Egyenletrendszer három ismeretlennel. Állandó erő hatására végzett munka keresése egyenes útszakaszon
Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A három egyenletrendszernek három ismeretlennel nincs minden esetben megoldása, ennek ellenére nagyszámú egyenletek. Az ilyen típusú rendszereket általában helyettesítési módszerrel vagy Cramer módszerrel oldják meg. A második módszer lehetővé teszi annak meghatározását, hogy a rendszernek van-e megoldása az első szakaszokban.
Tegyük fel, hogy a következő három egyenletrendszert kapjuk három ismeretlennel:
\[\left\(\begin(mátrix) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(mátrix)\jobbra.\]
Ezt meg lehet oldani heterogén rendszer lineáris algebrai egyenletek Ax = B Cramer módszerével:
\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]
A \ rendszer determinánsa nem egyenlő nullával. meg fogjuk találni kisegítő minősítők\ ha nem egyenlők nullával, akkor nincsenek megoldások, ha egyenlőek, akkor vannak megoldások végtelen halmaz
\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]
\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]
\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]
3. rendszer lineáris egyenletek 3 ismeretlennel, amelyek determinánsa nem nulla, mindig konzisztens és egyedi megoldása van, a képletekkel számítva:
Válasz: van megoldás
\[\left\(\begin(mátrix) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(mátrix)\jobbra.\]
Hol tudok online megoldani három ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert?
Az egyenletet a https://site weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.
Lineáris egyenletek (elsőfokú egyenletek) két ismeretlennel
1. definíció. Lineáris egyenlet (elsőfokú egyenlet) két ismeretlennel x és y elnevezi a forma egyenletét
Megoldás . Adjuk meg a (2) egyenlőségből az y változót az x változón keresztül:
A (3) képletből az következik, hogy a (2) egyenlet megoldásai mind olyan számpárok, amelyek
ahol x tetszőleges szám.
Jegyzet. Amint az 1. példa megoldásából látható, a (2) egyenlet igen végtelenül sok megoldás. Azt azonban fontos megjegyezni nem akármilyen számpár (x; y) ennek az egyenletnek a megoldása. A (2) egyenlet tetszőleges megoldásához az x számot tetszőlegesnek tekinthetjük, majd az y számot a (3) képlet segítségével kiszámíthatjuk.
Két lineáris egyenletrendszer két ismeretlenben
3. definíció. Két lineáris egyenletrendszer két ismeretlennel x és y alakú egyenletrendszert hív
Ahol a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 – megadott számok.
4. definíció. A (4) egyenletrendszerben a számok a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , és számok c 1 , c 2 – ingyenes tagok.
5. definíció. A (4) egyenletrendszer megoldásával hívj egy pár számot ( x; y) ami döntés a (4) rendszer egyik és másik egyenlete is.
6. definíció. A két egyenletrendszert ún egyenértékű (egyenértékű), ha az első egyenletrendszer minden megoldása a második rendszer megoldása, és a második rendszer minden megoldása az első rendszer megoldása.
Az egyenletrendszerek egyenértékűségét a „” szimbólum jelzi
A lineáris egyenletrendszereket a segítségével oldjuk meg, amit példákkal illusztrálunk.
2. példa Egyenletrendszer megoldása
Megoldás . A rendszer (5) megoldásához kiküszöböljük az ismeretlent a rendszer második egyenletéből X .
Ebből a célból először az (5) rendszert olyan alakra alakítjuk, amelyben a rendszer első és második egyenletében szereplő ismeretlen x együtthatók azonosak lesznek.
Ha az (5) rendszer első egyenletét megszorozzuk a második egyenletben (7-es szám) szereplő x-nél lévő együtthatóval, és a második egyenletet megszorozzuk az első egyenletben (2-es szám) szereplő x-ben lévő együtthatóval, akkor az (5) rendszer formát ölti majd
Most hajtsuk végre a következő átalakításokat a (6) rendszeren:
- a második egyenletből kivonjuk az első egyenletet, és a rendszer második egyenletét a kapott különbséggel helyettesítjük.
Ennek eredményeként a (6) rendszer átalakul egyenértékű a rendszerét
A második egyenletből azt találjuk y= 3, és ezt az értéket behelyettesítve az első egyenletbe, azt kapjuk
Válasz . (-2 ; 3) .
3. példa Keresse meg a p paraméter összes értékét, amelyre az egyenletrendszer vonatkozik
A) egyedi megoldása van;
b) végtelen sok megoldása van;
V) nem rendelkezik megoldással.
Megoldás . A (7) rendszer második egyenletéből x-et y-ig kifejezve, és a kapott kifejezést x helyett a (7) rendszer első egyenletébe behelyettesítve kapjuk
Tanulmányozzuk a (8) rendszer megoldásait a p paraméter értékétől függően. Ehhez először tekintsük a (8) rendszer első egyenletét:
| y (2 - p) (2 + p) = 2 + p | (9) |
Ha 
, akkor a (9) egyenletnek egyedi megoldása van
Így abban az esetben, amikor , rendszer (7) egyedi megoldása van
Ha p= - 2, akkor a (9) egyenlet alakot ölt
megoldása pedig tetszőleges szám 
. Ezért a (7) rendszer megoldása az végtelen halmaz mindenki számpárok
,
ahol y tetszőleges szám.
Ha p= 2, akkor a (9) egyenlet alakját veszi fel
és nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a rendszer (7) nincsenek megoldásai.
Három lineáris egyenletrendszer három ismeretlenben
7. definíció. Három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel x, y és z olyan egyenletrendszert hív meg, amelynek alakja
Ahol a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 – megadott számok.
8. definíció. A (10) egyenletrendszerben a számok a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 hívott együtthatók az ismeretlenekre, és a számok d 1 , d 2 , d 3 – ingyenes tagok.
9. definíció. A (10) egyenletrendszer megoldásával nevezzen meg három számot (x; y ; z) , ha behelyettesítjük őket a (10) rendszer három egyenletébe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk.
4. példa Egyenletrendszer megoldása
Megoldás. A (11) rendszer segítségével oldjuk meg módszer szekvenciális elimináció ismeretlen.
Ehhez először a rendszer második és harmadik egyenletéből kizárjuk az ismeretlent y a következő átalakítások végrehajtásával a (11) rendszeren:
- A rendszer első egyenletét változatlanul hagyjuk;
- a második egyenlethez hozzáadjuk az első egyenletet, és a rendszer második egyenletét a kapott összeggel helyettesítjük;
- a harmadik egyenletből kivonjuk az első egyenletet, és a kapott különbséggel a rendszer harmadik egyenletét helyettesítjük.
Ennek eredményeként a (11) rendszer átalakul egyenértékű a rendszerét
Most kiküszöböljük az ismeretlent a rendszer harmadik egyenletéből x a következő átalakítások végrehajtásával a (12) rendszeren:
- A rendszer első és második egyenletét változatlanul hagyjuk;
- a harmadik egyenletből kivonjuk a második egyenletet, és a kapott különbséggel a rendszer harmadik egyenletét helyettesítjük.
Ennek eredményeként a (12) rendszer átalakul egyenértékű a rendszerét
A rendszerből (13) következetesen találjuk
z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .
Válasz . (1; 2; -2) .
5. példa Egyenletrendszer megoldása
Megoldás . Vegye figyelembe, hogy ebből a rendszerből egy kényelmes következmény, hozzáadva a rendszer mindhárom egyenletét:
Lineáris egyenletek két változóban
Egy iskolásnak 200 rubelt kell ebédelnie az iskolában. Egy sütemény 25 rubel, egy csésze kávé 10 rubelbe kerül. Hány süteményt és csésze kávét vásárolhat 200 rubelért?
Jelöljük a sütemények számát x, és a csésze kávé át y. Ekkor a sütemények költségét a 25 kifejezés jelöli x, és a csésze kávé ára 10-ben y .
25x-ár x sütemények
10y —ár y csésze kávét
A teljes összegnek 200 rubelnek kell lennie. Ekkor kapunk egy két változós egyenletet xÉs y
25x+ 10y= 200
Hány gyökere van? adott egyenlet?
Minden a tanuló étvágyától függ. Ha vesz 6 süteményt és 5 csésze kávét, akkor az egyenlet gyökerei a 6-os és az 5-ös számok lesznek.
A 6-os és 5-ös értékpár a 25-ös egyenlet gyökere x+ 10y= 200. Írva (6; 5), az első szám a változó értéke x, a második pedig a változó értéke y .
A 6 és 5 nem az egyetlen gyök, amely megfordítja a 25-ös egyenletet x+ 10y= 200 az azonossághoz. Kívánság szerint ugyanazon 200 rubelért egy diák 4 süteményt és 10 csésze kávét vásárolhat:
Az e ebben az esetben a 25-ös egyenlet gyökerei x+ 10y= 200 egy értékpár (4; 10).
Ezenkívül egy iskolás egyáltalán nem vesz kávét, hanem süteményeket vásárolhat a teljes 200 rubelért. Ezután a 25-ös egyenlet gyökerei x+ 10y= 200 lesz a 8 és 0 érték
Vagy fordítva, ne süteményt, hanem kávét vegyen a teljes 200 rubelért. Ezután a 25-ös egyenlet gyökerei x+ 10y= 200, az értékek 0 és 20 lesznek
Próbáljuk meg felsorolni a 25-ös egyenlet összes lehetséges gyökerét x+ 10y= 200. Egyezzünk meg abban, hogy az értékek xÉs y egész számok halmazába tartoznak. És legyenek ezek az értékek nagyobbak vagy egyenlők nullával:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Ez magának a diáknak is kényelmes lesz. Kényelmesebb egész tortát vásárolni, mint például több egész tortát és egy fél tortát. Kényelmesebb egész csészében is bevenni a kávét, mint például több egész csészével és fél csészével.
Vegye figyelembe, hogy páratlan x az egyenlőséget semmilyen körülmények között lehetetlen elérni y. Aztán az értékek x a következő számok 0, 2, 4, 6, 8 lesznek. És tudva x könnyen meghatározható y
Így a következő értékpárokat kaptuk (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ezek a párok a 25. egyenlet megoldásai vagy gyökerei x+ 10y= 200. Ezt az egyenletet azonossággá alakítják.
A forma egyenlete ax + by = c hívott két változós lineáris egyenlet. Ennek az egyenletnek a megoldása vagy gyöke egy értékpár ( x; y), ami identitássá változtatja.
Vegye figyelembe azt is, hogy ha két változós lineáris egyenletet írunk a formába ax + b y = c , akkor azt mondják, hogy be van írva kánoni(normál) forma.
Néhány lineáris egyenlet két változóban kanonikus formára redukálható.
Például az egyenlet 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) eszünkbe lehet juttatni ax + by = c. Nyissuk ki a zárójeleket ennek az egyenletnek mindkét oldalán, és kapjuk meg 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Az ismeretlent tartalmazó kifejezéseket az egyenlet bal oldalán, az ismeretlentől mentes kifejezéseket pedig a jobb oldalon csoportosítjuk. Akkor kapunk 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . hozzuk hasonló kifejezések mindkét oldalon a 16-os egyenletet kapjuk x+ 8y= 32. Ezt az egyenletet a formára redukáljuk ax + by = cés kanonikus.
A korábban tárgyalt 25. egyenlet x+ 10y= 200 szintén egy lineáris egyenlet, amelyben két változó szerepel kanonikus forma. Ebben az egyenletben a paraméterek a , bÉs c egyenlőek a 25, 10 és 200 értékekkel.
Valójában az egyenlet ax + by = c számtalan megoldása van. Az egyenlet megoldása 25x+ 10y= 200, csak az egész számok halmazán kerestük a gyökereit. Ennek eredményeként több olyan értékpárt kaptunk, amelyek ezt az egyenletet azonossággá alakították. De sokakon racionális számok 25. egyenlet x+ 10y= 200 végtelen sok megoldása lesz.
Új értékpárok megszerzéséhez tetszőleges értéket kell felvennie a for-nak x, majd expressz y. Vegyük például a változót xérték 7. Ekkor egy változós egyenletet kapunk 25×7 + 10y= 200 amelyben ki lehet fejezni y
Hadd x= 15. Aztán az egyenlet 25x+ 10y= 200-ból 25 × 15 lesz + 10y= 200. Innentől azt találjuk y = −17,5
Hadd x= -3 . Aztán az egyenlet 25x+ 10y= 200-ból 25 × (-3) lesz + 10y= 200. Innentől azt találjuk y = −27,5
Két lineáris egyenlet rendszere két változóval
Az egyenlethez ax + by = c tetszőleges értékeket vehet fel, ahányszor csak akar xés értékeket találni y. Külön-külön véve egy ilyen egyenletnek számtalan megoldása lesz.
De az is előfordul, hogy a változók xÉs y nem egy, hanem két egyenlet köti össze. Ilyenkor alkotják az ún két változós lineáris egyenletrendszer. Egy ilyen egyenletrendszernek egy értékpárja lehet (vagy más szóval: „egy megoldás”).
Az is előfordulhat, hogy a rendszernek egyáltalán nincs megoldása. Egy lineáris egyenletrendszernek számtalan megoldása lehet ritka és kivételes esetekben.
Két lineáris egyenlet alkot rendszert, amikor az értékek xÉs yírja be ezeket az egyenleteket.
Térjünk vissza a legelső 25-ös egyenlethez x+ 10y= 200. Ennek az egyenletnek az egyik értékpárja a (6; 5) pár volt. Ez az az eset, amikor 200 rubelért 6 süteményt és 5 csésze kávét lehetett vásárolni.
Fogalmazzuk meg a feladatot úgy, hogy a (6; 5) pár legyen az egyetlen megoldás a 25. egyenlethez x+ 10y= 200. Ehhez hozzunk létre egy másik egyenletet, amely ugyanazt kapcsolná össze x sütemények és y csésze kávét.
Fogalmazzuk meg a feladat szövegét a következőképpen:
„A diák több süteményt és több csésze kávét vett 200 rubelért. Egy sütemény 25 rubel, egy csésze kávé 10 rubelbe kerül. Hány süteményt és csésze kávét vett a tanuló, ha ismert, hogy az egységenkénti sütemények száma több mennyiséget csésze kávét?
Már megvan az első egyenlet. Ez a 25-ös egyenlet x+ 10y= 200. Most hozzunk létre egyenletet a feltételhez "a sütemények száma egy egységgel több, mint a csésze kávé" .
A sütemények száma az x, és a csésze kávék száma y. Ezt a kifejezést az egyenlet segítségével írhatja le x−y= 1. Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a sütemények és a kávé közötti különbség 1.
x = y+ 1. Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a sütemények száma eggyel több, mint a csésze kávéé. Ezért az egyenlőség elérése érdekében egyet adunk a csésze kávék számához. Ez könnyen megérthető, ha azt a skálamodellt használjuk, amelyet a legegyszerűbb problémák tanulmányozásakor vettünk figyelembe:
Két egyenletet kaptunk: 25 x+ 10y= 200 és x = y+ 1. Mivel az értékek xÉs y, azaz a 6 és az 5 mindegyik egyenletben szerepel, akkor együtt alkotnak egy rendszert. Írjuk le ezt a rendszert. Ha az egyenletek rendszert alkotnak, akkor a rendszerjel keretezi őket. A rendszerszimbólum egy kapcsos zárójel:
Döntsünk ezt a rendszert. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy lássuk, hogyan jutunk el a 6-os és 5-ös értékekhez. Számos módszer létezik az ilyen rendszerek megoldására. Nézzük ezek közül a legnépszerűbbeket.
Helyettesítési módszer
Ennek a módszernek a neve önmagáért beszél. Lényege, hogy az egyik egyenletet egy másikra cseréljük, miután előzőleg kifejeztük valamelyik változót.
A mi rendszerünkben semmit sem kell kifejezni. A második egyenletben x = y+ 1 változó x már kifejezve. Ez a változó egyenlő a kifejezéssel y+ 1. Ezután ezt a kifejezést behelyettesítheti az első egyenletbe a változó helyett x
A kifejezés behelyettesítése után y+ 1 helyett az első egyenletbe x, megkapjuk az egyenletet 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ez egy lineáris egyenlet egy változóval. Ez az egyenlet nagyon könnyen megoldható:
Megtaláltuk a változó értékét y. Most cseréljük be ezt az értéket az egyik egyenletbe, és keressük meg az értéket x. Ehhez célszerű a második egyenletet használni x = y+ 1. Helyettesítsük be az értéket y
Ez azt jelenti, hogy a (6; 5) pár az egyenletrendszer megoldása, ahogyan azt szándékoztunk. Ellenőrizzük és megbizonyosodunk arról, hogy a (6; 5) pár megfelel a rendszernek:
2. példa
Helyettesítsük be az első egyenletet x= 2 + y a második egyenletbe 3 x− 2y= 9. Az első egyenletben a változó x egyenlő a 2 + kifejezéssel y. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a második egyenletbe x
Most keressük meg az értéket x. Ehhez helyettesítsük az értéket y az első egyenletbe x= 2 + y
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása a párérték (5; 3)
3. példa. Helyettesítéssel megoldani a következő rendszert egyenletek:
Itt a korábbi példákkal ellentétben az egyik változó nincs kifejezve kifejezve.
Az egyik egyenlet másikkal való helyettesítéséhez először szüksége van a következőre:
Célszerű azt a változót kifejezni, amelynek együtthatója egy. A változó együtthatója egy x, amelyet az első egyenlet tartalmaz x+ 2y= 11. Fejezzük ki ezt a változót.
Változó kifejezés után x, rendszerünk a következő formában lesz:
Most cseréljük be az első egyenletet a másodikra, és keressük meg az értéket y
Cseréljük y x
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (3; 4)
Természetesen változót is kifejezhet y. Ez nem fogja megváltoztatni a gyökereket. De ha kifejezed y, Az eredmény nem túl egyszerű egyenlet, amelynek megoldása több időt vesz igénybe. Így fog kinézni:
Ezt látjuk benne ebben a példában kifejezni x sokkal kényelmesebb, mint kifejezni y .
4. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert helyettesítési módszerrel:
Fejezzük ki az első egyenletben x. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
y
Cseréljük y az első egyenletbe és keresse meg x. Használhatja az eredeti 7-es egyenletet x+ 9y= 8, vagy használja azt az egyenletet, amelyben a változó kifejeződik x. Ezt az egyenletet fogjuk használni, mert kényelmes:
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (5; −3)
Hozzáadás módja
Az összeadás módszere abból áll, hogy a rendszerben szereplő egyenleteket tagonként összeadjuk. Ez az összeadás egy új egyenletet eredményez egy változóval. És egy ilyen egyenlet megoldása meglehetősen egyszerű.
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
Adjuk össze az első egyenlet bal oldalát a második egyenlet bal oldalával. A jobb oldal az első egyenlet a második egyenlet jobb oldalával. A következő egyenlőséget kapjuk:
Nézzük a hasonló kifejezéseket:
Ennek eredményeként a legegyszerűbb 3-as egyenletet kaptuk x= 27 melynek gyöke 9. Értékének ismerete x megtalálhatja az értéket y. Cseréljük ki az értéket x a második egyenletbe x−y= 3. 9 −-et kapunk y= 3. Innen y= 6 .
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (9; 6)
2. példa
Adjuk össze az első egyenlet bal oldalát a második egyenlet bal oldalával. És az első egyenlet jobb oldala a második egyenlet jobb oldalával. A kapott egyenlőségben hasonló kifejezéseket mutatunk be:
Ennek eredményeként a legegyszerűbb 5-ös egyenletet kaptuk x= 20, melynek gyöke 4. Érték ismeretében x megtalálhatja az értéket y. Cseréljük ki az értéket x az első egyenletbe 2 x+y= 11. Legyen 8+ y= 11. Innen y= 3 .
Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldása egy értékpár (4;3)
Az adagolási folyamatot nem ismertetjük részletesen. Mentálisan kell csinálni. Összeadáskor mindkét egyenletet kanonikus formára kell redukálni. Azaz egyébként ac + by = c .
A vizsgált példákból világosan látszik, hogy az egyenletek összeadásának fő célja az egyik változótól való megszabadulás. De nem mindig lehet azonnal megoldani egy egyenletrendszert az összeadás módszerével. Leggyakrabban a rendszer először olyan formára kerül, amelyben a rendszerben szereplő egyenletek összeadhatók.
Például a rendszer 
kiegészítéssel azonnal megoldható. Mindkét egyenlet összeadásakor a kifejezések yÉs −y eltűnnek, mert összegük nulla. Ennek eredményeként a legegyszerűbb 11 egyenlet jön létre x= 22, melynek gyöke 2. Ekkor lehet majd meghatározni y egyenlő 5-tel.
És az egyenletrendszer 
Az összeadás módszere nem oldható meg azonnal, mivel ez nem vezet az egyik változó eltűnéséhez. Az összeadás a 8-as egyenletet eredményezi x+ y= 28, amelynek végtelen számú megoldása van.
Ha egy egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk, egyenlő nullával, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk. Ez a szabály egy kétváltozós lineáris egyenletrendszerre is igaz. Az egyik egyenlet (vagy mindkét egyenlet) tetszőleges számmal megszorozható. Az eredmény egy egyenértékű rendszer lesz, amelynek gyökerei egybeesnek az előzővel.
Térjünk vissza a legelső rendszerhez, amely leírta, hogy egy iskolás hány süteményt és csésze kávét vett. Ennek a rendszernek a megoldása egy értékpár volt (6; 5).
Szorozzuk meg a rendszerben szereplő mindkét egyenletet néhány számmal. Tegyük fel, hogy az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat pedig 3-mal
Ennek eredményeként egy rendszert kaptunk 
Ennek a rendszernek a megoldása továbbra is az értékpár (6; 5)
Ez azt jelenti, hogy a rendszerben szereplő egyenletek az összeadás módszerének alkalmazására alkalmas formára redukálhatók.
Térjünk vissza a rendszerhez , amit az összeadás módszerével nem tudtunk megoldani.
Szorozzuk meg az első egyenletet 6-tal, a másodikat pedig -2-vel
Ekkor a következő rendszert kapjuk:
Adjuk össze a rendszerben szereplő egyenleteket. Összetevők hozzáadása 12 xés −12 x 0-t, összeadás 18-at eredményez yés 4 y 22-t fog adni y, és ha 108-at és −20-at összeadva 88-at kapunk. Ekkor a 22-es egyenletet kapjuk y= 88, innen y = 4 .
Ha eleinte nehéz fejben összeadni egyenleteket, akkor leírhatod, hogyan jön össze bal oldal az első egyenletnek a második egyenlet bal oldalával, és az első egyenlet jobb oldalával a második egyenlet jobb oldalával:
Tudva, hogy a változó értéke y 4, akkor megtalálhatja az értéket x. Cseréljük y az egyik egyenletbe, például az első 2. egyenletbe x+ 3y= 18. Ekkor egy 2-es változójú egyenletet kapunk x+ 12 = 18. Mozgassuk a 12-t jobb oldalra, jelet váltva, 2-t kapunk x= 6, innen x = 3 .
4. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Szorozzuk meg a második egyenletet −1-gyel. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Adjuk össze mindkét egyenletet. Összetevők hozzáadása xÉs −x 0-t, összeadás 5-öt eredményez yés 3 y 8-at fog adni y 7-et és 1-et összeadva 8-at kapunk. Az eredmény a 8-as egyenlet y= 8, amelynek gyöke 1. Tudva, hogy az érték y 1, akkor megtalálhatja az értéket x .
Cseréljük y az első egyenletbe, megkapjuk x+ 5 = 7, tehát x= 2
5. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Kívánatos, hogy az azonos változókat tartalmazó kifejezések egymás alatt helyezkedjenek el. Ezért a második egyenletben az 5 yés −2 x Cseréljünk helyet. Ennek eredményeként a rendszer a következő formában jelenik meg:
Szorozzuk meg a második egyenletet 3-mal. Ekkor a rendszer a következő alakot veszi fel:
Most adjuk hozzá mindkét egyenletet. Az összeadás eredményeként a 8-as egyenletet kapjuk y= 16, melynek gyöke 2.
Cseréljük y az első egyenletbe 6-ot kapunk x− 14 = 40. Mozgassuk a −14 tagot jobbra, előjelet változtatva, és kapjunk 6-ot x= 54 . Innen x= 9.
6. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Megszabadulunk a törtektől. Szorozzuk meg az első egyenletet 36-tal, a másodikat 12-vel
Az így létrejövő rendszerben 
az első egyenlet -5-tel, a második 8-cal szorozható
Adjuk össze az egyenleteket a kapott rendszerben. Ekkor a legegyszerűbb -13 egyenletet kapjuk y= −156 . Innen y= 12. Cseréljük y az első egyenletbe és keresse meg x
7. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Mindkét egyenletet redukáljuk le normális kinézetű. Itt célszerű mindkét egyenletben alkalmazni az arányosság szabályát. Ha az első egyenletben a jobb oldalt , a második egyenlet jobb oldalát pedig , akkor a rendszer a következő alakot veszi fel:
Van egy arányunk. Szorozzuk meg szélső és középső tagját. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Szorozzuk meg az első egyenletet -3-mal, és nyissuk meg a zárójeleket a másodikban:
Most adjuk hozzá mindkét egyenletet. Ezen egyenletek összeadásával olyan egyenlőséget kapunk, amelynek mindkét oldalán nulla van:
Kiderült, hogy a rendszernek számtalan megoldása van.
De nem csak tetszőleges értékeket vehetünk át az égből xÉs y. Az egyik értéket megadhatjuk, a másikat az általunk megadott érték függvényében határozzuk meg. Például hadd x= 2. Helyettesítsük be ezt az értéket a rendszerbe:
Az egyik egyenlet megoldásának eredményeként a for y, amely mindkét egyenletet kielégíti:
Az eredményül kapott értékpár (2; -2) kielégíti a rendszert:
Keressünk egy másik értékpárt. Hadd x= 4. Helyettesítsük be ezt az értéket a rendszerbe:
Szemből megállapíthatja, hogy az érték y egyenlő nullával. Ezután kapunk egy értékpárt (4; 0), amely kielégíti a rendszerünket:
8. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert az összeadás módszerével:
Szorozzuk meg az első egyenletet 6-tal, a másodikat 12-vel
Írjuk át, ami maradt:
Szorozzuk meg az első egyenletet −1-gyel. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Most adjuk hozzá mindkét egyenletet. Az összeadás eredményeként kialakul a 6. egyenlet b= 48, melynek gyöke 8. Helyettesít b az első egyenletbe és keresse meg a
Három változós lineáris egyenletrendszer
A három változós lineáris egyenlet három együtthatós változót tartalmaz, valamint ingyenes tag. Kanonikus formában a következőképpen írható fel:
ax + by + cz = d
Ennek az egyenletnek számtalan megoldása van. Két változó megadása különböző jelentések, egy harmadik érték is megtalálható. A megoldás ebben az esetben az értékek hármasa ( x; y; z), amely az egyenletet azonossággá alakítja.
Ha a változók x, y, z három egyenlet köti össze, akkor három változós lineáris egyenletrendszer jön létre. Egy ilyen rendszer megoldásához ugyanazokat a módszereket használhatja, mint a két változós lineáris egyenleteknél: a helyettesítési módszert és az összeadás módszert.
1. példa. Oldja meg a következő egyenletrendszert helyettesítési módszerrel:
Fejezzük ki a harmadik egyenletben x. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Most végezzük el a helyettesítést. Változó x egyenlő a kifejezéssel 3 − 2y − 2z . Helyettesítsük be ezt a kifejezést az első és a második egyenletbe:
Nyissuk meg a zárójeleket mindkét egyenletben, és mutassunk be hasonló kifejezéseket:
Elérkeztünk egy kétváltozós lineáris egyenletrendszerhez. BAN BEN ebben az esetben Kényelmes az addíciós módszer alkalmazása. Ennek eredményeként a változó y eltűnik, és megtaláljuk a változó értékét z
Most keressük meg az értéket y. Ehhez célszerű a − egyenletet használni y+ z= 4. Helyettesítse be az értéket z
Most keressük meg az értéket x. Ehhez célszerű az egyenletet használni x= 3 − 2y − 2z . Helyettesítsük be az értékeket yÉs z
Így az értékek hármasa (3; -2; 2) megoldást jelent rendszerünkre. Az ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy ezek az értékek megfelelnek a rendszernek:
2. példa. Oldja meg a rendszert az összeadás módszerével!
Adjuk össze az első egyenletet a másodikkal, megszorozva −2-vel.
Ha a második egyenletet megszorozzuk -2-vel, akkor a következőt veszi fel −6x+ 6y − 4z = −4 . Most adjuk hozzá az első egyenlethez:
Ezt látjuk ennek eredményeként elemi átalakulások, a változó értéke meghatározásra kerül x. Ez egyenlő eggyel.
Térjünk vissza fő rendszer. Adjuk össze a második egyenletet a harmadikkal, megszorozva −1-gyel. Ha a harmadik egyenletet megszorozzuk -1-gyel, akkor a következő alakot veszi fel −4x + 5y − 2z = −1 . Most adjuk hozzá a második egyenlethez:
Megkaptuk az egyenletet x− 2y= −1 . Helyettesítsük be az értéket x amit korábban találtunk. Ezután meg tudjuk határozni az értéket y
Most már tudjuk a jelentéseket xÉs y. Ez lehetővé teszi az érték meghatározását z. Használjuk a rendszerben szereplő egyenletek egyikét:
Így az értékek hármasa (1; 1; 1) a megoldás a rendszerünkre. Az ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy ezek az értékek megfelelnek a rendszernek:
Lineáris egyenletrendszerek összeállításának problémái
Az egyenletrendszer összeállításának feladatát több változó megadásával oldjuk meg. Ezután a feladat feltételei alapján egyenleteket állítunk össze. Az összeállított egyenletekből rendszert alkotnak és azt megoldják. A rendszer megoldása után ellenőrizni kell, hogy a megoldása megfelel-e a probléma feltételeinek.
1. probléma. Egy Volga autó hajtott ki a városból a kolhozhoz. Egy másik úton tért vissza, amely 5 km-rel rövidebb volt, mint az első. Az autó összesen 35 km-t tett meg oda-vissza. Hány kilométer az egyes utak hossza?
Megoldás
Hadd x- az első út hossza, y- a második hossza. Ha az autó 35 km-t tett meg oda-vissza, akkor az első egyenlet így írható fel x+ y= 35. Ez az egyenlet mindkét út hosszának összegét írja le.
Állítólag az autó az elsőnél 5 km-rel rövidebb úton tért vissza. Ekkor a második egyenlet így írható fel x− y= 5. Ez az egyenlet azt mutatja, hogy az úthosszak közötti különbség 5 km.
Vagy a második egyenlet felírható így x= y+ 5. Ezt az egyenletet fogjuk használni.
Mivel a változók xÉs y mindkét egyenletben ugyanazt a számot jelöljük, akkor ezekből rendszert alkothatunk:
Oldjuk meg ezt a rendszert néhány korábban vizsgált módszerrel. Ebben az esetben célszerű a helyettesítési módszert használni, mivel a második egyenletben a változó x már kifejezve.
Helyettesítsd be a második egyenletet az elsőbe, és keresd meg y
Helyettesítsük a talált értéket y a második egyenletben x= y+5 és megtaláljuk x
Az első út hosszát a változón keresztül jeleztük x. Most megtaláltuk a jelentését. Változó x Ez azt jelenti, hogy az első út hossza 20 km.
A második út hosszát pedig az jelezte y. Ennek a változónak az értéke 15. Ez azt jelenti, hogy a második út hossza 15 km.
Ellenőrizzük. Először győződjön meg arról, hogy a rendszer megfelelően van megoldva:
Most nézzük meg, hogy a megoldás (20; 15) kielégíti-e a probléma feltételeit.
Azt mondták, hogy az autó összesen 35 km-t tett meg oda-vissza. Összeadjuk mindkét út hosszát, és meggyőződünk arról, hogy a megoldás (20; 15) kielégítő ezt az állapotot: 20 km + 15 km = 35 km
A következő feltétel: az autó egy másik úton tért vissza, amely 5 km-rel rövidebb volt, mint az első . Látjuk, hogy a (20; 15) megoldás is kielégíti ezt a feltételt, hiszen 15 km rövidebb, mint 20 km 5 km-rel: 20 km − 15 km = 5 km
A rendszer összeállításakor fontos, hogy a változók ugyanazokat a számokat képviseljék a rendszerben szereplő összes egyenletben.
Tehát rendszerünk két egyenletet tartalmaz. Ezek az egyenletek viszont változókat tartalmaznak xÉs y, amelyek mindkét egyenletben ugyanazokat a számokat jelentik, nevezetesen a 20 km-es és a 15 km-es úthosszakat.
2. probléma. A peronra tölgy és fenyő talpfákat raktak, összesen 300 talpfát. Ismeretes, hogy az összes tölgy talpfa 1 tonnával kisebb volt, mint az összes fenyő talpfa. Határozza meg, hány tölgy és fenyő talpfa volt külön-külön, ha minden tölgy talpfa 46 kg, és mindegyik fenyő talpfa 28 kg volt!
Megoldás
Hadd x tölgy és y fenyő talpfákat raktak a peronra. Ha összesen 300 alvó volt, akkor az első egyenlet így írható fel x+y = 300 .
Az összes tölgyfa talpfa súlya 46 volt x kg, a fenyők pedig 28-at nyomtak y kg. Mivel a tölgy talpfa 1 tonnával kevesebb volt, mint a fenyő talpfa, a második egyenlet így írható fel. 28y − 46x= 1000 . Ez az egyenlet azt mutatja, hogy a tölgy és fenyő talpfa tömegkülönbsége 1000 kg.
A tonnákat átszámították kilogrammra, mivel a tölgy és fenyő talpfa tömegét kilogrammban mérték.
Ennek eredményeként két egyenletet kapunk, amelyek alkotják a rendszert
Oldjuk meg ezt a rendszert. Fejezzük ki az első egyenletben x. Ezután a rendszer a következő formában jelenik meg:
Helyettesítsd be az első egyenletet a másodikra, és keresd meg y
Cseréljük y az egyenletbe x= 300 − yés megtudja, mi az x
Ez azt jelenti, hogy 100 tölgy és 200 fenyő talpfát raktak a peronra.
Vizsgáljuk meg, hogy a megoldás (100; 200) kielégíti-e a feladat feltételeit. Először győződjön meg arról, hogy a rendszer megfelelően van megoldva:
Azt mondták, hogy összesen 300 alvó volt. Összeadjuk a tölgy és fenyő talpfák számát, és meggyőződünk arról, hogy a megoldás (100; 200) ezt a feltételt teljesíti: 100 + 200 = 300.
A következő feltétel: az összes tölgy talpfa 1 tonnával kisebb volt, mint az összes fenyő talpfa . Látjuk, hogy a megoldás (100; 200) ezt a feltételt is kielégíti, hiszen 46 × 100 kg tölgy talpfa könnyebb, mint 28 × 200 kg fenyő talpfa: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
3. probléma. Három darab réz-nikkel ötvözetet vettünk 2:1, 3:1 és 5:1 tömegarányban. Egy 12 kg súlyú darabot olvasztottak ki belőlük 4:1 réz-nikkeltartalommal. Határozza meg minden eredeti darab tömegét, ha az első darab tömege megduplázódik! több tömeg második.
Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A három ismeretlent tartalmazó egyenletek gyakoriak a matematikában. Az ilyen típusú egyenletek megoldására jó néhány módszer létezik, és a legtöbb esetben ezek oroszlánrészét további 2 egyenlet/feltétel egészíti ki. A megoldási mód kiválasztása közvetlenül függ a konkrét egyenlettől.
Ha a rendszerben csak 2 ismeretlen van a 3-ból, akkor valószínűleg kényelmes megoldás ennek a rendszernek az lesz, ha néhány változót másokkal fejez ki, és behelyettesíti őket egy 3 ismeretlennel rendelkező egyenletbe. Mindezt azért teszik, hogy egy közönséges egyenletté alakítsák, amelyben csak 1 ismeretlen, és amelynek megoldása olyan számot ad, amely behelyettesíthető az ismeretlen helyére, és megkapja a végeredményt az összes többi ismeretlenre.
Vannak olyan egyenletrendszerek, amelyeket úgy lehet megoldani, hogy egy egyenletből kivonunk egy másikat. Ez akkor lehetséges, ha az egyik kifejezést meg lehet szorozni egy változóval/értékkel, ami lehetővé teszi a kivonást több ismeretlen redukálásához. Érdemes azonban emlékezni arra, hogy számmal való szorzáskor és kivonáskor a kifejezés mindkét oldalán műveleteket kell végrehajtani.
Hol lehet online megoldani egy egyenletet 3 ismeretlennel?
A https://site weboldalunkon három ismeretlen online megoldóval is megoldhat egy egyenletet. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete