Példák egyenlőtlenségi rendszerekre. Lineáris egyenlőtlenségrendszerek grafikus megoldása

Nem mindenki tudja, hogyan kell megoldani a szerkezetében hasonló egyenlőtlenségeket és jellegzetes vonásait egyenletekkel. Az egyenlet két részből álló gyakorlat, amelyek között egyenlőségjel, az egyenlőtlenség részei között pedig „több mint” vagy „kevesebb, mint” jel található. Tehát mielőtt megoldást találnánk egy adott egyenlőtlenségre, meg kell értenünk, hogy érdemes figyelembe venni a szám előjelét (pozitív vagy negatív), ha mindkét oldalt meg kell szorozni bármely kifejezéssel. Ugyanezt a tényt kell figyelembe venni, ha egy egyenlőtlenség feloldásához négyzetesítésre van szükség, mivel a négyzetesítés szorzással történik.

Hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenségek rendszerét

Az egyenlőtlenségek rendszereit sokkal nehezebb megoldani, mint a közönséges egyenlőtlenségeket. Hogyan oldjuk meg a 9. fokozatú egyenlőtlenségeket, nézzük meg konkrét példák. Meg kell érteni, hogy mielőtt dönt másodfokú egyenlőtlenségek(rendszerek) vagy bármely más egyenlőtlenségi rendszer esetén minden egyenlőtlenséget külön-külön kell megoldani, majd összehasonlítani. Az egyenlőtlenségi rendszer megoldása pozitív vagy negatív válasz lesz (akár a rendszernek van megoldása, akár nincs megoldása).

A feladat egy egyenlőtlenséghalmaz megoldása:

Oldjuk meg az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön

Építünk egy számegyenest, amelyen a megoldások halmazát ábrázoljuk

Mivel a halmaz megoldáshalmazok uniója, ezt a számegyenes halmazt legalább egy sorral alá kell húzni.

Egyenlőtlenségek megoldása modulussal

Ez a példa bemutatja, hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenségeket modulussal. Tehát van egy definíciónk:

Meg kell oldanunk az egyenlőtlenséget:

Egy ilyen egyenlőtlenség megoldása előtt meg kell szabadulni a modulustól (jeltől)

Írjuk fel a definíciós adatok alapján:

Most minden rendszert külön kell megoldania.

Készítsünk egy számegyenest, amelyen ábrázoljuk a megoldáshalmazokat.

Ennek eredményeként olyan kollekciónk van, amely számos megoldást egyesít.

Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása

A számegyenes segítségével nézzünk meg egy példát a másodfokú egyenlőtlenségek megoldására. Van egy egyenlőtlenségünk:

Tudjuk, hogy a menetrend másodfokú trinomikus egy parabola. Azt is tudjuk, hogy a parabola ágai felfelé irányulnak, ha a>0.

x 2 -3x-4< 0

Vieta tételét felhasználva megtaláljuk az x 1 = - 1 gyököket; x 2 = 4

Rajzoljunk egy parabolát, vagy inkább egy vázlatot.

Így azt találtuk, hogy a másodfokú trinom értékei kisebbek lesznek, mint 0 a – 1 és 4 közötti intervallumban.

Sok emberben felmerülnek kérdések, amikor olyan kettős egyenlőtlenségeket oldanak meg, mint a g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Valójában több módszer is létezik az egyenlőtlenségek megoldására, így használhatod összetett egyenlőtlenségek grafikus módszer.

Törtegyenlőtlenségek megoldása

Óvatosabb megközelítést igényelnek törtegyenlőtlenségek. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy néhány törtegyenlőtlenség megoldása során az előjel megváltozhat. A törtegyenlőtlenségek megoldása előtt tudnia kell, hogy megoldásukra az intervallum módszert használják. A törtegyenlőtlenséget úgy kell ábrázolni, hogy az előjel egyik oldala így nézzen ki tört racionális kifejezés, a második pedig „- 0”. Az egyenlőtlenséget így transzformálva kapjuk, hogy f(x)/g(x) > (.

Egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel

Az intervallumtechnika a teljes indukció módszerén alapul, vagyis az egyenlőtlenség megoldásához mindenen végig kell menni. lehetséges opciók. Ez a megoldási mód nem feltétlenül szükséges a 8. osztályos tanulók számára, hiszen nekik tudniuk kell megoldani a 8. osztályos egyenlőtlenségeket, amelyek egyszerű gyakorlatok. Az idősebb évfolyamokon azonban ez a módszer nélkülözhetetlen, mivel segít megoldani a törtegyenlőtlenségeket. Az egyenlőtlenségek megoldása ezzel a technikával a folytonos függvény olyan tulajdonságán is alapul, mint az előjel megőrzése azon értékek között, amelyekben 0-ra fordul.

Készítsük el a polinom gráfját. Ez folyamatos funkció, 3-szor kapja meg a 0 értéket, azaz f(x) a polinom gyökeinek x 1, x 2 és x 3 pontjaiban lesz egyenlő 0-val. A pontok közötti intervallumokban a függvény előjele megmarad.

Mivel az f(x)>0 egyenlőtlenség megoldásához szükségünk van a függvény előjelére, a grafikont elhagyva továbblépünk a koordináta egyenesre.

f(x)>0 x(x 1 ; x 2) és x(x 3) esetén;

f(x)x(- ; x 1) és x-ben (x 2 ; x 3)

A grafikonon jól láthatóak az f(x)f(x)>0 egyenlőtlenségek megoldásai (az első egyenlőtlenség megoldása kék, a másodiké piros). Egy függvény előjelének meghatározásához egy intervallumon elég, ha ismerjük a függvény előjelét az egyik pontban. Ez a technika lehetővé teszi, hogy gyorsan megoldja azokat az egyenlőtlenségeket, amelyekben a bal oldal szerepel, mivel az ilyen egyenlőtlenségekben meglehetősen könnyű megtalálni a gyökereket.

Az egyenlőtlenségek és az egyenlőtlenségek rendszerei az egyik téma középiskola algebrában. Nehézségi szintet tekintve nem a legnehezebb, mivel egyszerű szabályokat tartalmaz (erről kicsit később). Általános szabály, hogy az iskolások meglehetősen könnyen megtanulják megoldani az egyenlőtlenségi rendszereket. Ez annak is köszönhető, hogy a tanárok egyszerűen „kiképezik” diákjaikat ebben a témában. És ezt nem tehetik meg, mert a jövőben más módszerekkel tanulmányozzák matematikai mennyiségek, és az OGE-n és az egységes államvizsgán is tesztelték. IN iskolai tankönyvek Az egyenlőtlenségek és egyenlőtlenség-rendszerek témája nagyon részletesen foglalkozik, ezért ha tanulmányozni akarja, a legjobb, ha ezekhez folyamodik. Ez a cikk csak a nagyobb anyagokat foglalja össze, és előfordulhatnak hiányosságok.

Az egyenlőtlenségek rendszerének fogalma

Ha felé fordulsz tudományos nyelv, akkor definiálhatjuk az „egyenlőtlenségek rendszere” fogalmát. Ez egy matematikai modell, amely számos egyenlőtlenséget reprezentál. Ez a modell természetesen megoldást igényel, és ez lesz az általános válasz a rendszer összes, a feladatban javasolt egyenlőtlenségére (általában így írják, pl.: „Oldja meg a 4 x + 1 egyenlőtlenségrendszert > 2 és 30 - x > 6..."). Mielőtt azonban rátérnénk a megoldások típusaira és módszereire, meg kell értened valami mást is.

Egyenlőtlenségrendszerek és egyenletrendszerek

A tanulás folyamatában új téma nagyon gyakran félreértések merülnek fel. Egyrészt minden világos, és mielőbb el akarod kezdeni a feladatok megoldását, másrészt viszont néhány pillanat az „árnyékban” marad, és nem érthető meg teljesen. Ezenkívül a már megszerzett tudás egyes elemei összefonódhatnak újakkal. Ennek az „átfedésnek” köszönhetően gyakran előfordulnak hibák.

Ezért mielőtt témánk elemzésébe kezdenénk, emlékezzünk az egyenletek és egyenlőtlenségek közötti különbségekre, valamint ezek rendszerére. Ehhez még egyszer tisztáznunk kell, hogy mit jelentenek az adatok. matematikai fogalmak. Az egyenlet mindig egyenlőség, és mindig egyenlő valamivel (a matematikában ezt a szót "="" jellel jelölik). Az egyenlőtlenség olyan modell, amelyben az egyik érték nagyobb vagy kisebb, mint a másik, vagy olyan kijelentést tartalmaz, hogy nem ugyanaz. Így az első esetben az egyenlőségről illik beszélni, a másodiknál ​​pedig bármennyire is nyilvánvalóan hangzik ez magából a névből, a kiindulási adatok egyenlőtlenségéről. Az egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek gyakorlatilag nem különböznek egymástól, és a megoldási módszerek is megegyeznek. Az egyetlen különbség az, hogy az első esetben egyenlőségeket, a második esetben pedig egyenlőtlenségeket használunk.

Az egyenlőtlenségek típusai

Kétféle egyenlőtlenség létezik: numerikus és ismeretlen változós egyenlőtlenség. Az első típus olyan megadott értékeket (számokat) jelöl, amelyek nem egyenlőek egymással, például 8 > 10. A második típus egy ismeretlen változót tartalmazó egyenlőtlenségeket jelent (valami betűvel jelölve). Latin ábécé, leggyakrabban X). Ezt a változót meg kell találni. Attól függően, hogy hány van, a matematikai modell különbséget tesz az egy (egy változós egyenlőtlenségrendszert alkotnak) vagy több változó (több változós egyenlőtlenségrendszert alkotnak) között.

Az utolsó két típus felépítésük mértéke és a megoldás bonyolultsági foka szerint egyszerű és összetett típusokra oszlik. Az egyszerűeket lineáris egyenlőtlenségnek is nevezik. Ezek viszont szigorú és nem szigorú. A szigorúak kifejezetten „mondják”, hogy egy mennyiségnek szükségszerűen kisebbnek vagy többnek kell lennie, tehát ez benne van tiszta forma egyenlőtlenség. Több példa is felhozható: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 stb. A nem szigorúak közé tartozik az egyenlőség is. Vagyis egy érték lehet nagyobb vagy egyenlő egy másik értéknél (a „≥” jel), vagy kisebb vagy egyenlő egy másik értéknél (a „≤” jel). Bővebben lineáris egyenlőtlenségek ah, a változó nem gyök, négyzet és nem osztható semmivel, ezért nevezik „egyszerűnek”. Az összetettek ismeretlen változókat foglalnak magukban, amelyek keresése végrehajtást igényel. több matematikai műveletek. Gyakran négyzetben, kockában vagy gyökér alatt helyezkednek el, lehetnek modulárisak, logaritmikusak, törtek stb. De mivel a feladatunk az egyenlőtlenségrendszerek megoldásának megértése, ezért lineáris egyenlőtlenségek rendszeréről fogunk beszélni. . Előtte azonban érdemes néhány szót ejteni tulajdonságaikról.

Az egyenlőtlenségek tulajdonságai

Az egyenlőtlenségek tulajdonságai a következők:

1. Az egyenlőtlenség előjele megfordul, ha egy műveletet használunk az oldalak sorrendjének megváltoztatására (például ha t 1 ≤ t 2, akkor t 2 ≥ t 1).
2. Az egyenlőtlenség mindkét oldala lehetővé teszi, hogy ugyanazt a számot adja hozzá önmagához (például ha t 1 ≤ t 2, akkor t 1 + szám ≤ t 2 + szám).
3. Két vagy több azonos irányú előjelű egyenlőtlenség lehetővé teszi bal és jobb oldaluk összeadását (például ha t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, akkor t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Az egyenlőtlenség mindkét oldala szorozható vagy osztható ugyanazzal a pozitív számmal (például ha t 1 ≤ t 2 és egy szám ≤ 0, akkor a · t 1 ≥ szám · t 2).
5. Két vagy több egyenlőtlenség, amelynek pozitív tagja és azonos irányú előjele van, meg lehet szorozni egymással (például ha t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0, akkor t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Az egyenlőtlenség mindkét része megengedi magát ugyanazzal a negatív számmal szorozni vagy osztani, de ebben az esetben az egyenlőtlenség előjele megváltozik (például ha t 1 ≤ t 2 és egy szám ≤ 0, akkor a · t 1 szám ≥ szám · t 2).
7. Minden egyenlőtlenségnek megvan a tranzitivitás tulajdonsága (például ha t 1 ≤ t 2 és t 2 ≤ t 3, akkor t 1 ≤ t 3).

Most, az egyenlőtlenségekkel kapcsolatos elmélet alapelveinek tanulmányozása után, közvetlenül áttérhetünk a rendszereik megoldásának szabályaira.

Egyenlőtlenségi rendszerek megoldása. Általános információk. Megoldások

Mint fentebb említettük, a megoldás a változó azon értékei, amelyek az adott rendszer összes egyenlőtlenségére alkalmasak. Az egyenlőtlenségek rendszereinek megoldása a megvalósítás matematikai műveletek, amelyek végül az egész rendszer megoldásához vezetnek, vagy bebizonyítják, hogy nincs megoldása. Ebben az esetben a változóról azt mondjuk, hogy üresre utal numerikus készlet(így írva: változót jelölő betű∈ (jel „tartozik”) ø (jel „üres halmaz”), például x ∈ ø (olvassa: „Az „x” változó tartozik üres készlet") Az egyenlőtlenségrendszerek megoldásának többféle módja van: grafikus, algebrai, helyettesítési módszer. Érdemes megjegyezni, hogy ezek közé tartoznak matematikai modellek, amelyeknek számos ismeretlen változója van. Abban az esetben, ha csak egy van, az intervallum módszer megfelelő.

Grafikus módszer

Lehetővé teszi egy egyenlőtlenségrendszer megoldását több ismeretlen mennyiséggel (kettőtől és afelettitől). Ennek a módszernek köszönhetően a lineáris egyenlőtlenségek rendszere meglehetősen egyszerűen és gyorsan megoldható, így ez a legelterjedtebb módszer. Ez azzal magyarázható, hogy a gráf ábrázolása csökkenti a matematikai műveletek írásának mennyiségét. Különösen kellemessé válik, ha egy kis szünetet tartunk a tolltól, felkapunk egy ceruzát egy vonalzóval, és segítségükkel elkezdünk további tevékenységeket végezni, ha sok munka van már, és egy kis változatosságra vágyunk. Viszont ezt a módszert néhány embernek nem tetszik, mert el kell szakadnia a feladattól, és át kell váltania szellemi tevékenység rajzoláshoz. Ez azonban nagyon hatékony módszer.

Egyenlőtlenség-rendszer megoldásához a segítségével grafikus módszer, az egyes egyenlőtlenségek összes tagját át kell vinni a sajátjukba bal oldalt. Az előjelek megfordulnak, jobbra nullát kell írni, majd minden egyenlőtlenséget külön kell írni. Ennek eredményeképpen az egyenlőtlenségekből függvényeket kapunk. Ezek után elővehet egy ceruzát és egy vonalzót: most minden kapott függvényről grafikont kell rajzolnia. A metszéspontjuk intervallumában lévő számok teljes halmaza megoldása lesz az egyenlőtlenségek rendszerének.

Algebrai mód

Lehetővé teszi két ismeretlen változójú egyenlőtlenségrendszer megoldását. Emellett egyenlőtlenségeknek kell lenniük ugyanazzal a jellel egyenlőtlenségek (vagyis vagy csak a „nagyobb” jelet kell tartalmazniuk, vagy csak a „kisebb, mint” jelet stb.) Korlátai ellenére ez a módszer is bonyolultabb. Két szakaszban alkalmazzák.

Az első olyan műveleteket foglal magában, amelyek célja az egyik ismeretlen változótól való megszabadulás. Először ki kell választania, majd ellenőrizze, hogy vannak-e számok a változó előtt. Ha nincsenek ott (akkor a változó egy betűnek fog kinézni), akkor nem változtatunk semmit, ha vannak (a változó típusa pl. 5y vagy 12y lesz), akkor meg kell tenni győződjön meg arról, hogy minden egyenlőtlenségben a kiválasztott változó előtti szám azonos. Ehhez meg kell szorozni az egyenlőtlenségek minden tagját közös szorzó Ha például az első egyenlőtlenségbe 3y, a másodikba pedig 5y van beírva, akkor az első egyenlőtlenség minden tagját meg kell szorozni 5-tel, a másodikat pedig 3-mal. Az eredmény 15y, illetve 15y.

A megoldás második szakasza. Minden egyenlőtlenség bal oldalát át kell vinni a jobb oldalukra, az egyes tagok előjelét az ellenkezőjére változtatni, a jobb oldalra pedig nullát kell írni. Ezután jön a szórakoztató rész: megszabadulni a kiválasztott változótól (más néven „csökkentés”), miközben hozzáadjuk az egyenlőtlenségeket. Ez egyenlőtlenséget eredményez egy változóval, amelyet meg kell oldani. Ezt követően ugyanezt kell tennie, csak egy másik ismeretlen változóval. A kapott eredmények jelentik a rendszer megoldását.

Helyettesítési módszer

Lehetővé teszi egy egyenlőtlenségrendszer megoldását, ha lehetséges egy új változó bevezetése. Jellemzően ezt a módszert alkalmazzuk, ha az egyenlőtlenség egyik tagjában az ismeretlen változót a negyedik hatványra emeljük, a másik tagban pedig négyzetre emeljük. Ez a módszer tehát a rendszerbeli egyenlőtlenségek mértékének csökkentését célozza. Az x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 mintaegyenlőtlenséget így oldjuk meg. Egy új változó kerül bevezetésre, például t. Azt írják: „Legyen t = x 2”, akkor a modellt átírják egy új formában. Esetünkben azt kapjuk, hogy t 2 - t - 1 ≤0. Ezt az egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel kell megoldani (erről kicsit később), majd vissza az X változóhoz, majd ugyanezt a másik egyenlőtlenséggel. A kapott válaszok a rendszer megoldása lesz.

Intervallum módszer

Ez a legegyszerűbb módja az egyenlőtlenségi rendszerek megoldásának, ugyanakkor egyetemes és elterjedt. Középiskolákban, sőt felsőoktatásban is használják. Lényege abban rejlik, hogy a tanuló egy számegyenesen keres egyenlőtlenségi intervallumokat, amelyet egy füzetbe húznak (ez nem grafikon, hanem egy közönséges sor számokkal). Ahol az egyenlőtlenségek intervallumai metszik egymást, ott megtaláljuk a rendszer megoldását. Az intervallum módszer használatához kövesse az alábbi lépéseket:

1. Az egyes egyenlőtlenségek minden tagja átkerül a bal oldalra, az előjel az ellenkezőjére változik (a jobbra nullát írunk).
2. Az egyenlőtlenségeket külön-külön írjuk ki, és mindegyikre meghatározzuk a megoldást.
3. Megtalálhatóak az egyenlőtlenségek metszéspontjai a számegyenesen. Az ezekben a kereszteződésekben található összes szám megoldást jelent.

Melyik módszert használjam?

Nyilván a legegyszerűbbnek és legkényelmesebbnek tűnő, de vannak esetek, amikor a feladatok megkövetelik egy bizonyos módszer. Leggyakrabban azt mondják, hogy grafikon vagy intervallum módszerrel kell megoldani. Az algebrai módszert és a behelyettesítést rendkívül ritkán vagy egyáltalán nem alkalmazzák, mivel meglehetősen bonyolultak és zavarosak, ráadásul inkább egyenletrendszerek megoldására használják, nem pedig egyenlőtlenségekre, ezért érdemes grafikonok és intervallumok rajzolásához folyamodni. Világosságot hoznak, ami nem csak hozzájárul a matematikai műveletek hatékony és gyors végrehajtásához.

Ha valami nem sikerül

Egy adott téma algebrai tanulmányozása során természetesen problémák merülhetnek fel annak megértésével. És ez normális, mert agyunk úgy van kialakítva, hogy nem képes megérteni összetett anyag egyszer. Gyakran újra kell olvasnia egy bekezdést, segítséget kell kérnie egy tanártól, vagy gyakorolnia kell egy probléma megoldását. tipikus feladatok. A mi esetünkben például így néznek ki: „Megoldjuk a 3 x + 1 ≥ 0 és a 2 x - 1 > 3 egyenlőtlenségrendszert.” Így a személyes vágy, a kívülállók segítsége és a gyakorlat segít bármilyen összetett téma megértésében.

Megoldó?

Megoldókönyv is nagyon alkalmas, de nem házi feladat másolására, hanem önsegítésre. Ezekben megoldásokkal rendelkező egyenlőtlenségi rendszereket találhat, megnézheti őket (mint sablonokat), megpróbálhatja megérteni, hogy a megoldás szerzője pontosan hogyan birkózott meg a feladattal, majd megpróbálja ezt saját maga is megtenni.

Következtetések

Az algebra az egyik legnehezebb tantárgy az iskolában. Nos, mit tehetsz? A matematika mindig is ilyen volt: egyeseknek könnyű, de másoknak nehéz. De mindenesetre emlékezni kell arra általános nevelési programÚgy van felépítve, hogy minden diák meg tudja kezelni. Sőt, észben kell tartani hatalmas mennyiség asszisztensek Néhányukat fentebb említettük.

Egyenlőtlenségek rendszere Szokásos két vagy több egyenlőtlenség bármely halmazát hívni, amely ismeretlen mennyiséget tartalmaz.

Ezt a megfogalmazást jól szemlélteti például az alábbiak egyenlőtlenségek rendszerei:

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét! - azt jelenti, hogy megtaláljuk egy ismeretlen változó összes értékét, amelynél a rendszer minden egyenlőtlensége megvalósul, vagy annak igazolását, hogy ilyen nem létezik .

Ez azt jelenti, hogy mindenki számára rendszer egyenlőtlenségek Kiszámoljuk az ismeretlen változót. Ezután a kapott értékek közül csak azokat választja ki, amelyek mind az első, mind a második egyenlőtlenségre igazak. Ezért a kiválasztott érték helyettesítésekor a rendszer mindkét egyenlőtlensége helyessé válik.

Nézzük meg a megoldást több egyenlőtlenségre:

Tegyünk egymás alá egy pár számsort; tedd fel az értéket a tetejére x, amelyre az első egyenlőtlenség kb. x> 1) igazzá válik, és alul - az érték X, amelyek a második egyenlőtlenség megoldása ( X> 4).

Az adatok összehasonlításával számsorok, vegye figyelembe, hogy a megoldás mindkettőre egyenlőtlenségek akarat X> 4. Válasz, X> 4.

2. példa

Az első kiszámítása egyenlőtlenség-3-at kapunk X< -6, или x> 2, második - X> -8, ill X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, amelynél az első megvalósul egyenlőtlenségi rendszer, és az alsó számsorhoz mindazokat az értékeket X, amelynél a rendszer második egyenlőtlensége megvalósul.

Az adatokat összevetve azt találjuk, hogy mindkettő egyenlőtlenségek minden értékre érvényes lesz X, 2-8. Értékek halmaza X jelöljük kettős egyenlőtlenség 2 < X< 8.

3. példa meg fogjuk találni

Nézzünk példákat a lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldására.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Egy rendszer megoldásához szükség van annak minden egyes alkotó egyenlőtlenségére. Csak az a döntés született, hogy nem külön írunk, hanem együtt, göndör zárójellel kombinálva.

A rendszer minden egyenlőtlenségében átvisszük az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másikra. ellentétes jel:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Egyszerűsítés után az egyenlőtlenség mindkét oldalát el kell osztani az X előtti számmal. Az első egyenlőtlenséget elosztjuk egy pozitív számmal, így az egyenlőtlenség előjele nem változik. A második egyenlőtlenséget elosztjuk egy negatív számmal, így az egyenlőtlenség előjelét meg kell fordítani:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Az egyenlőtlenségek megoldását a számegyeneseken jelöljük:

Válaszul felírjuk a megoldások metszéspontját, vagyis azt a részt, ahol mindkét egyenesen árnyékolás van.

Válasz: x∈[-2;1).

Az első egyenlőtlenségben szabaduljunk meg a törttől. Ehhez mindkét oldalt tagonként meg kell szorozni a legkisebbel közös nevező 2. Ha megszorozzuk egy pozitív számmal, az egyenlőtlenség előjele nem változik.

A második egyenlőtlenségben kinyitjuk a zárójeleket. Két kifejezés összegének és különbségének szorzata egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével. A jobb oldalon a két kifejezés közötti különbség négyzete látható.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket ellenkező előjellel a másik oldalra mozgatjuk, és leegyszerűsítjük:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk az X előtti számmal. Az első egyenlőtlenségben negatív számmal osztunk, így az egyenlőtlenség előjele megfordul. A másodikban pozitív számmal osztunk, az egyenlőtlenség előjele nem változik:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Mindkét egyenlőtlenségnek van „kisebb, mint” előjele (nem számít, hogy az egyik jel szigorúan „kisebb, mint”, a másik laza, „kisebb vagy egyenlő”). Nem jelölhetjük meg mindkét megoldást, hanem használjuk a „ ” szabályt. A kisebb 1, ezért a rendszer az egyenlőtlenségre redukál

Megoldását a számegyenesen jelöljük:

Válasz: x∈(-∞;1].

A zárójelek megnyitása. Az első egyenlőtlenségben - . Ez egyenlő ezen kifejezések kockáinak összegével.

A másodikban két kifejezés összegének és különbségének szorzata, amely egyenlő a négyzetek különbségével. Mivel itt a mínusz jel van a zárójelek előtt, jobb, ha két lépésben nyitja meg őket: először használja a képletet, és csak ezután nyissa meg a zárójeleket, és módosítsa az egyes kifejezések előjelét az ellenkezőjére.

Az ismeretleneket az egyik irányba mozgatjuk, az ismerteket a másik irányba, ellenkező előjellel:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Mindkettő nagyobb, mint a jelek. A „több mint több” szabályt használva az egyenlőtlenségek rendszerét egy egyenlőtlenségre redukáljuk. A két szám közül a nagyobb 5, ezért

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Jelöljük a számegyenesen az egyenlőtlenség megoldását, és írjuk fel a választ:

Válasz: x∈(5;∞).

Mivel az algebrában a lineáris egyenlőtlenségek nemcsak úgy fordulnak elő önálló feladatokat, hanem a megoldás során is különféle fajták egyenletek, egyenlőtlenségek stb., fontos ezt a témát időben elsajátítani.

Legközelebb a lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek megoldására nézünk példákat olyan speciális esetekben, amikor az egyik egyenlőtlenségnek nincs megoldása, vagy a megoldása tetszőleges szám.

LINEÁRIS EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK I

23. § Lineáris egyenlőtlenségek rendszerei

Lineáris egyenlőtlenségek rendszere két vagy több lineáris egyenlőtlenség bármely halmaza, amely ugyanazt az ismeretlen mennyiséget tartalmazza.

Ilyen rendszerek például a következő rendszerek:

Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az ismeretlen mennyiség összes olyan értékét, amelyre a rendszer minden egyenlőtlensége teljesül.

Oldjuk meg a fenti rendszereket.

Tegyünk egymás alá két számsort (31. ábra); felül jelöljük azokat az értékeket X , amelyre az első egyenlőtlenség teljesül ( X > 1), és alul ezek az értékek X , amelyre a második egyenlőtlenség teljesül ( X > 4).

A számegyenesen kapott eredményeket összehasonlítva azt látjuk, hogy mindkét egyenlőtlenség egyszerre teljesül, ha X > 4. Válasz, X > 4.

Az első egyenlőtlenség -3-at ad X < -б, или X > 2, és a második - X > -8, ill X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , amelyre a rendszer első egyenlőtlensége teljesül, és a második számsorban, amely az első alatt található, mindazok az értékek X , amelyre a rendszer második egyenlőtlensége teljesül (32. ábra).

A két eredmény összehasonlítása azt mutatja, hogy mindkét egyenlőtlenség egyidejűleg minden értékre érvényes X , 2-8. Az ilyen értékek halmaza X formában van írva kettős egyenlőtlenség 2 < X < 8.

3. példa Oldja meg az egyenlőtlenségrendszert!

A rendszer első egyenlőtlensége 5-öt ad X < 10, или X < 2, второе X > 4. Így bármely szám, amely egyidejűleg kielégíti mindkét egyenlőtlenséget, nem lehet több 2-nél és 4-nél (33. ábra).

De ilyen számok nem léteznek. azért ezt a rendszert az egyenlőtlenségek egyik érték esetében sem teljesülnek X . Az ilyen egyenlőtlenségi rendszereket inkonzisztensnek nevezzük.

Gyakorlatok

Oldja meg ezeket az egyenlőtlenségrendszereket (179-184):

Egyenlőtlenségek megoldása (185., 186.):

185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.

Lelet érvényes értékek az egyenlőségi adatokban szereplő levelek (187., 188. sz.):

Oldja meg az egyenlőtlenségeket (189., 190.):

189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Ó < 5.

191. Milyen hőmérsékletű legyen 10 liter víz ahhoz, hogy 6 liter 15°-os vízzel összekeverve legalább 30°-os és 40°-nál nem magasabb hőmérsékletű vizet kapjunk?

192. A háromszög egyik oldala 4 cm, a másik kettő összege 10 cm. Határozzuk meg ezeket az oldalakat, ha egész számokkal vannak kifejezve.

193. Ismeretes, hogy a két lineáris egyenlőtlenség rendszere nem teljesül az ismeretlen mennyiség egyetlen értékére sem. Mondhatjuk-e, hogy ennek a rendszernek az egyedi egyenlőtlenségei nem teljesülnek az ismeretlen mennyiség egyetlen értékére sem?