Példa egyenletek megoldására Gauss-módszerrel. Megoldás konkrét példákkal

A rendszer megoldásának egyik legegyszerűbb módja lineáris egyenletek determinánsok számításán alapuló technika ( Cramer szabálya). Előnye, hogy lehetővé teszi a megoldás azonnali rögzítését, különösen olyan esetekben kényelmes, amikor a rendszer együtthatói nem számok, hanem néhány paraméter. Hátránya a számítások nehézkessége nagyszámú egyenletek ráadásul a Cramer-szabály közvetlenül nem alkalmazható olyan rendszerekre, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlenek számával. Ilyen esetekben általában azt használják Gauss módszer.

Azonos megoldásokkal rendelkező lineáris egyenletrendszereket nevezzük egyenértékű. Nyilvánvaló, hogy egy lineáris rendszer megoldásainak halmaza nem változik, ha bármelyik egyenletet felcseréljük, vagy valamelyik egyenletet megszorozzuk bármely nem nulla szám, vagy ha az egyik egyenletet hozzáadjuk a másikhoz.

Gauss módszer (módszer szekvenciális elimináció ismeretlen) az, hogy elemi transzformációk segítségével a rendszert egy lépés típusú ekvivalens rendszerré redukáljuk. Először az 1. egyenlet segítségével kiküszöböljük x a rendszer összes következő egyenlete közül 1. Ezután a 2. egyenlet segítségével kiküszöböljük x 2 a 3. és az összes azt követő egyenletből. Ezt a folyamatot, az ún közvetlen Gauss-módszer, addig folytatódik, amíg csak egy ismeretlen marad az utolsó egyenlet bal oldalán x n. Ez után elkészül a Gauss-módszer inverze– az utolsó egyenletet megoldva azt találjuk x n; ezt követően ezt az értéket felhasználva az utolsó előtti egyenletből számolunk x n-1 stb. Megtaláljuk az utolsót x 1 az első egyenletből.

Kényelmes Gauss-transzformációkat végrehajtani úgy, hogy a transzformációkat nem magukkal az egyenletekkel, hanem azok együtthatóinak mátrixaival hajtjuk végre. Tekintsük a mátrixot:

hívott kiterjesztett a rendszer mátrixa, mert a rendszer főmátrixán kívül egy szabad kifejezések oszlopát is tartalmazza. A Gauss-módszer azon alapul, hogy a rendszer fő mátrixát háromszög alakúra redukáljuk (vagy trapéz alakú nézet nem négyzetes rendszerek esetén) a rendszer kiterjesztett mátrixának elemi sortranszformációival (!).

5.1. példa. Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel:

Megoldás. Írjuk ki a rendszer kibővített mátrixát, majd az első sor segítségével visszaállítjuk a fennmaradó elemeket:

az első oszlop 2., 3. és 4. sorában nullákat kapunk:

Most a 2. sor alatti második oszlopban lévő összes elemnek nullával kell egyenlőnek lennie. Ehhez megszorozhatja a második sort –4/7-tel, és hozzáadhatja a 3. sorhoz. Azonban, hogy ne foglalkozzunk törtekkel, hozzunk létre egy egységet a második oszlop 2. sorában, és csak

Most kapni háromszög mátrix, ehhez vissza kell állítania a 3. oszlop negyedik sorának elemét, a harmadik sort megszorozhatja 8/54-gyel, és hozzáadhatja a negyedikhez. Azonban, hogy ne foglalkozzunk a törtekkel, felcseréljük a 3. és 4. sort, valamint a 3. és 4. oszlopot, és csak ezután állítjuk vissza nullára. meghatározott elem. Vegye figyelembe, hogy az oszlopok átrendezésekor a megfelelő változók helyet cserélnek, és ezt emlékezni kell; Egyéb elemi átalakulások Oszlopokkal (összeadás és szorzás egy számmal) nem lehetséges!

Az utolsó egyszerűsített mátrix az eredetivel egyenértékű egyenletrendszernek felel meg:

Innen a Gauss-módszer inverzét használva a negyedik egyenletből azt találjuk x 3 = –1; a harmadiktól x 4 = –2, a másodiktól x 2 = 2 és az első egyenletből x 1 = 1. Mátrix formában a választ a következőképpen írjuk fel

Azt az esetet vettük figyelembe, amikor a rendszer határozott, azaz. amikor csak egy megoldás létezik. Nézzük meg, mi történik, ha a rendszer inkonzisztens vagy bizonytalan.

5.2. példa. Fedezze fel a rendszert a Gauss-módszerrel:

Megoldás. Kiírjuk és átalakítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát

Egy egyszerűsített egyenletrendszert írunk fel:

Itt az utolsó egyenletből kiderül, hogy 0=4, azaz. ellentmondás. Ebből következően a rendszernek nincs megoldása, i.e. ő összeegyeztethetetlen. à

5.3. példa. Fedezze fel és oldja meg a rendszert a Gauss-módszerrel:

Megoldás. Kiírjuk és átalakítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát:

Az átalakítások eredményeként az utolsó sor csak nullákat tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy az egyenletek száma eggyel csökkent:

Így az egyszerűsítések után két egyenlet maradt, és négy ismeretlen, i.e. két ismeretlen "extra". Legyenek „feleslegesek”, vagy ahogy mondják, szabad változók, lesz x 3 és x 4. Akkor

hinni x 3 = 2aÉs x 4 = b, kapunk x 2 = 1–aÉs x 1 = 2b–a; vagy mátrix formában

Rögzítve Hasonló módon a megoldást úgy hívják Tábornok, mert, paraméterek megadása aÉs b különböző jelentések, mindent le lehet írni lehetséges megoldások rendszerek. a

Oktatási intézmény "Belarusz állam

Mezőgazdasági Akadémia"

Osztály felsőbb matematika

Irányelvek

hogy tanulmányozza a téma „Gauss-módszer megoldási rendszerek lineáris

egyenletek" a számviteli kar hallgatóitól levelezési űrlap oktatás (NISPO)

Gorki, 2013

Gauss-módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására

Egyenértékű egyenletrendszerek

Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha az egyik megoldása a másik megoldása. A lineáris egyenletrendszer megoldásának folyamata abból áll, hogy szekvenciálisan átalakítjuk a következőre egyenértékű rendszer segítségével ún elemi átalakulások , amelyek:

1) a rendszer bármely két egyenletének átrendezése;

2) a rendszer bármely egyenletének mindkét oldalát megszorozzuk egy nem nulla számmal;

3) bármely egyenlethez hozzáadunk egy másik egyenletet tetszőleges számmal megszorozva;

4) nullákból álló egyenlet áthúzása, azaz. formaegyenletek

Gauss elimináció

Fontolja meg a rendszert m lineáris egyenletek -val n ismeretlen:

A Gauss-módszer vagy az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere lényege a következő.

Először is, elemi transzformációk segítségével az ismeretlent az első kivételével a rendszer összes egyenletéből kiküszöböljük. Az ilyen rendszertranszformációkat ún Gauss eliminációs lépés . Az ismeretlent hívják engedélyező változó az átalakulás első lépésében. Az együtthatót ún felbontási tényező , az első egyenletet nevezzük egyenlet feloldása , és az együtthatók oszlopa at engedély oszlop .

A Gauss-elimináció egy lépésének végrehajtásakor használnia kell a következő szabályokat:

1) a feloldó egyenlet együtthatói és szabad tagja változatlanok maradnak;

2) a felbontási együttható alatti felbontási oszlop együtthatói nullává válnak;

3) az első lépés végrehajtásakor az összes többi együtthatót és szabad tagot a téglalapszabály szerint számítják ki:

, Ahol én=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Hasonló transzformációkat hajtunk végre a rendszer második egyenletén. Ez egy olyan rendszerhez vezet, amelyben az ismeretlent az első kettő kivételével minden egyenletből kiküszöböljük. A rendszer egyes egyenletein végzett ilyen átalakítások eredményeként (a Gauss-módszer közvetlen előrehaladása) az eredeti rendszer a következő típusú egyenértékű lépésrendszerré redukálódik.

Fordított Gauss-módszer

Lépésrendszer

háromszög alakú, és ennyi (én=1,2,…,n). Van egy ilyen rendszer egyetlen döntés. Az ismeretlenek meghatározása az utolsó egyenletből indul ki (a Gauss-módszer fordítottja).

A lépésrendszernek megvan a formája

hol, azaz a rendszer egyenleteinek száma kisebb vagy egyenlő, mint az ismeretlenek száma. Ennek a rendszernek nincs megoldása, mivel az utolsó egyenlet a változó egyetlen értékére sem teljesül.

Lépés típusú rendszer

számtalan megoldása van. Az utolsó egyenletből az ismeretlen az ismeretleneken keresztül fejeződik ki . Ekkor az utolsó előtti egyenletben az ismeretlen helyett a kifejezését az ismeretlenekkel helyettesítjük . Folytatva a Gauss-módszer fordítottját, az ismeretleneket ismeretlenekkel fejezhető ki . Ebben az esetben az ismeretlenek hívják ingyenes és bármilyen értéket vehet fel, és ismeretlen alapvető.

Nál nél praktikus megoldás rendszerek esetén kényelmes az összes transzformációt nem egyenletrendszerrel, hanem a rendszer kiterjesztett mátrixával végrehajtani, amely ismeretlenek együtthatóiból és szabad kifejezések oszlopából áll.

1. példa. Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Hozzuk létre a rendszer kiterjesztett mátrixát, és hajtsunk végre elemi transzformációkat:

A rendszer kiterjesztett mátrixában a 3-as szám (ki van emelve) a felbontási együttható, az első sor a felbontási sor, az első oszlop pedig a felbontás oszlopa. A következő mátrixra való átlépéskor a felbontási sor nem változik a felbontási elem alatti oszlop összes eleme nullákkal helyettesítve. És a mátrix összes többi eleme újraszámításra kerül a négyszög szabály szerint. A második sorban a 4. elem helyett írunk , a második sorban a -3 elem helyett ez lesz kiírva stb. Így a második mátrixot kapjuk. Ennek a mátrixnak a felbontási eleme a 18-as szám lesz a második sorban. A következő (harmadik mátrix) kialakításához a második sort változatlanul hagyjuk, a feloldó elem alatti oszlopba nullát írunk, és a maradék két elemet újraszámoljuk: az 1-es szám helyett írjuk. , és a 16-os szám helyett azt írjuk, hogy .

Ennek eredményeként az eredeti rendszert egyenértékű rendszerré redukálták

A harmadik egyenletből azt találjuk . Helyettesítsük be ezt az értéket a második egyenletbe: y=3. Helyettesítsük be a talált értékeket az első egyenletbe yÉs z: , x=2.

Így ennek az egyenletrendszernek a megoldása az x=2, y=3, .

2. példa. Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Végezzünk elemi transzformációkat a rendszer kiterjesztett mátrixán:

A második mátrixban a harmadik sor minden eleme el van osztva 2-vel.

A negyedik mátrixban a harmadik és negyedik sor minden elemét elosztottuk 11-gyel.

. A kapott mátrix megfelel az egyenletrendszernek

Döntés ezt a rendszert, keressük meg , , .

3. példa. Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát és hajtsunk végre elemi transzformációkat:

A második mátrixban a második, harmadik és negyedik sor minden elemét elosztottuk 7-tel.

Ennek eredményeként egy egyenletrendszert kaptunk

egyenértékű az eredetivel.

Mivel kettővel kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen, így a második egyenletből . Helyettesítsük be a kifejezést az első egyenletbe: , .

Így a képletek adni közös döntés ennek az egyenletrendszernek. Az ismeretlenek ingyenesek, és bármilyen értéket felvehetnek.

Legyen pl. Akkor És . Megoldás a rendszer egyik sajátos megoldása, amelyből számtalan létezik.

A tudás önkontrollának kérdései

1) Milyen átalakítások lineáris rendszerek eleminek nevezik?

2) A rendszer mely transzformációit nevezzük Gauss eliminációs lépésnek?

3) Mi az a feloldó változó, feloldási együttható, feloldó oszlop?

4) Milyen szabályokat kell alkalmazni a Gauss-elimináció egy lépésének végrehajtásakor?

Gauss módszer tökéletes lineáris rendszerek megoldására algebrai egyenletek(SLAU). Számos előnnyel rendelkezik a többi módszerhez képest:

először is, nem szükséges először megvizsgálni az egyenletrendszert a konzisztencia érdekében;
másodszor, a Gauss-módszer nem csak olyan SLAE-ket képes megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlen változók számával és a rendszer fő mátrixa nem szinguláris, hanem olyan egyenletrendszereket is, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók száma vagy a főmátrix determinánsa egyenlő nullával;
harmadszor, a Gauss-módszer viszonylagos eredményre vezet kis mennyiségben számítási műveletek.

A cikk rövid áttekintése.

Először megadjuk a szükséges definíciókat és bevezetjük a jelöléseket.

Ezt követően leírjuk a Gauss-módszer algoritmusát a legegyszerűbb esetre, azaz lineáris algebrai egyenletrendszerek esetén azoknak az egyenleteknek a száma, amelyekben egybeesik az ismeretlen változók számával és a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával. Az ilyen egyenletrendszerek megoldása során leginkább a Gauss-módszer lényege látszik meg, ami az ismeretlen változók szekvenciális kiiktatása. Ezért a Gauss-módszert az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszerének is nevezik. Megmutatjuk részletes megoldásokat több példa.

Végezetül megvizsgáljuk a Gauss-módszerrel a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldását, amelyek fő mátrixa négyszögletes vagy szinguláris. Az ilyen rendszerek megoldásának van néhány jellemzője, amelyeket példákon keresztül részletesen megvizsgálunk.

Oldalnavigáció.

Alapvető definíciók és jelölések.

Tekintsünk egy p lineáris egyenletrendszert n ismeretlennel (p egyenlő lehet n-nel):

Hol vannak ismeretlen változók, számok (valós vagy összetett), és szabad kifejezések.

Ha , akkor a lineáris algebrai egyenletrendszert ún homogén, V másképp – heterogén.

Az ismeretlen változók azon értékkészletét, amelyre a rendszer összes egyenlete azonossággá válik, az ún. a SLAU határozata.

Ha van legalább egy megoldása egy lineáris algebrai egyenletrendszernek, akkor azt ún közös, másképp - nem ízületi.

Ha egy SLAE-nek egyedi megoldása van, akkor azt hívják bizonyos. Ha egynél több megoldás létezik, akkor a rendszer meghívásra kerül bizonytalan.

Azt mondják, a rendszer be van írva koordináta forma, ha megvan a formája
.

Ebben a rendszerben mátrix forma A rekordok formátuma hol - az SLAE főmátrixa, - az ismeretlen változók oszlopának mátrixa, - a szabad tagok mátrixa.

Ha az A mátrixhoz (n+1)-edik oszlopként hozzáadunk egy szabad tagok mátrixoszlopát, akkor az ún. kiterjesztett mátrix lineáris egyenletrendszerek. A kiterjesztett mátrixot általában T betű jelöli, és a szabad kifejezések oszlopát függőleges vonal választja el a többi oszloptól, azaz

Az A négyzetmátrixot ún elfajzott, ha a determinánsa nulla. Ha , akkor az A mátrixot hívjuk nem degenerált.

A következő pontot kell megjegyezni.

Ha a következő műveleteket lineáris algebrai egyenletrendszerrel hajtja végre

felcserélni két egyenletet,
megszorozzuk bármely egyenlet mindkét oldalát egy tetszőleges és nem nulla valós (vagy komplex) k számmal,
bármely egyenlet mindkét oldalához add hozzá egy másik egyenlet megfelelő részeit, megszorozva ezzel tetszőleges szám k,

akkor kapunk egy ekvivalens rendszert, aminek ugyanazok a megoldásai (vagy az eredetihez hasonlóan nincs megoldása).

Lineáris algebrai egyenletrendszer kiterjesztett mátrixa esetén ezek a műveletek elemi transzformációk végrehajtását jelentik a sorokkal:

két sort felcserélve,
a T mátrix bármely sorának minden elemét megszorozzuk egy nullától eltérő k számmal,
a mátrix bármely sorának elemeihez hozzáadva egy másik sor megfelelő elemeit, megszorozva egy tetszőleges k számmal.

Most folytathatjuk a Gauss-módszer leírását.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával és a rendszer főmátrixa nem szinguláris, Gauss módszerrel.

Mit csinálnánk az iskolában, ha azt a feladatot kapnánk, hogy keressünk megoldást egy egyenletrendszerre? .

Néhányan ezt tennék.

Vegye figyelembe, hogy hozzáadva a második egyenlet bal oldalához bal oldal először, és a jobb oldalon - a jobb oldalon - megszabadulhat az ismeretlen x 2 és x 3 változóktól, és azonnal megtalálhatja az x 1-et:

A talált x 1 =1 értéket behelyettesítjük a rendszer első és harmadik egyenletébe:

Ha a rendszer harmadik egyenletének mindkét oldalát megszorozzuk -1-gyel, és hozzáadjuk az első egyenlet megfelelő részeihez, megszabadulunk az ismeretlen x 3 változótól, és megtaláljuk az x 2-t:

A kapott x 2 = 2 értéket behelyettesítjük a harmadik egyenletbe, és megkeressük a fennmaradó ismeretlen x 3 változót:

Mások másképp csinálták volna.

Oldjuk fel a rendszer első egyenletét az ismeretlen x 1 változóra vonatkozóan, és cseréljük be a kapott kifejezést a rendszer második és harmadik egyenletébe, hogy kizárjuk belőlük ezt a változót:

Most oldjuk meg a rendszer második egyenletét x 2-re, és a kapott eredményt cseréljük be a harmadik egyenletbe, hogy kiküszöböljük belőle az ismeretlen x 2 változót:

A rendszer harmadik egyenletéből kitűnik, hogy x 3 =3. A második egyenletből azt találjuk , és az első egyenletből azt kapjuk, hogy .

Ismerős megoldások, ugye?

A legérdekesebb itt az, hogy a második megoldási módszer lényegében az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere, vagyis a Gauss-módszer. Amikor kifejeztük az ismeretlen változókat (első x 1, tovább következő szint x 2 ), és behelyettesítette őket a rendszer többi egyenletébe, ezáltal kiküszöbölve őket. Az eliminálást addig végeztük, amíg az utolsó egyenletben már csak egy ismeretlen változó maradt. Az ismeretlenek szekvenciális megszüntetésének folyamatát ún közvetlen Gauss-módszer. Az előrelépés befejezése után lehetőségünk van az utolsó egyenletben található ismeretlen változó kiszámítására. Segítségével megtaláljuk az utolsó előtti egyenletből a következő ismeretlen változót stb. Az ismeretlen változók szekvenciális keresésének folyamatát, miközben az utolsó egyenletről az elsőre lépünk, hívjuk a Gauss-módszer inverze.

Meg kell jegyezni, hogy ha az első egyenletben x 1-et x 2-vel és x 3-mal fejezzük ki, majd a kapott kifejezést behelyettesítjük a második és harmadik egyenletbe, a következő műveletek ugyanarra az eredményre vezetnek:

Valójában egy ilyen eljárás lehetővé teszi az ismeretlen x 1 változó eltávolítását a rendszer második és harmadik egyenletéből:

Az ismeretlen változók Gauss-módszerrel történő kiküszöbölésével kapcsolatos árnyalatok akkor merülnek fel, ha a rendszer egyenletei nem tartalmaznak néhány változót.

Például a SLAU-ban az első egyenletben nincs ismeretlen x 1 változó (vagyis az előtte lévő együttható nulla). Ezért nem tudjuk megoldani a rendszer első egyenletét x 1-re, hogy kiküszöböljük ezt az ismeretlen változót a többi egyenletből. A kiút ebből a helyzetből a rendszer egyenleteinek felcserélése. Mivel olyan lineáris egyenletrendszereket vizsgálunk, amelyek fő mátrixainak determinánsai különböznek nullától, mindig van egy egyenlet, amelyben a szükséges változó jelen van, és ezt az egyenletet átrendezhetjük a szükséges pozícióba. Példánkban elég felcserélni a rendszer első és második egyenletét , akkor feloldhatja az első egyenletet x 1-re, és kizárhatja a rendszer többi egyenletéből (bár x 1 már nincs jelen a második egyenletben).

Reméljük, megérti a lényeget.

Leírjuk Gauss-módszer algoritmus.

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy n lineáris algebrai egyenletrendszert n ismeretlennel az űrlap változói , és legyen a főmátrixának determinánsa nullától eltérő.

Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Távolítsuk el az ismeretlen x 1 változót a rendszer összes egyenletéből, kezdve a másodikkal. Ehhez a rendszer második egyenletéhez hozzáadjuk az elsőt, szorozva -val, a harmadik egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, szorozva -val, és így tovább, az n-edik egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, megszorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol, és .

Ugyanerre az eredményre jutottunk volna, ha x 1-et a rendszer első egyenletében más ismeretlen változókkal fejeztünk volna ki, és a kapott kifejezést behelyettesítettük volna az összes többi egyenletbe. Így az x 1 változót a másodiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután hasonló módon járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk

Ehhez a rendszer harmadik egyenletéhez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -vel, a negyedik egyenlethez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -val, és így tovább, az n-edik egyenlethez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol, és . Így az x 2 változót a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután folytatjuk az ismeretlen x 3 kiküszöbölését, miközben hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel

Tehát folytatjuk a Gauss-módszer közvetlen haladását, amíg a rendszer fel nem veszi a formát

Ettől a pillanattól kezdve a Gauss-módszer fordítottját kezdjük: az utolsó egyenletből kiszámoljuk x n-t, így x n kapott értékét felhasználva az utolsó előtti egyenletből x n-1-et, és így tovább, az első egyenletből x 1-et. .

Nézzük meg az algoritmust egy példa segítségével.

Példa.

Gauss módszer.

Megoldás.

Az a 11 együttható nem nulla, ezért folytassuk a Gauss-módszer közvetlen progresszióját, vagyis az ismeretlen x 1 változó kizárásával a rendszer összes egyenletéből, kivéve az elsőt. Ehhez a második, harmadik és negyedik egyenlet bal és jobb oldalához adja hozzá az első egyenlet bal és jobb oldalát, szorozva -val. És:

Az ismeretlen x 1 változót megszüntettük, térjünk át az x 2 kiküszöbölésére. A rendszer harmadik és negyedik egyenletének bal és jobb oldalához hozzáadjuk a második egyenlet bal és jobb oldalát, megszorozva És :

A Gauss-módszer előrehaladásának befejezéséhez el kell távolítanunk az ismeretlen x 3 változót a rendszer utolsó egyenletéből. Adjuk hozzá a negyedik egyenlet bal és jobb oldalához a bal, ill jobb oldal harmadik egyenlet szorozva :

Elkezdheti a Gauss-módszer fordítottját.

Az utolsó egyenletünkből ,
a harmadik egyenletből azt kapjuk,
a másodiktól,
az elsőtől.

Az ellenőrzéshez az ismeretlen változók kapott értékeit behelyettesítheti az eredeti egyenletrendszerbe. Minden egyenlet azonossággá alakul, ami azt jelzi, hogy a Gauss-módszert használó megoldást helyesen találtuk meg.

Válasz:

Most ugyanennek a példának adjunk megoldást a Gauss-módszerrel mátrixjelölésben.

Példa.

Keresse meg az egyenletrendszer megoldását! Gauss módszer.

Megoldás.

A rendszer kiterjesztett mátrixának van formája . Minden oszlop tetején a mátrix elemeinek megfelelő ismeretlen változók találhatók.

A Gauss-módszer közvetlen megközelítése itt azt jelenti, hogy a rendszer kiterjesztett mátrixát elemi transzformációk segítségével trapéz alakúra redukáljuk. Ez a folyamat hasonló az ismeretlen változók eltávolításához, amit a rendszerrel koordináta formában végeztünk. Most ezt fogod látni.

Alakítsuk át a mátrixot úgy, hogy az első oszlopban a másodiktól kezdve minden elem nulla legyen. Ehhez a második, harmadik és negyedik sor elemeihez hozzáadjuk az első sor megfelelő elemeit, szorozva -val, és ennek megfelelően:

Ezután a kapott mátrixot úgy alakítjuk át, hogy a második oszlopban a harmadiktól kezdve minden elem nulla legyen. Ez megfelelne az ismeretlen x 2 változó kiküszöbölésének. Ehhez a harmadik és negyedik sor elemeihez hozzáadjuk a mátrix első sorának megfelelő elemeit, megszorozva És :

Marad az ismeretlen x 3 változó kizárása a rendszer utolsó egyenletéből. Ehhez a kapott mátrix utolsó sorának elemeihez hozzáadjuk az utolsó előtti sor megfelelő elemeit, megszorozva :

Meg kell jegyezni, hogy ez a mátrix egy lineáris egyenletrendszernek felel meg

amelyet korábban egy előrelépés után szereztek meg.

Ideje visszafordulni. Mátrixjelölésben a Gauss-módszer inverze az eredményül kapott mátrixot úgy transzformálja, hogy az ábrán jelölt mátrix

átlóssá vált, vagyis felvette a formát

hol van néhány szám.

Ezek a transzformációk hasonlóak a Gauss-módszer előremutató transzformációihoz, de nem az első sortól az utolsóig, hanem az utolsótól az elsőig hajtják végre.

Adja hozzá a harmadik, második és első sor elemeihez az utolsó sor megfelelő elemeit, szorozva ezzel , egyre tovább illetőleg:

Most adja hozzá a második és az első sor elemeihez a harmadik sor megfelelő elemeit, szorozva ezzel:

A fordított Gauss-módszer utolsó lépésében az első sor elemeihez hozzáadjuk a második sor megfelelő elemeit, megszorozva:

A kapott mátrix megfelel az egyenletrendszernek , ahonnan az ismeretlen változókat találjuk.

Válasz:

JEGYZET.

Ha a Gauss-módszert lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására alkalmazzuk, kerülni kell a közelítő számításokat, mert ez teljesen hibás eredményekhez vezethet. Javasoljuk, hogy ne kerekítse a tizedesjegyeket. Inkább attól tizedesjegyek menj közönséges törtek.

Példa.

Oldjon meg egy három egyenletrendszert Gauss módszerrel! .

Megoldás.

Vegyük észre, hogy ebben a példában az ismeretlen változóknak más a jelölése (nem x 1, x 2, x 3, hanem x, y, z). Térjünk át a közönséges törtekre:

Zárjuk ki az ismeretlen x-et a rendszer második és harmadik egyenletéből:

A kapott rendszerben az ismeretlen y változó a második egyenletben hiányzik, de y a harmadik egyenletben szerepel, ezért cseréljük fel a második és a harmadik egyenletet:

Ezzel befejeződik a Gauss-módszer közvetlen előrehaladása (nem kell kizárni y-t a harmadik egyenletből, mivel ez az ismeretlen változó már nem létezik).

Kezdjük a fordított lépéssel.

Az utolsó egyenletből azt találjuk ,
az utolsó előttiből

az első egyenletünkből

Válasz:

X = 10, y = 5, z = -20.

Olyan lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlenek számával, vagy a rendszer főmátrixa szinguláris, Gauss módszerrel.

Azok az egyenletrendszerek, amelyek fő mátrixa téglalap vagy négyzet szinguláris, nem tartalmazhatnak megoldást, lehet egyedi megoldásuk, vagy lehetnek végtelen halmaz döntéseket.

Most meg fogjuk érteni, hogy a Gauss-módszer hogyan teszi lehetővé egy lineáris egyenletrendszer kompatibilitásának vagy inkonzisztenciájának megállapítását, és kompatibilitása esetén az összes megoldás (vagy egyetlen megoldás) meghatározását.

Az ilyen SLAE-k esetében az ismeretlen változók kiküszöbölésének folyamata elvileg ugyanaz marad. Érdemes azonban részletezni néhány felmerülő helyzetet.

Térjünk át a legfontosabb szakaszra.

Tehát tegyük fel, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer a Gauss-módszer előrehaladásának befejezése után a következő alakot ölti: és egyetlen egyenletet sem redukáltunk (ebben az esetben azt a következtetést vonnánk le, hogy a rendszer nem kompatibilis). Felmerül logikus kérdés: "Mi legyen a következő"?

Írjuk fel azokat az ismeretlen változókat, amelyek a kapott rendszer összes egyenletében az első helyen állnak:

Példánkban ezek x 1, x 4 és x 5. A rendszer egyenleteinek bal oldalán csak azokat a tagokat hagyjuk meg, amelyek az x 1, x 4 és x 5 ismeretlen változókat tartalmazzák, a többi tagot az egyenletek jobb oldalára visszük át ellentétes előjellel:

Adjunk tetszőleges értékeket az egyenletek jobb oldalán lévő ismeretlen változóknak, ahol - tetszőleges számok:

Ezek után az SLAE összes egyenletének jobb oldala számokat tartalmaz, és továbbléphetünk a Gauss-módszer fordítottjára.

A rendszer utolsó egyenletéből, az utolsó előtti egyenletből, amit találunk, az első egyenletből kapjuk

Az egyenletrendszer megoldása ismeretlen változók értékeinek halmaza

Számokat adni különböző értékeket kapunk különféle megoldások egyenletrendszerek. Vagyis a mi egyenletrendszerünknek végtelen sok megoldása van.

Válasz:

Ahol - tetszőleges számok.

Az anyag megszilárdítása érdekében további számos példa megoldását elemezzük részletesen.

Példa.

Döntsd el homogén rendszer lineáris algebrai egyenletek Gauss módszer.

Megoldás.

Zárjuk ki az ismeretlen x változót a rendszer második és harmadik egyenletéből. Ehhez a második egyenlet bal és jobb oldalához összeadjuk az első egyenlet bal és jobb oldalát, megszorozva -val, a harmadik egyenlet bal és jobb oldalához pedig a bal, ill. az első egyenlet jobb oldala, megszorozva:

Most zárjuk ki y-t a kapott egyenletrendszer harmadik egyenletéből:

Az eredményül kapott SLAE egyenértékű a rendszerrel .

A rendszeregyenletek bal oldalán csak az ismeretlen x és y változókat tartalmazó tagokat hagyjuk, az ismeretlen z változót tartalmazó tagokat pedig jobbra mozgatjuk:

1. Lineáris algebrai egyenletrendszer

1.1 Lineáris algebrai egyenletrendszer fogalma

Az egyenletrendszer olyan feltétel, amelyből áll egyidejű végrehajtás több egyenlet több változóhoz. Az m egyenletet és n ismeretlent tartalmazó lineáris algebrai egyenletrendszert (a továbbiakban: SLAE) a következő formájú rendszernek nevezzük:

ahol az a ij számokat rendszeregyütthatónak nevezzük, a b i számokat azok ingyenes tagok, a ijÉs b i(i=1,…, m; b=1,…, n) néhányat jelentenek ismert számok, és x 1 ,…, x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij az első i index az egyenlet számát jelöli, a második j pedig annak az ismeretlennek a száma, amelynél ez az együttható áll. Meg kell találni az x n számokat. Kényelmes egy ilyen rendszert kompakt mátrix formában írni: AX=B. Itt A a rendszeregyütthatók mátrixa, amelyet főmátrixnak nevezünk;

– ismeretlenek oszlopvektora xj.
a bi szabad kifejezések oszlopvektora.

Az A*X mátrixok szorzata definiált, mivel az A mátrixban annyi oszlop van, ahány sor az X mátrixban (n darab).

Egy rendszer kiterjesztett mátrixa a rendszer A mátrixa, kiegészítve egy szabad tagok oszlopával

1.2 Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása

Az egyenletrendszer megoldása a számok (változók értéke) rendezett halmaza, amikor változók helyett helyettesítjük őket, a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé alakul.

Egy rendszer megoldása az x1=c1, x2=c2,…, xn=cn ismeretlenek n értéke, amelyek behelyettesítésével a rendszer összes egyenlete valódi egyenlőségeket. A rendszer bármely megoldása felírható oszlopmátrixként

Egy egyenletrendszert konzisztensnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása.

Egy konzisztens rendszert határozottnak nevezünk, ha egyetlen megoldása van, és határozatlannak, ha egynél több megoldása van. BAN BEN az utóbbi eset minden megoldását a rendszer adott megoldásának nevezzük. Az összes konkrét megoldás halmazát általános megoldásnak nevezzük.

Egy rendszer megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni, hogy kompatibilis-e vagy nem konzisztens. Ha a rendszer konzisztens, keresse meg az általános megoldást.

Két rendszert ekvivalensnek (ekvivalensnek) nevezünk, ha ugyanaz az általános megoldásuk. Más szóval, a rendszerek ekvivalensek, ha az egyik megoldása a másik megoldása, és fordítva.

Átalakítás, melynek alkalmazása a rendszert a új rendszer, az eredetivel egyenértékű, egyenértékű ill ekvivalens transzformáció. Példák ekvivalens transzformációk szolgálhat átalakulások nyomán: egy rendszer két egyenletének átrendezése, két ismeretlen átrendezése az összes egyenlet együtthatóival együtt, egy rendszer bármely egyenletének mindkét oldalát megszorozzuk egy nem nulla számmal.

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tag egyenlő nullával:

Egy homogén rendszer mindig konzisztens, mivel x1=x2=x3=…=xn=0 a rendszer megoldása. Ezt a megoldást nullának vagy triviálisnak nevezzük.

2. Gauss eliminációs módszer

2.1 A Gauss-eliminációs módszer lényege

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának klasszikus módszere az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere. Gauss módszer(Gauss eliminációs módszernek is nevezik). Ez egy módszer a változók szekvenciális eliminálására, amikor elemi transzformációk segítségével egy egyenletrendszert egy lépcsős (vagy háromszög alakú) ekvivalens rendszerré redukálunk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, az utolsótól kezdve. szám) változók.

A Gauss-módszert alkalmazó megoldási folyamat két szakaszból áll: előre és hátra mozgásból.

1. Közvetlen löket.

Az első szakaszban az úgynevezett direkt mozgatást hajtják végre, amikor a sorok feletti elemi átalakításokkal a rendszert lépcsőzetes vagy háromszög alakúra hozzuk, vagy megállapítják, hogy a rendszer nem kompatibilis. Ugyanis a mátrix első oszlopának elemei közül kiválasztunk egy nem nulla egyet, a sorok átrendezésével a legfelső pozícióba kerül, és az átrendezés után kapott első sort kivonjuk a fennmaradó sorokból, megszorozva. érték szerint egyenlő az aránnyal ezeknek a soroknak az első elemét az első sor első eleméhez, ezzel nullázva az alatta lévő oszlopot.

Miután ezek az átalakítások befejeződtek, az első sort és az első oszlopot gondolatban áthúzzuk, és addig folytatjuk, amíg egy nulla méretű mátrix nem marad. Ha bármelyik iterációnál nincs nullától eltérő elem az első oszlop elemei között, akkor lépjen a következő oszlopra, és hajtson végre hasonló műveletet.

Az első szakaszban (közvetlen löket) a rendszer lépcsőzetes (különösen háromszög alakú) formára redukálódik.

Az alábbi rendszer lépcsőzetes formája van:

Az aii együtthatókat a rendszer fő (vezető) elemeinek nevezzük.

(ha a11=0, rendezze át a mátrix sorait úgy, hogy a 11 nem egyenlő 0-val. Ez mindig lehetséges, mert különben a mátrix nulla oszlopot tartalmaz, determinánsa nulla, és a rendszer inkonzisztens).

Alakítsuk át a rendszert úgy, hogy az első kivételével minden egyenletből kiküszöböljük az ismeretlen x1-et (a rendszer elemi transzformációit használva). Ehhez meg kell szorozni az első egyenlet mindkét oldalát

és adjuk hozzá tagonként a rendszer második egyenletét (vagy a második egyenletből vonjuk ki tagonként az elsőt, szorozzuk meg -val). Ezután az első egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk és hozzáadjuk a rendszer harmadik egyenletéhez (vagy a harmadikból kivonjuk az első egyenletet szorozva). Így az első sort sorban megszorozzuk egy számmal, és hozzáadjuk én sor, for i= 2, 3, …,n.

Ezt a folyamatot folytatva egy egyenértékű rendszert kapunk:

– az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatóinak új értékei a rendszer utolsó m-1 egyenleteiben, amelyeket a képletek határoznak meg:

Így az első lépésben minden, az a 11 első vezető elem alatti együttható megsemmisül

0, a második lépésben megsemmisülnek a második vezetőelem alatt fekvő elemek a 22 (1) (ha a 22 (1) 0) stb. Ezt a folyamatot tovább folytatva végül az (m-1) lépésnél az eredeti rendszert háromszögrendszerré redukáljuk.

Ha folyamatban van, hogy a rendszer lépcsős nézet nulla egyenletek jelennek meg, azaz. a 0=0 alakú egyenlőségeket el kell vetni. Ha megjelenik a forma egyenlete

akkor ez a rendszer inkompatibilitását jelzi.

Itt ér véget a Gauss-módszer közvetlen fejlődése.

2. Fordított löket.

A második szakaszban az úgynevezett fordított mozgást hajtják végre, amelynek lényege, hogy az összes eredő alapváltozót nem alapváltozókkal fejezzük ki és konstruáljuk alapvető rendszer megoldásokat, vagy ha minden változó bázisos, akkor numerikusan fejezze ki a lineáris egyenletrendszer egyedi megoldását.

Ez az eljárás az utolsó egyenlettel kezdődik, amelyből a megfelelő alapváltozót kifejezzük (csak egy van benne), és behelyettesítjük az előző egyenletekbe, és így tovább, felfelé haladva a „lépéseket”.

Minden sor pontosan egy bázisváltozónak felel meg, így az utolsó (legfelső) kivételével minden lépésben a helyzet pontosan megismétli az utolsó sor esetét.

Megjegyzés: a gyakorlatban kényelmesebb nem a rendszerrel dolgozni, hanem annak kiterjesztett mátrixával, az összes elemi transzformációt a sorain végrehajtva. Célszerű, ha az a11 együttható 1-gyel egyenlő (rendezzük át az egyenleteket, vagy osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a11-gyel).

2.2 Példák SLAE-k megoldására Gauss-módszerrel

Ebben a részben három különféle példák Mutassuk meg, hogyan oldja meg a Gauss-módszer az SLAE-t.

Példa 1. Oldjon meg egy 3. rendű SLAE-t.

Állítsuk vissza az együtthatókat a

a második és a harmadik sorban. Ehhez szorozza meg őket 2/3-mal és 1-gyel, és adja hozzá az első sorhoz:

A 16-18. század eleje óta a matematikusok intenzíven elkezdték tanulmányozni a függvényeket, aminek köszönhetően életünkben annyi minden megváltozott. A számítástechnika egyszerűen nem létezne e tudás nélkül. Megoldásokért összetett feladatok, lineáris egyenleteket és függvényeket hoztak létre különféle fogalmak, tételek és megoldási technikák. Az egyik ilyen univerzális és racionális módokon a lineáris egyenletek és rendszereik megoldási módszerei pedig Gauss-módszerré váltak. Mátrixok, rangjuk, determináns - mindent ki lehet számítani bonyolult műveletek használata nélkül.

Mi az a SLAU

A matematikában létezik az SLAE fogalma - lineáris algebrai egyenletrendszer. Írd őt körül? Ez egy m egyenlet halmaza a kívánt n ismeretlen mennyiséggel, amelyeket általában x, y, z vagy x 1, x 2 ... x n vagy más szimbólumokként jelölnek. Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldása az összes ismeretlen ismeretlen megtalálását jelenti. Ha a rendszer rendelkezik ugyanaz a szám ismeretlenek és egyenletek, akkor n-edrendű rendszernek nevezzük.

A legnépszerűbb módszerek az SLAE megoldására

BAN BEN oktatási intézmények A középiskolai hallgatók különféle módszereket tanulnak az ilyen rendszerek megoldására. Leggyakrabban ezt egyszerű egyenletek, amely két ismeretlenből áll, tehát bármilyen létező módszer Nem sok időbe telik, hogy megtaláljuk a választ. Ez olyan lehet, mint egy helyettesítési módszer, amikor az egyik egyenletből egy másikat származtatunk, és behelyettesítünk az eredetibe. Vagy a tagonkénti kivonás és összeadás módszere. De a Gauss-módszert a legegyszerűbbnek és leguniverzálisabbnak tekintik. Lehetővé teszi tetszőleges számú ismeretlennel rendelkező egyenletek megoldását. Miért tekinthető racionálisnak ez a konkrét technika? Ez egyszerű. Mátrix módszer A jó dolog az, hogy nincs szükség a felesleges szimbólumok többszöri átírására ismeretlenek formájában, elég számtani műveleteket végrehajtani az együtthatókon - és megbízható eredményt kap.

Hol használják a SLAE-ket a gyakorlatban?

Az SLAE megoldása a függvények grafikonjain lévő egyenesek metszéspontjai. Csúcstechnológiás számítógépes korunkban azoknak az embereknek, akik szorosan kötődnek a játékok és egyéb programok fejlesztéséhez, tudniuk kell, hogyan oldják meg az ilyen rendszereket, mit képviselnek, és hogyan ellenőrizzék a kapott eredmény helyességét. Leggyakrabban a programozók speciális számítógépes programokat fejlesztenek ki lineáris algebra, ez magában foglal egy lineáris egyenletrendszert. A Gauss-módszer lehetővé teszi az összes létező megoldás kiszámítását. Más egyszerűsített képleteket és technikákat is alkalmaznak.

SLAU kompatibilitási kritérium

Egy ilyen rendszer csak akkor oldható meg, ha kompatibilis. Az érthetőség kedvéért ábrázoljuk az SLAE-t Ax=b formában. Van megoldása, ha rang(A) egyenlő rang(A,b). Ebben az esetben (A,b) egy kiterjesztett alakmátrix, amelyet az A mátrixból szabad tagokkal átírva kaphatunk. Kiderült, hogy a lineáris egyenletek megoldása a Gauss-módszerrel meglehetősen egyszerű.

Talán néhány jelölés nem teljesen világos, ezért mindent egy példával kell megvizsgálni. Tegyük fel, hogy van egy rendszer: x+y=1; 2x-3y=6. Csak két egyenletből áll, amelyekben 2 ismeretlen van. A rendszernek csak akkor lesz megoldása, ha mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Mi az a rang? Ez a rendszer független vonalainak száma. Esetünkben a mátrix rangja 2. Az A mátrix az ismeretlenek közelében elhelyezkedő együtthatókból áll, és a „=” jel mögött elhelyezkedő együtthatók is beleférnek a kiterjesztett mátrixba.

Miért ábrázolhatók az SLAE-k mátrix formában?

A bizonyított Kronecker-Capelli-tétel szerinti kompatibilitási kritérium alapján egy lineáris algebrai egyenletrendszer mátrix alakban ábrázolható. A Gauss-kaszkád módszerrel megoldhatja a mátrixot, és egyetlen megbízható választ kaphat az egész rendszerre. Ha egy reguláris mátrix rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, de ugyanakkor kisebb mennyiségben ismeretlenek, akkor a rendszer rendelkezik végtelen szám válaszol.

Mátrix transzformációk

Mielőtt rátérne a mátrixok megoldására, tudnia kell, milyen műveleteket lehet végrehajtani az elemeiken. Számos elemi átalakítás létezik:

A rendszer mátrix formájú átírásával és megoldásával a sorozat összes elemét meg lehet szorozni ugyanazzal az együtthatóval.
A mátrix kanonikus formájúvá alakításához két párhuzamos sort felcserélhet. A kanonikus forma azt jelenti, hogy minden mátrixelem, amely a főátló mentén helyezkedik el, egyes lesz, a fennmaradó elemek pedig nullák.
A mátrix párhuzamos sorainak megfelelő elemei egymáshoz adhatók.

Jordan-Gauss módszer

A megoldási rendszerek lényege a lineáris homogén és inhomogén egyenletek A Gauss-módszer az ismeretlenek fokozatos megszüntetése. Tegyük fel, hogy van egy két egyenletrendszerünk, amelyben két ismeretlen van. Ezek megtalálásához ellenőriznie kell a rendszer kompatibilitását. Az egyenletet a Gauss-módszer nagyon egyszerűen megoldja. Fel kell írni az egyes ismeretlenek közelében elhelyezkedő együtthatókat mátrix formában. A rendszer megoldásához ki kell írni a kiterjesztett mátrixot. Ha valamelyik egyenlet kevesebb ismeretlent tartalmaz, akkor a hiányzó elem helyére „0”-t kell tenni. Mindegyik vonatkozik a mátrixra ismert módszerek transzformációk: szorzás, osztás egy számmal, sorozat megfelelő elemeinek összeadása egymáshoz és másokhoz. Kiderül, hogy minden sorban meg kell hagyni egy „1” értékű változót, a többit csökkenteni kell nulla típus. A pontosabb megértés érdekében érdemes a Gauss-módszert példákkal átgondolni.

Egy egyszerű példa a 2x2 rendszer megoldására

Kezdésként vegyünk egy egyszerű algebrai egyenletrendszert, amelyben 2 ismeretlen lesz.

Írjuk át egy kiterjesztett mátrixba.

Ennek a lineáris egyenletrendszernek a megoldásához mindössze két műveletre van szükség. Le kell redukálnunk a mátrixot kanonikus forma, hogy a főátló mentén egységek legyenek. Így a mátrixformából visszalépve a rendszerbe a következő egyenleteket kapjuk: 1x+0y=b1 és 0x+1y=b2, ahol b1 és b2 a kapott válasz a megoldási folyamatban.

A kiterjesztett mátrix megoldásának első lépése a következő lesz: az első sort meg kell szorozni -7-tel, és hozzá kell adni a megfelelő elemeket a második sorhoz, hogy megszabaduljunk egy ismeretlentől a második egyenletben.
Mivel az egyenletek Gauss-módszerrel történő megoldása magában foglalja a mátrix kanonikus formára való redukálását, ezért ugyanazokat a műveleteket kell végrehajtani az első egyenlettel, és el kell távolítani a második változót. Ehhez kivonjuk a második sort az elsőből, és megkapjuk a szükséges választ - az SLAE megoldását. Vagy az ábrán látható módon a második sort megszorozzuk -1-gyel, és a második sor elemeit hozzáadjuk az első sorhoz. Ez ugyanaz.

Mint látjuk, rendszerünket a Jordan-Gauss módszerrel oldottuk meg. Átírjuk a kívánt formában: x=-5, y=7.

Példa egy 3x3-as SLAE megoldásra

Tegyük fel, hogy van egy bonyolultabb lineáris egyenletrendszerünk. A Gauss-módszer lehetővé teszi a válasz kiszámítását még a legzavarosabbnak tűnő rendszerre is. Ezért annak érdekében, hogy mélyebben elmélyüljön a számítási módszertanban, továbbléphet többre összetett példa három ismeretlennel.

Az előző példához hasonlóan átírjuk a rendszert egy kiterjesztett mátrix formájában, és elkezdjük a kanonikus formába hozni.

A rendszer megoldásához sokkal több műveletet kell végrehajtania, mint az előző példában.

Először az első oszlopot egy egységeleművé kell tenni, a többit pedig nullák. Ehhez szorozza meg az első egyenletet -1-gyel, és adja hozzá a második egyenletet. Fontos megjegyezni, hogy az első sort az eredeti, a második sort pedig módosított formában írjuk át.
Ezután eltávolítjuk ugyanazt az első ismeretlent a harmadik egyenletből. Ehhez szorozza meg az első sor elemeit -2-vel, és adja hozzá a harmadik sorhoz. Most az első és a második sor át van írva eredeti formájában, a harmadik pedig - változtatásokkal. Amint az eredményből látható, a mátrix főátlójának elején kaptuk az elsőt és a maradék nullákat. Még néhány lépés, és a Gauss-módszerrel készült egyenletrendszer megbízhatóan megoldódik.
Most műveleteket kell végrehajtania a sorok többi elemén. A harmadik és a negyedik művelet egybe kombinálható. A második és harmadik sort el kell osztanunk -1-gyel, hogy megszabaduljunk az átlón lévő mínuszoktól. A harmadik sort már a szükséges formára hoztuk.
Ezután a második sort kanonikus formára hozzuk. Ehhez a harmadik sor elemeit megszorozzuk -3-mal, és hozzáadjuk a mátrix második sorához. Az eredményből jól látható, hogy a második sor is a szükséges formára redukálódik. Még néhány műveletet kell végrehajtani, és eltávolítani az ismeretlenek együtthatóit az első sorból.
Ahhoz, hogy egy sor második eleméből 0 legyen, meg kell szorozni a harmadik sort -3-mal, és hozzá kell adni az első sorhoz.
Következő döntő szakasz lesz egy kiegészítés az első sorhoz szükséges elemeket második sor. Így megkapjuk a mátrix kanonikus formáját, és ennek megfelelően a választ.

Mint látható, az egyenletek Gauss-módszerrel történő megoldása meglehetősen egyszerű.

Példa egy 4x4-es egyenletrendszer megoldására

Néhány összetett rendszerek egyenletek a Gauss-módszerrel oldhatók meg a segítségével számítógépes programok. Az ismeretlenek együtthatóit be kell írni a meglévő üres cellákba, és maga a program lépésről lépésre kiszámítja a kívánt eredményt, részletesen leírva az egyes műveleteket.

Az alábbiakban leírt lépésről lépésre szóló utasítás megoldásokat erre a példára.

Első lépésben az üres cellákba beírjuk az ismeretlenekhez tartozó szabad együtthatókat és számokat. Így ugyanazt a kiterjesztett mátrixot kapjuk, amelyet kézzel írunk.

És minden szükséges aritmetikai művelet végrehajtásra kerül, hogy a kiterjesztett mátrixot a kanonikus formájába hozza. Meg kell értenünk, hogy az egyenletrendszerre adott válasz nem mindig egész szám. Néha a megoldás törtszámokból adódik.

A megoldás helyességének ellenőrzése

A Jordan-Gauss módszer biztosítja az eredmény helyességének ellenőrzését. Annak érdekében, hogy megtudja, az együtthatók helyesen vannak-e kiszámítva, csak be kell cserélnie az eredményt az eredeti egyenletrendszerbe. Bal oldal az egyenleteknek egyezniük kell jobb oldal, amely az egyenlőségjel mögött található. Ha a válaszok nem egyeznek, akkor újra kell számolnia a rendszert, vagy meg kell próbálnia egy másik, Ön által ismert SLAE-megoldási módszert alkalmazni, mint például a helyettesítés vagy a tagonkénti kivonás és összeadás. Végtére is, a matematika olyan tudomány, amely rendelkezik nagy mennyiség különféle technikák megoldásokat. De ne feledje: az eredménynek mindig ugyanannak kell lennie, függetlenül attól, hogy milyen megoldási módot használt.

Gauss módszer: a leggyakoribb hibák az SLAE megoldása során

Lineáris egyenletrendszerek megoldása során leggyakrabban olyan hibák fordulnak elő, mint például az együtthatók helytelen átvitele mátrix formába. Vannak olyan rendszerek, amelyekben néhány ismeretlen hiányzik az egyik egyenletből, majd egy kiterjesztett mátrixba történő adatátvitelkor elveszhetnek. Ennek eredményeként ennek a rendszernek a megoldása során előfordulhat, hogy az eredmény nem felel meg a ténylegesnek.

Egy másik nagy hiba lehet a végeredmény helytelen kiírása. Világosan meg kell érteni, hogy az első együttható megfelel az első ismeretlennek a rendszerből, a második - a másodiknak, és így tovább.

A Gauss-módszer részletesen leírja a lineáris egyenletek megoldását. Ennek köszönhetően könnyen előállítható szükséges műveleteketés megtalálja a helyes eredményt. Ezenkívül ez egy univerzális eszköz bármilyen bonyolultságú egyenletre megbízható válasz megtalálásához. Talán ezért használják olyan gyakran SLAE-k megoldása során.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Mekkora a fénysebesség