Çfarë do të thotë progresion aritmetik. Formula e anëtarit të n-të të një progresion aritmetik
Llogaritësi online.
Zgjidhja e progresionit aritmetik.
Jepet: a n , d, n
Gjeni: a 1
Ky program matematikor gjen \(a_1\) të një progresion aritmetik bazuar në numrat e specifikuar nga përdoruesi \(a_n, d \) dhe \(n \).
Numrat \(a_n\) dhe \(d \) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa. Për më tepër, një numër thyesor mund të futet si thyesë dhjetore (\(2.5 \)) dhe si një fraksion i zakonshëm (\(-5\frac(2)(7) \)).
Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e gjetjes së një zgjidhjeje.
Ky kalkulator në internet mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju që të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me një zgjidhje të detajuar.
Në këtë mënyrë ju mund të zhvilloni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e detyrave që do të zgjidhen.
Nëse nuk jeni njohur me rregullat për futjen e numrave, ju rekomandojmë që të njiheni me to.
Rregullat për futjen e numrave
Numrat \(a_n\) dhe \(d \) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa.
Numri \(n\) mund të jetë vetëm një numër i plotë pozitiv.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Pjesët e plota dhe thyesore në thyesat dhjetore mund të ndahen ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni numra dhjetorë si 2.5 ose si 2.5
Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.
Emëruesi nuk mund të jetë negativ.
Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
Hyrja:
Rezultati: \(-\frac(2)(3) \)
Pjesa e plotë ndahet nga thyesa me një ampersand: &
Hyrja:
Rezultati: \(-1\frac(2)(3) \)
U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë detyrë nuk ishin ngarkuar dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.
JavaScript duhet të aktivizohet që zgjidhja të shfaqet.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.
Sepse Ka shumë njerëz që duan të zgjidhin problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Pas disa sekondash, zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Prisni ju lutem sekondë...
nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për të në formularin e komenteve.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.
Lojërat tona, enigmat, emulatorët:
Pak teori.
Sekuenca numerike
Në praktikën e përditshme, numërimi i objekteve të ndryshme shpesh përdoret për të treguar rendin në të cilin ndodhen. Për shembull, shtëpitë në secilën rrugë janë të numëruara. Në bibliotekë, abonimet e lexuesve numërohen dhe më pas renditen sipas renditjes së numrave të caktuar në kabinete të posaçme dosjesh.
Në një bankë kursimi, me numrin e llogarisë personale të depozituesit, mund ta gjeni lehtësisht këtë llogari dhe të shihni se çfarë lloj depozite ka. Le të ketë një depozitë prej a1 rubla në llogarinë nr. 1, një depozitë prej a2 rubla në llogarinë nr. 2, etj. Rezulton sekuencë numerike
a 1, a 2, a 3, ..., një N
ku N është numri i të gjitha llogarive. Këtu, çdo numri natyror n nga 1 në N i caktohet një numër a n.
Edhe matematika studion sekuenca me numra të pafund:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numri a 1 quhet anëtari i parë i sekuencës, numri a 2 - anëtari i dytë i sekuencës, numri a 3 - anëtari i tretë i sekuencës etj.
Numri a n quhet anëtari i n-të (n-të) i sekuencës, dhe numri natyror n është i tij numri.
Për shembull, në sekuencën e katrorëve të numrave natyrorë 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... dhe 1 = 1 është anëtari i parë i vargut; dhe n = n 2 është anëtari i n-të i sekuencës; a n+1 = (n + 1) 2 është anëtari (n + 1) i (en plus i pari) i sekuencës. Shpesh një sekuencë mund të specifikohet me formulën e termit të saj të n-të. Për shembull, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) jep sekuencën \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pika,\frac(1)(n) , \pika \)
Progresioni aritmetik
Kohëzgjatja e një viti është afërsisht 365 ditë. Një vlerë më e saktë është \(365\frac(1)(4) \) ditë, kështu që çdo katër vjet grumbullohet një gabim prej një dite.
Për të llogaritur këtë gabim, çdo vit të katërt i shtohet një ditë dhe viti i zgjatur quhet vit i brishtë.
Për shembull, në mijëvjeçarin e tretë, vitet e brishtë janë 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Në këtë sekuencë, çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar me të njëjtin numër 4. Sekuenca të tilla quhen progresionet aritmetike.
Përkufizimi.
Sekuenca numerike a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... quhet progresion aritmetik, nëse për të gjithë n barazinë natyrore
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ku d është një numër.
Nga kjo formulë rezulton se a n+1 - a n = d. Numri d quhet diferencë progresion aritmetik.
Nga përkufizimi i një progresion aritmetik, ne kemi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \katër a_(n-1)=a_n-d, \)
ku
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ku \(n>1 \)
Kështu, çdo anëtar i progresionit aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy anëtarëve ngjitur me të. Kjo shpjegon emrin e progresionit "aritmetik".
Vini re se nëse jepen 1 dhe d, atëherë termat e mbetur të progresionit aritmetik mund të llogariten duke përdorur formulën rekursive a n+1 = a n + d. Në këtë mënyrë, nuk është e vështirë të llogariten termat e parë të progresionit, megjithatë, për shembull, për një 100, tashmë do të kërkohen shumë llogaritje. Zakonisht, formula e termit të n-të përdoret për këtë. Sipas përkufizimit të një progresion aritmetik
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etj.
Në përgjithësi,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
meqenëse anëtari i n-të i një progresion aritmetik fitohet nga anëtari i parë duke shtuar (n-1) herë numrin d.
Kjo formulë quhet formula e anëtarit të n-të të një progresion aritmetik.
Shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik
Le të gjejmë shumën e të gjithë numrave natyrorë nga 1 në 100.
Ne e shkruajmë këtë shumë në dy mënyra:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Ne i shtojmë këto barazi term pas termi:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ka 100 terma në këtë shumë.
Prandaj, 2S = 101 * 100, prej nga S = 101 * 50 = 5050.
Konsideroni tani një progresion arbitrar aritmetik
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Le të jetë S n shuma e n termave të parë të këtij progresioni:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Pastaj shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik është
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Meqenëse \(a_n=a_1+(n-1)d \), atëherë duke zëvendësuar një n në këtë formulë, marrim një formulë tjetër për të gjetur shumat e n termave të parë të një progresion aritmetik:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Ose aritmetike - ky është një lloj sekuence numerike e renditur, vetitë e së cilës studiohen në kursin shkollor të algjebrës. Ky artikull diskuton në detaje pyetjen se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik.
Cili është ky progresion?
Para se të vazhdoni me shqyrtimin e pyetjes (si të gjeni shumën e një progresion aritmetik), ia vlen të kuptoni se çfarë do të diskutohet.
Çdo sekuencë e numrave realë që fitohet duke shtuar (zbritur) ndonjë vlerë nga çdo numër i mëparshëm quhet progresion algjebrik (aritmetik). Ky përkufizim, i përkthyer në gjuhën e matematikës, merr formën:
Këtu i është numri rendor i elementit të serisë a i. Kështu, duke ditur vetëm një numër fillestar, mund ta rivendosni lehtësisht të gjithë serinë. Parametri d në formulë quhet ndryshim i progresionit.
Mund të tregohet lehtësisht se barazia e mëposhtme vlen për serinë e numrave në shqyrtim:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Kjo do të thotë, për të gjetur vlerën e elementit të n-të me radhë, shtoni ndryshimin d në elementin e parë a 1 n-1 herë.
Sa është shuma e një progresion aritmetik: formula
Para se të jepni formulën për shumën e treguar, ia vlen të merret parasysh një rast i thjeshtë i veçantë. Duke pasur parasysh një progresion të numrave natyrorë nga 1 në 10, ju duhet të gjeni shumën e tyre. Meqenëse ka pak terma në progresion (10), është e mundur të zgjidhet problemi kokë më kokë, domethënë të mblidhen të gjithë elementët në rend.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Vlen të merret në konsideratë një gjë interesante: meqenëse çdo term ndryshon nga tjetri me të njëjtën vlerë d \u003d 1, atëherë përmbledhja në çift e të parit me të dhjetën, të dytën me të nëntën, e kështu me radhë do të japë të njëjtin rezultat . Vërtet:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Siç mund ta shihni, ka vetëm 5 nga këto shuma, domethënë saktësisht dy herë më pak se numri i elementeve në seri. Më pas duke shumëzuar numrin e shumave (5) me rezultatin e secilës shumë (11), do të vini në rezultatin e marrë në shembullin e parë.
Nëse i përgjithësojmë këto argumente, mund të shkruajmë shprehjen e mëposhtme:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Kjo shprehje tregon se nuk është e nevojshme të mblidhen të gjithë elementët në një rresht, mjafton të dihet vlera e të parit a 1 dhe të fundit a n, si dhe numri i përgjithshëm i termave n.
Besohet se Gauss-i mendoi për herë të parë për këtë barazi kur ai po kërkonte një zgjidhje për problemin e vendosur nga mësuesi i tij i shkollës: të përmbledhë 100 numrat e parë të plotë.
Shuma e elementeve nga m në n: formula
Formula e dhënë në paragrafin e mëparshëm i përgjigjet pyetjes se si të gjendet shuma e një progresion aritmetik (të elementëve të parë), por shpesh në detyra është e nevojshme të përmblidhet një seri numrash në mes të progresionit. Si ta bëjmë atë?
Mënyra më e lehtë për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje është duke shqyrtuar shembullin e mëposhtëm: le të jetë e nevojshme të gjendet shuma e termave nga mth në n-të. Për të zgjidhur problemin, një segment i caktuar nga m në n i progresionit duhet të përfaqësohet si një seri e re numrash. Në këtë paraqitje, termi m-të a m do të jetë i pari dhe a n do të numërohet n-(m-1). Në këtë rast, duke zbatuar formulën standarde për shumën, do të merret shprehja e mëposhtme:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Shembull i përdorimit të formulave
Duke ditur se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik, ia vlen të merret parasysh një shembull i thjeshtë i përdorimit të formulave të mësipërme.
Më poshtë është një sekuencë numerike, duhet të gjeni shumën e anëtarëve të saj, duke filluar nga e 5-ta dhe duke përfunduar me të 12-tën:
Numrat e dhënë tregojnë se ndryshimi d është i barabartë me 3. Duke përdorur shprehjen për elementin e n-të, mund të gjeni vlerat e termave të 5-të dhe të 12-të të progresionit. Rezulton:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Duke ditur vlerat e numrave në skajet e progresionit algjebrik të konsideruar, dhe gjithashtu duke ditur se cilat numra në serinë zënë, mund të përdorni formulën për shumën e marrë në paragrafin e mëparshëm. Marr:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Vlen të përmendet se kjo vlerë mund të merret ndryshe: së pari, gjeni shumën e 12 elementëve të parë duke përdorur formulën standarde, më pas llogaritni shumën e 4 elementëve të parë duke përdorur të njëjtën formulë dhe më pas zbrisni të dytin nga shuma e parë. .
Për shembull, sekuenca \(2\); \(5\); \(tetë\); \(njëmbëdhjetë\); \(14\)… është një progresion aritmetik, sepse çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me tre (mund të merret nga ai i mëparshmi duke shtuar tre):
Në këtë progresion, diferenca \(d\) është pozitive (e barabartë me \(3\)), dhe për këtë arsye çdo term tjetër është më i madh se ai i mëparshmi. Përparime të tilla quhen në rritje.
Megjithatë, \(d\) mund të jetë gjithashtu një numër negativ. Për shembull, në progresion aritmetik \(16\); \(dhjetë\); \(katër\); \(-2\); \(-8\)… ndryshimi i progresionit \(d\) është i barabartë me minus gjashtë.
Dhe në këtë rast, çdo element tjetër do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Këto përparime quhen në rënie.
Shënimi aritmetik i progresionit
Përparimi shënohet me një shkronjë të vogël latine.
Numrat që formojnë një progresion quhen ai anëtarët(ose elemente).
Ato shënohen me të njëjtën shkronjë si progresioni aritmetik, por me një indeks numerik të barabartë me numrin e elementit sipas radhës.
Për shembull, progresioni aritmetik \(a_n = \majtas\( 2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\) përbëhet nga elementet \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dhe kështu me radhë.
Me fjalë të tjera, për progresionin \(a_n = \majtas\(2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\)
Zgjidhja e problemeve në një progresion aritmetik
Në parim, informacioni i mësipërm është tashmë i mjaftueshëm për të zgjidhur pothuajse çdo problem në një progresion aritmetik (përfshirë ato të ofruara në OGE).
Shembull (OGE).
Progresioni aritmetik jepet nga kushtet \(b_1=7; d=4\). Gjeni \(b_5\).
Zgjidhja:
Përgjigje: \(b_5=23\)
Shembull (OGE).
Janë dhënë tre termat e parë të një progresioni aritmetik: \(62; 49; 36…\) Gjeni vlerën e termit të parë negativ të këtij progresioni..
Zgjidhja:
|
Na janë dhënë elementët e parë të sekuencës dhe e dimë se është një progresion aritmetik. Kjo do të thotë, çdo element ndryshon nga ai fqinj me të njëjtin numër. Zbuloni se cilin duke zbritur atë të mëparshëm nga elementi tjetër: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Tani mund të rivendosim përparimin tonë në elementin e dëshiruar (të parë negativ). |
|
|
Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje. |
Përgjigje: \(-3\)
Shembull (OGE).
Janë dhënë disa elemente të njëpasnjëshme të një progresion aritmetik: \(...5; x; 10; 12.5...\) Gjeni vlerën e elementit të shënuar me shkronjën \(x\).
Zgjidhja:
|
|
Për të gjetur \(x\), duhet të dimë se sa ndryshon elementi tjetër nga ai i mëparshmi, me fjalë të tjera, ndryshimi i progresionit. Le ta gjejmë atë nga dy elementë fqinjë të njohur: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Dhe tani gjejmë atë që kërkojmë pa asnjë problem: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Gati. Ju mund të shkruani një përgjigje. |
Përgjigje: \(7,5\).
Shembull (OGE).
Progresioni aritmetik jepet nga kushtet e mëposhtme: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Gjeni shumën e gjashtë anëtarëve të parë të këtij progresioni.
Zgjidhja:
|
Duhet të gjejmë shumën e gjashtë termave të parë të progresionit. Por ne nuk i dimë kuptimet e tyre, na jepet vetëm elementi i parë. Prandaj, ne fillimisht llogarisim vlerat me radhë, duke përdorur atë që na është dhënë: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Shuma e kërkuar është gjetur. |
Përgjigje: \(S_6=9\).
Shembull (OGE).
Në progresion aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Gjeni ndryshimin e këtij përparimi.
Zgjidhja:
Përgjigje: \(d=7\).
Formula të rëndësishme të progresionit aritmetik
Siç mund ta shihni, shumë probleme të progresionit aritmetik mund të zgjidhen thjesht duke kuptuar gjënë kryesore - që një progresion aritmetik është një zinxhir numrash, dhe çdo element tjetër në këtë zinxhir merret duke shtuar të njëjtin numër me atë të mëparshëm (ndryshimi e progresionit).
Megjithatë, ndonjëherë ka situata kur është shumë e papërshtatshme për të zgjidhur "në ballë". Për shembull, imagjinoni që në shembullin e parë, nuk duhet të gjejmë elementin e pestë \(b_5\), por treqind e tetëdhjetë e gjashtën \(b_(386)\). Çfarë është ajo, ne \ (385 \) herë për të shtuar katër? Ose imagjinoni që në shembullin e parafundit, duhet të gjeni shumën e shtatëdhjetë e tre elementëve të parë. Numërimi është konfuz...
Prandaj, në raste të tilla, ata nuk zgjidhin "në ballë", por përdorin formula të veçanta të nxjerra për progresion aritmetik. Dhe kryesoret janë formula për termin e n-të të progresionit dhe formula për shumën \(n\) të termave të parë.
Formula për anëtarin \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ku \(a_1\) është anëtari i parë i progresionit;
\(n\) – numri i elementit të kërkuar;
\(a_n\) është një anëtar i progresionit me numrin \(n\).
Kjo formulë na lejon të gjejmë shpejt të paktën elementin e treqindtë, madje edhe të miliontë, duke ditur vetëm ndryshimin e parë dhe të progresionit.
Shembull.
Progresioni aritmetik jepet nga kushtet: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Gjeni \(b_(246)\).
Zgjidhja:
Përgjigje: \(b_(246)=1850\).
Formula për shumën e n termave të parë është: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ku
\(a_n\) është termi i fundit i përmbledhur;
Shembull (OGE).
Progresioni aritmetik jepet nga kushtet \(a_n=3.4n-0.6\). Gjeni shumën e termave të parë \(25\) të këtij progresioni.
Zgjidhja:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Për të llogaritur shumën e njëzet e pesë elementëve të parë, duhet të dimë vlerën e termit të parë dhe të njëzetepestë. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Tani le të gjejmë termin e njëzet e pestë duke zëvendësuar njëzet e pesë në vend të \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Epo, tani ne llogarisim shumën e kërkuar pa asnjë problem. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Përgjigja është gati. |
Përgjigje: \(S_(25)=1090\).
Për shumën \(n\) të termave të parë, mund të merrni një formulë tjetër: thjesht duhet të \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) në vend të \(a_n\) zëvendëso formulën për të \(a_n=a_1+(n-1)d\). Ne marrim:
Formula për shumën e n termave të parë është: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ku
\(S_n\) – shuma e kërkuar \(n\) e elementeve të parë;
\(a_1\) është termi i parë që përmblidhet;
\(d\) – ndryshimi i progresionit;
\(n\) - numri i elementeve në shumë.
Shembull.
Gjeni shumën e termave të parë \(33\)-ex të progresionit aritmetik: \(17\); \(15,5\); \(katërmbëdhjetë\)…
Zgjidhja:
Përgjigje: \(S_(33)=-231\).
Probleme më komplekse të progresionit aritmetik
Tani keni të gjithë informacionin që ju nevojitet për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik. Le ta përfundojmë temën duke shqyrtuar problemet në të cilat duhet jo vetëm të aplikoni formula, por edhe të mendoni pak (në matematikë, kjo mund të jetë e dobishme ☺)
Shembull (OGE).
Gjeni shumën e të gjithë termave negativë të progresionit: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Zgjidhja:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Detyra është shumë e ngjashme me atë të mëparshme. Fillojmë të zgjidhim në të njëjtën mënyrë: së pari gjejmë \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Tani do të zëvendësonim \(d\) në formulën për shumën ... dhe këtu shfaqet një nuancë e vogël - nuk e dimë \(n\). Me fjalë të tjera, ne nuk e dimë se sa terma do të duhet të shtohen. Si të zbuloni? Le të mendojmë. Ne do të ndalojmë shtimin e elementeve kur të arrijmë te elementi i parë pozitiv. Kjo do të thotë, ju duhet të zbuloni numrin e këtij elementi. Si? Le të shkruajmë formulën për llogaritjen e çdo elementi të një progresion aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) për rastin tonë. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Na duhet që \(a_n\) të jetë më e madhe se zero. Le të zbulojmë se për çfarë \(n\) do të ndodhë kjo. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|: 0.3\) |
Ne i ndajmë të dy anët e pabarazisë me \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Ne transferojmë minus një, duke mos harruar të ndryshojmë shenja |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Duke llogaritur... |
|
|
\(n>65,333…\) |
…dhe rezulton se elementi i parë pozitiv do të ketë numrin \(66\). Prandaj, negativi i fundit ka \(n=65\). Për çdo rast, le ta kontrollojmë. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Kështu, ne duhet të shtojmë elementët e parë \(65\). |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Përgjigja është gati. |
Përgjigje: \(S_(65)=-630,5\).
Shembull (OGE).
Progresioni aritmetik jepet nga kushtet: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Gjeni shumën nga \(26\)th deri në \(42\) duke përfshirë elementin.
Zgjidhja:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Në këtë problem, ju gjithashtu duhet të gjeni shumën e elementeve, por duke u nisur jo nga e para, por nga \(26\)th. Ne nuk kemi një formulë për këtë. Si të vendosni? |
|
|
Për progresionin tonë \(a_1=-33\), dhe ndryshimin \(d=4\) (në fund të fundit, ne i shtojmë katër elementit të mëparshëm për të gjetur tjetrin). Duke e ditur këtë, gjejmë shumën e elementeve të parë \(42\)-uh. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Tani shuma e elementeve të parë \(25\)-të. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Dhe së fundi, ne llogarisim përgjigjen. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Përgjigje: \(S=1683\).
Për një progresion aritmetik, ka disa formula të tjera që nuk i kemi shqyrtuar në këtë artikull për shkak të dobisë së tyre të ulët praktike. Megjithatë, ju mund t'i gjeni lehtësisht.
Shënime të rëndësishme!
1. Nëse në vend të formulave shihni abrakadabra, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni atë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini vëmendje navigatorit tonë për burimin më të dobishëm për
Sekuenca numerike
Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:
Sekuenca numerike
Për shembull, për sekuencën tonë:
Numri i caktuar është specifik vetëm për një numër të sekuencës. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri -të) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.
Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .
Në rastin tonë: 
Le të themi se kemi një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Për shembull: 
etj.
Një sekuencë e tillë numerike quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius qysh në shekullin e 6-të dhe u kuptua në një kuptim më të gjerë si një sekuencë numerike e pafund. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, në të cilën ishin angazhuar grekët e lashtë.
Ky është një sekuencë numerike, secili anëtar i të cilit është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet diferencë e një progresion aritmetik dhe shënohet.
Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:
a)
b)
c)
d)
E kuptova? Krahasoni përgjigjet tona:
Është progresion aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresion aritmetik - a, d.
Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e anëtarit të tij. ekziston dy mënyrë për ta gjetur.
1. Metoda
Ne mund t'i shtojmë vlerës së mëparshme të numrit të progresionit derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:
Pra, anëtari i -të i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.
2. Metoda
Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na kishte marrë më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të kishim bërë gabime kur mblidhnim numrat.
Natyrisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk keni nevojë të shtoni ndryshimin e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni nga afër foton e vizatuar ... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:
Për shembull, le të shohim se çfarë përbën vlerën e anëtarit -të të këtij progresioni aritmetik: 
Me fjale te tjera:
Mundohuni të gjeni në mënyrë të pavarur në këtë mënyrë vlerën e një anëtari të këtij progresioni aritmetik.
E llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:
Kushtojini vëmendje që morët saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur i shtuam me radhë anëtarët e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - e sjellim atë në një formë të përgjithshme dhe marrim:
|
Ekuacioni i progresionit aritmetik. |
Progresionet aritmetike janë ose në rritje ose në rënie.
Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Për shembull:
Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Për shembull:
Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm:
Që atëherë:
Kështu, ne ishim të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Përpiquni të gjeni vetë anëtarët -të dhe -të të këtij progresioni aritmetik.
Le të krahasojmë rezultatet:
Vetia e progresionit aritmetik
Le ta komplikojmë detyrën - ne nxjerrim vetinë e një progresion aritmetik.
Supozoni se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Është e lehtë, thoni ju, dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:
Le të, a, atëherë:
Absolutisht e drejtë. Rezulton se ne fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë gabime në llogaritjet.
Tani mendoni, a është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht, po, dhe ne do të përpiqemi ta nxjerrim atë tani.
Le të shënojmë termin e dëshiruar të progresionit aritmetik si, ne e dimë formulën për gjetjen e tij - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, pastaj:
- anëtari i mëparshëm i progresionit është:
- termi tjetër i progresionit është:
Le të përmbledhim anëtarët e mëparshëm dhe të ardhshëm të progresionit:
Rezulton se shuma e anëtarëve të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është dyfishi i vlerës së anëtarit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një anëtari progresion me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, është e nevojshme t'i mblidhni ato dhe të ndani me.
Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të rregullojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për progresionin, sepse nuk është aspak e vështirë.
Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, të cilën, sipas legjendës, një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - Karl Gauss, e konkludoi lehtësisht për veten e tij ...
Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, mësuesi, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve nga klasat e tjera, kërkoi detyrën e mëposhtme në mësim: "Llogaritni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga deri në (sipas burimeve të tjera deri në) përfshirëse. " Cila ishte surpriza e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ishte Karl Gauss) pas një minute i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit pas llogaritjeve të gjata morën rezultatin e gabuar ...
I riu Carl Gauss vuri re një model që mund ta vëreni lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga anëtarë -ti: Duhet të gjejmë shumën e anëtarëve të dhënë të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse na duhet të gjejmë shumën e termave të saj në detyrë, siç po kërkonte Gauss?
Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta. 
Provuar? Çfarë keni vënë re? Në mënyrë korrekte! Shumat e tyre janë të barabarta
Tani përgjigjuni, sa çifte të tilla do të ketë në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy termave të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çifte të ngjashme të barabarta, marrim se shuma totale është e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:
Në disa probleme, ne nuk e dimë termin e th, por dimë ndryshimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni në formulën e shumës, formulën e anëtarit të th.
Çfarë more?
Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu dha Karl Gausit: llogarisni vetë sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta dhe sa është shuma e numrave që fillojnë nga -ta.
Sa keni marrë?
Gauss doli se shuma e termave është e barabartë, dhe shuma e termave. Kështu vendosët?
Në fakt, formula për shumën e anëtarëve të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën vetitë e një progresion aritmetik me fuqi dhe kryesore.
Për shembull, imagjinoni Egjiptin e Lashtë dhe kantierin më të madh të ndërtimit të asaj kohe - ndërtimin e një piramide ... Figura tregon njërën anë të saj. 
Ku është përparimi këtu ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës. 
Pse jo një progresion aritmetik? Numëroni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të numëroni duke lëvizur gishtin nëpër monitor, a ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?
Në këtë rast, përparimi duket si ky:
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i anëtarëve të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (ne numërojmë numrin e blloqeve në 2 mënyra).
Metoda 1.
Metoda 2.
Dhe tani mund të llogaritni edhe në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. A ishte dakord? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të th të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:
Stërvitje
Detyrat:
- Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të ulej Masha në javë nëse ajo bën squats në stërvitjen e parë.
- Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
- Kur ruajnë trungje, druvarët i vendosin ato në mënyrë të tillë që çdo shtresë e sipërme të përmbajë një trung më pak se ajo e mëparshme. Sa trungje ka në një muraturë, nëse baza e muraturës është trungje.
Përgjigjet:
- Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
(javë = ditë).Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të ulet një herë në ditë.
- Numri i parë tek, numri i fundit.
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i numrave tek në gjysmë, megjithatë, kontrolloni këtë fakt duke përdorur formulën për gjetjen e anëtarit -të të një progresion aritmetik:Numrat përmbajnë numra tek.
Ne zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë me.
- Kujtoni problemin rreth piramidave. Për rastin tonë, a , meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, ka vetëm një grup shtresash, domethënë.
Zëvendësoni të dhënat në formulë:Përgjigje: Në muraturë ka trungje.
Duke përmbledhur
- - një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Ajo është në rritje dhe në rënie.
- Gjetja e formulës Anëtari i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
- Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku - numri i numrave në progresion.
- Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:
, ku është numri i vlerave.
PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI MESATAR
Sekuenca numerike
Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë sa të doni. Por ju gjithmonë mund të dalloni se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë, domethënë, ne mund t'i numërojmë ato. Ky është një shembull i një sekuence numrash.
Sekuenca numerikeështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.
Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror, dhe vetëm një. Dhe ne nuk do ta caktojmë këtë numër në asnjë numër tjetër nga ky grup.
Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.
Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .
Është shumë i përshtatshëm nëse anëtari --të i sekuencës mund të jepet me ndonjë formulë. Për shembull, formula
vendos sekuencën:
Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:
Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë dhe diferenca). Ose (, dallimi).
formula e termit të ntë
Ne e quajmë rekurente një formulë në të cilën, për të gjetur termin -të, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:
Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur një formulë të tillë, duhet të llogarisim nëntën e mëparshme. Për shembull, le. Pastaj:
Epo, tani është e qartë se cila është formula?
Në çdo rresht, ne i shtojmë, shumëzuar me një numër. Per cfare? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:
Shumë më rehat tani, apo jo? Ne kontrollojmë:
Vendosni vetë:
Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.
Zgjidhja:
Anëtari i parë është i barabartë. Dhe cili është ndryshimi? Dhe ja çfarë:
(në fund të fundit, quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e anëtarëve të njëpasnjëshëm të progresionit).
Pra formula është:
Atëherë termi i njëqindtë është:
Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?
Sipas legjendës, matematikani i madh Carl Gauss, duke qenë një djalë 9-vjeçar, e llogariti këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrit të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe të parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-të nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,
Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:
Shembull:
Gjeni shumën e të gjithë shumëfishave dyshifrorë.
Zgjidhja:
Numri i parë i tillë është ky. Secili tjetër fitohet duke i shtuar një numër atij të mëparshëm. Kështu, numrat me interes për ne formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.
Formula për termin e th për këtë progresion është:
Sa terma janë në progresion nëse duhet të jenë të gjithë dyshifrorë?
Shumë e lehtë: .
Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:
Përgjigje:.
Tani vendosni vetë:
- Çdo ditë atleti vrapon 1 m më shumë se një ditë më parë. Sa kilometra do të vrapojë në javë nëse ka vrapuar km m në ditën e parë?
- Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se ai i mëparshmi. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë duhet të kalojë me makinë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë në ditën e fundit të udhëtimit?
- Çmimi i një frigoriferi në dyqan ulet me të njëjtën shumë çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigorifer çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.
Përgjigjet:
- Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
.
Përgjigje: - Këtu është dhënë:, është e nevojshme për të gjetur.
Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
.
Zëvendësoni vlerat:Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja.
Le të llogarisim distancën e udhëtuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit -të:
(km).
Përgjigje: - Jepet: . Gjej: .
Nuk bëhet më e lehtë:
(fshij).
Përgjigje:
PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN
Kjo është një sekuencë numerike në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Progresioni aritmetik është në rritje () dhe në rënie ().
Për shembull:
Formula për gjetjen e anëtarit n të një progresion aritmetik
shkruhet si formulë, ku është numri i numrave në progresion.
Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik
E bën të lehtë gjetjen e një anëtari të progresionit nëse dihen anëtarët fqinjë - ku është numri i numrave në progresion.
Shuma e anëtarëve të një progresion aritmetik
Ka dy mënyra për të gjetur shumën:
Ku është numri i vlerave.
Ku është numri i vlerave.
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, atëherë jeni shumë cool.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse keni lexuar deri në fund, atëherë jeni në 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, është ... është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Per cfare?
Për dhënien me sukses të provimit, për pranim në institut me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për jetë.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në provim dhe në fund të fundit ... më i lumtur?
MBULONI DORËN TUAJ, DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Në provim, nuk do t'ju kërkohet teori.
Do t'ju duhet zgjidhni problemet në kohë.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do ta bëni me kohë.
Është si në sport - ju duhet të përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni një koleksion kudo që dëshironi detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (jo të nevojshme) dhe ne sigurisht i rekomandojmë ato.
Në mënyrë që të merrni një dorë me ndihmën e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e tutorialit - Bleni një libër shkollor - 499 rubla
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet gjatë gjithë jetës së faqes.
Në përfundim...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni me teorinë.
"Kuptuar" dhe "Unë di të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni!
Progresione aritmetike dhe gjeometrike
Informacion teorik
Informacion teorik
Progresioni aritmetik |
Progresioni gjeometrik |
|
Përkufizimi |
Progresioni aritmetik a n quhet një sekuencë, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me anëtarin e mëparshëm, i shtuar me të njëjtin numër d (d- dallimi i progresionit) |
progresion gjeometrik b n quhet një sekuencë numrash jozero, secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër. q (q- emëruesi i progresionit) |
Formula e përsëritur |
Për çdo natyrale n |
Për çdo natyrale n |
formula e termit të ntë |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| veti karakteristike |  |
|
| Shuma e n termave të parë |  |
 |
Shembuj detyrash me komente
Ushtrimi 1
Në progresion aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2
Sipas formulës së termit të n-të:
një 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 ditë
Sipas kushtit:
a 1= -6, pra një 22= -6 + 21d.
Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Përgjigje: një 22 = -48.
Detyra 2
Gjeni termin e pestë të progresionit gjeometrik: -3; 6;....
Mënyra e parë (duke përdorur formulën n-term)
Sipas formulës së anëtarit n të një progresion gjeometrik:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Sepse b 1 = -3,
Mënyra e dytë (duke përdorur formulën rekursive)
Meqenëse emëruesi i progresionit është -2 (q = -2), atëherë:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Përgjigje: b 5 = -48.
Detyra 3
Në progresion aritmetik ( a n) a 74 = 34; një 76= 156. Gjeni termin e shtatëdhjetë e pestë të këtij progresioni.
Për një progresion aritmetik, vetia karakteristike ka formën 
.
Prandaj:
.
Zëvendësoni të dhënat në formulë:
Përgjigje: 95.
Detyra 4
Në progresion aritmetik ( a n) a n= 3n - 4. Gjeni shumën e shtatëmbëdhjetë anëtarëve të parë.
Për të gjetur shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik, përdoren dy formula:
.
Cili prej tyre është më i përshtatshëm për t'u aplikuar në këtë rast?
Sipas kushtit, formula e anëtarit të n-të të progresionit origjinal është e njohur ( a n) a n= 3n - 4. Mund të gjendet menjëherë dhe a 1, dhe një 16 pa gjetur d . Prandaj, ne përdorim formulën e parë.
Përgjigje: 368.
Detyra 5
Në progresion aritmetik a n) a 1 = -6; a 2= -8. Gjeni termin e njëzet e dytë të progresionit.
Sipas formulës së termit të n-të:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 ditë.
Me kusht, nëse a 1= -6, atëherë një 22= -6 + 21d. Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Përgjigje: një 22 = -48.
Detyra 6
Regjistrohen disa terma të njëpasnjëshëm të një progresioni gjeometrik:
Gjeni termin e progresionit, të shënuar me shkronjën x.
Gjatë zgjidhjes, ne përdorim formulën për termin e n-të b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 për progresionet gjeometrike. Anëtari i parë i progresionit. Për të gjetur emëruesin e progresionit q, duhet të merrni ndonjë nga këto terma të progresionit dhe të pjesëtoni me atë të mëparshëm. Në shembullin tonë, ju mund të merrni dhe ndani me. Marrim q \u003d 3. Në vend të n, ne zëvendësojmë 3 në formulë, pasi është e nevojshme të gjejmë termin e tretë të një progresioni gjeometrik të caktuar.
Duke zëvendësuar vlerat e gjetura në formulë, marrim:
.
Përgjigje:.
Detyra 7
Nga progresionet aritmetike të dhëna nga formula e anëtarit të n-të, zgjidhni atë për të cilin plotësohet kushti. një 27 > 9:
Meqenëse kushti i specifikuar duhet të plotësohet për termin e 27-të të progresionit, ne zëvendësojmë 27 në vend të n në secilin nga katër progresionet. Në progresionin e 4-të marrim:
.
Përgjigje: 4.
Detyra 8
Në progresion aritmetik a 1= 3, d = -1,5. Specifikoni vlerën më të madhe të n-së për të cilën vlen pabarazia a n > -6.
Artikulli i mëparshëm: Nëse produkti ndahet me një nga faktorët, atëherë do të merret një faktor tjetër Artikulli vijues: Format bazë të përshëndetjes (përkthyer nga Nihao)