Megbízhatóbb mint grafikus módszer, amelyről az előző bekezdésben volt szó.

Helyettesítő módszer

Ezt a módszert 7. osztályban alkalmaztuk lineáris egyenletrendszerek megoldására. A 7. osztályban kidolgozott algoritmus nagyon alkalmas tetszőleges két egyenletrendszer (nem feltétlenül lineáris) két x és y változós rendszerének megoldására (természetesen a változókat más betűkkel is jelölhetjük, ami nem számít). Valójában ezt az algoritmust használtuk az előző bekezdésben, amikor a probléma kétjegyű szám oda vezetett matematikai modell, ami egy egyenletrendszer. Ezt a fenti egyenletrendszert helyettesítési módszerrel oldottuk meg (lásd a 4. § 1. példáját).

Algoritmus a helyettesítési módszer használatához két x, y változós egyenletrendszer megoldása során.

1. Fejezd ki y-t x-szel a rendszer egyik egyenletéből.
2. Helyettesítse be a kapott kifejezést y helyett a rendszer egy másik egyenletébe.
3. Oldja meg a kapott egyenletet x-re!
4. Helyettesítsük be egymás után a harmadik lépésben talált egyenlet gyökeinek mindegyikét x helyett az első lépésben kapott y–x kifejezésbe.
5. Írja le a választ értékpárok formájában (x; y), amelyeket a harmadik, illetve a negyedik lépésben talált meg!

4) Helyettesítse be egyenként az y talált értékét az x = 5 - 3 képletbe. Ha akkor
5) Adott egyenletrendszer párjai (2; 1) és megoldásai.

Válasz: (2; 1);

Algebrai összeadás módszere

Ezt a módszert a helyettesítési módszerhez hasonlóan a 7. osztályos algebra tantárgyból ismeri, ahol lineáris egyenletrendszerek megoldására használták. Emlékezzünk vissza a módszer lényegére a következő példa segítségével.

2. példa Egyenletrendszer megoldása

Szorozzuk meg a rendszer első egyenletének összes tagját 3-mal, a második egyenletet pedig hagyjuk változatlanul:
Vonja ki a rendszer második egyenletét az első egyenletéből:

Az eredeti rendszer két egyenletének algebrai összeadása eredményeként egy olyan egyenletet kaptunk, amely egyszerűbb, mint az adott rendszer első és második egyenlete. Ezzel az egyszerűbb egyenlettel jogunk van egy adott rendszer bármely egyenletét helyettesíteni, például a másodikat. Ekkor az adott egyenletrendszert egy egyszerűbb rendszerrel helyettesítjük:

Ez a rendszer helyettesítési módszerrel oldható meg. A második egyenletből ezt a kifejezést y helyett a rendszer első egyenletébe behelyettesítve azt kapjuk

Marad az x talált értékei behelyettesítése a képletbe

Ha x = 2, akkor

Így két megoldást találtunk a rendszerre:

Új változók bevezetésének módszere

A 8. osztályos algebra tanfolyamon megismerkedtél egy változós racionális egyenletek megoldásánál új változó bevezetésének módszerével. Ennek az egyenletrendszer-megoldási módszernek a lényege ugyanaz, de technikai szempontból van néhány jellemző, amelyeket a következő példákban tárgyalunk.

3. példa Egyenletrendszer megoldása

Vezessünk be egy új változót. Ekkor a rendszer első egyenlete átírható egy többre egyszerű formában: Oldjuk meg ezt az egyenletet a t változóra:

Mindkét érték kielégíti a feltételt, ezért gyökér racionális egyenlet t változóval. De ez azt jelenti, hogy hol találjuk meg, hogy x = 2y, vagy
Így egy új változó bevezetésének módszerével sikerült két egyszerűbb egyenletre „rétegezni” a rendszer első egyenletét, amely meglehetősen bonyolultnak tűnt:

x = 2 y; y - 2x.

Mi a következő lépés? Aztán mind a kettő megkapta egyszerű egyenletek egyenként kell figyelembe venni az x 2 - y 2 = 3 egyenletű rendszerben, amelyre még nem emlékeztünk. Más szavakkal, a probléma két egyenletrendszer megoldásán múlik:

Megoldásokat kell találnunk az első rendszerre, a második rendszerre, és a válaszba bele kell foglalnunk az eredményül kapott értékpárokat. Oldjuk meg az első egyenletrendszert:

Használjuk a helyettesítési módszert, főleg, hogy itt minden készen áll rá: a rendszer második egyenletébe cseréljük be az x helyett a 2y kifejezést. Kapunk

Mivel x = 2y, rendre x 1 = 2, x 2 = 2. Így az adott rendszer két megoldását kapjuk: (2; 1) és (-2; -1). Oldjuk meg a második egyenletrendszert:

Használjuk ismét a helyettesítési módszert: a rendszer második egyenletébe az y helyett 2x kifejezést cseréljük be. Kapunk

Ennek az egyenletnek nincs gyökere, ami azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek nincsenek megoldásai. Így csak az első rendszer megoldásait kell a válaszban szerepeltetni.

Válasz: (2; 1); (-2;-1).

Az új változók bevezetésének módszere két változós egyenletrendszer megoldása során két változatban használatos. Első lehetőség: egy új változó kerül bevezetésre és a rendszer egyetlen egyenletében kerül felhasználásra. Pontosan ez történt a 3. példában. Második lehetőség: két új változót vezetünk be és használunk egyszerre a rendszer mindkét egyenletében. Ez lesz a helyzet a 4. példában.

4. példa Egyenletrendszer megoldása

Vezessünk be két új változót:

Akkor ezt vegyük figyelembe

Ez lehetővé teszi az újraírást adott rendszer sokkal egyszerűbb formában, de viszonylag új a és b változók:

Mivel a = 1, akkor az a + 6 = 2 egyenletből a következőt kapjuk: 1 + 6 = 2; 6=1. Így az a és b változókra egy megoldást kaptunk:

Visszatérve az x és y változókra, egy egyenletrendszert kapunk

Alkalmazzuk a módszert ennek a rendszernek a megoldására algebrai összeadás:

Azóta a 2x + y = 3 egyenletből a következőket kapjuk:
Így az x és y változókra egy megoldást kaptunk:

Ezt a bekezdést egy rövid, de meglehetősen komoly elméleti beszélgetéssel zárjuk. Ön már szerzett némi tapasztalatot a megoldásban különböző egyenletek: lineáris, négyzetes, racionális, irracionális. Tudod, hogy egy egyenlet megoldásának fő gondolata az, hogy fokozatosan lépjünk át az egyik egyenletről a másikra, egyszerűbbre, de egyenértékűre az adott egyenlettel. Az előző bekezdésben bemutattuk az ekvivalencia fogalmát kétváltozós egyenletek esetében. Ezt a fogalmat egyenletrendszereknél is használják.

Meghatározás.

Két x és y változós egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik megegyeznek, vagy ha mindkét rendszernek nincs megoldása.

Mindhárom módszer (helyettesítés, algebrai összeadás és új változók bevezetése), amelyet ebben a részben tárgyaltunk, teljesen helyes az ekvivalencia szempontjából. Más szóval, ezekkel a módszerekkel egy egyenletrendszert helyettesítünk egy másik, egyszerűbb, de az eredeti rendszerrel egyenértékű egyenletrendszerrel.

Grafikus módszer egyenletrendszerek megoldására

Megtanultuk már, hogyan lehet egyenletrendszereket megoldani olyan általános és megbízható módszerekkel, mint a helyettesítés, az algebrai összeadás és az új változók bevezetése. Most pedig emlékezzünk arra a módszerre, amelyet már tanulmányozott előző lecke. Vagyis ismételjük meg, amit a grafikus megoldási módszerről tud.

Az egyenletrendszerek grafikus megoldásának módszere magában foglalja egy-egy gráf felépítését mindegyikhez specifikus egyenletek, amelyek ebben a rendszerben szerepelnek és egyben vannak Koordináta sík, és ahol meg kell találni ezen grafikonok pontjainak metszéspontjait. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásához adjuk meg ennek a pontnak a koordinátáit (x; y).

Emlékeztetni kell arra, hogy azért grafikus rendszer az egyenletek általában vagy egy egyest tartalmaznak a helyes döntés, vagy végtelen halmaz megoldásokat, vagy egyáltalán nincs megoldásuk.

Most nézzük meg részletesebben mindegyik megoldást. És így az egyenletrendszernek lehet egyetlen döntés abban az esetben, ha az egyenesek, amelyek a rendszer egyenleteinek grafikonjai, metszik egymást. Ha ezek az egyenesek párhuzamosak, akkor egy ilyen egyenletrendszernek egyáltalán nincs megoldása. Ha a rendszer egyenleteinek direkt gráfjai egybeesnek, akkor egy ilyen rendszer sok megoldást tesz lehetővé.

Nos, most nézzük meg az algoritmust egy két egyenletrendszer 2 ismeretlennel grafikus módszerrel történő megoldására:

Először is, először elkészítjük az 1. egyenlet grafikonját;
A második lépés a második egyenlethez kapcsolódó gráf megalkotása;
Harmadszor meg kell találnunk a grafikonok metszéspontjait.
És ennek eredményeként megkapjuk az egyes metszéspontok koordinátáit, ami az egyenletrendszer megoldása lesz.

Nézzük meg ezt a módszert részletesebben egy példa segítségével. Kapunk egy egyenletrendszert, amelyet meg kell oldani:

Egyenletek megoldása

1. Először is ütemtervet készítünk adott egyenlet: x2+y2=9.

De meg kell jegyezni, hogy ez az egyenletgrafikon egy kör lesz, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig három.

2. Következő lépésünk egy egyenlet ábrázolása lesz, például: y = x – 3.

Ebben az esetben egy egyenest kell készítenünk, és meg kell keresnünk a (0;−3) és (3;0) pontokat.

3. Lássuk, mit kaptunk. Látjuk, hogy az egyenes két A és B pontjában metszi a kört.

Most ezeknek a pontoknak a koordinátáit keressük. Látjuk, hogy a koordináták (3;0) az A pontnak, a koordináták (0;−3) pedig a B pontnak felelnek meg.

És mit kapunk ennek eredményeként?

Azok a (3;0) és (0;−3) számok, amelyeket akkor kapunk, amikor az egyenes metszi a kört, pontosan a rendszer mindkét egyenletének megoldásai. Ebből pedig az következik, hogy ezek a számok ennek az egyenletrendszernek a megoldásai is.

Vagyis erre a megoldásra a (3;0) és (0;−3) számok adják a választ.

Ebben a leckében két egyenletrendszer két változóban történő megoldását vizsgáljuk meg. Először nézzük meg egy két lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását és a grafikonjaik halmazának sajátosságait. Ezután több rendszert fogunk megoldani grafikus módszerrel.

Témakör: Egyenletrendszerek

Lecke: Grafikus módszer egyenletrendszer megoldására

Fontolja meg a rendszert

Az a számpár, amely egyszerre megoldása a rendszer első és második egyenletének is, ún. egyenletrendszer megoldása.

Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását, vagy megállapítjuk, hogy nincsenek megoldások. Megnéztük az alapegyenletek grafikonjait, térjünk át a rendszerek figyelembevételére.

Példa 1. Oldja meg a rendszert

Megoldás:

Ezek lineáris egyenletek, mindegyik grafikonja egy egyenes. Az első egyenlet grafikonja átmegy a (0; 1) és (-1; 0) pontokon. A második egyenlet grafikonja átmegy a (0; -1) és (-1; 0) pontokon. Az egyenesek a (-1; 0) pontban metszik egymást, ez az egyenletrendszer megoldása ( Rizs. 1).

A rendszer megoldása egy számpár. Ezt a számpárt minden egyenletbe behelyettesítve megkapjuk a helyes egyenlőséget.

Megvan az egyetlen megoldás lineáris rendszer.

Emlékezzünk vissza, hogy a lineáris rendszer megoldása során a következő esetek lehetségesek:

a rendszernek egyedi megoldása van - a vonalak metszik egymást,

a rendszernek nincs megoldása - a vonalak párhuzamosak,

a rendszernek végtelen számú megoldása van – az egyenesek egybeesnek.

Áttekintettük különleges eset rendszerek, amikor p(x; y) és q(x; y) - lineáris kifejezések x-ből és y-ból.

2. példa Egyenletrendszer megoldása

Megoldás:

Az első egyenlet grafikonja egy egyenes, a második egyenlet grafikonja egy kör. Építsük fel az első gráfot pontok szerint (2. ábra).

A kör középpontja az O(0; 0) pontban van, sugara 1.

A grafikonok az A(0; 1) pontban és a B(-1; 0) pontban metszik egymást.

Példa 3. Oldja meg a rendszert grafikusan

Megoldás: Készítsük el az első egyenlet grafikonját - ez egy kör, amelynek középpontja t.O(0; 0) és sugara 2. A második egyenlet grafikonja egy parabola. Az origóhoz képest 2-vel felfelé tolódik, azaz. csúcsa a (0; 2) pont (3. ábra).

A grafikonoknak van egy közös pont- t. A(0; 2). Ez a megoldás a rendszerre. Csatlakoztassunk néhány számot az egyenlethez, hogy ellenőrizzük, helyes-e.

Példa 4. Oldja meg a rendszert

Megoldás: Készítsük el az első egyenlet grafikonját – ez egy kör, amelynek középpontja t.O(0; 0) és sugara 1 (4. ábra).

Ábrázoljuk a függvényt Ez egy szaggatott vonal (5. ábra).

Most mozgassuk 1-el lefelé az oy tengely mentén. Ez lesz a függvény grafikonja

Helyezzük mindkét grafikont ugyanabba a koordinátarendszerbe (6. ábra).

Három metszéspontot kapunk - A(1; 0), B(-1; 0), C(0; -1) pont.

Megnéztük a grafikus módszert a rendszerek megoldására. Ha minden egyenlet grafikonját meg tudja rajzolni, és megtalálja a metszéspontok koordinátáit, akkor ez a módszer teljesen elegendő.

De gyakran a grafikus módszer lehetővé teszi a rendszer hozzávetőleges megoldásának megtalálását vagy a megoldások számával kapcsolatos kérdés megválaszolását. Ezért más, pontosabb módszerekre van szükség, amelyekkel a következő leckékben foglalkozunk.

1. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Tankönyv. Általános műveltségre Intézmények.- 4. sz. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina stb. - 4. kiad. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algebra. 9. évfolyam: oktatási. általános iskolai tanulók számára. intézmények / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. osztály. 16. kiadás - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. kiadás, törölve. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebra. 9. osztály. 2 részben 2. rész Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina és mások; Szerk. A. G. Mordkovich. — 12. kiadás, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. College.ru matematika rész ().

2. „Feladatok” internetes projekt ().

3. Oktatási portál„MEGOLDOM A HASZNÁLATOT” ().

1. Mordkovich A.G. és mások Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina stb. - 4. kiad. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 105., 107., 114., 115. sz.

Önkormányzat oktatási intézmény

Popovskaya középiskola

Hősről nevezték el szovjet Únió N.K. Gorbaneva

Nyilvános óra

matematikatanárok

Voronina Vera Vladimirovna,

matematikából 9. osztályban

ebben a témában: " Grafikus módszer egyenletrendszerek megoldása"

Az óra típusa: lecke az új anyagok tanulásáról.

2017/2018 tanév

Grafikus módszer egyenletrendszerek megoldására. 9. osztály

Vera Vladimirovna Voronina, matematikatanár.

lecke:

didaktikus:

nyitott a diákokkal új út egyenletrendszerek megoldása;

egyenletrendszerek grafikus megoldására szolgáló algoritmus levezetése;

meg tudja határozni, hány megoldása van egy egyenletrendszernek;

megtanuljon grafikusan megoldást találni egy egyenletrendszerre;

ismételje meg az ábrázolást elemi függvények;

megteremteni a tanulók ellenőrzésének (önkontrolljának) feltételeit:

nevelési:

a felelősségteljes munkához való hozzáállás kialakítása,

a nyilvántartás pontossága.

Az órák alatt.

I. Szervezési mozzanat.

Mi az a függvény? (3-11. dia)

Mi a függvény grafikonja?

Milyen típusú függvényeket ismer?

Milyen képlet határozza meg a lineáris függvényt? Mi az a grafikon lineáris függvény?

Melyik képlet adja meg az egyenes arányosságot? Mi a menetrendje?

Milyen képlet van megadva fordított arányosság? Mi a menetrendje?

Milyen képlet van megadva másodfokú függvény? Mi a menetrendje?

Melyik egyenlet adja meg a kör egyenletét?

Amit egy kétváltozós egyenlet gráfjának nevezünk; (12. dia)

Bevezetés a használt egyenletekbe felsőbb matematikaés grafikonjaik (strophoid, Bernoulli-féle Lemniscate, astroid, cardioid). (13-16. dia)

A tanár meséjét diavetítés kíséri ezekkel a grafikonokkal.

Fejezd ki az y változót x változóval:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12

Az (1; 0) számpár az egyenlet megoldása
a) x² +y = 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.

Mi a megoldása egy kétváltozós egyenletrendszerre?

Melyik számpár a megoldása az egyenletrendszerre
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
21-kor)
d) (3; 0)

Milyen egyenletekkel hozható létre olyan egyenletrendszer, amelynek megoldása egy számpár (2; 1)
a) 2x - y = 3
b) 3x - 2y = 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2

III. A tanulók ismereteinek frissítése a tanult anyagról. (20., 21. dia)

Ma megismételjük és megerősítjük az egyenletrendszerek megoldásának egyik módját. A vizsgált anyag konszolidálása vizuális észlelés segítségével történik (a dia az egyenletrendszer grafikus megoldását mutatja):

Egy kétváltozós egyenlet grafikonja a koordinátasíkon azon pontok halmaza, amelyek koordinátái az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítják. A két ismeretlent tartalmazó egyenletek grafikonjai nagyon változatosak.

Kérdések ezzel a diával kapcsolatban:

Mi az x² + y²=25 egyenlet grafikonja?

Mi az y = - x² +2x +5 egyenlet grafikonja?

A kör bármely pontjának koordinátái kielégítik az x² + y²=25 egyenletet, a parabola bármely pontjának koordinátái pedig az y = - x² +2x +5 egyenletet.

Mely pontok koordinátái teljesítik az első és a második egyenletet is?

Hány metszéspontja van ezeknek a grafikonoknak?

Hány megoldása van ennek a rendszernek?

Mik ezek a megoldások?

Mit kell tennie egy kétváltozós egyenletrendszer grafikus megoldásához?

Megjelenik egy dia, amely egy algoritmust mutat két ismeretlen egyenletrendszerek grafikus megoldására.

Grafikus módszer bármely rendszer megoldására alkalmazható, de egyenletgrafikonok segítségével megközelítőleg megoldást találhatunk a rendszerre. A rendszerre talált megoldások közül csak néhány bizonyulhat pontosnak. Ezt úgy ellenőrizhetjük, hogy a koordinátáikat behelyettesítjük a rendszer egyenleteibe.

IV. A vizsgált módszer alkalmazása egyenletrendszerek megoldására.

1. Egyenletrendszer grafikus megoldása (23. dia)

Mi az xy = 3 egyenlet grafikonja?

Mi a 3x - y =0 egyenlet grafikonja?

2. Írja le az egyenletekkel meghatározott rendszert és annak megoldását! (24. dia)

Irányadó kérdések feltevése:

Írd le az egyenletekkel definiált rendszert?

Hány metszéspontja van ezeknek a grafikonoknak?

Hány megoldása van ennek az egyenletrendszernek?

Milyen megoldásai vannak ennek az egyenletrendszernek?

3. A feladat elvégzése az Állami Felügyelőségtől (25. dia).

4. Egyenletrendszer grafikus megoldása (26. dia)

A feladatot a tanulók füzetekben oldják meg. A megoldást ellenőrizzük.

V. Óraösszefoglaló.

Mit nevezünk kétváltozós egyenletrendszer megoldásának?

Milyen kétváltozós egyenletrendszer-megoldási módszert ismert meg?

Mi a lényege?

Ad-e ez a módszer pontos eredményeket?

Milyen esetben nem lesz megoldása egy egyenletrendszernek?

VI. Házi feladat.

18. o., 420 (237), 425 (240)

Első szint

Egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek megoldása függvénygráfok segítségével. Vizuális útmutató (2019)

Sok olyan feladat, amelyet tisztán algebrailag számolni szoktunk, sokkal könnyebben és gyorsabban megoldható függvénygráfok segítségével. Azt mondod "hogyan?" rajzolni valamit, és mit kell rajzolni? Higgye el, néha kényelmesebb és egyszerűbb. Kezdjük? Kezdjük az egyenletekkel!

Egyenletek grafikus megoldása

Lineáris egyenletek grafikus megoldása

Mint már tudod, a lineáris egyenlet grafikonja egy egyenes, innen ered ennek a típusnak a neve. A lineáris egyenleteket meglehetősen könnyű algebrailag megoldani - az összes ismeretlent átvisszük az egyenlet egyik oldalára, mindent, amit tudunk, a másikra, és íme! Megtaláltuk a gyökeret. Most megmutatom, hogyan kell csinálni grafikusan.

Tehát megvan az egyenlet:

Hogyan lehet megoldani?
1.opció, és a legáltalánosabb az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra mozgatni, így kapjuk:

Most pedig építsünk. Mit kaptál?

Ön szerint mi az egyenletünk gyökere? Így van, a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

A válaszunk az

Ez a grafikus megoldás teljes bölcsessége. Amint azt könnyen ellenőrizheti, egyenletünk gyökere egy szám!

Mint fentebb mondtam, ez a leggyakoribb lehetőség, közel algebrai megoldás, de meg tudod oldani másképp is. Egy alternatív megoldás megfontolásához térjünk vissza az egyenletünkhöz:

Ezúttal nem fogunk semmit egyik oldalról a másikra mozgatni, hanem közvetlenül megszerkesztjük a gráfokat, mivel már léteznek:

Épült? Lássuk!

Mi a megoldás ezúttal? Úgy van. Ugyanez - a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

És ismét a válaszunk.

Amint látja, azzal lineáris egyenletek minden rendkívül egyszerű. Itt az ideje, hogy valami összetettebbet nézzünk... Például másodfokú egyenletek grafikus megoldása.

Másodfokú egyenletek grafikus megoldása

Tehát most kezdjük el megoldani a másodfokú egyenletet. Tegyük fel, hogy meg kell találnia ennek az egyenletnek a gyökereit:

Természetesen most már elkezdheti a számolást a diszkriminánson keresztül, vagy Vieta tétele szerint, de sokan idegből hibáznak szorzáskor vagy négyzetesítéskor, főleg ha a példa nagy számok, és mint tudod, nem lesz számológéped a vizsgához... Ezért próbáljunk meg egy kicsit lazítani és rajzolni az egyenlet megoldása közben.

Ennek az egyenletnek a megoldásait grafikusan találhatja meg különböző utak. Mérlegeljük különféle lehetőségeket, és kiválaszthatod, melyik tetszik a legjobban.

Módszer 1. Közvetlenül

Egyszerűen felállítunk egy parabolát ezzel az egyenlettel:

Ennek gyors megtételéhez adok egy kis tippet: A konstrukciót célszerű a parabola csúcsának meghatározásával kezdeni. A következő képletek segítenek meghatározni a parabola csúcsának koordinátáit:

Azt fogja mondani: „Állj! A képlet nagyon hasonló a diszkrimináns megtalálásának képletéhez”, igen, ez az, és ez óriási hátránya annak, ha „közvetlenül” készítünk egy parabolát, hogy megtaláljuk a gyökereit. Számoljunk azonban a végéig, aztán megmutatom, hogyan kell ezt sokkal (sokkal!) könnyebben megcsinálni!

számoltál? Milyen koordinátákat kapott a parabola csúcsához? Találjuk ki együtt:

Pontosan ugyanaz a válasz? Szép munka! És most már tudjuk a csúcs koordinátáit, de egy parabola felépítéséhez több... pontra van szükségünk. Ön szerint hány minimum pontra van szükségünk? Jobb, .

Tudod, hogy egy parabola szimmetrikus a csúcsára, például:

Ennek megfelelően szükségünk van még két pontra a parabola bal vagy jobb ágán, és a jövőben szimmetrikusan tükrözzük ezeket a pontokat az ellenkező oldalon:

Térjünk vissza a parabolánkhoz. A mi esetünkben, pont. Kell még két pont, hogy vehetünk pozitívat, vagy vehetünk negatívat? Melyik pont kényelmesebb az Ön számára? Kényelmesebb számomra a pozitívakkal dolgozni, így a és -nél fogok számolni.

Most három pontunk van, és könnyen megszerkeszthetjük a parabolánkat kettőt tükrözve utolsó pontok a tetejéhez képest:

Ön szerint mi az egyenlet megoldása? Így van, pontok, amelyeknél, vagyis és. Mert.

És ha ezt mondjuk, az azt jelenti, hogy egyenlőnek kell lennie, ill.

Éppen? Az egyenlet megoldását Önnel komplex grafikusan befejeztük, különben lesz még!

Természetesen a válaszunkat algebrailag is ellenőrizheti – a gyököket Vieta tételével vagy diszkriminánsával számíthatja ki. Mit kaptál? Ugyanaz? Itt látod! Most nézzünk egy nagyon egyszerű grafikai megoldást, biztos vagyok benne, hogy nagyon fog tetszeni!

2. módszer. Több funkcióra oszlik

Vegyük ugyanazt az egyenletünket: , de egy kicsit másképp írjuk, nevezetesen:

Megírhatjuk így? Megtehetjük, hiszen az átalakítás egyenértékű. Nézzük tovább.

Készítsünk két függvényt külön-külön:

1. - a gráf egy egyszerű parabola, amelyet könnyen megszerkeszthet anélkül is, hogy képletekkel határozná meg a csúcsot, és nem készít táblázatot a többi pont meghatározásához.
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet ugyanúgy megszerkeszthet, ha fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Épült? Hasonlítsuk össze azzal, amit kaptam:

Szerinted ez benne van ebben az esetben az egyenlet gyökerei? Jobb! Két grafikon metszéspontjából kapott koordináták, azaz:

Ennek megfelelően ennek az egyenletnek a megoldása a következő:

Mit mondasz? Egyetértek, ez a megoldási módszer sokkal könnyebb, mint az előző, és még könnyebb is, mint a gyökerek keresése diszkrimináns segítségével! Ha igen, próbálja meg megoldani a következő egyenletet ezzel a módszerrel:

Mit kaptál? Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

A grafikonok azt mutatják, hogy a válaszok a következők:

Sikerült? Szép munka! Most nézzük az egyenleteket kicsit bonyolultabban, nevezetesen a megoldást vegyes egyenletek, azaz különböző típusú függvényeket tartalmazó egyenletek.

Vegyes egyenletek grafikus megoldása

Most próbáljuk meg megoldani a következőket:

Természetesen mindent elhozhatunk közös nevező, keresse meg az eredményül kapott egyenlet gyökereit, ne felejtse el figyelembe venni az ODZ-t, de ismét megpróbáljuk grafikusan megoldani, mint minden korábbi esetben.

Ezúttal készítsük el a következő 2 grafikont:

1. - a grafikon egy hiperbola
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet könnyedén megszerkeszthet úgy, hogy fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Rájött? Most kezdje el az építkezést.

Íme, amit kaptam:

Ha ezt a képet nézzük, mondja meg, mi az egyenletünk gyökere?

Így van, és. Íme a megerősítés:

Próbálja meg a gyökereinket bedugni az egyenletbe. Megtörtént?

Úgy van! Egyetértek, az ilyen egyenletek grafikus megoldása öröm!

Próbálja meg saját maga grafikusan megoldani az egyenletet:

Adok egy tippet: mozgassa az egyenlet egy részét ide jobb oldal, hogy mindkét oldalon legyenek a legegyszerűbb függvények. Megértette a tippet? Cselekszik!

Most pedig lássuk, mire jutottál:

Illetőleg:

1. - köbös parabola.
2. - közönséges egyenes.

Nos, építsük:

Ahogy régen leírtad, ennek az egyenletnek a gyöke - .

Ezt eldöntve nagyszámú Példák, biztos vagyok benne, hogy rájött, milyen egyszerűen és gyorsan lehet egyenleteket grafikusan megoldani. Ideje kitalálni, hogyan döntsünk hasonló módon rendszerek.

Rendszerek grafikus megoldása

Grafikus megoldás rendszerek lényegében nem különböznek az egyenletek grafikus megoldásától. Két gráfot is készítünk, és ezek metszéspontjai lesznek ennek a rendszernek a gyökerei. Az egyik gráf egy egyenlet, a második egy másik egyenlet. Minden rendkívül egyszerű!

Kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a lineáris egyenletrendszerek megoldásával.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Tegyük fel, hogy a következő rendszerünk van:

Először is alakítsuk át úgy, hogy a bal oldalon legyen minden, amihez kapcsolódik, a jobb oldalon pedig minden, amihez kapcsolódik. Más szóval, írjuk fel ezeket az egyenleteket függvényként a szokásos formában:

Most csak két egyenest építünk. Mi a megoldás esetünkben? Jobb! A metszéspontjuk! És itt nagyon-nagyon óvatosnak kell lenni! Gondolj bele, miért? Hadd adjak egy tippet: egy rendszerrel van dolgunk: a rendszerben mindkettő van, és... Megvan a tipp?

Úgy van! Egy rendszer megoldásánál mindkét koordinátát kell néznünk, és nem csak úgy, mint az egyenletek megoldásánál! Egy másik fontos pont- írd le helyesen, és ne keverd össze, hol van a jelentésünk és hol a jelentés! Leírtad? Hasonlítsunk össze mindent sorrendben:

És a válaszok: és. Végezzen ellenőrzést - cserélje be a talált gyökereket a rendszerbe, és győződjön meg arról, hogy grafikusan helyesen oldottuk meg?

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

Mi van, ha egy egyenes helyett van másodfokú egyenlet? Rendben van! Csak egy parabolát építs az egyenes helyett! Nem hiszek? Próbálja meg megoldani a következő rendszert:

Mi a következő lépésünk? Így van, írd le, hogy kényelmesen tudjunk grafikonokat készíteni:

És most minden apró dolgokról szól – építse meg gyorsan, és itt a megoldás! Építünk:

A grafikonok ugyanazok lettek? Most jelölje be az ábrán a rendszer megoldásait, és írja le helyesen az azonosított válaszokat!

mindent megtettem? Hasonlítsa össze a megjegyzéseimmel:

Minden rendben van? Szép munka! Már őrülten töröd az ilyen típusú feladatokat! Ha igen, akkor adjunk egy bonyolultabb rendszert:

Mit csinálunk? Jobb! A rendszert úgy írjuk meg, hogy kényelmes legyen felépíteni:

Adok egy kis tippet, mert a rendszer nagyon bonyolultnak tűnik! Grafikonok építésénél „többet” építsünk, és ami a legfontosabb, ne lepődjünk meg a metszéspontok számán.

Akkor gyerünk! Kilélegzett? Most kezdje el az építkezést!

Szóval hogyan? Gyönyörű? Hány kereszteződési pontot kapott? nekem három van! Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

Is? Most gondosan írja le rendszerünk összes megoldását:

Most nézd meg újra a rendszert:

El tudod képzelni, hogy ezt mindössze 15 perc alatt megoldottad? Egyetértek, a matematika még mindig egyszerű, főleg ha egy kifejezést nézel, nem félsz hibázni, hanem csak fogd és oldd meg! Nagy fiú vagy!

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Után utolsó példa Mindent elbírsz! Most lélegezzen ki – az előző részekhez képest ez nagyon-nagyon egyszerű lesz!

Kezdjük szokás szerint egy grafikus megoldással lineáris egyenlőtlenség. Például ez:

Először is hajtsuk végre a legegyszerűbb átalakításokat - nyissuk meg a zárójeleket teljes négyzetekés adj meg hasonló kifejezéseket:

Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért nem szerepel az intervallumban, és a megoldás az összes jobb oldali pont lesz, hiszen több, több, és így tovább:

Válasz:

Ez minden! Könnyen? Oldjunk meg egy egyszerű egyenlőtlenséget két változóval:

Rajzoljunk függvényt a koordinátarendszerbe.

Kaptál ilyen menetrendet? Most nézzük meg alaposan, milyen egyenlőtlenség van ott? Kevésbé? Ez azt jelenti, hogy mindent átfestünk, ami az egyenesünktől balra van. Mi lenne, ha több lenne? Így van, akkor mindent átfestenénk, ami az egyenesünktől jobbra van. Ez egyszerű.

Ennek az egyenlőtlenségnek minden megoldása „elárnyékolt” narancs. Ennyi, a kétváltozós egyenlőtlenség megoldva. Ez azt jelenti, hogy az árnyékolt terület bármely pontjának koordinátái a megoldások.

Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most megértjük, hogyan lehet grafikusan megoldani a másodfokú egyenlőtlenségeket.

Mielőtt azonban rátérnénk az üzletre, tekintsünk át néhány anyagot a kvadratikus függvényről.

Miért felelős a diszkrimináns? Ez igaz, a gráf tengelyhez viszonyított helyzetére vonatkozóan (ha erre nem emlékszik, akkor feltétlenül olvassa el a másodfokú függvények elméletét).

Mindenesetre itt van egy kis emlékeztető:

Most, hogy az összes anyagot felfrissítettük emlékezetünkben, lássuk a dolgot – oldjuk meg grafikusan az egyenlőtlenséget.

Azonnal elmondom, hogy két lehetőség van a megoldásra.

1.opció

A parabolánkat függvényként írjuk fel:

A képletek segítségével meghatározzuk a parabola csúcsának koordinátáit (pontosan ugyanaz, mint a másodfokú egyenletek megoldásánál):

számoltál? Mit kaptál?

Most vegyünk még kettőt különböző pontokatés számold ki nekik:

Kezdjük el felépíteni a parabola egyik ágát:

Pontjainkat szimmetrikusan tükrözzük a parabola másik ágára:

Most térjünk vissza az egyenlőtlenségünkhöz.

Szükségünk van arra, hogy nullánál kisebb legyen:

Mivel egyenlőtlenségünkben az előjel szigorúan kisebb, mint, akkor végpontok kizárjuk - „kiszúrjuk”.

Válasz:

Hosszú út, igaz? Most megmutatom a grafikus megoldás egy egyszerűbb változatát, ugyanezen egyenlőtlenség példáján:

2. lehetőség

Visszatérünk az egyenlőtlenségünkhöz, és megjelöljük a szükséges intervallumokat:

Egyetértek, sokkal gyorsabb.

Most írjuk le a választ:

Tekintsünk egy másik megoldást, amely leegyszerűsíti az algebrai részt, de a lényeg az, hogy ne keveredjünk össze.

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Próbáld meg tetszőlegesen megoldani a következő másodfokú egyenlőtlenséget: .

Sikerült?

Nézze meg, milyen lett a grafikonom:

Válasz: .

Vegyes egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most térjünk át a bonyolultabb egyenlőtlenségekre!

Hogy tetszik ez:

Hátborzongató, nem? Őszintén szólva fogalmam sincs, hogyan lehet ezt algebrailag megoldani... De nem szükséges. Grafikailag nincs ebben semmi bonyolult! A szemek félnek, de a kezek csinálják!

Először is két grafikon felépítésével kezdjük:

Nem írok ki egy táblázatot mindegyikhez - biztos vagyok benne, hogy egyedül is tökéletesen meg tudod csinálni (hú, olyan sok a megoldásra váró példa!).

Te festetted? Most készítsen két grafikont.

Hasonlítsuk össze a rajzainkat?

Veled is így van? Nagy! Most rendezzük el a metszéspontokat, és a szín segítségével határozzuk meg, hogy elméletileg melyik gráfunk legyen nagyobb, vagyis. Nézd meg, mi történt a végén:

Most nézzük csak meg, hol van magasabban a kiválasztott grafikonunk, mint a grafikon? Nyugodtan fogjon ceruzát és fesse át ezt a területet! Ő lesz a megoldás összetett egyenlőtlenségünkre!

A tengely mentén milyen intervallumokban helyezkedünk el magasabban? Jobb, . Ez a válasz!

Nos, most már bármilyen egyenletet, bármilyen rendszert, és még inkább minden egyenlőtlenséget kezelhet!

RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Algoritmus az egyenletek függvénygráfok segítségével történő megoldásához:

1. Fejezzük ki keresztül
2. Határozzuk meg a függvény típusát
3. Készítsünk grafikonokat a kapott függvényekből
4. Keressük a pontokat grafikon metszéspontjai
5. Írjuk fel helyesen a választ (az ODZ és az egyenlőtlenség jeleit figyelembe véve)
6. Ellenőrizzük a választ (helyettesítsük a gyököket az egyenletbe vagy rendszerbe)

A függvénygrafikonok létrehozásával kapcsolatos további információkért lásd a "" témakört.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete