Mund të gjeni shumë lloje të ndryshme. Vetitë e operacioneve të grupit

në) M3={x|x=2n+1,};

G) M4= ((x,y)ôxОR, yOR ; £ 4);

Detyra 1.2. Zbuloni se si janë dhënë grupet e mëposhtme dhe renditni të gjithë elementët e këtyre grupeve:

1) (xô x është pjesëtues i 100);

2) (xô x është pjesëtues kryesor i 100);

3) (xô x është një faktor kryesor prej 100);

4) ( xô x ON; – 1 = 0 dhe – 4 = 0);

5) (xô x është shkronja e fjalës "akademi");

6) ( xô x ON; 2 = 1);

7) ( xô x ON; ).

Zgjidhje.

1. Ky grup përbëhet nga të gjithë pjesëtuesit e numrit 100, domethënë përfshin vetëm ata numra që e ndajnë plotësisht numrin 100. Është e qartë se caktimi i grupit me ndihmën e kallëzuesit karakteristik "të jesh pjesëtues i numrit 100" është i dukshëm. Le të rendisim të gjithë këta numra: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50. Duke shtuar këtu numrin 1 dhe vetë 100, marrim grupin e dëshiruar. Shënojeni A. Pastaj A = (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

2. Bashkësia përcaktohet duke përdorur kallëzuesin karakteristik "bëhu pjesëtues i thjeshtë i 100". Ndër pjesëtuesit e problemës së mëparshme do të zgjedhim vetëm numrat e thjeshtë, të cilët do të jenë 2 dhe 5. Të gjithë pjesëtuesit e tjerë janë të përbërë. Numri 1, siç dihet nga kursi i aritmetikës shkollore, nuk vlen as për numrat e thjeshtë dhe as për numrat e përbërë. Duke treguar këtë grup B, marrim: B = (2, 5).

3. Bashkësia përcaktohet duke përdorur kallëzuesin karakteristik "të jetë faktor kryesor 100". Le të faktorizojmë 100 në faktorët kryesorë. Ne marrim identitetin e mëposhtëm: 100 = 2×2×2×5. Këta numra do të jenë elementët e grupit të dëshiruar, të cilin e shënojmë me C = (2, 2, 5, 5). Përgjigja mund të lihet ashtu siç është, por në teorinë e grupeve numri i elementeve identike zakonisht shpërfillet. Prandaj, do të ishte më e saktë që përgjigja të paraqitej në formën: С = (2, 5).

4. Kjo bashkësi mund të konsiderohet e dhënë me ndihmën e një procedure gjeneruese, e cila është procedura për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe zgjedhjen e rrënjëve në bazë të përkatësisë së tyre në bashkësinë e numrave natyrorë. Megjithatë, me drejtësi, duhet të theksohet se shpesh kur përcaktohet se si përcaktohet një grup, është mjaft e vështirë të pohohet se grupi është përcaktuar në këtë dhe vetëm në këtë mënyrë. Në këtë shembull, është mjaft e mundur të pohohet se mënyra për të specifikuar bashkësinë është me ndihmën e kallëzuesit karakteristik "përzgjedhja e rrënjëve të ekuacionit në bazë të përkatësisë në bashkësinë N". I zgjidhim të dy ekuacionet: , rrënjët e tij +1 dhe -1; , rrënjët e tij janë +2 dhe -2. Meqenëse numrat -1 dhe -2 nuk janë natyrorë, bashkësia e dëshiruar, të cilën do ta shënojmë me D, do të jetë: D = (1, 2).

5. Mënyra e vendosjes - me ndihmën e kallëzuesit karakteristik. Shënojmë bashkësinë me E. Marrim: E = (a, k, e, e, m, u, i), ku shkronja “a” përmendet vetëm një herë.

6. Metoda e vendosjes së këtij grupi është e ngjashme me shembullin 4). E zgjidhim këtë ekuacion eksponencial-logaritmik 2 = 1. ODZ e këtij ekuacioni është e gjitha x³0. = 1, prej nga = 0, rrënjët e x janë të barabarta me 2. Numri natyror është 2. Prandaj, bashkësia jonë, të cilën e shënojmë me F, do të përbëhet nga vetëm një element: F = (2).

7. Metoda e vendosjes së këtij grupi është e ngjashme me shembullin 4). Ne e zgjidhim këtë pabarazi irracionale. ODZ - të gjitha x ³ 1. Ne katrorojmë të dy pjesët: x - 1 ³ 4, prej nga x ³ 5. Kjo nuk bie ndesh me ODZ, prandaj zona e zgjidhjes së kësaj pabarazie x ³ 5. Me fjalë të tjera, x н . Natyrisht, do të ketë një grup të panumërueshëm numrash natyrorë në këtë interval. Prandaj, bashkësia e dhënë G do të jetë e pafundme: G = (5, 6, 7, … n, …).

Detyra 1.3. Shkruani grupe me një veti P (X ):

2) {1, 3, 9, 27, 81, 243};

3) (s, t, u, d, e, n, t).

Zgjidhje.

1) ju mund të zgjidhni një kallëzues karakteristik, për shembull, si ky. Le të shumëzojmë të gjithë numrat. Marrim: 2 × 3 × 11 = 66. Pastaj

A = (aôa është pjesëtues kryesor i 66);

2) të gjithë numrat e paraqitur janë fuqi 3 (30=1, 31=3, 32=9, etj.). Prandaj, bashkësia B mund të specifikohet duke përdorur vetinë: B = (bôb është një fuqi prej 3 me një eksponent nga 0 në 5);

3) C = (côc është shkronja e fjalës "student").

Detyra 1.4. Vizatoni në mënyrë grafike grupet e mëposhtme:

1) A = ((x,y)ôxОR, yOR ; £ 4);

2) B = ((x,y)ôxОR, yOR ; x + y >0, x + y – 2 £ 0);

3) C = ((x,y)ôxОR, yOR ; |x | £ 1 dhe |y + 2| £ 4);

4) D = ((x,y)ôxОR, yOR dhe };

5) E = ((x,y)ôxОR, yOR dhe y £ |sin x|);

6) F = ((x,y)ôxОR, yOR dhe ).

Zgjidhje. Të gjitha grupet e dhëna përbëhen nga çifte numrash realë që plotësojnë kushte të caktuara. Duke paraqitur pikat që u korrespondojnë këtyre çifteve në sistemin koordinativ kartezian në rrafsh, marrim disa zona, të cilat do të jenë paraqitje gjeometrike (grafike) e grupit në studim.

1. Të ndërtojmë kufirin e bashkësisë A. Për ta bërë këtë, le të kalojmë nga inekuacioni në barazi: = 4. Nga kursi i gjeometrisë analitike dihet se ky ekuacion është ekuacioni i një rrethi me qendër në origjinës dhe një rreze prej 2. Do të jetë kufiri i grupit. Më pas, duhet të zbulojmë se cilën pjesë të aeroplanit duhet të zgjedhim: atë që shtrihet brenda rrethit apo atë që shtrihet jashtë. Për ta bërë këtë, le të vendosim koordinatat e një pike, e cila është e vendosur qartë në zonën e zgjedhur. Për shembull, pika e origjinës është O(0;0). Ne i zëvendësojmë vlerat x = 0 dhe y = 0 në pabarazinë 4 £. Marrim: 4 £, domethënë në pikën O (0; 0), kjo pabarazi është e vërtetë. Prandaj, duhet të zgjedhim pjesën e aeroplanit brenda rrethit. Nëse marrim koordinatat e pikave të tjera brenda rrethit dhe i zëvendësojmë në pabarazi, rezultati do të jetë i njëjtë. Përkundrazi, për pikat jashtë pabarazisë do të jetë false. Për shembull, pika Q(10;10): = 200, që është jo më pak se 4! Duke përmbledhur gjithçka që u tha, mund të pohojmë se bashkësia A është një rreth me rreze 2 me qendër në origjinë.

2. Për të ndërtuar kufijtë e grupit B, merrni parasysh barazitë: x + y \u003d 0, x + y - 2 \u003d 0. Rreshti i parë (ekuacioni i tij mund të shkruhet si y \u003d - x) është përgjysmues i këndet e koordinatave 2 dhe 4. Ai e ndan planin koordinativ në dy pjesë: atë që shtrihet sipër (ose në të djathtë të) vijës dhe atë që është poshtë (ose në të majtë të) vijës. Për të zgjedhur pjesën e dëshiruar, merrni një pikë testimi me koordinata, për shembull, Q(10;10) dhe zëvendësoni koordinatat e saj në pabarazinë x + y > 0. Marrim: 10 +10 > 0, domethënë, pabarazia është e vlefshme për pjesën e rrafshit sipër (në të djathtë) të drejtëzës x+y=0. Vija e dytë e drejtë (ekuacioni i tij x + y - 2 = 0 mund të shkruhet në segmente në boshte) prenë segmente me gjatësi 2 njësi në të dy boshtet dhe kalon paralelisht me drejtëzën e parë përmes kuadranteve të 2-të, 1-të dhe 3-të. Ai gjithashtu ndan planin koordinativ në dy pjesë: një sipër (në të djathtë) dhe të dytën poshtë (në të majtë). Për të zgjedhur pjesën që na nevojitet, mund të përdorim, për shembull, pikën O (0; 0). Ne zëvendësojmë x \u003d 0 dhe y \u003d 0 në pabarazinë x + y - 2 £ 0. Marrim: 0 + 0 - 2 £ 0 - e vërtetë. Prandaj, zgjedhim atë pjesë të rrafshit në lidhje me drejtëzën e dytë, ku shtrihet pika O (0; 0). Si rezultat, marrim një zonë, koordinatat e pikave të së cilës plotësojnë të dyja pabarazitë (për shembull, këto janë pikat (1; 1), (0; 1), (1; 0); (2; -1), etj.) . Ky është një shirit që shtrihet midis dy vijave paralele, duke përfshirë pikat që i përkasin vijës së dytë (pasi pabarazia nuk është e rreptë). Kjo zonë përcakton grupin e dëshiruar B.

3. Pabarazia |x | £ 1 është e barabartë me dy: -1 £ x £ 1. Duket se ky është një grup pikash të segmentit [-1; një]. Nëse do të konsideronim një grup prej një elementi, ky do të ishte rasti. Megjithatë, bashkësia jonë C përbëhet nga çifte numrash realë (x; y). Prandaj, gjeometrikisht, pabarazia -1 £ x £ 1 është grupi i pikave që shtrihen brenda shiritit vertikal midis vijave x = 1 dhe x = -1. Pabarazi |y + 2| 4 £ është gjithashtu ekuivalente me dy: -4 £ y + 2 £ 4. Duke lëvizur 2 majtas dhe djathtas, marrim: -6 £ y £ 2. Gjeometrikisht, kjo do të jetë grupi i pikave që shtrihen brenda shiritit horizontal midis vijat y = -6 dhe y = 2 Pra, kemi marrë dy vija të kryqëzuara. Cila pjesë duhet zgjedhur për grupin e dëshiruar C? Në gjendjen e problemit, të dyja pabarazitë lidhen nga bashkimi "dhe". Dhe kjo do të thotë se është e nevojshme të zgjidhen ato pika nga të dy brezat, koordinatat e të cilave i plotësojnë njëkohësisht të dyja pabarazitë. Rezultati është një drejtkëndësh. Ky është grupi ynë C.

4. Konsideroni pabarazinë . Për ta bërë atë "të dallueshëm", le t'i vendosim në katror pjesën e majtë dhe të djathtë të tij. Kjo mund të bëhet sepse në të djathtë është një vlerë jo negative e rrënjës aritmetike. Në të majtë, vlera e y është gjithashtu jo negative, përndryshe pabarazia do të humbiste çdo kuptim. Pas ngritjes së të dyja pjesëve në fuqinë e dytë dhe njëfarë transformimi, marrim: Kjo pabarazi përshkruan një pjesë të planit koordinativ që shtrihet jashtë elipsit. Megjithatë, pabarazia fillestare ka formën , dhe, siç u tha, vlera e y është jo -negativ. Kjo do të thotë se zona e përshkruar do të përfshijë vetëm pjesën e sipërme të planit koordinativ që shtrihet jashtë elipsit. Konsideroni pabarazinë e fundit x ³ 0, e cila përshkruan anën e djathtë të planit koordinativ. Duke krahasuar të gjitha llogaritjet, marrim një grup pikash të vendosura në kuadrantin e parë jashtë elipsit. Ky do të jetë grupi i dëshiruar D.

5. Ne do të vizatojmë funksionin y \u003d sin x, dhe më pas ajo pjesë e tij, e cila është nën boshtin x, do të pasqyrohet në gjysmë-rrafshin e sipërm. Marrim grafikun y = |sin x|. Pabarazia y £ |sin x| përcakton grupin e dëshiruar E, pikat e të cilit do të jenë midis boshtit të abshisës dhe harqeve të sinusoidit të reflektuar lart.

6. Ndryshe nga problemet e mëparshme, këtu kemi barazinë x2 = y2 , e cila, siç dihet, përcakton një vijë të caktuar. Për të "njohur" këtë linjë, ne do të bëjmë një sërë transformimesh identike: − kuadrantët 3 dhe 2 - 4. Bashkësia F është vetëm pika e këtyre rreshtave.

Detyrat për zgjidhje të pavarur.

1. Rendisni të gjithë elementët e grupeve të mëposhtme:

a) ( xô xështë pjesëtues i numrave 6 dhe 8); (përgjigje: 2);

b) ( xô x ON; x 3 - 5x 2 + 4 = 0); (përgjigje: 1);

në) ( x ô x OR; x+ 1/x > 2; x> 0); (përgjigje: XÎ(0, ¥));

G) ( x ô x- shkronja e fjalës "universitet");

e) ( xô xОZ; mëkat x < 0; cos x> 0); (përgjigje: -1).

2. Vizatoni grafikisht grupet e mëposhtme:

a) (( x, y)ô y 2 £ x 2 };

b) (( x, y)ô y³ | x| + 1};

në) ( ( x, y)ô x 2 + y 2 – 25 > 0}.

Dy mënyrat e para për të specifikuar një grup supozojnë se ne kemi aftësinë për të identifikuar dhe dalluar objektet. Por kjo mundësi nuk ekziston gjithmonë, në këtë rast përballemi me komplikacione të ndryshme. Kështu, mund të ndodhë që dy veti të ndryshme karakteristike të përcaktojnë të njëjtin grup, d.m.th. çdo element që ka një veti ka edhe një tjetër dhe anasjelltas. Për shembull, në aritmetikë, vetia "një numër i plotë pjesëtohet me 2" specifikon të njëjtin grup si vetinë "shifra e fundit pjesëtohet me 2". Në shumë raste, ne po flasim për koincidencën e dy grupeve (për shembull, një grup trekëndëshash barabrinjës me një grup trekëndëshash barabrinjës). Për më tepër, kur specifikohen grupet sipas vetive karakteristike (kallëzuesit), lindin vështirësi për shkak të qartësisë dhe paqartësisë së pamjaftueshme të formulimit. Diferencimi i objekteve në ato që i përkasin dhe që nuk i përkasin një grupi të caktuar pengohet nga prania e një numri të madh formash të ndërmjetme.

Pikat kryesore universale(ose themelore) shume nga, d.m.th. një grup i tillë që përbëhet nga të gjithë elementët e fushës së studiuar (të shënuar me shkronjën). U dhe lexohet "univers", dhe në interpretimin gjeometrik përshkruhet nga një grup pikash brenda një drejtkëndëshi të caktuar).

Vini re se "bashkësia universale" është një koncept relativ: ai zgjidhet për një degë të veçantë të shkencës dhe, për më tepër, shpesh nuk përcaktohet as në mënyrë eksplicite, por thjesht nënkuptohet.

Kështu, për shembull, në planimetrinë elementare, është e zakonshme të konsiderohet bashkësia e të gjitha pikave të planit si një grup universal.

Në aritmetikën elementare, bashkësia universale është bashkësia Z e të gjithë numrave racionalë të plotë, e kështu me radhë.

1.3. SET BASHKË

Komplet boshështë një grup që nuk përmban një element të vetëm (të shënuar me simbolin ). Një grup bosh mund të përkufizohet nga çdo pronë e diskutueshme, për shembull Y nuk është një grup.

Shume ngaështë një koleksion objektesh të konsideruara si një e tërë. Koncepti i një grupi merret si bazë, domethënë jo i reduktueshëm në koncepte të tjera. Objektet që përbëjnë një grup të caktuar quhen elementë të tij. Marrëdhënia themelore ndërmjet elementit a dhe grupin që e përmban A e shënuar si ( aështë një element i grupit A; ose a i takon A, ose A përmban a). Nese nje a nuk është një element i grupit A, pastaj shkruani ( a nuk përfshihen në A, A nuk permban a). Një grup mund të specifikohet duke specifikuar të gjithë elementët e tij, në të cilin rast përdoren mbajtëset kaçurrelë. Kështu që ( a, b, c) tregon bashkësinë e tre elementeve. Një shënim i ngjashëm përdoret edhe në rastin e grupeve të pafundme, me elementë të pashkruar që zëvendësohen me elipsë. Pra, bashkësia e numrave natyrorë shënohet me (1, 2, 3, ...) dhe bashkësinë e numrave çift (2, 4, 6, ...), dhe elipsa në rastin e parë nënkupton gjithçka natyrore numrat, dhe në të dytën - vetëm çift.

Dy komplete A dhe B thirrur të barabartë, nëse përbëhen nga elementë të njëjtë, d.m.th. A i takon B dhe anasjelltas, çdo element B i takon A. Pastaj shkruani A = B. Kështu, një grup përcaktohet në mënyrë unike nga elementët e tij dhe nuk varet nga rendi në të cilin janë shkruar këto elemente. Për shembull, një grup prej tre elementësh a, b, c lejon gjashtë lloje regjistrimi:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Për arsye komoditeti formal, prezantohet edhe i ashtuquajturi "komplet bosh", përkatësisht një grup që nuk përmban një element të vetëm. Nganjëherë shënohet me simbolin 0 (koincidenca me përcaktimin e numrit zero nuk çon në konfuzion, pasi kuptimi i simbolit është i qartë çdo herë).

Nëse çdo element i grupit A të përfshira në komplet B, pastaj A quhet nëngrup B, a B quhet superset A. Shkruaj ( A të përfshira në B ose A të përfshira në B, B përmban A). Natyrisht, nëse dhe , atëherë A = B. Bashkësia boshe, sipas përkufizimit, konsiderohet të jetë një nëngrup i çdo grupi.

Nëse çdo element i grupit A të përfshira në B, por shumë B përmban të paktën një element që nuk është in A, pra nëse dhe , atëherë A thirrur nëngrupin e vet B, a B - superset e veta A. Në këtë rast, shkruani. Për shembull, shënimi dhe do të thotë e njëjta gjë, domethënë, se grupi A jo bosh.

Vini re gjithashtu se është e nevojshme të dalloni elementin a dhe vendos ( a) që përmban a si elementi i vetëm. Një ndryshim i tillë diktohet jo vetëm nga fakti që elementi dhe grupi luajnë role të ndryshme (lidhja nuk është simetrike), por edhe nga nevoja për të shmangur kontradiktat. Pra, le A = {a, b) përmban dy elemente. Merrni parasysh grupin ( A) që përmban si element të vetëm grupin A. Pastaj A përmban dy elementë, ndërsa ( A) është vetëm një element, dhe për këtë arsye identifikimi i këtyre dy grupeve është i pamundur. Prandaj, rekomandohet të përdorni shënime, dhe jo të përdorni shënim.

Në matematikë, koncepti i një grupi është një nga themelor, themelor, por nuk ka një përkufizim të vetëm të një grupi. Një nga përkufizimet më të mirëpërcaktuara të një grupi është si vijon: një grup është çdo koleksion objektesh të përcaktuara dhe të dallueshme që mund të mendohen si një e tërë. Krijuesi i teorisë së grupeve, matematikani gjerman Georg Cantor (1845-1918), tha këtë: "Një grup është shumë që ne e mendojmë si një e tërë".

Si një lloj të dhënash, grupet janë provuar të jenë shumë të përshtatshme për programimin e situatave komplekse të jetës, pasi ato mund të modelojnë me saktësi objektet e botës reale dhe të shfaqin në mënyrë kompakte marrëdhënie komplekse logjike. Kompletet përdoren në gjuhën e programimit Pascal dhe ne do të analizojmë një nga shembujt e zgjidhjeve më poshtë. Për më tepër, në bazë të teorisë së grupeve, u krijua koncepti i bazave të të dhënave relacionale, dhe në bazë të operacioneve në grupe - algjebra relacionale dhe veprimet e saj- përdoret në gjuhët e pyetjeve të bazës së të dhënave, në veçanti, SQL.

Shembulli 0 (Pascal). Një grup produktesh shiten në disa dyqane në qytet. Përcaktoni: cilat produkte janë në dispozicion në të gjitha dyqanet në qytet; gamën e plotë të produkteve në qytet.

Zgjidhje. Ne përcaktojmë llojin bazë të të dhënave Ushqimi (produktet), mund të marrë vlera që korrespondojnë me emrat e produkteve (për shembull, hleb). Ne deklarojmë llojin e grupit, ai përcakton të gjitha nëngrupet e përbëra nga kombinime të vlerave të llojit bazë, domethënë Ushqimi (produktet). Dhe ne formojmë nëngrupe: dyqanet "Solnyshko", "Veterok", "Spark", si dhe nëngrupet e prejardhura: MinFood (produktet që gjenden në të gjitha dyqanet), MaxFood (një gamë e plotë produktesh në qytet). Më pas, ne shkruajmë operacione për të marrë nënbashkësi të prejardhura. Nëngrupi MinFood është marrë si rezultat i kryqëzimit të nëngrupeve Solnyshko, Veterok dhe Ogonyok dhe përfshin ato dhe vetëm ato elemente të këtyre nëngrupeve që përfshihen në secilën prej këtyre nëngrupeve (në Pascal, shënohet funksionimi i kryqëzimit të grupeve me një yll: A * B * C, shënimi matematik i kryqëzimit të grupeve është dhënë më poshtë). Nëngrupi MaxFood fitohet duke kombinuar të njëjtat nëngrupe dhe përfshin elementë që përfshihen në të gjitha nëngrupet (në Pascal, operacioni i kombinimit të grupeve shënohet me një shenjë plus: A + B + C, jepet shënimi matematikor i bashkimit të grupeve më poshtë).

Kodi PASCAL

Dyqane programesh; lloji Ushqim=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Dyqan = komplet ushqimesh; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Dyqan; Filloni Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; fund.

Cilat janë kompletet

Objektet që përbëjnë grupin - objektet e intuitës ose intelektit tonë - mund të jenë të një natyre shumë të ndryshme. Në shembullin në paragrafin e parë, ne trajtuam grupe që përfshijnë një grup produktesh. Kompletet mund të përbëhen, për shembull, nga të gjitha shkronjat e alfabetit rus. Në matematikë studiohen grupe numrash, për shembull, që përbëhen nga të gjithë:

Numrat natyrorë 0, 1, 2, 3, 4, ...

numrat e thjeshtë

Edhe numrat e plotë

etj. (bashkësitë kryesore numerike janë diskutuar në këtë material).

Objektet që përbëjnë një grup quhen elementë të tij. Mund të themi se një grup është një "çantë me elementë". Është shumë e rëndësishme: në grup nuk ka elementë identikë.

Grupet janë ose të fundme ose të pafundme. Një bashkësi e fundme është një bashkësi për të cilën ekziston një numër natyror që është numri i elementeve të tij. Për shembull, grupi i pesë numrave të parë tek jonegativë është një grup i fundëm. Një grup që nuk është i kufizuar quhet i pafund. Për shembull, bashkësia e të gjithë numrave natyrorë është një bashkësi e pafundme.

Nese nje M- vendosur, dhe a- elementi i tij, pastaj shkruani: a∈M, që do të thotë " a i përket grupit M".

Nga shembulli i parë (zero) në Pascal me produkte që gjenden në dyqane të ndryshme:

hleb∈VETEROK ,

që do të thotë: elementi "hleb" i përket grupit të produkteve që gjenden në dyqanin "VETEROK".

Ekzistojnë dy mënyra kryesore për të përcaktuar grupet: numërimi dhe përshkrimi.

Një grup mund të përcaktohet duke renditur të gjithë elementët e tij, për shembull:

VETEROK = {hleb, syr, vaj} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Një numërim mund të përcaktojë vetëm një grup të fundëm. Edhe pse mund ta bëni me një përshkrim. Por grupet e pafundme mund të përcaktohen vetëm me përshkrim.

Metoda e mëposhtme përdoret për të përshkruar grupet. Le fq(x) - disa pohime që përshkruan vetitë e një ndryshoreje x, diapazoni i të cilit është grupi M. Pastaj përmes M = {x | fq(x)} tregon bashkësinë e përbërë nga të gjitha ato dhe vetëm ato elemente për të cilat pohimi fq(x) është e vërtetë. Kjo shprehje lexohet kështu: M, i përbërë nga të gjitha të tilla x, çfarë fq(x) ".

Për shembull, hyrja

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Shembulli 6 Sipas një sondazhi të 100 blerësve të tregut që blenë agrume, portokallet u blenë nga 29 blerës, limonët - 30 blerës, mandarina - 9, vetëm mandarina - 1, portokall dhe limon - 10, limona dhe mandarina - 4, të tre llojet e frutave - 3 blerës. Sa klientë nuk blenë asnjë nga agrumet e listuara këtu? Sa blerës blenë vetëm limonë?

Funksionimi i produktit të setit kartezian

Për të përcaktuar një tjetër operacion të rëndësishëm në grupe - Produkt kartezian i grupeve ne prezantojmë konceptin e një grupi të renditur gjatësie n.

Gjatësia e një grupi është numri n përbërësi i tij. Një grup i përbërë nga elementë të marrë në këtë rend shënohet . ku i i () komponenti i vendosur është .

Tani do të pasojë një përkufizim i rreptë, i cili mund të mos jetë menjëherë i qartë, por pas këtij përkufizimi do të ketë një pamje që do të bëjë të qartë se si të merrni një produkt kartezian të grupeve.

Produkt kartezian (i drejtpërdrejtë) i grupeve quhet bashkësia e shënuar dhe që përbëhet nga të gjitha ato dhe vetëm ato grupe gjatësie n, i-i komponent i cili i përket .

Për shembull, nëse , , ,

Analiza matematikore është një degë e matematikës që merret me studimin e funksioneve bazuar në idenë e një funksioni infinitimal.

Konceptet bazë të analizës matematikore janë sasi, bashkësi, funksion, funksion infinitimal, limit, derivat, integral.

Vlera quhet çdo gjë që mund të matet dhe të shprehet me një numër.

shumëështë një koleksion i disa elementeve të bashkuar nga disa tipare të përbashkëta. Elementet e një grupi mund të jenë numra, figura, objekte, koncepte etj.

Kompletet shënohen me shkronja të mëdha dhe elementet e një grupi me shkronja të vogla. Elementet e grupit janë të mbyllura në mbajtëse kaçurrelë.

Nëse elementi x i përket grupit X, pastaj shkruani x∈X (∈ - i përket).
Nëse grupi A është pjesë e grupit B, atëherë shkruani A ⊂ B (⊂ - përmbahet).

Një grup mund të përcaktohet në një nga dy mënyrat: me numërim dhe me një veti përcaktuese.

• A=(1,2,3,5,7) - grup numrash
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) është një grup i disa elementeve x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) është bashkësia e numrave natyrorë
• Z=(0,±1,±2,...,±n) është bashkësia e numrave të plotë

Bashkësia (-∞;+∞) thirret rreshti numerik, dhe çdo numër është një pikë e kësaj rreshti. Le të jetë a një pikë arbitrare në drejtëzën reale dhe δ një numër pozitiv. Quhet intervali (a-δ; a+δ). δ-lagja e pikës a.

Bashkësia X është e kufizuar nga lart (nga poshtë) nëse ka një numër të tillë c që për çdo x ∈ X plotësohet pabarazia x≤с (x≥c). Numri c në këtë rast quhet buza e sipërme (e poshtme). grupet X. Një grup i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet kufizuar. Quhet fytyra më e vogël (më e madhe) e sipërme (e poshtme) e grupit fytyra e saktë e sipërme (poshtë). këtë grup.

Komplete numerike bazë

Nëse një grup nuk përmban elemente, atëherë thirret grup bosh dhe të regjistruara Ø .

Elemente të simbolizmit logjik

Shënimi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Gjatë shkrimit të shprehjeve matematikore, shpesh përdoren kuantifikues.

kuantifikues quhet simbol logjik që karakterizon elementet që e ndjekin në aspektin sasior.

• ∀- sasior i përgjithshëm, përdoret në vend të fjalëve "për të gjithë", "për këdo".
• ∃- sasior ekzistencial, përdoret në vend të fjalëve "ekziston", "ka". Përdoret edhe kombinimi i simboleve ∃!, i cili lexohet se ka vetëm një.

Operacionet në grupe

Dy grupet A dhe B janë të barabarta(A=B) nëse përbëhen nga të njëjtat elementë.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) atëherë A=B.

Bashkimi (shuma) bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A ∪ B, elementet e së cilës i përkasin të paktën njërës prej këtyre bashkësive.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atëherë A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Kryqëzimi (produkt) bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A ∩ B, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A dhe bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atëherë A ∩ B = (2,4)

ndryshim grupet A dhe B quhet bashkësia AB, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A, por nuk i përkasin bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atëherë AB = (1,2)

Diferenca simetrike bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A Δ B, e cila është bashkimi i dallimeve të bashkësive AB dhe BA, pra A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atëherë A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

Vetitë e operacioneve të grupit

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Komplete të numërueshme dhe të panumërueshme

Për të krahasuar çdo dy grupe A dhe B, krijohet një korrespondencë midis elementeve të tyre.

Nëse kjo korrespodencë është një me një, atëherë grupet quhen ekuivalente ose ekuivalente, A B ose B A.

Bashkësia e pikave të këmbës BC dhe hipotenuzës AC të trekëndëshit ABC janë me fuqi të barabartë.