Az óra során képes lesz önállóan tanulmányozni a témát " Grafikus megoldás egyenletek, egyenlőtlenségek." Az óra során a tanár egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának grafikus módszereit vizsgálja meg. Megtanít grafikonok felépítésére, elemzésére és egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására. A lecke kitér arra is konkrét példák ebben a témában.

Téma: Numerikus függvények

Lecke: Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása

1. Óra témája, bevezetés

Megnéztük a diagramokat elemi függvények, beleértve a grafikát is teljesítmény függvények c különböző mutatók. Megnéztük a függvénygráfok eltolási és transzformációs szabályait is. Ezeket a készségeket szükség esetén alkalmazni kell grafikusmegoldás egyenletek vagy grafikus megoldásegyenlőtlenségek.

2. Egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldása

1. példa: Oldja meg az egyenletet grafikusan:

Készítsünk függvénygrafikonokat (1. ábra).

Egy függvény grafikonja a pontokon áthaladó parabola

A függvény grafikonja egy egyenes, építsük fel a táblázat segítségével.

A gráfok a pontban metszik egymást. Nincs más metszéspont, mivel a függvény monoton növekszik, a függvény monoton csökken, ezért ezek metszéspontja az egyetlen.

2. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

a. Az egyenlőtlenség érvényre juttatásához a függvény grafikonját az egyenes felett kell elhelyezni (1. ábra). Ez akkor történik, amikor

b. Ebben az esetben éppen ellenkezőleg, a parabolának az egyenes alatt kell lennie. Ez akkor történik, amikor

3. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget

Építsünk függvénygrafikonokat (2. ábra).

Keressük meg az egyenlet gyökerét Amikor nincsenek megoldások. Egy megoldás van.

Ahhoz, hogy az egyenlőtlenség érvényes legyen, a hiperbolának az egyenes felett kell lennie .

4. példa Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget:

Tartomány:

Építsünk függvénygrafikonokat számára (3. ábra).

a. A függvény grafikonjának a grafikon alatt kell elhelyezkednie

b. A függvény grafikonja a grafikon felett helyezkedik el De mivel abban a feltételben van laza jel, fontos, hogy ne veszítse el az izolált gyökeret

3. Következtetés

Áttekintettük grafikus módszer egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása; Konkrét példákat vizsgáltunk, amelyek megoldása a függvények olyan tulajdonságait használta fel, mint a monotonitás és a paritás.

1. Mordkovich A.G. és társai Algebra 9. évfolyam: Tankönyv. Általános műveltségre Intézmények.- 4. sz. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. és munkatársai Algebra 9. osztály: Feladatkönyv tanulóknak oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina és mások - 4. kiadás. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algebra. 9. évfolyam: oktatási. általános iskolai tanulók számára. intézmények / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. kiadás, rev. és további - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu, Sidorov Yu. 9. osztály. 16. kiadás - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. kiadás, törölve. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebra. 9. osztály. 2 részben 2. rész Problémakönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina és mások; Szerk. A. G. Mordkovich. — 12. kiadás, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. Főiskolai tagozat. ru a matematikában.

2. „Feladatok” internetes projekt.

3. Oktatási portál"MEGOLDOM A FELHASZNÁLÁST."

1. Mordkovich A.G. és társai Algebra 9. évfolyam: Problémakönyv az általános oktatási intézmények tanulóinak / A.G. Mordkovich, T.N. - 4. kiad. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 355., 356., 364. sz.

Első szint

Egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek megoldása függvénygráfok segítségével. Vizuális útmutató (2019)

Sok olyan feladat, amelyet tisztán algebrailag számolni szoktunk, sokkal könnyebben és gyorsabban megoldható függvénygráfok segítségével. Azt mondod "hogyan?" rajzolni valamit, és mit kell rajzolni? Higgye el, néha kényelmesebb és egyszerűbb. Kezdjük? Kezdjük az egyenletekkel!

Egyenletek grafikus megoldása

Lineáris egyenletek grafikus megoldása

Mint már tudod, a lineáris egyenlet grafikonja egy egyenes, innen ered ennek a típusnak a neve. A lineáris egyenleteket meglehetősen könnyű algebrailag megoldani - az összes ismeretlent átvisszük az egyenlet egyik oldalára, mindent, amit tudunk, a másikra, és íme! Megtaláltuk a gyökeret. Most megmutatom, hogyan kell csinálni grafikusan.

Tehát megvan az egyenlet:

Hogyan lehet megoldani?
1.opció, és a legáltalánosabb az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra mozgatni, így kapjuk:

Most építsünk. Mit kaptál?

Ön szerint mi az egyenletünk gyökere? Így van, a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

A válaszunk az

Ez a grafikus megoldás teljes bölcsessége. Amint azt könnyen ellenőrizheti, egyenletünk gyökere egy szám!

Mint fentebb mondtam, ez a leggyakoribb lehetőség, közel algebrai megoldás, de meg tudod oldani másképp is. Egy alternatív megoldás megfontolásához térjünk vissza az egyenletünkhöz:

Ezúttal nem fogunk semmit egyik oldalról a másikra mozgatni, hanem közvetlenül megszerkesztjük a grafikonokat, ahogy most vannak:

Épült? Lássuk!

Mi a megoldás ezúttal? Úgy van. Ugyanez - a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

És ismét a válaszunk.

Amint látja, a lineáris egyenletekkel minden rendkívül egyszerű. Itt az ideje, hogy valami bonyolultabbat nézzünk... Például másodfokú egyenletek grafikus megoldása.

Másodfokú egyenletek grafikus megoldása

Tehát most kezdjük el megoldani a másodfokú egyenletet. Tegyük fel, hogy meg kell találnia ennek az egyenletnek a gyökereit:

Természetesen most már elkezdheti a számolást a diszkriminánson keresztül, vagy Vieta tétele szerint, de sokan idegből hibáznak szorzáskor vagy négyzetesítéskor, főleg ha a példa nagy számok, és mint tudod, nem lesz számológéped a vizsgához... Ezért próbáljunk meg egy kicsit lazítani és rajzolni az egyenlet megoldása közben.

Keressen megoldásokat grafikusan adott egyenlet Tud különböző utak. Mérlegeljük különféle lehetőségeket, és kiválaszthatod, melyik tetszik a legjobban.

Módszer 1. Közvetlenül

Egyszerűen felállítunk egy parabolát ezzel az egyenlettel:

Ennek gyors megtételéhez adok egy kis tippet: A konstrukciót célszerű a parabola csúcsának meghatározásával kezdeni. A következő képletek segítenek meghatározni a parabola csúcsának koordinátáit:

Azt fogja mondani: „Állj! A képlet nagyon hasonló a diszkrimináns megtalálásának képletéhez”, igen, ez az, és ez óriási hátránya annak, ha „közvetlenül” készítünk egy parabolát, hogy megtaláljuk a gyökereit. Számoljunk azonban a végéig, aztán megmutatom, hogyan kell ezt sokkal (sokkal!) könnyebben megcsinálni!

számoltál? Milyen koordinátákat kapott a parabola csúcsához? Találjuk ki együtt:

Pontosan ugyanaz a válasz? Szép munka! És most már ismerjük a csúcs koordinátáit, de egy parabola felépítéséhez több... pontra van szükségünk. Ön szerint hány minimum pontra van szükségünk? Jobb, .

Tudja, hogy egy parabola szimmetrikus a csúcsára, például:

Ennek megfelelően szükségünk van még két pontra a parabola bal vagy jobb ágán, és a jövőben szimmetrikusan tükrözzük ezeket a pontokat az ellenkező oldalon:

Térjünk vissza a parabolánkhoz. A mi esetünkben, pont. Kell még két pont, hogy vehetünk pozitívat, vagy vehetünk negatívat? Melyik pont kényelmesebb az Ön számára? Kényelmesebb számomra a pozitívakkal dolgozni, így a és -nél fogok számolni.

Most három pontunk van, és könnyen megszerkeszthetjük a parabolánkat kettőt tükrözve utolsó pontok a tetejéhez képest:

Ön szerint mi az egyenlet megoldása? Így van, pontok, amelyeknél, vagyis és. Mert.

És ha ezt mondjuk, az azt jelenti, hogy egyenlőnek kell lennie, ill.

Éppen? Elkészítettük veled az egyenlet komplex grafikai megoldását, különben lesz még!

Természetesen a válaszunkat algebrailag is ellenőrizheti - a gyököket Vieta tételével vagy diszkriminansával számíthatja ki. Mit kaptál? Ugyanaz? Itt látod! Most nézzünk egy nagyon egyszerű grafikai megoldást, biztos vagyok benne, hogy nagyon fog tetszeni!

2. módszer. Több funkcióra oszlik

Vegyük ugyanazt az egyenletünket: , de egy kicsit másképp írjuk, nevezetesen:

Megírhatjuk így? Megtehetjük, hiszen az átalakítás egyenértékű. Nézzük tovább.

Készítsünk két függvényt külön-külön:

1. - a gráf egy egyszerű parabola, amelyet könnyen megszerkeszthet anélkül is, hogy képletekkel határozná meg a csúcsot, és nem készít táblázatot a többi pont meghatározásához.
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet ugyanúgy megszerkeszthet, ha fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Épült? Hasonlítsuk össze azzal, amit kaptam:

Szerinted ez benne van ebben az esetben az egyenlet gyökerei? Jobb! Két grafikon metszéspontjából kapott koordináták, azaz:

Ennek megfelelően ennek az egyenletnek a megoldása a következő:

Mit mondasz? Egyetértek, ez a megoldási módszer sokkal könnyebb, mint az előző, és még könnyebb is, mint a gyökerek keresése diszkrimináns segítségével! Ha igen, próbálja meg megoldani a következő egyenletet ezzel a módszerrel:

Mit kaptál? Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

A grafikonok azt mutatják, hogy a válaszok a következők:

Sikerült? Szép munka! Most nézzük az egyenleteket kicsit bonyolultabban, nevezetesen a megoldást vegyes egyenletek, azaz különböző típusú függvényeket tartalmazó egyenletek.

Vegyes egyenletek grafikus megoldása

Most próbáljuk meg megoldani a következőket:

Természetesen mindent elhozhatunk közös nevező, keresse meg az eredményül kapott egyenlet gyökereit, ne felejtse el figyelembe venni az ODZ-t, de ismét megpróbáljuk grafikusan megoldani, mint minden korábbi esetben.

Ezúttal készítsük el a következő 2 grafikont:

1. - a grafikon egy hiperbola
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet könnyedén megszerkeszthet úgy, hogy fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Rájött? Most kezdje el az építkezést.

Íme, amit kaptam:

Ha ezt a képet nézzük, mondja meg, mi az egyenletünk gyökere?

Így van, és. Íme a megerősítés:

Próbálja meg a gyökereinket bedugni az egyenletbe. Megtörtént?

Úgy van! Egyetértek, az ilyen egyenletek grafikus megoldása öröm!

Próbálja meg saját maga grafikusan megoldani az egyenletet:

Adok egy tippet: helyezze át az egyenlet egy részét ide jobb oldal, hogy mindkét oldalon a legegyszerűbb függvények legyenek megszerkeszthetőek. Megértette a tippet? Cselekszik!

Most pedig lássuk, mire jutottál:

Illetőleg:

1. - köbös parabola.
2. - közönséges egyenes.

Nos, építsük:

Ahogy régen leírtad, ennek az egyenletnek a gyöke - .

Ezt eldöntve nagyszámú Példák, biztos vagyok benne, hogy rájött, milyen egyszerűen és gyorsan lehet egyenleteket grafikusan megoldani. Ideje kitalálni, hogyan döntsünk hasonló módon rendszerek.

Rendszerek grafikus megoldása

A rendszerek grafikus megoldása lényegében nem különbözik az egyenletek grafikus megoldásától. Két gráfot is készítünk, és ezek metszéspontjai lesznek ennek a rendszernek a gyökerei. Az egyik gráf egy egyenlet, a második gráf egy másik egyenlet. Minden rendkívül egyszerű!

Kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a rendszerek megoldásával lineáris egyenletek.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Tegyük fel, hogy a következő rendszerünk van:

Először is alakítsuk át úgy, hogy a bal oldalon legyen minden, amihez kapcsolódik, a jobb oldalon pedig minden, amihez kapcsolódik. Más szóval, írjuk fel ezeket az egyenleteket függvényként a szokásos formában:

Most csak két egyenest építünk. Mi a megoldás esetünkben? Jobb! A metszéspontjuk! És itt nagyon-nagyon óvatosnak kell lenni! Gondolj bele, miért? Hadd adjak egy tippet: egy rendszerrel van dolgunk: a rendszerben mindkettő van, és... Megvan a tipp?

Úgy van! Egy rendszer megoldásánál mindkét koordinátát kell néznünk, és nem csak úgy, mint az egyenletek megoldásánál! Egy másik fontos pont- írd le helyesen, és ne keverd össze, hol van a jelentésünk és hol a jelentés! Leírtad? Hasonlítsunk össze mindent sorrendben:

És a válaszok: és. Végezzen ellenőrzést - cserélje ki a talált gyökereket a rendszerbe, és ellenőrizze, hogy grafikusan helyesen oldottuk-e meg?

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

Mi van, ha egy egyenes helyett megvan másodfokú egyenlet? Rendben van! Csak egy parabolát építs az egyenes helyett! Nem hiszek? Próbálja meg megoldani a következő rendszert:

Mi a következő lépésünk? Így van, írd le, hogy kényelmesen tudjunk grafikonokat készíteni:

És most minden apró dolgokról szól – készítse el gyorsan, és itt a megoldás! Építünk:

A grafikonok ugyanazok lettek? Most jelölje be az ábrán a rendszer megoldásait, és írja le helyesen az azonosított válaszokat!

mindent megtettem? Hasonlítsd össze a jegyzeteimmel:

Minden rendben van? Szép munka! Már őrülten töröd az ilyen típusú feladatokat! Ha igen, akkor adjunk egy bonyolultabb rendszert:

Mit csinálunk? Jobb! A rendszert úgy írjuk meg, hogy kényelmes legyen felépíteni:

Adok egy kis tippet, mert a rendszer nagyon bonyolultnak tűnik! Grafikonok építésénél „többet” építsen, és ami a legfontosabb, ne lepődjön meg a metszéspontok számán.

Akkor gyerünk! Kilélegzett? Most kezdje el az építkezést!

Szóval hogyan? Gyönyörű? Hány kereszteződési pontot kapott? nekem három van! Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

Is? Most gondosan írja le rendszerünk összes megoldását:

Most nézd meg újra a rendszert:

El tudod képzelni, hogy ezt mindössze 15 perc alatt megoldottad? Egyetértek, a matematika még mindig egyszerű, főleg ha egy kifejezést nézel, nem félsz hibázni, hanem csak fogd és oldd meg! Nagy fiú vagy!

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Után utolsó példa Mindent elbírsz! Most lélegezzen ki – az előző részekhez képest ez nagyon-nagyon egyszerű lesz!

Kezdjük, mint általában, egy lineáris egyenlőtlenség grafikus megoldásával. Például ez:

Először is hajtsuk végre a legegyszerűbb átalakításokat - nyissuk meg a zárójeleket teljes négyzetekés adj meg hasonló kifejezéseket:

Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért nem szerepel az intervallumban, és a megoldás az összes jobb oldali pont lesz, hiszen több, több, és így tovább:

Válasz:

Ez minden! Könnyen? Oldjunk meg egy egyszerű egyenlőtlenséget két változóval:

Rajzoljunk függvényt a koordinátarendszerbe.

Kaptál ilyen menetrendet? Most nézzük meg alaposan, milyen egyenlőtlenség van ott? Kevésbé? Ez azt jelenti, hogy mindent átfestünk, ami az egyenesünktől balra van. Mi lenne, ha több lenne? Így van, akkor mindent átfestenénk, ami az egyenesünktől jobbra van. Ez egyszerű.

Ennek az egyenlőtlenségnek minden megoldása „elárnyékolt” narancs. Ennyi, a kétváltozós egyenlőtlenség megoldva. Ez azt jelenti, hogy az árnyékolt terület bármely pontjának koordinátái a megoldások.

Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most megértjük, hogyan lehet grafikusan megoldani a másodfokú egyenlőtlenségeket.

Mielőtt azonban rátérnénk az üzletre, tekintsünk át néhány anyagot a kvadratikus függvényről.

Miért felelős a diszkrimináns? Ez igaz, a gráf tengelyhez viszonyított helyzetére vonatkozóan (ha erre nem emlékszik, akkor feltétlenül olvassa el a másodfokú függvények elméletét).

Mindenesetre itt van egy kis emlékeztető:

Most, hogy az összes anyagot felfrissítettük emlékezetünkben, lássuk a dolgot – oldjuk meg grafikusan az egyenlőtlenséget.

Azonnal elmondom, hogy két lehetőség van a megoldásra.

1.opció

A parabolánkat függvényként írjuk fel:

A képletek segítségével meghatározzuk a parabola csúcsának koordinátáit (pontosan ugyanaz, mint a másodfokú egyenletek megoldásánál):

számoltál? Mit kaptál?

Most vegyünk még kettőt különféle pontokatés számold ki nekik:

Kezdjük el felépíteni a parabola egyik ágát:

Pontjainkat szimmetrikusan tükrözzük a parabola másik ágára:

Most térjünk vissza az egyenlőtlenségünkhöz.

Szükségünk van arra, hogy nullánál kisebb legyen:

Mivel egyenlőtlenségünkben az előjel szigorúan kisebb, mint, akkor végpontok kizárjuk - „kiszúrjuk”.

Válasz:

Hosszú út, igaz? Most megmutatom a grafikus megoldás egy egyszerűbb változatát, ugyanezen egyenlőtlenség példáján:

2. lehetőség

Visszatérünk az egyenlőtlenségünkhöz, és megjelöljük a szükséges intervallumokat:

Egyetértek, sokkal gyorsabb.

Most írjuk le a választ:

Tekintsünk egy másik megoldást, amely leegyszerűsíti az algebrai részt, de a lényeg az, hogy ne keveredjünk össze.

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Próbáld meg tetszőlegesen megoldani a következő másodfokú egyenlőtlenséget: .

Sikerült?

Nézze meg, milyen lett a grafikonom:

Válasz: .

Vegyes egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most térjünk át a bonyolultabb egyenlőtlenségekre!

Hogy tetszik ez:

Hátborzongató, nem? Őszintén szólva fogalmam sincs, hogyan lehet ezt algebrailag megoldani... De nem szükséges. Grafikailag nincs ebben semmi bonyolult! A szemek félnek, de a kezek csinálják!

Először is két grafikon felépítésével kezdjük:

Nem írok ki egy táblázatot mindegyikhez - biztos vagyok benne, hogy egyedül is tökéletesen meg tudod csinálni (hú, olyan sok a megoldásra váró példa!).

Te festetted? Most készítsen két grafikont.

Hasonlítsuk össze a rajzainkat?

Veled is így van? Nagy! Most rendezzük el a metszéspontokat, és a szín segítségével határozzuk meg, hogy elméletileg melyik gráfunk legyen nagyobb, vagyis. Nézd meg mi történt a végén:

Most nézzük csak meg, hol van magasabban a kiválasztott grafikonunk, mint a grafikon? Nyugodtan fogj egy ceruzát és fesd át ezt a területet! Ő lesz a megoldás összetett egyenlőtlenségünkre!

A tengely mentén milyen intervallumokban helyezkedünk el magasabban? Jobb, . Ez a válasz!

Nos, most már bármilyen egyenletet, bármilyen rendszert, és még inkább minden egyenlőtlenséget kezelhet!

RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Algoritmus az egyenletek függvénygráfok segítségével történő megoldásához:

1. Fejezzük ki keresztül
2. Határozzuk meg a függvény típusát
3. Készítsünk grafikonokat a kapott függvényekből
4. Keressük a pontokat grafikon metszéspontjai
5. Írjuk fel helyesen a választ (az ODZ és az egyenlőtlenség jeleit figyelembe véve)
6. Ellenőrizzük a választ (helyettesítsük a gyököket az egyenletbe vagy rendszerbe)

A függvénygrafikonok létrehozásával kapcsolatos további információkért lásd a „” témakört.

A lineáris vagy másodfokú egyenlőtlenség grafikonja ugyanúgy megszerkeszthető, mint bármely függvény (egyenlet) grafikonja. A különbség az, hogy az egyenlőtlenség több megoldást foglal magában, így az egyenlőtlenség grafikonja nem csak egy pont egy számegyen vagy egy Koordináta sík. Használva matematikai műveletekés az egyenlőtlenség jele, meghatározható az egyenlőtlenség megoldási halmaza.

Lépések

Lineáris egyenlőtlenség grafikus ábrázolása a számegyenesen

1. Oldja meg az egyenlőtlenséget. Ehhez izolálja a változót ugyanazokkal az algebrai technikákkal, amelyeket bármely egyenlet megoldásához használ. Ne feledje, ha egy egyenlőtlenséget szoroz vagy oszt negatív szám(vagy kifejezés), fordítsa meg az egyenlőtlenség jelét.

   • Például tekintettel az egyenlőtlenségre 3 év + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Változó elkülönítéséhez vonjon le 9-et az egyenlőtlenség mindkét oldaláról, majd ossza el mindkét oldalt 3-mal:
     3 év + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 év + 9 - 9 > 12 - 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 év > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Egy egyenlőtlenségnek csak egy változója lehet. Ha az egyenlőtlenségnek két változója van, célszerűbb a grafikont a koordinátasíkon ábrázolni.

2. Rajzolj egy számegyenest. A számsorban jelölje be a talált értéket (a változó lehet kisebb, nagyobb vagy egyenlő ezzel az értékkel). Rajzolj egy megfelelő hosszúságú (hosszú vagy rövid) számsort.

   • Például ha azt számolod y > 1 (\displaystyle y>1), jelölje be a számegyenesen az 1-es értéket.

3. Rajzoljon egy kört a talált érték ábrázolására. Ha a változó kisebb, mint ( < {\displaystyle <} ) vagy több ( > (\displaystyle >)) ennek az értéknek a köre nincs kitöltve, mert a megoldáskészlet nem tartalmazza ezt az értéket. Ha a változó kisebb vagy egyenlő, mint ( ≤ (\displaystyle \leq )) vagy nagyobb vagy egyenlő, mint ( ≥ (\displaystyle \geq )) ehhez az értékhez, a kör ki van töltve, mert a megoldáskészlet tartalmazza ezt az értéket.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), a számegyenesen rajzoljon nyitott kört az 1. pontban, mert 1 nincs a megoldáshalmazban.

4. A számegyenesen árnyékolja be a megoldáshalmazt meghatározó régiót. Ha a változó nagyobb, mint a talált érték, árnyékolja be a tőle jobbra lévő területet, mert a megoldáskészlet minden olyan értéket tartalmaz, amely nagyobb a talált értéknél. Ha a változó kisebb, mint a talált érték, árnyékolja be a tőle balra lévő területet, mert a megoldáskészlet minden olyan értéket tartalmaz, amely kisebb a talált értéknél.

   • Például, ha adott az egyenlőtlenség y > 1 (\displaystyle y>1), a számegyenesen árnyékolja be az 1-től jobbra eső területet, mert a megoldáskészletben minden 1-nél nagyobb érték szerepel.

   Lineáris egyenlőtlenség grafikus ábrázolása a koordinátasíkon

   1. Oldja meg az egyenlőtlenséget (keresse meg az értéket y (\displaystyle y)). Lineáris egyenlet létrehozásához izolálja a bal oldalon lévő változót az ismert segítségével algebrai módszerek. A jobb oldalon kell lennie egy változónak x (\displaystyle x)és talán valami állandó.

      • Például tekintettel az egyenlőtlenségre 3 év + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Változó elkülönítése y (\displaystyle y), vonjunk le 9-et az egyenlőtlenség mindkét oldaláról, majd osszuk el mindkét oldalt 3-mal:
        3 év + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 év + 9 - 9 > 9 x - 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 év > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Rajzolja meg egy lineáris egyenlet grafikonját a koordinátasíkon! rajzoljon egy grafikont, mint bármely lineáris egyenlet grafikonját. Ábrázolja az Y metszéspontot, majd a meredekség segítségével ábrázolja a többi pontot.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)ábrázolja az egyenletet y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Az Y tengellyel való metszéspont koordinátái és lejtő egyenlő 3-mal (vagy 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Tehát először ábrázolja a pontot koordinátákkal (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); az y tengely metszéspontja feletti pontnak megvannak a koordinátái (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); az Y tengely metszéspontja alatti pontban vannak a koordináták (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1, -6))

   3. Rajzolj egy egyenest. Ha az egyenlőtlenség szigorú (beleértve az előjelet < {\displaystyle <} vagy > (\displaystyle >)), rajzoljon szaggatott vonalat, mert a megoldáskészlet nem tartalmaz értékeket a vonalon. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú (beleértve az előjelet ≤ (\displaystyle \leq ) vagy ≥ (\displaystyle \geq )), rajzoljon egy folytonos vonalat, mert a megoldáskészlet olyan értékeket tartalmaz, amelyek a vonalon helyezkednek el.

      • Például egyenlőtlenség esetén y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) rajzoljon szaggatott vonalat, mert a megoldáskészlet nem tartalmaz értékeket a vonalon.

   4. Árnyékolja a megfelelő területet. Ha az egyenlőtlenség alakja y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), árnyékolja be a vonal feletti területet. Ha az egyenlőtlenség alakja y< m x + b {\displaystyle y, árnyékolja be a vonal alatti területet.

      • Például egyenlőtlenség esetén y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)árnyékolja be a vonal feletti területet.

   A másodfokú egyenlőtlenség grafikus ábrázolása a koordinátasíkon

   1. Határozzuk meg, hogy ez az egyenlőtlenség másodfokú. Másodfokú egyenlőtlenségúgy néz ki, mint a a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Néha az egyenlőtlenség nem tartalmaz elsőrendű változót ( x (\displaystyle x)) és/vagy ingyenes tag(állandó), de szükségszerűen tartalmaz egy másodrendű változót ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Változók x (\displaystyle x)És y (\displaystyle y) el kell szigetelni különböző oldalak egyenlőtlenségek.

      • Például meg kell rajzolnia az egyenlőtlenséget y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Rajzolj grafikont a koordinátasíkra. Ehhez alakítsa át az egyenlőtlenséget egyenletté, és ábrázolja azt úgy, ahogyan bármely másodfokú egyenletet ábrázolna. Ne feledje, hogy a másodfokú egyenlet grafikonja egy parabola.

      • Például egyenlőtlenség esetén y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y másodfokú egyenlet ábrázolása y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). A parabola csúcsa a pontban van (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), és a parabola pontokban metszi az X tengelyt (2 , 0) (\displaystyle (2,0))És (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

lásd még Lineáris programozási probléma megoldása grafikusan, Lineáris programozási feladatok kanonikus formája

Egy ilyen probléma kényszerrendszere két változó egyenlőtlenségéből áll:
a célfüggvénynek pedig az a formája F = C 1 x + C 2 y amit maximalizálni kell.

Válaszoljunk a kérdésre: milyen számpárok ( x; y) az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásai, azaz az egyenlőtlenségek mindegyikét egyszerre elégítik ki? Más szóval, mit jelent grafikusan megoldani egy rendszert?
Először is meg kell értened, mi a megoldása egy lineáris egyenlőtlenségnek két ismeretlennel.
Egy lineáris egyenlőtlenség megoldása két ismeretlennel azt jelenti, hogy meghatározzuk az összes ismeretlen értékpárt, amelyre az egyenlőtlenség érvényes.
Például az egyenlőtlenség 3 x – 5y≥ 42 kielégítő pár ( x , y): (100, 2); (3, –10), stb. A feladat az összes ilyen pár megtalálása.
Tekintsünk két egyenlőtlenséget: fejsze + által≤ c, fejsze + által≥ c. Egyenes fejsze + által = c a síkot két félsíkra osztja úgy, hogy az egyik pontjának koordinátái kielégítsék az egyenlőtlenséget fejsze + által >c, és a másik egyenlőtlenség fejsze + +által <c.
Valóban, vegyünk egy pontot koordinátával x = x 0 ; majd egy pont, amely egy egyenesen fekszik és van egy abszcissza x 0, ordinátája van

A bizonyosság kedvéért hagyjuk a< 0, b>0, c>0. Minden pont abszcisszával x 0 fent fekszik P(például pont M), van y M>y 0 , és a pont alatti összes pont P, abszcissza x 0 , van y N<y 0 . Mert a x A 0 egy tetszőleges pont, akkor az egyenes egyik oldalán mindig lesznek olyan pontok, amelyekhez fejsze+ által > c, félsíkot alkotva, a másik oldalon pedig - pontok, amelyekre fejsze + által< c.

1. kép

Az egyenlőtlenség jele a félsíkban a számoktól függ a, b , c.
Ebből következik következő út grafikus megoldások rendszerekhez lineáris egyenlőtlenségek két változóból. A rendszer megoldásához szüksége lesz:

1. Minden egyenlőtlenséghez írja fel az egyenlőtlenségnek megfelelő egyenletet!
2. Készítsen egyenes vonalakat, amelyek egyenletekkel meghatározott függvények grafikonjai.
3. Minden egyeneshez határozza meg a félsíkot, amelyet az egyenlőtlenség ad meg. Ehhez vegyünk egy tetszőleges pontot, amely nem fekszik egy egyenesen, és cserélje be a koordinátáit az egyenlőtlenségbe. ha az egyenlőtlenség igaz, akkor a választott pontot tartalmazó félsík az eredeti egyenlőtlenség megoldása. Ha az egyenlőtlenség hamis, akkor az egyenes másik oldalán lévő félsík ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmaza.
4. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásához meg kell találni az összes olyan félsík metszésterületét, amely a rendszer minden egyenlőtlenségére megoldás.

Ez a terület üresnek bizonyulhat, akkor az egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása és inkonzisztens. BAN BEN másképp a rendszer állítólag együttműködő.
Lehetnek megoldások végső számÉs végtelen halmaz. A terület lehet zárt sokszög vagy legyen korlátlan.

Nézzünk három releváns példát.

Példa 1. Oldja meg a rendszert grafikusan:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

• tekintsük az egyenlőtlenségeknek megfelelő x+y–1=0 és –2x–2y+5=0 egyenleteket;
• Szerkesszünk egyenes vonalakat ezekkel az egyenletekkel.

2. ábra

Határozzuk meg az egyenlőtlenségek által meghatározott félsíkokat. Vegyünk egy tetszőleges pontot, legyen (0; 0). Mérlegeljük x+ y- 1 0, cserélje ki a (0; 0) pontot: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Ez azt jelenti, hogy abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, x + y – 1 ≤ 0, azaz az egyenes alatt fekvő félsík az első egyenlőtlenség megoldása. Ezt a pontot (0; 0) behelyettesítve a másodikba, a következőt kapjuk: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, azaz. abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, –2 x – 2y+ 5≥ 0, és megkérdeztük, hogy hol –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, tehát a másik félsíkban - az egyenes felettiben.
Keressük ennek a két félsíknak a metszéspontját. Az egyenesek párhuzamosak, így a síkok sehol sem metszik egymást, ami azt jelenti, hogy ezen egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása és inkonzisztens.

2. példa Keressen grafikus megoldásokat az egyenlőtlenségek rendszerére:

3. ábra
1. Írjuk fel az egyenlőtlenségeknek megfelelő egyenleteket, és készítsünk egyeneseket!
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. A (0; 0) pont kiválasztása után meghatározzuk az egyenlőtlenségek előjeleit a félsíkban:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, azaz. x + 2y– 2 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 – 0 – 1 ≤ 0, azaz y –x– 1 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 + 2 =2 ≥ 0, azaz. y+ 2 ≥ 0 az egyenes feletti félsíkban.
3. Ennek a három félsíknak a metszéspontja egy olyan terület lesz, amely háromszög. Nem nehéz megtalálni a régió csúcsait a megfelelő egyenesek metszéspontjaként


És így, A(–3; –2), BAN BEN(0; 1), VAL VEL(6; –2).

Nézzünk egy másik példát, amelyben a rendszer eredményül kapott megoldási tartománya nincs korlátozva.

Hadd f(x,y)És g(x, y)- két változós kifejezés xÉs nál nélés hatálya x. Aztán a formai egyenlőtlenségek f(x, y) > g(x, y) vagy f(x, y) < g(x, y) hívott egyenlőtlenség két változóval .

A változók jelentése x, y sokaktól x, amelynél az egyenlőtlenség igazzá válik numerikus egyenlőtlenség, ezt hívják döntés és ki van jelölve (x, y). Oldja meg az egyenlőtlenséget - ez sok ilyen pár megtalálását jelenti.

Ha minden számpár (x, y) a megoldások halmazából az egyenlőtlenséghez, illessze a pontot M(x, y), megkapjuk az egyenlőtlenség által meghatározott sík ponthalmazát. Neveztetik ennek az egyenlőtlenségnek a grafikonja . Az egyenlőtlenség grafikonja általában egy síkon lévő terület.

Az egyenlőtlenség megoldási halmazának ábrázolása f(x, y) > g(x, y), megérkezik a következő módon. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egy egyenlőségjelre, és keressen egy sort, amelyen az egyenlet szerepel f(x,y) = g(x,y). Ez a vonal a síkot több részre osztja. Ezek után elég minden részből egy pontot venni, és ellenőrizni, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség f(x, y) > g(x, y). Ha ezen a ponton hajtják végre, akkor a teljes részben végrehajtódik, ahol ez a pont található. Az ilyen alkatrészeket kombinálva számos megoldást kapunk.

Feladat. y > x.

Megoldás. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre, és építse be téglalap alakú rendszer egyenlettel rendelkező koordináta egyenes y = x.

Ez a vonal két részre osztja a síkot. Ezek után vegyünk minden részből egy pontot, és ellenőrizzük, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség y > x.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget!
x 2 + nál nél 2 £25.

Rizs. 18.

Megoldás. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre, és húzzon egy vonalat x 2 + nál nél 2 = 25. Ez egy kör, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig 5. A kapott kör a síkot két részre osztja. Az egyenlőtlenség kielégíthetőségének ellenőrzése x 2 + nál nél 2 £ 25 minden részben azt találjuk, hogy a grafikon egy kör pontjainak halmaza és a körön belüli sík részei.

Legyen két egyenlőtlenség adott f 1(x, y) > g 1(x, y)És f 2(x, y) > g 2(x, y).

Kétváltozós egyenlőtlenséghalmazok rendszerei

Egyenlőtlenségek rendszere van saját magad ezen egyenlőtlenségek együttállása. Rendszermegoldás minden jelentése (x, y), amely minden egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtat. Sok megoldás rendszerek Az egyenlőtlenségek egy adott rendszert alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak metszéspontja.

Egyenlőtlenségek halmaza van saját magad ezek diszjunkciója egyenlőtlenségek Állítsa be a megoldást minden jelentése (x, y), amely az egyenlőtlenségek halmazának legalább az egyikét valódi numerikus egyenlőtlenséggé alakítja. Sok megoldás totalitás egy halmazt alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak uniója.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek rendszerét!

Megoldás. y = xÉs x 2 + nál nél 2 = 25. Megoldjuk a rendszer minden egyenlőtlenségét.

A rendszer grafikonja azon pontok halmaza lesz a síkon, amelyek az első és a második egyenlőtlenség megoldási halmazainak metszéspontját (kettős sraffozását) jelentik.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek halmazát

Megoldás. Először az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre cseréljük, és vonalakat rajzolunk egy koordinátarendszerben y = x+ 4 és x 2 + nál nél 2 = 16. Oldja meg az egyes egyenlőtlenségeket a sokaságban! A sokaság grafikonja a síkon lévő pontok halmaza lesz, amelyek az első és a második egyenlőtlenség megoldási halmazainak egyesítése.

Gyakorlatok az önálló munkához

1. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségeket: a) nál nél> 2x; b) nál nél< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségrendszereket:

a) b)

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete