Tetraéder párhuzamos metszete. én

Ebben a leckében megnézzük a tetraédert és elemeit (tetraéder éle, felülete, lapjai, csúcsai). És számos problémát megoldunk a tetraéder metszeteinek felépítésével kapcsolatban általános módszer szakaszok építéséhez.

Téma: Egyenesek és síkok párhuzamossága

Tanulság: Tetraéder. Problémák a tetraéder metszeteinek felépítésénél

Hogyan építsünk tetraédert? Vessünk tetszőleges háromszög ABC. Bármilyen pontot D, amely nem ennek a háromszögnek a síkjában fekszik. 4 háromszöget kapunk. A négy háromszög által alkotott felületet tetraédernek nevezzük (1. ábra). Az e felület által határolt belső pontok is a tetraéder részét képezik.

Rizs. 1. ABCD tetraéder

A tetraéder elemei
A,B, C, D - tetraéder csúcsai.
AB, A.C., HIRDETÉS, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., BD, CD - tetraéder élek.
ABC, ABD, BDC, ADC - tetraéderlapok.

Megjegyzés: laposra vihető ABC mögött tetraéder bázis, majd pont D van tetraéder csúcsa. A tetraéder minden éle két sík metszéspontja. Például borda AB- ez a síkok metszéspontja ABDÉs ABC. A tetraéder minden csúcsa három sík metszéspontja. Csúcs A síkokban fekszik ABC, ABD, ADVAL VEL. Pont A a három kijelölt sík metszéspontja. Ezt a tényt rögzítik a következő módon: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Tetraéder meghatározása

Így, tetraéder négy háromszög alkotta felület.

Tetraéder él- a tetraéder két síkjának metszésvonala.

6 gyufából készíts 4 egyenlő háromszöget! Repülőgépen lehetetlen megoldani a problémát. És ezt könnyű megtenni az űrben. Vegyünk egy tetraédert. 6 gyufa az élei, a tetraéder négy lapja és négy lesz egyenlő háromszögek. A probléma megoldódott.

Adott egy tetraéder ABCD. Pont M a tetraéder egyik széléhez tartozik AB, pont N a tetraéder egyik széléhez tartozik BAN BENDés időszak Réléhez tartozik DVAL VEL(2. ábra). Szerkesszük meg a tetraéder metszetét egy síkkal MNP.

Rizs. 2. Rajz a 2. feladathoz - Készítsen egy tetraéder metszetét síkkal

Megoldás:
Tekintsük egy tetraéder lapját DNap. A lényeg ezen az oldalán NÉs P az arcokhoz tartoznak DNap, és ezért a tetraéder. De a pont állapota szerint N, P a vágási síkhoz tartoznak. Eszközök, NP- ez két sík metszésvonala: az arc síkja DNapés vágósík. Tegyük fel, hogy egyenesek NPÉs Nap nem párhuzamos. Ugyanabban a síkban fekszenek DNap. Találjunk egy pontot vonal kereszteződései NPÉs Nap. Jelöljük E(3. ábra).

Rizs. 3. Rajz a 2. feladathoz. E pont megkeresése

Pont E metszetsíkhoz tartozik MNP, mivel a vonalon fekszik NP, és az egyenes NP teljes egészében a metszetsíkban fekszik MNP.

Szintén pont E síkban fekszik ABC, mert egyenesen fekszik Nap repülőn kívül ABC.

Ezt értjük ESZIK- síkok metszésvonala ABCÉs MNP, pont óta EÉs M egyszerre két síkban feküdni - ABCÉs MNP. Kössük össze a pontokat MÉs E, és folytassa egyenesen ESZIK a vonal kereszteződéséig AC. A vonalak metszéspontja ESZIKÉs AC jelöljük K.

Tehát ebben az esetben NPQМ- a szükséges szakaszt.

Rizs. 4. Rajz a 2. feladathoz. A 2. feladat megoldása

Nézzük most azt az esetet, amikor NP párhuzamos IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Ha egyenes NP párhuzamos valamilyen egyenessel, például egy egyenessel Nap repülőn kívül ABC, majd egyenesen NP párhuzamos a teljes síkkal ABC.

A kívánt metszetsík átmegy az egyenesen NP, párhuzamos a síkkal ABC, és egyenes vonalban metszi a síkot MQ. Tehát a metszésvonal MQ párhuzamos a vonallal NP. Kapunk NPQМ- a szükséges szakaszt.

Pont M oldalszélen fekszik ADBAN BEN tetraéder ABCD. Szerkesszük meg a tetraéder egy szakaszát a ponton átmenő síkkal M párhuzamos az alappal ABC.

Rizs. 5. Rajz a 3. feladathoz Szerkesszen meg egy tetraéder metszetét síkkal!

Megoldás:
Vágó sík φ párhuzamos a síkkal ABC a feltétel szerint ez azt jelenti, hogy ez a sík φ párhuzamos vonalakkal AB, AC, Nap.
Repülőn ABD ponton keresztül M csináljunk közvetlen PQ párhuzamos AB(5. ábra). Egyenes PQ síkban fekszik ABD. Hasonlóan a síkban ACD ponton keresztül R csináljunk közvetlen PR párhuzamos AC. Van egy pont R. Két egymást metsző vonal PQÉs PR repülőgép PQR rendre párhuzamos két egymást metsző egyenessel ABÉs AC repülőgép ABC, ami repülőket jelent ABCÉs PQR párhuzamos. PQR- a szükséges szakaszt. A probléma megoldódott.

Adott egy tetraéder ABCD. Pont M- belső pont, pont a tetraéder lapján ABD. N- a szakasz belső pontja DVAL VEL(6. ábra). Szerkessze meg egy egyenes metszéspontját N.M.és repülőgépek ABC.

Rizs. 6. Rajz a 4. feladathoz

Megoldás:
Ennek megoldására készítünk egy segédsíkot DMN. Legyen egyenes DM pontban metszi az AB egyenest NAK NEK(7. ábra). Akkor, SKD- ez a sík egy része DMNés tetraéder. Repülőn DMN hazugság és egyenes N.M., és a kapott egyenes SK. Tehát, ha N.M. nem párhuzamos SK, akkor valamikor keresztezik egymást R. Pont Rés ott lesz a vonal kívánt metszéspontja N.M.és repülőgépek ABC.

Rizs. 7. Rajz a 4. feladathoz. A 4. feladat megoldása

Adott egy tetraéder ABCD. M- az arc belső pontja ABD. R- az arc belső pontja ABC. N- az él belső pontja DVAL VEL(8. ábra). Szerkesszünk meg egy tetraéder metszetét a pontokon átmenő síkkal! M, NÉs R.

Rizs. 8. Rajz az 5. feladathoz Szerkesszen meg egy tetraéder metszetét síkkal!

Megoldás:
Tekintsük az első esetet, amikor az egyenes MN nem párhuzamos a síkkal ABC. BAN BEN utolsó feladat megtaláltuk az egyenes metszéspontját MNés repülőgépek ABC. Ez a lényeg NAK NEK, azt a segédsík segítségével kapjuk meg DMN, azaz mi igen DMés pontot kapunk F. végzünk CFés a kereszteződésben MN pontot kapunk NAK NEK.

Rizs. 9. Rajz az 5. feladathoz. K pont keresése

Csináljunk direkt KR. Egyenes KR a metszetsíkban és a síkban egyaránt fekszik ABC. Pontszerzés P 1És R 2. Csatlakozás P 1És Més folytatásként megkapjuk a lényeget M 1. A pont összekapcsolása R 2És N. Ennek eredményeként megkapjuk a kívánt részt P 1 P 2 NM 1. Az első esetben a probléma megoldódott.
Tekintsük a második esetet, amikor az egyenes MN párhuzamos a síkkal ABC. Repülőgép MNP egyenes vonalon halad át MN párhuzamos a síkkal ABCés metszi a síkot ABC valamilyen egyenes mentén R 1 R 2, majd egyenesen R 1 R 2 párhuzamos az adott egyenessel MN(10. ábra).

Rizs. 10. Rajz az 5. feladathoz. A szükséges szakasz

Most húzzunk egy egyenest R 1 Més pontot kapunk M 1.P 1 P 2 NM 1- a szükséges szakaszt.

Szóval, megnéztük a tetraédert, megoldottunk néhányat tipikus feladatok tetraéderhez. A következő leckében egy paralelepipedont nézünk meg.

1. I. M. Szmirnova, V. A. Szmirnov. - 5. kiadás, javítva és bővítve - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : ill. Geometria. 10-11. osztály: tankönyv tanulóknak oktatási intézmények(alap és profilszint)

2. Sharygin I.F. - M.: Túzok, 1999. - 208 p.: ill. Geometria. 10-11. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 008. - 233 p. :il. Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára elmélyült ill szakirányú tanulmány matematikusok

További webes források

2. Hogyan készítsünk egy tetraéder keresztmetszetét. Matematika ().

3. Fesztivál pedagógiai elképzelések ().

Csináljon otthon feladatokat a „Tetraéder” témában, hogyan találja meg a tetraéder élét, a tetraéder lapjait, a tetraéder csúcsait és felületét

1. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alap- és szakirányú szint) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, javítva és bővítve - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. Feladatok 18, 19, 20 50. o

2. Pont E középső erezet MA tetraéder MAVS. Szerkesszük meg a tetraéder szakaszát a pontokon átmenő síkkal! IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTTÉs E.

3. A MABC tetraéderben az M pont az AMV laphoz, a P pont a BMC laphoz, a K pont az AC élhez tartozik. Szerkesszük meg a tetraéder szakaszát a pontokon átmenő síkkal! M, R, K.

4. Milyen alakzatokat kaphatunk a tetraéder és a sík metszéspontja eredményeként?

, dia 1-2)

megtanulják alkalmazni a sztereometria axiómáit a feladatok megoldása során;
megtanulják megtalálni a vágási sík metszéspontjainak helyzetét a tetraéder éleivel;
elsajátítani ezeket a szakaszokat
forma kognitív tevékenység, logikus gondolkodás képessége;
megteremteni a tudás és a készségek elsajátításának önkontrollának feltételeit.

Az óra típusa:Új ismeretek formálása.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat

II. A tanulók tudásának frissítése

Frontális felmérés. (Sztereometria axiómái, párhuzamos síkok tulajdonságai)

Tanár szava

Sok megoldására geometriai problémák a tetraéderhez kapcsolódnak, hasznos, ha le tudjuk őket rajzolni szakaszok különböző síkok. ( 3. dia). Hívjuk fel vágósík tetraéder bármely olyan sík, amelynek mindkét oldalán az adott tetraéder pontjai vannak. A vágási sík szegmensek mentén metszi a tetraéder lapjait. Olyan sokszöget nevezünk, amelynek oldalai ezek a szakaszok tetraéder keresztmetszete. Mivel a tetraédernek négy lapja van, szakaszai csak háromszögek és négyszögek lehetnek. Vegye figyelembe azt is, hogy egy metszet elkészítéséhez elegendő a vágási sík és a tetraéder éleinek metszéspontjait megszerkeszteni, majd meg kell rajzolni az ugyanazon az oldalon fekvő két szerkesztett pontot összekötő szakaszokat.

Ebben a leckében részletesen tanulmányozhatja a tetraéder metszeteit, és elsajátíthatja ezen szakaszok felépítésének módszereit. Megtanulhat öt szabályt a poliéder szakaszok megszerkesztésére, megtanulhatja, hogyan találja meg a vágási sík és a tetraéder élei metszéspontjainak helyzetét.

Frissítés alapfogalmak

Első szabály. Ha két pont a poliéder vágási síkjához és valamely lapjának síkjához is tartozik, akkor az ezen a két ponton áthaladó egyenes a vágási sík metszésvonala ennek a lapnak a síkjával (az axióma következménye a síkok metszéspontja).
Második szabály. Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkkal, akkor ez a két sík párhuzamos vonalak mentén metszi egymást bármely lappal (két párhuzamos sík tulajdonsága, amelyeket egy harmadik metsz).
Harmadik szabály. Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkban fekvő egyenessel (például egy lap síkjával), akkor a vágási sík metszésvonala ezzel a síkkal (lappal) párhuzamos ezzel az egyenessel (egy egyenes tulajdonsága). vonal, párhuzamos a síkkal).
Negyedik szabály. Egy vágósík párhuzamos lapokat párhuzamos egyenesek mentén metszi (a harmaddal metszett párhuzamos síkok tulajdonsága).
Ötödik szabály. Legyen két A és B pont a vágási síkhoz tartozik, és az A 1 és B 1 pontok párhuzamos vetületei egy bizonyos lapra. Ha az AB és A 1 B 1 egyenesek párhuzamosak, akkor a vágási sík ezt az oldalt egy A 1 B 1-gyel párhuzamos egyenes mentén metszi. Ha az AB és A 1 B 1 egyenesek egy ponton metszik egymást, akkor ez a pont a vágási síkhoz és ennek a lapnak a síkjához is tartozik (a tétel első része a síkkal párhuzamos egyenes tulajdonságából következik, és a a második abból következik további tulajdonságok párhuzamos vetítés).

III. Új anyagok elsajátítása (ismeretek, készségek formálása)

Kollektív problémamegoldás magyarázattal(4. dia)

1. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek a K є AD pontokon átmenő síkját,M = DS, E = BC.

Nézzük meg figyelmesen a rajzot. Mivel a K és M pont ugyanahhoz a síkhoz tartozik, ezért megtaláljuk a vágási sík metszéspontját az ADS lappal - ez a KM szakasz. Az M és E pontok is ugyanabban a síkban helyezkednek el, ami azt jelenti, hogy a vágósík és a VDS lapjának metszéspontja az ME szakasz. Megtaláljuk a KM és AC egyenesek metszéspontját, amelyek ugyanabban a síkban vannak ADS. Most az X pont az ABC lapban fekszik, majd összeköthető az E ponttal. Rajzolunk egy XE egyenest, amely a P pontban metszi az AB-t. A PE szakasz a vágási sík metszéspontja az ABC lappal, és a A KP szegmens a vágási sík metszéspontja az ABC felülettel. Ezért a KMER négyszög a kívánt szakaszunk. Jegyezze fel a megoldást a füzetébe:

Megoldás.

KM = α ∩ ADS
ME = α ∩ VDS
X = KM ∩ AC
P = XE ∩ AB
PE = α ∩ ABC
KR = α ∩ ADV
KMER – kötelező szakasz

2. feladat.(5. dia)

Szerkesszük meg a DABC tetraéder egy szakaszát egy olyan síkkal, amely átmegy a K = ABC, M = VDS, N = AD pontokon

Elemezzük ezt a rajzot. Nincsenek pontok ugyanazon az arcon. Ebben az esetben az 5. szabályt használjuk. Tekintsük néhány két pont vetületét. A tetraéderben a pontok vetületei a csúcstól az alapsíkig találhatók, azaz. M→M1, N→A. Megtaláljuk az NM és AM 1 egyenesek metszéspontját az X pontban. Ez a pont a vágási síkhoz tartozik, mivel az NM egyenesen fekszik, és az ABC síkhoz tartozik, mivel az AM 1 egyenesen fekszik. Ez azt jelenti, hogy most az ABC síkban van két összekapcsolható pontunk, megkapjuk a KX egyenest. Az egyenes metszi a BC oldalt az L pontban, és az AB oldalt a H pontban. Az ABC oldalon találjuk a metszésvonalat, amely áthalad a H és K pontokon - ez NL. Az ABP lapon a metszésvonal НN, a VDS lapon az L és M pontokon keresztül húzzuk a metszésvonalat - ez LQ, az ADS lapon pedig az NQ szakaszt kapjuk. A HNQL négyszög a szükséges szakasz.

Megoldás

M → M 1 N → A
X = NM ∩ AM 1
L = KX ∩ BC
H = KX ∩ AB
НL = α ∩ АВС, К є НL
НN = α ∩ АВД,
LQ = α ∩ VDS, М є LQ
NQ = α ∩ ADS
HNQL – kötelező szakasz

IV. A tudás megszilárdítása

Munka a „Tetraéder metszetének felépítése síkkal” animációs objektummal (lemez „Geometria órák a 10. osztályban”, 16. lecke)

A probléma megoldása utólagos ellenőrzéssel

3. feladat. (6. dia)

Szerkesszük meg a DAWS tetraéder szakaszát a K є BC, M є ADV, N є VDS pontokon átmenő síkkal.

Megoldás

1. M → M 1, N → N 1
Х = NM ∩ N 1 М 1
R = KX ∩ AB
RL = α ∩ АВД, М є RL
KR = α ∩ VDS, N є KR
LP = α ∩ ADS
RLPK – kötelező szakasz

V.Önálló munkavégzés (lehetőség szerint)

(7. dia)

4. feladat.N = AC, K = AD.

Megoldás

KM = α ∩ AVD,
МN = α ∩ АВС,
KN = α ∩ ADS
KMN – kötelező szakasz

5. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraéder metszetét az M є AB pontokon átmenő síkkal,K є DS, N є DV.

Megoldás

MN = α ∩ AVD
NK = α ∩ VDS
X = NK ∩ BC
P = AC ∩ MX
RK = α ∩ ADS
MNKP – kötelező szakasz

6. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraéder metszetét egy olyan síkkal, amely átmegy az M = ABC, K = VD, N = DS pontokon

Megoldás

KN = α ∩ ICE
Х = КN ∩ ВС
T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC
RT = α ∩ ABC, M є RT
PN = α ∩ ADS
TP N K – kötelező szakasz

VI. Óra összefoglalója.

(8. dia)

Tehát ma megtanultuk, hogyan kell megszerkeszteni a legegyszerűbb feladatokat tetraédermetszeteken. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a poliéder szakasza egy poliéder és egy bizonyos sík metszéspontja eredményeként kapott sokszög. Magát a síkot vágósíknak nevezzük. A metszet megalkotása azt jelenti, hogy meg kell határozni, hogy a vágási sík mely élei metszik egymást, a keletkező szakasz típusát, valamint a vágási sík és az élekkel való metszéspontok pontos helyzetét. Vagyis a leckében kitűzött célok megvalósultak.

VII. Házi feladat.

(9. dia)

Praktikus munka"Tetraéder szakaszainak megépítése" in elektronikus formában vagy papír változatban. (Mindegyik egyéni feladatot kapott).

Az óra típusa:

Leckét az új anyagok tanulásáról.

Az óra típusa:

lecke az IKT használatával.

Geometria: tankönyv 10-11. / L.S. Atanasyan. – M.: Oktatás, 2010;

Kiosztás: kártyák feladatokkal.

Interaktív tábla;

Laptop;

PowerPointban készült prezentáció;

A Paint programban készült rajzok;

Tetraéder modellek, paralelepipedon, téglalap alakú paralelepipedon, kocka.

Letöltés:

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Órafeladatok. Óra témája: Tetraéder metszeteinek szerkesztése. 29.10.

A B C D TETRAHEDRON - DAVS Tetraéder „tetra” - négy, „hedra” - arc.

Az óra célja: Az óra céljai: A tetraéder három síkon átmenő metszeteinek kialakításának képességének fejlesztése. adott pontokat. Oktatási: - ismertesse meg a vágási sík és a tetraéder síkmetszete meghatározását; - algoritmust megfogalmazni egyenes és sík metszéspontjának megalkotására; - algoritmust megfogalmazni egy tetraéder sík szerinti keresztmetszetének megszerkesztésére. Fejlesztő: - továbbképzés térbeli képzeletés a matematikai beszéd; - fejleszteni analitikus gondolkodás egy egyenes és egy sík metszéspontjának és poliéderszakasznak a megszerkesztésére szolgáló algoritmus kidolgozásakor. Pedagógusok: - fejlesztik a cél érdekében való tudatos munka képességét; - a kommunikációs kultúra előmozdítása.

A sztereometria axiómái és tételei. 1. Ha két párhuzamos síkot egy harmadik metszi, akkor a metszésvonalak párhuzamosak. 2. Egy sík, és csak egy, átmegy egy egyenesen és egy azon nem fekvő ponton. 3. Ha két különböző síknak van közös pontja, akkor ezen a ponton átmenő egyenes mentén metszik egymást. 4. Ha egy egyenes két pontja egy síkban fekszik, akkor az egyenes minden pontja ebben a síkban fekszik. 5. Egy sík két egymást metsző egyenesen halad át, és csak egy. A B C D E

Feladat: Keresse meg az AB egyenes és az M NK sík metszéspontját!

2. Feladat: Építsünk M, N, K pontokon átmenő egyeneseket!

A B C D M N K szakasz

A B C D M N K α

A B C D M N K A nyomvonal a metszéssík és a poliéder bármely lapjának síkjának metszésvonala. MK – az MNK gép nyoma ABC repülőgép MN - … NK - …

Milyen sokszögeket kaphatunk egy szakaszon? A tetraédernek 4 lapja van

Szerkesszük meg a tetraédernek E, F, K pontokon átmenő síkú szakaszát. E F K L A B C D M 1. Hajtsa végre a K F . 2. FE-t végzünk. 3. Folytassa az EF-vel, folytassa az AC-vel. 5. MK-t végzünk. 7. Elvégezzük az EL EFKL-t – a szükséges szakasz 6. szabály. MK AB=L 4. EF AC = M

Ebben az esetben a következőket kell figyelembe venni: 1. Csak két, egy lap síkjában fekvő pontot köthet össze. Metszet készítéséhez meg kell alkotnia a vágási sík és az élek metszéspontjait, és szegmensekkel kell összekötni őket. 2. Ha a homloksíkban csak egy, a metszetsíkhoz tartozó pontot jelölünk ki, akkor egy további pontot kell építeni. Ehhez meg kell találni a már megszerkesztett egyenesek metszéspontjait más, ugyanazon a lapokon fekvő egyenesekkel.

Szerkesszük meg a tetraédernek E, F, K pontokon átmenő síkszeletét. 1 út 2 út

Következtetés: az építési módtól függetlenül a szakaszok azonosak. 1. számú módszer. 2. számú módszer.

Ellenőrizze, hogy a szakasz megfelelően van-e megépítve. Magyarázza meg a hibát.

A B C D N K M X P T Próbálja ki magát.

Az M pont az belső pont a DABC tetraéder BC D felé néz. Szerkesszük meg ennek a tetraédernek az AB D síkkal párhuzamos, M ponton átmenő síkját. C D A B M K L N

Feladat Szerkesszük meg az ABCD tetraéder R ponton áthaladó szakaszát párhuzamosan a BCD lappal. 2. Szerkesszük meg az ABCD tetraéder S ponton átmenő szakaszát az ABC lappal párhuzamosan. 3. Szerkesszük meg az ABCD tetraéder T ponton átmenő szakaszát az ACD lappal párhuzamosan. 4. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek az M ponton átmenő, a BC D lappal párhuzamos síkját.

A D B C  S 2 . A D B C  R 1 . A D B C T  3 . 4.

Házi feladat Tanulmány 14. bekezdés 2. 73. szám (29. oldal) 3. Kreatív feladat(nem kötelező): készíts egy tetraéder papírmodelljét.

Előnézet:

MBOU "Kimovskaya középiskola"

Szpasszkij önkormányzati kerület

Tatár Köztársaság"

Az óra témája:

„Tetraéder szakaszok építése”

10-es fokozat

Fejlett

Mamonova Evgenia Gennadievna,

I. minősítési kategóriájú matematikatanár

2013 október

Oktatási célok:

a tanóra során biztosítsa a tetraéder szakaszok megalkotásával kapcsolatos feladatok megoldási algoritmusának elsajátítását.
biztosítsa a tetraéder fogalmainak asszimilációját, rendszerezze a sztereometria axiómáival kapcsolatos ismereteket, definíciókat, tulajdonságokat, fogalmakat relatív pozíció pontok, vonalak és síkok a térben.
fejleszteni kell a szóban forgó tárgyak síkbeli ábrázolásának és a javasolt képek „olvasásának” készségeit, a grafikai műveltséget;
az összehasonlítás, az általánosítás és a következtetés technikáinak használatának képességének fejlesztése.

Fejlesztési feladatok:

a sztereometriában megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazásának képességének fejlesztése,
az ismeretek elemzésének és általánosításának képességének fejlesztése a tetraéder metszeteinek felépítése során felmerülő problémák megoldása során.
teljesíteni tudjanak különféle számítások a keresztmetszeti terület meghatározásával kapcsolatos.

Oktatási feladatok:

tudatos tudásigény előmozdítása,
javulás tudományos készségekés készségek
Felnevel kognitív érdeklődés a témához a térbeli képzelet elsajátítása és a környező világ szépségének meglátása révén.

Az óra típusa:

Leckét az új anyagok tanulásáról.

Az óra típusa:

lecke az IKT használatával.

Tanítási módok:

Beszélgetés;

Frontális felmérés;

Szemléltető és vizuális;

Gyakorlati;

Összehasonlítás módszere, általánosítás.

Oktatási és módszertani eszközök:

Geometria: tankönyv 10-11. / L.S. Atanasyan. – M.: Oktatás, 2010;

Kiosztás: kártyák feladatokkal.

Anyagi és technikai felszereltség:

Interaktív tábla;

Laptop;

PowerPointban készült prezentáció;

A Paint programban készült rajzok;

Tetraéder, paralelepipedon, téglatest, kocka modelljei.

Az óra felépítése:

Org. pillanat (1 perc).
Korábban megszerzett ismeretek frissítése (3 perc).
Felkészülés az új anyag érzékelésére (3 perc).
Teremtés problémás helyzet(3 perc).
Magyarázatúj anyag (10 perc).
A vizsgált anyag összevonása (5 perc).
Önálló munkavégzés ezt követi az ellenőrzés (3 perc).
Workshop (5 perc).
A probléma megoldása (8 perc)
Ez érdekes (1 perc).
Házi feladat beállítása (1 perc).
Az óra összegzése, elmélkedés (2 perc).

Az órák alatt:

Szakasz lecke	Tanári tevékenység	Tevékenység hallgatók	Idő
1.Org. pillanat	Helló srácok. Ülj le. "Azt hiszem, még soha nem éltünk ilyen geometriai periódusban. Minden körülötte geometria."(2. dia) Ezek a szavak, amelyeket a nagy francia építész, Le Corbusier mondott a huszadik század elején, nagyon pontosan jellemzik korunkat. A világ, amelyben élünk, tele van házak és utcák, hegyek és mezők geometriájával, a természet és az ember alkotásaival. Ez a tudomány segít abban, hogy jobban eligazodj benne, új dolgokat fedezz fel, és megértsd a körülötted lévő világ szépségét és bölcsességét. Ezért azt javaslom, hogy még nagyobb szorgalommal tanulja a geometriát.	Üdvözlet a tanároktól. Leülnek.	1 perc
2.Korábban megszerzett ismeretek frissítése	Szóbeli munka. Kérdések: Melyik poliéderrel találkoztunk az utolsó órán? Határozzon meg egy tetraédert. (3. dia) Mutassa be a tetraéder elemeit a modellen! A mai óra témája: „Tetraéder metszeteinek megalkotása”(4. sz. dia). Írd le a témát a füzetedbe. Meg kell találnunk, hogy melyik síkot nevezzük szekánsnak, a szakaszok felépítésének módjait és módszereit, meg kell tanulnunk tetraéder metszeteit.(5. sz. dia). A lecke során jegyzetekkel fogsz dolgozni, és tetraéder szakaszokat fogsz építeni belőlük.	Tetraéderrel. A négy háromszögből álló felületet tetraédernek nevezzük. A tetraédert alkotó háromszögeket lapoknak, oldalaikat éleknek, csúcsaikat pedig a tetraéder csúcsainak nevezzük. A tetraédernek 4 lapja, 6 éle és 4 csúcsa van. A tetraéder egyik lapját alapnak, a másik hármat oldallapoknak nevezzük. A tetraéder két olyan élét, amelyeknek nincs közös csúcsa, ellentétesnek nevezzük. Írd le a füzetedbe az óra dátumát és témáját.	3 perc
3.Felkészülés az új anyag érzékelésére	Ehhez számos axiómát és tételt kell felidéznünk. Feladat: Korrelálja a rajzot a tétel vagy axióma megfogalmazásával. ( 6. dia)	Fogalmazzon meg axiómákat és tételeket, és kapcsolja össze őket képekkel. Válasz: D-1 AT 2 B-3 A-4 G-5	3 perc
4. Problémás helyzet kialakítása.	1. Feladat: (7. dia) Keresse meg az AB egyenes és az MNK sík metszéspontját. Kérdések: Melyik síkhoz tartozik az AB egyenes? Építsd meg. Mely síkokhoz tartozik az MN egyenes? Folytasd. Megkapta az AB és MN egyenesek metszéspontját. Jelölje meg. Melyik síkhoz tartozik ez a pont? Vonja le a következtetést. 2. Feladat: (8. dia) Szerkesszünk M, N, K pontokon átmenő egyeneseket. Milyen alakot kapunk, ha az egyenesek metszik egymást? Milyen jellemzői vannak ennek a háromszögnek?	Írd le a feladatot egy füzetbe: Válaszolj a kérdésekre: AB = MDN. MN = MDN ∩ MКN. P = MN ∩ AB P є MКN P = AB ∩ MNK. Építsen egyenes vonalakat MK, KN, MN. Indokolja válaszát. Amikor az egyenesek metszik egymást, egy MNK háromszöget kapunk. A háromszög a tetraédert két részre osztja. A háromszög minden oldala a poliéder egyik lapjához tartozik.	3 perc
5. Új anyag magyarázata.	Tehát megszerkesztettük egy tetraéder keresztmetszetét. Az MK, MN, KN egyenesek által alkotott háromszöget szakasznak ( 9. dia ), az MKN sík pedig egy szekáns sík.(10. dia) Mik a vágósík tulajdonságai? ( 9,10 dia) Alapfogalmak ( 11. dia) A szakasz felépítésénél a nyomkövetési módszert alkalmaztuk.(12. dia) Most emlékezni fog arra, hogyan építettük fel a szakaszt, és hogyan fogalmaztunk meg egy algoritmust a szakaszok nyomkövetési módszerrel történő felépítéséhez. Vizsgáljuk meg az algoritmusokat. Milyen sokszögeket kaphatunk egy tetraéder keresztmetszetében? ( 13. dia) A probléma megoldása. (14. dia) Szerkesszük meg a tetraédernek a tetraéder alapjának oldalán átmenő síkkal egy szakaszát és ez a pont az ellenkező szélén. E, F, K pontokon áthaladó szakasz építése. ( 15., 16. dia) Hogyan helyezkednek el az E, F, K pontok Milyen egyeneseket lehet megszerkeszteni? Egy szakasz felépítéséhez további pontra van szükségünk. EF∩ AC =M. MK-t vezetünk. MK∩ AB = L. Végezze el az EL. Az EFKL a szükséges szakasz.	1. Ez egy olyan sík, amelynek mindkét oldalán egy adott poliéder pontjai vannak. 2. A vágási sík szegmensek mentén metszi a poliéder lapjait. Olvassa el a nyom definícióját. A mondatok folytatódnak. Algoritmus. 1. Keressen két metszetpontot az egyik oldalon. 2. Szerkesszünk metszetnyomot a tetraéder síkon. 3. Ismételje meg az 1-2. lépéseket még 2 alkalommal. 4.Árnyékolja a kapott részt. Jegyzetel Háromszögek és négyszögek. E, F = ADC, F, K = BDC. KF, FE egyeneseket készíthet.	10 perc
6. A tanult anyag konszolidálása.	Metszetek felépítése az interaktív táblán. Két út. (17. dia) Következtetés: az építési módtól függetlenül a szakaszok azonosak. ( 18. dia) Milyen feltétellel egészítsük ki az algoritmusunkat, hogy a nyomkövetési módszerrel keresztmetszetet készítsünk? Gondolkozz és adj hozzá egy algoritmust. Ellenőrizzük. Gyakorlat: Ellenőrizze, hogy a szakasz megfelelően van-e megépítve. Magyarázza meg a hibát.(19. dia)	A tetraéder metszetei kétféleképpen készülnek. Keress egy további metszetpontot a tetraéder szélén Húzzon egyenes vonalat a nyomvonal eredményül kapott további pontján és a kiválasztott lap metszetpontján keresztül Jelölje meg a vonal metszéspontjait az arc széleivel. Hibák: 1. A vágási sík szegmensek mentén metszi a tetraéder lapjait (az AVK homlokfelületen nincs ilyen szegmens, a VKS-ben pedig 2 ilyen szegmens van) 2. A tetraéder keresztmetszete nem lehet ötszög.	5 perc
7.Önálló munkavégzés utólagos ellenőrzéssel	(20. dia)	Önálló munkavégzés (-Ha problémák merülnek fel, konzultálhat asztaltársával)	3 perc
8.Műhely	Egy másik metszetkészítési módszer a párhuzamos egyenesek módszere. Feladat: (21. dia) Az M pont a DAVS tetraéder VSD lapjának belső pontja. Szerkesszük meg ennek a tetraédernek az ABP síkkal párhuzamos, M ponton átmenő síkját. Emlékezzen a módszer nevére, és javasoljon módot a szakasz felépítésére. Megoldás. Mert Ha a vágási sík párhuzamos az AB síkkal, akkor párhuzamos az AD, AB, DV egyenesekkel. Ezért a vágási sík metszi egymást oldalsó arcok tetraéder egyenes vonalak mentén, párhuzamos oldalak háromszög AED. Ebből következik következő út a kívánt szakasz felépítése. Vegyünk egy egyenest az M ponton keresztül, párhuzamos a szegmenssel VD, és jelölje L és N betűkkel ennek az egyenesnek a metszéspontját a DV és DS oldalélekkel. Ezután az L ponton keresztül húzunk egy egyenest az AC szakasszal, és jelöljük K betűvel ennek az egyenesnek az AC éllel való metszéspontját. Az LKN háromszög a szükséges szakasz. Gyakorlat . Hozz létre egy szakaszt az interaktív táblán Feladat: (22. dia) Építsen szakaszokat. Ellenőrizzük a válaszokat (23. dia)		5 perc
9 Problémamegoldás	1. számú melléklet		8 perc
10. Ez érdekes	Metszet a rajzban, ruhamodellezéskor, az életben. ( 24-26. dia)		1 perc
11. Házi feladat kitűzése	Tanulmány 14. bekezdés, 73. szám (29. oldal)(27. dia) Kreatív feladat (választható): papírmodell készítése tetraéderről.		1 perc
12. Reflexió, óra összefoglaló	Melyik poliéderről beszéltünk ma az órán? Milyen problémákat tanultunk meg ma megoldani?(szakaszépítési feladatok) Milyen műveleteket kell végrehajtania a tanulónak poliéder szakaszok felépítéséhez?(keresse meg egy egyenes és egy sík metszéspontját; készítsen metszésvonalat két síkból) (29. dia)		2 perc

, 1-2. dia)

megtanulják alkalmazni a sztereometria axiómáit a feladatok megoldása során;

megtanulják megtalálni a vágási sík metszéspontjainak helyzetét a tetraéder éleivel;

elsajátítani ezeket a szakaszokat

a kognitív tevékenység kialakítása, a logikus gondolkodás képessége;

megteremteni a tudás és a készségek elsajátításának önkontrollának feltételeit.

Az óra típusa: Új ismeretek formálása.

Az órák alatt

ÉN. Idő szervezése

II. A tanulók tudásának frissítése

Frontális felmérés. (Sztereometria axiómái, párhuzamos síkok tulajdonságai)

Tanár szava

A tetraéderrel kapcsolatos számos geometriai probléma megoldásához hasznos, ha meg tudjuk őket rajzolniszakaszok különböző síkok. (3. dia). Hívjuk felvágósík tetraéder bármely olyan sík, amelynek mindkét oldalán az adott tetraéder pontjai vannak. A vágási sík szegmensek mentén metszi a tetraéder lapjait. Olyan sokszöget nevezünk, amelynek oldalai ezek a szakaszoktetraéder keresztmetszete . Mivel a tetraédernek négy lapja van, szakaszai csak háromszögek és négyszögek lehetnek. Vegye figyelembe azt is, hogy egy metszet elkészítéséhez elegendő a vágási sík és a tetraéder éleinek metszéspontjait megszerkeszteni, majd meg kell rajzolni az ugyanazon az oldalon fekvő két szerkesztett pontot összekötő szakaszokat.

Támogató koncepciók aktualizálása

Első szabály. Ha két pont a poliéder vágási síkjához és valamely lapjának síkjához is tartozik, akkor az ezen a két ponton áthaladó egyenes a vágási sík metszésvonala ennek a lapnak a síkjával (az axióma következménye a síkok metszéspontja).

Második szabály . Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkkal, akkor ez a két sík párhuzamos vonalak mentén metszi egymást bármely lappal (két párhuzamos sík tulajdonsága, amelyeket egy harmadik metsz).

Harmadik szabály. Ha a vágási sík párhuzamos egy bizonyos síkban fekvő egyenessel (például valamelyik lap síkjával), akkor a vágási sík metszésvonala ezzel a síkkal (lappal) párhuzamos ezzel az egyenessel (egy a síkkal párhuzamos egyenes).

Negyedik szabály. Egy vágósík párhuzamos lapokat párhuzamos egyenesek mentén metszi (a harmaddal metszett párhuzamos síkok tulajdonsága).

Ötödik szabály . Legyen két A és B pont a vágási síkhoz tartozik, az A pont 1 és B 1 ezek a pontok párhuzamos vetületei valamilyen lapra. Ha az AB és A egyenesek 1 B 1 párhuzamosak, akkor a vágási sík ezt az oldalt A-val párhuzamos egyenes mentén metszi 1 B 1 . Ha az AB és A egyenesek 1 B 1 metszi egymást egy bizonyos pontban, akkor ez a pont a vágási síkhoz és a lap síkjához is tartozik (a tétel első része a síkkal párhuzamos egyenes tulajdonságából, a második pedig egy párhuzamos további tulajdonságaiból következik kivetítés).

III. Új anyagok elsajátítása (ismeretek, készségek formálása)

Kollektív problémamegoldás magyarázattal (4. dia)

1. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek a K = AD, M = DS, E = BC pontokon átmenő síkját.

Megoldás.

KM = α ∩ ADS

ME = α ∩ VDS

X = KM ∩ AC

P = XE ∩ AB

PE = α ∩ ABC

KR = α ∩ ADV

KMER – kötelező szakasz

2. feladat. (5. dia)

Szerkesszük meg a DABC tetraéder egy szakaszát egy olyan síkkal, amely átmegy a K = ABC, M = VDS, N = AD pontokon

Tekintsük néhány két pont vetületét. A tetraéderben a pontok vetületei a csúcstól az alapsíkig találhatók, azaz. M→M 1 , N→A. Az NM és AM egyenesek metszéspontjának megtalálása 1 X pont. Ez a pont a vágási síkhoz tartozik, mivel az NM egyenesen fekszik, az ABC síkhoz tartozik, mivel az AM egyenesen fekszik 1 . Ez azt jelenti, hogy most az ABC síkban van két összekapcsolható pontunk, megkapjuk a KX egyenest. Az egyenes metszi a BC oldalt az L pontban, és az AB oldalt a H pontban. Az ABC oldalon találjuk a metszésvonalat, amely áthalad a H és K pontokon - ez NL. Az ABP lapon a metszésvonal НN, a VDS lapon az L és M pontokon keresztül húzzuk a metszésvonalat - ez LQ, az ADS lapon pedig az NQ szakaszt kapjuk. A HNQL négyszög a szükséges szakasz.

Megoldás

M → M 1 N → A

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ BC

H = KX ∩ AB

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ VDS, М є LQ

NQ = α ∩ ADS

HNQL – kötelező szakasz

IV. A tudás megszilárdítása

A probléma megoldása utólagos ellenőrzéssel

3. feladat. (6. dia)

Szerkesszük meg a DAWS tetraéder szakaszát a K є BC, M є ADV, N є VDS pontokon átmenő síkkal.

Megoldás

1. M → M 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 M 1

R = KX ∩ AB

RL = α ∩ АВД, М є RL

KR = α ∩ VDS, N є KR

LP = α ∩ ADS

RLPK – kötelező szakasz

V. Önálló munkavégzés (lehetőségek szerint)

(7. dia)

4. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek az M = AB, N = AC, K = AD pontokon átmenő síkját.

Megoldás

KM = α ∩ AVD,

МN = α ∩ АВС,

KN = α ∩ ADS

KMN – kötelező szakasz

5. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraédernek az M = AB, K = DS, N = DV pontokon átmenő síkját.

Megoldás

MN = α ∩ AVD

NK = α ∩ VDS

X = NK ∩ BC

P = AC ∩ MX

RK = α ∩ ADS

MNKP – kötelező szakasz

6. feladat. Szerkesszük meg a DABC tetraéder metszetét egy olyan síkkal, amely átmegy az M = ABC, K = VD, N = DS pontokon

Megoldás

KN = α ∩ ICE

Х = КN ∩ ВС

T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC

RT = α ∩ ABC, M є RT

PN = α ∩ ADS

TP N K – kötelező szakasz

VI. Óra összefoglalója.

(8. dia)

VII. Házi feladat.

(9. dia)

Gyakorlati munka „Tetraéder metszeteinek megalkotása” elektronikus vagy papíralapú változatban. (Mindegyik egyéni feladatot kapott

Téma: "Tetraéder és paralelepipedon metszeteinek megalkotása."

Tétel: geometria

Osztály: 10

Használt pedagógiai technológiák:

technológia projekt alapú tanulás, információs technológia .

Óra témája: Tetraéder és paralelepipedon metszeteinek felépítése

Az óra típusa: lecke az ismeretek megszilárdításáról és fejlesztéséről.

Munkaformák az órán: frontális, egyéni

A felhasznált források, szoftverek és pedagógiai eszközök listája:

1. . Geometria. 10-11 évfolyam, - M: Oktatás, 2006.

2. . Fejlesztési célok térbeli ábrázolások. Könyv tanároknak. - M.: Oktatás, 1991.

3. G. Prokopenko. Problémák megoldási módszerei poliéderek metszeteinek felépítésénél. 10-es fokozat . ChPGU, Cseljabinszk. Oktatási és módszertani hetilap „Matematika” 31/2001.

4. A. Mordkovich. Kilencedik szeminárium. Téma: Poliéderek metszeteinek építése (pozíciós problémák). A „Szeptember elseje” című újság heti melléklete. Matematika. 3/94.

5. Multimédiás interaktív tanfolyam " Nyitott matematika. Sztereometria." Physikon

6. „Élő geometria”

Nevelési:

Ellenőrizze tudását elméleti anyag poliéderekről (tetraéder, paralelepipedon).

Folytassa a rajzelemzés képességének fejlesztését, a poliédermodellel végzett munka során a főbb elemek kiemelését, a problémamegoldás menetének felvázolását és a végeredmény előrejelzését.

Fejleszteni kell a poliéderek szakaszainak felépítésével kapcsolatos problémák megoldási készségeit.

A grafikai kultúra és a matematikai beszéd fejlesztése.

Fejleszti a használati készségeket számítógépes technológia geometria órákon.

Nevelési:

Fejleszti a tanulók kognitív érdeklődését.

A tanulók térbeli képzelőerejének kialakítása és fejlesztése.

Nevelési:

Elősegíti a függetlenséget, a pontosságot és a kemény munkát.

Fejleszti az egyéni munkavégzés képességét egy feladaton.

Fejlessze az akaratot és a kitartást a végső eredmények elérése érdekében.

Technikai támogatás:

Számítógép telepített programokat"Élő geometria" Power Point, multimédiás projektor.

Kiosztás:

Űrlapkártyák gyakorlati feladatokkal, üres kártyák válaszokkal a kölcsönös teszteléshez, támogatások - feljegyzések, előadás a „Sztereometria axiómái, következmények belőlük” témában, tanulói bemutató „Paralelepipedon metszeteinek felépítése”, színes ceruzák.

Az óra szerkezete.

	Üdv. Idő szervezése.
	Az óra céljának és célkitűzéseinek meghatározása.
	A tanult anyag ismétlése prezentáció segítségével.
	Alapvető ismeretek frissítése.
	Szakaszépítés gyakorlati munkája.
	Peer review.
	Házi feladat
	Visszaverődés.

Az órák alatt:

1) Üdvözlet. Idő szervezése.

2) Az óra céljainak és célkitűzéseinek meghatározása.

A sztereometria során előkelő helyet foglalnak el a poliéderekben történő metszetalkotás problémái. Szerepüket az adja, hogy az ilyen típusú problémák megoldása hozzájárul a sztereometria axiómáinak, azok következményeinek asszimilációjához, a térfogalmak és a konstruktív készségek fejlesztéséhez. A szakaszok felépítésével járó problémák megoldásának képessége az alapja a sztereometria kurzus szinte minden témájának tanulmányozásának. Számos sztereometrikus probléma megoldása során a poliéderek síkmetszeteit használjuk.

Tovább korábbi leckéket Megismerkedtünk a sztereometria axiómáival, az axiómák következményeivel és az egyenesek és síkok térbeli párhuzamosságára vonatkozó tételekkel. Megvizsgáltunk egy kocka, tetraéder és paralelepipedon egyszerű metszeteinek felépítésére szolgáló algoritmusokat. Ezeket a szakaszokat általában a poliéder szélein vagy lapjain elhelyezkedő pontok határozták meg. Ma a leckében megismételjük azokat a geometriai állításokat, amelyek lehetővé teszik a szakaszok felépítésének szabályainak megfogalmazását. Megtanuljuk ezt az ismeretet alkalmazni egy tetraéder és egy paralelepipedon olyan metszetének megoldása során is, amelynek síkja három adott ponton megy át úgy, hogy ezek közül három pont ne legyen ugyanazon az oldalon.

3) A tanult anyag ismétlése prezentáció segítségével.

Tekintsünk át néhány elméleti kérdést.

(1. prezentáció, 1-10. dia)

4) Alapvető ismeretek frissítése.

Diákelőadás „Paralelepipedon metszeteinek építése”.

Most pedig idézzük fel a tetraéder szakasz felépítésének algoritmusát két feladat példáján (1. prezentáció, 11-12. dia).(a konstrukciót lépésről lépésre kommentálja a tanár).

Alekszej Pascsenko előadása segítségével a paralelepipedon szakaszok felépítésének algoritmusaira emlékeztet (2. prezentáció, 1-5. dia) (a tanuló diákat mutat be, kommentálva az építési sorrendet)

https://pandia.ru/text/78/168/images/image002_167.gif" width="327" height="244">