Përkufizimi dhe grafiku i funksionit linear thyesor. Mësimi “Funksioni linear thyesor dhe grafiku i tij

Le të shqyrtojmë pyetjet e metodologjisë për studimin e një teme të tillë si "ndërtimi i një grafiku të një funksioni linear të pjesshëm". Fatkeqësisht, studimi i tij është hequr nga programi bazë dhe mësuesi i matematikës në klasat e tij nuk e prek atë aq shpesh sa do të donim. Megjithatë, askush nuk i ka anuluar ende orët e matematikës, as nuk e ka anuluar pjesën e dytë të GIA. Dhe në Provimin e Bashkuar të Shtetit ekziston mundësia e depërtimit të tij në trupin e detyrës C5 (përmes parametrave). Prandaj, do t'ju duhet të përveshni mëngët dhe të punoni në metodën e shpjegimit të tij në një mësim me një student mesatar ose mesatarisht të fortë. Si rregull, një mësues i matematikës zhvillon metoda shpjegimi për seksionet kryesore të kurrikulës shkollore gjatë 5-7 viteve të para të punës. Gjatë kësaj kohe, dhjetëra studentë të kategorive të ndryshme arrijnë të kalojnë nga sytë dhe duart e mësuesit kujdestar. Nga fëmijët e lënë pas dore dhe natyrshëm të dobët, braktisës dhe braktisës deri te talentet e qëllimshme.

Me kalimin e kohës, një mësues matematike zhvillon aftësinë e shpjegimit të koncepteve komplekse në gjuhë të thjeshtë pa sakrifikuar plotësinë dhe saktësinë matematikore. Zhvillohet një stil individual i prezantimit të materialit, fjalimit, shoqërimit vizual dhe regjistrimit. Çdo mësues me përvojë do ta tregojë mësimin me sy mbyllur, sepse ai e di paraprakisht se çfarë problemesh lindin me të kuptuarit e materialit dhe çfarë nevojitet për t'i zgjidhur ato. Është e rëndësishme të zgjidhni fjalët dhe shënimet e duhura, shembujt për fillimin e mësimit, për mesin dhe fundin, si dhe të hartoni saktë ushtrimet për detyrat e shtëpisë.

Disa teknika të veçanta për të punuar me temën do të diskutohen në këtë artikull.

Me çfarë grafikë fillon një mësues matematike?

Ju duhet të filloni duke përcaktuar konceptin që studiohet. Më lejoni t'ju kujtoj se një funksion linear thyesor është një funksion i formës . Ndërtimi i saj zbret në ndërtim hiperbola më e zakonshme duke përdorur teknika të thjeshta të njohura për transformimin e grafikëve. Në praktikë, ato rezultojnë të jenë të thjeshta vetëm për vetë mësuesin. Edhe nëse një nxënës i fortë vjen te mësuesi, me shpejtësi të mjaftueshme llogaritjesh dhe transformimesh, ai përsëri duhet t'i mësojë këto teknika veç e veç. Pse? Në shkollën e klasës së 9-të, grafikët ndërtohen vetëm me zhvendosje dhe nuk përdorin metoda të mbledhjes së shumëzuesve numerikë (metodat e ngjeshjes dhe shtrirjes). Çfarë grafiku përdor mësuesi i matematikës? Ku është vendi më i mirë për të filluar? E gjithë përgatitja kryhet duke përdorur shembullin e funksionit më të përshtatshëm, për mendimin tim . Çfarë tjetër duhet të përdor? Trigonometria në klasën e 9-të studiohet pa grafikë (dhe në tekstet që janë modifikuar për t'iu përshtatur kushteve të Provimit të Shtetit në Matematikë, nuk mësohen fare). Funksioni kuadratik nuk ka të njëjtën "peshë metodologjike" në këtë temë si rrënja. Pse? Në klasën e 9-të studiohet në detaje trinomi kuadratik dhe nxënësi është mjaft i aftë të zgjidhë probleme ndërtimi pa turne. Formulari ngjall menjëherë një refleks për të hapur kllapat, pas së cilës mund të zbatoni rregullin e vizatimit standard përmes kulmit të një parabole dhe një tabelë vlerash. Me një manovër të tillë nuk do të jetë e mundur të kryhet dhe do të jetë më e lehtë për një mësues matematike të motivojë studentin për të studiuar teknikat e përgjithshme të transformimit. Duke përdorur modulin y=|x| gjithashtu nuk e justifikon veten, sepse nuk studiohet aq nga afër sa rrënja dhe nxënësit e shkollës kanë tmerrësisht frikë prej saj. Për më tepër, vetë moduli (më saktë, "varja" e tij) përfshihet në numrin e transformimeve që studiohen.

Pra, mësuesit nuk i ka mbetur asgjë më e përshtatshme dhe efektive sesa të përgatitet për transformime duke përdorur rrënjën katrore. Ju duhet praktikë në ndërtimin e grafikëve të diçkaje të tillë. Le të konsiderojmë se kjo përgatitje ishte një sukses i madh. Fëmija mund të lëvizë dhe madje të kompresojë/shtrijë grafikët. Ç'pritet më tej?

Faza tjetër është të mësoni të izoloni një pjesë të tërë. Ndoshta kjo është detyra kryesore e një mësuesi të matematikës, sepse pasi të ndahet e gjithë pjesa, ajo merr pjesën e luanit të të gjithë ngarkesës llogaritëse të temës. Është jashtëzakonisht e rëndësishme të përgatitet funksioni në një formë që përshtatet në një nga skemat standarde të ndërtimit. Është gjithashtu e rëndësishme të përshkruhet logjika e transformimeve në një mënyrë të arritshme, të kuptueshme, dhe nga ana tjetër, matematikisht e saktë dhe harmonike.

Më lejoni t'ju kujtoj se për të ndërtuar një grafik duhet të shndërroni thyesën në formë . Pikërisht për këtë, dhe jo për
, duke mbajtur emëruesin. Pse? Është e vështirë të kryhen transformime në një grafik që jo vetëm përbëhet nga pjesë, por ka edhe asimptota. Vazhdimësia përdoret për të lidhur dy ose tre pika pak a shumë të lëvizura qartë me një vijë. Në rastin e një funksioni të ndërprerë, nuk mund të kuptoni menjëherë se cilat pika të lidheni. Prandaj, ngjeshja ose shtrirja e një hiperbole është jashtëzakonisht e papërshtatshme. Një mësues matematike është thjesht i detyruar t'i mësojë një studenti se si të mjaftojë vetëm me turne.

Për ta bërë këtë, përveç zgjedhjes së të gjithë pjesës, duhet të hiqni edhe koeficientin nga emëruesi c.

Zgjedhja e pjesës së plotë nga një thyesë

Si të mësoni të nënvizoni një pjesë të tërë? Mësuesit e matematikës jo gjithmonë vlerësojnë në mënyrë adekuate nivelin e njohurive të studentit dhe, pavarësisht mungesës në program të një studimi të detajuar të teoremës për ndarjen e polinomeve me një mbetje, ata zbatojnë rregullin e pjesëtimit me një kënd. Nëse një mësues merr përsipër ndarjen e këndit, ai do të duhet të shpenzojë pothuajse gjysmën e mësimit për ta shpjeguar atë (nëse, sigurisht, gjithçka justifikohet me kujdes). Fatkeqësisht, mësuesi nuk e ka gjithmonë këtë kohë në dispozicion. Është më mirë të mos mbani mend asnjë cep.

Ekzistojnë dy forma të punës me një student:
1) Mësuesi i tregon atij një algoritëm të gatshëm duke përdorur një shembull të një funksioni thyesor.
2) Mësuesi krijon kushte për një kërkim logjik të këtij algoritmi.

Zbatimi i rrugës së dytë më duket më interesante për praktikën e tutorit dhe jashtëzakonisht e dobishme për të zhvilluar të menduarit e nxënësve. Me ndihmën e sugjerimeve dhe udhëzimeve të caktuara, shpesh është e mundur të çohet në zbulimin e një sekuence të caktuar hapash të saktë. Në ndryshim nga ekzekutimi mekanik i një plani të hartuar nga dikush, një nxënës i klasës së 9-të mëson ta kërkojë atë në mënyrë të pavarur. Natyrisht, të gjitha shpjegimet duhet të bëhen me shembuj. Për këtë qëllim, le të marrim një funksion dhe të shqyrtojmë komentet e mësuesit mbi logjikën e kërkimit të algoritmit. Një mësues matematike pyet: “Çfarë na pengon të kryejmë një transformim standard të grafikut duke përdorur një zhvendosje përgjatë boshteve? Natyrisht, prania e njëkohshme e X si në numërues ashtu edhe në emërues. Kjo do të thotë se duhet të hiqet nga numëruesi. Si ta bëni këtë duke përdorur transformimet e identitetit? Ekziston vetëm një mënyrë - për të zvogëluar fraksionin. Por ne nuk kemi faktorë të barabartë (kllapa). Kjo do të thotë që ne duhet të përpiqemi t'i krijojmë ato artificialisht. Por si? Ju nuk mund të zëvendësoni numëruesin me emërues pa ndonjë tranzicion identik. Le të përpiqemi të transformojmë numëruesin në mënyrë që ai të përfshijë një kllapa të barabartë me emëruesin. Le ta vendosim atje me forcë dhe “mbivendosje” me koeficientë në mënyrë që kur “veprojnë” në kllapa, pra kur hapen dhe shtohen terma të ngjashëm, të fitohet një polinom linear 2x+3.

Mësuesi i matematikës fut boshllëqe për koeficientët në formën e drejtkëndëshave bosh (siç e përdorin shpesh tekstet shkollore për klasat 5-6) dhe cakton detyrën për t'i plotësuar ato me numra. Përzgjedhja duhet të bëhet nga e majta në të djathtë, duke filluar nga kalimi i parë. Nxënësi duhet të imagjinojë se si do të hapë kllapa. Meqenëse zgjerimi i tij do të rezultojë në vetëm një term me X, atëherë koeficienti i tij duhet të jetë i barabartë me koeficientin më të lartë në numëruesin e vjetër 2x+3. Prandaj, është e qartë se katrori i parë përmban numrin 2. Ai është i mbushur. Një mësues matematike duhet të marrë një funksion linear mjaft të thjeshtë thyesor me c=1. Vetëm pas kësaj mund të kalojmë në analizimin e shembujve me një pamje të pakëndshme të numëruesit dhe emëruesit (përfshirë koeficientët thyesorë).

Shkoni përpara. Mësuesi hap kllapa dhe firmos rezultatin direkt mbi të.
Ju mund të hijeni çiftin përkatës të faktorëve. Tek "termi i hapur", është e nevojshme të shtoni një numër të tillë nga boshllëku i dytë për të marrë koeficientin e lirë të numëruesit të vjetër. Natyrisht është një 7.

Më pas, fraksioni ndahet në shumën e fraksioneve individuale (zakonisht i rrethoj fraksionet me një re, duke e krahasuar renditjen e tyre me krahët e një fluture). Dhe unë them: "Le ta thyejmë fraksionin me një flutur". Nxënësit e shkollës e mbajnë mend mirë këtë frazë.

Mësuesi i matematikës tregon të gjithë procesin e izolimit të një pjese të tërë në një formë në të cilën tashmë mund të aplikoni algoritmin e zhvendosjes së hiperbolës:

Nëse emëruesi ka një koeficient kryesor që nuk është i barabartë me një, atëherë në asnjë rast nuk duhet ta lini atë atje. Kjo do t'i sjellë si mësuesit ashtu edhe studentit një dhimbje koke shtesë të lidhur me nevojën për të kryer një transformim shtesë, dhe më të vështirën: ngjeshjen - shtrirjen. Për ndërtimin skematik të një grafiku të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë, lloji i numëruesit nuk është i rëndësishëm. Gjëja kryesore është të njohësh shenjën e tij. Atëherë është më mirë të transferoni koeficientin më të lartë të emëruesit në të. Për shembull, nëse punojmë me funksionin , atëherë thjesht nxjerrim 3 nga kllapa dhe e "ngremë" atë në numërues, duke ndërtuar një fraksion në të. Ne marrim një shprehje shumë më të përshtatshme për ndërtimin: Gjithçka që mbetet është të zhvendosemi djathtas dhe 2 lart.

Nëse ka një "minus" midis të gjithë pjesës 2 dhe fraksionit të mbetur, është gjithashtu më mirë ta përfshini atë në numërues. Përndryshe, në një fazë të caktuar të ndërtimit, do të duhet të shfaqni gjithashtu hiperbolën në lidhje me boshtin Oy. Kjo vetëm do ta komplikojë procesin.

Rregulli i artë i një mësuesi të matematikës:
të gjithë koeficientët e papërshtatshëm që çojnë në simetri, ngjeshje ose zgjerim të grafikut duhet të transferohen në numërues.

Është e vështirë të përshkruash teknikat për të punuar me ndonjë temë. Ekziston gjithmonë një ndjenjë e nënvlerësimit. Deri në çfarë mase mundëm të flisnim për një funksion linear thyesor varet nga ju që të gjykoni. Dërgoni komentet dhe komentet tuaja në artikull (ato mund të shkruhen në kutinë që shihni në fund të faqes). Do t'i publikoj patjetër.

Kolpakov A.N. Mësues i matematikës në Moskë. Strogino. Metodat për tutorët.

Funksioni y = dhe grafiku i tij.

GOLA:

1) prezantoni përkufizimin e funksionit y = ;

2) mësoni se si të ndërtoni një grafik të funksionit y = duke përdorur programin Agrapher;

3) të zhvillojë aftësinë për të ndërtuar skica të grafikëve të funksionit y = duke përdorur vetitë e transformimit të grafikëve të funksionit;

I. Material i ri - një bisedë e zgjeruar.

U: Le të shqyrtojmë funksionet e përcaktuara nga formulat y = ; y = ; y = .

Cilat janë shprehjet e shkruara në anën e djathtë të këtyre formulave?

D: Anët e djathta të këtyre formulave kanë formën e një thyese racionale, në të cilën numëruesi është një binom i shkallës së parë ose një numër i ndryshëm nga zero, dhe emëruesi është një binom i shkallës së parë.

U: Funksione të tilla zakonisht specifikohen nga një formulë e formës

Shqyrtoni rastet kur a) c = 0 ose c) = .

(Nëse në rastin e dytë nxënësit hasin vështirësi, atëherë duhet t'u kërkoni atyre të shprehen Me nga një proporcion i caktuar dhe më pas zëvendësoni shprehjen që rezulton në formulën (1)).

D1: Nëse c = 0, atëherë y = x + b është një funksion linear.

D2: Nëse = , atëherë c = . Zëvendësimi i vlerës Me në formulën (1) marrim:

Kjo do të thotë, y = është një funksion linear.

Y: Një funksion që mund të specifikohet me një formulë të formës y =, ku shkronja x tregon një të pavarur

Kjo ndryshore, dhe shkronjat a, b, c dhe d janë numra arbitrar, dhe c0 dhe ad janë të gjitha 0, quhet funksion thyesor linear.

Le të tregojmë se grafiku i një funksioni thyesor linear është një hiperbolë.

Shembulli 1. Le të ndërtojmë një grafik të funksionit y = . Të ndajmë të gjithë pjesën nga thyesa.

Kemi: = = = 1 + .

Grafiku i funksionit y = +1 mund të merret nga grafiku i funksionit y = duke përdorur dy përkthime paralele: një zhvendosje me 2 njësi djathtas përgjatë boshtit X dhe një zhvendosje prej 1 njësi lart në drejtim të Y. Me këto zhvendosje, asimptotat e hiperbolës y = do të lëvizin: drejtëza x = 0 (d.m.th. boshti Y) është 2 njësi në të djathtë, dhe drejtëza y = 0 (d.m.th. boshti X) është një njësi. lart. Përpara se të ndërtojmë një grafik, le të vizatojmë asimptotat në planin koordinativ me një vijë me pika: drejtëza x = 2 dhe y = 1 (Fig. 1a). Duke marrë parasysh që hiperbola përbëhet nga dy degë, për të ndërtuar secilën prej tyre do të krijojmë duke përdorur programin Agrapher dy tabela: njëra për x>2 dhe tjetra për x.<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
në	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
në	7	4	3	2,5	2	1,6

Le të shënojmë (duke përdorur programin Agrapher) pikat në planin koordinativ, koordinatat e të cilave janë regjistruar në tabelën e parë dhe t'i lidhim ato me një vijë të qetë të vazhdueshme. Marrim një degë të hiperbolës. Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur tabelën e dytë, marrim degën e dytë të hiperbolës (Fig. 1b).

Shembulli 2. Të ndërtojmë një grafik të funksionit y = - Le të izolojmë të gjithë pjesën nga thyesa duke e pjesëtuar binomin 2x + 10 me binomin x + 3. Marrim = 2 + . Prandaj, y = -2.

Grafiku i funksionit y = --2 mund të merret nga grafiku i funksionit y = - duke përdorur dy përkthime paralele: një zhvendosje prej 3 njësive majtas dhe një zhvendosje prej 2 njësive poshtë. Asimptotat e hiperbolës janë drejtëza x = -3 dhe y = -2. Le të krijojmë (duke përdorur programin Agrapher) tabela për x<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
në	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
në	2	0	-1	-1,2	-1,5

Duke ndërtuar (duke përdorur programin Agrapher) pika në rrafshin koordinativ dhe duke vizatuar degët e hiperbolës përmes tyre, marrim një grafik të funksionit y = - (Fig. 2).

U: Cili është grafiku i një funksioni thyesor linear?

D: Grafiku i çdo funksioni thyesor linear është një hiperbolë.

T: Si të grafikoni një funksion thyesor linear?

D: Grafiku i një funksioni linear thyesor merret nga grafiku i funksionit y = duke përdorur përkthime paralele përgjatë boshteve të koordinatave, degët e hiperbolës së funksionit linear thyesor janë simetrike rreth pikës (-. Drejtëza x = quhet asimptota vertikale e hiperbolës Drejtëza y = quhet asimptotë horizontale.

T: Cila është fusha e përkufizimit të një funksioni thyesor linear?

T: Cili është diapazoni i vlerave të një funksioni thyesor linear?

D: E(y) = .

T: A ka funksioni zero?

D: Nëse x = 0, atëherë f(0) = , d. Kjo do të thotë, funksioni ka zero - pika A.

T: A ka grafiku i një funksioni thyesor linear pikat e prerjes me boshtin X?

D: Nëse y = 0, atëherë x = -. Kjo do të thotë se nëse a , atëherë pika e prerjes me boshtin X ka koordinata . Nëse a = 0, b, atëherë grafiku i funksionit thyesor linear nuk ka pika të prerjes me boshtin e abshisave.

U: Funksioni zvogëlohet gjatë intervaleve të të gjithë domenit të përkufizimit nëse bc-ad > 0 dhe rritet gjatë intervaleve të të gjithë domenit të përkufizimit nëse bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

Pyetje: A është e mundur të tregohen vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni?

D: Funksioni nuk ka vlerat më të mëdha dhe më të vogla.

T: Cilat drejtëza janë asimptotat e grafikut të një funksioni thyesor linear?

D: Asimptota vertikale është drejtëza x = -; dhe asimptota horizontale është drejtëza y = .

(Nxënësit shkruajnë në një fletore të gjitha konkluzionet, përkufizimet dhe vetitë përgjithësuese të një funksioni thyesor linear)

II. Konsolidimi.

Gjatë ndërtimit dhe "leximit" të grafikëve të funksioneve thyesore lineare, përdoren vetitë e programit Agrapher.

III. Punë e pavarur arsimore.

Gjeni qendrën e hiperbolës, asimptota dhe grafikoni funksionin:

a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; e) y = ;

g) y = h) y = -

Secili student punon me ritmin e tij. Nëse është e nevojshme, mësuesi ofron ndihmë duke bërë pyetje, përgjigjet e të cilave do ta ndihmojnë nxënësin të përmbushë saktë detyrën.

Punë laboratorike dhe praktike për studimin e vetive të funksioneve y = dhe y = dhe veçorive të grafikëve të këtyre funksioneve.

QËLLIMET: 1) vazhdoni të zhvilloni aftësitë për të ndërtuar grafikët e funksioneve y = dhe y = duke përdorur programin Agrapher;

2) konsolidoni aftësitë e "leximit të grafikëve" të funksioneve dhe aftësinë për të "parashikuar" ndryshimet në grafikë gjatë transformimeve të ndryshme të funksioneve lineare të pjesshme.

I. Përsëritje e diferencuar e vetive të një funksioni linear thyesor.

Secilit student i jepet një kartë - një printim me detyra. Të gjitha ndërtimet kryhen duke përdorur programin Agrapher. Rezultatet e secilës detyrë diskutohen menjëherë.

Çdo student, duke përdorur vetëkontrollin, mund të rregullojë rezultatet e marra gjatë kryerjes së një detyre dhe të kërkojë ndihmë nga një mësues ose konsulent studentor.

Gjeni vlerën e argumentit X në të cilin f(x) =6; f(x) =-2,5.

3. Ndërtoni një grafik të funksionit y = Përcaktoni nëse pika i përket grafikut të këtij funksioni: a) A(20;0.5); b) B(-30;-); c) C(-4;2.5); d) D(25;0.4)?

4. Ndërtoni një grafik të funksionit y = Gjeni intervalet në të cilat y>0 dhe në të cilat y<0.

5. Grafikoni funksionin y = . Gjeni domenin dhe gamën e funksionit.

6. Tregoni asimptotat e hiperbolës - grafikun e funksionit y = -. Krijo një grafik.

7. Grafikoni funksionin y = . Gjeni zerat e funksionit.

II punë laboratorike dhe praktike.

Secilit nxënës i jepen 2 karta: kartela nr. 1 "Udhëzime" me një plan sipas të cilit po punohet dhe teksti me detyren dhe kartonin nr.2” Rezultatet e studimit të funksionit ”.

Vizatoni një grafik të funksionit të treguar.
Gjeni domenin e funksionit.
Gjeni gamën e funksionit.
Tregoni asimptotat e hiperbolës.
Gjeni zerot e funksionit (f(x) = 0).
Gjeni pikën e prerjes së hiperbolës me boshtin X (y = 0).

7. Gjeni intervalet në të cilat: a) y<0; б) y>0.

8. Tregoni intervalet e rritjes (zvogëlimit) të funksionit.

Opsioni I.

Duke përdorur programin Agrapher, ndërtoni një grafik të funksionit dhe eksploroni vetitë e tij:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-

Faqja kryesore > Letërsia

Institucion arsimor komunal

"Shkolla e mesme nr 24"

Punë abstrakte e bazuar në problem

mbi algjebrën dhe parimet e analizës

Grafikët e funksioneve racionale thyesore

Nxënësit e klasës 11 A Tovchegrechko Natalya Sergeevna mbikëqyrëse e punës Valentina Vasilievna Parsheva mësuese matematike, mësuese e kategorisë më të lartë të kualifikimit

Severodvinsk

Përmbajtja 3Hyrje 4Pjesa kryesore. Grafikët e funksioneve thyesore-racionale 6 Përfundim 17 Literatura 18

Prezantimi

Grafiku i funksioneve është një nga temat më interesante në matematikën e shkollës. Një nga matematikanët më të mëdhenj të kohës sonë, Israel Moiseevich Gelfand, shkroi: "Procesi i ndërtimit të grafikëve është një mënyrë për të shndërruar formulat dhe përshkrimet në imazhe gjeometrike. Ky grafik është një mjet për të parë formulat dhe funksionet dhe për të parë se si ndryshojnë ato funksione. Për shembull, nëse shkruhet y=x 2, atëherë menjëherë shihni një parabolë; nëse y=x 2 -4, shihni një parabolë të ulur me katër njësi; nëse y=4-x 2, atëherë e shihni parabolën e mëparshme të kthyer poshtë. Kjo aftësi për të parë njëkohësisht një formulë dhe interpretimin e saj gjeometrik është e rëndësishme jo vetëm për studimin e matematikës, por edhe për lëndët e tjera. Është një aftësi që të qëndron gjatë gjithë jetës, ashtu si aftësia për të ngarë biçikletën, për të shtypur ose për të drejtuar një makinë.” Në mësimet e matematikës ndërtojmë kryesisht grafikët më të thjeshtë - grafikët e funksioneve elementare. Vetëm në klasën e 11-të ata mësuan të ndërtonin funksione më komplekse duke përdorur derivate. Kur lexoni libra:

Qëllimi i punës: të studiojë materialet teorike përkatëse, të identifikojë një algoritëm për ndërtimin e grafikëve të funksioneve thyesore-lineare dhe thyesore-racionale. Objektivat: 1. të formulojë konceptet e funksioneve thyesore-lineare dhe thyesore-racionale bazuar në materialin teorik të kësaj teme; 2. gjeni metoda për ndërtimin e grafikëve të funksioneve thyesore-lineare dhe thyesore-racionale.

Pjesa kryesore. Grafikët e funksioneve racionale thyesore

1. Funksioni thyesor - linear dhe grafiku i tij

Tashmë jemi njohur me një funksion të formës y=k/x, ku k≠0, vetitë dhe grafiku i tij. Le t'i kushtojmë vëmendje një veçorie të këtij funksioni. Funksioni y=k/x në një grup numrash pozitivë ka vetinë që me një rritje të pakufizuar të vlerave të argumentit (kur x tenton në plus pafundësi), vlerat e funksioneve, duke mbetur pozitive, priren në zero. Ndërsa vlerat pozitive të argumentit zvogëlohen (kur x tenton në zero), vlerat e funksionit rriten pa kufi (y priret në plus pafundësi). Një pamje e ngjashme vërehet për grupin e numrave negativë. Në grafikun (Fig. 1), kjo veti shprehet në faktin se pikat e hiperbolës, teksa largohen në pafundësi (djathtas ose majtas, lart ose poshtë) nga origjina e koordinatave, i afrohen pafundësisht të drejtës. vija: boshti x, kur │x│ priret në plus pafundësi, ose në boshtin y kur │x│ tenton në zero. Kjo linjë quhet asimptotat e kurbës.

Oriz. 1

Hiperbola y=k/x ka dy asimptota: boshtin x dhe boshtin y. Koncepti i asimptotës luan një rol të rëndësishëm në ndërtimin e grafikëve të shumë funksioneve. Duke përdorur transformimet e grafikëve të funksioneve të njohura për ne, mund ta zhvendosim hiperbolën y=k/x në planin koordinativ djathtas ose majtas, lart ose poshtë. Si rezultat, ne do të marrim grafikët e funksioneve të reja. Shembulli 1. Le të jetë y=6/x. Le ta zhvendosim këtë hiperbolë djathtas me 1.5 njësi dhe më pas ta zhvendosim grafikun që rezulton për 3.5 njësi. Me këtë transformim do të zhvendosen edhe asimptotat e hiperbolës y=6/x: boshti x do të shkojë në drejtëzën y=3,5, boshti y në drejtëzën y=1,5 (Fig. 2). Funksioni grafikun e të cilit e kemi paraqitur mund të specifikohet me formulë

Le të paraqesim shprehjen në anën e djathtë të kësaj formule si një thyesë:

Kjo do të thotë se Figura 2 tregon një grafik të funksionit të dhënë nga formula

Kjo thyesë ka një numërues dhe emërues që janë binome lineare në lidhje me x. Funksione të tilla quhen funksione lineare thyesore.

Në përgjithësi, një funksion i përcaktuar nga një formulë e formës
, Ku
x është një ndryshore, a,b, c, d– numrat e dhënë, me c≠0 dhe
p.e.s- ad≠0 quhet funksion linear thyesor. Vini re se kërkesa në përkufizim që c≠0 dhe
bc-ad≠0, domethënëse. Kur c=0 dhe d≠0 ose bc-ad=0 marrim një funksion linear. Në të vërtetë, nëse c=0 dhe d≠0, atëherë

Nëse bc-ad=0, с≠0, duke shprehur b nga kjo barazi përmes a, c dhe d dhe duke e zëvendësuar në formulën, marrim:

Pra, në rastin e parë kemi marrë një funksion linear të formës së përgjithshme
, në rastin e dytë - një konstante
. Le të tregojmë tani se si të vizatojmë një funksion thyesor linear nëse ai jepet nga një formulë e formës
Shembulli 2. Le të vizatojmë funksionin
, d.m.th. le ta paraqesim në formë
: zgjedhim të gjithë pjesën e thyesës, duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin, marrim:

Kështu që,
. Shohim se grafiku i këtij funksioni mund të merret nga grafiku i funksionit y=5/x duke përdorur dy ndërrime të njëpasnjëshme: zhvendosja e hiperbolës y=5/x djathtas me 3 njësi dhe më pas zhvendosja e hiperbolës që rezulton.
lart me 2 njësi, do të lëvizin edhe asimptotat e hiperbolës y = 5/x: boshti x 2 njësi lart dhe boshti y 3 njësi djathtas. Për të ndërtuar një grafik, vizatojmë asimptota në planin koordinativ me një vijë me pika: drejtëz y=2 dhe drejtë x=3. Meqenëse hiperbola përbëhet nga dy degë, për të ndërtuar secilën prej tyre do të përpilojmë dy tabela: një për x.<3, а другую для x>3 (d.m.th., e para është në të majtë të pikës së kryqëzimit të asimptotave, dhe e dyta është në të djathtë të saj):

Duke shënuar pikat në planin koordinativ, koordinatat e të cilave tregohen në tabelën e parë dhe duke i lidhur ato me një vijë të lëmuar, marrim një degë të hiperbolës. Në mënyrë të ngjashme (duke përdorur tabelën e dytë) marrim degën e dytë të hiperbolës. Grafiku i funksionit është paraqitur në Figurën 3.

Më pëlqen çdo fraksion
mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar të gjithë pjesën e tij. Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura në mënyra të ndryshme paralelisht me boshtet e koordinatave dhe të shtrira përgjatë boshtit Oy.

Shembulli 3.

Le të vizatojmë funksionin
.Meqenëse e dimë se grafiku është hiperbolë, mjafton të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët (asimptotat) e tij dhe disa pika të tjera. Le të gjejmë fillimisht asimptotën vertikale. Funksioni nuk është i përcaktuar ku 2x+2=0, d.m.th. në x=-1. Prandaj, asimptota vertikale është drejtëza x = -1. Për të gjetur asimptotën horizontale, duhet të shikoni se çfarë afrohen vlerat e funksionit kur argumenti rritet (në vlerë absolute), termat e dytë në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit.
relativisht i vogël. Kjo është arsyeja pse

Prandaj, asimptota horizontale është drejtëza y=3/2. Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të hiperbolës sonë me boshtet koordinative. Në x=0 kemi y=5/2. Funksioni është i barabartë me zero kur 3x+5=0, d.m.th. në x = -5/3 Pasi kemi shënuar pikat (-5/3;0) dhe (0;5/2) në vizatim dhe duke vizatuar asimptotat e gjetura horizontale dhe vertikale, do të ndërtojmë një grafik (Fig. 4). .

Në përgjithësi, për të gjetur asimptotën horizontale, duhet të ndani numëruesin me emëruesin, pastaj y=3/2+1/(x+1), y=3/2 është asimptota horizontale.

2. Funksioni racional thyesor

Merrni parasysh funksionin racional thyesor

Në të cilat numëruesi dhe emëruesi janë polinome të shkallës së n-të dhe m-të, përkatësisht. Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Ku k 1 ... k s janë rrënjët e polinomit Q (x), që kanë, përkatësisht, shumëfishime m 1 ... m s, dhe trinomet korrespondojnë me çiftet e konjugimit të rrënjëve komplekse Q (x) me shumësi m 1 .. .

I thirrur thyesat racionale elementare përkatësisht llojet e parë, të dytë, të tretë dhe të katërt. Këtu A, B, C, k janë numra realë; m dhe m - numra natyrorë, m, m>1; një trinom me koeficientë realë x 2 +px+q ka rrënjë imagjinare. Grafiku i një funksioni

Ne marrim nga grafiku i funksionit 1/x m (m~1, 2, ...) duke përdorur përkthimin paralel përgjatë boshtit të abshisës nga njësitë e shkallës │k│ në të djathtë. Grafiku i një funksioni të formës

Është e lehtë të ndërtohet nëse zgjidhni një katror të plotë në emërues dhe më pas kryeni formimin përkatës të grafikut të funksionit 1/x 2. Grafikimi i një funksioni

zbret në ndërtimin e produktit të grafikëve të dy funksioneve:

y= Bx+ C Dhe

Koment. Grafikimi i një funksioni

Ku a d-b c 0 ,
,

ku n është një numër natyror, ai mund të kryhet sipas skemës së përgjithshme të studimit të një funksioni dhe ndërtimit të një grafiku në disa shembuj specifikë, mund të ndërtoni me sukses një grafik duke kryer transformimet e duhura të grafikut; Mënyra më e mirë ofrohet nga metodat e matematikës së lartë. Shembulli 1. Grafikoni funksionin

Duke e izoluar të gjithë pjesën, kemi

Fraksioni
Le ta paraqesim atë si një shumë të thyesave elementare:

Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Pas shtimit të këtyre grafikëve, marrim një grafik të funksionit të dhënë:

Figura 6, 7, 8 paraqesin shembuj të ndërtimit të grafikëve të funksioneve
Dhe
. Shembulli 2. Grafikimi i një funksioni
:

(1);
(2);
(3); (4)

Shembulli 3. Hartimi i grafikut të një funksioni

(1);
(2);
(3); (4)

konkluzioni

Kur kryen punë abstrakte: - sqaroi konceptet e saj për funksionet thyesore-lineare dhe thyesore-racionale: Përkufizimi 1. Një funksion thyesor linear është një funksion i formës , ku x është një ndryshore, a, b, c dhe d janë dhënë numra, me c≠0 dhe bc-ad≠0. Përkufizimi 2. Një funksion racional thyesor është një funksion i formës

Ku n

Krijoi një algoritëm për vizatimin e grafikëve të këtyre funksioneve;

Përvoja e fituar në hartimin e funksioneve të tilla si:

;

Mësova të punoj me literaturë dhe materiale shtesë, të përzgjedh informacione shkencore - Kam fituar përvojë në kryerjen e punëve grafike në kompjuter;

Shënim. Në prag të shekullit të 21-të, ne u bombarduam me një lumë të pafund bisedash dhe spekulimesh rreth autostradës së informacionit dhe epokës së teknologjisë që po afrohej.

Në prag të shekullit të 21-të, ne u bombarduam me një lumë të pafund bisedash dhe spekulimesh rreth autostradës së informacionit dhe epokës së teknologjisë që po afrohej.

Lëndët zgjedhore janë një nga format e organizimit të veprimtarive arsimore, njohëse dhe edukative-kërkimore të nxënësve të shkollave të mesme.

Dokumenti

Ky koleksion është numri i pestë i përgatitur nga ekipi i Gjimnazit Pedagogjik të Qytetit të Moskës-Laboratori Nr. 1505 me mbështetjen e…….

Matematika dhe përvoja

Libër

Punimi tenton një krahasim në shkallë të gjerë të qasjeve të ndryshme për marrëdhëniet midis matematikës dhe përvojës, të cilat janë zhvilluar kryesisht në kuadrin e apriorizmit dhe empirizmit.

sëpatë +b
Një funksion linear thyesor është një funksion i formës y = --- ,
cx +d

Ku x- e ndryshueshme, a,b,c,d– disa numra dhe c ≠ 0, reklama -p.e.s ≠ 0.

Vetitë e një funksioni linear thyesor:

Grafiku i një funksioni thyesor linear është një hiperbolë, e cila mund të merret nga hiperbola y = k/x duke përdorur përkthime paralele përgjatë boshteve të koordinatave. Për ta bërë këtë, formula e funksionit linear të pjesshëm duhet të paraqitet në formën e mëposhtme:

k
y = n + ---
x–m

Ku n- numri i njësive me të cilat hiperbola zhvendoset djathtas ose majtas, m– numri i njësive me të cilat hiperbola lëviz lart ose poshtë. Në këtë rast, asimptotat e hiperbolës zhvendosen në drejtëza x = m, y = n.

Një asimptotë është një vijë e drejtë në të cilën pikat e kurbës afrohen ndërsa largohen në pafundësi (shih figurën më poshtë).

Sa për transferimet paralele, shihni seksionet e mëparshme.

Shembulli 1. Le të gjejmë asimptotat e hiperbolës dhe të vizatojmë funksionin:

x + 8
y = ---
x – 2

Zgjidhja:

k
Le ta paraqesim thyesën si n + ---
x–m

Për këtë x+ 8 shkruajmë në formën e mëposhtme: x – 2 + 10 (d.m.th. 8 paraqitet si –2 + 10).

x+ 8 x – 2 + 10 1 (x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2

Pse shprehja mori këtë formë? Përgjigja është e thjeshtë: bëni mbledhjen (duke reduktuar të dy termat në një emërues të përbashkët) dhe do të ktheheni në shprehjen e mëparshme. Kjo do të thotë, ky është rezultat i transformimit të një shprehjeje të caktuar.

Pra, kemi marrë të gjitha vlerat e nevojshme:

k = 10, m = 2, n = 1.

Kështu, ne gjetëm asimptotat e hiperbolës sonë (bazuar në faktin se x = m, y = n):

Kjo do të thotë, një asimptotë e hiperbolës shkon paralelisht me boshtin y në një distancë prej 2 njësive në të djathtë të saj, dhe asimptota e dytë shkon paralelisht me boshtin x në një distancë prej 1 njësi mbi të.

Le të ndërtojmë një grafik të këtij funksioni. Për ta bërë këtë ne do të bëjmë sa më poshtë:

1) vizatoni në planin koordinativ me një vijë me pika asimptotat - drejtëz x = 2 dhe drejtëz y = 1.

2) meqenëse hiperbola përbëhet nga dy degë, atëherë për të ndërtuar këto degë do të përpilojmë dy tabela: një për x<2, другую для x>2.

Së pari, le të zgjedhim vlerat x për opsionin e parë (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3 – 2

Ne zgjedhim në mënyrë arbitrare vlera të tjera x(për shembull -2, -1, 0 dhe 1). Llogaritni vlerat përkatëse y. Rezultatet e të gjitha llogaritjeve të marra futen në tabelë:

Tani le të krijojmë një tabelë për opsionin x>2:

1. Funksioni linear thyesor dhe grafiku i tij

Një funksion i formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome, quhet funksion racional thyesor.

Ju ndoshta tashmë jeni njohur me konceptin e numrave racionalë. Po kështu funksionet racionale janë funksione që mund të paraqiten si herës i dy polinomeve.

Nëse një funksion racional thyesor është herësi i dy funksioneve lineare - polinomeve të shkallës së parë, d.m.th. funksioni i formës

y = (ax + b) / (cx + d), atëherë quhet lineare thyesore.

Vini re se në funksionin y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (përndryshe funksioni bëhet linear y = ax/d + b/d) dhe se a/c ≠ b/d (ndryshe funksioni është konstant). Funksioni thyesor linear është përcaktuar për të gjithë numrat realë përveç x = -d/c. Grafikët e funksioneve lineare thyesore nuk ndryshojnë në formë nga grafiku y = 1/x që dini. Një kurbë që është grafik i funksionit y = 1/x quhet hiperbolë. Me një rritje të pakufizuar të x në vlerë absolute, funksioni y = 1/x zvogëlohet në vlerë absolute të pakufizuar dhe të dy degët e grafikut i afrohen abshisës: e djathta afrohet nga lart dhe e majta nga poshtë. Linjat me të cilat degët e një hiperbole afrohen quhen të saj asimptota.

Shembulli 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim të gjithë pjesën: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: zhvendosja me 3 segmente njësi në të djathtë, duke u shtrirë përgjatë boshtit Oy 7 herë dhe duke u zhvendosur me 2. segmentet e njësisë lart.

Çdo thyesë y = (ax + b) / (cx + d) mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar "pjesën e plotë". Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura në mënyra të ndryshme përgjatë boshteve të koordinatave dhe të shtrira përgjatë boshtit Oy.

Për të ndërtuar një grafik të çdo funksioni thyesor-linear arbitrar, nuk është aspak e nevojshme të transformohet fraksioni që përcakton këtë funksion. Meqenëse e dimë se grafiku është një hiperbolë, do të mjaftojë të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët e tij - asimptotat e hiperbolës x = -d/c dhe y = a/c.

Shembulli 2.

Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit y = (3x + 5)/(2x + 2).

Zgjidhje.

Funksioni nuk është i përcaktuar, në x = -1. Kjo do të thotë se drejtëza x = -1 shërben si asimptotë vertikale. Për të gjetur asimptotën horizontale, le të zbulojmë se çfarë afrohen vlerat e funksionit y(x) kur argumenti x rritet në vlerë absolute.

Për ta bërë këtë, ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Si x → ∞ thyesa do të priret në 3/2. Kjo do të thotë se asimptota horizontale është drejtëza y = 3/2.

Shembulli 3.

Grafikoni funksionin y = (2x + 1)/(x + 1).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim "të gjithë pjesën" e thyesës:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: një zhvendosje me 1 njësi në të majtë, një shfaqje simetrike në lidhje me Ox dhe një zhvendosje me 2 njësi segmente lart përgjatë boshtit Oy.

Domeni D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Pikat e kryqëzimit me akset: c Oy: (0; 1); c Ka: (-1/2; 0). Funksioni rritet në çdo interval të fushës së përkufizimit.

Përgjigje: Figura 1.

2. Funksioni racional thyesor

Konsideroni një funksion racional thyesor të formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome me shkallë më të lartë se e para.

Shembuj të funksioneve të tilla racionale:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ose y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Nëse funksioni y = P(x) / Q(x) përfaqëson herësin e dy polinomeve të shkallës më të lartë se i pari, atëherë grafiku i tij, si rregull, do të jetë më kompleks dhe ndonjëherë mund të jetë i vështirë për ta ndërtuar atë me saktësi. , me te gjitha detajet. Megjithatë, shpesh mjafton të përdoren teknika të ngjashme me ato që kemi prezantuar tashmë më lart.

Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Natyrisht, grafiku i një funksioni racional thyesor mund të merret si shuma e grafikëve të thyesave elementare.

Hartimi i grafikëve të funksioneve racionale thyesore

Le të shqyrtojmë disa mënyra për të ndërtuar grafikët e një funksioni racional thyesor.

Shembulli 4.

Vizatoni një grafik të funksionit y = 1/x 2 .

Zgjidhje.

Ne përdorim grafikun e funksionit y = x 2 për të ndërtuar një grafik y = 1/x 2 dhe përdorim teknikën e “pjestimit” të grafikëve.

Domeni D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (0; +∞).

Nuk ka pika kryqëzimi me akset. Funksioni është i barabartë. Rritet për të gjitha x nga intervali (-∞; 0), zvogëlohet për x nga 0 në +∞.

Përgjigje: Figura 2.

Shembulli 5.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Zgjidhje.

Domeni D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Këtu kemi përdorur teknikën e faktorizimit, reduktimit dhe reduktimit në një funksion linear.

Përgjigje: Figura 3.

Shembulli 6.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Zgjidhje.

Fusha e përkufizimit është D(y) = R. Meqenëse funksioni është çift, grafiku është simetrik ndaj ordinatës. Përpara se të ndërtojmë një grafik, le të transformojmë përsëri shprehjen, duke theksuar të gjithë pjesën:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Vini re se izolimi i pjesës së plotë në formulën e një funksioni racional thyesor është një nga më kryesorët gjatë ndërtimit të grafikëve.

Nëse x → ±∞, atëherë y → 1, d.m.th. drejtëza y = 1 është një asimptotë horizontale.

Përgjigje: Figura 4.

Shembulli 7.

Le të shqyrtojmë funksionin y = x/(x 2 + 1) dhe të përpiqemi të gjejmë saktë vlerën e tij më të madhe, d.m.th. pika më e lartë në gjysmën e djathtë të grafikut. Për të ndërtuar me saktësi këtë grafik nuk mjaftojnë njohuritë e sotme. Natyrisht, kurba jonë nuk mund të "ngritet" shumë lart, sepse emëruesi shpejt fillon të "kapërcejë" numëruesin. Le të shohim nëse vlera e funksionit mund të jetë e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhim ekuacionin x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale. Kjo do të thotë se supozimi ynë është i pasaktë. Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit, duhet të zbuloni se në cilën A do të ketë zgjidhje ekuacioni A = x/(x 2 + 1). Le të zëvendësojmë ekuacionin fillestar me një kuadratik: Ax 2 – x + A = 0. Ky ekuacion ka zgjidhje kur 1 – 4A 2 ≥ 0. Nga këtu gjejmë vlerën më të madhe A = 1/2.

Përgjigje: Figura 5, max y(x) = ½.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të grafikoni funksionet?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve