A peremfeltételek a stacionárius állapotok Schrödinger-egyenlete. Ideiglenes és stacionárius Schrödinger-egyenlet
Schrödinger egyenlet
A mozgás egyenlete kvantummechanika, amely leírja a mikrorészecskék mozgását különböző erőterekben, kell lennie egy egyenletnek, amelyből ez következik hullám tulajdonságai részecskék. Egyenletnek kell lennie a következőhöz képest hullámfüggvény Ψ( x,nál nél,z,t), mivel az érték │ Ψ │ 2 meghatározza annak valószínűségét, hogy egy részecske egy pillanat alatt a térfogatban legyen.
Az alapegyenletet E. Schrödinger: az egyenlet nem származtatott, hanem feltételezett.
Schrödinger egyenlet a következő formában van:
- ΔΨ +U(x,y,z,t)Ψ = iħ, (33.9)
Ahol ħ=h/(2π ), T-részecsketömeg, Δ-Laplace operátor ,én- képzeletbeli egység, U(x,y,z,t) - potenciális funkció részecske abban az erőtérben, amelyben mozog, Ψ( x,y,z,t) a részecske kívánt hullámfüggvénye.
A (32.9) egyenlet az általános Schrödinger-egyenlet. Időfüggő Schrödinger-egyenletnek is nevezik. Sokaknak fizikai jelenségek, a mikrovilágban előforduló, a (33.9) egyenlet leegyszerűsíthető, ha kiküszöböljük Ψ időtől való függését, más szóval megkeressük a Schrödinger-egyenletet stacionárius állapotok- fix energiaértékű állapotok. Ez akkor lehetséges, ha az erőtér, amelyben a részecske mozog, stacionárius, azaz a függvény U(x,y,z,t) nem függ kifejezetten az időtől, és potenciális energia jelentéssel bír.
∆ Ψ + ( E-U)Ψ = 0. (33,10)
A (33.10) egyenletet nevezzük Schrödinger-egyenlet stacionárius állapotokhoz.
Ez az egyenlet paraméterként tartalmazza a teljes energiát E részecskék. Az egyenlet megoldása a paraméter egyetlen értékére sem történik meg E, de csak egy adott problémára jellemző halmazra. Ezeket az energiaértékeket sajátértékeknek nevezzük. Sajátértékek E folytonos és diszkrét sorozatot is alkothat.
33.5. Részecske egy egydimenziós téglalap alakú „potenciálkútban”, végtelenül magas „falakkal”
A szabad részecske olyan részecske, amely külső mező hiányában mozog. Mivel szabad részecske (hadd mozogjon a tengely mentén x) akkor az erők nem hatnak helyzeti energia részecskék U(x) = const és nullával egyenlőnek vehető. Ekkor a részecske összenergiája egybeesik a mozgási energiájával. Egy szabad részecske energiája tetszőleges értéket vehet fel, azaz energiaspektruma folytonos. Egy szabad kvantumrészecskét egy sík monokromatikus de Broglie-hullám ír le, és a szabad részecske térbeli helyzete egyformán valószínű.
Hajtsuk végre kvalitatív elemzés a Schrödinger-egyenlet megoldásai szabad részecskékre vonatkoztatva egy egydimenziós téglalap alakú „potenciálkútban”, végtelenül magas „falakkal” (33.1. ábra). Az ilyen „lyukat” a forma potenciális energiája írja le (az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a részecske a tengely mentén mozog x)
∞, x< 0
U(x) = {0, 0≤ x ≤ l}(33.11)
∞, x > 1
Ahol l- a „lyuk” szélessége, és az energiát az aljától számítjuk (33.1. ábra).
A stacionárius állapotok Schrödinger-egyenlete egydimenziós probléma esetén a következő formában lesz felírva
+ (E-U)Ψ = 0. (33.12)
A probléma körülményei szerint (végtelenül magas „falak”) a részecske nem hatol át a „lyukon”, ezért a „lyukon” kívüli észlelésének (és ennek következtében a hullámfüggvénynek) valószínűsége nulla. A „gödör” határán (at x=0 és x=l) a folytonos hullámfüggvénynek is el kell tűnnie. Ennélfogva, határviszonyok V ebben az esetben hasonló
Ψ(0)=Ψ( l)=0. (33.13)
A „kúton” belül a Schrödinger-egyenlet az egyenletre lesz redukálva
+ EΨ = 0. (33.14)
A stacionárius Schrödinger-egyenlet, amely leírja egy részecske mozgását egy végtelenül magas falú „potenciálkútban”, csak a sajátértékeknél teljesül. E p egész számtól függően P.
E p =,(n= 1, 2, 3, …).(33.15)
SCHRÖDINGER EGYENLET
ÉS KÜLÖNLEGES ESETEI (folytatás): egy részecske áthaladása POTENCIÁLIS GÁTLÓN, Harmonikus oszcillátoron
Egy részecske áthaladása potenciálgáton a klasszikus esetre az 1. RÉSZ 7. ELŐADÁSÁBAN már foglalkoztunk (lásd 7.2. ábra). Tekintsünk most egy mikrorészecskét, amelynek összenergiája kisebb, mint a szint U potenciálgát (19.1. ábra). A klasszikus változatban ebben az esetben egy részecske átjutása a gáton lehetetlen. Azonban in kvantumfizika fennáll annak a lehetősége, hogy a részecske átjut. Sőt, nem „átugorja”, hanem mintegy „átszivárog”, felhasználva hullámtulajdonságait. Ezért a hatást „alagútnak” is nevezik. Az egyes területekre I, II, IIIírjuk le stacionárius egyenlet Schrödinger (18,3).
Mert énÉs III: 
, (19.1, a)
Mert II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, ahol a = const. Akkor 
és y" = . Ha y"-t behelyettesítjük (19.1a)-ba, akkor a következőt kapjuk: A régió kívánt általános megoldása én szuperpozícióként lesz írva
https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)
Ebben az esetben kiindulópont a hullámterjedést eltolják L, a BAN BEN 3 = 0 , hiszen a környéken III csak egy múló hullám van.
A területen II y" (korlát) behelyettesítése a (19.1b)-ben ad
https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.
Az áthaladás valószínűségét jellemzik áthaladási arány- az átvitt hullám intenzitásának és a beeső hullám intenzitásának aránya:
(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)
amelyek közül az első kettő a funkciók „felvarrását” jelenti a sorompó bal és jobb oldali határán, a harmadik és a negyedik pedig az ilyen átmenet simaságát. Az y1, y2 és y3 függvényeket (19.5) behelyettesítve megkapjuk az egyenleteket
Osszuk fel őket A 1 és jelölje a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.
. (19.6)
Szorozzuk meg az első egyenletet (19.6) ezzel! énkés adjuk hozzá a másodikhoz. 2-t kapunk énk = a 2(q +énk)- b 2(q-énk) . (19.7)
A második (19.6) egyenletpárt két egyenletből álló, ismeretlenekkel rendelkező egyenletrendszernek tekintjük. a 2 és b 2.
Ennek a rendszernek a meghatározó tényezői:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,
hol e- qL(q+énk) 2 » 0, mert qL >> 1.
Ezért https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, és meg kell találni egy komplex érték modulusát A 3, a kapott tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk meg ( q +énk)2. Egyszerű átalakítások után kapjuk
https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Általában E/U~ 90%, és az „e” előtti teljes együttható egy nagyságrendű. Ezért annak valószínűségét, hogy egy részecske áthalad a gáton, a következő összefüggés határozza meg:
https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.
Ez azt jelenti, hogy mikor E< U a részecske nem fogja legyőzni a gátat, vagyis az alagúthatás hiányzik a klasszikus fizikából.
Ezt a hatást használják a mérnöki gyakorlatban alagútdiódák létrehozására, amelyeket széles körben használnak rádiótechnikai eszközökben (lásd 3. RÉSZ, 3. ELŐADÁS).
Emellett kiderült, hogy földi körülmények között is lehet kezdeményezni termonukleáris reakció szintézis, ami az Jön a nap normál körülmények között a Nap számára - olyan hőmérsékleten T ~ 109 K. A Földön nincs ilyen hőmérséklet, de az alagúthatásnak köszönhetően lehetőség van a reakció beindítására olyan hőmérsékleten T ~ 107 K ami robbanás közben történik atombomba, amely a hidrogénes gyújtószerkezete volt. Erről bővebben a tanfolyam következő részében.
Harmonikus oszcillátor.Klasszikus A harmonikus oszcillátorral is foglalkoztunk már (1., 2. ELŐADÁSOK 3. RÉSZ). Például azok rugós inga, amelynek összenergiája E = mV 2/2 + kx 2/2. Elméletileg ez az energia eltarthat folyamatos sorozat nullától kezdődő értékek.
A kvantumharmonikus oszcillátor egy harmonikus törvény szerint rezgő mikrorészecske, amely kötött állapotban található egy atomon vagy magon belül. Ebben az esetben a potenciális energia klasszikus marad, ami hasonló rugalmas helyreállító erőt jellemez kx. Figyelembe véve, hogy a ciklikus frekvencia 
a potenciális energiát kapjuk meg: https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)
BAN BEN matematikailag Ez a feladat még nehezebb, mint az előzőek. Ezért arra szorítkozunk, hogy elmondjuk, mi fog történni ennek eredményeként. Mint egy egydimenziós kút esetében, megkapjuk diszkrét sajátfüggvények spektruma és saját energiák, és az energia egy sajátértéke egy hullámfüggvénynek felel meg: EnÛ y n(nincs az állapotok degenerációja, mint egy háromdimenziós kút esetében). Az |yn|2 valószínűségi sűrűség is oszcilláló függvény, de a „púpok” magassága eltérő. Ez már nem triviális bűn2
, és az egzotikusabb Hermite polinomok Hn(x). A hullámfüggvénynek van formája
, Ahol VAL VELn- attól függ nállandó. Energia sajátérték spektrum:
, (19.10)
hol van a kvantumszám n = 0, 1, 2, 3 ... . Így van "nulla energia" is , amely felett az energiaspektrum egy „polcot” alkot, ahol a polcok egymástól azonos távolságra helyezkednek el (19.2. ábra). Ugyanez az ábra minden energiaszinthez mutatja a megfelelő |yn|2 valószínűségi sűrűséget, valamint a potenciális energiát külső mező(pontozott parabola).
A nullától eltérő minimális lehetséges oszcillátorenergia létezése mély jelentés. Ez azt jelenti, hogy a mikrorészecskék rezgései nem szűnnek meg soha, ami viszont elérhetetlenséget jelent abszolút nulla hőfok.
1. , Bursian fizika: Előadások tanfolyam számítógépes támogatással: Tankönyv. segítség a diákoknak magasabb tankönyv intézmények: 2 kötetben - M.: VLADOS-PRESS Kiadó, 2001.
Elvileg semmi különös, táblázatokban, sőt grafikonokon is megtalálhatóak.
A részecskéknek kvantumvilág más törvények érvényesek, mint a klasszikus mechanika tárgyaira. De Broglie feltételezése szerint a mikroobjektumok a részecskék és a hullámok tulajdonságaival is rendelkeznek – és valóban, ha egy elektronsugarat szétszórunk egy lyukon, a hullámokra jellemző diffrakció figyelhető meg.
Ezért nem a kvantumrészecskék mozgásáról beszélhetünk, hanem annak a valószínűségéről, hogy egy részecske egy adott időpontban egy adott pontban lesz.
Mit ír le a Schrödinger-egyenlet?
A Schrödinger-egyenlet célja, hogy leírja a kvantumobjektumok mezőben való mozgásának jellemzőit. külső erők. Gyakran egy részecske olyan erőtéren mozog, amely nem függ az időtől. Erre az esetre a stacionárius Schrödinger-egyenletet írjuk:
A bemutatott egyenletben m és E, és ennek megfelelően egy erőtérben elhelyezkedő részecske energiája, U pedig ez a mező. 
— Laplace operátor. — Planck állandó, egyenlő 6,626 10 -34 J s.
(valószínűségi amplitúdónak, vagy pszi-függvénynek is nevezik) - ez egy olyan függvény, amely lehetővé teszi, hogy megtudjuk, a térben melyik helyen fog elhelyezkedni mikroobjektumunk. Nem magának a függvénynek van fizikai jelentése, hanem a négyzetének. Annak valószínűsége, hogy egy részecske elemi térfogatban van:
Ezért véges térfogatban találhatunk függvényt a következő valószínűséggel:
Mivel a psi függvény egy valószínűség, nem lehet kisebb nullánál, és nem haladhatja meg az egyet. Teljes valószínűség Egy végtelen térfogatban lévő részecske megtalálása egy normalizálási feltétel:
A psi függvényre működik a szuperpozíció elve: ha egy részecske vagy rendszer lehet sorozatban kvantumállapotok, akkor az összegük által meghatározott állapot is lehetséges számára:
A stacionárius Schrödinger-egyenletnek sok megoldása van, de a megoldás során figyelembe kell venni a peremfeltételeket, és csak a saját megoldásokat kell kiválasztani - azokat, amelyeknek fizikai jelentése van. Ilyen megoldások csak azért léteznek egyéni értékek az E részecske energiája, amelyek a részecske diszkrét energiaspektrumát alkotják.
Példák problémamegoldásra
1. PÉLDA
| Gyakorlat | A hullámfüggvény leírja az elektron távolságát a hidrogénatommagtól: r az elektron és az atommag távolsága, a az első Bohr-sugár. Milyen távolságra található az elektron a legvalószínűbb az atommagtól? |
| Megoldás | 1) A térfogatot az atommag sugarával kifejezve megkapjuk annak a valószínűségét, hogy az elektron bizonyos távolságon belül van az atommagtól: 2) Annak a valószínűsége, hogy az elektron az elemi „gyűrűn” belül van, dr:
3) A legvalószínűbb távolság meghatározásához az utolsó kifejezésből találjuk meg: Ezt az egyenletet megoldva r = a – az elektron és az atommag közötti legvalószínűbb távolságot kapjuk. |
| Válasz | r = a – a mag a legnagyobb valószínűséggel az első Bohr-sugár távolságára helyezkedik el a magtól. |
2. PÉLDA
| Gyakorlat | Keresse meg egy részecske energiaszintjét egy végtelen mély potenciálú kútban. |
| Megoldás | Hagyja, hogy a részecske az x tengely mentén mozogjon. Gödör szélessége – l. Megszámoljuk a lyuk aljáról származó energiát, és leírjuk a függvénnyel: Írjuk fel az egydimenziós stacionárius Schrödinger-egyenletet:
Tekintsük a peremfeltételeket. Mivel úgy gondoljuk, hogy a részecske nem tud áthatolni a falakon túl, akkor a lyukon kívül = 0. A kút határán a pszi-függvény is egyenlő nullával: A kútban a potenciális energia U=0. Ekkor a kútra felírt Schrödinger-egyenlet egyszerűsödik:
Formájában DU harmonikus oszcillátor: |
(Dokumentum)
n1.doc
Schrödinger egyenlet
A mikrorészecskék viselkedésének leírásához szükséges különleges forma mechanika, figyelembe véve azok hullámtulajdonságait. Új mechanika hullám- vagy kvantummechanikának nevezzük. A fő szerzők Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli. Ezenkívül egy N. Bohr általános vezetése alatt álló csoport aktívan dolgozott Koppenhágában.A kvantummechanika alapegyenlete a Schrödinger-egyenlet. Ahogyan a Newton-féle dinamikai egyenleteket sem lehet elméletileg megkapni, hanem általánosítást jelentenek nagyszámú kísérleti tények, a Schrödinger-egyenlet szintén nem vezethető le semmilyen korábban ismert összefüggésből. Kiinduló alapfeltevésnek tekintendő, melynek érvényességét bizonyítja, hogy az ebből fakadó összes következmény meglehetősen pontosan összhangban van tapasztalt tények.
Mert a pontos érték Mivel egy mikrorészecske állapotparaméterei ismeretlenek, a kvantummechanika fő feladata egy adott érték megvalósulásának valószínűsége, ha az mérhető. Ehhez a hullám-kvantum energia dualizmus figyelembevételével analóg módon figyelembe vesszük a részecskének megfelelő hullám funkcióját (hullámfüggvény), amelyet általában betűvel jelölnek. Ez a koordináták és az idő függvénye, és az egyenlet megoldásával kereshető meg:
Ezt az egyenletet Schrödinger vezette be 1926-ban, és Schrödinger-egyenletnek nevezik az idővel (vagy idő Schrödinger-egyenletnek). Itt: i – képzeletbeli egység; ħ – Planck-állandó; m – részecske tömege; U– a részecske potenciális energiája; ? – Laplace operátor
A Schrödinger-egyenletből az következik, hogy a hullámfüggvényt a potenciális energia határozza meg U, azaz végső soron létezik a koordináták és az idő függvénye. Vezetékes telefonhoz erőtér U nem egyértelműen az időtől függ. Ebben az esetben a hullámfüggvényt tényezők formájában ábrázolják, amelyek közül az egyik csak az időtől, a második csak a koordinátáktól függ:
Ahol E a részecske összenergiája.
Valójában, ha ezt a függvényt behelyettesítjük a Schrödinger-egyenletbe egy időtől független erőtérrel, az időt tartalmazó exponenciálisok törlődnek. Ezután az időfüggetlen állapotok egyenlete (stacionárius állapotok) a következő formában jelenik meg:
(*)
A továbbiakban ezt a kifejezést egyszerűen Schrödinger-egyenletnek nevezzük.
A Schrödinger-egyenlet a következő érveléssel juthat el. A mikrorészecskék diffrakciós kísérleteiből az következik, hogy párhuzamos nyaláb A részecskék a részecskék mozgásának irányában terjedő síkhullám tulajdonságaival rendelkeznek. A tengely irányában terjedő síkhullám egyenlete x, a következő formában van:
De Broglie hipotézise szerint szabad mozgás A részecske egy síkhullámnak felel meg, amelynek frekvenciája = E/t és hullámhossza = 2ħ/p. A síkhullám egyenletbe és behelyettesítésével megkapjuk a tengely irányában mozgó szabad részecske hullámfüggvényét. x:
A függvényt egyszer t-hez, másodszor pedig x-hez képest differenciálva kapjuk:
Ezekből az összefüggésekből E és p 2 a függvénnyel és származékaival fejezhető ki:
Most írjunk E = p 2 /2m-t a nemrelativisztikus esetre, és cseréljük be a kapott kifejezéseket:
A laplaci megjelenése az egyenletben az egyenlet általánosítása tetszőleges irányú hullámterjedés esetére.
A kapott egyenlet egybeesik a szabad részecske mozgására vonatkozó Schrödinger-egyenlettel (U = 0). Mert ezt az állapotot stacionárius (U = 0, és ezért nem függ az időtől), az egyenlet a következőképpen alakul:
Ez az egyenlet egybeesik a (*) egyenlettel U = 0 esetén.
Az E teljes energia összege kinetikus energia T és potenciális energia U. Szabad részecske esetén az E összenergia egybeesik a T kinetikai értékkel, így E értéke akár a részecske teljes, akár kinetikus energiájaként értelmezhető. Ha elfogadjuk, hogy E a részecske összenergiája, akkor nem fizikai helyzetet kapunk: az általánosított egyenlet nem fog függni az erőtér természetétől (azaz U-tól). Ezért a részecskére ható erők jelenlétében E helyett a T = E – U részecske mozgási energiáját kell beírnunk az egyenletbe Egy ilyen csere után a (*) egyenlethez jutunk.
Még egyszer jegyezzük meg, hogy a fenti matematikai manipulációk nem tekinthetők a Schrödinger-egyenlet levezetésének. Céljuk, hogy elmagyarázzák, hogyan lehetett eljutni a faj megtelepedéséhez hullámegyenlet egy mikrorészecskére. A Schrödinger-egyenlet helyességének bizonyítéka csak az egyenlet alkalmazásával kapott eredmények tapasztalattal való egyezése lehet.
Az energia kvantálása.
A Bohr-féle atommodelltől eltérően, amely bizonyos posztulátumok bevezetésén alapul, a Schrödinger-egyenlet lehetővé teszi, hogy az egyenlet közvetlen megoldásával fix energiaértékeket kapjunk. A hullámfüggvényekre vonatkozó követelmények meglehetősen szabványosak a matematikában: végesség, egyediség, folytonosság, simaság. A követelményeknek az U potenciál nem analitikus viselkedése esetén is teljesülniük kell: a potenciál lehet nem folytonos, a tér valamely tartományában végtelen, stb.
Az ebben az esetben kapott megoldások csak az E energia bizonyos meghatározott értékeinek felelnek meg. Ezeket energia sajátértékeknek nevezzük. A Schrödinger-egyenlet megoldása során kapott hullámfüggvényeket sajátértékekhez tartozó sajátfüggvényeknek nevezzük.
Az E értékei lehetnek diszkrétek (kvantáltak), vagy folyamatos értékkészletet vehetnek fel. BAN BEN az utóbbi eset folytonos energiaspektrumról beszélünk.
A Schrödinger-egyenlet megoldásával általánosságban elmondható, hogy egy sor valószínűséget kaphatunk a részecske egyéb paramétereinek, az impulzus és a szögimpulzus kimutatására.
Végül meg kell jegyezni, hogy a kapott megoldások némileg korlátozottak. Ez abban rejlik, hogy a stacionárius Schrödinger-egyenletnek nem célja a folyamatok időbeni figyelembevétele. Eközben a tapasztalatok azt mutatják, hogy az álló (pontosabban, majdnem stacionárius) állapotok energiáit a teljes egyetértés tapasztalattal.
Részecske egy potenciálkútban.
A potenciálkútban lévő részecske viselkedésével vagy állapotával kapcsolatos problémák megoldása lehetővé teszi a kvantummegközelítés matematikai oldalának bemutatását. Ezen túlmenően a potenciálkút kiváló modell arra, hogy betekintést nyerjünk a mozgásukban korlátozott részecskék energiaspektrumának kialakulásába. Egy atomból ill nukleáris elméletérdemes figyelembe venni a kutakban lévő részecskét három fajta. A legegyszerűbb eset– egy végtelenül magas falú téglalap alakú potenciálkútban lévő részecske csak egy példa a probléma megoldására kvantum elmélet valamint a mozgásában korlátozott mikrorészecske diszkrét állapotok megjelenésének egyetemes tényének bemutatása. A parabolapotenciálú kútban lévő részecske állapotának figyelembevétele lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük a kapcsolódó mikrorészecskék rezgésének jellemzőit, és ennek a problémának a megoldása közvetlenül kapcsolódik a hőkapacitás kiszámításához szilárd. Végül a probléma megoldása hiperbolikus kúttal hasonló a hidrogénatom elektronállapotainak megoldásához, de az álló állapotok létezésének hipotézisének alkalmazása nélkül. Ebben az esetben az állapotok stacionaritása a probléma megoldásának következménye (Schrodinger-egyenlet).
Tekintsük egy részecske viselkedését végtelenül mély téglalap alakú potenciálkút.
  |
Közös döntés ez az egyenlet így néz ki:
Ahogy a fentiekben írják, (x = 0) = (x = l) = 0. Az első egyenlőség lehetővé teszi, hogy meghatározzuk = 0. A másodikból az következik, hogy l = n . Innen határozva és ezt az értéket behelyettesítjük a kifejezésbe 2, megkapjuk a probléma sajátértékeit:
Figyeljük meg, hogy n = 1,2,3..., de nem egyenlő nullával, mivel a hullámfüggvény ebben az esetben eltűnik: a részecske hiányzik. A sajátfüggvényeket ezután a következőképpen definiáljuk:
A függvények egy állandó tényezőig vannak definiálva A. Az esetek túlnyomó többségében célszerű a funkciót normalizálni. Ez azt jelenti, hogy a valószínűségi sűrűség integrálja 
részecske megtalálása minden lehetséges állapotban egyenlő eggyel. (A csillag összetett ragozást jelent). A normalizálási feltétel megfelel annak, hogy a részecske az egyik lehetséges állapotban van. Formálisan ez egyenértékű a hullámfüggvény együtthatójának meghatározásával:
A hullámfüggvény elnyerte teljes formáját:
Most meg tudjuk határozni az elektron megtalálásának valószínűségi sűrűségének eloszlását a koordináta mentén x:
 |
Részecske egy parabolikus kútban.
Ezt a problémát gyakran kvantumoszcillátor-problémának is nevezik, mivel a mikrorészecskék rezgésének kérdésével foglalkozik. A kvantumfizikában az erő fogalma a koordináta-impulzus bizonytalanság összefüggés megnyilvánulása miatt értelmét veszti. Ebben az esetben a Schrödinger-egyenlet alkalmazása lehetővé teszi, hogy megoldjuk a potenciális energiához hasonló potenciális energiájú részecske rezgésének problémáját. klasszikus elmélet:
óta ben klasszikus mechanika a rugalmas erő hatása egy természetes frekvencia létezésében nyilvánul meg 
, érdemes a következő kifejezésre menni:
Itt a merevséget a rezgések természetes frekvenciájának kifejezéséből határozzuk meg. Ekkor a Schrödinger-egyenlet a következő alakot veszi fel:
Ennek az egyenletnek a matematikai megoldása nagyon körülményes, és ún speciális funkciók. Ezért rámutatunk arra, hogy egy adott probléma sajátfüggvényeire (folytonosság, simaság, végesség, egyediség) vonatkozó követelmények teljesülnek a probléma sajátértékeire:
E = ħ ( + 1/2), ( = 0,1,2,…)
Ezek az energiák különbözőek (számok a jobb oldalon), valamint a potenciális energia koordinátától való függése x(vastag folytonos vonal) láthatók az ábrán.
  |
A beírt kvantumszám módosítása talán csak egyenként? = 1. Ez a harmonikus kvantumoszcillátor úgynevezett kiválasztási szabálya. Hasonló változás jelenik meg például az álló állapotok közötti optikai átmenetek során, amelyeket egy atom elektronjainak az atommaggal és egymással való kölcsönhatása okoz. A fenti kép az atom elektronjainak mindegyik állóállapotában jellemzi a spektrumot. Átmenetek során számváltozással többek között egy ħ energiájú kvantumot bocsátanak ki, ahol a frekvencia felveszi a valós értékét fizikai jelentése.
Helytelen a részecskék rezgésének gyakoriságáról beszélni az egyes stacionárius állapotokban. A klasszikus oszcillátorban lévő részecske csak a potenciálgörbe által meghatározott koordinátákon belül mozoghat. Amikor a határra esik, tükröződik. A kvantummechanikában egy mikrorészecske behatolhat a szomszédos régióba, vagyis a potenciálgörbe határán túlra. Ebben az esetben ingadozásról szó sem lehet. Csak annak a valószínűségi sűrűségnek van értelme, hogy egy részecskét találunk egy bizonyos ponton.
 |
Lehetséges akadályok.
Tekintsük egy részecske mozgását a tér potenciálgáttal rendelkező tartományában. Példa fizikai helyzet, amelyben egy gátnak a részecske mozgására gyakorolt hatása nyilvánul meg, lehet egy elektron kiszökése a szilárd testen kívülre (térelektron-emisszió). A sorompó alakjának a koordinátáktól való függése nagyon összetett lehet, de a sorompó magassága véges, és általában a sorompó emelkedési hossza is meglehetősen véges. Ezért egyszerű modellfeladatként vegyünk egy U 0 magasságú gátat
 |
Hagyja, hogy a részecske bal oldalról érje el az akadályt. Szokás szerint a részecskét de Broglie hullámnak tekintjük:
A feladat a hullám amplitúdójának meghatározása, majd a visszaverődési és transzmissziós együtthatók meghatározása. A visszavert és átvitt hullámok létezése a függvény formájával és származékával szemben támasztott követelményekből (simaság, egyediség, folytonosság, végesség) adódik. x = 0.
A beeső, visszavert és átvitt hullámok frekvenciájának azonosnak kell lennie. Ez lehetővé teszi, hogy időről időre menjen függő funkció csak a koordinátáktól függő függvényre. Ehhez elég a (x,t) függvényt behelyettesíteni általános egyenlet Schrödinger, törölje az időfüggő exponenciálist, és kapja meg a stacionárius Schrödinger-egyenletet:
Ebben a feladatban két lehetőség van E 1 >U 0 és E 2 figyelembevételére
1. E 1 >U 0 . Általános forma a megoldásnak megvan a formája
A beeső hullám amplitúdója a A 1, tükröződik b 1 . Az x>0 tartományban a hullám csak továbbítódik (balról jobbra), ezért b 2 = 0. A folytonosság és simaság feltételéből at x= 0 kapjuk:
Innen kapjuk:
A D átviteli együtthatók és az R reflexió meghatározásához szükséges bevezetni a valószínűségi sűrűségű áramlás fogalmát F. Ebben az esetben ez analóg a hullámterjedésnél alkalmazott szokásos áramlási koncepcióval: ez az áramlás egységnyi idő alatti energiája, egyenlő a termékkel energiasűrűség a terjedési sebességre. A hullám energiája arányos amplitúdójának négyzetével. A vizsgált esetben az áramlási sebesség megegyezik a részecske sebességével. Ez utóbbi egyenlő = R/m = ħ k/m. Akkor:
Jelöljük: F – a beeső hullám fluxusa, F’ a visszavert hullám fluxusa, F” – az átvitt hullám fluxusa. A kívánt eredményt kapjuk:
Az eredmény jellemzői:
1. Az átviteli és a visszaverődési együtthatók összege egységgel egyenlő, ami meglehetősen szabványos.
2. Az együtthatók nem függenek a részecske mozgási irányától - hullám.
3. Akár részecskeenergiával is nagyobb magasságú lehetséges lépés, a részecske visszaverődik a gátról.
1. E 1 képzeletbeli mennyiségnek bizonyul k 2 = i k. Ekkor a részecske visszaverődése a gátról teljes, azaz R = 1.
Ugyanakkor könnyen belátható, hogy a második tartományba továbbított hullám függvénye nem egyenlő nullával. Mert 
az átvitt hullámfüggvény egyenlő
A valószínűségi sűrűség tehát arányos a negatív valós kitevővel, azaz gyorsan lecsökken, ahogy a hullám mélyebbre terjed a gátba:
Behatolási mélység l az a távolság, amelynél az érték R csökken benne e egyszer. Aztán 2 kl=1. Innen
Ebből például az következik, hogy mikor U 0 -E= 10 -3 eV az elektron 10 -9 m mélyen behatol a gátba.
Így amikor egy részecske egy kellően kis vastagságú potenciálfalhoz közelít, lehetséges, hogy ez a részecske úgy hatol át a falon, mintha egy alagúton keresztül, ami meghatározta ennek a jelenségnek a nevét: alagút hatás. Természetesen az ilyen behatolás csak bizonyos valószínűséggel lehetséges, ami azonban lehetővé teszi nemcsak a hatás regisztrálását, hanem a gyakorlatban történő felhasználását is. Van egy úgynevezett alagútdióda, amely számos nagyon érdekes tulajdonsággal rendelkezik.
A fizikában a fémből származó elektronok hideg kibocsátásán túl a cselekvés alagút hatás magyarázza - bomlás, az atommagok spontán hasadása, termonukleáris fúzióÉs egész sor egyéb jelenségek.
Üzemeltetők fizikai mennyiségek .
A hullámfüggvény ismeretében a mikrorészecske bármilyen mérhető jellemzője meghatározható. Ehhez egyfajta számítást használnak, amelyet operatívnak neveznek. A műveleti számítás lényegének megértéséhez először definiáljuk az átlagérték fogalmát, amely nagyon fontos a kvantummechanikában. Tekintsük először a koordinátát, és határozzuk meg annak dP valószínűségét, hogy egy részecskét találunk a dx tartományban az x pont közelében. A fentieknek megfelelően dP = *dx. Ezután a koordináta átlagértéke x egyenlő
Feltételezzük, hogy a függvény normalizált:
Hasonlóképpen meghatározhatja bármely mennyiség átlagos értékét, amely a koordinátától függ:
Más értékek megszerzéséhez további számításokat kell végezni, néha nagyon nehézkesek, amelyek lehetővé tették például az impulzus átlagos értékének meghatározását:
Ha a fenti kifejezéseket a következő formában írjuk:
kiderül, hogy az átlagértékek megszerzése egy bizonyos operátor hullámfüggvényre gyakorolt hatásához köthető. A művelet típusa és az operátor típusa függ következő szabály: képletek klasszikus fizika mert a kvantumelméletben a mennyiségek közötti kapcsolatot felváltják e mennyiségek operátorait összekötő képletek.
Például az f(x) koordináta vagy mennyiség operátor a fenti kifejezésben maguk a mennyiségek. Működésük az, hogy ezeket a mennyiségeket megszorozzák a függvénnyel. Az impulzusoperátor differenciális, és a következő alakja van (vö. az utolsó kifejezéssel):
A kezelőket mennyiségi szimbólumok jelölik, de felső sapkával. Például az impulzus operátort így írjuk 
.
Alapvető operátorok matematikai tulajdonságai:
1. Operátorok adhatók hozzá (asszociativitás). Az operátorok összegének művelete egyenlő az egyes műveleteik összegével: . Itt a szimbólum függvény argumentumát jelöli f.
2. Az operátorok szorozhatók. Az operátorok szorzatának hatása megegyezik az operátorok szekvenciális alkalmazásával egy függvényre: 
. Itt meg kell jegyezni, hogy az operátorok kommutativitása nem az övék köztulajdon, vagyis 
nem lehet egyenlő 
. Ha az egyenlőség továbbra is fennáll, akkor az operátorokat ingázásnak nevezzük. Megmutatható, hogy a bizonytalansági relációkban szereplő mennyiségek operátorai mindig nem ingáznak. A fordított megfeleltetés is igaz: ha az operátorok nem ingáznak, akkor a megfelelő mennyiségek nem határozhatók meg egyszerre.
3. Az operátorokat lineárisnak nevezzük, ha a következő feltétel teljesül:
Az operátorok linearitása határozza meg a de Broglie hullámszuperpozíciós elv alkalmazásának lehetőségét.
A megadott példák általánosíthatók. Átlagos érték K egyenlő:
Ahol 
van egy nagyságrendű operátor K.
Tekintsük az alapvető fizikai mennyiségek operátorait.
A fent bemutatott impulzus vetületi operátorral analóg módon írhatjuk:
Ezért a négyzetes impulzus operátor alakja a következő:
Most már felírhatjuk az energiaoperátort, a kvantummechanika egyik alapoperátorát. A kinetikus energiát a megadott szabály szerint határozzuk meg:
A teljes energiaoperátor, az úgynevezett Hamilton-operátor vagy Hamilton-operátor a már ismert, fentebb használt formát ölti:
Most meghatározhatjuk a teljes energia átlagos értékét a hullámfüggvényre hatva Hamilton operátorral:
Annak ellenére, hogy nem lehet egyszerre meghatározni a potenciális és a kinetikus energiát, meg lehet határozni és összehasonlítani ezen energiák átlagértékeinek összegét a teljes energia átlagos értékével.
Így ha egy részecske hullámfüggvénye ismert, mindig meg lehet határozni a megfelelő mennyiség átlagértékét.
Az operátorok szerepe a kvantummechanikában nem lesz teljesen meghatározva, hacsak nem fogalmaznak meg egy általános összefüggést, amely lehetővé teszi, hogy számítással megkapjuk. sajátérték bármely méret K. Ez a kapcsolat így néz ki:
(*)
Érvényessége az átlagérték kiszámításával ellenőrizhető K:
Ebben az esetben a hullámfüggvény az saját funkciója feladat vagy operátor. Jelentése K a vizsgált esetben az egyetlen (tehát megfelelő). Nincs más érték, amely megfelelne ennek a funkciónak. Egy függvény és egy (*) alakú érték kölcsönös megfeleltetése az operátor sajátfüggvényeinek és sajátértékeinek meghatározása.
Példa arra, hogy a (*) kifejezés megfelel a részecskemozgás előző egyenleteinek, az egybeesés a stacionárius Schrödinger-egyenlettel. Ha a Hamilton-operátort behelyettesítjük a (*) egyenletbe, megkapjuk a Schrödinger-egyenletet stacionárius állapotokra:
A szögimpulzus kvantálása.
A kvantummechanikában a szögimpulzus tulajdonságai jelentősen eltérnek ugyanazon mennyiség klasszikus elméleti tulajdonságaitól. Például a lényeges mennyiség nem maga a vektor, hanem a nyomaték modulusa M vagy a szögimpulzus négyzete M 2. Az operátorok kommutációs tulajdonságainak vizsgálata azt mutatja, hogy csak a pillanat négyzete és annak egyik vetülete ingázik. Általában a Z tengelyhez kapcsolódik. Két másik vetület és a pillanat négyzete M 2 nem ingázik egymással. Mint fentebb említettük, ez azt jelenti, hogy egyszerre csak két adatmennyiség határozható meg M 2 és M z. Ezért elképzelhetjük, hogy a pillanatot a vektor valamilyen határozatlan mozgása a kúp mentén alkotja. Ekkor csak a vektor vetülete és hossza határozható meg.
A fenti szabályt követve bevezethetjük szögmomentum operátor. A klasszikus mechanikában a szögimpulzus egyenlő
Ekkor a szögimpulzus Z tengelyre vetítésének operátora egyenlő
Egyszerűbb formát ölt a gömbkoordináta-rendszerben (r, , ):
A szögimpulzus négyzeteáltalános egyenlet határozza meg:
A sok érvelés és számítás miatt bemutatjuk ennek az egyenletnek a megoldásának végeredményét:
Szám l orbitálisnak nevezik kvantumszám. Ezért a szögimpulzus modulusa egyenlő:
A klasszikus mozzanattól eltérően a kvantumanalógja nem függ annak a pontnak a helyzetétől, amelyhez képest meghatározásra került. Ez csak meghatározott szögletes mozgás részecskék. Ezért a kvantummechanikában a szögimpulzusokat gyakran szögimpulzusnak vagy egyszerűen szögimpulzusnak nevezik. Ugyanez vonatkozik a pillanatvetítési operátor sajátértékeire is.
az energiaállapot degenerációja. Ennek oka a Z tengely hiányában történő megválasztásának önkényessége mágneses mező. Bevezetés a felülvizsgálatba elektromos mező nem teszi lehetővé a kiválasztást irány tengely, ezért az elektromos tér nem tudja teljesen eltávolítani a degenerációt a nyomaték vetülete mentén. Legalább kettős degeneráció marad.
Általánosságban elmondható, hogy a nyomatékvetület degeneráltságának sokféleségét az határozza meg, hogy formálisan M z a pillanat vetülete, ezért nem haladhatja meg a nagyságát M. Ebből következik, hogy
Teljes számértékeket m tehát egyenlő a 2-vel l+1, amely meghatározza a pályaállapotok degenerációjának többszörösét.
A kapott eredmények jól ismert módon bemutathatók:
Az ún. helyzet lényegét képviselik térbeli kvantálás.
A spinnel rendelkező részecskének van egy bizonyos „belső” mágneses momentuma is. A megfelelő kvantummechanikai operátor arányos az s spin operátorral, azaz alakba írható
ahol s a részecske spin értéke, és a részecske állandó karakterisztikája. Vetítési sajátértékek mágneses momentum egyenlőek Ebből látható, hogy az együttható (amit általában egyszerűen a mágneses momentum értékének neveznek) a spin vetülete során elért lehető legnagyobb értéket jelenti.
Az arány megadja a részecske saját mágneses momentumának a sajátjához viszonyított arányát mechanikus nyomaték(ha mindkettő a tengely mentén van irányítva). Mint ismeretes, egy közönséges (keringési) pillanatban ez az arány egyenlő (lásd II, 44. §). A belső mágneses momentum és a részecske spinje közötti arányossági együttható eltérőnek bizonyul. Egy elektron esetében ez egyenlő – vagyis a szokásos érték kétszerese (ezt az értéket elméletileg a relativisztikus Dirac hullámegyenletből kapjuk – lásd IV, 33. §). Az elektron saját mágneses momentuma (spin 1/2) tehát egyenlő a hol
Ezt a mennyiséget Bohr-magnetonnak nevezzük.
Mágneses pillanat nehéz részecskék Szokásos a mérést magmagnetonokban, ahol a proton tömege határozza meg. A kísérlet a proton saját mágneses momentumának értéke 2,79 magmagneton, a nyomaték a spin mentén irányul. A neutron mágneses momentuma a spinnel ellentétes irányú, és egyenlő 1,91 magmagnetonnal.
Figyeljünk arra, hogy a (111.1) egyenlőség mindkét oldalán lévő mennyiségek és s-ek vektorjellegükben megegyeznek: mindkettő axiális vektor.
Egy hasonló egyenlőség az elektromos kettős térnyomatékra ellentmondana a szimmetriának a koordináta-inverzió tekintetében: az inverzió során az egyenlőség mindkét oldalának relatív előjele megváltozna.
A nemrelativisztikus kvantummechanikában a mágneses tér csak külső térnek tekinthető. Mágneses kölcsönhatás A részecskék egymással való érintkezése relativisztikus hatás, és ennek figyelembevétele következetes relativisztikus elméletet igényel.
A klasszikus elméletben az elektromágneses akaratban lévő töltött részecske Hamilton-függvényének alakja van
ahol a skalár, A a mező vektorpotenciálja, a részecske általános impulzusa (lásd II, 16. §). Ha a részecske nem rendelkezik az egységgel, akkor a kvantummechanikára való áttérés a szokásos módon történik: az általánosított momentumot az operátorral kell helyettesíteni, és megkapjuk a Hamilton-féleséget.
Ha a részecskének van spinje, akkor egy ilyen művelet nem elegendő. A tény az, hogy a részecske saját mágneses momentuma közvetlenül kölcsönhatásba lép a mágneses mezővel. A klasszikus Hamilton-függvényben ez a kölcsönhatás teljesen hiányzik, mivel maga a spin, pusztán kvantumhatás, eltűnik, amikor átlép a klasszikus határra. A Hamilton-féle helyes kifejezést úgy kapjuk meg, ha (111.3-ban) bevezetünk egy további tagot - amely a H mező mágneses momentumának energiája. Így a spinnel rendelkező részecske Hamilton-féle alakja a következő.
A négyzet bővítésekor szem előtt kell tartani, hogy az operátor általában véve nem kommutatív az A vektorral, ami a koordináták függvénye. Ezért írnunk kell
A tetszőleges koordinátafüggvényű impulzusoperátor kommutációs szabálya (16.4) szerint megvan
Így, és A kommutatív, ha, különösen, teljesül egységes mező, ha a vektorpotenciálját az alakban választjuk ki
(111,7)
A Hamilton-egyenlet (111.4) a Schrödinger-egyenlet általánosítása mágneses tér esetére. A Hamilton-féle hullámfüggvények ebben az egyenletben szimmetrikus rangú spinorok
Az elektromágneses térben lévő részecskék hullámfüggvényei a térpotenciálok kétértelműségéhez kapcsolódnak. Mint ismeretes (lásd II, 18. §), ez utóbbiakat csak a szelvénytranszformációig határozzák meg
Ahol - tetszőleges funkció koordináták és idő. Ez az átalakulás nem tükröződik a térerősség értékekben. Nyilvánvaló tehát, hogy a hullámegyenlet megoldásait sem szabad jelentősen megváltoztatnia; különösen a négyzetnek változatlanul kell maradnia. Nagyon könnyű ellenőrizni, hogy visszatérünk eredeti egyenlet, ha a (111.8) helyettesítéssel egyidejűleg a Hamilton-ban a hullámfüggvényt is helyettesítjük a szerint.
(111,9)
A hullámfüggvénynek ez a kétértelműsége nem érint semmilyen fizikai jelentéssel bíró mennyiséget (amelynek definíciója nem tartalmazza kifejezetten a potenciálokat).
A klasszikus mechanikában egy részecske általánosított impulzusát a sebességéhez viszonyítja a reláció. Ahhoz, hogy a kvantummechanikában megtaláljuk a v operátort, a vektort a Hamilton-jellel kell kommutálni.
Egy egyszerű számítás vezet az eredményhez
(111,10)
pontosan ugyanaz, mint a klasszikus. A sebességkomponens-kezelőkre kommutációs szabályok vonatkoznak
amely közvetlen számítással könnyen ellenőrizhető. Látjuk, hogy mágneses térben egy részecske (töltött) sebességének három komponensének operátorai nem kommutatívak. Ez azt jelenti, hogy egy részecske nem rendelkezhet egyszerre bizonyos sebességértékekkel mindhárom irányban.
Mágneses térben való mozgáskor csak akkor jön létre szimmetria az időfordításhoz, ha a H tér (és az A vektorpotenciál) előjele megváltozik. Ez azt jelenti (lásd a 18. és 60. §-t), hogy a Schrödinger-egyenletnek meg kell őriznie alakját, amikor összetett konjugált mennyiségekre megy át és H előjelét megváltoztatja. A Hamilton-féle (111.4) összes tagjára, a tag kivételével, ez azonnal nyilvánvaló. Tag
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete