Formula e Bayes u aplikua në llotari. Detyrat për zgjidhje të pavarur

Kush është Bayes? Dhe çfarë lidhje ka me menaxhimin? – mund të pasohet nga një pyetje mjaft e drejtë. Tani për tani, pranoni fjalën time: kjo është shumë e rëndësishme! .. dhe interesante (të paktën për mua).

Në cilën paradigmë veprojnë shumica e menaxherëve: nëse vëzhgoj diçka, çfarë përfundimesh mund të nxjerr prej saj? Çfarë mëson Bayes: çfarë duhet të jetë në të vërtetë në mënyrë që unë të vëzhgoj këtë diçka? Kështu zhvillohen të gjitha shkencat dhe ai shkruan për këtë (citoj nga kujtesa): një person që nuk ka një teori në kokën e tij do të shmanget nga një ide në tjetrën nën ndikimin e ngjarjeve të ndryshme (vëzhgimeve). Jo më kot thonë: nuk ka asgjë më praktike se një teori e mirë.

Një shembull nga praktika. Vartësi im bën një gabim, dhe kolegu im (drejtuesi i një departamenti tjetër) thotë se do të ishte e nevojshme të ushtrohej ndikim menaxherial mbi punonjësin neglizhent (me fjalë të tjera, ndëshkimi / qortimi). Dhe unë e di që ky punonjës bën 4-5 mijë të njëjtat operacione në muaj dhe gjatë kësaj kohe ai nuk bën më shumë se 10 gabime. Ndjeni ndryshimin në paradigmë? Kolegu im reagon ndaj vëzhgimit dhe unë kam njohuri apriori që një punonjës bën një numër të caktuar gabimesh, kështu që një tjetër nuk ka ndikuar në këtë njohuri... Tani, nëse në fund të muajit del se ka, për shembull, 15 gabime të tilla! .. Kjo tashmë do të bëhet një arsye për të hetuar shkaqet e mosrespektimit të standardeve.

Jeni të bindur për rëndësinë e qasjes Bayesian? Të intriguar? Shpresoj keshtu". Dhe tani një mizë në vaj. Fatkeqësisht, idetë Bayesian rrallë jepen në fillim. Sinqerisht nuk pata fat, pasi u njoha me këto ide përmes letërsisë popullore, pas leximit të së cilës mbetën shumë pyetje. Kur planifikoja të shkruaj një shënim, mblodha gjithçka që kisha përshkruar më parë sipas Bayes, dhe gjithashtu studiova atë që ata shkruajnë në internet. Unë ju paraqes supozimin tim më të mirë për këtë temë. Hyrje në probabilitetin Bayesian.

Nxjerrja e teoremës së Bayes

Merrni parasysh eksperimentin e mëposhtëm: ne emërtojmë çdo numër që shtrihet në segment dhe rregullojmë kur ky numër është, për shembull, midis 0.1 dhe 0.4 (Fig. 1a). Probabiliteti i kësaj ngjarje është i barabartë me raportin e gjatësisë së segmentit me gjatësinë totale të segmentit, me kusht që shfaqja e numrave në segment ekuiprobabile. Matematikisht, kjo mund të shkruhet fq(0,1 <= x <= 0,4) = 0,3, или кратко R(X) = 0.3, ku R- probabiliteti, Xështë një ndryshore e rastësishme në diapazonin, Xështë një ndryshore e rastësishme në diapazonin . Kjo do të thotë, probabiliteti për të goditur segmentin është 30%.

Oriz. 1. Interpretimi grafik i probabiliteteve

Tani merrni parasysh katrorin x (Fig. 1b). Le të themi se duhet të emërtojmë çifte numrash ( x, y), secila prej të cilave është më e madhe se zero dhe më e vogël se një. Probabiliteti që x(numri i parë) do të jetë brenda segmentit (zona blu 1), e barabartë me raportin e sipërfaqes së zonës blu me sipërfaqen e të gjithë katrorit, domethënë (0,4 - 0,1 ) * (1 - 0) / (1 * 1) = 0, 3, domethënë e njëjta 30%. Probabiliteti që yështë brenda segmentit (zona e gjelbër 2) është e barabartë me raportin e sipërfaqes së zonës së gjelbër me sipërfaqen e të gjithë sheshit fq(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко R(Y) = 0,2.

Çfarë mund të mësohet për vlerat në të njëjtën kohë x dhe y. Për shembull, sa është probabiliteti që të dyja x dhe y janë në segmentet përkatëse të dhëna? Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni raportin e sipërfaqes së domenit 3 (kryqëzimi i shiritave të gjelbër dhe blu) me sipërfaqen e të gjithë sheshit: fq(X, Y) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.

Tani supozojmë se duam të dimë se cila është probabiliteti i kësaj yështë në intervalin nëse xështë tashmë në gamë. Kjo është, në fakt, ne kemi një filtër dhe kur thërrasim çifte ( x, y), atëherë i hedhim menjëherë ato çifte që nuk plotësojnë kushtin për gjetje x në një interval të caktuar, dhe më pas nga çiftet e filtruara numërojmë ato për të cilat y plotëson gjendjen tonë dhe e konsiderojmë probabilitetin si raport të numrit të çifteve për të cilat y qëndron në segmentin e mësipërm ndaj numrit të përgjithshëm të çifteve të filtruara (d.m.th., për të cilat x shtrihet në segment). Këtë probabilitet mund ta shkruajmë si fq(Y|X në X goditi në rreze." Natyrisht, ky probabilitet është i barabartë me raportin e sipërfaqes së zonës 3 me sipërfaqen e zonës blu 1. Sipërfaqja e zonës 3 është (0.4 - 0.1) * (0.7 - 0.5) = 0.06, dhe zona e zonës blu 1 ( 0.4 - 0.1) * (1 - 0) = 0.3, atëherë raporti i tyre është 0.06 / 0.3 = 0.2. Me fjalë të tjera, probabiliteti për të gjetur y në segment, me kusht që x i përket segmentit fq(Y|X) = 0,2.

Në paragrafin e mëparshëm, ne në fakt formuluam identitetin: fq(Y|X) = fq(X, Y) /p( X). Aty shkruhet: “probabiliteti i goditjes në në rangun, me kusht që X goditja në interval është e barabartë me raportin e probabilitetit të goditjes së njëkohshme X në varg dhe në në rreze, në probabilitetin e goditjes X në gamë."

Për analogji, merrni parasysh probabilitetin fq(X|Y). Ne i quajmë çifte x, y) dhe filtro ato për të cilat y qëndron ndërmjet 0.5 dhe 0.7, atëherë probabiliteti që xështë në segmentin me kusht që y i përket segmentit është i barabartë me raportin e sipërfaqes së zonës 3 me sipërfaqen e zonës së gjelbër 2: fq(X|Y) = fq(X, Y) / fq(Y).

Vini re se probabilitetet fq(X, Y) dhe fq(Y, X) janë të barabarta, dhe të dyja janë të barabarta me raportin e sipërfaqes së zonës 3 me sipërfaqen e të gjithë katrorit, por probabilitetet fq(Y|X) dhe fq(X|Y) jo e barabartë; ndërsa probabiliteti fq(Y|X) është e barabartë me raportin e sipërfaqes së zonës 3 me zonën 1, dhe fq(X|Y) – domeni 3 në domen 2. Vini re gjithashtu se fq(X, Y) shpesh shënohet si fq(X&Y).

Pra kemi dy përkufizime: fq(Y|X) = fq(X, Y) /p( X) dhe fq(X|Y) = fq(X, Y) / fq(Y)

Le t'i rishkruajmë këto barazi si: fq(X, Y) = fq(Y|X)*p( X) dhe fq(X, Y) = fq(X|Y) * fq(Y)

Meqenëse anët e majta janë të barabarta, kështu janë edhe ato të djathta: fq(Y|X)*p( X) = fq(X|Y) * fq(Y)

Ose mund ta rishkruajmë barazinë e fundit si:

Kjo është teorema e Bayes!

A është e mundur që transformime të tilla të thjeshta (pothuajse tautologjike) të lindin një teoremë të madhe!? Mos nxitoni në përfundime. Le të flasim përsëri për atë që kemi. Kishte njëfarë probabiliteti fillestar (apriori). R(X) se ndryshorja e rastit X shpërndara në mënyrë uniforme në segment bie brenda intervalit X. Ka ndodhur një ngjarje Y, si rezultat i së cilës kemi marrë probabilitetin a posteriori të së njëjtës ndryshore të rastësishme X: R(X|Y), dhe kjo probabilitet ndryshon nga R(X) nga koeficienti . Ngjarje Y të quajtur prova, pak a shumë vërtetuese ose përgënjeshtuese X. Ky koeficient nganjëherë quhet fuqia e provës. Sa më e fortë të jetë prova, sa më shumë fakti i vëzhgimit Y të ndryshojë probabilitetin e mëparshëm, aq më shumë probabiliteti i pasëm ndryshon nga ai i mëparshmi. Nëse provat janë të dobëta, e pasme është pothuajse e barabartë me atë të mëparshme.

Formula e Bayes për variabla diskrete të rastësishme

Në seksionin e mëparshëm, kemi nxjerrë formulën Bayes për variablat e rastësishme të vazhdueshme x dhe y të përcaktuara në intervalin . Konsideroni një shembull me ndryshore të rastësishme diskrete, secila duke marrë dy vlera të mundshme. Gjatë ekzaminimeve rutinë mjekësore, u konstatua se në moshën dyzetvjeçare, 1% e grave vuajnë nga kanceri i gjirit. 80% e grave me kancer marrin rezultate pozitive të mamografisë. 9.6% e grave të shëndosha gjithashtu marrin rezultate pozitive të mamografisë. Gjatë ekzaminimit, një grua e kësaj grupmoshe ka marrë rezultat pozitiv të mamografisë. Sa është probabiliteti që ajo të ketë kancer të gjirit?

Ecuria e arsyetimit/llogaritjeve është si më poshtë. Nga 1% e pacientëve me kancer, mamografia do të japë 80% rezultate pozitive = 1% * 80% = 0.8%. Nga 99% e grave të shëndetshme, mamografia do të japë 9,6% rezultate pozitive = 99% * 9,6% = 9,504%. Në total, nga 10,304% (9,504% + 0,8%) me rezultate pozitive të mamografisë, vetëm 0,8% janë të sëmurë, ndërsa pjesa tjetër 9,504% janë të shëndetshëm. Kështu, probabiliteti që një grua me mamografi pozitive të ketë kancer është 0,8% / 10,304% = 7,764%. Mendonit 80% apo më shumë?

Në shembullin tonë, formula e Bayes merr formën e mëposhtme:

Le të flasim edhe një herë për kuptimin "fizik" të kësaj formule. Xështë një ndryshore e rastësishme (diagnozë), e cila merr vlerat e mëposhtme: x 1- i sëmurë dhe X 2- të shëndetshëm; Y– variabël i rastësishëm (rezultati i matjes - mamografia), i cili merr vlerat: Y 1- një rezultat pozitiv dhe Y 2- rezultat negativ; p(X 1)- probabiliteti i sëmundjes para mamografisë (probabiliteti a priori), i barabartë me 1%; R(Y 1 |X 1 ) - probabiliteti i një rezultati pozitiv nëse pacienti është i sëmurë (probabiliteti i kushtëzuar, pasi duhet të specifikohet në kushtet e detyrës), i barabartë me 80%; R(Y 1 |X 2 ) – probabiliteti i një rezultati pozitiv nëse pacienti është i shëndetshëm (gjithashtu probabiliteti i kushtëzuar), i barabartë me 9.6%; p(X 2)- probabiliteti që pacienti të jetë i shëndetshëm para mamografisë (probabiliteti a priori), i barabartë me 99%; p(X 1|Y 1 ) – probabiliteti që pacienti të jetë i sëmurë, duke pasur parasysh një rezultat pozitiv të mamografisë (probabiliteti posterior).

Mund të shihet se probabiliteti i pasëm (ajo që ne kërkojmë) është proporcional me probabilitetin e mëparshëm (fillestar) me një koeficient pak më kompleks. . Unë do të theksoj përsëri. Sipas mendimit tim, ky është një aspekt themelor i qasjes Bayesian. Dimensioni ( Y) shtoi një sasi të caktuar informacioni në disponueshmërinë fillimisht (a priori), gjë që sqaroi njohuritë tona për objektin.

Shembuj

Për të konsoliduar materialin e mbuluar, përpiquni të zgjidhni disa probleme.

Shembulli 1 Ka 3 urna; në 3 topat e parë të bardhë dhe 1 të zi; në të dytën - 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj; në të tretën - 3 topa të bardhë. Dikush i afrohet rastësisht njërës prej urnave dhe nxjerr 1 top prej saj. Ky top është i bardhë. Gjeni probabilitetet e pasme që topi është tërhequr nga urna e 1, 2, 3.

Zgjidhje. Kemi tre hipoteza: H 1 = (urna e parë e zgjedhur), H 2 = (urna e dytë e zgjedhur), H 3 = (urna e tretë e zgjedhur). Meqenëse urna zgjidhet në mënyrë të rastësishme, probabilitetet a priori të hipotezave janë: Р(Н 1) = Р(Н 2) = Р(Н 3) = 1/3.

Si rezultat i eksperimentit, u shfaq ngjarja A = (një top i bardhë u hoq nga urna e zgjedhur). Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A sipas hipotezave H 1, H 2, H 3: P(A|H 1) = 3/4, P(A|H 2) = 2/5, P(A|H 3) = 1. Për shembull, barazia e parë thotë kështu: "probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nëse zgjidhet urna e parë është 3/4 (pasi ka 4 topa në urnën e parë dhe 3 prej tyre janë të bardhë)".

Duke zbatuar formulën Bayes, gjejmë probabilitetet e pasme të hipotezave:

Kështu, në dritën e informacionit për ndodhjen e ngjarjes A, probabilitetet e hipotezave ndryshuan: më e mundshme u bë hipoteza H 3 , më pak e mundshme - hipoteza H 2 .

Shembulli 2 Dy gjuajtës qëllojnë në mënyrë të pavarur në të njëjtin objektiv, secili qëllon nga një gjuajtje. Probabiliteti për të goditur objektivin për gjuajtësin e parë është 0.8, për të dytin - 0.4. Pas të shtënave, në objektiv është gjetur një vrimë. Gjeni probabilitetin që kjo vrimë t'i përkasë gjuajtësit të parë (ne e hedhim poshtë rezultatin (të dyja vrimat përkojnë) si pak të ngjarë).

Zgjidhje. Para eksperimentit, hipotezat e mëposhtme janë të mundshme: H 1 = (as shigjeta e parë dhe as e dyta nuk do të godasin), H 2 = (të dy shigjetat do të godasin), H 3 - (qitësi i parë do të godasë, dhe i dyti nuk do të godasë. ), H 4 = (qitësi i parë nuk do të godasë, dhe i dyti do të godasë). Probabilitetet e mëparshme të hipotezave:

P (H 1) \u003d 0,2 * 0,6 \u003d 0,12; P (H 2) \u003d 0,8 * 0,4 \u003d 0,32; P (H 3) \u003d 0,8 * 0,6 \u003d 0,48; P (H 4) \u003d 0,2 * 0,4 \u003d 0,08.

Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes së vëzhguar A = (ka një vrimë në objektiv) sipas këtyre hipotezave janë: P(A|H 1) = P(A|H 2) = 0; P(A|H 3) = P(A|H 4) = 1

Pas përvojës, hipotezat H 1 dhe H 2 bëhen të pamundura, dhe probabilitetet e pasme të hipotezave H 3 dhe H 4 sipas formulës Bayes do të jenë:

Bayes kundër spamit

Formula e Bayes ka gjetur aplikim të gjerë në zhvillimin e filtrave të spamit. Le të themi se dëshironi të trajnoni një kompjuter për të përcaktuar se cilat email janë postë të padëshiruar. Ne do të fillojmë nga fjalori dhe kombinimet e fjalëve duke përdorur vlerësimet Bayesian. Le të krijojmë së pari një hapësirë ​​hipotezash. Le të kemi 2 hipoteza në lidhje me çdo shkronjë: H A është spam, H B nuk është spam, por një shkronjë normale, e nevojshme.

Së pari, le të "trajnojmë" sistemin tonë të ardhshëm anti-spam. Le të marrim të gjitha shkronjat që kemi dhe t'i ndajmë në dy "grumbull" nga 10 shkronja. Ne vendosim letra të padëshiruara në njërën dhe e quajmë grumbulli H A, në tjetrin vendosim korrespondencën e nevojshme dhe e quajmë grumbulli H B. Tani le të shohim: cilat fjalë dhe fraza gjenden në emailet e padëshiruara dhe të nevojshme dhe me çfarë frekuence? Këto fjalë dhe fraza do të quhen prova dhe do të shënohen me E 1 , E 2 ... Rezulton se fjalët e përdorura zakonisht (për shembull, fjalët "si", "juaj") në grumbullimet H A dhe H B ndodhin afërsisht me të njëjtën frekuencë. Pra, prania e këtyre fjalëve në një letër nuk na tregon asgjë se cilit grumbull i përket (prova e dobët). Le t'u caktojmë këtyre fjalëve një vlerë neutrale të vlerësimit të probabilitetit të "spam", le të themi, 0.5.

Lëreni shprehjen "anglisht biseduese" të shfaqet me vetëm 10 shkronja dhe më shpesh në emailet e padëshiruara (për shembull, në 7 emaile të padëshiruara nga të gjitha 10) sesa në ato të duhurat (në 3 nga 10). Le t'i japim kësaj fraze një rezultat më të lartë prej 7/10 për mesazhet e padëshiruara, dhe një rezultat më të ulët për emailet normale: 3/10. Anasjelltas, rezultoi se fjala "mik" ishte më e zakonshme në shkronjat normale (6 nga 10). Dhe kështu morëm një letër të shkurtër: “Shoku! Si është anglishtja juaj e folur?. Le të përpiqemi të vlerësojmë "spamness" e tij. Ne do të vendosim vlerësimet e përgjithshme P(H A), P(H B) të përkatësisë në çdo grumbull duke përdorur një formulë disi të thjeshtuar të Bayes dhe vlerësimet tona të përafërta:

P(H A) = A/(A+B), ku A \u003d p a1 * p a2 * ... * tigan, B \u003d p b1 * p b2 * ... * p b n \u003d (1 - p a1) * (1 - p a2) * ... * ( 1 - p an).

Tabela 1. Vlerësimi Bayesian i thjeshtuar (dhe jo i plotë) i shkrimit

Kështu, letra jonë hipotetike mori një vlerësim të probabilitetit të përkatësisë me theks në drejtimin e "spam". A mund të vendosim ta hedhim letrën në një nga pirgjet? Le të vendosim pragjet e vendimit:

• Do të supozojmë se shkronja i përket grumbullit H i nëse P(H i) ≥ T.
• Shkronja nuk i përket grumbullit nëse P(H i) ≤ L.
• Nëse L ≤ P(H i) ≤ T, atëherë nuk mund të merret asnjë vendim.

Ju mund të merrni T = 0,95 dhe L = 0,05. Që për letrën në fjalë dhe 0.05< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации?

Po. Le të llogarisim rezultatin për secilën pjesë të provës në një mënyrë të ndryshme, ashtu siç sugjeroi Bayes. Le të:

F a është numri i përgjithshëm i emaileve të padëshiruara;

F ai është numri i shkronjave me një certifikatë i në një grumbull spam;

F b është numri i përgjithshëm i shkronjave të nevojshme;

F bi është numri i shkronjave me një certifikatë i në një grumbull letrash të nevojshme (përkatëse).

Atëherë: p ai = F ai / F a , p bi = F bi / F b . P(H A) = A/(A+B), P(H B) = B/(A+B), kuА = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n

Ju lutemi vini re se pikët e fjalëve provuese p ai dhe p bi janë bërë objektive dhe mund të llogariten pa ndërhyrjen njerëzore.

Tabela 2. Një vlerësim më i saktë (por jo i plotë) Bayesian për veçoritë e disponueshme nga një letër

Ne morëm një rezultat mjaft të caktuar - me një diferencë të madhe probabiliteti, letra mund t'i atribuohet shkronjave të nevojshme, pasi P(H B) = 0,997 > T = 0,95. Pse ndryshoi rezultati? Sepse ne përdorëm më shumë informacion - morëm parasysh numrin e shkronjave në secilën prej grumbullimeve dhe, nga rruga, përcaktuam vlerësimet p ai dhe p bi shumë më saktë. Ata u përcaktuan në të njëjtën mënyrë si vetë Bayes, duke llogaritur probabilitetet e kushtëzuara. Me fjalë të tjera, p a3 është probabiliteti që fjala "mik" të shfaqet në email, duke pasur parasysh që emaili tashmë i përket grumbullit të spamit H A . Rezultati nuk vonoi - duket se mund të marrim një vendim me siguri më të madhe.

Bayes kundër mashtrimit të korporatës

Një aplikim interesant i qasjes Bayesian u përshkrua nga MAGNUS8.

Projekti im aktual (IS për zbulimin e mashtrimit në një ndërmarrje prodhuese) përdor formulën Bayes për të përcaktuar mundësinë e mashtrimit (mashtrimit) në prani / mungesë të disa fakteve në mënyrë indirekte në favor të hipotezës së mundësisë së mashtrimit. Algoritmi është vetë-mësues (me reagime), d.m.th. rillogarit koeficientët e tij (probabilitetet e kushtëzuara) me konfirmimin ose moskonfirmimin faktik të mashtrimit gjatë kontrollit nga shërbimi i sigurisë ekonomike.

Ndoshta vlen të thuhet se metoda të tilla gjatë hartimit të algoritmeve kërkojnë një kulturë mjaft të lartë matematikore të zhvilluesit, sepse gabimi më i vogël në nxjerrjen dhe/ose zbatimin e formulave llogaritëse do të anulojë dhe diskreditojë të gjithë metodën. Metodat probabiliste janë veçanërisht fajtore për këtë, pasi mendimi njerëzor nuk është përshtatur për të punuar me kategori probabiliste dhe, në përputhje me rrethanat, nuk ka "dukshmëri" dhe kuptim të "kuptimit fizik" të parametrave probabilistikë të ndërmjetëm dhe përfundimtarë. Një kuptim i tillë ekziston vetëm për konceptet themelore të teorisë së probabilitetit, dhe atëherë ju vetëm duhet të kombinoni dhe nxirrni me shumë kujdes gjëra komplekse sipas ligjeve të teorisë së probabilitetit - sensi i përbashkët nuk do të ndihmojë më për objektet e përbëra. Kjo, në veçanti, shoqërohet me beteja mjaft serioze metodologjike që zhvillohen në faqet e librave modernë mbi filozofinë e probabilitetit, si dhe me një numër të madh sofizmash, paradoksesh dhe enigmash kurioziteti për këtë temë.

Një nuancë tjetër me të cilën më është dashur të përballem është se, për fat të keq, pothuajse gjithçka pak a shumë e DOBISHME NË PRAKTIKË për këtë temë është e shkruar në anglisht. Në burimet në gjuhën ruse, në thelb ekziston vetëm një teori e njohur me shembuj demonstrues vetëm për rastet më primitive.

Jam plotësisht dakord me komentin e fundit. Për shembull, Google, kur u përpoq të gjente diçka si libri "Probabiliteti Bayesian", nuk dha asgjë të kuptueshme. Vërtetë, ai tha se një libër me statistika Bayesian ishte i ndaluar në Kinë. (Profesor i statistikave Andrew Gelman raportoi në një blog të Universitetit të Kolumbisë se libri i tij, Analiza e të dhënave me regresion dhe modele shumënivelëshe/hierarkike, u ndalua nga botimi në Kinë. teksti.”) Pyes veten nëse një arsye e ngjashme çoi në mungesën e librave mbi Bayesian probabiliteti në Rusi?

Konservatorizmi në procesin e përpunimit të informacionit njerëzor

Probabilitetet përcaktojnë shkallën e pasigurisë. Probabiliteti, si sipas Bayes ashtu edhe sipas intuitës sonë, është thjesht një numër midis zeros dhe asaj që përfaqëson shkallën në të cilën një person disi i idealizuar beson se deklarata është e vërtetë. Arsyeja pse një person është disi i idealizuar është se shuma e probabiliteteve të tij për dy ngjarje reciprokisht ekskluzive duhet të jetë e barabartë me probabilitetin e tij për të ndodhur njërën prej këtyre ngjarjeve. Vetia e aditivitetit ka implikime të tilla që pak njerëz të vërtetë mund t'i përputhen me të gjitha.

Teorema e Bayes është një pasojë e parëndësishme e vetive të aditivitetit, e pamohueshme dhe e pranuar nga të gjithë probabilistët, Bayesian dhe të tjerë. Një mënyrë për ta shkruar atë është si më poshtë. Nëse P(H A |D) është probabiliteti pasues që hipoteza A ishte pasi u vëzhgua vlera e dhënë D, P(H A) është probabiliteti i saj paraprak përpara se të vëzhgohej vlera e dhënë D, P(D|H A) është probabiliteti që një do të vërehet vlera e dhënë D, nëse H A është e vërtetë, dhe P(D) është probabiliteti i pakushtëzuar i një vlere të dhënë D, atëherë

(1) P(H A |D) = P(D|H A) * P(H A) / P(D)

P(D) mendohet më së miri si një konstante normalizuese, duke bërë që probabilitetet e pasme të shtohen deri në një mbi grupin shterues të hipotezave reciproke ekskluzive që po shqyrtohen. Nëse duhet të llogaritet, mund të jetë kështu:

Por më shpesh P(D) eliminohet në vend që të numërohet. Një mënyrë e përshtatshme për ta eliminuar atë është shndërrimi i teoremës së Bayes në formën e një relacioni probabiliteti-shans.

Konsideroni një hipotezë tjetër, H B, reciprokisht ekskluzive për H A, dhe ndryshoni mendjen tuaj për të bazuar në të njëjtën sasi të dhënë që ndryshoi mendjen tuaj për H A. Teorema e Bayes thotë se

(2) P(H B |D) = P(D|H B) * P(H B) / P(D)

Tani e ndajmë ekuacionin 1 me ekuacionin 2; rezultati do të jetë si ky:

ku Ω 1 janë shanset e pasme në favor të H A për sa i përket H B , Ω 0 janë shanset e mëparshme dhe L është një numër i njohur për statisticienët si raport probabiliteti. Ekuacioni 3 është i njëjti version përkatës i teoremës së Bayes si Ekuacioni 1, dhe shpesh është shumë më i dobishëm veçanërisht për eksperimentet që përfshijnë hipoteza. Përkrahësit Bayesian argumentojnë se teorema e Bayes është një rregull formalisht optimal për mënyrën e rishikimit të opinioneve në dritën e të dhënave të reja.

Ne jemi të interesuar të krahasojmë sjelljen ideale të përcaktuar nga teorema e Bayes me sjelljen aktuale të njerëzve. Për t'ju dhënë një ide se çfarë do të thotë kjo, le të provojmë një eksperiment me ju si subjekt. Kjo çantë përmban 1000 patate të skuqura pokeri. Unë kam dy nga këto çanta, njëra me 700 patate të skuqura dhe 300 blu, dhe tjetra me 300 të kuqe dhe 700 blu. Kam kthyer një monedhë për të përcaktuar se cilën të përdor. Kështu, nëse mendimet tona janë të njëjta, probabiliteti juaj aktual për të vizatuar një çantë me më shumë patate të skuqura është 0.5. Tani, ju mostroni rastësisht, duke u kthyer pas çdo token. Në 12 patate të skuqura, ju merrni 8 të kuqe dhe 4 blu. Tani, bazuar në gjithçka që dini, sa është probabiliteti që një çantë të dalë me më shumë të kuqe? Është e qartë se është më e lartë se 0.5. Ju lutemi mos vazhdoni leximin derisa të keni regjistruar vlerësimin tuaj.

Nëse dukeni si një subjekt tipik, rezultati juaj bie midis 0.7 dhe 0.8. Megjithatë, nëse do të bënim llogaritjen përkatëse, përgjigja do të ishte 0.97. Në të vërtetë, është shumë e rrallë që një person të cilit nuk i është treguar më parë ndikimi i konservatorizmit të arrijë në një vlerësim kaq të lartë, edhe nëse ai ishte i njohur me teoremën e Bayes.

Nëse proporcioni i patate të skuqura të kuqe në qese është R, atëherë probabiliteti për të marrë r patate të skuqura të kuqe dhe ( n-r) blu në n mostrat me kthim - p r (1-p)n-r. Kështu, në një eksperiment tipik me qese dhe çip pokeri, nëse HA do të thotë se proporcioni i patate të skuqura të kuqe është r A dhe HB do të thotë se pjesa është RB, atëherë raporti i probabilitetit është:

Kur zbatohet formula e Bayes, duhet marrë parasysh vetëm probabiliteti i vëzhgimit aktual, dhe jo probabilitetet e vëzhgimeve të tjera që ai mund të ketë bërë por nuk i ka bërë. Ky parim ka implikime të gjera për të gjitha aplikimet statistikore dhe jostatistikore të teoremës së Bayes; është mjeti teknik më i rëndësishëm i të menduarit Bayesian.

Revolucioni Bayesian

Miqtë dhe kolegët tuaj po flasin për diçka që quhet "Teorema e Bayesit" ose "rregulli Bayesian" ose diçka që quhet të menduarit Bayesian. Ata janë me të vërtetë në të, kështu që ju shkoni në internet dhe gjeni një faqe në lidhje me teoremën e Bayes dhe... Është një ekuacion. Dhe kjo është e gjitha... Pse një koncept matematikor krijon një entuziazëm të tillë në mendjet? Çfarë lloj "revolucioni Bayesian" po ndodh midis shkencëtarëve dhe argumentohet se edhe vetë qasja eksperimentale mund të përshkruhet si rasti i saj i veçantë? Cili është sekreti që dinë ndjekësit e Bayes? Çfarë lloj drite shohin ata?

Revolucioni Bayesian në shkencë nuk ndodhi sepse gjithnjë e më shumë shkencëtarë njohës filluan të vinin re befas se fenomenet mendore kanë një strukturë Bayesian; jo sepse shkencëtarët në çdo fushë kanë filluar të përdorin metodën Bayesian; por sepse vetë shkenca është një rast i veçantë i teoremës së Bayes; provat eksperimentale janë prova Bayesian. Revolucionarët Bayesian argumentojnë se kur bëni një eksperiment dhe merrni prova që "mbështesin" ose "përgënjeshtojnë" teorinë tuaj, ai konfirmim ose përgënjeshtrim ndodh sipas rregullave Bayesian. Për shembull, duhet të keni parasysh jo vetëm që teoria juaj mund të shpjegojë fenomenin, por edhe se ka shpjegime të tjera të mundshme që mund të parashikojnë gjithashtu këtë fenomen.

Më parë, filozofia më e njohur e shkencës ishte filozofia e vjetër që u zhvendos nga revolucioni Bayesian. Ideja e Karl Popper-it se teoritë mund të falsifikohen plotësisht, por kurrë nuk konfirmohen plotësisht, është një tjetër rast i veçantë i rregullave Bayesian; nëse p(X|A) ≈ 1 - nëse teoria bën parashikime të sakta, atëherë vëzhgimi i ~X falsifikon A shumë fuqishëm. Nga ana tjetër, nëse p(X|A) ≈ 1 dhe ne vëzhgojmë X, kjo nuk ndodh mbështesin shumë teorinë; një kusht tjetër B është i mundur, i tillë që p(X|B) ≈ 1, dhe sipas të cilit vëzhgimi i X nuk është provë për A, por provë për B. Për të vëzhguar X që vërteton A-në, do të duhej të dinim jo se p(X|A) ≈ 1 dhe atë p(X|~A) ≈ 0, të cilën nuk mund ta dimë sepse nuk mund t'i shqyrtojmë të gjitha shpjegimet e mundshme alternative. Për shembull, kur teoria e relativitetit të përgjithshëm të Ajnshtajnit e tejkaloi teorinë shumë të verifikueshme të gravitetit të Njutonit, ajo i bëri të gjitha parashikimet e teorisë së Njutonit një rast të veçantë të Ajnshtajnit.

Në mënyrë të ngjashme, pretendimi i Popper-it se një ide duhet të jetë e falsifikueshme mund të interpretohet si një manifestim i rregullit Bayesian për ruajtjen e probabilitetit; nëse rezultati X është provë pozitive për teorinë, atëherë rezultati ~X duhet të falsifikojë teorinë deri në një farë mase. Nëse po përpiqeni të interpretoni X dhe ~X si "mbështetës" të një teorie, rregullat Bayesian thonë se kjo është e pamundur! Për të rritur gjasat e një teorie, duhet t'i nënshtroheni testeve që potencialisht mund të zvogëlojnë gjasat e saj; ky nuk është vetëm një rregull për të zbuluar sharlatanët në shkencë, por një pasojë e teoremës së probabilitetit Bayesian. Nga ana tjetër, ideja e Popper-it se nevojitet vetëm falsifikim dhe nuk nevojitet konfirmim është i gabuar. Teorema e Bayes tregon se falsifikimi është provë shumë e fortë në krahasim me konfirmimin, por falsifikimi është ende i natyrës probabiliste; ai nuk drejtohet nga rregulla thelbësisht të ndryshme dhe nuk ndryshon në këtë nga konfirmimi, siç argumenton Popper.

Kështu ne zbulojmë se shumë dukuri në shkencat njohëse, plus metodat statistikore të përdorura nga shkencëtarët, plus vetë metoda shkencore, janë të gjitha raste të veçanta të teoremës së Bayes. Kjo është ajo që ka të bëjë me revolucionin Bayesian.

Mirë se vini në Komplotin Bayesian!

Literatura mbi probabilitetin Bayesian

2. Shumë aplikime të ndryshme të Bayes janë përshkruar nga laureati i Nobelit në ekonomi Kahneman (et al.) në një libër të mrekullueshëm. Vetëm në përmbledhjen time të këtij libri shumë të madh, unë numërova 27 referenca për emrin e një ministri presbiterian. Formulat minimale. (.. Më pëlqeu shumë. Vërtetë, është e komplikuar, shumë matematikë (dhe ku pa të), por kapituj individualë (për shembull, kapitulli 4. Informacion), qartë mbi temën. Unë i këshilloj të gjithë. Edhe nëse matematika është e vështirë për ju, lexoni rreshtin, duke anashkaluar matematikën dhe duke peshkuar për kokrra të dobishme ...

14. (suplement i datës 15 janar 2017), një kapitull nga libri i Tony Crilly. 50 ide për të cilat duhet të dini. Matematika.

Fizikani laureat i Nobelit, Richard Feynman, duke folur për një filozof veçanërisht egoist, një herë tha: “Nuk është filozofia si shkencë që më shqetëson aspak, por pompoziteti që është krijuar rreth saj. Sikur filozofët të qeshin me veten e tyre! Sikur të mund të thoshin: "Unë them se është kështu, dhe Von Leipzig mendoi se ishte ndryshe, dhe ai gjithashtu di diçka për të." Sikur të kujtoheshin të sqaronin se ishte vetëm e tyre .

Formula e Bayes:

Probabilitetet P(H i) të hipotezave H i quhen probabilitete a priori - probabilitetet para eksperimenteve.
Probabilitetet P(A/H i) quhen probabilitete a posteriori - probabilitetet e hipotezave H i të rafinuara si rezultat i eksperimentit.

Shembulli #1. Pajisja mund të montohet nga pjesë të cilësisë së lartë dhe nga pjesë të cilësisë së zakonshme. Rreth 40% e pajisjeve janë montuar nga pjesë të cilësisë së lartë. Nëse pajisja është montuar nga pjesë me cilësi të lartë, besueshmëria e saj (probabiliteti i funksionimit pa dështim) me kalimin e kohës t është 0,95; nëse nga pjesët me cilësi të zakonshme - besueshmëria e tij është 0.7. Pajisja u testua për kohën t dhe funksionoi pa të meta. Gjeni probabilitetin që ai të jetë i montuar nga pjesë të cilësisë së lartë.
Zgjidhje. Dy hipoteza janë të mundshme: H 1 - pajisja është mbledhur nga pjesë me cilësi të lartë; H 2 - pajisja është mbledhur nga pjesë të cilësisë së zakonshme. Probabilitetet e këtyre hipotezave para eksperimentit: P(H 1) = 0.4, P(H 2) = 0.6. Si rezultat i eksperimentit, u vu re ngjarja A - pajisja funksionoi pa të meta për kohën t. Probabilitetet e kushtëzuara të kësaj ngjarje sipas hipotezave H 1 dhe H 2 janë: P(A|H 1) = 0,95; P(A|H 2) = 0,7. Duke përdorur formulën (12), gjejmë probabilitetin e hipotezës H 1 pas eksperimentit:

Shembulli #2. Dy gjuajtës qëllojnë në mënyrë të pavarur në të njëjtin objektiv, secili qëllon nga një gjuajtje. Probabiliteti për të goditur objektivin për gjuajtësin e parë është 0.8, për të dytin 0.4. Pas të shtënave, në objektiv është gjetur një vrimë. Duke supozuar se dy gjuajtës nuk mund të godasin të njëjtën pikë, gjeni probabilitetin që gjuajtësi i parë të godasë objektivin.
Zgjidhje. Le të jetë ngjarja A një vrimë e gjetur në objektiv pas gjuajtjes. Para fillimit të të shtënave, hipotezat janë të mundshme:
H 1 - as gjuajtësi i parë dhe as i dyti nuk do të godasë, probabiliteti i kësaj hipoteze: P(H 1) = 0.2 0.6 = 0.12.
H 2 - të dy gjuajtësit do të godasin, P (H 2) \u003d 0,8 0,4 \u003d 0,32.
H 3 - gjuajtësi i parë do të godasë, dhe i dyti nuk do të godasë, P (H 3) = 0,8 0,6 = 0,48.
H 4 - gjuajtësi i parë nuk do të godasë, por i dyti do të godasë, P (H 4) = 0.2 0.4 = 0.08.
Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A sipas këtyre hipotezave janë:

Pas përvojës, hipotezat H 1 dhe H 2 bëhen të pamundura, dhe probabilitetet e hipotezave H 3 dhe H 4
do të jetë e barabartë:

Pra, ka shumë të ngjarë që objektivi të goditet nga gjuajtësi i parë.

Shembulli #3. Në dyqanin e montimit, një motor elektrik është i lidhur me pajisjen. Motorët elektrikë furnizohen nga tre prodhues. Në magazinë gjenden përkatësisht 19.6 dhe 11 elektromotor të impianteve të përmendura, të cilët mund të punojnë pa dështim deri në fund të periudhës së garancisë, përkatësisht me probabilitete 0.85, 0.76 dhe 0.71. Punëtori merr rastësisht një motor dhe e monton në pajisje. Gjeni probabilitetin që motori elektrik, i montuar dhe duke punuar pa dështuar deri në fund të periudhës së garancisë, është furnizuar nga prodhuesi i parë, i dytë ose i tretë, përkatësisht.
Zgjidhje. Testi i parë është zgjedhja e motorit elektrik, i dyti është funksionimi i motorit elektrik gjatë periudhës së garancisë. Merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme:
A - motori elektrik punon pa të meta deri në fund të periudhës së garancisë;
H 1 - montuesi do të marrë motorin nga produktet e fabrikës së parë;
H 2 - montuesi do të marrë motorin nga produktet e fabrikës së dytë;
H 3 - montuesi do të marrë motorin nga produktet e fabrikës së tretë.
Probabiliteti i ngjarjes A llogaritet me formulën e probabilitetit total:

Probabilitetet e kushtëzuara janë të specifikuara në deklaratën e problemit:

Le të gjejmë probabilitetet

Duke përdorur formulat e Bayes (12), ne llogarisim probabilitetet e kushtëzuara të hipotezave H i:

Shembulli numër 4. Probabilitetet që gjatë funksionimit të sistemit, i cili përbëhet nga tre elementë, të dështojnë elementët me numrat 1, 2 dhe 3, lidhen si 3: 2: 5. Probabilitetet e zbulimit të dështimeve të këtyre elementeve janë përkatësisht 0,95; 0.9 dhe 0.6.

b) Në kushtet e kësaj detyre është konstatuar një defekt gjatë funksionimit të sistemit. Cili element ka më shumë gjasa të dështojë?

Zgjidhje.
Le të jetë A një ngjarje dështimi. Le të prezantojmë një sistem hipotezash H1 - dështimi i elementit të parë, H2 - dështimi i elementit të dytë, H3 - dështimi i elementit të tretë.
Ne gjejmë probabilitetet e hipotezave:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0,3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0,2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0,5

Sipas kushtit të problemit, probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A janë:
P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,9, P(A|H3) = 0,6

a) Gjeni probabilitetin e zbulimit të një dështimi në sistem.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.3*0.95 + 0.2*0.9 + 0.5 *0,6 = 0,765

b) Në kushtet e kësaj detyre është konstatuar një defekt gjatë funksionimit të sistemit. Cili element ka më shumë gjasa të dështojë?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0,3*0,95 / 0,765 = 0,373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0,2*0,9 / 0,765 = 0,235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0,5*0,6 / 0,765 = 0,392

Probabiliteti maksimal i elementit të tretë.

Gjatë nxjerrjes së formulës së probabilitetit total, supozohet se probabilitetet e hipotezave janë të njohura përpara eksperimentit. Formula e Bayes lejon që hipotezat fillestare të rivlerësohen në dritën e informacionit të ri që ka ngjarja ndodhi. Prandaj, formula e Bayes quhet formula e përsosjes së hipotezës.

Teorema (formula e Bayes). Nëse ngjarja mund të ndodhë vetëm me një nga hipotezat
, të cilat formojnë një grup të plotë ngjarjesh, pastaj probabiliteti i hipotezave, me kusht që ngjarja ka ndodhur, llogaritet me formulë

,
.

Dëshmi.

Formula Bayes ose qasja Bayesian për vlerësimin e hipotezave luan një rol të rëndësishëm në ekonomi, sepse bën të mundur korrigjimin e vendimeve menaxheriale, vlerësimet e parametrave të panjohur të shpërndarjes së veçorive të studiuara në analizat statistikore etj.

Shembull. Llambat elektrike prodhohen në dy fabrika. Fabrika e parë prodhon 60% të numrit të përgjithshëm të llambave elektrike, e dyta - 40%. Produktet e fabrikës së parë përmbajnë 70% të llambave standarde, e dyta - 80%. Dyqani merr produkte nga të dy fabrikat. Llamba e blerë në dyqan doli të jetë standarde. Gjeni probabilitetin që llamba të jetë prodhuar në fabrikën e parë.

Le të shkruajmë gjendjen e problemit, duke futur shënimin e duhur.

E dhënë: ngjarje është se llamba është standarde.

Hipoteza
është se llamba është prodhuar në fabrikën e parë

Hipoteza
është se llamba është prodhuar në fabrikën e dytë

Gjej
.

Zgjidhje.

5. Teste të përsëritura të pavarura. Formula e Bernulit

Konsideroni skemën teste të pavarura ose Skema Bernoulli, e cila ka vlerë të rëndësishme shkencore dhe zbatime të ndryshme praktike.

Le të prodhohet prova të pavarura, në secilën prej të cilave mund të ndodhë ndonjë ngjarje .

Përkufizimi. Testet thirruri pavarur , nëse në secilën prej tyre ngjarja

, pavarësisht nëse ngjarja u shfaq apo nuk u shfaq
në prova të tjera.

Shembull. Në stolin e provës u vendosën 20 llamba inkandeshente, të cilat testohen nën ngarkesë për 1000 orë. Probabiliteti që një llambë të kalojë testin është 0.8 dhe nuk varet nga ajo që ka ndodhur me llambat e tjera.

Në këtë shembull, testi i referohet kontrollit të llambës për aftësinë e saj për të përballuar një ngarkesë për 1000 orë. Pra, numri i provave është
. Në çdo provë individuale, vetëm dy rezultate janë të mundshme:

Përkufizimi. Një seri testesh të pavarura të përsëritura, në secilën prej të cilave një ngjarje
ndodh me të njëjtën probabilitet
, pavarësisht nga numri i testit, thirretSkema Bernoulli.

Probabiliteti i ngjarjes së kundërt caktoj
, dhe, siç u tregua më lart,

Teorema. Në kushtet e skemës së Bernulit, probabiliteti që në ngjarje e pavarur testuese do te shfaqet
herë, përcaktohet nga formula

ku
numri i testeve të pavarura të kryera;

numri i ndodhive të ngjarjes
;

probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje
në një gjykim të veçantë;

probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë
në një gjykim të veçantë;

Gjatë nxjerrjes së formulës së probabilitetit total, u supozua se ngjarja POR, probabiliteti i të cilit do të përcaktohej, mund të ndodhte me një nga ngjarjet H 1 , N 2 , ... , H n, duke formuar një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift. Probabilitetet e këtyre ngjarjeve (hipotezave) ishin të njohura paraprakisht. Le të supozojmë se është kryer një eksperiment, si rezultat i të cilit ngjarja POR ka ardhur. Ky informacion shtesë na lejon të rivlerësojmë probabilitetet e hipotezave H i , duke llogaritur P(H i /A).

ose, duke përdorur formulën e probabilitetit total, marrim

Kjo formulë quhet formula e Bayes ose teorema e hipotezës. Formula e Bayes ju lejon të "rishikoni" probabilitetet e hipotezave pasi rezultati i eksperimentit të bëhet i njohur, si rezultat i të cilit u shfaq ngjarja POR.

Probabilitetet Р(Н i) janë probabilitetet apriori të hipotezave (ato janë llogaritur para eksperimentit). Probabilitetet P(H i /A) janë probabilitetet a posteriori të hipotezave (ato llogariten pas eksperimentit). Formula Bayes ju lejon të llogaritni probabilitetet e pasme nga probabilitetet e tyre të mëparshme dhe nga probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes POR.

Shembull. Dihet se 5% e të gjithë meshkujve dhe 0.25% e të gjitha femrave janë të verbër. Një person i përzgjedhur rastësisht sipas numrit të kartës mjekësore vuan nga verbëria e ngjyrave. Sa është probabiliteti që të jetë mashkull?

Zgjidhje. Ngjarje POR Personi është i verbër nga ngjyra. Hapësira e ngjarjeve elementare për eksperimentin - një person zgjidhet nga numri i kartës mjekësore - Ω = ( H 1 , N 2 ) përbëhet nga 2 ngjarje:

H 1 - zgjidhet një burrë,

H 2 - zgjidhet një grua.

Këto ngjarje mund të zgjidhen si hipoteza.

Sipas kushtit të problemit (zgjedhja e rastësishme), probabilitetet e këtyre ngjarjeve janë të njëjta dhe të barabarta me P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

Në këtë rast, probabilitetet e kushtëzuara që një person vuan nga verbëria e ngjyrave janë të barabarta, përkatësisht:

P(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; P(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Meqenëse dihet që personi i përzgjedhur është i verbër nga ngjyra, pra ngjarja ka ndodhur, ne përdorim formulën Bayes për të rivlerësuar hipotezën e parë:

Shembull. Ka tre kuti identike. Kutia e parë përmban 20 topa të bardhë, kutia e dytë përmban 10 topa të bardhë dhe 10 topa të zinj dhe kutia e tretë përmban 20 topa të zinj. Një top i bardhë nxirret nga një kuti e zgjedhur rastësisht. Llogaritni probabilitetin që topi të jetë tërhequr nga kutia e parë.

Zgjidhje. Shënoni me POR ngjarje - shfaqja e një topi të bardhë. Mund të bëhen tre supozime (hipoteza) në lidhje me zgjedhjen e kutisë: H 1 ,H 2 , H 3 - përzgjedhja e kutive të parë, të dytë dhe të tretë, përkatësisht.

Meqenëse zgjedhja e cilësdo prej kutive është po aq e mundshme, probabilitetet e hipotezave janë të njëjta:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

Sipas gjendjes së problemit, probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga kutia e parë

Probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga kutia e dytë

Probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nga kutia e tretë

Ne gjejmë probabilitetin e dëshiruar duke përdorur formulën Bayes:

Përsëritja e testeve. Formula e Bernulit.

Ka n prova, në secilën prej të cilave ngjarja A mund të ndodhë ose jo, dhe probabiliteti i ngjarjes A në çdo provë individuale është konstante, d.m.th. nuk ndryshon nga përvoja në përvojë. Ne tashmë dimë se si të gjejmë probabilitetin e një ngjarje A në një eksperiment.

Me interes të veçantë është probabiliteti i shfaqjes së një numri të caktuar herë (m herë) të ngjarjes A në n eksperimente. probleme të tilla zgjidhen lehtësisht nëse testet janë të pavarura.

Def. Quhen disa teste i pavarur në lidhje me ngjarjen A nëse probabiliteti i ngjarjes A në secilën prej tyre nuk varet nga rezultatet e eksperimenteve të tjera.

Probabiliteti P n (m) i ndodhjes së ngjarjes A saktësisht m herë (mosndodhja e n-m herë, ngjarje ) në këto n prova. Ngjarja A shfaqet në një sërë sekuencash m herë).

- Formula e Bernulit.

Formulat e mëposhtme janë të dukshme:

P n (m më pak k herë në n prova.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A më shumë k herë në n prova.

Faqe e dobishme? Ruani ose tregoni miqve tuaj

Nëse ngjarja POR mund të ndodhë vetëm kur një nga ngjarjet që formojnë grup i plotë i ngjarjeve të papajtueshme, atëherë probabiliteti i ngjarjes POR llogaritur me formulë

Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Konsideroni përsëri grupin e plotë të ngjarjeve të papajtueshme, probabilitetet e shfaqjes së të cilave janë . Ngjarje POR mund të ndodhë vetëm së bashku me ndonjë nga ngjarjet që do t'i quajmë hipoteza. Pastaj sipas formulës së probabilitetit total

Nëse ngjarja POR ka ndodhur, mund të ndryshojë probabilitetet e hipotezave .

Sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit

.

Në mënyrë të ngjashme, për hipoteza të tjera

Formula që rezulton quhet Formula e Bayes (Formula e Bayes). Probabilitetet e hipotezave quhen probabilitetet e pasme, ndersa - probabilitetet e mëparshme.

Shembull. Dyqani mori produkte të reja nga tre ndërmarrje. Përbërja në përqindje e këtyre produkteve është si më poshtë: 20% - produkte të ndërmarrjes së parë, 30% - produkte të ndërmarrjes së dytë, 50% - produkte të ndërmarrjes së tretë; më tej, 10% e produkteve të ndërmarrjes së parë të klasës më të lartë, në ndërmarrjen e dytë - 5% dhe në të tretën - 20% të produkteve të klasës më të lartë. Gjeni probabilitetin që një produkt i ri i blerë rastësisht të jetë i cilësisë më të lartë.

Zgjidhje. Shënoni me AT ngjarja që konsiston në faktin se produkti premium do të blihet, le të tregojmë ngjarjet që konsistojnë në blerjen e produkteve që u përkasin përkatësisht ndërmarrjeve të para, të dyta dhe të treta.

Ne mund të aplikojmë formulën e probabilitetit total dhe në shënimin tonë:

Duke zëvendësuar këto vlera në formulën e probabilitetit total, marrim probabilitetin e kërkuar:

Shembull. Njëri nga tre gjuajtësit thirret në vijën e zjarrit dhe gjuan dy të shtëna. Probabiliteti për të goditur objektivin me një goditje për gjuajtësin e parë është 0.3, për të dytin - 0.5; për të tretën - 0.8. Objektivi nuk goditet. Gjeni probabilitetin që të shtënat të jenë shkrepur nga gjuajtësi i parë.

Zgjidhje. Tre hipoteza janë të mundshme:

Qitësi i parë thirret në vijën e zjarrit,

Qitësi i dytë thirret në vijën e zjarrit,

Një gjuajtës i tretë u thirr në vijën e zjarrit.

Meqenëse thirrja e çdo gjuajtësi në vijën e zjarrit është po aq e mundur, atëherë

Si rezultat i eksperimentit, u vu re ngjarja B - pas të shtënave, objektivi nuk u godit. Probabilitetet e kushtëzuara të kësaj ngjarje sipas hipotezave të bëra janë:

duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin e hipotezës pas eksperimentit:

Shembull. Në tre makina automatike përpunohen pjesë të të njëjtit lloj, të cilat mbërrijnë pas përpunimit në një transportues të përbashkët. Makina e parë jep 2% refuzon, e dyta - 7%, e treta - 10%. Produktiviteti i makinës së parë është 3 herë më i madh se produktiviteti i të dytës, dhe i tretë është 2 herë më i vogël se i dyti.

a) Sa është shkalla e defektit në linjën e montimit?

b) Cilat janë përmasat e pjesëve të secilës makinë midis pjesëve me defekt në transportues?

Zgjidhje. Le të marrim një pjesë në mënyrë të rastësishme nga linja e montimit dhe të marrim parasysh ngjarjen A - pjesa është me defekt. Ajo shoqërohet me hipoteza se ku është përpunuar kjo pjesë: – një pjesë e zgjedhur rastësisht përpunohet në makinën -të, .

Probabilitetet e kushtëzuara (në gjendjen e problemit ato jepen në formën e përqindjeve):

Varësitë midis performancës së makinës nënkuptojnë sa vijon:

Dhe meqenëse hipotezat formojnë një grup të plotë, atëherë .

Pasi kemi zgjidhur sistemin e ekuacioneve që rezulton, gjejmë: .

a) Probabiliteti total që një pjesë e marrë në mënyrë të rastësishme nga linja e montimit të jetë me defekt.

Artikulli i mëparshëm: Nëse produkti ndahet me një nga faktorët, atëherë do të merret një faktor tjetër Artikulli vijues: Format bazë të përshëndetjes (përkthyer nga Nihao)