Programozás

• oktatóanyag

Bevezetés

Matematikus és programozó vagyok. Legtöbb nagy ugrás Pályám során elértem, amikor megtanultam mondani: – Nem értek semmit! Most nem szégyellem elmondani a tudomány fényesének, hogy előadást tart nekem, hogy nem értem, mit mond nekem ő, a világító. És nagyon nehéz. Igen, bevallani tudatlanságát nehéz és kínos. Ki szereti bevallani, hogy nem ismeri valaminek az alapjait? Szakmámból adódóan kötelező járnom nagy mennyiségben előadások és előadások, ahol bevallom, az esetek túlnyomó többségében aludni akarok, mert nem értek semmit. De nem értem, mert a tudomány jelenlegi helyzetének óriási problémája a matematikában rejlik. Feltételezi, hogy minden hallgató ismeri a matematika abszolút minden területét (ami abszurd). Szégyenletes dolog beismerni, hogy nem tudod, mi az a származék (kicsit később beszélünk róla, hogy mi az).

De megtanultam azt mondani, hogy nem tudom, mi az a szorzás. Igen, nem tudom, mi az algebra a Lie algebránál. Igen, nem tudom, miért van rájuk szükség az életben másodfokú egyenletek. Egyébként, ha biztos benne, hogy tudja, akkor van miről beszélnünk! A matematika trükkök sorozata. A matematikusok megpróbálják megzavarni és megfélemlíteni a közvéleményt; ahol nincs zűrzavar, nincs hírnév, nincs tekintély. Igen, presztízs a lehető legelvontabb nyelven beszélni, ami teljes nonszensz.

Tudod mi az a származék? Valószínűleg elmondja nekem a különbségi arány határát. A Szentpétervári Állami Egyetem matematika és mechanika első évében Viktor Petrovics Khavin elmondta nekem. eltökélt derivált, mint a függvény Taylor-sorozatának első tagjának együtthatója egy pontban (ez egy külön torna volt a Taylor-sor derivált nélküli meghatározására). Sokáig röhögtem ezen a meghatározáson, míg végül megértettem, miről van szó. A derivált nem más, mint annak egyszerű mértéke, hogy mennyire hasonlít az általunk megkülönböztetett függvény az y=x, y=x^2, y=x^3 függvényhez.

Most abban a megtiszteltetésben vagyok, hogy olyan hallgatóknak tarthatok előadást, akik fél matematika. Ha fél a matematikától, ugyanazon az úton járunk. Amint megpróbál elolvasni egy szöveget, és úgy tűnik, hogy túlságosan bonyolult, akkor tudja, hogy rosszul van megírva. Kijelentem, hogy a matematikának nincs egyetlen olyan területe, amelyet ne lehetne „ujjakon” megvitatni anélkül, hogy elveszítené a pontosságot.

Feladat a közeljövőre: Megbíztam tanítványaimat, hogy értsék meg, mi az a lineáris másodfokú szabályozó. Ne légy félénk, tölts el három percet az életedből, és kövesd a linket. Ha nem értesz semmit, akkor ugyanazon az úton járunk. Én (hivatásos matematikus-programozó) sem értettem semmit. És biztosíthatom önöket, hogy ezt „az ujjaikon” is kitalálhatja. On pillanatnyilag Nem tudom, mi az, de biztosíthatom, hogy ki tudjuk találni.

Szóval, az első előadás, amit a hallgatóimnak fogok tartani, miután rémülten odarohannak hozzám, és azt mondják, hogy a lineáris-kvadratikus szabályozó szörnyű dolog, amit soha életedben nem fogsz elsajátítani. mód legkisebb négyzetek . el tudod dönteni lineáris egyenletek? Ha olvassa ezt a szöveget, akkor valószínűleg nem.

Tehát adott két pont (x0, y0), (x1, y1), például (1,1) és (3,2), a feladat az, hogy megtaláljuk az ezen a két ponton átmenő egyenes egyenletét:

ábra

Ennek a sornak a következő egyenletnek kell lennie:

Itt az alfa és a béta ismeretlen számunkra, de ennek az egyenesnek két pontja ismert:

Ezt az egyenletet felírhatjuk mátrix alakban:

Mit kell itt csinálni kitérő: Mi az a mátrix? A mátrix nem más, mint egy kétdimenziós tömb. Ez az adatok tárolásának egyik módja. Rajtunk múlik, hogy egy bizonyos mátrixot pontosan hogyan értelmezünk. Időről időre úgy fogom értelmezni lineáris leképezés, időszakosan tetszik másodfokú forma, és néha csak vektorok halmazaként. Mindezt a kontextusban fogjuk tisztázni.

Cseréljük le a konkrét mátrixokat szimbolikus ábrázolásukkal:

Ezután (alfa, béta) könnyen megtalálható:

Pontosabban korábbi adatainkhoz:

Ami az (1,1) és (3,2) pontokon áthaladó egyenes alábbi egyenletéhez vezet:

Oké, itt minden világos. Keressük meg az átmenő egyenes egyenletét három pontok: (x0,y0), (x1,y1) és (x2,y2):

Ó-ó-ó, de van három egyenletünk két ismeretlenre! Egy átlagos matematikus azt mondja, hogy nincs megoldás. Mit fog mondani a programozó? És először átírja az előző egyenletrendszert a következő formában:

A mi esetünkben i,j,b vektorok háromdimenziós, ezért (in általános eset) erre a rendszerre nincs megoldás. Bármely vektor (alpha\*i + béta\*j) az (i, j) vektorok által átívelt síkban található. Ha b nem tartozik ehhez a síkhoz, akkor nincs megoldás (az egyenletben egyenlőség nem érhető el). Mit tegyek? Keressünk egy kompromisszumot. Jelöljük azzal e (alfa, béta) pontosan meddig nem értük el az egyenlőséget:

És megpróbáljuk minimalizálni ezt a hibát:

Miért négyzet?

Nem csak a norma minimumát keressük, hanem a norma négyzetének minimumát. Miért? Maga a minimum pont egybeesik, és a négyzet megadja sima funkció(az argumentumok másodfokú függvénye (alfa, béta)), míg egyszerűen a hossz egy kúp alakú függvényt ad, amely a minimum pontban nem differenciálható. Brr. A négyzet kényelmesebb.

Nyilvánvaló, hogy a hiba minimálisra csökken, ha a vektor e merőleges a vektorok által átívelt síkra énÉs j.

Ábra

Más szóval: olyan egyenest keresünk, amelynél az összes pont és az egyenes közötti távolság négyzetes hosszának összege minimális:

FRISSÍTÉS: Itt van egy problémám, az egyenes távolságát függőlegesen kell mérni, nem ortogonális vetület. A kommentátornak igaza van.

Ábra

Teljesen más szavakkal (gondosan, rosszul formalizált, de egyértelműnek kell lennie): minden lehetséges vonalat veszünk az összes pontpár között, és keressük az összes közötti átlagos vonalat:

Ábra

Egy másik magyarázat az ujjakra: rögzítünk egy rugót az összes adatpont (itt három van) és a keresett egyenes és az egyenes közé. egyensúlyi állapot pontosan ott van, amit keresünk.

Minimális négyzetes forma

Tehát, miután adott vektor bés a mátrix oszlopvektorai által átívelt sík A(V ebben az esetben(x0,x1,x2) és (1,1,1)), keressük a vektort e minimális hosszúságú négyzettel. Nyilvánvalóan a minimum csak a vektornál érhető el e, merőleges a mátrix oszlopvektorai által átívelt síkra A:

Más szóval, olyan x=(alfa, béta) vektort keresünk, amely:

Hadd emlékeztesselek arra, hogy ez az x=(alfa, béta) vektor a minimum másodfokú függvény||e(alfa, béta)||^2:

Itt érdemes megjegyezni, hogy a mátrix másodfokú alakként is értelmezhető, pl. identitásmátrix((1,0),(0,1)) az x^2 + y^2 függvényeként értelmezhető:

másodfokú forma

Mindez a torna lineáris regresszió néven ismert.

Laplace-egyenlet -val határfeltétel Dirichlet

Most a legegyszerűbb igazi kihívás: van egy bizonyos háromszögletű felület, azt simítani kell. Például töltsük be az arcom modelljét:

Az eredeti commit elérhető. Minimalizálásra külső függőségek Elvettem a szoftveres renderelőm kódját, már a Habrén. Megoldani lineáris rendszerÉn OpenNL-t használok, ez egy kiváló megoldó, amelyet azonban nagyon nehéz telepíteni: két fájlt (.h+.c) kell bemásolni a projekthez tartozó mappába. Minden simítás a következő kóddal történik:

For (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = arcok[i];<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

Az X, Y és Z koordináták szétválaszthatók, külön simítom. Azaz három lineáris egyenletrendszert oldok meg, mindegyikben a modellemben szereplő csúcsok számával megegyező számú változó van. Az A mátrix első n sorában csak egy 1 van soronként, a b vektor első n sorában pedig az eredeti modellkoordináták. Vagyis a csúcs új helyzete és a csúcs régi pozíciója közé rugót kötök - az újak ne kerüljenek túl messze a régiektől.

Az A mátrix minden következő sorában (faces.size()*3 = a háló összes háromszögének éleinek száma) egyszer előfordul 1 és egy előfordulása -1, a b vektornak pedig nulla komponense van ellentétes. Ez azt jelenti, hogy a háromszöghálónk minden élére rugót helyezek: minden él ugyanazt a csúcsot próbálja elérni, mint a kezdő- és végpontja.

Még egyszer: minden csúcs változó, és nem mozdulhatnak messze eredeti pozíciójuktól, ugyanakkor megpróbálnak hasonlóvá válni.

Íme az eredmény:

Minden rendben lenne, tényleg le van simítva a modell, de eltávolodott az eredeti élétől. Változtassunk egy kicsit a kódon:

For (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

Az A mátrixunkban az élen lévő csúcsokhoz nem egy sort adok hozzá a v_i = verts[i][d] kategóriából, hanem 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Miben különbözik ez? És ez megváltoztatja a hiba másodfokú formáját. Most egyetlen eltérés a csúcstól nem egy egységbe fog kerülni, mint korábban, hanem 1000*1000 egységbe. Vagyis a szélső csúcsokra erősebb rugót akasztottunk, a megoldás inkább a többit erősebben feszíti. Íme az eredmény:

Duplázzuk meg a csúcsok közötti rugóerőt:
nlKoficiens(arc[ j ], 2);

nlegyüttható(arc[(j+1)%3], -2);

Logikus, hogy a felület simább lett:

És most még százszor erősebben:

Mi ez? Képzelje el, hogy egy drótgyűrűt szappanos vízbe mártottunk. Ennek eredményeként a kapott szappanfólia megpróbálja a lehető legkisebb görbületet elérni, megérinti a szegélyt - a drótgyűrűnket. Pontosan ezt kaptuk a szegély rögzítésével, és sima felületet kértünk belülről. Gratulálunk, most megoldottuk a Laplace-egyenletet Dirichlet peremfeltételekkel. Jól hangzik? A valóságban azonban csak egy lineáris egyenletrendszert kell megoldania.

Poisson-egyenlet

Emlékezzünk még egy klassz névre.

Tegyük fel, hogy van egy ilyen képem:

Mindenkinek jól néz ki, de nekem nem tetszik a szék.

Félbevágom a képet:

Ezután a kép bal oldalára húzok mindent, ami a maszkban fehér, és egyúttal a képen végig azt mondom, hogy két szomszédos pixel különbsége egyenlő legyen a jobb oldali két szomszédos pixel különbségével. kép:

For (int i=0; i

Íme az eredmény:

Kód és képek elérhetőek

A kísérleti adatok közelítése egy olyan módszer, amely a kísérleti úton nyert adatok olyan analitikai függvényre való helyettesítésén alapul, amely a csomópontokban a legjobban átmegy vagy egybeesik az eredeti értékekkel (kísérlet vagy kísérlet során kapott adatok). Jelenleg kétféleképpen lehet meghatározni egy analitikai függvényt:

Egy n-fokú interpolációs polinom felépítésével, amely átmegy közvetlenül az összes ponton keresztül adott adattömb. Ebben az esetben a közelítő függvény a következő formában jelenik meg: interpolációs polinom Lagrange alakban vagy interpolációs polinom Newton alakban.

Egy n-fokú közelítő polinom megszerkesztésével, amely átmegy pontok közvetlen közelében adott adattömbből. Így a közelítő függvény kisimítja az összes véletlenszerű zajt (vagy hibát), amely a kísérlet során előfordulhat: a kísérlet során mért értékek véletlenszerű tényezőktől függenek, amelyek saját véletlenszerű törvényeik szerint ingadoznak (mérési vagy műszerhibák, pontatlanság vagy kísérleti hiba). hibák). Ebben az esetben a közelítő függvényt a legkisebb négyzetek módszerével határozzuk meg.

A legkisebb négyzetek módszere(az angol szakirodalomban Ordinary Least Squares, OLS) egy matematikai módszer, amely a közelítő függvény meghatározásán alapul, amelyet a kísérleti adatok adott tömbjének pontjainak legközelebbi közelében konstruálnak meg. Az F(x) eredeti és közelítő függvények közelségét egy numerikus mértékkel határozzuk meg, nevezetesen: a kísérleti adatok F(x) közelítő görbétől való eltéréseinek négyzetes összege legyen a legkisebb.

A legkisebb négyzetek módszerével megszerkesztett közelítő görbe

A legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk:

Túldefiniált egyenletrendszerek megoldására, ha az egyenletek száma meghaladja az ismeretlenek számát;

Megoldást találni közönséges (nem túldefiniált) nemlineáris egyenletrendszerek esetén;

A pontértékek közelítése valamilyen közelítő függvény segítségével.

A legkisebb négyzetek módszerét használó közelítő függvényt a számított közelítő függvény adott kísérleti adattömbből számított eltérés négyzetes minimális összegének feltételéből határozzuk meg. A legkisebb négyzetek módszerének ezt a kritériumát a következő kifejezésként írjuk le:

A számított közelítő függvény értékei a csomópontokban,

Kísérleti adatok adott tömbje csomópontokban.

A másodfokú kritériumnak számos „jó” tulajdonsága van, mint például a differenciálhatóság, ami egyedülálló megoldást nyújt a polinomiális közelítő függvények közelítési problémájára.

A feladat körülményeitől függően a közelítő függvény egy m fokos polinom

A közelítő függvény mértéke nem függ a csomópontok számától, de méretének mindig kisebbnek kell lennie egy adott kísérleti adattömb dimenziójánál (pontszámánál).

∙ Ha a közelítő függvény mértéke m=1, akkor a táblázatos függvényt egyenessel közelítjük (lineáris regresszió).

∙ Ha a közelítő függvény mértéke m=2, akkor a táblázatfüggvényt másodfokú parabolával közelítjük (másodfokú közelítés).

∙ Ha a közelítő függvény mértéke m=3, akkor a táblázatfüggvényt köbös parabolával közelítjük (köbös közelítés).

Általános esetben, amikor adott táblázatértékekre m fokos közelítő polinomot kell megszerkeszteni, az összes csomópontra vonatkozó eltérés négyzetösszegének minimumára vonatkozó feltételt a következő formában írjuk át:

- az m fokú közelítő polinom ismeretlen együtthatói;

A táblázatban megadott értékek száma.

Egy függvény minimum létezésének szükséges feltétele, hogy ismeretlen változókra vonatkozó parciális deriváltjai nullával egyenlők. . Ennek eredményeként a következő egyenletrendszert kapjuk:

Alakítsuk át a kapott lineáris egyenletrendszert: nyissuk ki a zárójeleket, és mozgassuk a szabad tagokat a kifejezés jobb oldalára. Ennek eredményeként a kapott lineáris algebrai kifejezések rendszere a következő formában lesz írva:

Ez a lineáris algebrai kifejezések rendszere átírható mátrix formában:

Ennek eredményeként egy m+1 méretű lineáris egyenletrendszert kaptunk, amely m+1 ismeretlenekből áll. Ez a rendszer bármilyen lineáris algebrai egyenlet megoldási módszerrel megoldható (például Gauss-módszer). A megoldás eredményeként a közelítő függvény olyan ismeretlen paramétereit találjuk meg, amelyek a közelítő függvény eredeti adatoktól való eltérésének minimális négyzetösszegét biztosítják, azaz. a lehető legjobb másodfokú közelítés. Emlékeztetni kell arra, hogy ha a forrásadatoknak akár csak egy értéke is megváltozik, akkor minden együttható megváltoztatja értékét, mivel azokat teljes mértékben a forrásadatok határozzák meg.

Forrásadatok közelítése lineáris függéssel

(lineáris regresszió)

Példaként tekintsük a közelítő függvény meghatározásának technikáját, amelyet lineáris függés formájában adunk meg. A legkisebb négyzetek módszerével összhangban a négyzetes eltérések összegének minimumára vonatkozó feltételt a következő formában írjuk fel:

Táblázat csomópontjainak koordinátái;

A lineáris függésként megadott közelítő függvény ismeretlen együtthatói.

Egy függvény minimum létezésének szükséges feltétele, hogy ismeretlen változókra vonatkozó parciális deriváltjai nullával egyenlők. Ennek eredményeként a következő egyenletrendszert kapjuk:

Alakítsuk át a kapott lineáris egyenletrendszert.

Megoldjuk a kapott lineáris egyenletrendszert. A közelítő függvény együtthatóit analitikus formában a következőképpen határozzuk meg (Cramer-módszer):

Ezek az együtthatók biztosítják egy lineáris közelítő függvény felépítését a közelítő függvény négyzetösszegének minimalizálása kritériumának megfelelően az adott táblázatos értékekből (kísérleti adatok).

Algoritmus a legkisebb négyzetek módszerének megvalósításához

1. Kiinduló adatok:

Kísérleti adatok tömbje N mérési számmal van megadva

Meg van adva a közelítő polinom mértéke (m).

2. Számítási algoritmus:

2.1. Meghatározzuk a dimenziókkal rendelkező egyenletrendszer felépítéséhez szükséges együtthatókat

Az egyenletrendszer együtthatói (az egyenlet bal oldala)

- az egyenletrendszer négyzetmátrixának oszlopszámának indexe

Lineáris egyenletrendszer szabad feltételei (az egyenlet jobb oldala)

- az egyenletrendszer négyzetmátrixa sorszámának indexe

2.2. Lineáris egyenletrendszer kialakítása dimenzióval .

2.3. Lineáris egyenletrendszer megoldása egy m fokú közelítő polinom ismeretlen együtthatóinak meghatározására.

2.4 A közelítő polinom eredeti értékektől való eltéréseinek négyzetes összegének meghatározása minden csomópontban

A négyzetes eltérések összegének talált értéke a lehető legkisebb.

Közelítés egyéb függvények segítségével

Megjegyzendő, hogy amikor az eredeti adatokat a legkisebb négyzetek módszerével közelítjük, a logaritmikus függvényt, az exponenciális függvényt és a hatványfüggvényt néha közelítő függvényként használják.

Logaritmikus közelítés

Tekintsük azt az esetet, amikor a közelítő függvényt az alak logaritmikus függvénye adja meg:

A legkisebb négyzetek módszerének lényege egy olyan trendmodell paramétereinek megtalálásában, amely a legjobban leírja bármely véletlenszerű jelenség időbeni vagy térbeli fejlődési tendenciáját (a trend egy vonal, amely ennek a fejlődésnek a tendenciáját jellemzi). A legkisebb négyzetek módszerének (LSM) feladata nem csak egy trendmodell, hanem a legjobb vagy optimális modell megtalálása is. Ez a modell akkor lesz optimális, ha a megfigyelt tényleges értékek és a megfelelő számított trendértékek közötti négyzetes eltérések összege minimális (legkisebb):

ahol a megfigyelt tényleges érték közötti négyzetes eltérés

és a megfelelő számított trendérték,

A vizsgált jelenség tényleges (megfigyelt) értéke,

A trendmodell számított értéke,

A vizsgált jelenség megfigyelésének száma.

Az MNC-t meglehetősen ritkán használják önmagában. Általában a korrelációs vizsgálatok során leggyakrabban csak szükséges technikai technikaként használják. Emlékeztetni kell arra, hogy az OLS információs bázisa csak megbízható statisztikai sorozat lehet, és a megfigyelések száma nem lehet kevesebb 4-nél, különben az OLS simító eljárásai elveszíthetik a józan eszét.

Az MNC eszközkészlet a következő eljárásokból áll:

Első eljárás. Kiderül, hogy van-e egyáltalán tendencia az eredő attribútum megváltoztatására, amikor a kiválasztott faktor-argumentum megváltozik, vagy más szóval, van-e kapcsolat a „ at "És" X ».

Második eljárás. Meghatározzák, hogy melyik vonal (pálya) írja le vagy jellemezheti legjobban ezt a tendenciát.

Harmadik eljárás.

Példa. Tegyük fel, hogy van információnk a vizsgált gazdaság átlagos napraforgóterméséről (9.1. táblázat).

9.1. táblázat

Megfigyelési szám
Termőképesség, c/ha

Mivel hazánkban a napraforgótermesztés technológiai szintje az elmúlt 10 évben gyakorlatilag változatlan maradt, ez azt jelenti, hogy a vizsgált időszakban a terméshozam ingadozása nagymértékben függött az időjárási és éghajlati viszonyok ingadozásától. Ez tényleg igaz?

Az első OLS eljárás. A hipotézist a napraforgó terméshozamában az időjárási és éghajlati viszonyok változásától függően az elemzett 10 év alatti tendencia meglétére vonatkozó hipotézist teszteljük.

Ebben a példában a " y " célszerű a napraforgó hozamát venni, és a " x » – a vizsgált év száma a vizsgált időszakban. Annak a hipotézisnek a tesztelése, hogy létezik-e bármilyen kapcsolat x "És" y "kétféleképpen lehet megtenni: manuálisan és számítógépes programokkal. Természetesen a számítástechnika rendelkezésre állásával ez a probléma önmagában is megoldható. De az MNC eszközök jobb megértése érdekében tanácsos tesztelni azt a hipotézist, hogy létezik-e kapcsolat a „ x "És" y » manuálisan, amikor csak egy toll és egy közönséges számológép van kéznél. Ilyen esetekben a trend létezésére vonatkozó hipotézist a legjobban vizuálisan ellenőrizni az elemzett dinamikasorozat grafikus képének elhelyezkedése - a korrelációs mező:

Példánkban a korrelációs mező egy lassan növekvő vonal körül helyezkedik el. Ez önmagában azt jelzi, hogy a napraforgótermés változásában bizonyos tendencia van. Csak akkor nem lehet tendencia jelenlétéről beszélni, ha a korrelációs mező körnek, körnek, szigorúan függőleges vagy szigorúan vízszintes felhőnek néz ki, vagy kaotikusan szétszórt pontokból áll. Minden más esetben az a hipotézis, hogy létezik kapcsolat x "És" y ", és folytassa a kutatást.

Második OLS eljárás. Meghatározzuk, hogy melyik vonal (pálya) írja le vagy jellemezze legjobban a napraforgótermés változásának trendjét a vizsgált időszakban.

Ha rendelkezik számítástechnikával, az optimális trend kiválasztása automatikusan megtörténik. A „kézi” feldolgozás során az optimális funkció kiválasztása általában vizuálisan történik - a korrelációs mező helye alapján. Ez azt jelenti, hogy a gráf típusa alapján az empirikus trendhez (a tényleges pályához) legjobban illeszkedő egyenes egyenlete kerül kiválasztásra.

Mint ismeretes, a természetben nagyon sokféle funkcionális függőség létezik, ezért rendkívül nehéz vizuálisan elemezni még egy kis részét is. Szerencsére a valós gazdasági gyakorlatban a legtöbb összefüggés elég pontosan leírható akár parabolával, akár hiperbolával, akár egyenessel. Ebben a tekintetben a legjobb funkció kiválasztásának „kézi” opciójával csak erre a három modellre korlátozhatja magát.

		Hiperbola:

Másodrendű parabola: :

Könnyen belátható, hogy példánkban a napraforgótermés változásának trendjét az elemzett 10 év alatt az egyenes vonal jellemzi legjobban, így a regressziós egyenlet egy egyenes egyenlete lesz.

Harmadik eljárás. Kiszámolják az ezt az egyenest jellemző regressziós egyenlet paramétereit, vagyis meghatározzák a legjobb trendmodellt leíró analitikai képletet.

A regressziós egyenlet paraméterei értékeinek megkeresése, esetünkben a és a paraméterek, az OLS magja. Ez a folyamat egy normál egyenletrendszer megoldásán múlik.

(9.2)

Ez az egyenletrendszer meglehetősen könnyen megoldható Gauss-módszerrel. Emlékezzünk vissza, hogy a megoldás eredményeként példánkban a és a paraméterek értékei találhatók. Így a talált regressziós egyenlet a következő formában lesz:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete