésére és a vektor hosszára vonatkozó képletekből kapjuk
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) a neve a \(\vec(a) \) vektor irány koszinuszai.
Az előző egyenlőségek bal és jobb oldalát négyzetre vetve és a kapott eredményeket összegezve megkaptuk
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
azok. bármely vektor iránykoszinuszának négyzetösszege egyenlő eggyel.
Lineáris műveletek vektorokon és alapvető tulajdonságaik
A vektorokon végzett lineáris műveletek a vektorok összeadása és kivonása, valamint a vektorok számokkal való szorzása.Két vektor összeadása
Legyen adott két \(\vec(a) \) és \(\vec(b) \) vektor. A \(\vec(a) + \vec(b) \) összeg egy vektor, amely a \(\vec(a) \) vektor elejétől a \(\vec(b) vektor végéig tart \) feltéve, hogy a \(\vec(b) \) vektor a \(\vec(a) \) vektor végéhez kapcsolódik (lásd az ábrát).Megjegyzés
A kivonási vektorok működése fordított az összeadás műveletével, azaz. a \(\vec(b) - \vec(a) \) vektorok \(\vec(b) \) és \(\vec(a) \) különbség egy olyan vektor, amely a \(\) vektorral összegezve vec(a ) \) a \(\vec(b) \) vektort adja (lásd az ábrát).
Megjegyzés
Két vektor összegének meghatározásával tetszőleges számú adott vektor összegét megtalálhatjuk. Adjunk például három vektort: \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). \(\vec(a) \) és \(\vec(b) \) hozzáadásával a \(\vec(a) + \vec(b) \ vektort kapjuk. Most hozzáadva a \(\vec(c) \ vektort, megkapjuk a \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) vektort. 
Egy vektor és egy szám szorzata
Legyen adott a \(\vec(a) \neq \vec(0) \) vektor és a \(\lambda \neq 0 \) szám. A \(\lambda \vec(a) \) szorzat egy olyan vektor, amely kollineáris a \(\vec(a) \ vektorral), hossza egyenlő \(|\lambda| |\vec(a)| \ ), és iránya megegyezik a \(\vec(a) \) vektorral, ha \(\lambda > 0 \), és az ellenkezője, ha \(\lambda Geometriai jelentés a \(\vec(a) \neq \vec(0) \) vektor \(\lambda \neq 0 \) számmal való megszorzásának műveletei a következőképpen fejezhetők ki: if \(|\lambda| >1 \ ), akkor amikor a \(\vec(a) \) vektort megszorozzuk a \(\lambda \) számmal, a \(\vec(a) \) vektor \(\lambda \)-szeresére „nyújtódik”, és ha \ (|\lambda| 1 \ ).Ha \(\lambda =0 \) vagy \(\vec(a) = \vec(0) \), akkor a \(\lambda \vec(a) \) szorzatot egyenlőnek tekintjük a nulla vektorral.
Megjegyzés
A vektor számmal való szorzásának definíciójával könnyen bebizonyítható, hogy ha a \(\vec(a) \) és \(\vec(b) \) vektorok kollineárisak és \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), akkor létezik (és csak egy) \(\lambda \) szám úgy, hogy \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
A lineáris műveletek alapvető tulajdonságai
1. Összeadás kommutatív tulajdonsága
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Egyező tulajdonság kiegészítés
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. A szorzás kombinatív tulajdonsága
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Elosztó tulajdon számok összegéhez viszonyítva
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Eloszlási tulajdonság a vektorok összegére vonatkoztatva
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Megjegyzés
A lineáris műveleteknek ezek a tulajdonságai vannak alapvető fontosságú, mivel lehetővé teszik a vektorokon végzett hétköznapi algebrai műveletek végrehajtását. Például a 4-es és 5-ös tulajdonság miatt megszorozhat egy skaláris polinomot egy vektorpolinommal „term by term”.
Vektorvetítési tételek
Tétel
Két vektor összegének egy tengelyre vetítése egyenlő az erre a tengelyre vetített vetületeik összegével, azaz.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
A tétel tetszőleges számú tag esetére általánosítható.
Tétel
Ha a \(\vec(a) \) vektort megszorozzuk a \(\lambda \) számmal, akkor a tengelyre vetítését is ezzel a számmal szorozzuk meg, azaz. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)
Következmény
Ha \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) és \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), akkor
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Következmény
Ha \(\vec(a) = (x;y;z) \), akkor \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) ehhez tetszőleges szám \(\lambda \)
Innen könnyű következtetni két vektor kollinearitási feltétele koordinátákban.
Valójában a \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) egyenlőség ekvivalens a \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \) egyenlőségekkel ) vagy
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) azaz. a \(\vec(a) \) és \(\vec(b) \) vektorok akkor és csak akkor kollineárisak, ha koordinátáik arányosak.
Egy vektor bázisra bontása
Legyenek a \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) vektorok egységvektorok koordinátatengelyek, azaz. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1\), és mindegyik egyforma irányú a megfelelő koordinátatengellyel (lásd az ábrát). A \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) vektorok hármasát nevezzük alapján.
A következő tétel teljesül.
Tétel
Bármely \(\vec(a) \) vektor egyedileg kiterjeszthető a \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \ bázisra, azaz. ként mutatják be
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
ahol \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) néhány szám. 
A matematikai vagy fizikai mennyiségek ábrázolhatók skaláris mennyiségek (numerikus érték), valamint vektormennyiségek (nagyság és irány a térben).
A vektor egy irányított szakasz, amelynél meg van jelölve, hogy melyik határpontja a kezdet és melyik a vége. Így egy vektornak két összetevője van - a hossza és az iránya.
Vektor kép a rajzon.
A vektorokkal való munka során gyakran bevezetnek egy bizonyos derékszögű koordinátarendszert, amelyben a vektor koordinátáit bázisvektorokra bontva határozzák meg:
Az (x,y,z) koordinátatérben elhelyezkedő és az origóból származó vektorra
A vektor eleje és vége közötti távolságot hosszának nevezzük, a vektor hosszának jelölésére pedig abszolút érték) használja a modul szimbólumot.
Az ugyanazon vagy párhuzamos egyeneseken elhelyezkedő vektorokat kollineárisnak nevezzük. A nullvektort bármely vektorral kollineárisnak tekintjük. Között kollineáris vektorok megkülönböztetni egyformán irányított (egyirányú) és ellentétes irányú vektorokat. A vektorokat koplanárisnak nevezzük, ha ugyanazon a síkon vagy ugyanazon a síkkal párhuzamos egyeneseken helyezkednek el.
1. A vektor hossza (vektor modulus)
Egy vektor hossza határozza meg a skaláris értékét, és függ a koordinátáitól, de nem függ az irányától. A vektor hosszát (vagy a vektor modulusát) aritmetika segítségével számítjuk ki Négyzetgyök a vektor négyzetes koordinátáinak (összetevőinek) összegéből (a hipotenúza kiszámításának szabálya derékszögű háromszög, ahol maga a vektor lesz a hipotenúza).
A koordináták felhasználásával a vektormodulus kiszámítása a következőképpen történik:
Az (x,y) koordinátatérben elhelyezkedő és az origóból kiinduló vektorra
A koordinátatérben (x, y, z) elhelyezkedő és az origóból kiinduló vektor esetében a képlet hasonló lesz a téglatest átlójának képletéhez, mivel a térbeli vektor a koordinátatengelyekhez képest ugyanazt a pozíciót foglalja el.
2. Szög vektorok között
Az egyik pontból lerakott két vektor közötti szög az a legrövidebb szög, amelyen keresztül az egyik vektort az origója körül el kell forgatni a második vektor pozíciójába. A vektorok közötti szöget a meghatározáshoz használt kifejezés segítségével határozzuk meg pont termék vektorok
Így a vektorok közötti szög koszinusza egyenlő az aránnyal skaláris szorzat a vektorok hosszának vagy modulusának szorzatával. Ez a képlet akkor használható, ha a vektorok hossza és skaláris szorzata ismert, vagy a vektorok koordinátákkal vannak megadva téglalap alakú rendszer koordináták síkon vagy térben a következő formában: és .
Ha az A és B vektorokat háromdimenziós térben adjuk meg, és mindegyik koordinátáit a és alakban adjuk meg, akkor a vektorok közötti szöget a következő kifejezés határozza meg:
Megjegyzendő, hogy a vektorok és a vektorok közötti szög a koszinusztétel alkalmazásával is meghatározható egy háromszögre: a háromszög bármely oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével mínusz dupla termék ezek az oldalak a köztük lévő szög koszinuszával.
ahol AB, OA, OB a háromszög megfelelő oldalai.
Koszinusz tétel háromszögre
Alkalmazott vektorszámításra ezt a képletet a következőképpen lesz átírva:
Így a és a vektorok közötti szöget a következő kifejezés határozza meg:
ahol és a vektor modulja (hossza), valamint a vektor modulja (hossza), amelyet két vektor különbségéből határozunk meg. Az egyenletben szereplő ismeretleneket a és a vektorok koordinátái határozzák meg.
3. Vektor hozzáadás
Két vektor és (két vektor összege) összeadása egy olyan vektor kiszámításának művelete, amelynek minden eleme egyenlő a és a vektorok megfelelő elemeinek páronkénti összegével. Ha a vektorokat téglalap alakú koordinátarendszerben adjuk meg vektor összege
BAN BEN grafikusan, Val vel két szabad vektor helyzete a háromszögszabály és a paralelogramma szabály szerint is végrehajtható.
Két vektor összeadása
Két mozgó vektor összeadása csak abban az esetben van meghatározva, ha az egyenesek, amelyeken ezek találhatók, metszik egymást. Két fix vektor összeadása csak akkor van meghatározva, ha közös origóval rendelkeznek.
Háromszög szabály.
Két vektor összeadásához és a háromszögszabály szerint mindkét vektort egymással párhuzamosan visszük át úgy, hogy az egyik eleje egybeessen a másik végével. Ekkor az összegvektort a kapott háromszög harmadik oldala adja meg, és annak eleje egybeesik az első vektor kezdetével, vége pedig a második vektor végével.
hol van a vektorok közötti szög, amikor az egyik eleje egybeesik a másik végével.
Párhuzamos szabály.
Két vektor összeadásához a paralelogramma-szabály szerint mindkét vektort egymással párhuzamosan visszük át úgy, hogy az origójuk egybeessen. Ekkor az összegvektort a rájuk szerkesztett paralelogramma átlója adja, közös origójukból kiindulva.
Az összegvektor modulusát (hosszát) a koszinusztétel segítségével határozzuk meg:
ahol az egy pontból kilépő vektorok közötti szög.
Jegyzet:
Amint látható, attól függően, hogy melyik szöget választjuk, az összegvektor modulusát (hosszát) meghatározó képletben a szög koszinusza előtti előjel megváltozik.
4.Vektor különbség
A vektorok különbsége és (vektorok kivonása) egy olyan vektor kiszámításának művelete, amelynek minden eleme egyenlő a vektorok megfelelő elemeinek páronkénti különbségével és. Ha a vektorokat téglalap alakú koordinátarendszerben adjuk meg vektor különbségés a következő képlettel lehet megtalálni:
Grafikus formában a vektorok különbsége egy vektor és a vektorral ellentétes vektor összege, azaz. 
Két szabad vektor különbsége
Két szabad vektor közötti különbség grafikus formában meghatározható mind a háromszög-, mind a paralelogramma-szabállyal. A különbségvektor modulusát (hosszát) a koszinusztétel határozza meg. A képletben használt szögtől függően változik a koszinusz előtti jel (ezt korábban tárgyaltuk).
5. Vektorok pontszorzata
Két vektor skaláris szorzatát ún valós szám, egyenlő a termékkel a vektorok hosszát megszorozzuk a köztük lévő szög koszinuszával. A vektorok skaláris szorzatát és a következő jelölések valamelyikével jelöljük, vagy és a következő képlettel definiáljuk:
ahol a vektorok hossza, illetve, és a vektorok közötti szög koszinusza.
Két vektor pontszorzata
A pontszorzat kiszámítható vektorok koordinátáival egy síkban vagy térben téglalap alakú koordinátarendszerben.
Két vektor skaláris szorzata egy síkban vagy háromdimenziós térben téglalap alakú koordinátarendszerben a vektorok megfelelő koordinátáinak szorzata és.
Így vektorokhoz és téglalap síkon Descartes-rendszer koordináták, a skaláris szorzat kiszámításának képlete a következő:
Mert háromdimenziós tér A vektorok skaláris szorzatának kiszámításának képlete a következő:
A skalárszorzat tulajdonságai.
1.A skalárszorzat kommutatív tulajdonsága
2. A skalárszorzat eloszlási tulajdonsága
3. A skaláris szorzat kombinatív tulajdonsága (asszociativitás)
ahol egy tetszőleges valós szám.
Meg kell jegyezni, hogy a következő esetekben:
Ha a skaláris szorzat pozitív, ezért a vektorok közötti szög hegyes (90 foknál kisebb);
Ha a skaláris szorzat negatív, akkor a vektorok közötti szög tompa (több mint 90 fok);
Ha a pontszorzat 0, akkor a vektorok merőlegesek (egymásra merőlegesek);
Ha a skaláris szorzat egyenlő a vektorok hosszának szorzatával, akkor ezek a vektorok egymással kollineárisak (párhuzamosak).
6. Vektorok vektorszorzata
Két vektor keresztszorzata egy olyan vektor, amelyre a következő feltételek teljesülnek:
1. a vektor merőleges (merőleges) az és vektorok síkjára;
Vektorok összege. Vektor hossza. Kedves barátaim, a hátsó vizsgatípusok részeként a vektorokkal kapcsolatos problémák csoportja. A feladatok eléggé széleskörű(Fontos tudni elméleti alapja). A legtöbbet szóban oldják meg. A kérdések egy vektor hosszának, a vektorok összegének (különbségének) és a skaláris szorzatnak a meghatározásához kapcsolódnak. Számos olyan feladat is van, amelyben vektorkoordinátákkal kell műveleteket végrehajtani.
A vektorok témakörét körülvevő elmélet nem bonyolult, és jól kell érteni. Ebben a cikkben a vektorok hosszának, valamint a vektorok összegének (különbségének) meghatározásával kapcsolatos problémákat elemezzük. Néhány elméleti szempont:
Vektor koncepció
A vektor egy irányított szegmens.
Minden azonos irányú és hosszúságú vektor egyenlő.
*Mind a négy fent bemutatott vektor egyenlő!
Vagyis ha a nekünk adott vektort párhuzamos fordítással mozgatjuk, akkor mindig az eredetivel megegyező vektort kapunk. Így végtelen számú egyenlő vektor lehet.
Vektoros jelölés
A vektort latinul jelölhetjük nagybetűvel, Például:
Ezzel a jelölési formával először a vektor kezdetét jelző betűt írjuk, majd a vektor végét jelölő betűt.
Egy másik vektort egy betű jelöl Latin ábécé(főváros):
Nyilak nélküli jelölés is lehetséges:
Két AB és BC vektor összege lesz az AC vektor.
Úgy van írva, hogy AB + BC = AC.
Ezt a szabályt - háromszög szabály.
Azaz, ha van két vektorunk – nevezzük őket konvencionálisan (1) és (2) -nek, és az (1) vektor vége egybeesik a (2) vektor kezdetével, akkor ezeknek a vektoroknak az összege olyan vektor lesz, amelynek kezdete egybeesik az (1) vektor kezdetével, a vége pedig a (2) vektor végével.
Következtetés: ha két vektorunk van egy síkon, mindig megtaláljuk az összegüket. Párhuzamos fordítással áthelyezheti bármelyik vektort, és összekapcsolhatja annak elejét egy másik végével. Például:
Mozgassuk a vektort b, vagy más szóval konstruáljunk egy egyenlőt:
Hogyan található több vektor összege? Ugyanezen elv szerint:
* * *
Párhuzamos szabály
Ez a szabály a fentiek következménye.
A vektorokhoz közös kezdet ezek összegét az ezekre a vektorokra felépített paralelogramma átlója ábrázolja.
Építsünk vektort egyenlő a vektorral b hogy eleje egybeessen a vektor végével a, és építhetünk egy vektort, amely az összegük lesz:
Kicsit több fontos információ problémák megoldásához szükséges.
Az eredetivel azonos hosszúságú, de ellentétes irányú vektort is jelölünk, de ennek ellenkező előjele van:
Ez az információ rendkívül hasznos a vektorok közötti különbség megtalálását igénylő problémák megoldásában. Amint látja, a vektorkülönbség ugyanaz az összeg módosított formában.
Legyen két vektor adott, keresse meg a különbségüket:
Megszerkesztettük a b vektorral ellentétes vektort, és megtaláltuk a különbséget.
Vektor koordináták
Egy vektor koordinátáinak megtalálásához ki kell vonni a kezdet megfelelő koordinátáit a végkoordinátákból:
Vagyis a vektor koordinátái egy számpár.
Ha
És a vektorok koordinátái így néznek ki:
Ekkor c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
Ha
Ekkor c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2
Vektor modul
A vektor modulusa a hossza, amelyet a következő képlet határoz meg:
Egy vektor hosszának meghatározására szolgáló képlet, ha a kezdetének és végének koordinátái ismertek:
Nézzük a feladatokat:
Az ABCD téglalap két oldala 6 és 8. Az átlók az O pontban metszik egymást. Határozzuk meg az AO és BO vektorok közötti különbség hosszát!
Keressük meg azt a vektort, amely az AO–VO eredménye lesz:
AO –VO =AO +(–VO )=AB
Vagyis az AO és vektorok különbsége A VO vektor lesz AB. A hossza pedig nyolc.
Rombusz átlói ABCD 12 és 16. Határozzuk meg az AB + AD vektor hosszát.
Keressünk egy vektort, amely AD és AB BC vektorok összege lesz egyenlő a vektorral HIRDETÉS. Tehát AB +AD =AB +BC =AC
AC a rombusz átlójának hossza AC, ez egyenlő 16-tal.Az ABCD rombusz átlói a pontban metszik egymást Oés egyenlők 12 és 16. Határozzuk meg az AO + BO vektor hosszát.
Keressünk egy vektort, amely az AO és VO vektorok összege lesz VO egyenlő az OD vektorral, ami azt jelenti, hogy
AD a rombusz oldalának hossza. A probléma abban rejlik, hogy megtaláljuk az AOD derékszögű háromszögben a hipotenúzust. Számítsuk ki a lábakat:
A Pitagorasz-tétel szerint:
Az ABCD rombusz átlói az O pontban metszik egymást, és egyenlők 12-vel és 16-tal. Határozzuk meg az AO – BO vektor hosszát!
Keressük meg azt a vektort, amely az AO–VO eredménye lesz:
AB a rombusz oldalának hossza. A probléma abban rejlik, hogy megtaláljuk az AB hipotenuszt az AOB derékszögű háromszögben. Számítsuk ki a lábakat:
A Pitagorasz-tétel szerint:
Az oldalak helyesek ABC háromszög egyenlők 3-mal.
Határozzuk meg az AB –AC vektor hosszát!
Keressük meg a vektorkülönbség eredményét:
CB egyenlő hárommal, mivel a feltétel szerint a háromszög egyenlő oldalú, és az oldalai egyenlőek 3-mal.27663. Határozza meg az a (6;8) vektor hosszát!
27664. Határozzuk meg az AB vektor hosszának négyzetét!
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete