Teorema e Pitagorës i njeh gjatësitë. Metoda e dytë: trekëndësha të ngjashëm

Teorema e Pitagorës: Shuma e sipërfaqeve të katrorëve të mbështetur nga këmbët ( a dhe b), është e barabartë me sipërfaqen e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë ( c).

Formulimi gjeometrik:

Teorema fillimisht u formulua si më poshtë:

Formulimi algjebrik:

Kjo është, duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit përmes c, dhe gjatësitë e këmbëve nëpër a dhe b :

Të dy formulimet e teoremës janë ekuivalente, por formulimi i dytë është më elementar, nuk kërkon konceptin e zonës. Kjo do të thotë, pohimi i dytë mund të verifikohet pa ditur asgjë për sipërfaqen dhe duke matur vetëm gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Teorema e anasjelltë e Pitagorës:

Dëshmi e

Për momentin, 367 prova të kësaj teoreme janë regjistruar në literaturën shkencore. Ndoshta, teorema e Pitagorës është e vetmja teoremë me një numër kaq mbresëlënës provash. Një shumëllojshmëri e tillë mund të shpjegohet vetëm me rëndësinë themelore të teoremës për gjeometrinë.

Sigurisht, konceptualisht, të gjitha ato mund të ndahen në një numër të vogël klasash. Më të famshmit prej tyre: provat me metodën e zonës, provat aksiomatike dhe ekzotike (për shembull, duke përdorur ekuacione diferenciale).

Përmes trekëndëshave të ngjashëm

Vërtetimi i mëposhtëm i formulimit algjebrik është më i thjeshti nga provat e ndërtuara drejtpërdrejt nga aksiomat. Në veçanti, ai nuk përdor konceptin e zonës së figurës.

Le ABC ka një trekëndësh kënddrejtë C. Le të nxjerrim një lartësi nga C dhe shënoni bazën e tij me H. Trekëndëshi ACH të ngjashme me një trekëndësh ABC në dy qoshe. Po kështu, trekëndëshi CBH i ngjashëm ABC. Prezantimi i shënimit

marrim

Çfarë është ekuivalente

Duke shtuar, marrim

Provat e zonës

Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Të gjithë ata përdorin vetitë e zonës, vërtetimi i së cilës është më i ndërlikuar se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës.

Vërtetimi nëpërmjet ekuivalencës

1. Organizoni katër trekëndësha të barabartë kënddrejtë siç tregohet në figurën 1.
2. Katërkëndësh me brinjë cështë katror sepse shuma e dy këndeve akute është 90° dhe këndit të drejtë është 180°.
3. Sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë, nga njëra anë, me sipërfaqen e një katrori me një anë (a + b), dhe nga ana tjetër, shuma e sipërfaqeve të katër trekëndëshave dhe dy të brendshëm katrore.

Q.E.D.

Dëshmia përmes ekuivalencës

Një provë elegante e ndryshimit

Një shembull i njërës prej këtyre provave është paraqitur në vizatimin në të djathtë, ku katrori i ndërtuar mbi hipotenuzë shndërrohet me ndërrim në dy katrorë të ndërtuar mbi këmbë.

Prova e Euklidit

Vizatim për provën e Euklidit

Ilustrim për provën e Euklidit

Ideja e vërtetimit të Euklidit është si vijon: le të përpiqemi të vërtetojmë se gjysma e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë, dhe më pas sipërfaqet e katrorët e mëdhenj dhe dy të vegjël janë të barabartë.

Konsideroni vizatimin në të majtë. Mbi të ndërtuam katrorë në anët e një trekëndëshi kënddrejtë dhe vizatuam një rreze s nga kulmi i këndit të drejtë C pingul me hipotenuzën AB, katrorin ABIK, të ndërtuar mbi hipotenuzë, e pret në dy drejtkëndësha - BHJI dhe HAKJ. , respektivisht. Rezulton se sipërfaqet e këtyre drejtkëndëshave janë saktësisht të barabarta me sipërfaqet e katrorëve të ndërtuar në këmbët përkatëse.

Le të përpiqemi të vërtetojmë se sipërfaqja e katrorit DECA është e barabartë me sipërfaqen e drejtkëndëshit AHJK Për ta bërë këtë, ne përdorim një vëzhgim ndihmës: Sipërfaqja e një trekëndëshi me të njëjtën lartësi dhe bazë si ajo e dhënë. drejtkëndëshi është i barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit të dhënë. Kjo është pasojë e përcaktimit të zonës së një trekëndëshi si gjysma e produktit të bazës dhe lartësisë. Nga ky vëzhgim rezulton se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit AHK (nuk tregohet), i cili, nga ana tjetër, është i barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit AHJK.

Le të vërtetojmë tani se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është gjithashtu e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit DECA. E vetmja gjë që duhet bërë për këtë është të vërtetohet barazia e trekëndëshave ACK dhe BDA (pasi sipërfaqja e trekëndëshit BDA është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit nga vetia e mësipërme). Kjo barazi është e dukshme, trekëndëshat janë të barabartë në dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre. Domethënë - AB=AK,AD=AC - barazia e këndeve CAK dhe BAD është e lehtë për t'u vërtetuar me metodën e lëvizjes: le ta rrotullojmë trekëndëshin CAK 90 ° në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë është e qartë se brinjët përkatëse të dy trekëndëshave të konsideruar. do të përkojë (për faktin se këndi në kulmin e katrorit është 90°).

Argumenti për barazinë e sipërfaqeve të katrorit BCFG dhe drejtkëndëshit BHJI është krejtësisht analog.

Kështu, ne kemi vërtetuar se sipërfaqja e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është shuma e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë. Ideja pas kësaj prove ilustrohet më tej me animacionin e mësipërm.

Dëshmi e Leonardo da Vinçit

Dëshmi e Leonardo da Vinçit

Elementet kryesore të provës janë simetria dhe lëvizja.

Konsideroni vizatimin, siç mund të shihet nga simetria, segmenti CI zbërthen katrorin ABHJ në dy pjesë identike (nga trekëndëshat ABC dhe JHI janë të barabartë në ndërtim). Duke përdorur një rrotullim 90 gradë në drejtim të kundërt të akrepave të orës, ne shohim barazinë e figurave me hije CAJI dhe GDAB . Tani është e qartë se sipërfaqja e figurës së hijezuar nga ne është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë dhe sipërfaqes së trekëndëshit origjinal. Nga ana tjetër, është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë, plus sipërfaqen e trekëndëshit origjinal. Hapi i fundit në vërtetim i lihet lexuesit.

Vërtetimi me metodën e pafundme

Prova e mëposhtme duke përdorur ekuacione diferenciale i atribuohet shpesh matematikanit të famshëm anglez Hardy, i cili jetoi në gjysmën e parë të shekullit të 20-të.

Duke marrë parasysh vizatimin e paraqitur në figurë dhe duke vëzhguar ndryshimin në anë a, mund të shkruajmë relacionin e mëposhtëm për inkretime anësore pafundësisht të vogla Me dhe a(duke përdorur trekëndësha të ngjashëm):

Vërtetimi me metodën e pafundme

Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, gjejmë

Një shprehje më e përgjithshme për ndryshimin e hipotenuzës në rastin e rritjeve të të dy këmbëve

Duke integruar këtë ekuacion dhe duke përdorur kushtet fillestare, marrim

Kështu, arrijmë në përgjigjen e dëshiruar

Është e lehtë të shihet se varësia kuadratike në formulën përfundimtare shfaqet për shkak të proporcionalitetit linear midis brinjëve të trekëndëshit dhe rritjeve, ndërsa shuma është për shkak të kontributeve të pavarura nga rritja e këmbëve të ndryshme.

Një provë më e thjeshtë mund të merret nëse supozojmë se njëra nga këmbët nuk përjeton një rritje (në këtë rast këmbën b). Pastaj për konstantën e integrimit marrim

Variacione dhe përgjithësime

• Nëse, në vend të katrorëve, figura të tjera të ngjashme ndërtohen në këmbë, atëherë përgjithësimi i mëposhtëm i teoremës së Pitagorës është i vërtetë: Në një trekëndësh kënddrejtë, shuma e sipërfaqeve të figurave të ngjashme të ndërtuara në këmbë është e barabartë me sipërfaqen e figurës së ndërtuar në hipotenuzë. Veçanërisht:
  • Shuma e sipërfaqeve të trekëndëshave të rregullt të ndërtuar në këmbë është e barabartë me sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt të ndërtuar mbi hipotenuzë.
  • Shuma e sipërfaqeve të gjysmërretheve të ndërtuara në këmbë (si në diametër) është e barabartë me sipërfaqen e gjysmërrethit të ndërtuar mbi hipotenuzë. Ky shembull përdoret për të vërtetuar vetitë e figurave të kufizuara me harqe të dy rrathëve dhe që mbajnë emrin lunula hippokratike.

Histori

Chu-pei 500–200 pes. Në të majtë është mbishkrimi: shuma e katrorëve të gjatësive të lartësisë dhe bazës është katrori i gjatësisë së hipotenuzës.

Libri i lashtë kinez Chu-pei flet për një trekëndësh të Pitagorës me brinjët 3, 4 dhe 5: Në të njëjtin libër, propozohet një vizatim që përkon me një nga vizatimet e gjeometrisë hindu të Baskhara.

Kantor (historiani më i madh gjerman i matematikës) beson se barazia 3 ² + 4 ² = 5² ishte e njohur tashmë për egjiptianët rreth vitit 2300 para Krishtit. e., gjatë kohës së mbretit Amenemhet I (sipas papirusit 6619 të Muzeut të Berlinit). Sipas Cantor, harpedonaptet, ose "stringers", ndërtuan kënde të drejta duke përdorur trekëndësha kënddrejtë me brinjët 3, 4 dhe 5.

Është shumë e lehtë të riprodhosh metodën e tyre të ndërtimit. Merrni një litar 12 m të gjatë dhe lidheni me të përgjatë një shiriti me ngjyrë në një distancë prej 3 m. nga njëri skaj dhe 4 metra nga tjetri. Një kënd i drejtë do të mbyllet midis anëve 3 dhe 4 metra të gjatë. Harpedonaptëve mund të kundërshtohet se metoda e tyre e ndërtimit bëhet e tepërt nëse dikush përdor, për shembull, katrorin prej druri të përdorur nga të gjithë marangozët. Në të vërtetë, janë të njohura vizatimet egjiptiane në të cilat gjendet një mjet i tillë, për shembull, vizatime që përshkruajnë një punëtori zdrukthtari.

Dihet disi më shumë për teoremën e Pitagorës tek babilonasit. Në një tekst që daton në kohën e Hamurabit, d.m.th., në vitin 2000 para Krishtit. e., jepet një llogaritje e përafërt e hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë. Nga kjo mund të konkludojmë se në Mesopotami ata ishin në gjendje të kryenin llogaritjet me trekëndësha kënddrejtë, të paktën në disa raste. Bazuar, nga njëra anë, në nivelin aktual të njohurive për matematikën egjiptiane dhe babilonase, dhe nga ana tjetër, në një studim kritik të burimeve greke, Van der Waerden (një matematikan holandez) arriti në përfundimin e mëposhtëm:

Letërsia

Në rusisht

• Skopets Z. A. Miniatura gjeometrike. M., 1990
• Yelensky Sh. Duke ndjekur gjurmët e Pitagorës. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Shkenca e zgjimit. Matematika e Egjiptit të Lashtë, Babilonisë dhe Greqisë. M., 1959
• Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. M., 1982
• W. Litzman, "Teorema e Pitagorës" M., 1960.
  • Një faqe për teoremën e Pitagorës me një numër të madh provash, materiali është marrë nga libri i W. Litzman, një numër i madh vizatimesh janë paraqitur si skedarë grafikë të veçantë.
• Teorema e Pitagorës dhe kapitulli i trefishtë i Pitagorës nga libri i D. V. Anosov "Një vështrim në matematikë dhe diçka nga ajo"
• Mbi teoremën e Pitagorës dhe metodat e vërtetimit të saj G. Glaser, Akademik i Akademisë Ruse të Arsimit, Moskë

Në Anglisht

• Teorema e Pitagorës në WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, seksion mbi teoremën e Pitagorës, rreth 70 prova dhe informacion shtesë të gjerë (eng.)

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Një provë e animuar e teoremës së Pitagorës është një nga themelore teorema të gjeometrisë Euklidiane, duke vendosur marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Besohet se është vërtetuar nga matematikani grek Pitagora, pas të cilit është emëruar (ka versione të tjera, në veçanti, një mendim alternativ që kjo teoremë është formuluar përgjithësisht nga matematikani Pitagorian Hippasus).
Teorema thotë:

Në një trekëndësh kënddrejtë, sipërfaqja e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë.

Duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit c, dhe gjatësitë e këmbëve si a dhe b, marrim formulën e mëposhtme:

Kështu, teorema e Pitagorës vendos një lidhje që ju lejon të përcaktoni anën e një trekëndëshi kënddrejtë, duke ditur gjatësitë e dy të tjerëve. Teorema e Pitagorës është një rast i veçantë i teoremës së kosinusit, i cili përcakton marrëdhënien midis brinjëve të një trekëndëshi arbitrar.
Deklarata e kundërt vërtetohet gjithashtu (e quajtur edhe teorema e kundërt e Pitagorës):

Për çdo tre numra pozitivë a, b dhe c të tillë që a ? +b? = c ?, ka një trekëndësh kënddrejtë me këmbët a dhe b dhe hipotenuzë c.

Dëshmi vizuale për trekëndëshin (3, 4, 5) nga Chu Pei 500-200 pes. Historia e teoremës mund të ndahet në katër pjesë: njohuri për numrat e Pitagorës, njohuri për raportin e brinjëve në një trekëndësh kënddrejtë, njohuri për raportin e këndeve ngjitur dhe vërtetimi i teoremës.
Strukturat megalitike rreth vitit 2500 para Krishtit në Egjipt dhe në Evropën Veriore, përmbajnë trekëndësha kënddrejtë me brinjë të plotë. Barthel Leendert van der Waerden supozoi se në ato ditë numrat e Pitagorës u gjetën në mënyrë algjebrike.
Shkruar midis viteve 2000 dhe 1876 para Krishtit papirus nga Mbretëria e Mesme e Egjiptit Berlin 6619 përmban një problem zgjidhja e të cilit janë numrat pitagorianë.
Gjatë sundimit të Hamurabit të Madh, një pllakë vibiloniane Plimpton 322, shkruar midis viteve 1790 dhe 1750 para Krishtit përmban shumë shënime të lidhura ngushtë me numrat pitagorianë.
Në sutrat Budhayana, të cilat datohen sipas versioneve të ndryshme në shekullin e tetë ose të dytë para Krishtit. në Indi, përmban numra pitagorianë të nxjerrë në mënyrë algjebrike, një formulim të teoremës së Pitagorës dhe një provë gjeometrike për një trekëndësh kënddrejtë izosceles.
Sutrat e Apastamba (rreth 600 para Krishtit) përmbajnë një provë numerike të teoremës së Pitagorës duke përdorur llogaritjet e sipërfaqes. Van der Waerden beson se ajo u bazua në traditat e paraardhësve të tij. Sipas Albert Burkos, kjo është prova origjinale e teoremës dhe ai sugjeron që Pitagora vizitoi Arakonin dhe e kopjoi atë.
Pitagora, vitet e jetës së të cilit zakonisht tregohen 569 - 475 pes. përdor metoda algjebrike për llogaritjen e numrave të Pitagorës, sipas komenteve të Proklovit për Euklidin. Proclus, megjithatë, jetoi midis 410 dhe 485 pas Krishtit. Sipas Thomas Giese, nuk ka asnjë tregues të autorësisë së teoremës për pesë shekuj pas Pitagorës. Megjithatë, kur autorë të tillë si Plutarku ose Ciceroni ia atribuojnë teoremën Pitagorës, ata e bëjnë këtë sikur autorësia të jetë gjerësisht e njohur dhe e sigurt.
Rreth vitit 400 para Krishtit Sipas Proclus, Platoni dha një metodë për llogaritjen e numrave të Pitagorës, duke kombinuar algjebrën dhe gjeometrinë. Rreth vitit 300 para Krishtit, në Fillimet Euklidi, ne kemi provën më të vjetër aksiomatike që ka mbijetuar deri më sot.
Shkruar diku midis vitit 500 p.e.s. dhe 200 para Krishtit, libri matematikor kinez "Chu Pei" (? ? ? ?), jep një provë vizuale të teoremës së Pitagorës, e cila në Kinë quhet teorema gugu (????), për një trekëndësh me brinjë (3 , 4, 5). Gjatë sundimit të dinastisë Han, nga viti 202 para Krishtit. para vitit 220 pas Krishtit Numrat e Pitagorës shfaqen në librin "Nëntë seksione të artit matematikor" së bashku me një përmendje të trekëndëshave kënddrejtë.
Përdorimi i teoremës së pari dokumentohet në Kinë, ku njihet si teorema gugu (????) dhe në Indi, ku njihet si teorema e Baskarit.
Shumë po debatojnë nëse teorema e Pitagorës u zbulua një herë apo në mënyrë të përsëritur. Boyer (1991) beson se njohuritë e gjetura në Shulba Sutra mund të jenë me origjinë Mesopotamiane.
Prova algjebrike
Sheshet formohen nga katër trekëndësha kënddrejtë. Më shumë se njëqind prova të teoremës së Pitagorës janë të njohura. Këtu provat bazohen në teoremën e ekzistencës për sipërfaqen e një figure:

Vendosni katër trekëndësha identikë kënddrejtë siç tregohet në figurë.
Katërkëndësh me brinjë cështë një katror, ​​pasi shuma e dy këndeve akute është , dhe këndi i drejtë është .
Sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë, nga njëra anë, me sipërfaqen e një katrori me brinjë "a + b", dhe nga ana tjetër, me shumën e sipërfaqeve të katër trekëndëshave dhe katrorit të brendshëm. .

Kjo është ajo që duhet të vërtetohet.
Nga ngjashmëria e trekëndëshave
Përdorimi i trekëndëshave të ngjashëm. Le ABCështë një trekëndësh kënddrejtë në të cilin këndi C drejt, siç tregohet në foto. Le të vizatojmë një lartësi nga një pikë c, dhe telefononi H pika e kryqëzimit me një anë AB. U formua trekëndësh ACH si një trekëndësh abc, pasi që të dyja janë drejtkëndëshe (sipas përcaktimit të lartësisë) dhe ndajnë një kënd A, padyshim që këndi i tretë do të jetë i njëjtë edhe në këta trekëndësha. Në mënyrë të ngjashme mirkuyuyuchy, trekëndësh CBH gjithashtu i ngjashëm me trekëndëshin ABC. Nga ngjashmëria e trekëndëshave: Nëse

Kjo mund të shkruhet si

Nëse i shtojmë këto dy barazime, marrim

HB + c herë AH = c herë (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Me fjalë të tjera, teorema e Pitagorës:

Prova e Euklidit
Vërtetimi i Euklidit në "Parimet" Euklidiane, teorema e Pitagorës e vërtetuar me metodën e paralelogrameve. Le A, B, C kulmet e një trekëndëshi kënddrejtë, me kënd të drejtë A. Hidhni një pingul nga një pikë A në anën përballë hipotenuzës në një katror të ndërtuar mbi hipotenuzë. Vija e ndan katrorin në dy drejtkëndësha, secili prej të cilëve ka të njëjtën sipërfaqe si katrorët e ndërtuar në këmbë. Ideja kryesore në vërtetim është që katrorët e sipërm të kthehen në paralelogramë të së njëjtës zonë, dhe më pas të kthehen dhe të kthehen në drejtkëndësha në katrorin e poshtëm dhe përsëri me të njëjtën zonë.

Le të vizatojmë segmente CF dhe pas Krishtit, marrim trekëndësha BCF dhe BDA.
qoshet CAB dhe ÇANTË- drejt; pikë C, A dhe G janë kolineare. Njëjtën mënyrë B, A dhe H.
qoshet CBD dhe FBA- të dyja janë të drejta, pastaj këndi ABD e barabartë me këndin fbc, pasi që të dyja janë shuma e një këndi të drejtë dhe një këndi ABC.
Trekëndëshi ABD dhe FBC niveli në dy anët dhe këndi ndërmjet tyre.
Sepse pikat A, K dhe L- kolinear, sipërfaqja e drejtkëndëshit BDLK është e barabartë me dy zona të trekëndëshit ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Në mënyrë të ngjashme, ne marrim CKLE = ACIH = AC 2
Nga njëra anë zona CBDE e barabartë me shumën e sipërfaqeve të drejtkëndëshave BDLK dhe CKLE, nga ana tjetër, sipërfaqja e sheshit BC2, ose AB 2 + AC 2 = BC 2.

Përdorimi i diferencialeve
Përdorimi i diferencialeve. Teorema e Pitagorës mund të arrihet duke studiuar se si rritja e një ane ndikon në gjatësinë e hipotenuzës siç tregohet në figurën në të djathtë dhe duke zbatuar një llogaritje të vogël.
Si rezultat i rritjes së anës a, nga trekëndëshat e ngjashëm për rritje infiniteminale

Integrimi marrim

Nese nje a= 0 atëherë c = b, pra “konstantja” është b 2. Pastaj

Siç shihet, katrorët janë për shkak të proporcionit midis rritjeve dhe brinjëve, ndërsa shuma është rezultat i kontributit të pavarur të rritjeve të brinjëve, jo i dukshëm nga evidenca gjeometrike. Në këto ekuacione da dhe dc janë përkatësisht rritje infiniteminale të anëve a dhe c. Por në vend të tyre ne përdorim? a dhe? c, atëherë kufiri i raportit nëse priren në zero është da / dc, derivat, dhe është gjithashtu i barabartë me c / a, raporti i gjatësive të brinjëve të trekëndëshave, si rezultat fitojmë një ekuacion diferencial.
Në rastin e një sistemi ortogonal vektorësh, ndodh një barazi, e cila quhet edhe teorema e Pitagorës:

Nëse - Këto janë projeksionet e një vektori në boshtet e koordinatave, atëherë kjo formulë përkon me distancën Euklidiane dhe do të thotë se gjatësia e vektorit është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të përbërësve të tij.
Analogu i kësaj barazie në rastin e një sistemi të pafund vektorësh quhet barazia e Parsevalit.

Për një gjë mund të jeni njëqind për qind i sigurt, se kur pyetet se cili është katrori i hipotenuzës, çdo i rritur do të përgjigjet me guxim: "Shuma e katrorëve të këmbëve". Kjo teoremë është e ngulitur fort në mendjen e çdo personi të arsimuar, por mjafton vetëm të kërkosh dikë që ta vërtetojë dhe atëherë mund të shfaqen vështirësi. Prandaj, le të kujtojmë dhe shqyrtojmë mënyra të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës.

Pasqyrë e shkurtër e biografisë

Teorema e Pitagorës është e njohur për pothuajse të gjithë, por për disa arsye biografia e personit që e ka prodhuar atë nuk është aq e njohur. Do ta rregullojmë. Prandaj, përpara se të studioni mënyrat e ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, duhet të njiheni shkurtimisht me personalitetin e tij.

Pitagora - një filozof, matematikan, mendimtar, me origjinë nga Sot është shumë e vështirë të dallosh biografinë e tij nga legjendat që janë zhvilluar në kujtim të këtij njeriu të madh. Por siç del nga shkrimet e ndjekësve të tij, Pitagora e Samosit lindi në ishullin Samos. Babai i tij ishte një gurprerës i zakonshëm, por nëna e tij vinte nga një familje fisnike.

Sipas legjendës, lindja e Pitagorës u parashikua nga një grua e quajtur Pythia, për nder të së cilës djali u emërua. Sipas parashikimit të saj, një djalë i lindur do të sillte shumë përfitime dhe të mira për njerëzimin. Kjo është ajo që ai bëri në të vërtetë.

Lindja e një teoreme

Në rininë e tij, Pitagora u zhvendos në Egjipt për të takuar të urtët e famshëm egjiptianë atje. Pas takimit me ta, ai u pranua për të studiuar, ku mësoi të gjitha arritjet e mëdha të filozofisë, matematikës dhe mjekësisë egjiptiane.

Ndoshta, ishte në Egjipt që Pitagora u frymëzua nga madhështia dhe bukuria e piramidave dhe krijoi teorinë e tij të madhe. Kjo mund të tronditë lexuesit, por historianët modernë besojnë se Pitagora nuk e vërtetoi teorinë e tij. Por ai ua përcolli njohuritë e tij vetëm ndjekësve të tij, të cilët më vonë përfunduan të gjitha llogaritjet e nevojshme matematikore.

Sido që të jetë, sot nuk dihet një teknikë për vërtetimin e kësaj teoreme, por disa njëherësh. Sot ne vetëm mund të hamendësojmë se si saktësisht grekët e lashtë i bënë llogaritjet e tyre, kështu që këtu do të shqyrtojmë mënyra të ndryshme për të vërtetuar teoremën e Pitagorës.

Teorema e Pitagorës

Para se të filloni ndonjë llogaritje, duhet të kuptoni se cilën teori të provoni. Teorema e Pitagorës tingëllon kështu: "Në një trekëndësh në të cilin njëri prej këndeve është 90 o, shuma e katrorëve të këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës".

Ka 15 mënyra të ndryshme për të vërtetuar Teoremën e Pitagorës në total. Ky është një numër mjaft i madh, kështu që le t'i kushtojmë vëmendje më të njohurve prej tyre.

Metoda e parë

Le të përcaktojmë fillimisht se çfarë kemi. Këto të dhëna do të zbatohen gjithashtu për mënyra të tjera të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, kështu që duhet të mbani mend menjëherë të gjithë shënimin e disponueshëm.

Supozoni se është dhënë një trekëndësh kënddrejtë, me këmbët a, b dhe hipotenuzë të barabartë me c. Metoda e parë e vërtetimit bazohet në faktin se një katror duhet të nxirret nga një trekëndësh kënddrejtë.

Për ta bërë këtë, duhet të vizatoni një segment të barabartë me këmbën në gjatësinë e këmbës a, dhe anasjelltas. Pra, duhet të dalin dy anë të barabarta të sheshit. Mbetet vetëm për të nxjerrë dy vija paralele, dhe sheshi është gati.

Brenda figurës që rezulton, duhet të vizatoni një katror tjetër me një anë të barabartë me hipotenuzën e trekëndëshit origjinal. Për ta bërë këtë, nga kulmet ac dhe sv, duhet të vizatoni dy segmente paralele të barabarta me c. Kështu, marrim tre anët e katrorit, njëra prej të cilave është hipotenuza e trekëndëshit origjinal kënddrejtë. Mbetet vetëm për të nxjerrë segmentin e katërt.

Bazuar në figurën që rezulton, mund të konkludojmë se sipërfaqja e katrorit të jashtëm është (a + b) 2. Nëse shikoni brenda figurës, mund të shihni se përveç katrorit të brendshëm, ajo ka katër trekëndësha kënddrejtë. Sipërfaqja e secilit është 0.5 av.

Prandaj, zona është: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Prandaj (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Dhe, prandaj, me 2 \u003d një 2 + në 2

Teorema është vërtetuar.

Metoda e dytë: trekëndësha të ngjashëm

Kjo formulë për vërtetimin e teoremës së Pitagorës është nxjerrë në bazë të një deklarate nga seksioni i gjeometrisë për trekëndësha të ngjashëm. Ai thotë se kema e një trekëndëshi kënddrejtë është mesatarja proporcionale me hipotenuzën e tij dhe segmentin e hipotenuzës që buron nga kulmi i një këndi 90 o.

Të dhënat fillestare mbeten të njëjta, kështu që le të fillojmë menjëherë me provat. Le të vizatojmë një segment CD pingul me anën AB. Bazuar në deklaratën e mësipërme, këmbët e trekëndëshave janë të barabarta:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të vërtetohet teorema e Pitagorës, prova duhet të bëhet duke i vendosur në katror të dy pabarazitë.

AC 2 \u003d AB * HELL dhe SV 2 \u003d AB * DV

Tani duhet të shtojmë pabarazitë që rezultojnë.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), ku AD + DV \u003d AB

Rezulton se:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Dhe për këtë arsye:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Vërtetimi i teoremës së Pitagorës dhe mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së saj kërkojnë një qasje të gjithanshme ndaj këtij problemi. Sidoqoftë, ky opsion është një nga më të thjeshtët.

Një metodë tjetër llogaritjeje

Përshkrimi i mënyrave të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës mund të mos thotë asgjë, derisa të filloni të praktikoni vetë. Shumë metoda përfshijnë jo vetëm llogaritjet matematikore, por edhe ndërtimin e figurave të reja nga trekëndëshi origjinal.

Në këtë rast, është e nevojshme të plotësoni një tjetër trekëndësh me kënd të drejtë VSD nga këmbët e avionit. Kështu, tani ka dy trekëndësha me një këmbë të përbashkët BC.

Duke ditur që sipërfaqet e figurave të ngjashme kanë një raport si katrorët e dimensioneve të tyre të ngjashme lineare, atëherë:

S avs * s 2 - S avd * në 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (nga 2 në 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

nga 2 në 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + në 2

Meqenëse ky opsion nuk është i përshtatshëm nga metoda të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës për klasën 8, mund të përdorni teknikën e mëposhtme.

Mënyra më e lehtë për të vërtetuar teoremën e Pitagorës. Vlerësime

Historianët besojnë se kjo metodë u përdor për herë të parë për të vërtetuar një teoremë në Greqinë e lashtë. Është më e thjeshta, pasi nuk kërkon absolutisht asnjë llogaritje. Nëse vizatoni saktë një figurë, atëherë prova e deklaratës se a 2 + b 2 \u003d c 2 do të jetë qartë e dukshme.

Kushtet për këtë metodë do të jenë paksa të ndryshme nga ajo e mëparshme. Për të vërtetuar teoremën, supozojmë se trekëndëshi kënddrejtë ABC është dykëndësh.

Marrim hipotenuzën AC si brinjë të katrorit dhe vizatojmë tri brinjët e tij. Përveç kësaj, është e nevojshme të vizatoni dy vija diagonale në sheshin që rezulton. Kështu që brenda saj të merrni katër trekëndësha dykëndësh.

Tek këmbët AB dhe CB, gjithashtu duhet të vizatoni një katror dhe të vizatoni një vijë diagonale në secilën prej tyre. Ne tërheqim vijën e parë nga kulmi A, i dyti - nga C.

Tani ju duhet të shikoni me kujdes foton që rezulton. Meqenëse ka katër trekëndësha në hipotenuzën AC, të barabartë me atë origjinal, dhe dy në këmbë, kjo tregon vërtetësinë e kësaj teoreme.

Nga rruga, falë kësaj metode të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, lindi fraza e famshme: "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet".

Dëshmi nga J. Garfield

James Garfield është Presidenti i 20-të i Shteteve të Bashkuara të Amerikës. Përveçse la gjurmë në histori si sundimtar i Shteteve të Bashkuara, ai ishte edhe një autodidakt i talentuar.

Në fillim të karrierës së tij, ai ishte mësues i zakonshëm në një shkollë popullore, por shpejt u bë drejtor i një prej institucioneve të arsimit të lartë. Dëshira për vetë-zhvillim dhe e lejoi atë të ofronte një teori të re të vërtetimit të teoremës së Pitagorës. Teorema dhe një shembull i zgjidhjes së saj janë si më poshtë.

Së pari ju duhet të vizatoni dy trekëndësha kënddrejtë në një copë letre në mënyrë që këmba e njërit prej tyre të jetë vazhdim i së dytës. Kulmet e këtyre trekëndëshave duhet të lidhen për të përfunduar me një trapez.

Siç e dini, sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë së tij.

S=a+b/2 * (a+b)

Nëse e konsiderojmë trapezin që rezulton si një figurë e përbërë nga tre trekëndësha, atëherë zona e tij mund të gjendet si më poshtë:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Tani duhet të barazojmë dy shprehjet origjinale

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + në 2

Më shumë se një vëllim i një libri shkollor mund të shkruhet për teoremën e Pitagorës dhe si ta vërtetojmë atë. Por a ka kuptim kur kjo njohuri nuk mund të vihet në praktikë?

Zbatimi praktik i teoremës së Pitagorës

Fatkeqësisht, kurrikula moderne shkollore parashikon përdorimin e kësaj teoreme vetëm në problemet gjeometrike. Maturantët së shpejti do të largohen nga muret e shkollës pa e ditur se si mund t'i zbatojnë njohuritë dhe aftësitë e tyre në praktikë.

Në fakt, të gjithë mund të përdorin teoremën e Pitagorës në jetën e tyre të përditshme. Dhe jo vetëm në aktivitetet profesionale, por edhe në punët e zakonshme të shtëpisë. Le të shqyrtojmë disa raste kur teorema e Pitagorës dhe metodat e vërtetimit të saj mund të jenë jashtëzakonisht të nevojshme.

Lidhja e teoremës dhe astronomisë

Duket se si yjet dhe trekëndëshat mund të lidhen në letër. Në fakt, astronomia është një fushë shkencore në të cilën përdoret gjerësisht teorema e Pitagorës.

Për shembull, merrni parasysh lëvizjen e një rreze drite në hapësirë. Ne e dimë se drita udhëton në të dy drejtimet me të njëjtën shpejtësi. Trajektoren e quajmë AB përgjatë së cilës lëviz rrezja e dritës l. Dhe gjysma e kohës që i duhet dritës për të kaluar nga pika A në pikën B, le ta thërrasim t. Dhe shpejtësia e rrezes - c. Rezulton se: c*t=l

Nëse shikoni të njëjtën rreze nga një aeroplan tjetër, për shembull, nga një rreshtim hapësinor që lëviz me një shpejtësi v, atëherë me një vëzhgim të tillë të trupave, shpejtësia e tyre do të ndryshojë. Në këtë rast, edhe elementët e palëvizshëm do të lëvizin me një shpejtësi v në drejtim të kundërt.

Le të themi se linja e linjës komike po lundron djathtas. Pastaj pikat A dhe B, midis të cilave rrezja nxiton, do të lëvizin në të majtë. Për më tepër, kur rrezja lëviz nga pika A në pikën B, pika A ka kohë për të lëvizur dhe, në përputhje me rrethanat, drita tashmë do të arrijë në një pikë të re C. Për të gjetur gjysmën e distancës që pika A ka zhvendosur, duhet të shumëzoni shpejtësia e linjës me gjysmën e kohës së udhëtimit të rrezes (t ").

Dhe për të gjetur se sa larg mund të udhëtojë një rreze drite gjatë kësaj kohe, duhet të caktoni gjysmën e rrugës së ahut të ri dhe të merrni shprehjen e mëposhtme:

Nëse imagjinojmë se pikat e dritës C dhe B, si dhe rreshtimi hapësinor, janë kulmet e një trekëndëshi dykëndësh, atëherë segmenti nga pika A në rreshtim do ta ndajë atë në dy trekëndësha kënddrejtë. Prandaj, falë teoremës së Pitagorës, ju mund të gjeni distancën që mund të përshkojë një rreze drite.

Ky shembull, natyrisht, nuk është më i suksesshmi, pasi vetëm disa mund të kenë fatin ta provojnë në praktikë. Prandaj, ne konsiderojmë aplikime më të zakonshme të kësaj teoreme.

Gama e transmetimit të sinjalit celular

Jeta moderne nuk mund të imagjinohet më pa ekzistencën e telefonave inteligjentë. Por sa do të ishin të dobishme nëse nuk mund të lidhnin abonentët përmes komunikimeve celulare?!

Cilësia e komunikimeve celulare varet drejtpërdrejt nga lartësia në të cilën ndodhet antena e operatorit celular. Për të llogaritur se sa larg nga një kullë celulare mund të marrë një sinjal një telefon, mund të aplikoni teoremën e Pitagorës.

Le të themi se ju duhet të gjeni lartësinë e përafërt të një kulle të palëvizshme në mënyrë që ajo të mund të përhapë një sinjal brenda një rrezeje prej 200 kilometrash.

AB (lartësia e kullës) = x;

BC (rrezja e transmetimit të sinjalit) = 200 km;

OS (rrezja e globit) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Duke zbatuar teoremën e Pitagorës, zbulojmë se lartësia minimale e kullës duhet të jetë 2.3 kilometra.

Teorema e Pitagorës në jetën e përditshme

Mjaft e çuditshme, teorema e Pitagorës mund të jetë e dobishme edhe në çështjet e përditshme, të tilla si përcaktimi i lartësisë së një dollapi, për shembull. Në shikim të parë, nuk ka nevojë të përdorni llogaritje të tilla komplekse, sepse thjesht mund të bëni matje me një masë shirit. Por shumë janë të habitur pse lindin disa probleme gjatë procesit të montimit nëse të gjitha matjet janë marrë më shumë se saktë.

Fakti është se gardëroba është mbledhur në një pozicion horizontal dhe vetëm atëherë ngrihet dhe është instaluar kundër murit. Prandaj, muri anësor i kabinetit në procesin e ngritjes së strukturës duhet të kalojë lirshëm si përgjatë lartësisë ashtu edhe diagonalisht të dhomës.

Supozoni se ka një gardërobë me një thellësi prej 800 mm. Distanca nga dyshemeja në tavan - 2600 mm. Një prodhues me përvojë mobiljesh do të thotë se lartësia e kabinetit duhet të jetë 126 mm më pak se lartësia e dhomës. Por pse pikërisht 126 mm? Le të shohim një shembull.

Me dimensionet ideale të kabinetit, le të kontrollojmë funksionimin e teoremës së Pitagorës:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - gjithçka konvergon.

Le të themi se lartësia e kabinetit nuk është 2474 mm, por 2505 mm. Pastaj:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Prandaj, ky kabinet nuk është i përshtatshëm për instalim në këtë dhomë. Meqenëse gjatë ngritjes së tij në pozicion vertikal mund të shkaktohet dëmtim i trupit të tij.

Ndoshta, duke shqyrtuar mënyra të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës nga shkencëtarë të ndryshëm, mund të konkludojmë se ajo është më se e vërtetë. Tani mund të përdorni informacionin e marrë në jetën tuaj të përditshme dhe të jeni plotësisht të sigurt se të gjitha llogaritjet do të jenë jo vetëm të dobishme, por edhe të sakta.

Çdo nxënës e di se katrori i hipotenuzës është gjithmonë i barabartë me shumën e këmbëve, secila prej të cilave është në katror. Ky pohim quhet teorema e Pitagorës. Është një nga teoremat më të famshme në trigonometri dhe matematikë në përgjithësi. Le ta shqyrtojmë më në detaje.

Koncepti i një trekëndëshi kënddrejtë

Para se të vazhdojmë me shqyrtimin e teoremës së Pitagorës, në të cilën katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve që janë në katror, ​​duhet të shqyrtojmë konceptin dhe vetitë e një trekëndëshi kënddrejtë, për të cilin teorema është e vlefshme.

Një trekëndësh është një figurë e sheshtë me tre kënde dhe tre brinjë. Një trekëndësh kënddrejtë, siç nënkupton edhe emri i tij, ka një kënd të drejtë, domethënë ky kënd është 90 o.

Nga vetitë e përgjithshme për të gjithë trekëndëshat, dihet se shuma e të tre këndeve të kësaj figure është 180 o, që do të thotë se për një trekëndësh kënddrejtë, shuma e dy këndeve që nuk janë të drejtë është 180 o - 90 o = 90. o. Fakti i fundit do të thotë se çdo kënd në një trekëndësh kënddrejtë që nuk është kënd i drejtë do të jetë gjithmonë më i vogël se 90o.

Ana përballë këndit të drejtë quhet hipotenuzë. Dy anët e tjera janë këmbët e trekëndëshit, ato mund të jenë të barabarta me njëra-tjetrën ose mund të ndryshojnë. Nga trigonometria dihet se sa më i madh të jetë këndi kundrejt të cilit shtrihet një anë në një trekëndësh, aq më e madhe është gjatësia e kësaj brinjë. Kjo do të thotë se në një trekëndësh kënddrejtë, hipotenuza (shtrirë përballë këndit 90 o) do të jetë gjithmonë më e madhe se çdo këmbë (shtrirë përballë këndeve< 90 o).

Shënimi matematik i teoremës së Pitagorës

Kjo teoremë thotë se katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve, secila prej të cilave është në katror më parë. Për ta shkruar këtë formulim në mënyrë matematikore, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë në të cilin brinjët a, b dhe c janë përkatësisht dy këmbët dhe hipotenuza. Në këtë rast, teorema, e cila formulohet si katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve, mund të përfaqësohet me formulën e mëposhtme: c 2 \u003d a 2 + b 2. Prej këtu mund të merren formula të tjera të rëndësishme për praktikë: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) dhe c \u003d √ (a 2 + b 2).

Vini re se në rastin e një trekëndëshi barabrinjës kënddrejtë, domethënë a \u003d b, formulimi: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e këmbëve, secila prej të cilave është në katror, ​​e shkruar matematikisht si më poshtë: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, nga i cili rrjedh barazia: c = a√2.

Referenca e historisë

Teorema e Pitagorës, e cila thotë se shuma e këmbëve, secila prej të cilave është në katror, ​​është e barabartë me katrorin e hipotenuzës, ishte e njohur shumë kohë përpara se filozofi i famshëm grek të tërhiqte vëmendjen ndaj saj. Shumë papiruse të Egjiptit të lashtë, si dhe pllaka balte të babilonasve, konfirmojnë se këta popuj përdorën vetinë e shënuar të anëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Për shembull, një nga piramidat e para egjiptiane, Piramida e Khafre, ndërtimi i së cilës daton në shekullin e 26 para Krishtit (2000 vjet para jetës së Pitagorës), u ndërtua bazuar në njohuritë e raportit të pamjes në një trekëndësh kënddrejtë 3x4x5.

Pse, atëherë, teorema tani mban emrin e një greku? Përgjigja është e thjeshtë: Pitagora është i pari që vërtetoi matematikisht këtë teoremë. Burimet e shkruara babilonase dhe egjiptiane të mbijetuara flasin vetëm për përdorimin e tij, por nuk japin asnjë provë matematikore.

Besohet se Pitagora vërtetoi teoremën në shqyrtim duke përdorur vetitë e trekëndëshave të ngjashëm, të cilat ai i përftoi duke tërhequr një lartësi në një trekëndësh kënddrejtë nga një kënd prej 90 o në hipotenuzë.

Një shembull i përdorimit të teoremës së Pitagorës

Konsideroni një problem të thjeshtë: është e nevojshme të përcaktohet gjatësia e një shkalle të pjerrët L, nëse dihet se ajo ka një lartësi H = 3 metra, dhe distanca nga muri kundër të cilit mbështetet shkalla në këmbën e saj është P = 2,5 metra.

Në këtë rast, H dhe P janë këmbët, dhe L është hipotenuza. Meqenëse gjatësia e hipotenuzës është e barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve, marrim: L 2 \u003d H 2 + P 2, prej nga L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2,5 2) \u003d 3,905 metra ose 3 m dhe 90, 5 cm

Gjeometria nuk është një shkencë e lehtë. Mund të jetë i dobishëm si për kurrikulën shkollore ashtu edhe në jetën reale. Njohja e shumë formulave dhe teoremave do të thjeshtojë llogaritjet gjeometrike. Një nga format më të thjeshta në gjeometri është trekëndëshi. Një nga varietetet e trekëndëshave, barabrinjës, ka karakteristikat e veta.

Veçoritë e një trekëndëshi barabrinjës

Sipas përkufizimit, një trekëndësh është një shumëkëndësh që ka tre kënde dhe tre brinjë. Kjo është një figurë e sheshtë dy-dimensionale, vetitë e saj studiohen në shkollë të mesme. Sipas llojit të këndit dallohen trekëndëshat me kënd të mprehtë, kënddrejtë dhe kënddrejtë. Një trekëndësh kënddrejtë është një figurë gjeometrike ku njëri prej këndeve është 90º. Një trekëndësh i tillë ka dy këmbë (ata krijojnë një kënd të drejtë) dhe një hipotenuzë (është përballë këndit të duhur). Në varësi të sasive të njohura, ekzistojnë tre mënyra të thjeshta për të llogaritur hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë.

Mënyra e parë është gjetja e hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë. Teorema e Pitagorës

Teorema e Pitagorës është mënyra më e vjetër për të llogaritur secilën nga brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë. Tingëllon kështu: "Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve." Kështu, për të llogaritur hipotenuzën, duhet të nxirret rrënja katrore e shumës së dy këmbëve në katror. Për qartësi, janë dhënë formula dhe një diagram.

Mënyra e dytë. Llogaritja e hipotenuzës duke përdorur 2 vlera të njohura: këmbën dhe këndin ngjitur

Një nga vetitë e një trekëndëshi kënddrejtë thotë se raporti i gjatësisë së këmbës me gjatësinë e hipotenuzës është i barabartë me kosinusin e këndit midis kësaj kembe dhe hipotenuzës. Le ta quajmë këndin e njohur për ne α. Tani, falë përkufizimit të mirënjohur, ne mund të formulojmë lehtësisht një formulë për llogaritjen e hipotenuzës: Hipotenuzë = këmbë/cos(α)

Mënyra e tretë. Llogaritja e hipotenuzës duke përdorur 2 vlera të njohura: këmbën dhe këndin e kundërt

Nëse dihet këndi i kundërt, është e mundur të përdoren përsëri vetitë e një trekëndëshi kënddrejtë. Raporti i gjatësisë së këmbës dhe hipotenuzës është i barabartë me sinusin e këndit të kundërt. Le ta quajmë sërish këndin e njohur α. Tani për llogaritjet ne aplikojmë një formulë paksa të ndryshme:
Hipotenuzë = këmbë/mëkat (α)

Shembuj për t'ju ndihmuar të kuptoni formulat

Për një kuptim më të thellë të secilës prej formulave, duhet të merrni parasysh shembuj ilustrues. Pra, supozoni se jepet një trekëndësh kënddrejtë, ku ka të dhëna të tilla:

• Këmba - 8 cm.
• Këndi fqinj cosα1 është 0,8.
• Këndi i kundërt sina2 është 0,8.

Sipas teoremës së Pitagorës: Hipotenuza \u003d rrënja katrore prej (36 + 64) \u003d 10 cm.
Sipas madhësisë së këmbës dhe këndit të përfshirë: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Për nga madhësia e këmbës dhe këndi i kundërt: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

Pasi të keni kuptuar formulën, lehtë mund të llogarisni hipotenuzën me çdo të dhënë.

Video: Teorema e Pitagorës