Shembuj të figurave të ngjashme. Shifra të ngjashme

Me temën: "Ngjashmëria e figurave"

E kryer:

Kontrolluar:

1. Transformimi i ngjashmërisë

2. Vetitë e transformimit të ngjashmërisë

3. Ngjashmëria e figurave

4. Shenjë e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy kënde

5. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy brinjë dhe këndit ndërmjet tyre

6. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në tri brinjë

7. Ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë

8. Kënde të gdhendura në një rreth

9. Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe rrathëve sekantë

10. Detyra me temën "Ngjashmëria e figurave"

1. TRANSFORMIMI I ngjashmërisë

Shndërrimi i një figure F në një figurë F "quhet transformim ngjashmërie nëse, gjatë këtij transformimi, distancat midis pikave ndryshojnë me të njëjtin numër herë (Fig. 1). Kjo do të thotë se nëse pikat arbitrare X, Y të figura F shkon në pika gjatë transformimit të ngjashmërisë X", Y" figura F", pastaj X"Y" = k-XY, dhe numri k është i njëjtë për të gjitha pikat X, Y. Numri k quhet ngjashmëri Koeficient. Për k = l, transformimi i ngjashmërisë është padyshim një lëvizje.

Le të jetë F një figurë e dhënë dhe O një pikë fikse (Fig. 2). Le të vizatojmë një rreze OX" përmes një pike arbitrare X të figurës F dhe të vizatojmë mbi të segmentin OX" të barabartë me k OX, ku k është një numër pozitiv. në lidhje me qendrën O. Numri k quhet homoteti. koeficienti, shifrat F dhe F" quhen homotetike.

Teorema 1. Homoteiteti është një transformim ngjashmërie

Dëshmi. Le të jetë O qendra e homoteitetit, k koeficienti i homoteitetit, X dhe Y dy pika arbitrare të figurës (Fig. 3)

Fig.3 Fig.4

Nën homoteti, pikat X dhe Y shkojnë në pikat X" dhe Y" në rrezet OX dhe OY, përkatësisht, dhe OX" = k OX, OY" = k OY. Kjo nënkupton barazitë vektoriale OX" = kOX, OY" = kOY.

Duke i zbritur këto barazi terma për term, marrim: OY "-OX" = k (OY- OX).

Meqenëse OY "- OX" \u003d X "Y", OY -OX \u003d XY, pastaj X "Y" \u003d kXY. Prandaj, /X"Y"/=k /XY/, d.m.th. X"Y" = kXY. Prandaj, homotesia është një transformim ngjashmërie. Teorema është vërtetuar.

Transformimi i ngjashmërisë përdoret gjerësisht në praktikë kur bëhen vizatime të pjesëve të makinës, strukturave, planeve të terrenit, etj. Këto imazhe janë transformime të ngjashme të imazheve imagjinare në madhësi të plotë. Faktori i ngjashmërisë quhet shkallë. Për shembull, nëse një pjesë e terrenit përshkruhet në një shkallë 1:100, atëherë kjo do të thotë që një centimetër në plan korrespondon me 1 m në tokë.

Një detyrë. Figura 4 tregon një plan të pasurisë në një shkallë 1:1000. Përcaktoni dimensionet e pasurisë (gjatësia dhe gjerësia).

Zgjidhje. Gjatësia dhe gjerësia e pasurisë në plan janë 4 cm dhe 2,7 cm Meqenëse plani është bërë në shkallën 1:1000, dimensionet e pasurisë janë 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm = 40 m, respektivisht.

2. VETITË E TRANSFORMIMIT TË ngjashmërisë

Si dhe për lëvizjen, vërtetohet se nën transformimin e ngjashmërisë, tre pika A, B, C, të shtrira në të njëjtën drejtëz, kalojnë në tre pika A 1 , B 1 , C 1 , gjithashtu të shtrira në të njëjtën drejtëz. Për më tepër, nëse pika B shtrihet midis pikave A dhe C, atëherë pika B 1 shtrihet midis pikave A 1 dhe C 1. Nga kjo rrjedh se transformimi i ngjashmërisë i shndërron linjat në vija, gjysmëdrejtëzat në gjysmëdrejtëza, segmentet në segmente.

Le të vërtetojmë se transformimi i ngjashmërisë ruan këndet midis gjysmëdrejtëzave.

Në të vërtetë, le të shndërrohet këndi ABC nga transformimi i ngjashmërisë me koeficientin k në këndin A 1 B 1 C 1 (Fig. 5). Këndin ABC ia nënshtrojmë një transformimi homotetik në lidhje me kulmin e tij B me koeficientin e homoteitetit k. Në këtë rast, pikat A dhe C do të shkojnë në pikat A 2 dhe C 2. Trekëndëshat A 2 BC 2 dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabartë në kriterin e tretë. Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e këndeve A 2 BC 2 dhe A 1 B 1 C 1. Prandaj, këndet ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabartë, gjë që kërkohej të vërtetohej.

Medianat e trekëndëshave; 4. , ku BH dhe B1H1 janë lartësitë e trekëndëshave. §5. Punë eksperimentale Qëllimi i punës eksperimentale: të identifikojë veçoritë metodologjike të studimit të temës “Trekëndësha të ngjashëm” në shkollën e mesme. Ideja: për të identifikuar veçoritë metodologjike, është e nevojshme të zhvillohen disa mësime sipas metodologjisë së zhvilluar, në fund të trajnimit, të kryhet një test, në analizën e të cilit mund të gjykohet për ...

Pozitivizmi. Për pozitivistët, vetëm ajo që fitohet me metoda sasiore është e vërtetë dhe e testuar. Vetëm matematika dhe shkenca natyrore njihen si shkencë, dhe shkenca shoqërore i atribuohet fushës së mitologjisë. Neopozitivizmi Neopozitivistët e shohin dobësinë e pedagogjisë në faktin se ajo dominohet nga ide dhe abstraksione të padobishme dhe jo nga fakte reale. E ndritshme...

Ne tashmë e dimë se çfarë janë figurat e barabarta: ato janë figura që mund të mbivendosen. Por në jetë ne shpesh takohemi jo me të barabartë, por me figura të ngjashme. Për shembull, si monedha ashtu edhe Dielli janë në formë rrethi. Ata janë të ngjashëm, por jo të barabartë. Shifra të tilla quhen të ngjashme. Në këtë mësim, do të mësojmë se cilat figura quhen të ngjashme dhe cilat veti kanë.

Nëse keni vështirësi për të kuptuar temën, ju rekomandojmë të shikoni mësimin dhe,

Teorema e Talesit

Anët e këndit priten me vija të drejta paralele në pjesë proporcionale (shih Fig. 5). Kjo eshte:

Një marrëdhënie e ngjashme mund të shkruhet për shumën e gjatësive të segmenteve:

Oriz. 5. Ilustrim për teoremën e Talesit

Konsideroni dy trekëndësha dhe , këndet përkatëse të të cilëve janë të barabartë (shih Fig. 6):

Oriz. 6. Trekëndëshat me kënde të barabarta

Brinjët që shtrihen përballë këndeve të barabarta të trekëndëshave quhen i ngjashëm.

Rendisim brinjët e ngjashme: dhe (gënjeshtra kundër këndeve të barabarta), dhe (gënjeshtra kundër këndeve të barabarta), dhe (gënjeshtra kundër këndeve të barabarta).

Përkufizimi

Të dy trekëndëshat quhen i ngjashëm nëse këndet përkatëse janë të barabarta dhe brinjët përkatëse janë proporcionale:

Dhe , ku eshte koeficienti i ngjashmërisë së trekëndëshave.

Gjeometria

Ngjashmëria e figurave

Vetitë e figurave të ngjashme

Teorema. Kur një figurë është e ngjashme me një figurë, dhe një figurë është një figurë, atëherë shifrat dhe i ngjashëm.
Nga vetitë e transformimit të ngjashmërisë del se për figurat e ngjashme këndet përkatëse janë të barabarta, kurse segmentet përkatëse janë proporcionale. Për shembull, në trekëndësha të ngjashëm ABC dhe :
; ; ;
.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave

Teorema 1. Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë përkatësisht të barabartë me dy kënde të trekëndëshit të dytë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Teorema 2. Nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me dy brinjët e trekëndëshit të dytë dhe këndet e formuara nga këto brinjë janë të barabarta, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.
Teorema 3. Nëse brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me brinjët e trekëndëshit të dytë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Nga këto teorema rrjedhin fakte që janë të dobishme për zgjidhjen e problemeve.
1. Një vijë e drejtë paralele me një brinjë të një trekëndëshi dhe që kryqëzon dy brinjët e tjera të tij, shkëput prej saj një trekëndësh të ngjashëm me atë të dhënë.
Në imazh.

2. Për trekëndëshat e ngjashëm, elementet përkatëse (lartësitë, medianat, përgjysmuesit etj.) lidhen si brinjë përkatëse.
3. Për trekëndëshat e ngjashëm, perimetrat lidhen si brinjë përkatëse.
4. Nëse O- pika e prerjes së diagonaleve të trapezit ABCD, pastaj .
Figura në trapez ABCD:.

5. Nëse vazhdimi i faqeve të trapezit ABCD kryqëzohen në një pikë K, pastaj (shih figurën) .
.

Ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë

Teorema 1. Nëse trekëndëshat kënddrejtë kanë një kënd akut të barabartë, atëherë ata janë të ngjashëm.
Teorema 2. Nëse dy këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë janë proporcionale me dy këmbët e trekëndëshit të dytë kënddrejtë, atëherë këta trekëndësha janë të ngjashëm.
Teorema 3. Nëse këmbët dhe hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë janë proporcionale me këmbën dhe hipotenuzën e trekëndëshit të dytë kënddrejtë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Teorema 4. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e nxjerrë nga kulmi i këndit të drejtë e ndan trekëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë të ngjashëm me atë të dhënë.
Në imazh .

Kjo rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë.
1. Këmba e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar ndërmjet hipotenuzës dhe projeksionit të kësaj kembeje mbi hipotenuzë:
; ,
ose
; .
2. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr nga kulmi i këndit të drejtë është proporcionaliteti mesatar midis projeksioneve të këmbëve në hipotenuzë:
, ose .
3. Vetia e përgjysmuesit të trekëndëshit:
përgjysmuesja e një trekëndëshi (arbitrare) e ndan anën e kundërt të trekëndëshit në segmente proporcionale me dy brinjët e tjera.
Në foto në PB- përgjysmues.
, ose .

Ngjashmëritë midis trekëndëshave barabrinjës dhe dykëndësh

1. Të gjithë trekëndëshat barabrinjës janë të ngjashëm.
2. Nëse trekëndëshat dykëndësh kanë kënde të barabarta ndërmjet brinjëve, atëherë ata janë të ngjashëm.
3. Nëse trekëndëshat dykëndësh kanë bazë dhe brinjë proporcionale, atëherë ata janë të ngjashëm.

ESE

Me temën: "Ngjashmëria e figurave"

E kryer:

nxënës

Kontrolluar:

1. Transformimi i ngjashmërisë

2. Vetitë e transformimit të ngjashmërisë

3. Ngjashmëria e figurave

4. Shenjë e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy kënde

5. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy brinjë dhe këndit ndërmjet tyre

6. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në tri brinjë

7. Ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë

8. Kënde të gdhendura në një rreth

9. Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe rrathëve sekantë

10. Detyra me temën "Ngjashmëria e figurave"

1. TRANSFORMIMI I ngjashmërisë

Shndërrimi i një figure F në një figurë F "quhet transformim ngjashmërie nëse, gjatë këtij transformimi, distancat midis pikave ndryshojnë me të njëjtin numër herë (Fig. 1). Kjo do të thotë se nëse pikat arbitrare X, Y të figura F, gjatë transformimit të ngjashmërisë, shkoni në pikat X", Y "figurat F", pastaj X "Y" = k-XY, dhe numri k është i njëjtë për të gjitha pikat X, Y. Numri k quhet koeficienti i ngjashmërisë. Për k = l, transformimi i ngjashmërisë është padyshim një lëvizje.

Teorema 1. Homoteiteti është një transformim ngjashmërie

Dëshmi. Le të jetë O qendra homotetike, k koeficienti i homoteitetit, X dhe Y janë dy pika arbitrare të figurës (Fig. 3)

Fig.3 Fig.4

Nën homoteti, pikat X dhe Y shkojnë në pikat X" dhe Y" në rrezet OX dhe OY, përkatësisht, dhe OX" = k OX, OY" = k OY. Kjo nënkupton barazitë vektoriale OX" = kOX, OY" = kOY. Duke i zbritur këto barazi terma për term, marrim: OY "-OX" = k (OY- OX). Meqenëse OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, pastaj X"Y" = kXY. Prandaj, /X"Y"/=k /XY/, d.m.th. X"Y" = kXY. Prandaj, homotesia është një transformim ngjashmërie. Teorema është vërtetuar.

Një detyrë. Figura 4 tregon një plan të pasurisë në një shkallë 1:1000. Përcaktoni dimensionet e pasurisë (gjatësia dhe gjerësia).

2. VETITË E TRANSFORMIMIT TË ngjashmërisë

Le të vërtetojmë se transformimi i ngjashmërisë ruan këndet midis gjysmëdrejtëzave.

3. Ngjashmëria e FIGURAVE

Dy figura quhen të ngjashme nëse shndërrohen në njëra-tjetrën nga një transformim ngjashmërie. Për të treguar ngjashmërinë e figurave, përdoret një ikonë e veçantë: ∞. Hyrja F∞F" thotë: "Figura F është e ngjashme me figurën F"".

Le të vërtetojmë se nëse figura F 1 është e ngjashme me figurën F 2 , dhe figura F 2 është e ngjashme me figurën F 3 , atëherë figurat F 1 dhe F 3 janë të ngjashme.

Le të jenë X 1 dhe Y 1 dy pika arbitrare të figurës F 1 . Transformimi i ngjashmërisë që e shndërron figurën F 1 në F 2 i shndërron këto pika në pika X 2 , Y 2 , për të cilat X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 .

Transformimi i ngjashmërisë duke e shndërruar figurën F 2 në F 3 i shndërron pikat X 2 , Y 2 në pika X 3 , Y 3 , për të cilat X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 .

Nga barazitë

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

rrjedh se X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . Dhe kjo do të thotë se shndërrimi i figurës F 1 në F 3, i cili përftohet duke kryer në mënyrë sekuenciale dy transformime të ngjashmërisë, është një ngjashmëri. Rrjedhimisht, figurat F 1 dhe F 3 janë të ngjashme, gjë që duhej vërtetuar.

Në regjistrimin e ngjashmërisë së trekëndëshave: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - supozohet se kulmet e kombinuara nga transformimi i ngjashmërisë janë në vendet e duhura, d.m.th. A shkon në A 1 , B - në B 1 dhe C - në C1.

Nga vetitë e transformimit të ngjashmërisë del se për figurat e ngjashme këndet përkatëse janë të barabarta, kurse segmentet përkatëse janë proporcionale. Në veçanti, trekëndësha të ngjashëm ABC dhe A 1 B 1 C 1

A=A 1, B=B 1, C=C 1

4. SHENJA E ngjashmërisë së trekëndëshave në dy kënde

Teorema 2. Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë me dy kënde të një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.

Dëshmi. Le të lëmë trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1

Artikulli i mëparshëm: Nëse produkti ndahet me një nga faktorët, atëherë do të merret një faktor tjetër Artikulli vijues: Format bazë të përshëndetjes (përkthyer nga Nihao)