3 cilët numra quhen irracionalë. Numrat irracionalë

numër irracional- kjo është numër real, e cila nuk është racionale, domethënë nuk mund të paraqitet si thyesë, ku janë numra të plotë, . Një numër irracional mund të përfaqësohet si një dhjetore e pafundme që nuk përsëritet.

Grupi i numrave irracionalë zakonisht shënohet me shkronjë të madhe latine me shkronja të zeza pa hije. Kështu: , d.m.th. grupi i numrave irracionalë është dallimi i bashkësive të numrave realë dhe racionalë.

Për ekzistencën e numrave irracionalë, më saktë Segmentet që janë të pakrahasueshme me një segment të njësisë së gjatësisë, matematikanët e lashtë e dinin tashmë: ata dinin, për shembull, pabarazinë e diagonales dhe anës së katrorit, e cila është e barabartë me irracionalitetin e numrit.

Vetitë

Çdo numër real mund të shkruhet si thyesë dhjetore e pafundme, ndërsa numrat irracionalë dhe vetëm ata mund të shkruhen si thyesa dhjetore të pafundme jo periodike.
Numrat irracionalë përcaktojnë shkurtimet e Dedekindit në bashkësinë e numrave racionalë që nuk kanë numrin më të madh në klasën e ulët dhe asnjë numrin më të vogël në atë të sipërm.
Çdo numër real transcendental është irracional.
Çdo numër irracional është ose algjebrik ose transcendent.
Bashkësia e numrave irracionalë është kudo e dendur në vijën reale: midis çdo dy numrash ka një numër irracional.
Rendi në bashkësinë e numrave irracionalë është izomorfik me rendin në bashkësinë e numrave realë transhendentalë.
Bashkësia e numrave irracionalë është e panumërueshme, është një grup i kategorisë së dytë.

Shembuj

Numrat irracionalë
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Irracionale janë:

Shembuj të vërtetimit të irracionalitetit

Rrënja e 2

Supozoni të kundërtën: është racional, domethënë paraqitet si një thyesë e pakalueshme, ku është një numër i plotë dhe është një numër natyror. Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:

Nga kjo rrjedh se edhe, pra, edhe dhe . Le ku e tëra. Pastaj

Prandaj, edhe, pra, edhe dhe . Ne kemi marrë atë dhe janë çift, gjë që bie në kundërshtim me pakësueshmërinë e thyesës . Prandaj, supozimi fillestar ishte i gabuar dhe është një numër irracional.

Logaritmi binar i numrit 3

Supozoni të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë. Që nga , dhe mund të merret pozitiv. Pastaj

Por është e qartë, është e çuditshme. Kemi një kontradiktë.

e

Histori

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, kur Manawa (rreth 750 pes - rreth 690 pes) zbuloi se rrënjët katrore të disa numrave natyrorë, si 2 dhe 61, nuk mund të shprehen në mënyrë eksplicite.

Prova e parë e ekzistencës së numrave irracionalë zakonisht i atribuohet Hipasusit të Metapontusit (rreth 500 para Krishtit), një pitagorian që e gjeti këtë provë duke studiuar gjatësitë e anëve të një pentagrami. Në kohën e Pitagorianëve, besohej se ekzistonte një njësi e vetme gjatësie, mjaft e vogël dhe e pandashme, e cila është një numër i plotë i herëve të përfshirë në çdo segment. Sidoqoftë, Hippasus argumentoi se nuk ka asnjë njësi të vetme të gjatësisë, pasi supozimi i ekzistencës së tij çon në një kontradiktë. Ai tregoi se nëse hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë izoscelular përmban një numër të plotë segmentesh njësi, atëherë ky numër duhet të jetë çift dhe tek në të njëjtën kohë. Prova dukej kështu:

Raporti i gjatësisë së hipotenuzës me gjatësinë e këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh mund të shprehet si a:b, ku a dhe b zgjidhet si më i vogli i mundshëm.
Sipas teoremës së Pitagorës: a² = 2 b².
Sepse a² madje, a duhet të jetë çift (pasi katrori i një numri tek do të ishte tek).
Sepse a:b e pareduktueshme b duhet të jetë i çuditshëm.
Sepse a madje, shënoj a = 2y.
Pastaj a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², pra bështë madje, atëherë b madje.
Megjithatë, është vërtetuar se b i çuditshëm. Kontradikta.

Matematikanët grekë e quajtën këtë raport të sasive të pakrahasueshme alogos(e pashpjegueshme), por sipas legjendave Hipasit nuk iu kushtua respekti i duhur. Ekziston një legjendë që Hipasus e bëri zbulimin ndërsa ishte në një udhëtim në det dhe u hodh në det nga pitagorianë të tjerë "për shkak të krijimit të një elementi të universit, i cili mohon doktrinën se të gjitha entitetet në univers mund të reduktohen në numra të plotë dhe raportet e tyre. " Zbulimi i Hipasusit shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimin themelor se numrat dhe objektet gjeometrike janë një dhe të pandashëm.

Dhe ata i kanë marrë rrënjët e tyre nga fjala latine "ratio", që do të thotë "arsye". Bazuar në përkthimin fjalë për fjalë:

Një numër racional është një "numër i arsyeshëm".
Një numër irracional, përkatësisht, është një "numër i paarsyeshëm".

Koncepti i përgjithshëm i një numri racional

Një numër racional është ai që mund të shkruhet si:

Thyesë e zakonshme pozitive.
Thyesë e përbashkët negative.
Zero (0) si numër.

Me fjalë të tjera, përkufizimet e mëposhtme do t'i përshtaten një numri racional:

Çdo numër natyror është në thelb racional, pasi çdo numër natyror mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme.
Çdo numër i plotë, duke përfshirë numrin zero, pasi çdo numër i plotë mund të shkruhet si një thyesë e zakonshme pozitive, si një thyesë e zakonshme negative dhe si numër zero.
Çdo thyesë e zakonshme, dhe këtu nuk ka rëndësi nëse është pozitive apo negative, gjithashtu i afrohet drejtpërdrejt përkufizimit të një numri racional.
Një numër i përzier, një thyesë dhjetore e fundme ose një thyesë periodike e pafundme mund të përfshihen gjithashtu në përkufizim.

Shembuj të numrave racionalë

Shqyrtoni shembuj të numrave racionalë:

Numrat natyrorë - "4", "202", "200".
Numrat e plotë - "-36", "0", "42".
Thyesat e zakonshme.

Nga shembujt e mësipërm, është e qartë se numrat racional mund të jenë pozitiv dhe negativ. Natyrisht, numri 0 (zero), i cili është gjithashtu një numër racional, në të njëjtën kohë nuk i përket kategorisë së një numri pozitiv ose negativ.

Prandaj, do të doja të kujtoja programin e arsimit të përgjithshëm duke përdorur përkufizimin e mëposhtëm: "Numrat racional" janë ata numra që mund të shkruhen si thyesë x / y, ku x (numëuesi) është një numër i plotë dhe y (emëruesi) është një numri natyror.

Koncepti i përgjithshëm dhe përkufizimi i një numri irracional

Përveç “numrave racional” njohim edhe të ashtuquajturit “numra irracionalë”. Le të përpiqemi shkurtimisht të përcaktojmë këto numra.

Edhe matematikanët e lashtë, duke dashur të llogarisin diagonalen e një katrori përgjatë anëve të tij, mësuan për ekzistencën e një numri irracional.
Bazuar në përkufizimin e numrave racionalë, mund të ndërtoni një zinxhir logjik dhe të përcaktoni një numër irracional.
Pra, në fakt, ata numra realë që nuk janë racionalë janë, në thelb, numra irracionalë.
Thyesat dhjetore, që shprehin numra irracionalë, nuk janë periodikë dhe të pafund.

Shembuj të një numri irracional

Konsideroni për qartësi një shembull të vogël të një numri irracional. Siç e kemi kuptuar tashmë, thyesat dhjetore të pafundme jo periodike quhen iracionale, për shembull:

Numri "-5.020020002 ... (shihet qartë se dyshet janë të ndara me një sekuencë prej një, dy, tre, etj. zero)
Numri "7.040044000444 ... (këtu është e qartë se numri i katërve dhe numri i zerove rritet me një çdo herë në një zinxhir).
Të gjithë e dinë numrin Pi (3.1415 ...). Po, po - është gjithashtu irracionale.

Në përgjithësi, të gjithë numrat realë janë racionalë dhe irracionalë. Me fjalë të thjeshta, një numër irracional nuk mund të përfaqësohet si një fraksion i zakonshëm x / y.

Përfundim i përgjithshëm dhe krahasim i shkurtër ndërmjet numrave

Ne e konsideruam secilin numër veç e veç, ndryshimi midis një numri racional dhe atij irracional mbetet:

Një numër irracional ndodh kur merr rrënjën katrore, kur pjesëton një rreth me një diametër, etj.
Një numër racional përfaqëson një thyesë të zakonshme.

Ne e mbyllim artikullin tonë me disa përkufizime:

Një veprim aritmetik i kryer në një numër racional, përveç pjesëtimit me 0 (zero), do të çojë edhe në një numër racional në rezultatin përfundimtar.
Rezultati përfundimtar, kur kryeni një operacion aritmetik mbi një numër irracional, mund të çojë në një vlerë racionale dhe joracionale.
Nëse të dy numrat marrin pjesë në veprimin aritmetik (përveç pjesëtimit ose shumëzimit me zero), atëherë rezultati do të na japë një numër irracional.

Nga abstraktiteti i koncepteve matematikore, ndonjëherë ajo merr frymë aq shumë me shkëputje, saqë në mënyrë të pavullnetshme lind mendimi: "Për çfarë është e gjithë kjo?". Por, pavarësisht përshtypjes së parë, të gjitha teoremat, veprimet aritmetike, funksionet, etj. - asgjë më shumë se një dëshirë për të kënaqur nevojat urgjente. Kjo mund të shihet veçanërisht qartë në shembullin e shfaqjes së grupeve të ndryshme.

Gjithçka filloi me ardhjen e numrave natyrorë. Dhe, megjithëse nuk ka gjasa që tani dikush të jetë në gjendje të përgjigjet se si ishte saktësisht, por ka shumë të ngjarë, këmbët e mbretëreshës së shkencave rriten nga diku në shpellë. Këtu, duke analizuar numrin e lëkurave, gurëve dhe fiseve, një person ka shumë "numra për të numëruar". Dhe kjo i mjaftoi atij. Deri në një moment, sigurisht.

Pastaj ishte e nevojshme të ndaheshin dhe të hiqeshin lëkurat dhe gurët. Pra, kishte nevojë për veprime aritmetike, dhe bashkë me to edhe ato racionale, të cilat mund të përkufizohen si një pjesë e tipit m / n, ku, për shembull, m është numri i lëkurave, n është numri i anëtarëve të fisit.

Duket se aparati matematikor i zbuluar tashmë është mjaft i mjaftueshëm për të shijuar jetën. Por shpejt doli se ka raste kur rezultati nuk është diçka që nuk është një numër i plotë, por as edhe një fraksion! Dhe, në të vërtetë, rrënja katrore e dy nuk mund të shprehet në asnjë mënyrë tjetër duke përdorur numëruesin dhe emëruesin. Ose, për shembull, numri i mirënjohur Pi, i zbuluar nga shkencëtari i lashtë grek Arkimedi, gjithashtu nuk është racional. Dhe me kalimin e kohës, pati kaq shumë zbulime të tilla sa të gjithë numrat që nuk ishin të përshtatshëm për "racionalizim" u kombinuan dhe u quajtën irracionalë.

Vetitë

Grupet e konsideruara më parë i përkasin grupit të koncepteve themelore të matematikës. Kjo do të thotë se ato nuk mund të përcaktohen përmes objekteve më të thjeshta matematikore. Por kjo mund të bëhet me ndihmën e kategorive (nga "deklaratat" greke) ose postulatet. Në këtë rast, ishte më mirë të përcaktoheshin vetitë e këtyre grupeve.

o Numrat irracionalë përcaktojnë seksionet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë që nuk kanë numrin më të madh në pjesën e poshtme dhe asnjë numrin më të vogël në atë të sipërm.

o Çdo numër transcendent është irracional.

o Çdo numër irracional është ose algjebrik ose transcendental.

o Bashkësia e numrave irracionalë është kudo e dendur në vijën reale: ka një numër irracional ndërmjet çdo dy numrash.

o Bashkësia e numrave irracionalë është e panumërueshme, është bashkësia e kategorisë së dytë Baer.

o Ky grup është i renditur, domethënë, për çdo dy numra racionalë të ndryshëm a dhe b, mund të tregoni se cili prej tyre është më i vogël se tjetri.
o Midis çdo dy numrash racionalë të ndryshëm, ka të paktën një numër racional më shumë, dhe për rrjedhojë një numër të pafund numrash racionalë.

o Veprimet aritmetike (mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi) në çdo dy numra racionalë janë gjithmonë të mundshme dhe rezultojnë në një numër të caktuar racional. Një përjashtim është ndarja me zero, e cila është e pamundur.

o Çdo numër racional mund të paraqitet si thyesë dhjetore (periodike e fundme ose e pafundme).

Me një segment të gjatësisë së njësisë, matematikanët e lashtë e dinin tashmë: ata dinin, për shembull, pamatshmërinë e diagonales dhe anës së katrorit, e cila është e barabartë me irracionalitetin e numrit.

Irracionale janë:

Shembuj të vërtetimit të irracionalitetit

Rrënja e 2

Supozoni të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si një thyesë e pakalueshme, ku dhe janë numra të plotë. Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:

Nga kjo rrjedh se edhe, pra, edhe dhe . Le ku e tëra. Pastaj

Logaritmi binar i numrit 3

Supozoni të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë. Që nga , dhe mund të merret pozitiv. Pastaj

Por është e qartë, është e çuditshme. Kemi një kontradiktë.

e

Histori

Raporti i gjatësisë së hipotenuzës me gjatësinë e këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh mund të shprehet si a:b, ku a dhe b zgjidhet si më i vogli i mundshëm.
Sipas teoremës së Pitagorës: a² = 2 b².
Sepse a² madje, a duhet të jetë çift (pasi katrori i një numri tek do të ishte tek).
Sepse a:b e pareduktueshme b duhet të jetë i çuditshëm.
Sepse a madje, shënoj a = 2y.
Pastaj a² = 4 y² = 2 b².
b² = 2 y², pra bështë madje, atëherë b madje.
Megjithatë, është vërtetuar se b i çuditshëm. Kontradikta.

Shiko gjithashtu

Shënime

Sistemet numerike
Duke numëruar grupe	Numrat e plotë ()

Cilat janë numrat irracionalë? Pse quhen kështu? Ku përdoren dhe çfarë janë ato? Pak mund t'u përgjigjen këtyre pyetjeve pa hezitim. Por në fakt, përgjigjet ndaj tyre janë mjaft të thjeshta, megjithëse jo të gjithë kanë nevojë për to dhe në situata shumë të rralla.

Thelbi dhe emërtimi

Numrat irracionalë janë të pafundëm jo periodikë Nevoja për të prezantuar këtë koncept është për faktin se për zgjidhjen e problemeve të reja në zhvillim nuk mjaftonin më konceptet ekzistuese të numrave realë ose realë, të plotë, natyrorë dhe racionalë. Për shembull, për të llogaritur sa është katrori i 2, duhet të përdorni dhjetore të pafundme jo të përsëritura. Përveç kësaj, shumë nga ekuacionet më të thjeshta gjithashtu nuk kanë zgjidhje pa prezantuar konceptin e një numri irracional.

Ky grup shënohet si I. Dhe, siç është tashmë e qartë, këto vlera nuk mund të përfaqësohen si një fraksion i thjeshtë, në numëruesin e të cilit do të ketë një numër të plotë, dhe në emërues -

Për herë të parë, në një mënyrë ose në një tjetër, matematikanët indianë e hasën këtë fenomen në shekullin e 7-të, kur u zbulua se rrënjët katrore të disa sasive nuk mund të tregohen në mënyrë eksplicite. Dhe prova e parë e ekzistencës së numrave të tillë i atribuohet Pitagorës Hippasus, i cili e bëri këtë në procesin e studimit të një trekëndëshi kënddrejtë isosceles. Një kontribut serioz në studimin e këtij grupi dhanë disa shkencëtarë të tjerë që jetuan para epokës sonë. Prezantimi i konceptit të numrave irracionalë solli një rishikim të sistemit ekzistues matematikor, kjo është arsyeja pse ata janë kaq të rëndësishëm.

origjina e emrit

Nëse raporti në latinisht është "fraksion", "raport", atëherë parashtesa "ir"
i jep fjalës kuptimin e kundërt. Kështu, emri i grupit të këtyre numrave tregon se ato nuk mund të lidhen me një numër të plotë ose thyesor, ata kanë një vend të veçantë. Kjo rrjedh nga natyra e tyre.

Vendi në klasifikimin e përgjithshëm

Numrat irracionalë, së bashku me ata racional, i përkasin grupit të numrave realë ose realë, të cilët nga ana e tyre janë kompleks. Nuk ka nëngrupe, megjithatë, ka varietete algjebrike dhe transcendentale, të cilat do të diskutohen më poshtë.

Vetitë

Meqenëse numrat irracionalë janë pjesë e grupit të numrave realë, të gjitha vetitë e tyre që studiohen në aritmetikë janë të zbatueshme për ta (ato quhen edhe ligjet bazë algjebrike).

a + b = b + a (komutativiteti);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativiteti);

a + (-a) = 0 (ekzistenca e numrit të kundërt);

ab = ba (ligji i zhvendosjes);

(ab)c = a(bc) (shpërndarja);

a(b+c) = ab + ac (ligji shpërndarës);

a x 1/a = 1 (ekzistenca e një numri invers);

Krahasimi kryhet gjithashtu në përputhje me ligjet dhe parimet e përgjithshme:

Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c (kalueshmëria e relacionit) dhe. etj.

Sigurisht, të gjithë numrat irracionalë mund të konvertohen duke përdorur aritmetikën bazë. Nuk ka rregulla të veçanta për këtë.

Përveç kësaj, veprimi i aksiomës së Arkimedit shtrihet në numrat irracionalë. Ai thotë se për çdo dy sasi a dhe b, pohimi është i vërtetë se duke marrë a si term mjaft herë, është e mundur të tejkalohet b.

Përdorimi

Përkundër faktit se në jetën e zakonshme nuk duhet të merreni shpesh me to, numrat irracionalë nuk mund të numërohen. Ka shumë prej tyre, por ato janë pothuajse të padukshme. Ne jemi të rrethuar nga numra irracionalë kudo. Shembuj të njohur për të gjithë janë numri pi, i barabartë me 3.1415926..., ose e, i cili në thelb është baza e logaritmit natyror, 2.718281828... Në algjebër, trigonometri dhe gjeometri, ato duhet të përdoren gjatë gjithë kohës. Nga rruga, kuptimi i famshëm i "seksionit të artë", domethënë raporti i pjesës më të madhe me atë më të vogël, dhe anasjelltas, gjithashtu

i përket këtij grupi. Më pak i njohur "argjendi" - gjithashtu.

Në vijën numerike, ato janë të vendosura shumë dendur, kështu që midis çdo dy sasie që lidhen me grupin e racionaleve, ndodh domosdoshmërisht një irracionale.

Ka ende shumë probleme të pazgjidhura që lidhen me këtë grup. Ekzistojnë kritere të tilla si masa e irracionalitetit dhe normaliteti i një numri. Matematikanët vazhdojnë të shqyrtojnë shembujt më domethënës për përkatësinë e tyre në një grup ose në një tjetër. Për shembull, konsiderohet se e është një numër normal, domethënë, probabiliteti që shifra të ndryshme të shfaqen në hyrjen e tij është i njëjtë. Sa i përket pi, kërkimet janë ende duke u zhvilluar në lidhje me të. Një masë e irracionalitetit është një vlerë që tregon se sa mirë një numër i caktuar mund të përafrohet me numra racionalë.

Algjebrike dhe transcendentale

Siç u përmend tashmë, numrat irracionalë ndahen me kusht në algjebrikë dhe transcendentalë. Me kusht, pasi, duke folur në mënyrë rigoroze, ky klasifikim përdoret për të ndarë grupin C.

Nën këtë emërtim, fshihen numra kompleksë, të cilët përfshijnë numra realë ose realë.

Pra, një vlerë algjebrike është një vlerë që është rrënja e një polinomi që nuk është identikisht i barabartë me zero. Për shembull, rrënja katrore e 2 do të ishte në këtë kategori sepse është zgjidhja e ekuacionit x 2 - 2 = 0.

Të gjithë numrat e tjerë realë që nuk e plotësojnë këtë kusht quhen transcendental. Kjo shumëllojshmëri gjithashtu përfshin shembujt më të famshëm dhe të përmendur tashmë - numrin pi dhe bazën e logaritmit natyror e.

Interesante, as njëra dhe as e dyta nuk u konkluduan fillimisht nga matematikanët në këtë cilësi, irracionaliteti dhe transcendenca e tyre u vërtetuan shumë vite pas zbulimit të tyre. Për pi, prova u dha në 1882 dhe u thjeshtua në 1894, gjë që i dha fund polemikave 2500-vjeçare rreth problemit të katrorit të rrethit. Ende nuk është kuptuar plotësisht, kështu që matematikanët modernë kanë diçka për të punuar. Nga rruga, llogaritja e parë mjaft e saktë e kësaj vlere u krye nga Arkimedi. Para tij, të gjitha llogaritjet ishin shumë të përafërta.

Për e (numrin Euler ose Napier), një provë e transcendencës së tij u gjet në 1873. Përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike.

Shembuj të tjerë përfshijnë vlerat sinus, kosinus dhe tangjente për çdo vlerë algjebrike jo zero.

Artikulli i mëparshëm: Nëse produkti ndahet me një nga faktorët, atëherë do të merret një faktor tjetër Artikulli vijues: Format bazë të përshëndetjes (përkthyer nga Nihao)