Egy komplex változó függvényei.
Egy komplex változó függvényeinek differenciálása.

Ez a cikk egy leckesorozatot indít, amelyben megnézem tipikus feladatok, egy komplex változó függvényelméletéhez kapcsolódik. A példák sikeres elsajátításához rendelkeznie kell alapismeretek a komplex számokról. Az anyag megszilárdítása és megismétlése érdekében csak keresse fel az oldalt. A megtaláláshoz szükséges készségekre is szüksége lesz másodrendű parciális származékok. Íme, ezek a részleges származékok... most is kicsit meglepődtem, milyen gyakran fordulnak elő...

Az általunk vizsgált téma nem jelent különösebb nehézséget, és egy összetett változó függvényében elvileg minden világos és hozzáférhető. A lényeg az, hogy betartsam az alapszabályt, amelyet kísérleti úton vezettem le. Olvass tovább!

Egy komplex változó függvényének fogalma

Először is frissítsük fel ismereteinket iskolai funkció egy változó:

Egyváltozós függvény egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden értéke (a definíciós tartományból) a függvény egy és csak egy értékének felel meg. Természetesen az „x” és az „y” valós számok.

Összetett esetben a funkcionális függést hasonlóan határozzuk meg:

Egy komplex változó egyértékű függvénye- ez a szabály, amely szerint mindenki átfogó a független változó értéke (a definíciós tartományból) egy és csak egynek felel meg átfogó függvény értéke. Az elmélet figyelembe veszi a többértékű és néhány más típusú függvényt is, de az egyszerűség kedvéért egy definícióra összpontosítok.

Mi a különbség a komplex változós függvény között?

A fő különbség: komplex számok. Nem ironizálok. Az ilyen kérdések gyakran kábultan hagyják az embereket a cikk végén, elmesélek egy vicces történetet. Az osztályban Komplex számok bábukhoz alakban egy komplex számot vettünk figyelembe. Azóta a „z” betű lett változó, akkor azt jelöljük alábbiak szerint: , míg az „x” és az „y” eltérő lehet érvényes jelentések. Nagyjából egy komplex változó funkciója függ a és változóktól, amelyek „közönséges” értéket vesznek fel. Tól ezt a tényt Logikusan a következő pont következik:

Egy komplex változó függvénye a következőképpen írható fel:
, ahol és a kettő két függvénye érvényes változók.

A függvényt hívják valódi rész funkciókat
A függvényt hívják képzeletbeli rész funkciókat

Vagyis egy komplex változó függvénye két valós függvénytől és . Hogy végül mindent tisztázhassunk, nézzünk gyakorlati példákat:

1. példa

Megoldás: A „zet” független változó, mint emlékszel, a következő formában van írva:

(1) V eredeti funkciója keretezett

(2) Az első tagnál a rövidített szorzási képletet használtuk. A kifejezésben a zárójelek ki lettek nyitva.

(3) Óvatosan négyzetre szabva, erről nem feledkezve meg

(4) A kifejezések átrendezése: először átírjuk a kifejezéseket , amelyben nincs képzeletbeli egység(első csoport), majd a kifejezéseket, ahol vannak (második csoport). Meg kell jegyezni, hogy nem szükséges keverni a feltételeket, és ezt a szakasztátugorható (valójában szóban csinálva).

(5) A második csoportnál kivesszük a zárójelből.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a funkciónk a formában van ábrázolva

Válasz:
– a funkció valós része.
– a függvény képzeletbeli része.

Milyen funkciók lettek ezekből? A legjobb hétköznapi funkciókat két változó, amelyek közül ilyen népszerű lehet részleges származékok. Kegyelem nélkül meg fogjuk találni. De egy kicsit később.

A megoldott probléma algoritmusa röviden a következőképpen írható fel: behelyettesítjük az eredeti függvénybe , -t, egyszerűsítéseket hajtunk végre és az összes tagot két csoportra osztjuk - képzeletbeli egység nélkül (valós rész) és képzeletbeli egységgel (képzetes rész) .

2. példa

Keresse meg a függvény valós és képzeletbeli részét!

Ez egy példa erre önálló döntés. Mielőtt kivont karddal csatába rohanna, összetett sík, hadd adjam a legtöbbet fontos tanács a témában:

VIGYÁZAT!Óvatosnak kell lenni persze mindenhol, de az összetett számoknál óvatosabbnak kell lenni, mint valaha! Ne feledje, hogy óvatosan nyissa ki a zárójeleket, ne veszítsen semmit. Megfigyeléseim szerint a leggyakoribb hiba a jel elvesztése. Ne rohanj!

Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Most a kocka. A rövidített szorzási képlet segítségével a következőket kapjuk:
.

A képletek nagyon kényelmesek a gyakorlatban, mivel jelentősen felgyorsítják a megoldási folyamatot.

Egy komplex változó függvényeinek differenciálása.

Két hírem van: jó és rossz. Kezdem a jóval. Egy komplex változó függvényére érvényesek a differenciálás szabályai és a derivált táblázat elemi függvények. Így a derivált pontosan ugyanúgy vesszük fel, mint egy valós változó függvénye esetén.

A rossz hír az, hogy sok összetett változófüggvényhez egyáltalán nincs derivált, és ezt ki kell találni megkülönböztethető-e egyik vagy másik funkció. És a szíved „kitalálása” további problémákkal jár.

Tekintsük egy komplex változó függvényét. Annak érdekében, hogy ezt a funkciót differenciálható volt szükséges és elégséges:

1) Tehát léteznek elsőrendű parciális származékok. Azonnal felejtsd el ezeket a jelöléseket, mivel az összetett változó függvényelméletében hagyományosan más jelölést használnak: .

2) Elvégezni az ún Cauchy-Riemann feltételek:

Csak ebben az esetben létezik a származék!

3. példa

Megoldás három egymást követő szakaszra oszlik:

1) Keressük meg a függvény valós és képzetes részét! Erről a feladatról a korábbi példákban volt szó, ezért kommentár nélkül leírom:

Azóta:

Így:

– a függvény képzeletbeli része.

Még egy technikai szempontot hadd érintsek: milyen sorrendbenírja be a kifejezéseket a valós és a képzeletbeli részbe? Igen, elvileg nem számít. Például a valós rész így írható: , a képzeletbeli pedig – így: .

2) Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Ketten vannak.

Kezdjük az állapot ellenőrzésével. találunk részleges származékok:

Így a feltétel teljesül.

Természetesen a jó hír az, hogy a részleges származékok szinte mindig nagyon egyszerűek.

Ellenőrizzük a második feltétel teljesülését:

Ugyanaz derült ki, de azzal ellentétes jelek, vagyis a feltétel is teljesül.

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható.

3) Keressük meg a függvény deriváltját. A származék is nagyon egyszerű, és a szokásos szabályok szerint található:

A képzeletbeli egységet a differenciálás során állandónak tekintjük.

Válasz: - valódi rész, – képzeletbeli rész.
A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, .

A származék megtalálásának további két módja van, ezeket természetesen ritkábban használják, de az információ hasznos lesz a második lecke megértéséhez - Hogyan lehet egy komplex változó függvényét megtalálni?

A származékot a következő képlettel találhatjuk meg:

IN ebben az esetben:

Így

El kell dönteni inverz probléma– a kapott kifejezésben el kell különíteni a . Ehhez a feltételekben és a zárójeleken kívül szükséges:

A fordított műveletet, amint azt sokan észrevették, valamivel nehezebb ellenőrizni, mindig jobb, ha a kifejezést egy piszkozatra vesszük, vagy szóban visszanyitjuk a zárójeleket, ügyelve arra, hogy az eredmény pontosan legyen;

Tükörképlet a derivált megtalálásához:

Ebben az esetben: , Ezért:

4. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Ha a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a függvény deriváltját.

Gyors megoldásés egy hozzávetőleges minta a végső tervből a lecke végén.

Mindig teljesülnek a Cauchy-Riemann feltételek? Elméletileg nem teljesülnek be gyakrabban, mint teljesülnek. De be gyakorlati példák Nem emlékszem olyan esetre, amikor ne teljesültek volna =) Tehát ha a parciális deriváltjai „nem konvergálnak”, akkor nagyon nagy valószínűséggel mondhatjuk, hogy valahol hibát követett el.

Bonyolítsuk le a funkcióinkat:

5. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Számítsa ki

Megoldás: A megoldási algoritmus teljesen megmarad, de a végére egy új pont kerül hozzáadásra: a derivált megtalálása egy pontban. Kocka számára szükséges képlet már nyomtatva:

Határozzuk meg ennek a függvénynek a valós és képzeletbeli részét:

Figyelem és még egyszer figyelem!

Azóta:


Így:
– a funkció valós része;
– a függvény képzeletbeli része.

A második feltétel ellenőrzése:

Az eredmény ugyanaz, de ellentétes előjelekkel, vagyis a feltétel is teljesül.

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható:

Számítsuk ki a derivált értékét a kívánt pontban:

Válasz:, , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek,

A kockákkal ellátott függvények gyakoriak, ezért íme egy példa a megerősítésre:

6. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Számítsa ki.

Megoldás és példa a lecke végén történő befejezésre.

Elméletben átfogó elemzés Egy összetett argumentum egyéb függvényei is definiálva vannak: kitevő, szinusz, koszinusz stb. Ezek a funkciók szokatlan, sőt bizarr tulajdonságokkal rendelkeznek – és ez igazán érdekes! Nagyon szeretném elmondani, de itt, ahogy megtörténik, nem kézikönyv vagy tankönyv van, hanem megoldási könyv, ezért ugyanezt a problémát néhány gyakori funkcióval fogom megvizsgálni.

Először az ún Euler-képletek:

Bárkinek érvényes számok esetén a következő képletek érvényesek:

Referenciaanyagként a notebookjába is másolhatja.

Szigorúan véve csak egy képlet van, de a kényelem kedvéért általában írnak speciális eset mínusz a mutatóban. A paraméternek nem kell egyetlen betűnek lennie, lehet összetett kifejezés, funkció, csak az a fontos, hogy elfogadják csak érvényes jelentések. Valójában most ezt fogjuk látni:

7. példa

Keresse meg a származékot.

Megoldás: A párt általános vonala megingathatatlan marad - meg kell különböztetni a funkció valós és képzeletbeli részét. hozom neked részletes megoldás, és az alábbiakban minden lépéshez megjegyzést fűzök:

Azóta:

(1) Helyettesítsd a „z”-t.

(2) Csere után ki kell választani a valós és képzeletbeli részeket először a mutatóban kiállítók. Ehhez nyissa ki a zárójeleket.

(3) Az indikátor képzeletbeli részét csoportosítjuk, a képzeletbeli egységet zárójelbe helyezve.

(4) Használat iskolai akció fokozatokkal.

(5) A szorzóhoz az Euler-képletet használjuk, és.

(6) Nyissa ki a zárójeleket, ami:

– a funkció valós része;
– a függvény képzeletbeli része.

A további műveletek szabványosak, ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését:

9. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Így legyen, nem találjuk meg a származékot.

Megoldás: A megoldási algoritmus nagyon hasonlít az előző két példához, de nagyon vannak fontos pontokat, Ezért kezdeti szakaszban Lépésről lépésre ismét hozzászólok:

Azóta:

1) Helyettesítse a „z”-t.

(2) Először is kiválasztjuk a valós és a képzeletbeli részeket a sinus belsejében. Ebből a célból kinyitjuk a zárójeleket.

(3) Az és a képletet használjuk .

(4) Használat paritás hiperbolikus koszinusz : És páratlan hiperbolikus szinusz : . A hiperbolika, bár nem e világból származik, sok tekintetben hasonló trigonometrikus függvényekre emlékeztet.

Ennek eredményeként:
– a funkció valós része;
– a függvény képzeletbeli része.

Figyelem! A mínusz jel a képzeletbeli részre utal, és semmi esetre sem szabad elveszíteni! A világos szemléltetés érdekében a fent kapott eredményt a következőképpen írhatjuk át:

Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését:

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

Válasz:, , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

Hölgyeim és uraim, döntsük el magunktól:

10. példa

Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Szándékosan választottam nehezebb példákat, mert úgy tűnik, mindenki megbirkózik valamivel, például a héjas mogyoróval. Ugyanakkor edzi a figyelmét! Diótörő az óra végén.

Nos, befejezésül megfontolok még egyet érdekes példa, Mikor összetett érvelés a nevezőben van. A gyakorlatban többször előfordult, nézzünk valami egyszerűt. Jaj, öregszem...

11. példa

Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Megoldás: Ismét meg kell különböztetni a függvény valós és képzeletbeli részét.
Ha, akkor

Felmerül a kérdés, mit tegyünk, ha „Z” van a nevezőben?

Minden egyszerű - a standard segít módszer a számláló és a nevező szorzására a konjugált kifejezéssel, a lecke példáiban már használták Komplex számok bábukhoz. Emlékezzünk iskolai képlet. A nevezőben már szerepel, ami azt jelenti, hogy a konjugált kifejezés a következő lesz. Így a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni a következővel:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete