Уравнение Шредингера

Уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого вытекали бы волновые свойства частиц. Оно должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х , у , z , t ), так как величина │ Ψ│ 2 определяет вероятность пребывания частицы в момент времени в объеме.

Основное уравнение сформулированоЭ. Шредингером: уравнения не выводится, а постулируется.

Уравнение Шредингера имеет вид:

- ΔΨ + U (x ,y , z , t )Ψ = iħ , (33.9)

где ħ=h/ (2π ), т -масса частицы, Δ-оператор Лапласа, i - мнимая единица,U (x ,y ,z ,t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x ,y , z , t ) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (32.9) является общим уравнением Шредингера . Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (33.9) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функцияU (x ,y ,z ,t ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии.

∆ Ψ + (E -U )Ψ = 0. (33.10)

Уравнение (33.10) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний .

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. Решение уравнения имеет место не при любых значениях параметра Е , а лишь при определенном наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный и дискретный ряд.

33.5. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками»

Свободная частица - частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х ) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U (х ) = соnstи ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. Энергия свободной частицы может принимать любые значения, т. е. ее энергетический спектр является непрерывным. Свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля, и все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к свободной частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» (рис.33.1). Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х )

∞, х < 0

U (x ) = {0, 0 ≤ х ≤ l }(33.11)

∞, х > 1

где l - ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис.33.1).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

+ (Е- U )Ψ = 0. (33.12)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х =0 и х=l ) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

Ψ(0)=Ψ(l )=0. (33.13)

В пределах «ямы» уравнение Шредингера сведется к уравнению

+ Е Ψ = 0. (33.14)

Стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е п зависящих от целого числа п .

Е п = ,( n= 1, 2, 3, …).(33.15)

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
И ЕГО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ (продолжение): прохождение частицы через ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР, Гармонический осциллятор

Прохождение частицы через потенциальный барьер для классического случая нами уже рассматривался в ЛЕКЦИИ 7 ЧАСТИ 1 (см. рис. 7.2). Рассмотрим теперь микрочастицу, полная энергия которой меньше уровня U потенциального барьера (рис. 19.1). В классическом варианте в этом случае прохождение частицы через барьер невозможно. Однако в квантовой физике существует вероятность, что частица пройдет. Причем она не "перепрыгнет" через него, а как бы "просочится", употребив свои волновые качества. Поэтому эффект еще называется "туннельным". Для каждой из областей I, II, III запишем стационарное уравнение Шредингера (18.3).

Для I и III : , (19.1, а)

для II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, где a = const. Тогда и y" = . Подстановка y" в (19.1a) дает: Искомое общее решение для области I запишется в виде суперпозиции

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

В этом случае начальная точка распространения волны сдвинута на L , a В 3 = 0 , поскольку в области III имеется только проходящая волна.

В области II (барьер) подстановка y" в (19.1б) дает

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Вероятность прохождения характеризуется коэффициентом прохождения - отношением интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей:

(0) = y2"(0) , y2"(L ) = y3"(L ); (19.5)

из которых первые два означают "сшивание" функций на левой и на правой границах барьера, а третье и четвертое - гладкость такого перехода. Подставляя в (19.5) функции y1, y2 и y3, получим уравнения

Поделим их на А 1 и обозначим a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Умножим первое уравнение (19.6) на i k и сложим со вторым. Получим 2 i k = a 2(q + i k ) - b 2(q - i k ) . (19.7)

Вторую пару уравнений (19.6) будем рассматривать как систему двух уравнений с неизвестными a 2 и b 2.

Детерминанты этой системы:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

где e-qL (q+ i k) 2 » 0, т. к. qL >> 1.

Поэтому https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, и, чтобы найти модуль комплексной величины а 3, умножим числитель и знаменатель полученной дроби на (q + i k )2. После простых преобразований получим

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Обычно E/U ~ 90% и весь коэффициент перед "е" имеет порядок единицы. Поэтому вероятность прохождения частицы через барьер определяется следуюшим соотношением:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

Это означает, что при E < U частица барьера не преодолеет, т. е. туннельный эффект в классической физике отсутствует.

Этот эффект используется в инженерной практике для создания туннельных диодов, широко применяемых в радиотехнических устройствах (см. ЧАСТЬ 3, ЛЕКЦИЯ 3).

Кроме того, оказалось возможным инициировать в земных условиях термоядерную реакцию синтеза, которая на Солнце идет в обычных для Солнца условиях - при температуре T ~ 109 K . На Земле такой температуры нет, однако, благодаря туннельному эффекту, есть вероятность запуска реакции при температуре T ~ 107 K , имеющей место при взрыве атомной бомбы, которая и явилась запальным устройством для водородной . Более подробно об этом в следующей части курса.

Гармонический осциллятор. Классический гармонический осциллятор нами также уже рассматривался (ЛЕКЦИИ 1,2 ЧАСТИ 3). Им, например, является пружинный маятник, полная энергия которого E = mV 2/2 + kx 2/2. Теоретически эта энергия может принимать непрерывный ряд значений, начиная от нуля.

Квантовый гармонический осциллятор - это колеблющаяся по гармоническому закону микрочастица, находящаяся в связанном состоянии внутри атома или ядра. При этом потенциальная энергия остается классической, характеризуя аналогичную упругую возвращающую силу kx . Учитывая, что циклическая частота получим для потенциальной энергии https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

В математическом отношении задача эта еще более сложная, чем предыдущие. Поэтому ограничимся констатацией того, что получится в результате. Как и в случае с одномерной ямой, мы получим дискретный спектр собственных функций и собственных энергий, и одному собственному значению энергии будет соответствовать одна волновая функция: En Û yn (нет вырождения состояний, как в случае с трехмерной ямой). Плотность вероятности |yn|2 также представляет собой осциллирующую функцию, однако высота "горбов" различна. Это уже не банальный sin 2 , а более экзотические полиномы Эрмита Hn (x ). Волновая функция имеет вид

, где С n - зависящая от n константа. Спектр собственных значений энергий:

, (19.10)

где квантовое число n = 0, 1, 2, 3 ... . Таким образом, существует и "нулевая энергия" , выше которой спектр энергий образует "этажерку", где полочки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 19.2). На том же рисунке для каждого уровня энергии показана соответствующая плотность вероятности |yn|2, а также потенциальная энергия внешнего поля (пунктирная парабола).

Существование отличной от нуля минимально возможной энергии осциллятора имеет глубокий смысл. Это означает, что колебания микрочастиц не прекращаются никогда , что в свою очередь означает недостижимость абсолютного нуля температуры.

1. , Бурсиан физика: Курс лекций с компьютерной поддержкой: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений: В 2 т. – М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001.

В принципе ничего особенного, их можно найти в таблицах и даже построить графики.

Для частиц квантового мира действуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами и частицы, и волны – и, действительно, при рассеивании пучка электронов на отверстии наблюдается дифракция, характерная для волн.

Поэтому можно говорить не о движения квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в конкретной точке в некий момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шрёдингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Зачастую частица передвигается сквозь силовое поле, не зависящее от времени. Для этого случая записывается стационарное уравнение Шрёдингера:

В представленном уравнении m и Е – и соответственно энергия частицы, пребывающей в силовом поле, а U – этого поля. — оператор Лапласа. — постоянная Планка, равная 6,626 10 -34 Дж с.

(её также называют амплитудой вероятности, или пси-функцией) – это и есть функция, позволяющая узнать, в каком месте пространства, скорее всего, будет находиться наш микрообъект. Физический смысл имеет не сама функция, а её квадрат. Вероятность того, что частица находится в элементарном объеме :

Следовательно, найти функцию в конечном объеме можно с вероятностью:

Так как пси-функция – вероятность, то она не может быть ни меньше нуля, ни превышать единицу. Полная вероятность найти частицу в бесконечном объеме – это условие нормировки:

Для пси-функции работает принцип суперпозиции: если частица или система может находиться в ряде квантовых состояний , то для нее возможно и состояние, определяемое их суммой:

Стационарное уравнение Шрёдингера имеет множество решений, однако при решении следует учесть граничные условия и отобрать только собственные решения – те, которые обладают физическим смыслом. Такие решения существуют только для отдельных значений энергии частицы Е, которые и образуют дискретный энергетический спектр частицы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Волновая функция описывает расстояние электрона до ядра водорода: r – расстояние между электроном и ядром, a – первый Боровский радиус. На каком расстоянии от ядра электрон, скорее всего, находится?
Решение	1) Выразив объем через радиус ядра, найдем вероятность того, что электрон находится в пределах некоторого расстояния от ядра: 2) Вероятность того, что электрон находится в пределах элементарного «кольца» dr: 3) Чтобы найти наиболее вероятное расстояние, найдем из последнего выражения: Решив это уравнение, получим r = a – самое вероятное расстояние между электроном и ядром.
Ответ	r = a – с наибольшей вероятностью ядро находится на расстоянии первого Боровского радиуса от ядра.

ПРИМЕР 2

Задание

Найти уровни энергии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Решение

Пусть частица движется по оси абсцисс. Ширина ямы – l. Энергию мы отсчитываем от дна ямы и описываем функцией: Запишем одномерное стационарное уравнение Шрёдингера: Рассмотрим граничные условия. Так как мы считаем, что частица не может проникнуть за стенки, то за пределами ямы =0. На границе ямы пси-функция также равна нулю: В яме потенциальная энергия U=0. Тогда уравнение Шрёдингера, записанное для ямы, упростится: По форме это – ДУ гармонического осциллятора:

(Документ)

Фадеева А.А. Тренировочные задания по физике (Документ)

Решения экзаменационных билетов по физике (3 семестр, оптика, ядерная физика) (Документ)

Билеты с ответами на экзамен по физике (раздел Оптика) (Документ)

Струж Н., Чиж О. ДПА 2012. Фізика 11 клас: Розв"язки завдань державної підсумкової атестації (Документ)

(Документ)

ЕГЭ 2011 - Диагностическая работа по физике (Документ)

n1.doc

Уравнение Шредингера

Для описания поведения микрочастиц необходима особая форма механики, учитывающая их волновые свойства. Новая механика получила название волновой или квантовой механики. Основные авторы Шредингер, Гайзенберг, Дирак, Паули. Кроме того, в Копенгагене активно работала группа под общим руководством Н. Бора.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теоретически, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шредингера также нельзя вывести из каких – либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия достаточно точно согласуются с опытными фактами.

Поскольку точное значение параметров состояния микрочастицы неизвестно, основной задачей квантовой механики является определение вероятности реализации данной величины, если она может быть измерена. Для этого, по аналогии с рассмотрением дуализма волна – квант энергии, вводится в рассмотрение функция волны, соответствующей частице (волновая функция), которую принято обозначать буквой . Она является функцией координат и времени и может быть найдена путем решения уравнения:

Это уравнение было введено в практику Шредингером в 1926 г. и называется уравнением Шредингера со временем (или временным уравнением Шредингера). Здесь: i – мнимая единица; ħ – постоянная Планка; m – масса частицы; U – потенциальная энергия частицы; ? – оператор Лапласа

Из уравнения Шредингера следует, что волновая функция определяется потенциальной энергией U , т. е., в конечном счете, есть функция координат и времени. Для стационарного силового поля U не зависит явно от времени. В этом случае волновая функция представляется в виде множителей, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

где Е – полная энергия частицы.

В самом деле, при подстановке этой функции в уравнение Шредингера с независящим от времени силовым полем экспоненты, содержащие время, сокращаются. Тогда уравнение для не зависящих от времени состояний  (стационарных состояний) получает вид:

(*)

В дальнейшем мы будем называть это выражение просто уравнением Шредингера.

К уравнению Шредингера можно прийти путем следующих рассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси х , имеет вид:

Согласно гипотезе де – Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой  = E/t и длиной волны  = 2ħ/p. Подставляя  и  в уравнение плоской волны, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х :

Продифференцировав функцию  один раз по t, a второй раз дважды по х, получим:

Из этих соотношений можно выразить Е и р 2 через функцию  и её производные:

Теперь запишем для нерелятивистского случая E = p 2 /2m и подставим в него полученные выражения:

Появление в уравнении лапласиана есть обобщение уравнения на случай распространения волны в произвольном направлении.

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шредингера для движения свободной частицы (U = 0). Так как данное состояние стационарно (U = 0 и, следовательно, не зависит от времени) уравнение получает вид:

Это уравнение совпадает с уравнением (*) для случая U = 0.

Полная энергия Е складывается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U. В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т, так что величину Е можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Если принять, что Е – полная энергия частицы получится не физичная ситуация: обобщенное уравнение не будет зависеть от характера силового поля (то есть от U). Поэтому при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е– U. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (*).

Еще раз отметим, что приведенные математические манипуляции не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель – пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.

Квантование энергии.

В отличие от модели атома Бора, основанной на введении некоторых постулатов, уравнение Шредингера позволяет получить фиксированные значения энергии при непосредственном решении уравнения. Требования, предъявляемые к волновым функциям вполне стандартны для математики: конечность, однозначность, непрерывность, гладкость. Требования должны выполняться даже в случае неаналитического поведения потенциала U: потенциал может быть разрывным, бесконечным в некоторой области пространства и проч.

Решения, получаемые при этом, соответствуют лишь некоторым определённым значениям энергии Е. Они носят название собственных значений энергии. Волновые функции, полученные в процессе решения уравнения Шредингера, носят название собственных функций, принадлежащих собственным значениям.

Значения Е могут быть как дискретными (квантованными), так и принимать непрерывный набор значений. В последнем случае говорят о непрерывном спектре энергии.

Решив уравнение Шредингера, вообще говоря, можно получить и набор вероятностей обнаружения других параметров частицы: импульса и момента импульса.

Наконец, следует отметить некоторую ограниченность полученных решений. Она заключается в том, что стационарное уравнение Шредингера не предназначено для рассмотрения процессов во времени. Между тем, опыт показывает, что энергии стационарных (точнее почти стационарных) состояний получаются в полном согласии с опытом.

Частица в потенциальной яме .

Решение задач о поведении или состоянии частицы в потенциальной яме позволяет продемонстрировать математическую сторону квантового подхода. Кроме того, потенциальная яма является отличной моделью для получения представления о формировании энергетического спектра частиц, ограниченных в своём движении. С точки зрения атомной или ядерной теории имеет смысл рассмотреть частицу в ямах трёх типов. Простейший случай – частица в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками есть всего лишь пример решения задачи в квантовой теории и демонстрация универсального факта появления дискретных состояний микрочастицы, ограниченной в своём движении. Рассмотрение состояния частицы в яме с параболическим потенциалом позволяет понять особенности колебаний связанных микрочастиц и решение этой задачи имеет прямое отношение к расчёту теплоёмкости твёрдого тела. Наконец, решение задачи с гиперболической ямой аналогично решению задачи о состояниях электрона в атоме водорода, но без использования гипотезы о существовании стационарных состояний. В данном случае стационарность состояний есть следствие решения задачи (уравнения Шредингера).

Рассмотрим поведение частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме .

Для простоты примем, что частица движется вдоль оси х (см. рисунок). В пределах 0  х  l потенциал U = 0. Вне этих пределов потенциал бесконечен: U  . Фактически это означает, что вне пределов ямы функция равна нулю, так как частица вне ямы существовать не может. Тогда для 0  х  l можем написать:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Как говорилось выше,  (х = 0) =  (х = l ) = 0. Первое равенство позволяет определить  = 0. Из второго следует, что  l = n  . Определив отсюда  и подставив это значение в выражение для  2 , получим собственные значения задачи:

Заметим, что n = 1,2,3…, но не равно нулю, так как при этом исчезает волновая функция: частица отсутствует. Собственные функции определяются тогда таким образом:

Функции определены с точностью до постоянного множителя а . В подавляющем большинстве случаев бывает удобным, чтобы функция была нормирована. При этом имеется ввиду, что интеграл от плотности вероятности
нахождения частицы во всех возможных состояниях равен единице. (Звёздочка означает комплексное сопряжение). Условие нормировки соответствует достоверности нахождения частицы в одном из возможных состояний. Формально это равносильно определению коэффициента при волновой функции:

Волновая функция приобрела полный вид:

Теперь можно определить распределение плотности вероятности нахождения электрона по координате х :

Графики распределения волновой функции и плотности вероятности приведены на рисунке. Очевидно, что график распределения вероятности соответствует распределению интенсивности стоячей волны. Обращает на себя внимание аномальность распределения вероятности при малых значениях числа n : частица пребывает в основном в середине интервала возможных положений. Однако при очень больших n вероятность появления частицы вблизи стенки растёт, то есть при больших n частица становится подобной классической.

Частица в параболической яме .

Часто эта задача называется задачей о квантовом осцилляторе, так как в ней рассматривается вопрос о колебаниях микрочастицы. В квантовой физике понятие силы теряет свой смысл из-за проявления соотношения неопределённости координата – импульс. В этом случае использование уравнения Шредингера позволяет решить задачу о колебаниях частицы, обладающей потенциальной энергией аналогичной потенциальной энергии в классической теории:

Так как в классической механике действие упругой силы проявляется в существовании собственной частоты
, имеет смысл перейти к выражению:

Здесь жёсткость определена из выражения для собственной частоты колебаний. Тогда уравнение Шредингера приобретает вид:

Математическое решение этого уравнения весьма громоздко и требует применения так называемых специальных функций. Поэтому укажем, что требования к собственным функциям данной задачи (непрерывность, гладкость, конечность, однозначность) выполняются при собственных значениях задачи:

Е = ħ  ( + 1/2), ( = 0,1,2,…)

Эти энергии для различных  (цифры справа) вместе с зависимостью потенциальной энергии от координаты х (жирная сплошная линия) приведены на рисунке.

Из полученного выражения следует, что уровни осциллятора эквидистантны. Энергия, соответствующая  = 0 носит название нулевой энергии колебаний. Её появление уже объяснено выше действием принципа неопределённости: частица не может покоиться и одновременно иметь некоторую координату в данном случае равную нулю.

Изменение введённого квантового числа  возможно только на единицу? =  1. Это так называемое правило отбора для гармонического квантового осциллятора. Подобное изменение появляется, например, при оптических переходах между стационарными состояниями, обусловленными взаимодействием электронов атома с ядром и друг с другом. Приведённая картина характеризует спектр в каждом из стационарных состояний электронов атома. При переходах с изменением числа  помимо прочего испускается квант с энергией ħ, где частота  приобретает свой реальный физический смысл.

Говорить о частоте колебаний частицы в каждом стационарном состоянии неверно. Частица в классическом осцилляторе может двигаться лишь в пределах координаты, задаваемых потенциальной кривой. При падении её на границу она отражается. Микрочастица в квантовой механике может проникать внутрь соседней области, то есть за границу потенциальной кривой. При этом о колебаниях не может быть никакой речи. Имеет смысл только плотность вероятности нахождения частицы в некоторой точке.

На рисунке приведено распределение плотности вероятности обнаружения частицы в параболической потенциальной яме вдоль оси Х . Жирные горизонтальные линии есть расстояние между классическими “точками поворота” частицы, находящимися на потенциальной кривой и соответствующими разным значениям числа  . Видно, что проникновение частицы в соседнюю область тем меньше, чем больше значение числа  , то есть частица становится более классической при увеличении её полной энергии.

Потенциальные барьеры .

Рассмотрим движение частицы в области пространства, содержащей потенциальный барьер. Примером физической ситуации, в которой проявляется действие барьера на движение частицы, может служить выход электрона за пределы твёрдого тела (автоэлектронная эмиссия). Зависимость формы барьера от координат может быть весьма сложной, но высота барьера конечна и, как правило, вполне конечна длина нарастания барьера. Поэтому в качестве простой модельной задачи следует взять барьер высоты U 0

с вертикальной стенкой. Соответственно, потенциальная энергия будет представлена в виде:

Пусть частица налетает на барьер с левой стороны. Частицу, как обычно, рассматриваем как волну де-Бройля:

Задача заключается в определении амплитуды волны, а затем в определении коэффициентов её отражения и прохождения. Существование отражённой и прошедшей волн возникает из требований, накладываемых на вид функции и её производной (гладкость, однозначность, непрерывность, конечность) при х = 0.

Частота падающей, отражённой и прошедшей волн должна быть одной и той же. Это позволяет перейти от время зависимой функции к функции, зависящей только от координат. Для этого достаточно подставить функцию (x,t) в общее уравнение Шредингера, сократить экспоненту, зависящую от времени и получить стационарное уравнение Шредингера:

В данной задаче имеются два варианта рассмотрения E 1 >U 0 и E 2
1. E 1 >U 0 . Общий вид решения имеет вид

Амплитуда падающей волны равна а 1 , отражённой b 1 . В области x>0 волна только прошедшая (слева направо), поэтому b 2 = 0. Из условия непрерывности и гладкости при х = 0 получаем:

Отсюда получаем:

Для определения коэффициентов прохождения D и отражения R необходимо ввести понятие потока плотности вероятности F . В данном случае оно аналогично обычному понятию потока, применённому к распространению волны: это энергия потока в единицу времени, равная произведению плотности энергии на скорость распространения. Энергия волны пропорциональна квадрату её амплитуды. В рассматриваемом случае скорость потока равна скорости движения частицы. Последняя равна  = р /m = ħ k /m . Тогда:

Обозначим: F – поток падающей волны, F’ поток отражённой волны, F” – поток прошедшей волны. Получаем искомый результат:

Особенности полученного результата:

1. Сумма коэффициентов прохождения и отражения равна единице, что вполне стандартно.

2. Коэффициенты не зависят от направления движения частицы – волны.

3. Даже при энергии частицы большей высоты потенциальной ступеньки существует отражение частицы от барьера.

1. E 1 оказывается мнимой величиной k 2 = ik . Тогда отражение частицы от барьера полное, то есть R = 1.

Вместе с тем, легко видеть, что функция прошедшей во вторую область волны не равна нулю. Так как
функция прошедшей волны равна

Плотность вероятности, таким образом, пропорциональна отрицательной вещественной экспоненте, то есть быстро затухает по мере распространения волны вглубь барьера:

Глубину проникновения l определяют как расстояние при котором величина Р уменьшается в е раз. Тогда 2kl =1. Отсюда

Отсюда следует, например, что при U 0 -E = 10 -3 эВ электрон проникает вглубь барьера на 10 -9 м.

Таким образом, при набегании частицы на потенциальную стенку достаточно малой толщины возможно проникновение этой частицы сквозь стенку как бы по туннелю, что определило название этого явления: туннельный эффект . Разумеется, такое проникновение возможно лишь с определённой вероятностью, что, тем не менее, позволяет не только регистрировать эффект, но и использовать его в практике. Существует так называемый туннельный диод, обладающий рядом весьма интересных характеристик.

В физике, помимо холодной эмиссии электронов из металла, действием туннельного эффекта объясняется  - распад, спонтанное деление ядер, термоядерный синтез и целый ряд других явлений.

Операторы физических величин .

Зная волновую функцию, можно определить любые измеряемые характеристики микрочастицы. Для этого пользуются своеобразным исчислением, носящим название операционного. Чтобы понять суть операционного исчисления, определим вначале очень важное в квантовой механике понятие среднего значения. Рассмотрим для начала координату и определим вероятность dP нахождения частицы в области dx в окрестности точки х. В соответствии с изложенным выше dP = *dx. Тогда среднее значение координаты х равно

При этом предполагается, что функция  нормирована:

Аналогично можно определить среднее значение любой величины, зависящей от координаты:

Для получения других величин приходится проводить дополнительные расчеты, порой весьма громоздкие, позволившие получить, например, среднее значение импульса:

Если записать приведённые выражения в виде:

то оказывается, что получение средних значений можно связать с действием на волновую функцию некоторого оператора. Тип действия и вид оператора подчиняются следующему правилу: формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории заменяются формулами, связывающими операторы этих величин .

Например, оператором координаты или величины f(x) в приведённом выражении являются сами величины. Их действие заключается в умножении этих величин на функцию . Оператор импульса дифференциальный и имеет вид (ср. с последним выражением):

Обозначаются операторы символами величин, но со шляпкой наверху. Например, оператор импульса записывается в виде .

Основные математические свойства операторов :

1. Операторы можно складывать (ассоциативность). Действие суммы операторов равно сумме их действий порознь: . Здесь символ  обозначает аргумент функции f .

2. Операторы можно перемножать. Действие произведения операторов равно последовательному применению операторов к функции:
. Здесь следует отметить, что коммутативность операторов не является их общим свойством, то есть
может быть не равно
. Если всё-таки равенство выполняется, то операторы называются коммутирующими. Можно показать, что всегда не коммутируют операторы величин, входящих в соотношения неопределённости. Справедливо и обратное соответствие: если операторы не коммутируют, то соответствующие им величины не могут быть определены одновременно.

3. Операторы называются линейными, если выполняется условие:

Именно линейность операторов определяет возможность использования принципа суперпозиции волн де-Бройля.

Приведённые примеры можно обобщить. Среднее значение величины Q равно:

где есть оператор величины Q .

Рассмотрим операторы основных физических величин.

По аналогии с введённым выше оператором проекции импульса можно написать:

Отсюда оператор квадрата импульса имеет вид:

Теперь можно написать оператор энергии, один из основных операторов квантовой механики. Кинетическая энергия определяется в соответствии с приведённым правилом:

Оператор полной энергии, так называемый оператор Гамильтона или гамильтониан, получает уже известный, использованный выше, вид:

Теперь можно определить среднее значение полной энергии, действуя на волновую функцию оператором Гамильтона:

Несмотря на невозможность одновременного определения потенциальной и кинетической энергии можно определить и сопоставить сумму средних значений этих энергий среднему значению полной энергии.

Таким образом, если известна волновая функция частицы, всегда можно определить среднее значение соответствующей величины.

Роль операторов в квантовой механике будет определена не полностью, если не сформулировать общее соотношение, позволяющее получить расчётным путём собственное значение любой величины Q . Это соотношение имеет вид:

(*)

В его справедливости можно убедиться, рассчитывая среднее значение величины Q :

В данном случае волновая функция является собственной функцией задачи или оператора . Значение Q в рассмотренном случае единственное (поэтому собственное). Других значений, соответствующих данной функции, нет. Взаимное соответствие функции и значения в виде (*) есть определение собственных функций и собственных значений опрератора .

Примером соответствия выражения (*) предыдущим уравнениям движения частиц является его совпадение со стационарным уравнением Шредингера. Подставив оператор Гамильтона в уравнение (*), получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Квантование момента импульса.

В квантовой механике свойства момента импульса существенно отличаются от свойств этой же величины в классической теории. Например, существенной величиной является не сам вектор, а модуль момента М или квадрат момента импульса М 2 . Исследование коммутационных свойств операторов показывает, что коммутируют только квадрат момента и одна из его проекций. Обычно она соотносится с осью Z. Две другие проекции и квадрат момента М 2 друг с другом не коммутируют. Как было сказано выше, это означает возможность одновременного определения только двух данных величин М 2 и М z . Поэтому можно представить, что момент образован некоторым неопределённым движением вектора по конусу. Тогда определимы только проекция и длина вектора.

Следуя приведённому выше правилу, можно ввести в рассмотрение оператор момента импульса . В классической механике момент импульса равен

Тогда оператор проекции момента импульса на ось Z равен

Более простой вид он приобретает в сферической системе координат (r, , ):

Квадрат момента импульса определяется общим уравнением:

В силу большого объема рассуждений и вычислений приведём конечный результат решения этого уравнения:

Число l называется орбитальным квантовым числом. Отсюда модуль момента импульса равен:

В отличие от классического момента квантовый его аналог не зависит от положения точки, относительно которой он определяется. Он определяется только угловым движением частицы. Поэтому в квантовой механике часто момент импульса называется угловым моментом или просто моментом. То же относится и к собственным значениям оператора проекции момента.
вырождении энергетического состояния . Это связано с произвольностью выбора оси Z в отсутствии магнитного поля. Введение в рассмотрение электрического поля не позволяет выбрать направление оси, поэтому электрическое поле снять вырождение по проекции момента полностью не может. Остаётся как минимум двукратное вырождение.

Вообще кратность вырождения проекции момента определяется тем, что формально M z есть проекция момента и, следовательно, не может по величине превышать величину М . Отсюда следует, что

Общее число значений m равно, таким образом, 2l +1, что и определяет кратность вырождения орбитальных состояний.

Полученные результаты можно представить хорошо известным образом:

Они представляют суть положения, называемого пространственным квантованием .

Частица со спином обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом . Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина s, т. е. может быть, записан в виде

где s - величина спина частицы, - характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны Отсюда видно, что коэффициент (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение достигаемое при проекции спина

Отношение дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси ). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно (см. II, § 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен - т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака - см. IV, § 33). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, где

Эту величину называют магнетоном Бора.

Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как где - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.

Обратим внимание на то, что величины и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами.

Аналогичное же равенство для электрического двпольного момента противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.

В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.

В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном воле имеет вид

где - скалярный, А - векторный потенциал поля, - обобщенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает едином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором и мы получим гамильтониан

Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена - соответствующего энергии магнитного момента , в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид

При раскрытии квадрата надо иметь ввиду, оператор , вообще говоря, не коммутативен с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать

Согласно правилу коммутации (16,4) оператора импульса с любой функцией координат имеем

Таким образом, и А коммутативны, если , в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде

(111,7)

Уравнение с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, - симметричные спиноры ранга

Волновые функции частины в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см. II, § 18), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования

где - произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно

(111,9)

Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).

В классической механике обобщенный импульс частицы связан с ее скоростью соотношением Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор с гамильтонианом.

Простое вычисление приводит к результату

(111,10)

в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации

которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.

При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена - это непосредственно очевидно. Член же

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства