Egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségrendszerek egy változóval. Technológiai szakaszok
Ez a cikk tartalmazza kezdeti információk egyenlőtlenségek rendszereiről. Itt található az egyenlőtlenségek rendszerének meghatározása és az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásának meghatározása. Felsoroljuk azokat a főbb rendszertípusokat is, amelyekkel az iskolai algebraórákon leggyakrabban kell dolgozni, és példákat is adunk.
Oldalnavigáció.
Mi az egyenlőtlenségek rendszere?
Kényelmes az egyenlőtlenségrendszereket ugyanúgy definiálni, mint ahogy az egyenletrendszer definícióját bevezettük, vagyis a jelölés típusa és a benne foglalt jelentés alapján.
Meghatározás.
Egyenlőtlenségek rendszere egy olyan rekord, amely bizonyos számú, egymás alá írt egyenlőtlenséget reprezentál, bal oldalon kapcsos kapcsos zárójellel egyesítve, és jelöli azon megoldások halmazát, amelyek egyidejűleg megoldások a rendszer minden egyenlőtlenségére.
Mondjunk egy példát egy egyenlőtlenség-rendszerre. Vegyünk két tetszőlegeset, például 2 x−3>0 és 5−x≥4 x−11, írjuk őket egymás alá
2x−3>0,
5-x≥4 x-11
és egyesítsünk egy rendszerjellel - göndör kapcsos zárójellel, ennek eredményeként a következő formájú egyenlőtlenségrendszert kapjuk:
Hasonló elképzelést adnak az egyenlőtlenségek rendszereiről is iskolai tankönyvek. Érdemes megjegyezni, hogy definícióikat szűkebben adják meg: az egyváltozós egyenlőtlenségekre vagy két változóval.
Az egyenlőtlenségi rendszerek fő típusai
Nyilvánvaló, hogy végtelenül sokat lehet alkotni különféle rendszerek egyenlőtlenségek Annak érdekében, hogy ne vesszenek el ebben a sokszínűségben, célszerű olyan csoportokban tekinteni őket, amelyeknek megvan a sajátjuk jellemzők. Minden egyenlőtlenségi rendszer csoportokra osztható a következő kritériumok szerint:
- a rendszerben lévő egyenlőtlenségek számával;
- a rögzítésben érintett változók számával;
- maguk az egyenlőtlenségek típusai szerint.
A rekordban szereplő egyenlőtlenségek száma alapján kettős, három, négyes stb. rendszereket különböztetünk meg. egyenlőtlenségek Az előző bekezdésben példát adtunk egy rendszerre, amely két egyenlőtlenség rendszere. Mutassunk egy másik példát a négy egyenlőtlenség rendszerére 
.
Külön elmondjuk, hogy nincs értelme egyetlen egyenlőtlenség rendszeréről beszélni, ebben az esetben lényegében arról beszélünk magáról az egyenlőtlenségről, nem a rendszerről.
Ha a változók számát nézzük, akkor léteznek egyenlőtlenségi rendszerek egy, kettő, három stb. változók (vagy ahogy szokták mondani, ismeretlenek). Nézd meg a két bekezdéssel feljebb írt utolsó egyenlőtlenségi rendszert. Ez egy három változóból álló rendszer: x, y és z. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első két egyenlőtlensége nem tartalmazza mindhárom változót, hanem csak az egyiket. Ennek a rendszernek az összefüggésében ezeket a hárommal való egyenlőtlenségként kell érteni az űrlap változói x+0·y+0·z≥−2 és 0·x+y+0·z≤5. Vegye figyelembe, hogy az iskola az egyenlőtlenségekre összpontosít egy változóval.
Továbbra is meg kell vitatni, hogy milyen típusú egyenlőtlenségek vannak a rögzítési rendszerekben. Az iskolában főleg két (ritkábban - három, még ritkábban - négy vagy több) egyenlőtlenség rendszerét veszik figyelembe, egy vagy két változóval, és maguk az egyenlőtlenségek általában teljes egyenlőtlenségek első vagy második fokozat (ritkábban - több magas fokok vagy töredékesen racionális). De ne lepődjön meg, ha az egységes államvizsgára felkészítő anyagaiban irracionális, logaritmikus, exponenciális és egyéb egyenlőtlenségeket tartalmazó egyenlőtlenségi rendszerekkel találkozik. Példaként adjuk az egyenlőtlenségek rendszerét 
, innen származik.
Mi a megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére?
Vezessünk be egy másik, az egyenlőtlenségi rendszerekkel kapcsolatos definíciót - az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásának meghatározását:
Meghatározás.
Egy változós egyenlőtlenségrendszer megoldása egy olyan változó értéke, amely a rendszer minden egyenlőtlenségét igazzá változtatja, más szóval a rendszer minden egyenlőtlenségének megoldása.
Magyarázzuk meg egy példával. Vegyünk egy két egyenlőtlenség rendszerét egy változóval. Vegyük az x változó 8-cal egyenlő értékét, ez definíció szerint megoldása egyenlőtlenségrendszerünkre, mivel a rendszer egyenlőtlenségeibe való behelyettesítése két helyes numerikus egyenlőtlenséget ad: 8>7 és 2−3·8≤0. Ellenkezőleg, az egység nem megoldás a rendszerre, mivel ha az x változót helyettesítjük vele, az első egyenlőtlenség hibás 1>7 numerikus egyenlőtlenséggé változik.
Hasonlóképpen bevezethetjük a megoldás definícióját egy két-, három- és egyenlőtlenség-rendszerbe egy nagy szám változók:
Meghatározás.
Egyenlőtlenségrendszer megoldása kettővel, hárommal stb. változók párnak, hármasnak stb. ezeknek a változóknak az értékeit, ami egyben megoldás a rendszer minden egyenlőtlenségére, vagyis a rendszer minden egyenlőtlenségét helyes numerikus egyenlőtlenséggé változtatja.
Például egy x=1, y=2 értékpár vagy más jelöléssel (1, 2) egy kétváltozós egyenlőtlenségrendszer megoldása, mivel 1+2<7 и 1−2<0 - верные számszerű egyenlőtlenségek. A (3,5, 3) pár pedig nem megoldás erre a rendszerre, mivel a változók ezen értékeinek második egyenlőtlensége a 3,5-3 hibás numerikus egyenlőtlenséget adja.<0 .
Előfordulhat, hogy az egyenlőtlenségrendszereknek nincs megoldása, lehet véges számú megoldása, vagy végtelen számú megoldása lehet. Az emberek gyakran beszélnek az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásairól. Ha egy rendszernek nincsenek megoldásai, akkor a megoldásainak üres halmaza van. Ha véges sok megoldás van, akkor a megoldások halmaza véges sok elemet tartalmaz, ha pedig végtelen sok megoldás van, akkor a megoldások halmaza végtelen sok elemből áll.
Egyes források meghatározzák az egyenlőtlenségek rendszerének sajátos és általános megoldását, mint például Mordkovich tankönyveiben. Alatt az egyenlőtlenségek rendszerének privát megoldása megértse egyetlen döntését. Viszont közös döntés egyenlőtlenségek rendszerei- ezek mind az ő személyes döntései. Ezeknek a kifejezéseknek azonban csak akkor van értelme, ha konkrétan hangsúlyozni kell, hogy milyen megoldásról beszélünk, de ez általában már a szövegkörnyezetből is kiderül, így sokkal gyakrabban egyszerűen azt mondják, hogy „megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére”.
Az egyenlőtlenségek rendszerének és megoldásainak ebben a cikkben bemutatott definícióiból az következik, hogy az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a rendszer összes egyenlőtlenségére vonatkozó megoldáshalmazok metszéspontja.
Bibliográfia.
- Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A. G. Algebra. 9. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A. G. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 11. évfolyam. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (profilszint) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Egységes államvizsga-2013. Matematika: standard vizsgalehetőségek: 30 lehetőség / szerk. A. L. Semenova, I. V. Jascsenko. – M.: „Nemzetnevelés” Kiadó, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - iskola).
1. Az egyváltozós egyenlőtlenség fogalma
2. Egyenértékű egyenlőtlenségek. Tételek az egyenlőtlenségek ekvivalenciájáról
3. Egyenlőtlenségek megoldása egy változóval
4. Egyváltozós egyenlőtlenségek grafikus megoldása
5. Modulusjel alatt változót tartalmazó egyenlőtlenségek
6. Főbb következtetések
Egyenlőtlenségek egy változóval
Ajánlatok 2 x + 7 > 10-es, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> A 0-t egyváltozós egyenlőtlenségeknek nevezzük.
Általában ezt a fogalmat a következőképpen határozzák meg:
Meghatározás. Legyen f(x) és g(x) két kifejezés x változóval és X tartománnyal. Ekkor egy f(x) > g(x) vagy f(x) alakú egyenlőtlenség.< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Változó érték x sokaktól X, amelyben az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik, nevezzük döntés. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy sok megoldást kell találni rá.
Így a 2. egyenlőtlenség megoldásával x + 7 > 10 -x, x? R a szám x= 5, mivel 2 5 + 7 > 10 - 5 valódi numerikus egyenlőtlenség. Megoldásainak halmaza pedig az (1, ∞) intervallum, amelyet az egyenlőtlenség transzformációjával kapunk meg: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Egyenértékű egyenlőtlenségek. Tételek az egyenlőtlenségek ekvivalenciájáról
Az egyváltozós egyenlőtlenségek megoldásának alapja az ekvivalencia fogalma.
Meghatározás. Két egyenlőtlenséget ekvivalensnek mondunk, ha a megoldáshalmazaik egyenlőek.
Például egyenlőtlenségek 2 x+ 7 > 10 és 2 x> 3 ekvivalens, mivel megoldáshalmazaik egyenlőek és a (2/3, ∞) intervallumot reprezentálják.
Az egyenlőtlenségek ekvivalenciájára vonatkozó tételek és az ezekből származó következmények hasonlóak az egyenletek ekvivalenciájára vonatkozó megfelelő tételekhez. Bizonyításuk a valódi numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságait használja fel.
3. tétel. Legyen egyenlőtlenség f(x) > g(x) a készleten meghatározott xÉs h(x) egy ugyanazon a halmazon definiált kifejezés. Aztán az egyenlőtlenségek f(x) > g(x) és f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) egyenértékűek a forgatáson X.
Ebből a tételből következések következnek, amelyeket gyakran használnak az egyenlőtlenségek megoldására:
1) Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalára f(x) > g(x) adja hozzá ugyanazt a számot d, akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget f(x) + d > g(x)+ d, egyenértékű az eredetivel.
2) Ha bármely tagot (numerikus kifejezést vagy változós kifejezést) áthelyezünk az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba, a tag előjelét az ellenkezőjére változtatva, akkor az adottnak megfelelő egyenlőtlenséget kapunk.
4. tétel. Legyen egyenlőtlenség f(x) > g(x) a készleten meghatározott xÉs h(x x sokaktól x kifejezés h(x) elfogadja pozitív értékeket. Aztán az egyenlőtlenségek f(x) > g(x) és f(x) h(x) > g(x) h(x) egyenértékűek a forgatáson X.
f(x) > g(x) szorozzuk meg ugyanazzal a pozitív számmal d, akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget f(x) d > g(x) d, ezzel egyenértékű.
5. tétel. Legyen egyenlőtlenség f(x) > g(x) a készleten meghatározott xÉs h(x) - ugyanazon a halmazon és mindenre definiált kifejezés x sok van belőlük x kifejezés h(x) negatív értékeket vesz fel. Aztán az egyenlőtlenségek f(x) > g(x) és f(x) h(x) > g(x) h(x) egyenértékűek a forgatáson x.
Ebből a tételből egy következmény következik: ha az egyenlőtlenség mindkét oldala f(x) > g(x) szorozzuk meg ugyanannyival negatív szám dés megváltoztatjuk az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére, megkapjuk az egyenlőtlenséget f(x) d > g(x) d, ezzel egyenértékű.
Egyenlőtlenségek megoldása egy változóval
Oldjuk meg az 5. egyenlőtlenséget x - 5 < 2х - 16, x? R, és megindokoljuk mindazokat az átalakításokat, amelyeket a megoldási folyamat során végzünk.
Az egyenlőtlenség megoldása x < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5x - 5 < 2x + 16 az intervallum (-∞, 7).
Feladatok
1. Határozza meg, hogy a következő bejegyzések közül melyik egyenlőség egy változóval:
a) -12 - 7 x< 3x+ 8; d) 12 x + 3(x- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12,8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. A 3-as szám megoldása az egyenlőtlenségre 6(2x + 7) < 15(x + 2), x? R? Mi a helyzet a 4,25-ös számmal?
3. Egyenértékűek-e a következő egyenlőtlenségpárok a valós számok halmazán:
a) -17 x< -51 и x > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 és 3 x-1>0;
c) 6-5 x>-4 és x<2?
4. Az alábbi állítások közül melyik igaz:
a) -7 x < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) x< 6 => x< 20?
5. Oldja meg a 3. egyenlőtlenséget ( x - 2) - 4(x + 1) < 2(х - 3) - 2, és indokolja meg az összes végrehajtandó átalakítást.
6. Bizonyítsuk be ezt az egyenlőtlenség megoldásával 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2x) bármely valós szám.
7. Bizonyítsd be, hogy nem létezik valós szám, ami a 3(2 -) egyenlőtlenség megoldása lenne x) - 2 > 5 - 3x.
8. A háromszög egyik oldala 5 cm, a másik 8 cm Mekkora lehet a harmadik oldal hossza, ha a háromszög kerülete:
a) 22 cm-nél kisebb;
b) több mint 17 cm?
AZ EGYENLŐTLENSÉGEK GRAFIKUS MEGOLDÁSA EGY VÁLTOZÓVAL. Mert grafikus megoldás egyenlőtlenségek f (x) > g (x) függvénygrafikonokat kell építeni
y = f (x) = g (x)és válassza ki az abszcissza tengely azon intervallumait, amelyeken a függvény grafikonja látható y = f(x) az y = függvény grafikonja felett található g(x).
Példa 17.8. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget! x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
Megoldás. Készítsünk függvénygráfokat egy koordinátarendszerben
y = x 2 - 4 és y = Zx (17.5. ábra). Az ábrán látható, hogy a függvények grafikonjait nál nél= x 2- 4 az y = 3 függvény grafikonja felett helyezkedik el x nál nél x< -1 és x > 4, azaz az eredeti egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a halmaz
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Válasz: x О(- oo; -1) és ( 4; + oo).
Menetrend másodfokú függvény nál nél= ax 2 + bx + c egy parabola, amelynek ágai felfelé mutatnak, ha a > 0, és lefelé, ha A< 0. Ebben az esetben három eset lehetséges: a parabola metszi a tengelyt Ó(azaz egyenlet ah 2+ bx+ c = 0-nak két különböző gyökere van); parabola érinti a tengelyt x(azaz egyenlet ax 2 + bx+ c = 0-nak egy gyöke van); a parabola nem metszi a tengelyt Ó(azaz egyenlet ah 2+ bx+ c = 0-nak nincs gyökere). Így hat lehetséges pozíciója van a parabolának, amely az y = függvény grafikonjaként szolgál. ah 2+b x + c(17.6. ábra). Ezen illusztrációk segítségével másodfokú egyenlőtlenségeket oldhat meg.
Példa 17.9. Oldja meg az egyenlőtlenséget: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Megoldás, a) A 2x 2 + 5x -3 = 0 egyenletnek két gyöke van: x, = -3, x 2 = 0.5. Egy függvény grafikonjaként szolgáló parabola nál nél= 2x 2+ 5x -3, az ábrán látható. A. Egyenlőtlenség 2x 2+ 5x -3 > 0 teljesül ezekre az értékekre X, amelyeknél a parabola pontjai a tengely felett helyezkednek el Ó:órakor lesz x< х х vagy mikor x> x g> azok. nál nél x< -3 vagy at x > 0.5. Ez azt jelenti, hogy az eredeti egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a (- ¥; -3) és (0,5; + ¥) halmaza.
b) Egyenlet -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nem rendelkezik igazi gyökerek. Egy függvény grafikonjaként szolgáló parabola nál nél= - 3x 2 - 2x -ábrán látható 6. 17.6 Egyenlőtlenség -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, amelyeknél a parabola pontjai a tengely alatt helyezkednek el Ó. Mivel a teljes parabola a tengely alatt van Ó, akkor az eredeti egyenlőtlenség megoldásainak halmaza az R halmaz .
A MODULJEL ALATT VÁLTOZÓT TARTALMAZÓ EGYENLŐTLENSÉGEK. Ezen egyenlőtlenségek feloldásakor szem előtt kell tartani, hogy:
|f(x) | =
f(x), Ha f(x) ³ 0,
- f(x), Ha f(x) < 0,
Ugyanakkor a terület elfogadható értékeket Az egyenlőtlenségeket intervallumokra kell felosztani, amelyeken a modulusjel alatti kifejezések megtartják előjelüket. Ezután a modulok bővítésével (a kifejezések előjeleit figyelembe véve) meg kell oldani az egyenlőtlenséget minden intervallumon, és a kapott megoldásokat az eredeti egyenlőtlenség megoldási halmazává kell kombinálni.
Példa 17.10. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Megoldás. Az x = 1 és x = 2 pontok osztódnak számtengely (DZ egyenlőtlenség(17.9) három intervallumra: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Oldjuk meg mindegyiknél ezt az egyenlőtlenséget. Ha x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; ezért |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Ez azt jelenti, hogy a (17.9) egyenlőtlenség a következő alakot ölti: 1- x + 2 - x > 3 + x, azaz. x< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Ha 1 £ x 0,2 £, akkor x - 1 ³ 0 és 2 – x ³ 0; ezért | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Ez azt jelenti, hogy a rendszer a következőket tartalmazza:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Az így létrejövő egyenlőtlenségrendszernek nincsenek megoldásai. Ezért a [ 1; 2] a (17.9) egyenlőtlenség megoldásainak halmaza üres.
Ha x > 2, akkor x - 1 >0 és 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x - 2 > 3+x,
x > 6 vagy
Az ODZ-egyenlőtlenség (17.9) minden részén talált megoldásokat összevonva megkapjuk a megoldását - a (-¥; 0) È (6; +oo) halmazt.
Néha hasznos egy valós szám modulusának geometriai értelmezését használni, amely szerint | a | a koordináta egyenes a pontjának az O origótól való távolságát jelenti, a | a - b | a koordinátaegyenes a és b pontjai közötti távolságot jelenti. Alternatív megoldásként használhatja az egyenlőtlenség mindkét oldalának négyzetre emelésének módszerét.
17.5. Tétel. Ha kifejezések f(x) és g(x) tetszőleges x-hez csak nem negatív értékeket vegyünk, akkor az egyenlőtlenségeket f (x) > g (x)És f (x) ² > g (x) ² egyenértékűek.
58. Főbb következtetések 12. §
Ebben a részben a következőket határoztuk meg fogalmak:
Numerikus kifejezés;
Jelentése numerikus kifejezés;
Egy kifejezés, amelynek nincs jelentése;
Kifejezés változó(k)kal;
Kifejezésdefiníció hatóköre;
Ugyanúgy egyenlő kifejezések;
Identitás;
Identitás transzformáció kifejezések;
Numerikus egyenlőtlenség;
Egyenlet egy változóval;
Az egyenlet gyöke;
Mit jelent egy egyenlet megoldása;
egyenértékű egyenletek;
Egyenlőtlenség egy változóval;
Egyenlőtlenségek megoldása;
Mit jelent az egyenlőtlenség megoldása;
Egyenértékű egyenlőtlenségek.
Emellett megvizsgáltuk az egyenletek és egyenlőtlenségek ekvivalenciájára vonatkozó tételeket, amelyek megoldásuk alapját képezik.
Az egyenletek és egyenlőtlenségek ekvivalenciájára vonatkozó fenti fogalmak és tételek definícióinak ismerete - szükséges feltétel módszertanilag kompetens tanulmányozással fiatalabb iskolások algebrai anyag.
A mai órán általánosítjuk ismereteinket az egyenlőtlenségi rendszerek megoldásában, és tanulmányozzuk az egyenlőtlenségek rendszereinek megoldását.
Egy definíció.
Azt mondják, hogy több, egy változós egyenlőtlenség egyenlőtlenségi rendszert alkot, ha az a feladat, hogy az adott egyenlőtlenségek összes általános megoldását megtaláljuk.
Annak a változónak az értékét, amelynél a rendszer egyes egyenlőtlenségei helyes numerikus egyenlőtlenséggé alakulnak, az egyenlőtlenségrendszer parciális megoldásának nevezzük.
Az egyenlőtlenségek rendszerének konkrét megoldásainak halmaza az egyenlőtlenségek rendszerének általános megoldását jelenti (gyakrabban azt mondják, egyszerűen - az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása).
Egy egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az összes konkrét megoldását, vagy bebizonyítani, hogy egy adott rendszernek nincs megoldása.
Emlékezik! Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a rendszerben lévő egyenlőtlenségek megoldásainak metszéspontja.
A rendszerben szereplő egyenlőtlenségeket göndör zárójellel kombinálják.
Algoritmus egy változós egyenlőtlenségrendszer megoldására:
Az első az, hogy minden egyenlőtlenséget külön-külön kell megoldani.
A második a talált megoldások metszéspontjának megtalálása.
Ez a metszéspont az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásainak halmaza
1. Feladat
Oldja meg a hét x mínusz negyvenkettő nullánál kisebb vagy egyenlő és kettő x mínusz hét egyenlőtlenségrendszert Nulla felett.
Az első egyenlőtlenség megoldása x kisebb vagy egyenlő hatnál, a második egyenlőtlenség x nagyobb, mint a második hét. Jelöljük ezeket az intervallumokat a koordináta egyenesen. Az első egyenlőtlenség megoldását alul árnyékolással, a második egyenlőtlenség megoldását pedig felül árnyékolással jelöljük. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása az egyenlőtlenségek megoldásainak metszéspontja lesz, vagyis az az intervallum, ahol mindkét sraffozás egybeesik. Ennek eredményeként hét másodperctől hatig fél intervallumot kapunk, beleértve a hatot is.
2. feladat
Oldja meg az egyenlőtlenségrendszert: x négyzet plusz x mínusz hat nagyobb nullánál és x négyzet plusz x plusz hat nagyobb nullánál.
Megoldás
Oldjuk meg az első egyenlőtlenséget - x négyzet plusz x mínusz hat nagyobb, mint nulla.
Vegye figyelembe a lejátszási funkciót egyenlő x-szel négyzet plusz x mínusz hat. A függvény nullái: x first egyenlő mínusz hárommal, x második egyenlő kettővel. Egy parabolát sematikusan ábrázolva azt találjuk, hogy az első egyenlőtlenség megoldása a nyitott számsugarak uniója mínusz végtelentől mínusz háromig és kettőtől plusz végtelenig.
Oldjuk meg a rendszer második egyenlőtlenségét: x négyzet plusz x plusz hat nagyobb, mint nulla.
Tekintsük az ig függvényt x négyzet plusz x plusz hat. A diszkrimináns mínusz huszonhárommal kisebb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy a függvénynek nincsenek nullái. Parabola nem rendelkezik közös pontok Ox tengellyel. Egy parabolát sematikusan ábrázolva azt találjuk, hogy az egyenlőtlenség megoldása az összes szám halmaza.
Ábrázoljuk a koordináta egyenesen a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldásait.
Az ábrán látható, hogy a rendszer megoldása a nyitott számsugarakat mínusz végtelentől mínusz háromig és kettőtől plusz végtelenig kombinálni.
Válasz: a nyitott számsugarak egyesítése mínusz végtelentől mínusz háromig és kettőtől plusz végtelenig.
Emlékezik! Ha több egyenlőtlenség rendszerében az egyik a másik (vagy mások) következménye, akkor a következmény-egyenlőtlenség elvethető.
Nézzünk egy példát egy egyenlőtlenség rendszer általi megoldására.
3. feladat
Oldja meg az x négyzet mínusz tizenhárom x plusz negyvenkét bázis kettő egyenlőtlenségi logaritmusát, amely nagyobb vagy egyenlő egynél.
Megoldás
Az egyenlőtlenség ODZ-jét az x négyzet mínusz tizenhárom x plusz negyvenkettő nullánál nagyobb feltétel adja. Képzeljük el az egyes számot a kettő logaritmusaként a kettőhöz, és megkapjuk az egyenlőtlenséget - az x négyzet mínusz tizenhárom x plusz negyvenkettő kifejezés logaritmusa a kettőhöz nagyobb vagy egyenlő, mint a kettő logaritmusa a bázishoz kettő.
Látjuk, hogy a logaritmus alapja egyenlő kettővel egyhez képest, akkor eljutunk a következőhöz egyenlőtlenséggel egyenértékű x négyzet mínusz tizenhárom x plusz negyvenkettő nagyobb vagy egyenlő kettőnél. Ezért a megoldás erre logaritmikus egyenlőtlenség két másodfokú egyenlőtlenség rendszerének megoldására redukálódik.
Sőt, könnyen észrevehető, hogy ha a második egyenlőtlenség teljesül, akkor még inkább az első egyenlőtlenség teljesül. Ezért az első egyenlőtlenség a második következménye, és elvethető. Átalakítjuk a második egyenlőtlenséget, és a következő formában írjuk fel: x négyzet mínusz tizenhárom x plusz negyven nagyobb, mint nulla. Megoldása az, hogy két számsugarat kombinálunk mínusz végtelentől ötig, illetve nyolctól plusz végtelenig.
Válasz: két számsugár egyesülése mínusz végtelentől ötig és nyolctól plusz végtelenig.
nyitott számsugarak
Definíció kettő.
Azt mondják, hogy egy változóval több egyenlőtlenség egyenlőtlenségek halmazát képezi, ha a feladat az, hogy megtaláljuk a változó összes olyan értékét, amelyek mindegyike megoldást jelent az adott egyenlőtlenségek közül legalább egyre.
Egy változó minden ilyen értékét egyenlőtlenségek halmazának adott megoldásának nevezzük.
Az egyenlőtlenségek halmazának partikuláris megoldásainak halmaza az egyenlőtlenségek halmazának általános megoldása.
Emlékezik! Az egyenlőtlenségek halmazának megoldása a halmazban szereplő egyenlőtlenségek megoldásainak kombinációja.
A készletben szereplő egyenlőtlenségek szögletes zárójellel vannak kombinálva.
Algoritmus egyenlőtlenségek halmazának megoldására:
Az első az, hogy minden egyenlőtlenséget külön-külön kell megoldani.
A második az, hogy megtaláljuk a talált megoldások egységét.
Ez az unió a megoldás az egyenlőtlenségek halmazára.
4. feladat
nulla pont két X különbségének kétszerese és három kisebb, mint X mínusz kettő;
öt x mínusz hét nagyobb, mint x mínusz hat.
Megoldás
Alakítsuk át az egyes egyenlőtlenségeket. Egyenértékű halmazt kapunk
x nagyobb, mint hétharmad;
x több mint egynegyed.
Az első egyenlőtlenségnél a megoldások halmaza a hétharmadtól a plusz végtelenig terjedő intervallum, a második esetében pedig az egynegyedtől a plusz végtelenig terjedő intervallum.
Rajzoljunk a koordinátaegyenesre egy olyan számhalmazt, amely kielégíti az x hétharmadnál nagyobb és egynegyednél nagyobb x egyenlőtlenségeket.
Azt tapasztaljuk, hogy ezen halmazok kombinálásával, i.e. az egyenlőtlenségek ezen halmazának megoldása nyitott számsugár egynegyedtől a plusz végtelenig.
Válasz: nyissa meg a számnyalábot egynegyedtől plusz végtelenig.
5. feladat
Oldja meg az egyenlőtlenségek halmazát:
kettő x mínusz egy kisebb, mint három, és három x mínusz kettő nagyobb vagy egyenlő tíznél.
Megoldás
Alakítsuk át az egyes egyenlőtlenségeket. Megkapjuk az egyenlőtlenségek egyenértékű halmazát: x nagyobb kettőnél és x nagyobb vagy egyenlő négynél.
Rajzoljunk a koordinátaegyenesre egy olyan számhalmazt, amely kielégíti ezeket az egyenlőtlenségeket.
Azt tapasztaljuk, hogy ezen halmazok kombinálásával, i.e. ennek az egyenlőtlenséghalmaznak a megoldása egy nyitott numerikus sugár kettőtől plusz végtelenig.
Válasz: nyissa meg a számsugarat kettőtől a plusz végtelenig.
Óra témája: Rendszermegoldás lineáris egyenlőtlenségek egy változóval
Időpontja: _______________
osztály: 6a, 6b, 6c
Az óra típusa:új anyagok elsajátítása és az elsődleges konszolidáció.
Didaktikai cél: feltételeket teremteni az új oktatási információblokk tudatosításához és megértéséhez.
Célok: 1) Oktatási: mutassa be a fogalmakat: egyenlőtlenségi rendszerek megoldása, ekvivalens egyenlőtlenségi rendszerek és tulajdonságaik; megtanítani, hogyan kell alkalmazni ezeket a fogalmakat egyszerű, egyváltozós egyenlőtlenségrendszerek megoldása során.
2) Fejlesztő: elősegíti a kreatív elemek fejlődését, önálló tevékenység diákok; fejleszti a beszédet, a gondolkodási, elemzési, általánosítási képességet, a gondolatok világos és tömör kifejezését.
3) Oktatási: az egymás iránti tiszteletteljes és a nevelő-oktató munka iránti felelősségteljes magatartás kialakítása.
Feladatok:
ismételje meg az elméletet a numerikus egyenlőtlenségek és numerikus intervallumok témakörében;
mondjon példát egy egyenlőtlenségi rendszerrel megoldható problémára;
vegyünk példákat az egyenlőtlenségi rendszerek megoldására;
önálló munkát végezni.
Szervezeti formák oktatási tevékenységek: - frontális – kollektív – egyéni.
Mód: magyarázó - szemléltető.
Tanterv:
1. Idő szervezése, motiváció, célok kitűzése
2. A téma tanulmányozásának aktualizálása
3. Új anyag elsajátítása
4. Elsődleges konszolidáció és új anyag alkalmazása
5. Önálló munkavégzés
7. A lecke összegzése. Visszaverődés.
Az órák alatt:
1. Szervezési mozzanat
Az egyenlőtlenség jó segítség lehet. Csak tudnod kell, mikor fordulj hozzá segítségért. A problémák megfogalmazása a matematika számos alkalmazásában gyakran az egyenlőtlenségek nyelvén fogalmazódik meg. Például sok gazdasági célok a lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek tanulmányozására redukálódnak. Ezért fontos, hogy meg tudjuk oldani az egyenlőtlenségi rendszereket. Mit jelent „megoldani az egyenlőtlenségek rendszerét”? Ezt nézzük meg ma az órán.
2. Az ismeretek felfrissítése.
Szóbeli munka osztállyal, három diák egyéni kártyákkal dolgozik.
Az „Egyenlőtlenségek és tulajdonságaik” témakör elméletének áttekintése érdekében tesztelést végzünk, majd ellenőrzést és beszélgetést folytatunk a téma elméletéről. Minden tesztfeladathoz az „Igen” – ábra, „Nem” – ____. ábra válasza szükséges.
A teszt eredménye legyen valamilyen ábra.
(válasz: ).
Állapítsa meg az egyenlőtlenség és a numerikus intervallum közötti megfelelést!
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"A matematika megtanít a nehézségek leküzdésére és a saját hibáinak kijavítására." Keresse meg az egyenlőtlenség megoldásának hibáját, magyarázza el a hiba okát, írja le a helyes megoldást a füzetébe!
2x<8-6
x>-1
3. Új anyag tanulmányozása.
Ön szerint mit nevezünk megoldásnak az egyenlőtlenségek rendszerére?
(Az egyváltozós egyenlőtlenségrendszer megoldása annak a változónak az értéke, amelyre a rendszer minden egyenlőtlensége igaz)
Mit jelent „megoldani az egyenlőtlenségek rendszerét”?
(Egy egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek megoldások)
Mit kell tenni annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy „ez adott szám
megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére?
(Helyettesítse be ezt a számot a rendszer mindkét egyenlőtlenségébe, ha megkapja valódi egyenlőtlenségek, akkor az adott szám az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása, ha az egyenlőtlenségek helytelenek, akkor az adott szám nem megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére;
Fogalmazzon meg egy algoritmust egyenlőtlenségi rendszerek megoldására!
1. Oldja meg a rendszer minden egyenlőtlenségét!
2. Grafikusan ábrázolja az egyes egyenlőtlenségek megoldásait a koordinátaegyenesen.
3. Keresse meg az egyenlőtlenségek megoldásainak metszéspontját a koordinátaegyenesen!
4. Írja le a választ számintervallumként!
Vegye figyelembe a példákat:
Válasz: 
Válasz: nincs megoldás
4. A téma biztosítása.
Munka a 1016., 1018., 1022. sz. tankönyvvel
5. Önálló munkavégzés lehetőségek szerint ( Feladatkártyák diákoknak asztalon)
Önálló munkavégzés
1.opció
Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét:
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete