Zhvillimi i elektrodinamikës. "Universiteti Teknik Shtetëror i Donit"
MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS SË RUSISË
INSTITUCION ARSIMOR I LARTË
ARSIMI PROFESIONAL
"Universiteti Teknik Shtetëror i Donit"
(DSTU)
Test
sipas disiplinës "Konceptet e shkencës moderne natyrore"
Tema #1.25 Formimi dhe zhvillimi i elektrodinamikës klasike
(M. Faraday, D. Maxwell, G. Hertz).
Pamja elektrodinamike e botës.
E kryer: Onuchina A.A.
student 1 drejtimi i kursit të përgatitjes të mësuarit në distancë
Grupi IZES11 numri i librit të regjistrimit 1573242
Kontrolluar ________________
Rostov-on-Don
Plani:
1. Historia e elektrodinamikës………………………………………………………………..3
2. Formimi dhe zhvillimi i elektrodinamikës klasike……………………… 5
3. Pamja elektrodinamike e botës……………………………………………………10
Lista e literaturës së përdorur……………………………………………………13
Historia e elektrodinamikës.
Elektrodinamika klasikeështë teoria e proceseve elektromagnetike në media të ndryshme dhe në vakum. Ai mbulon një grup të madh fenomenesh në të cilat rolin kryesor e luajnë ndërveprimet midis grimcave të ngarkuara, të kryera me anë të një fushe elektromagnetike.
Historia e elektrodinamikës është historia e evolucionit të koncepteve themelore fizike. Deri në mesin e shekullit të 18-të, u krijuan rezultate të rëndësishme eksperimentale për shkak të energjisë elektrike: tërheqja dhe zmbrapsja, ndarja e hapur e substancave në përçues dhe izolues, ekzistenca e dy llojeve të energjisë elektrike. Është bërë përparim në studimin e magnetizmit.
Përdorimi praktik i energjisë elektrike filloi në gjysmën e dytë të shekullit të 18-të. Emri i Franklin (1706-1790) lidhet me shfaqjen e një hipoteze për energjinë elektrike si një substancë të veçantë materiale. Në 1785, Sh. Coulomb vendosi ligjin e ndërveprimit të dy ngarkesave pika. Emri i A. Volta (1745-1827) lidhet me një sërë shpikjesh të instrumenteve matëse elektrike. Ligji i Ohmit u krijua në 1826. Në 1820 Oersted zbuloi efektin magnetik të rrymës elektrike. Në 1820, u krijua një ligj që përcakton forcën mekanike me të cilën një fushë magnetike vepron në një element të rrymës elektrike të futur në të - ligji i Amperit. Amperi vendosi gjithashtu ligjin e ndërveprimit të forcës së dy rrymave.
Me rëndësi të veçantë në fizikë është hipoteza e rrymave molekulare e propozuar nga Amperi në 1820.
Në 1831, Faraday zbuloi ligjin e induksionit elektromagnetik. Në 1873, James Clerk Maxwell (1831-1879) parashtroi ekuacione të shkurtra që u bënë themeli teorik i elektrodinamikës. Një nga pasojat e ekuacioneve të Maxwell ishte parashikimi i natyrës EM të dritës, ai parashikoi gjithashtu mundësinë e ekzistencës së valëve EM. Gradualisht, shkenca zhvilloi një ide për fushën EM si një entitet material i pavarur, i cili është bartës i ndërveprimeve EM në hapësirë. Dukuritë e ndryshme elektrike dhe magnetike që njerëzit kanë vëzhguar që nga kohra të lashta kanë ngjallur gjithmonë kureshtjen dhe interesin e tyre. Më shpesh, termi elektrodinamikë kuptohet si elektrodinamikë klasike, e cila përshkruan vetëm vetitë e vazhdueshme të një fushe elektromagnetike. Fusha elektromagnetike është lënda kryesore e studimit të elektrodinamikës, një lloj lënde që manifestohet kur ndërvepron me trupat e ngarkuar. Në 1895 Popov A.S. bëri shpikjen më të madhe - radio. Ai pati një ndikim të jashtëzakonshëm në zhvillimin e mëvonshëm të shkencës dhe teknologjisë. Të gjitha fenomenet elektromagnetike mund të përshkruhen duke përdorur ekuacionet e Maxwell-it, të cilat vendosin lidhjen midis sasive që karakterizojnë fushat elektrike dhe magnetike dhe shpërndarjen e ngarkesave dhe rrymave në hapësirë.
Formimi dhe zhvillimi i elektrodinamikës klasike
(M. Faraday, D. Maxwell, G. Hertz).
Një hap i rëndësishëm në zhvillimin e elektrodinamikës ishte zbulimi nga M. Faraday i fenomenit të induksionit elektromagnetik - ngacmimi nga një fushë magnetike alternative e një force elektromotore në përçues - që u bë baza e inxhinierisë elektrike.
Michael Faraday - fizikan anglez, lindi në periferi të Londrës në familjen e një farkëtari. Pas mbarimit të shkollës fillore, që në moshën dymbëdhjetë vjeç ai punoi si shitës gazetash dhe në 1804 u bë nxënës te libralidhësi Ribot, një emigrant francez që në çdo mënyrë nxiti dëshirën e zjarrtë të Faradeit për vetë-edukim. Duke lexuar dhe marrë pjesë në leksione, Faraday u përpoq të plotësonte njohuritë e tij, dhe ai u tërhoq kryesisht nga shkencat natyrore - kimia dhe fizika. Në 1813, një nga klientët i paraqiti Faradeit kartat e ftesës në leksionet e Humphry Davy, të cilat luajtën një rol vendimtar në fatin e të riut. Duke i shkruar Davy-t, Faradei, me ndihmën e tij, mori një pozicion si asistent laboratori në Institutin Mbretëror.
Aktiviteti shkencor i Faradeit vazhdoi brenda mureve të Institutit Mbretëror, ku ai fillimisht ndihmoi Davy në eksperimentet kimike, dhe më pas filloi kërkimet e pavarura. Faraday kreu lëngëzimin e klorit dhe disa gazrave të tjerë, mori benzen. Në 1821, ai vëzhgoi për herë të parë rrotullimin e një magneti rreth një përcjellësi me rrymë dhe një përcjellësi me rrymë rreth një magneti, duke krijuar modelin e parë të një motori elektrik. Gjatë 10 viteve të ardhshme, Faraday studioi marrëdhëniet midis fenomeneve elektrike dhe magnetike. Hulumtimi i tij arriti kulmin me zbulimin në 1831 të fenomenit të induksionit elektromagnetik. Faraday studioi këtë fenomen në detaje, nxori ligjin e tij bazë, zbuloi varësinë e rrymës së induksionit nga vetitë magnetike të mediumit, studioi fenomenin e vetë-induksionit dhe rrymat shtesë të mbylljes dhe hapjes.
Zbulimi i fenomenit të induksionit elektromagnetik fitoi menjëherë rëndësi të madhe shkencore dhe praktike; ky fenomen qëndron në themel të, për shembull, funksionimin e të gjithë gjeneratorëve të rrymës alternative dhe të vazhdueshme. Dëshira për të zbuluar natyrën e rrymës elektrike e çoi Faradein në eksperimente mbi kalimin e rrymës përmes tretësirave të acideve, kripërave dhe alkaleve. Rezultati i këtyre studimeve ishte zbulimi në 1833 i ligjeve të elektrolizës. Në 1845, Faraday zbuloi fenomenin e rrotullimit të planit të polarizimit të dritës në një fushë magnetike. Në të njëjtin vit ai zbuloi diamagnetizmin, në 1847 - paramagnetizmin, gjithashtu në 1833 shpiku voltmetrin.
Idetë e Faradeit për fushat elektrike dhe magnetike patën një ndikim të madh në zhvillimin e të gjithë fizikës. Në 1832, Faraday sugjeroi se përhapja e ndërveprimeve elektromagnetike është një proces valor që ndodh me një shpejtësi të kufizuar, dhe në 1845 ai përdori për herë të parë termin "fushë magnetike".
Zbulimet e Faradeit fituan njohjen më të gjerë në të gjithë botën shkencore. Për nder të Michael Faraday, Shoqëria Kimike Britanike vendosi Medaljen Faraday, një nga çmimet më të nderuara shkencore.
Duke u përpjekur të shpjegojë fenomenin e induksionit elektromagnetik në bazë të konceptit të veprimit me rreze të gjatë, por duke hasur në vështirësi, ai sugjeroi zbatimin e ndërveprimeve elektromagnetike me anë të një fushe elektromagnetike, bazuar në konceptin e veprimit me rreze të shkurtër. Kjo shënoi fillimin e formimit të konceptit të fushës elektromagnetike, të zyrtarizuar nga D. Maxwell. James Clerk Maxwell është një fizikant anglez. Lindur në Edinburg. Nën drejtimin e tij u krijua Laboratori i famshëm Cavendish në Kembrixh, të cilin ai e drejtoi deri në fund të jetës.
Punimet e Maxwell i kushtohen elektrodinamikës, fizikës molekulare, statistikave të përgjithshme, optikës, mekanikës dhe teorisë së elasticitetit. Kontributi më i rëndësishëm i Maxwell u dha në fizikën molekulare dhe elektrodinamikën. Në teorinë kinetike të gazeve, një nga themeluesit e së cilës është, ai vendosi funksionet e shpërndarjes së molekulave në drejtim të shpejtësive, bazuar në shqyrtimin e përplasjeve të drejtpërdrejta dhe të kundërta, zhvilloi teorinë e transferimit në një formë të përgjithshme, duke e zbatuar atë. në proceset e difuzionit, përcjelljes së nxehtësisë dhe fërkimit të brendshëm, prezantoi konceptin e relaksimit. Në 1867, i pari tregoi natyrën statistikore të ligjit të dytë të termodinamikës, në 1878 ai prezantoi termin "mekanika statistikore".
Arritja më e madhe shkencore e Maxwell është teoria e fushës elektromagnetike që ai krijoi në 1860-1865. Në teorinë e tij të fushës elektromagnetike, Maxwell përdori një koncept të ri - rrymën e zhvendosjes, përcaktoi fushën elektromagnetike dhe parashikoi një efekt të ri të rëndësishëm: ekzistencën e rrezatimit elektromagnetik në hapësirën e lirë, valët elektromagnetike dhe përhapjen e tij në hapësirë me shpejtësinë e dritës. Shkencëtari formuloi gjithashtu një teoremë në teorinë e elasticitetit, vendosi marrëdhënie midis parametrave kryesorë termofizikë, zhvilloi teorinë e vizionit të ngjyrave, hetoi qëndrueshmërinë e unazave të Saturnit, duke treguar se unazat nuk janë të ngurta apo të lëngëta, por janë një tufë meteorësh. . Maxwell projektoi një numër instrumentesh. Ai ishte një popullarizues i famshëm i njohurive fizike.
1) fusha magnetike krijohet nga ngarkesat lëvizëse dhe një fushë elektrike alternative (rryma e paragjykimit);
2) një fushë elektrike me vija të mbyllura të forcës (fushë vorbull) krijohet nga një fushë magnetike alternative;
3) linjat e forcës së fushës magnetike janë gjithmonë të mbyllura (kjo do të thotë se nuk ka burime - ngarkesa magnetike të ngjashme me ato elektrike);
4) një fushë elektrike me linja të hapura të forcës (fushë potenciale) krijohet nga ngarkesat elektrike - burimet e kësaj fushe.
Nga teoria e Xhejms Maksuellit rrjedh fundshmëria e shpejtësisë së përhapjes së bashkëveprimit elektromagnetik dhe ekzistenca e valëve elektromagnetike. Teoria e fushës elektromagnetike e Maksuellit është një përgjithësim themelor i elektrodinamikës, kështu që me të drejtë zë një vend të nderuar ndër arritjet më të mëdha shkencore të njerëzimit, si mekanika klasike, fizika relativiste dhe mekanika kuantike. Në 1861-1862, James Maxwell botoi punimin e tij mbi linjat fizike të forcës. Bazuar në koincidencën praktike të shpejtësisë së përhapjes së shqetësimeve elektromagnetike dhe shpejtësisë së dritës, Maxwell sugjeroi që drita është gjithashtu një shqetësim elektromagnetik. Dhe kjo ide në dukje absolutisht fantastike për atë kohë, befas filloi të marrë konfirmime eksperimentale.
Dhe gjithçka duket të jetë mirë, por në 1885, një mësues i caktuar në një shkollë për vajza në Bazel, Johann Jakob Balmer, pas eksperimenteve të tij, shkroi një artikull të shkurtër, fjalë për fjalë disa faqe, që thotë: "Kushtojini vëmendje spektrit linjat e hidrogjenit.” Gjë që i solli fizikanët teorikë në një gjendje hutimi për dy dekadat e ardhshme. Linjat e qarta spektrale të serisë Balmer i demonstruan qartë komunitetit shkencor fizik botëror se jo gjithçka është aq e thjeshtë në këtë botë.
Zhvillimi i elektrodinamikës klasike pas Maksuellit shkoi në disa drejtime, nga të cilat vërejmë dy kryesore. Së pari, ana matematikore e teorisë së Maxwell-it u përmirësua dhe u morën disa rezultate të reja. Së dyti, ekzistonte një unifikimi i teorisë së fushës elektromagnetike me idetë themelore të teorisë së strukturës së materies. Drejtimi i fundit çoi në krijimin e teorisë elektronike.
Dua të përmend edhe fizikanin e shquar gjerman Heinrich Rudolf Hertz. Ai u diplomua në Universitetin e Berlinit, nga 1885 deri në 1889 ishte profesor i fizikës në Universitetin e Karlsruhes. Që nga viti 1889 - profesor i fizikës në Universitetin e Bonit.
Arritja kryesore është konfirmimi eksperimental i teorisë elektromagnetike të dritës të James Maxwell. Hertz vërtetoi ekzistencën e valëve elektromagnetike.
Ai e ndërtoi elektrodinamikën e trupave në lëvizje mbi bazën e hipotezës se eteri është futur nga trupat në lëvizje. Megjithatë, teoria e tij e elektrodinamikës nuk u konfirmua nga eksperimentet dhe më vonë i dha vendin teorisë elektronike të Hendrik Lorentz. Rezultatet e marra nga Hertz formuan bazën për krijimin e radios. Në 1886, Hertz së pari vëzhgoi dhe përshkroi efektin e jashtëm fotoelektrik. Hertz zhvilloi teorinë e qarkut rezonant, studioi vetitë e rrezeve katodike dhe hetoi efektin e rrezeve ultravjollcë në një shkarkesë elektrike. Që nga viti 1933, Hertz është emri i njësisë së matjes së frekuencës Hertz, e cila përfshihet në sistemin metrik ndërkombëtar të njësive SI.
Fizika është një nga shkencat më të rëndësishme të studiuara nga njeriu. Prania e tij është e dukshme në të gjitha sferat e jetës, ndonjëherë zbulimet madje ndryshojnë rrjedhën e historisë. Kjo është arsyeja pse fizikanët e mëdhenj janë kaq interesantë dhe domethënës për njerëzit.
Elektrodinamika është një degë e fizikës që studion vetitë dhe ligjet e sjelljes së një fushe elektromagnetike dhe lëvizjen e ngarkesave elektrike që ndërveprojnë me njëra-tjetrën përmes kësaj fushe.
Shumë fizikanë të mëdhenj i kanë kushtuar jetën e tyre përpjekjes për të gjetur përgjigje për pyetjet që i duhen njerëzimit. Bota nuk qëndron ende, gjithçka rrjedh dhe ndryshon, planeti rrotullohet rreth boshtit të tij, një stuhi vjen gjithmonë me vetëtima dhe bubullima, dhe gjethet bien në tokë. Dhe ishin pikërisht gjëra të thjeshta në shikim të parë që zgjuan tek një person një interes për shkencat e sakta dhe natyrore.
Informacione të ngjashme.
HYRJE Teoria e fushës elektromagnetike si pjesë e lëndës "Bazat fizike të elektronikës kuantike". Fokusi është në valët elektromagnetike dhe gamën e tyre optike. Komunikimi i teorisë së fushës elektromagnetike me degët e tjera të fizikës. Media optike. Roli i valëve elektromagnetike. Krahasimi me valët akustike dhe të tjera (teoria e valëve). Fotonet janë grimca elementare (dhe jo kuazi-grimca si fononet). Eter dhe vakum. Valët lineare dhe jolineare.
Ekuacionet e Maksuellit në një mjedis të vazhdueshëm CGS SI Ligji Gaussian Ngarkesa elektrike është një burim i induksionit elektrik Ligji Gaussian për një fushë magnetike Nuk ka ngarkesa magnetike Ligji i induksionit të Faradeit Ndryshimi në induksionin magnetik gjeneron një fushë elektrike vorbull Teorema mbi qarkullimin e magnetike. fushat Rryma elektrike dhe ndryshimi në induksionin elektrik gjenerojnë një fushë magnetike vorbull -------- _________
Ekuacionet e Maksuellit, forma integrale CGS SI Ligji i Gausit Rrjedha e induksionit elektrik nëpër një sipërfaqe të mbyllur S është proporcionale me sasinë e ngarkesës së lirë brenda sipërfaqes S Ligji i Gausit për magnetike. fusha Fluksi i induksionit magnetik nëpër një sipërfaqe të mbyllur S është i barabartë me zero Ligji i induksionit të Faradeit Ndryshimi në fluksin e induksionit magnetik që kalon nëpër një sipërfaqe të hapur S, marrë me shenjën e kundërt, është në proporcion me qarkullimin e fushës elektrike në një kontur i mbyllur l, i cili është kufiri i sipërfaqes S Teorema mbi qarkullimin e fushës magnetike Rryma elektrike totale e elektroneve të lira dhe ndryshimi në rrjedhën e induksionit elektrik nëpër sipërfaqen e hapur S janë proporcionale me qarkullimin e magnetit fushë në konturin e mbyllur l, që është kufiri i sipërfaqes S S është një sipërfaqe dydimensionale, e mbyllur për teoremën e Gausit dhe e hapur për ligjet e Faradeit dhe Amperit (kufiri i saj është një kontur i mbyllur). është ngarkesa elektrike brenda vëllimit V e kufizuar nga sipërfaqja S. është rryma elektrike që rrjedh nëpër sipërfaqen S.
Ekuacionet materiale Marrëdhëniet ndërmjet D, B, E dhe H Në vakum D = E, B = H Në një mjedis, ekuacionet materiale mund të marrin formën e marrëdhënieve jo-lokale në kohë dhe hapësirë dhe jolineare (do të jepen më vonë).
Ushtrime Nxirrni nga ekuacionet e Maksuellit Ligji i Kulombit për një ngarkesë pikë në vakum. Kontrolloni përmbushjen e të gjitha ekuacioneve të Maksuellit. Gjeni emailin e tensionit. fushat e një sfere me një densitet uniform ngarkese. Gjeni emailin e tensionit. fushat e një shtrese unazore me një densitet uniform ngarkese. - shtëpi. detyrë Gjeni shpërndarjen e densitetit të ngarkesës, nëse dihet shpërndarja e forcës së fushës elektrike. fushat ku A dhe n janë konstante Shpjegoni kuptimin fizik të rezultatit për n = -3.
"Sheshet" e. -m. fushat Ne i konsiderojmë të kufizuara në hapësirë dhe kohë paketat e fushës (me energji të fundme) Ne integrojmë me kalimin e kohës në kufij të pafund - "zonën" e elektrike. fusha - vektor irrotues Integrimi mbi hapësirë (vëllim) në kufij të pafundëm - "zona" e fushës magnetike - ruhet Këto marrëdhënie të përgjithshme (për çdo lloj ekuacioni konstituiv) janë të dobishme për kontrollin e saktësisë së modelimit të dinamikës së fushës.
Ekuacionet e Maksuellit në vakum (SGS) Teksti mësimor: NN Rozanov. Dyshek me seksione të veçanta. fizikës. Pjesa I. Valët elektromagnetike në vakum. 2005. D = E, B = H, ρ = 0, j = 0 Kushtet e zbatimit: 1. Kuadri inercial i referencës 2. Efektet gravitacionale 3. Kufizimet kuantike për fusha të dobëta dhe të forta
Kufizimet kuantike në fushat e dobëta Ekuacionet e Maxwell korrespondojnë me një përshkrim të vazhdueshëm (në vend se diskret). Prandaj, për vlefshmërinë e tyre, numri i fotoneve në mënyrat themelore N duhet të jetë i madh: N >> 1. Ky faktor është i rëndësishëm në analizën e zhurmës së rrezatimit dhe gjendjeve të shtrydhura të një fushe elektromagnetike (optika kuantike).
Kufizimet kuantike në fusha të forta Ekuacionet e Maksuellit nuk marrin parasysh probabilitetin e prodhimit të çifteve elektron-pozitron dhe efektet e polarizimit të vakumit. Një kusht i domosdoshëm për të neglizhuar këto efekte: (ndryshimi i energjisë së ngarkesës |e| në fushën e forcës E në një distancë të barabartë me gjatësinë valore Compton të elektronit RC = h / (mc) = 2. 4 10^(-10 ) cm duhet të jetë shumë më e vogël se mc^2, m është masa e elektronit, h është konstanta e Plankut, ħ = h / 2π). Në instalimet me lazer me fuqi të lartë, arrihen fuqitë e fushës afër kritikës. Një teori konsistente jepet nga elektrodinamika kuantike. Përafërsisht, fusha elektromagnetike në vakumin elektron-pozitron përshkruhet nga ekuacionet e elektrodinamikës së mediave të vazhdueshme. Gjatësia valore Compton e një elektroni përshkruan "njollosjen" e tij, në distanca më të vogla teoria klasike është e pazbatueshme.
Simetria e ekuacioneve të Maksuellit në vakum Barazia e E dhe H në vakum pa ngarkesa. Barazia e drejtimeve të rrjedhës së kohës (në një vakum klasik nuk ka shpërndarje të energjisë)
Struktura vektoriale e ekuacioneve të Maxwell-it ρ - skalar (dendësia e ngarkesës elektronike) E, D, j - vektorët tredimensionale polare H, B - vektorët boshtorë tredimensionale Në reflektimin e pasqyrës, drejtimi i vektorëve polare nuk ndryshon, dhe për ata boshtorë ajo zëvendësohet nga e kundërta. e mërkurë me forcën e Lorencit Dallimi ndërmjet vektorëve polare dhe aksialë është thelbësor për regjistrimin e ndjeshmërive jolineare.
Ekuacioni valor Media jomagnetike Jo të gjitha zgjidhjet e ekuacionit të valës janë zgjidhje të ekuacioneve të Maksuellit, pasi këto zgjidhje mund të mos e plotësojnë ekuacionin. Në fakt, kjo lidhje imponon kufizime në strukturën e polarizimit të rrezatimit. Kështu, kur përjashtohen sasitë magnetike nga ekuacionet e Maxwell-it, ekuacioni duhet t'i shtohet ekuacionit të valës.
Dinamika e. -m. Fushat Duke pasur parasysh raportet materiale, formulimi i problemit Cauchy është i mundur - vlerat pasuese të fushave përcaktohen nga të dhënat fillestare. Ekzistojnë dy ekuacione dinamike (që përmbajnë derivatin kohor të rendit të parë; shpërndarja e frekuencës është neglizhuar këtu). Dy ekuacione "statike" kufizojnë formën e kushteve fillestare. Shembull - vakum pa tarifa ()
Dinamika e. -m. fushat në vakum Ekuacionet e Maxwell përmbajnë derivate kohore të rendit të parë. Prandaj, vendosja e pikave të forta E dhe H në momentin fillestar të kohës është e mjaftueshme për të përcaktuar dinamikën e mëtejshme të fushës (+ kushtet kufitare). Metoda numerike e llogaritjes: FDTD - domeni kohor me diferencë të fundme. - temë për prezantimin përfundimtar
Kushtet fillestare (vakum) nuk janë arbitrare. Ata duhet t'u binden kushteve. të vendosen në mënyrë arbitrare, këto ekuacione përcaktojnë llojin e komponentëve të tretë. Për shembull, le të jepet Pastaj (f është një funksion arbitrar i argumenteve të tij)
Dinamika e fushës (problemi Cauchy)* Meqenëse ekuacionet e Maxwell-it janë të rendit të parë në kohë, kushtet fillestare bëjnë të mundur përcaktimin e vlerave të fushave elektrike dhe magnetike në momentet e mëvonshme kohore. Zgjerimet e Taylor për intervale të vogla kohore:
Detyrat Në momentin fillestar jepen t = 0 Gjeni vlerat pasuese të intensiteteve. - shtëpi. detyrë Në një moment të caktuar kohor jepen komponentët Gjeni formën e përbërësit të tretë E në të njëjtën pikë kohore.
Variabla evolucionare, shembull i ekuacionit të Helmholtzit Mjedis homogjen (vakum), rrezatim monokromatik me frekuencë ω Polarizim fiks (linear). Një nga komponentët e fushës f (shembulli i Hadamard)
Problemi Cauchy për ekuacionin Helmholtz
Problemi i Cauchy-it për ekuacionin e Helmholtz-it Kufiri në z të fundme Për të dhënat fillestare zero (në kufi), ekziston një zgjidhje që synon pafundësinë në z të fundme. Por me të dhëna të tilla fillestare, ekziston edhe një zgjidhje zero. Nuk ka varësi të vazhdueshme të zgjidhjes nga të dhënat fillestare. Deklarata e detyrës është e pasaktë. Fiz. kuptimi - valët që vijnë.
Formulimi kovariant i ekuacioneve të Maksuellit në vakum. Tenzorët e fushës elektromagnetike Fuqia e fushës elektrike dhe magnetike nuk është absolute dhe ka vlera të ndryshme në korniza të ndryshme inerciale të referencës që lëvizin në raport me njëri-tjetrin me një shpejtësi V. Detyra është të tregohet pandryshueshmëria relativiste e ekuacioneve të Maxwell dhe të gjenden transformimet e Lorencit për fushën elektromagnetike. Forma e ekuacionit do të jetë relativistisht invariante nëse shkruhet në terma skalarësh, 4-vektorësh dhe tensorë, për të cilët njihen shndërrimet e Lorencit.
Formulimi i kovariantit …* Prezantimi i një hapësire-kohë 4-dimensionale me koordinatat xk, k = 0, 1, 2, 3 Një tjetër sistem koordinativ inercial transformim Lorentz në rastin e veçantë kur shpejtësia V ka vetëm një komponent x 
Tenzori energji-moment e. -m. fusha Simetria në indekse? Simboli Kronecker për i = k dhe 0 ndryshe. - dendësia e. -m. energjia, - dendësia e fluksit të energjisë. Tenzori energji-moment (fushë dhe mesatar) shërben si burim i lakimit të hapësirës-kohës në ekuacionet gravitacionale të Ajnshtajnit.
Detyrat 1. Gjeni forcën e fushave elektrike dhe magnetike të një ngarkese pika që lëviz me shpejtësi konstante. 2. Kontrolloni pandryshueshmërinë e sasive dhe (E, H). 3. Verifiko që shënimi kovariant i ekuacioneve të Maksuellit çon në shënimin standard me zgjedhje të ndryshme të indekseve. - është e gjitha në shtëpi. detyrat
Ekuacioni i përhapjes së pjesës së përparme të valës elektromagnetike Më parë zgjidhëm problemin Cauchy, domethënë, sipas të dhënave fillestare (në t = 0) për fuqitë e fushës, përcaktuam dinamikën e fushës pasuese. Kjo është e mundur, pasi ekuacionet e Maxwell-it në vakum përmbajnë vetëm derivatet e kohës së parë të intensiteteve. Një formulim më i përgjithshëm i problemit të dinamikës: Uch. manual, f. 13-17
Libri është një kurs leksionesh mbi elektrodinamikën klasike, i cili u lexua nga autori për shumë vite në programin bachelor të Departamentit të Fizikës të Universitetit Shtetëror të Shën Petersburg (Leningrad). Lënda bazohet në parime themelore, si ekuacionet e Maksuellit dhe parimi i relativitetit, të kombinuara në formën e bashkëvariantit relativist të ekuacioneve të elektrodinamikës. Mbi bazën e tyre, janë paraqitur vazhdimisht idetë dhe metodat kryesore të elektrostatikës, teoria e rrezatimit, elektrodinamika e mediave të vazhdueshme dhe teoria e valëve. Materiali paraqitet me një shkallë të lartë rigoroziteti matematikor, i cili kombinohet organikisht me një paraqitje të qartë të përmbajtjes fizike. Libri mund të jetë i dobishëm për këdo që, duke pasur njohuri elementare në fushën e fenomeneve elektrike dhe analizës matematikore, dëshiron të marrë një ide të qartë dhe matematikisht rigoroze si për themelet teorike ashtu edhe për metodat për zgjidhjen e problemeve më komplekse të elektrodinamikës.
Fragment nga libri.
Përmbledhje: kur shqyrtojmë problemet e inxhinierisë radio si "si rrezaton një antenë e caktuar", ne, natyrisht, jemi të interesuar vetëm për fushën e krijuar nga vetë ajo, dhe për të përjashtuar fushat e lira të jashtme mbi potencialet, është e natyrshme të imponojmë të nevojshme kushtet asimptotike në pafundësi. Në këtë cilësim, kushtet e matësit të mësipërm i rregullojnë potencialet në mënyrë unike. Por nëse ne jemi të interesuar për vetë fushat e lira (gjë që është e natyrshme kur vendosim probleme, për shembull, në teorinë kuantike të fushës), atëherë nuk mund të vendosim kushte që përjashtojnë të njëjtat fusha.
Parathënie
1 Hyrje e përgjithshme
1.1 Ekuacionet e Maksuellit.
1.2 Digresioni matematik: konventat e shënimeve, formulat e referencës.
1.3 Forma integrale e ekuacioneve të Maksuellit.
1.4 Marrëdhënia ndërmjet formave diferenciale dhe integrale të ekuacioneve të Maksuellit në prani të sipërfaqeve të ndërprerjes. Kushtet kufitare (kushtet e përputhjes).
1.5 Ekuacioni i vazhdimësisë, ligji i ruajtjes së ngarkesës.
1.6 Kalimi nga tensionet tek potencialet. Ekuacionet e Maxwell-it për potencialet.
1.7 Transformimet e kalibrimit dhe kushtet e kalibrimit.
2 Formulimi relativiko-kovariant i elektrodinamikës
2.1 Shënimi.
2.2 Tenzorët në grupin e rrotullimeve SO3 dhe në grupin 03.
2.3 Fushat tensore.
2.4 Elektrodinamika dhe parimi i relativitetit.
2.5 Shndërrimet e Lorencit, vetitë e përgjithshme.
2.6 Vetë transformimet e Lorencit. Një formë e qartë e transformimeve të kalimit në një kornizë referimi lëvizëse..
2.7 Ligji relativist i mbledhjes së shpejtësive. Zvogëlimi dhe shtrirja e kohës.
2.8 Tenzoret dhe fushat tensore në grupin Lorentz.
2.9 Natyra tensore e potencialeve dhe tensioneve.
2.10 Formulimi kovariant i ekuacioneve të Maksuellit për potencialet.
2.11 K tërthor, ekuacioni i vazhdimësisë, pandryshueshmëria e matësit të ekuacioneve të Maksuellit, kushtet e matësit.
2.12 Konsiderata të përgjithshme mbi formën e ekuacioneve të Maxwell-it për potencialet.
2.13 Shënimi kovariant i ekuacioneve të Maksuellit për sforcimet.
2.14 Transformimet e potencialeve dhe intensiteteve gjatë kalimit në një kornizë referimi lëvizëse.
2.15 Elektrodinamika nga këndvështrimi i mekanikës teorike. Veprim funksional për një fushë elektromagnetike.
2.16 Tenzori energji-moment. Ligjet e ruajtjes së energjisë dhe momentit.
2.17 Elemente të dinamikës relativiste të një grimce me pikë. Forca e Lorencit.
3 Statika
3.1 Raportet bazë.
3.2 Zgjidhja e ekuacionit Poisson.
3.3 Zgjerimet shumëpolëshe të potencialit skalar
në elektrostatikë. Momentet shumëpolëshe dhe vetitë e tyre.
3.4 Zgjerimi shumëpolësh i potencialit vektor A në magnetostatikë. Momenti magnetik i një sistemi arbitrar rrymash.
3.5 Forcat dhe momentet e forcave. duke vepruar sipas burimeve të shpërndara.
3.6 Energjia potenciale e një sistemi ngarkesash ose rrymash
në një fushë të jashtme të caktuar.
3.7 Energjia e vet potenciale e një sistemi ngarkesash ose rrymash (energjia në fushën e vet).
3.8 Dielektrikë dhe magnet (statikë).
3.9 Bazat e termodinamikës së dielektrikëve dhe magneteve. Forcat e vëllimit në dielektrikë dhe magnet.
3.10 Problemet e vlerës kufitare të elektrostatikës dhe metodat për zgjidhjen e tyre....
4 Dinamika
4.1 Deklarata e problemit, pamje e përgjithshme e zgjidhjes.
4.2 Funksioni i vonuar i Green-it të operatorit të valës....
4.3 Potencialet e vonuara.
4.4 Fusha e një ngarkese pika që lëviz në mënyrë arbitrare. Potencialet e Liénard-Wiechert. Fuqia e rrezatimit dhe modeli i rrezatimit.
4.5 Rrezatimi nga burime të lokalizuara, zgjerim shumëpolësh.
4.6 Antenë lineare me ngacmim qendror.
4.7 Ekuacionet dinamike të Maksuellit në një mjedis.
4.8 Drejtuesit e valëve.
Indeksi i letërsisë
Shkarkoni falas e-libër në një format të përshtatshëm, shikoni dhe lexoni:
Shkarkoni librin Elektrodinamika klasike, një kurs i shkurtër leksionesh, tutorial, Vasiliev A.N., 2010 - fileskachat.com, shkarkim i shpejtë dhe falas.
Ai përbëhet nga dy pjesë: E. makroskopike, bazuar në ekuacionet e Maxwell-it dhe teoria klasike e elektroneve.
Ekuacionet bazë të elektrodinamikës klasike janë ekuacionet e Maksuellit, të cilat vendosin lidhjen ndërmjet sasive që karakterizojnë fushat elektrike dhe magnetike, me shpërndarjen e ngarkesave dhe rrymave në hapësirë. Thelbi i katër ekuacioneve të Maxwell për një fushë elektromagnetike reduktohet cilësisht në sa vijon:
1. Fusha magnetike krijohet nga ngarkesat lëvizëse dhe një fushë elektrike alternative;
2. Një fushë elektrike me vija të mbyllura forcash (fushë vorbulle) krijohet nga një fushë magnetike e alternuar;
3. Vijat e forcës së fushës magnetike janë gjithmonë të mbyllura (kjo do të thotë se ajo nuk ka burime - ngarkesa magnetike të ngjashme me ato elektrike);
4. Një fushë elektrike me një linjë të fushës së hapur (fushë potenciale) gjenerohet nga ngarkesat elektrike - burimet e kësaj fushe. Nga teoria e Maksuellit rrjedh fundshmëria e shpejtësisë së përhapjes së bashkëveprimeve elektromagnetike dhe ekzistenca e valëve elektromagnetike.
Në elektrodinamikën klasike merren parasysh edhe valët elektromagnetike, rrezatimi dhe përhapja e tyre në hapësirë.
Një pjesë e veçantë e elektrodinamikës klasike është elektrodinamika e mediave të vazhdueshme, e cila merr në konsideratë përgjigjen e mediave fizike ndaj shqetësimeve nga një fushë e jashtme elektrike dhe magnetike.
§ 1. Ligji i Kulombit
§ 2. Forca e fushës elektrike
§ 3. Teorema e Gausit
§ 4. Forma diferenciale e teoremës së Gausit
§ 5. Ekuacioni i dytë i elektrostatikës dhe potencialit skalar
§ 6. Shpërndarjet sipërfaqësore të ngarkesave dhe dipoleve. Fusha elektrike dhe kërcimet e mundshme
§ 7. Ekuacionet Laplace dhe Poisson
§ 8. Teorema e Green-it
§ 9. Unike e zgjidhjes ne kushtet kufitare Dirichlet ose Neumann
§ 10. Zgjidhja formale e problemave të vlerës kufitare të elektrostatikës duke përdorur funksionin e Green-it
§ 11. Energjia potenciale dhe dendësia e energjisë së fushës elektrostatike
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Metoda e imazheve
§ 2. Ngarkesa me pikë pranë një përcjellësi sferik të tokëzuar
§ 3. Ngarkesa me pikë pranë një përcjellësi sferik të izoluar të ngarkuar
§ 4. Ngarkesa me pikë pranë një përcjellësi sferik me një potencial të caktuar
§ 5. Përçues sferik në një fushë elektrike uniforme
§ 6. Metoda e përmbysjes
§ 7. Funksioni i Green për një sferë. Shprehje e përgjithshme për potencialin
§ 8. Dy hemisfera përcjellëse ngjitur me potenciale të ndryshme
§ 9. Zgjerimi në funksionet ortogonale
§ 10. Ndarja e variablave. Ekuacioni i Laplasit në koordinatat karteziane
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Ekuacioni i Laplasit në koordinatat sferike
§ 2. Ekuacioni i Lezhandrit dhe polinomet e Lezhandrit
§ 3. Probleme me vlerën kufitare me simetri azimutale
§ 4. Funksionet e Lezhandrit të lidhur dhe harmonikat sferike
§ 5. Teorema e mbledhjes për harmonikat sferike
§ 6. Ekuacioni i Laplasit në koordinatat cilindrike. Funksionet Bessel
§ 7. Problemet e vlerës kufitare në koordinatat cilindrike
§ 8. Zgjerimi i funksioneve të Green-it në koordinatat sferike
§ 9. Gjetja e potencialit duke përdorur zgjerimet për funksionet sferike të Green-it
§ 10. Zgjerimi i funksioneve të Green-it në koordinatat cilindrike
§ 11. Zgjerimi i funksioneve të Green-it për sa i përket eigenfunksioneve
§ 12. Kushtet kufitare të përziera. Disk përcjellës i ngarkuar
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Zgjerimi në shumëpole
§ 2. Zgjerimi në shumëpole i energjisë së shpërndarjes së ngarkesës në një fushë të jashtme
§ 3. Elektrostatika makroskopike. Efektet e veprimit të kombinuar të atomeve
§ 4. Dielektrikët izotropikë dhe kushtet kufitare
§ 5. Problemet e vlerës kufitare në prani të dielektrikëve
§ 6. Polarizueshmëria e molekulave dhe ndjeshmëria dielektrike
§ 7. Modelet e polarizimit të molekulave
§ 8. Energjia e fushës elektrike në një dielektrik
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Hyrja dhe përkufizimet bazë
§ 2. Ligji i Biot dhe Savart
§ 3. Ekuacionet diferenciale të magnetostatikës dhe ligji i Amperit
§ 4. Potenciali vektorial
§ 5. Potenciali vektor dhe induksioni magnetik i një laku rrethor të rrymës
§ 6. Fusha magnetike e shpërndarjes së kufizuar të rrymave. Moment magnetik
§ 7. Forca dhe momenti që vepron në një shpërndarje të kufizuar të rrymës në një fushë magnetike të jashtme
§ 8. Ekuacionet makroskopike
§ 9. Kushtet kufitare për induksionin dhe fushën magnetike
§ 10. Topi i magnetizuar në mënyrë të njëtrajtshme
§ 11. Top i magnetizuar në një fushë të jashtme. magnet të përhershëm
§ 12. Mbrojtja magnetike. Predha sferike e bërë nga materiali magnetik në një fushë uniforme
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Ligji i induksionit të Faradeit
§ 2. Energjia e fushës magnetike
§ 3. Rryma maksueliane e zhvendosjes. ekuacionet e Maksuellit
§ 4. Potencialet vektoriale dhe skalare
§ 5. Transformimet e matësve. Kalibrimi i Lorencit. Matës Kulon
§ 6. Funksioni i Green-it për ekuacionin e valës
§ 7. Problem me kushtet fillestare. Paraqitja integrale e Kirchhoff
§ 8. Teorema e Poynting
§ 9. Ligjet e ruajtjes për një sistem grimcash të ngarkuara dhe fusha elektromagnetike
§ 10. Ekuacionet makroskopike
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Valët e rrafshët në një mjedis jopërçues
§ 2. Polarizimi linear dhe rrethor
§ 3. Mbivendosje e valëve në një dimension. shpejtësia e grupit
§ 4. Shembuj të përhapjes së pulsit në një mjedis dispersiv
§ 5. Reflektimi dhe thyerja e valëve elektromagnetike në një ndërfaqe të sheshtë midis dielektrikëve
§ 6. Polarizimi mbi reflektim dhe reflektimi total i brendshëm
§ 7. Valët në një mjedis përçues
§ 8. Një model i thjeshtë përçueshmërie
§ 9. Valët tërthore në një plazmë të rrallë
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Fushat në sipërfaqe dhe në brendësi të përcjellësit
§ 2. Rezonatorë cilindrikë dhe përcjellës valësh
§ 3. Drejtuesit e valëve
§ 4. Valët në një përcjellës valësh drejtkëndëshe
§ 5. Fluksi i energjisë dhe zbutja në përcjellësit e valëve
§ 6. Rezonatorët
§ 7. Humbjet e fuqisë në rezonator. Faktori i cilësisë së rezonatorit
§ 8. Valorë dielektrikë
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Fushat e krijuara nga burime të kufizuara lëkundëse
§ 2. Fusha e dipolit elektrike dhe rrezatimi
§ 3. Fushat magnetike të dipolit dhe katërpoleve elektrike
§ 4. Antenë lineare me ngacmim qendror
§ 5. Integrali Kirchhoff
§ 6. Ekuivalentët vektorial të integralit Kirchhoff
§ 7. Parimi i Babinet për ekranet shtesë
§ 8. Difraksioni nga një vrimë rrethore
§ 9. Difraksioni me vrima të vogla
§ 10. Shpërndarja e valëve të shkurtra nga një sferë përcjellëse
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Hyrja dhe konceptet bazë
§ 2. Ekuacionet e magnetohidrodinamikës
§ 3. Difuzioni magnetik, viskoziteti dhe presioni
§ 4. Rrjedha magnetohidrodinamike ndërmjet kufijve në fushat elektrike dhe magnetike të kryqëzuara
§ 5. Efekti pinch
§ 6. Modeli dinamik i efektit pinch
§ 7. Paqëndrueshmëritë e një kolone plazmatike të ngjeshur
§ 8. Valët magnetohidrodinamike
§ 9. Lëkundjet e plazmës me frekuencë të lartë
§ 10. Lëkundjet e plazmës me valë të shkurtra. Rrezja mbrojtëse Debye
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Sfondi historik dhe eksperimentet kryesore
§ 2. Postulatet e teorisë speciale të relativitetit dhe transformimi i Lorencit
§ 3. Tkurrja e Fitzgerald-Lorentz dhe zgjerimi i kohës
§ 4. Mbledhja e shpejtësive. Aberration dhe eksperimenti i Fizeau. Zhvendosja e Dopplerit
§ 5. Tomas precesioni
§ 6. Koha e duhur dhe koni i dritës
§ 7. Shndërrimet e Lorencit si shndërrime ortogonale në hapësirën katërdimensionale
§ 8. Katërvektorë dhe katërtensorë. Kovarianca e ekuacioneve të fizikës
§ 9. Kovarianca e ekuacioneve të elektrodinamikës
§ 10. Shndërrimi i fushës elektromagnetike
§ 11. Kovarianca e shprehjes për forcën e Lorencit dhe ligjet e ruajtjes
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Momenti dhe energjia e një grimce
§ 2. Kinematika e fragmenteve në zbërthimin e një grimce të paqëndrueshme
§ 3. Transformimi në qendrën e sistemit të masës dhe pragjet e reagimit
§ 4. Shndërrimi i momentit dhe energjisë nga qendra e sistemit të masës në sistemin laboratorik
§ 5. Ekuacionet kovariante të lëvizjes. Lagranzhiani dhe Hamiltoniani për një grimcë të ngarkuar relativiste
§ 6. Korrigjimet relativiste të rendit të parë për Lagranzhin e grimcave të ngarkuara ndërvepruese
§ 7. Lëvizja në një fushë magnetike statike uniforme
§ 8. Lëvizja në fusha statike homogjene elektrike dhe magnetike
§ 9. Zhvendosja e grimcave në një fushë magnetike statike johomogjene
§ 10. Pandryshueshmëria adiabatike e fluksit magnetik nëpër orbitën e një grimce
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Transferimi i energjisë në përplasjet e Kulombit
§ 2. Transferimi i energjisë në një oshilator harmonik
§ 3. Shprehje mekanike klasike dhe kuantike për humbjet e energjisë
§ 4. Ndikimi i dendësisë në humbjet e energjisë gjatë përplasjes
§ 5. Humbjet e energjisë në plazmën e elektroneve
§ 6. Shpërndarja elastike e grimcave të shpejta nga atomet
§ 7. Këndi i shpërndarjes rrënjë-mesatare katror dhe shpërndarja këndore në shpërndarje të shumëfishtë
§ 8. Përçueshmëria elektrike e plazmës
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Potencialet Lienard-Wiechert dhe fusha e një ngarkese pikë
§ 2. Fuqia totale e emetuar nga një ngarkesë e përshpejtuar. Formula Larmor dhe përgjithësimi i tij relativist
§ 3. Shpërndarja këndore e rrezatimit nga një ngarkesë e përshpejtuar
§ 4. Rrezatimi i një ngarkese gjatë lëvizjes arbitrare ultrarelativiste
§ 5. Shpërndarja spektrale dhe këndore e energjisë së emetuar nga ngarkesat e përshpejtuara
§ 6. Spektri i rrezatimit të një grimce të ngarkuar relativiste gjatë lëvizjes së menjëhershme në një rreth
§ 7. Shpërndarja me tarifa falas. Formula e Tomsonit
§ 8. Shpërndarje koherente dhe jokoherente
§ 9. Rrezatimi Vavilov-Cherenkov
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Rrezatimi gjatë përplasjeve
§ 2. Bremsstrahlung në përplasjet jorelativiste të Kulombit
§ 3. Bremsstrahlung në lëvizjen relativiste
§ 4. Ndikimi i depistimit. Humbjet e rrezatimit në rastin relativist
§ 5. Metoda e fotonit virtual të Weizsäcker-Williams
§ 6. Bremsstrahlung si shpërhapje virtuale e fotonit
§ 7. Rrezatimi gjatë zbërthimit beta
§ 8. Rrezatimi gjatë kapjes së elektroneve orbitale. Zhdukja e ngarkesës dhe momenti magnetik
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Eigenfunksionet e ekuacionit të valës skalare
§ 2. Zbërthimi i fushave elektromagnetike në terma të shumëpoleve
§ 3. Vetitë e fushave të shumëpoleve. Energjia dhe momenti këndor i rrezatimit shumëpolësh
§ 4. Shpërndarja këndore e rrezatimit shumëpolësh
§ 5. Burimet e rrezatimit shumëpolësh. Momente shumëpolëshe
§ 6. Rrezatimi shumëpolësh i sistemeve atomike dhe bërthamore
§ 7. Rrezatimi i një antene lineare me ngacmim qendror
§ 8. Zgjerimi i valës së rrafshët vektoriale në terma të valëve sferike
§ 9. Shpërndarja e valëve elektromagnetike në një sferë përçuese
§ 10. Zgjidhja e problemave të vlerës kufitare duke përdorur zgjerimet në shumëpole
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Vërejtje hyrëse
§ 2. Përcaktimi i forcës së reaksionit të rrezatimit nga ligji i ruajtjes së energjisë
§ 3. Llogaritja e forcës së reaksionit të rrezatimit sipas Abrahamit dhe Lorencit
§ 4. Vështirësitë e modelit Abraham-Lorentz
§ 5. Vetitë e transformimit të modelit Abraham-Lorentz. Tensionet e Poincaré
§ 6. Përkufizimi kovariant i energjisë vetë-elektromagnetike dhe momentit të një grimce të ngarkuar
§ 7. Ekuacioni integro-diferencial i lëvizjes me lejimin e amortizimit rrezatues
§ 8. Gjerësia e vijës dhe zhvendosja e nivelit për oshilatorin
§ 9. Shpërndarja dhe thithja e rrezatimit nga një oshilator
Lexim i rekomanduar
Detyrat
§ 1. Njësitë matëse dhe përmasat. Njësitë bazë dhe të prejardhura
§ 2. Njësitë matëse dhe ekuacionet e elektrodinamikës
§ 3. Sisteme të ndryshme të njësive elektromagnetike
§ 4. Përkthimi i formulave dhe vlerave numerike të sasive nga sistemi Gaussian i njësive në sistemin MKS
Artikulli i mëparshëm: Nëse produkti ndahet me një nga faktorët, atëherë do të merret një faktor tjetër Artikulli vijues: Format bazë të përshëndetjes (përkthyer nga Nihao)