Poliéder szög meghatározása. A poliéder szög fogalma

20. Poliéderszögek többszintű vizsgálata, háromszög és poliéderszög síkszögeinek tulajdonságai.

Alapszintű:

Atanasyan

Csak a kétszöget veszi figyelembe.

Pogorelov

Először a kétszöget veszi figyelembe, majd azonnal a háromszöget és a poliéder szöget.

Tekintsünk három, ugyanabból a pontból kiinduló és ugyanabban a síkban fekvő sugarat a, b, c. A háromszög (abc) három lapos szögből (ab), (bc) és (ac) álló alakzat (400. ábra). Ezeket a szögeket háromszög lapjainak, oldalaikat éleknek nevezzük. A síkszögek közös csúcsát háromszögszög csúcsának nevezzük. A háromszög lapjai által alkotott kétszögeket háromszög kétszögeinek nevezzük.

Hasonlóan vezetjük be a poliéderszög fogalmát is (401. ábra).

400. és 401. ábra

P profilszint(A. D. Aleksndrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhikh):

Ha az önkényes poliéderszögek meghatározását és tanulmányozását a 31. §-ig hagyjuk, most ezek közül a legegyszerűbbet fogjuk megvizsgálni - a háromszögszögeket. Ha a sztereometriában a diéderszögek a síkszögek analógjainak tekinthetők, akkor a háromszögek a sík háromszögek analógjainak tekinthetők, és a következő bekezdésekben látni fogjuk, hogyan kapcsolódnak természetes módon a gömbháromszögekhez.

Megszerkeszthet (és ezért konstruktívan meghatározhat) egy háromszöget így. Vegyünk tetszőleges három olyan a, b, c sugarat, amelyeknek közös O origójuk van, és nem egy síkban fekszenek (150. ábra). Ezek a sugarak három konvex síkszög oldalai: az α szög a b, c oldalakkal, a β szög az a, c oldalakkal és a γ szög az a, b oldalakkal. E három α, β, γ szög egyesülését Oabc háromszögnek (vagy röviden O háromszögnek) nevezzük. Az a, b, c sugarakat az Oabc háromszög éleinek, az α, β, γ síkszögeket pedig lapjainak nevezzük. Az O pontot a háromszög csúcsának nevezzük.

3 megjegyzés Lehetne egy nem konvex lapú háromszöget is meghatározni (151. ábra), de az ilyen háromszögeket nem vesszük figyelembe.

A háromszög minden éléhez meg kell határozni a megfelelő kétszöget, amelynek éle tartalmazza a háromszög megfelelő élét, és amelynek lapjai az ezzel az éllel szomszédos háromszög lapjait tartalmazzák.

Mennyiségek kétszögek Az a, b, c élekkel rendelkező Oabc háromszöget a^, b^, c^ jelöljük (közvetlenül a betűk felett nagybetűk).

Az Oabc háromszög három α, β, γ lapja és három kétszöge bordák a, b, с, valamint az α, β, γ és а^, b^, с^ mennyiségeket háromszög elemeinek fogjuk nevezni. (Ne feledje, hogy egy sík háromszög elemei az oldalai és a szögei.)

Feladatunk egy háromszög egyes elemeinek kifejezése a többi elemén keresztül, vagyis a háromszögek „trigonometriájának” megalkotása.

1) Kezdjük a koszinusztétel egy analógjának levezetésével. Először vegyünk egy Oabc háromszöget, amelynek legalább két lapja van, például α és β, éles sarkok. Vegyük a C pontot a c élére, és rajzoljunk belőle α és β lapokban a CB és CA merőlegeseket a c élre, amíg az A és B pontokban nem metszik egymást az a és b élekkel (152. ábra). Fejezzük ki az AB távolságot az OAB és CAB háromszögektől a koszinusztétel segítségével.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) és AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

Kivonva az elsőt a második egyenlőségből, kapjuk:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Mert az OSV és az OCA háromszögek derékszögűek, majd AC 2 -AC 2 =OS 2 és OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

Ezért az (1) és (2)-ből az következik, hogy OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

azok.

De
,
,
,
. Ezért

(3) – a háromszögek koszinusztételének analógja - koszinusz képlet.

Mindkét oldal α és β tompaszög.

Az egyik α és β szög, például α, hegyesszögű, a másik, β tompaszögű.

Az α vagy β szögek közül legalább egy egyenes.

A háromszögek egyenlőségének jelei hasonló a háromszögek egyenlőségének jeleihez. De van egy különbség: például két háromszög egyenlő, ha a kétszögszögük megfelelően egyenlő. Ne felejtsük el, hogy két olyan sík háromszög, amelyek szögei egyenlőek, hasonlóak. A háromszögű szögeknél pedig egy hasonló feltétel nem hasonlósághoz, hanem egyenlőséghez vezet.

A háromszögű szögeknek figyelemre méltó ingatlan amit kettősségnek neveznek. Ha az Oabc háromszög szögére vonatkozó bármely tételben helyettesítjük értékek a, b, -tól π-α, π-β, π-γ-ig, és fordítva, α, β, γ helyére π-a^, π-b^, π-c^, akkor ismét igaz állítást kapunk a háromszögszögekről, kettős az eredeti tétellel. Igaz, ha a szinusztételben ilyen csere történik, akkor ismét a szinusztételhez jutunk (ez önmagának duális). De ha ezt tesszük a (3) koszinusztételben, akkor új képletet kapunk

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Hogy miért jön létre ez a kettősség, az világossá válik, ha egy háromszöghöz duális háromszöget készítünk, amelynek élei merőlegesek az eredeti szög lapjaira (lásd 33.3. szakasz és 356. ábra).

A legegyszerűbb felületek közül néhány poliéderes szögek . Közönséges szögekből állnak (az ilyen szögeket ma gyakran lapos szögeknek nevezzük), ahogy a zárt szaggatott vonal szegmensekből áll. Nevezetesen a következő definíciót adjuk:

Poliéderszöget nevezünk síkszögekből képzett ábra, amely teljesül a következő feltételekkel:

1) Nincs két szögnek közös pontja, kivéve a közös csúcsot vagy az egész oldalt.

2) Ezen szögek mindegyikénél mindegyik oldala közös egy és csak egy másik ilyen szöggel.

3) Minden sarokból a közös oldalakkal rendelkező sarkok mentén lehet menni minden sarokba.

4) Nincs két szög közös oldal ne feküdjenek ugyanabban a síkban (324. ábra).

Ilyen körülmények között a poliéderes szöget alkotó síkszögeket lapjainak, oldalaikat pedig éleinek nevezzük.

Alatt ezt a meghatározást A kétszögletű szög is megfelelő. Két kibontott lapos szögből áll. Csúcsának az élén lévő tetszőleges pontnak tekinthető, és ez a pont az élt két élre osztja, amelyek a csúcsban találkoznak. De a csúcs helyzetének ezen bizonytalansága miatt a diéderszöget kizárjuk a poliéderszögek számából.

P

A poliéder szög fogalma különösen fontos a poliéderek tanulmányozásában - a poliéder elméletében. A poliéder szerkezetét az jellemzi, hogy milyen lapokból áll, és hogyan konvergálnak a csúcsokban, azaz milyen poliéderszögek vannak.

Tekintsük a különböző poliéderek poliéderszögeit.

Vegye figyelembe, hogy a poliéder szögek lapjai lehetnek nem konvex szögek is.

2.4. Poliéderes szögek

Vminek megfelelően tematikus tervezés, erre a szakaszra egy óra tanulási idő (egy tanóra) van elkülönítve.

1. Házi feladat ellenőrzése (5 perc)

2. végzünk az információval való munka szakasza (20 –25min.)

Technológiailag a színpad a kognitív univerzális elsődleges kialakulására összpontosul oktatási tevékenységek(a szövegre vonatkozó kérdések megfogalmazásának képessége, a szöveg alapján önálló válaszok megfogalmazása).

Ez a bekezdés megállapítja további fejlődés háromszög szög fogalma. Megjelenik egy poliéder szög, és ezzel összefüggésben lehetővé válik a sokszög fogalmának tisztázása.

A poliéderes szögekkel kapcsolatban ismét szóba kerül az alakzatok konvexitásának problémája. A poliéderszögek példáján tovább pontosítjuk a tanulók elképzeléseit a konvex és nem konvex alakokról (sokszögek, poliéderszögek, tetszőleges alakzatok).

A poliéderes szögeknél célszerű megfogalmazni síkszögeik tulajdonságait, hasonló a háromszög síkszögeinek megfelelő tulajdonságaihoz (bizonyítás nélkül):

1. Egy poliéderszög minden síkszöge kisebb, mint a többi síkszög összege.

2. Egy poliéderszög összes síkszögének összege kisebb, mint 360º.

3. végzünk képességfejlesztési szakasz (15 –20 min.)

A színpad a produkcióra összpontosul

kognitív UUD – készségek kialakítása:

– a matematikai ismeretek felhasználásáról különböző megoldások megoldására matematikai problémákés a kapott eredmények értékelése;

– a demonstratív matematikai beszéd alkalmazásáról;

– az információkkal való munkavégzésről, beleértve a különféle matematikai szövegeket;

Szabályozási menedzsment készségek - a tevékenységek személyes céljainak kitűzésére, a munka megtervezésére, a terv szerinti cselekvésre, a kapott eredmények értékelésére vonatkozó készségek fejlesztése;

kommunikatív UUD - képességek fejlesztése a csoport többi gyermekével együtt, hogy megoldást találjanak egy problémára és értékeljék a kapott eredményeket.

Megbeszéljük, hogy ez a minden nem világos tisztázásának, valamint a képzésnek a szakasza. Munkacélokat tűztünk ki ezen a ponton, miközben személyes célkitőzést ér el a gyermekek részéről: magyarázza el magamnak mindent, amit nem értünk jól, gyakoroljuk a nehézségeket okozó problémák megoldását.

Itt a 29–30. oldalon található 34., 35. feladatokkal dolgozhat.

Számos további feladatot is kínálunk.

1) Egy poliéder szögnek van n arcok. Hány bordája van?

Válasz: n borda

2) Készíthető-e lapos szögű tetraéderszög modell: 1) 80°, 130°, 70°, 100°; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? Ha a modell sikeres, milyen szögű: konvex vagy nem konvex?

Válasz: 1) lehetséges; 2) lehet konvex vagy nem konvex; 3) lehetséges, csak konvex.

3) A háromszög síkszögeinek ismert tulajdonsága alapján bizonyítsd be, hogy a tetraéderszög minden síkszöge kisebb, mint a másik három síkszögének összege.

Utasítások: Meg kell rajzolnia egy síkot két ellentétes élen keresztül, és meg kell vizsgálnia a kapott háromszögszögeket. A bizonyítás csak konvex szögekre érvényes.

4) Tetraéderes szögben minden síkszög egyenlő. Bizonyítsd be, hogy élesek.

Megoldás: 1. Legyen α egy síkszög fokmértéke.

2. Ezután 4α< 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).

3. Ezért α< 90°, т. е. α – острый угол.

5) Egy konvex poliéderszögben a síkszögek mindegyike egyenlő a) 30°-kal; b) 45°; c) 80°; d) 150°. Hány lapja lehet egy ilyen poliéderes szögnek?

Válasz: a) 3 ≤ n< 12; б) 3 ≤ n < 8; в) 3 ≤ n < 4,5; г) 3 ≤ n < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что n– egész szám.

6) Konvex poliéderszögben minden síkszög egyenlő egymással. Egy poliéderszögnek a) 6; b) 8; c) 10 arc. Mekkora síkszögei vannak egy adott poliéderszögnek?

Ugyanúgy érvelünk, mint az 5. feladat megoldásakor, n α < 360°, где n– poliéderszög lapjainak száma, α – síkszög fokmértéke; 0 ≤ α< 360°/ n.

Válasz: a) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.

A feladatok elvégzésére szánt idő letelte után a munka eredményét a tanár bemutatja a táblán, és a tanulók megbeszélik. A munka összegződik, megtörténik az önértékelés, amely annak meghatározásához kapcsolódik, hogy mi világos és működik, és mi nem világos és nem működik.

4. Fogalmazzuk meg házi feladat Által különböző szintekenösszetettség - az előző szakaszban végzett munka eredményétől függően.

Poliéder szög

egy poliéderes üreg által határolt térrész kúpfelület, melynek iránya egy sík sokszög önmetszéspontok nélkül. Ennek a felületnek a lapjait a mozaik lapjainak, a tetejét pedig a mozaik tetejének nevezzük. M. u. szabályosnak nevezzük, ha minden lineáris szöge és minden diéderszöge egyenlő. Meroy M. u. a gömb alakú sokszög által határolt terület, amelyet a sokszög lapjainak metszéspontjából kapunk, egy sugarú gömb egyenlő eggyel, és a középponttal az M. y csúcsánál. Lásd még Tömörszög.

Nagy Szovjet enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. 1969-1978 .

Nézze meg, mi a „poliéderszög” más szótárakban:

Lásd a térszöget... Nagy enciklopédikus szótár

Lásd a térszöget. * * * POLYEDAL ANGLE POLYEDAL ANGLE, lásd Tömörszög (lásd TÉRSZÖG) ... enciklopédikus szótár

Egy poliéder kúp üregével határolt térrész. önmetszéspontok nélküli lapos sokszög rajra irányító felület. Ennek a felületnek a lapjait ún. a M. u. élei, a M. u. csúcsának teteje. Poliéderszöget nevezünk helyes... Matematikai Enciklopédia

Lásd Tömörszög... Természettudomány. enciklopédikus szótár

poliéderes szög- matematika. A térnek egy ponton átmenő több sík által határolt része (szögcsúcs) ... Sok kifejezés szótára

SOKSZORÚ, sokrétű, sokrétű (könyv). 1. Több arca vagy oldala van. Sokrétű kő. Poliéderszög (egy pontban metsző több sík által határolt térrész; mat.). 2. átadás...... Szótár Ushakova

- (mat.). Ha egy adott síkon O pontból OA és 0B egyeneseket húzunk, akkor AOB szöget kapunk (1. ábra). Szar. 1. 0. pont hívva a szög csúcsa, az OA és 0B egyenesek pedig a szög oldalai. Tegyük fel, hogy két ΒΟΑ és Β 1 Ο 1 Α 1 szög adott.

Ennek a kifejezésnek más jelentései is vannak, lásd: Szög (jelentések). Szög ∠ Méret ° SI mértékegység Radián ... Wikipédia

Lakás, geometriai alakzat, amelyet egy pontból (az U. csúcsából) kilépő két sugár (az U. oldala) alkot. Minden U., amelynek van egy csúcsa valamely kör O középpontjában (középső U.), meghatároz a körön egy AB ívet, amelyet... ... Nagy szovjet enciklopédia

A diéderszög két félsík által alkotott alakzat, amelyeket közös egyenes határol. A félsíkokat lapoknak, az őket határoló egyenest pedig a kétszög élének nevezzük.

A 142. ábra egy diéderszöget mutat az a éllel és az a és (3.

Repülőgép, merőleges a szélére kétszögű, lapjait két félegyenes mentén metszi. Az ezen félegyenesek által alkotott szöget a diéderszög lineáris szögének nevezzük. A kétszög szögének mértéke a megfelelő mértéke lineáris szög. Ha egy diéderszög a élének A pontján keresztül rajzolunk erre az élre merőleges y síkot, akkor az a és (3) síkokat félegyenesek mentén metszi (142. ábra); adott kétszög egyenes szöge. Ennek a lineáris szögnek a fokmérője az fokmérő kétszögű. A diéderszög mértéke nem függ a lineáris szög megválasztásától.

A háromszög szög három lapos szögből álló alakzat (143. ábra). Ezeket a szögeket háromszög lapjainak, oldalaikat éleknek nevezzük. A síkszögek közös csúcsát háromszögszög csúcsának nevezzük. A lapok és azok kiterjesztései által alkotott kétszögeket háromszög kétszögeinek nevezzük.

A poliéder szög fogalmát hasonlóan definiáljuk, mint egy lapos szögekből összeállított alakzatot (144. ábra). Poliéderszög esetén a lapok, élek és kétszögek fogalmát ugyanúgy definiáljuk, mint a háromszögeknél.

A poliéder olyan test, amelynek felülete áll véges szám lapos sokszögek (145. ábra).

Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha felületén minden sokszög síkjának egyik oldalán helyezkedik el (145. ábra, a, b). közös rész olyan sík és felület konvex poliéderélnek nevezik. A konvex poliéder lapjai konvex sokszögek. A lapok oldalait a poliéder éleinek, a csúcsait pedig a poliéder csúcsainak nevezzük.

№1 Dátum 09/05/14

Tantárgy geometria

Osztály 11

Az óra témája: A poliéderszög fogalma. Háromszög szög.

Az óra céljai:

bevezetni a fogalmakat: „háromszögek”, „sokszögek”, „poliéderek”;

megismertetni a hallgatókkal a három- és poliéderszögek, a poliéderek elemeit, valamint a konvex poliéder szög definícióit és a poliéderszög síkszögeinek tulajdonságait;

folytatni a fejlesztési munkát térbeli ábrázolásokÉs térbeli képzelet, és logikus gondolkodás hallgatók.

Az óra típusa: új tananyag elsajátítása

AZ ÓRÁK ALATT

1. Szervezési mozzanat.

A tanulók köszöntése, az osztály órára való felkészültségének ellenőrzése, a tanulók figyelmének megszervezése, az óra általános céljainak és tervének feltárása.

2. Új koncepciók és cselekvési módszerek kialakítása.

Célok: Annak biztosítása, hogy a tanulók észleljék, megértsék és emlékezzenek a tanult anyagra. Gondoskodjon arról, hogy a tanulók elsajátítsák a tanult anyag reprodukálásának módszereit, elősegítsék az elsajátított fogalmak, törvények, szabályok és formulák filozófiai megértését. Megállapítani a tanult anyag helyességét és tudatosságát a tanulókban, feltárni az elsődleges megértés hiányosságait, és elvégezni a javításokat. Gondoskodjon arról, hogy a tanulók összefüggésbe hozzák szubjektív tapasztalataikat a tudományos ismeretek jeleivel.

Adott három sugárA, b És-val közös kezdet pontRÓL RŐL (1.1. ábra). Ez a három sugár nem feltétlenül van ugyanabban a síkban. Az 1.2. ábrán a sugarakb ÉsVal vel feküdni egy repülőbenR, és a gerendaA nem ebben a síkban fekszik.

SugarakA, b ÉsVal vel definiáljon párokban három ívekkel kiemelt síkszöget (1.3. ábra).

Tekintsünk egy ábrát, amely a fent jelzett három szögből és az ezen síkszögek által határolt térrészből áll. Ez térbeli alak hívottháromszög szög (2. ábra).

SugarakA, b és azzal hívjákháromszög élei, és a szögek: = A.O.C. = A.O.B.

= BOC , háromszöget korlátozó - annakélek. Ezek a szögek-lapok kialakulnakháromszögű szög felülete. PontRÓL RŐL hívottháromszögű szög csúcsa. A háromszöget a következőképpen jelölhetjük: OABC

A 3. ábrán látható összes poliéderszög gondos vizsgálata után megállapíthatjuk, hogy mindegyik poliéderszög ugyanaz a számélek és felületek:

4 lap és egy csúcs;

egy ötszögletű szögnek 5 éle, 5 lapja és egy csúcsa van;

egy hatszögletű szögnek 6 éle, 6 lapja és egy csúcsa van stb.

Vannak poliéderes szögek konvex És nem domború.

Képzeljük el, hogy négy, közös eredetű sugarat vettünk, mint a 4. ábrán. Ebben az esetben kaptunknem konvex poliéderszög.

Meghatározás 1. A poliéderes szöget konvexnek nevezzük,ha őmindegyik lapja síkjának egyik oldalán fekszik.

Más szóval, egy konvex poliéderszög mindig bármelyik lapjával elhelyezhető valamilyen síkon. Látható, hogy a 4. ábrán látható esetben ez nem mindig lehetséges. A 4. ábrán látható tetraéderes szög nem konvex.

Vegye figyelembe, hogy a tankönyvünkben, ha azt mondjuk, hogy „poliéder szög”, akkor azt értjük, hogy konvex. Ha a kérdéses poliéderszög nem konvex, akkor erről külön lesz szó.

Poliéderszög síkszögeinek tulajdonságai

1. tétel.Egy háromszög minden síkszöge kisebb, mint a másik két síkszög összege.

2. tétel.A konvex poliéderszög összes síkszögének összege kisebb, mint 360°.

3. Alkalmazás. A készségek és képességek kialakulása.

Célok: Biztosítani, hogy a tanulók alkalmazzák az SR-hez szükséges ismereteket és cselekvési módszereket, feltételek megteremtése a tanulók számára, egyéni módokon a tanultak alkalmazása.

6.Házi feladat információs szakasza.

Célok: Annak biztosítása, hogy a tanulók megértsék a házi feladatok célját, tartalmát és módszereit.

1. §(1.1, 1.2) 4. oldal, 9. sz.

7. A lecke összegzése.

Feladat: Adj minőségi értékelés az osztály és az egyes tanulók munkája.

8. Reflexiós szakasz.

Célok: Reflexió kezdeményezése a tanulókban tevékenységük önértékeléséről. Gondoskodjon arról, hogy a tanulók megtanulják az önszabályozás és az együttműködés alapelveit.

Beszélgetés a kérdésekről:

Mi volt számodra érdekes az óra alatt?

Mi nem világos?

Mire kell figyelnie a tanárnak a következő órán?

Hogyan értékelné az órán végzett munkáját?

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete