Trigonometrikus képletek kettős szög koszinuszhoz. Kettős szögképletek a trigonometriában

Leggyakrabban ismételt kérdések

Lehetséges-e bélyegzőt készíteni egy dokumentumra a mellékelt minta alapján? Válasz Igen, lehetséges. Küldje el nekünk email címre szkennelt másolat vagy fénykép jó minőségű, és elkészítjük a szükséges másolatot.

Milyen fizetési módokat fogad el? Válasz A dokumentum ellenértékét a futár kézhezvételekor, az oklevél kitöltésének és a kivitelezés minőségének ellenőrzése után fizetheti ki. Ez megtehető az utánvétes postai társaságok irodáiban is.
A dokumentumok szállítási és fizetési feltételei a „Fizetés és kézbesítés” részben találhatók. Szintén készek vagyunk meghallgatni javaslataikat a dokumentum szállítási és fizetési feltételeivel kapcsolatban.

Biztos lehetek benne, hogy a rendelés leadása után nem fog eltűnni a pénzemmel? Válasz Nagy tapasztalattal rendelkezünk az oklevélkészítés területén. Számos weboldalunk van, amelyeket folyamatosan frissítünk. Szakembereink dolgoznak különböző sarkok több mint 10 dokumentumot állítanak elő naponta. Az évek során dokumentumaink sok embernek segítettek a foglalkoztatási problémák megoldásában vagy máshová költözni jól fizető állás. Megbízóink körében bizalmat és elismerést vívtunk ki, így erre semmi okunk nincs. hasonló módon. Ráadásul ezt fizikailag egyszerűen lehetetlen megtenni: abban a pillanatban fizetsz a rendelésedért, amikor a kezedbe kapod, nincs előleg.

Bármelyik egyetemről rendelhetek diplomát? Válasz Általában igen. Közel 12 éve dolgozunk ezen a területen. Ez idő alatt szinte teljes adatbázis alakult ki az ország és határon túli szinte valamennyi egyeteme által kiadott dokumentumokról. különböző évek kiadását. Csak ki kell választani egy egyetemet, szakot, dokumentumot, és kitölteni a megrendelőlapot.

Mi a teendő, ha elírási hibákat talál egy dokumentumban? Válasz Ha futárunktól vagy postai cégünktől dokumentumot kap, javasoljuk, hogy alaposan ellenőrizze az összes részletet. Ha elírást, hibát vagy pontatlanságot észlel, jogában áll az oklevelet nem átvenni, de az észlelt hibákat személyesen jeleznie kell a futárnak, ill. írásban email elküldésével.
IN a lehető leghamarabb A dokumentumot kijavítjuk és újra elküldjük a megadott címre. Természetesen a szállítást cégünk állja.
Az ilyen félreértések elkerülése érdekében az eredeti űrlap kitöltése előtt e-mailben elküldjük a leendő dokumentum makettjét az ügyfélnek ellenőrzés és jóváhagyás céljából. végleges változat. A dokumentum futárral vagy postai úton történő elküldése előtt további fényképeket és videókat is készítünk (beleértve ultraibolya fényben is), hogy Ön vizuális ábrázolás arról, hogy mit fogsz kapni a végén.

Mit kell tennem, hogy diplomát rendeljek a cégétől? Válasz Irat (bizonyítvány, oklevél, tudományos bizonyítvány stb.) ki kell töltenie a weboldalunkon található online megrendelőlapot, vagy meg kell adnia e-mail-címét, hogy el tudjuk küldeni Önnek a jelentkezési lapot, amelyet ki kell töltenie, és vissza kell küldenie nekünk.
Ha nem tudja, mit kell feltüntetni a megrendelőlap/kérdőív bármely mezőjében, hagyja üresen. Ezért minden hiányzó információt telefonon pontosítunk.

Legújabb vélemények

Alexey:

Diplomát kellett szereznem ahhoz, hogy menedzserként dolgozhassak. És ami a legfontosabb, hogy van tapasztalatom és képességem is, de dokumentum nélkül nem tudok elhelyezkedni. Miután rábukkantam az oldalára, végül úgy döntöttem, hogy veszek egy diplomát. 2 nap alatt elkészült a diploma!! Most olyan munkám van, amiről korábban nem is álmodtam!! Köszönöm!

A trigonometria a matematika egyik ága, amelynek tanulmányozása a szögekre és a köztük lévő kapcsolatokra összpontosít. A tudomány alapjait lefektették iskolai évek, amikor bevezetik a szögfüggvények definícióit. Az így létrejövő bázist a jövőben a csillagászat, a műszergyártás, az építészet és más tudományterületek fejlesztésében hasznosítják. Mint bármelyik egzakt tudomány, a trigonometria képletek nélkül nem teljes. Gyakorlati alkalmazás kifejezéseket talált a kettős argumentum meghatározására. Például a megfelelő egyenlet felhasználásával könnyen megtudhatja a kettős szinusz szögét.

Trigonometrikus kifejezés a számításhoz

A kifejezést egyszerűen leírják és megjegyzik: szinusz kettős szög egy argumentum szinuszának és koszinuszának kettős szorzataként kerül kiszámításra.

Ez a képlet a szögek összegének szinuszának kifejezéséből származik ( K 1 + K 2 ) :

bűn( K 1 + K 2) = bűn K 1*cos K 1 + bűn K 2*cos K 2 .

Ezt hinni meghatározott szögek egyenlőek egymással, a képlet a szokásos formában van írva.

A kifejezés a függvény argumentumának bármely értékéhez használható. A kettős szinuszszög kiszámítása meglehetősen egyszerű, az alábbi példák segítenek ennek ellenőrzésében.

Használati példa

Íme néhány példa a kapott képlet alkalmazására. Ki kell számítania a 60 fokkal egyenlő szög szinuszának trigonometrikus függvényének értékét. A megfelelő egyetlen szög 30 fok lesz. Mivel a 30 fokos szög szinusz és koszinusz értéke ismert, a kettős szinusz szöge sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30 lesz.

A képletet nem csak kézi számításokhoz használják, az értékek matematikai csomagokkal vagy MS Excel táblázatokkal is megtalálhatók.

Az egyszerűség ellenére trigonometrikus azonosság, ez nehézségeket okoz az iskolaelhagyóknak. Pontosan erre számítanak az egységes államvizsga-feladatok fejlesztői, amikor ellenőrző teszteket ajánlanak fel. alapképletek. Következtetés - a kettős szinuszszög kiszámításához fejből kell tudnia!

– biztosan lesznek feladatok a trigonometriával kapcsolatban. A trigonometriát gyakran nem szeretik, mert zsúfoltságot igényel hatalmas mennyiség nehéz képletek hemzsegnek szinuszoktól, koszinuszoktól, érintőktől és kotangensektől. Az oldal már egyszer tanácsokat adott egy elfelejtett képlet megjegyezéséhez, az Euler és Peel képlet példáján.

És ebben a cikkben megpróbáljuk megmutatni, hogy elegendő csak öt legegyszerűbbet szilárdan ismerni trigonometrikus képletek, a többiről pedig megvan általános elképzelésés hozd ki őket menet közben. Ez olyan, mint a DNS-nél: nem tárolódik a molekulában. komplett rajzok kész élőlény. Inkább utasításokat tartalmaz a rendelkezésre álló aminosavakból történő összeállításhoz. Tehát a trigonometriában, ismerve néhányat általános elveket, az összes szükséges képletet megkapjuk kis készlet amelyeket szem előtt kell tartani.

A következő képletekre fogunk támaszkodni:

A szinusz- és koszinuszösszegek képleteiből a koszinuszfüggvény paritásának és a szinuszfüggvény páratlanságának ismeretében, b helyett -b-vel helyettesítve a különbségek képleteit kapjuk:

1. A különbség szinusza: bűn(a-b) = bűnakötözősaláta(-b)+kötözősalátaabűn(-b) = bűnakötözősalátab-kötözősalátaabűnb
2. A különbség koszinusza: kötözősaláta(a-b) = kötözősalátaakötözősaláta(-b)-bűnabűn(-b) = kötözősalátaakötözősalátab+bűnabűnb

Ha a = b-t ugyanabba a képletbe tesszük, megkapjuk a kettős szögek szinuszának és koszinuszának képleteit:

1. Kettős szög szinusza: bűn2a = bűn(a+a) = bűnakötözősalátaa+kötözősalátaabűna = 2bűnakötözősalátaa
2. Kettős szög koszinusza: kötözősaláta2a = kötözősaláta(a+a) = kötözősalátaakötözősalátaa-bűnabűna = kötözősaláta2 a-bűn2 a

A többi több szög képletét hasonló módon kapjuk meg:

1. Háromszög szinusza: bűn3a = bűn(2a+a) = bűn2akötözősalátaa+kötözősaláta2abűna = (2bűnakötözősalátaa)kötözősalátaa+(kötözősaláta2 a-bűn2 a)bűna = 2bűnakötözősaláta2 a+bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűna(1-bűn2 a)-bűn 3 a = 3 bűna-4bűn 3a
2. Háromszög koszinusza: kötözősaláta3a = kötözősaláta(2a+a) = kötözősaláta2akötözősalátaa-bűn2abűna = (kötözősaláta2 a-bűn2 a)kötözősalátaa-(2bűnakötözősalátaa)bűna = kötözősaláta 3 a- bűn2 akötözősalátaa-2bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3 bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3(1- kötözősaláta2 a)kötözősalátaa = 4kötözősaláta 3 a-3 kötözősalátaa

Mielőtt továbblépnénk, nézzünk meg egy problémát.
Adott: a szög hegyes.
Keresse meg a koszinuszát, ha
Az egyik diák által adott megoldás:
Mert , Azt bűna= 3,a kötözősalátaa = 4.
(Matek humorból)

Tehát az érintő definíciója ezt a függvényt a szinuszhoz és a koszinuszhoz is kapcsolja. De kaphat olyan képletet, amely az érintőt csak a koszinuszhoz viszonyítja. Ennek levezetéséhez a fő trigonometrikus azonosságot vesszük: bűn 2 a+kötözősaláta 2 a= 1, és oszd el vele kötözősaláta 2 a. Kapunk:

Tehát a probléma megoldása a következő lenne:

(Mivel a szög hegyes, a gyökér kiemelésekor a + jelet veszik)

Az összeg tangensének képlete egy másik, amelyet nehéz megjegyezni. Adjuk ki így:

Azonnal megjelenik és

A kettős szög koszinusz képletéből megkaphatja a félszögek szinusz és koszinusz képletét. Ehhez alkalmazza a kettős szög koszinusz képlet bal oldalát:
kötözősaláta2 a = kötözősaláta 2 a-bűn 2 a
hozzáadunk egyet, és jobbra - egy trigonometrikus egységet, azaz. a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege.
kötözősaláta2a+1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a+kötözősaláta2 a+bűn2 a
2kötözősaláta 2 a = kötözősaláta2 a+1
Kifejezése kötözősalátaa keresztül kötözősaláta2 aés a változók megváltoztatását végrehajtva a következőt kapjuk:

A jelet a kvadránstól függően veszik.

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség bal oldaláról levonunk egyet, a jobb oldalról pedig a szinusz és a koszinusz négyzetösszegét, a következőt kapjuk:
kötözősaláta2a-1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a-kötözősaláta2 a-bűn2 a
2bűn 2 a = 1-kötözősaláta2 a

És végül az összeg átváltása trigonometrikus függvények a munkába, használjuk következő találkozó. Tegyük fel, hogy a szinuszok összegét szorzatként kell ábrázolnunk bűna+bűnb. Vezessünk be x és y változókat úgy, hogy a = x+y, b+x-y. Majd
bűna+bűnb = bűn(x+y)+ bűn(x-y) = bűn x kötözősaláta y+ kötözősaláta x bűn y+ bűn x kötözősaláta y- kötözősaláta x bűn y=2 bűn x kötözősaláta y. Most fejezzük ki x-et és y-t a-val és b-vel.

Mivel a = x+y, b = x-y, akkor . azért

Azonnal visszavonhatod

1. Képlet a particionáláshoz szinusz és koszinusz szorzatai V összeg: bűnakötözősalátab = 0.5(bűn(a+b)+bűn(a-b))

Javasoljuk, hogy saját maga gyakoroljon és származtasson képleteket a szinuszok különbségének és a koszinuszok összegének és különbségének szorzattá konvertálására, valamint a szinuszok és koszinuszok szorzatának összegre osztására. A gyakorlatok elvégzése után alaposan elsajátítja a trigonometrikus képletek levezetésének készségét, és még a legnehezebb teszten, olimpián vagy teszten sem fog eltévedni.

Leggyakrabban ismételt kérdések

Lehetséges-e bélyegzőt készíteni egy dokumentumra a mellékelt minta alapján? Válasz Igen, lehetséges. Szkennelt másolatot vagy jó minőségű fotót küldjön e-mail címünkre, és mi elkészítjük a szükséges másolatot.

Milyen fizetési módokat fogad el? Válasz A dokumentum ellenértékét a futár kézhezvételekor, az oklevél kitöltésének és a kivitelezés minőségének ellenőrzése után fizetheti ki. Ez megtehető az utánvétes postai társaságok irodáiban is.
A dokumentumok szállítási és fizetési feltételei a „Fizetés és kézbesítés” részben találhatók. Szintén készek vagyunk meghallgatni javaslataikat a dokumentum szállítási és fizetési feltételeivel kapcsolatban.

Biztos lehetek benne, hogy a rendelés leadása után nem fog eltűnni a pénzemmel? Válasz Nagy tapasztalattal rendelkezünk az oklevélkészítés területén. Számos weboldalunk van, amelyeket folyamatosan frissítünk. Szakembereink az ország különböző pontjain dolgoznak, naponta több mint 10 dokumentumot készítenek. Az évek során dokumentumaink sok embernek segítettek a foglalkoztatási problémák megoldásában vagy a jobban fizető állásokba költözésben. Megbízóink körében bizalmat és elismerést vívtunk ki, így erre semmi okunk. Ráadásul ezt fizikailag egyszerűen lehetetlen megtenni: abban a pillanatban fizetsz a rendelésedért, amikor a kezedbe kapod, nincs előleg.

Bármelyik egyetemről rendelhetek diplomát? Válasz Általában igen. Közel 12 éve dolgozunk ezen a területen. Ezalatt az ország szinte valamennyi egyeteme által kiadott dokumentumokból és a különböző kiadási évekre vonatkozóan szinte teljes adatbázis alakult ki. Csak ki kell választani egy egyetemet, szakot, dokumentumot, és kitölteni a megrendelőlapot.

Mi a teendő, ha elírási hibákat talál egy dokumentumban? Válasz Ha futárunktól vagy postai cégünktől dokumentumot kap, javasoljuk, hogy alaposan ellenőrizze az összes részletet. Elírási hiba, pontatlanság észlelése esetén jogában áll az oklevelet nem átvenni, de az észlelt hibákat személyesen vagy írásban jeleznie kell a futárnak.
A dokumentumot a lehető legrövidebb időn belül kijavítjuk és újra elküldjük a megadott címre. Természetesen a szállítást cégünk állja.
Az ilyen félreértések elkerülése érdekében az eredeti űrlap kitöltése előtt e-mailben elküldjük a leendő dokumentum makettjét az ügyfélnek a végleges verzió ellenőrzésére és jóváhagyására. A dokumentum futárral vagy postai úton történő elküldése előtt további fényképeket és videókat is készítünk (beleértve az ultraibolya fényben is), hogy világos elképzelése legyen arról, mit kap a végén.

Mit kell tennem, hogy diplomát rendeljek a cégétől? Válasz Dokumentum (bizonyítvány, oklevél, tanulmányi bizonyítvány stb.) megrendeléséhez ki kell töltenie a weboldalunkon található online megrendelőlapot, vagy meg kell adnia e-mail-címét, hogy el tudjuk küldeni a jelentkezési lapot, amelyet kitöltve vissza kell küldenie. hozzánk.
Ha nem tudja, mit kell feltüntetni a megrendelőlap/kérdőív bármely mezőjében, hagyja üresen. Ezért minden hiányzó információt telefonon pontosítunk.

Legújabb vélemények

Alexey:

Diplomát kellett szereznem ahhoz, hogy menedzserként dolgozhassak. És ami a legfontosabb, hogy van tapasztalatom és képességem is, de dokumentum nélkül nem tudok elhelyezkedni. Miután rábukkantam az oldalára, végül úgy döntöttem, hogy veszek egy diplomát. 2 nap alatt elkészült a diploma!! Most olyan munkám van, amiről korábban nem is álmodtam!! Köszönöm!

Nagyon gyakran a matematika egyesített államvizsga C1-es feladataiban a tanulókat arra kérik, hogy oldjanak meg egy trigonometrikus egyenletet, amely a kettős szög képletét tartalmazza.

Ma ismét elemezzük a C1 problémát, és különösen a meglehetősen nem szabványos példa, amely egyszerre tartalmazta a kettős szög képletét és a párost is homogén egyenlet. Így:

Oldja meg az egyenletet. Keresd meg ennek az egyenletnek a gyökereit, intervallumhoz tartozó:

sinx+ bűn2 x 2 −kötözősaláta2 x 2 ,x∈ [ −2 π ;− π 2 ]

\sin x+\frac(((\sin )^(2))x)(2)-\frac(((\cos )^(2))x)(2),x\in \left[ -2\ szöveg( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \jobbra]

Hasznos képletek a megoldáshoz

Először is szeretném emlékeztetni, hogy minden C1-es feladat ugyanazon séma szerint történik. Először is az eredeti konstrukciót olyan kifejezéssé kell alakítani, amely szinust, koszinust vagy érintőt tartalmaz:

sinx=a

cosx=a

tgx=a

Pontosan ez a C1 feladat fő nehézsége. A helyzet az, hogy minden egyes kifejezéshez saját számítások szükségesek, amelyek segítségével a forráskódtól az ilyen egyszerű konstrukciók felé lehet lépni. Esetünkben ez a kettős szög képlet. Hadd írjam le:

cos2x= kötözősaláta2 x− bűn2 x

\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x

A mi feladatunkban azonban nincs kötözősaláta2 x((\cos )^(2))x vagy bűn2 x((\sin )^(2))x, de van bűn2 x 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) és kötözősaláta2 x 2 \frac(((\cos )^(2))x)(2).

A probléma megoldása

Mi a teendő ezekkel a számításokkal? Csaljunk egy kicsit, és vezessünk be egy új változót a képleteinkbe a kettős szög szinuszára és koszinuszára:

x= t 2

A következő konstrukciót írjuk fel szinuszos és koszinuszos:

cos2⋅ t 2=kötözősaláta2 t 2 −bűn2 t 2

\cos 2\cdot \frac(t)(2)=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2 )

Vagy más szóval:

költség = kötözősaláta2 t 2 −bűn2 t 2

\cos t=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2)

Térjünk vissza eredeti feladatunkhoz. Gyerünk bűn2 x 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) mozgasd jobbra:

sinx= kötözősaláta2 x 2 −bűn2 x 2

\sin x=\frac(((\cos )^(2))x)(2)-\frac(((\sin )^(2))x)(2)

A jobb oldalon pontosan ugyanazok a számítások láthatók, amelyeket az imént rögzítettünk. Konvertáljuk őket:

sinx=cosx

És most figyelem: egy elsőfokú homogén trigonometrikus egyenlet áll előttünk. Nézd, nincsenek olyan kifejezéseink, amelyek csak számok és igazságosak x x, csak szinuszunk és koszinuszunk van. Továbbá nincs másodfokú trigonometrikus függvényünk, minden függvény az első fokra megy. Hogyan oldják meg az ilyen terveket? Először is tegyük fel, hogy cosx=0\cos x=0.

Helyettesítsük be ezt az értéket a fő trigonometrikus azonosságba:

bűn2 x+ kötözősaláta2 x=1

((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x=1

bűn2 x+0=1

((\sin )^(2))x+0=1

sinx=±1

Ha ezeket a számokat, a 0-t és a ±1-et behelyettesítjük az eredeti konstrukcióba, a következőket kapjuk:

±1 = 0

\pm 1\text( )=\text( )0

Teljes hülyeségeket kaptunk. Feltételezésünk tehát az cosx=0\cos x=0 hibás, cosx\cos x nem lehet egyenlő 0 hüvelykkel ezt a kifejezést. Mi van ha cosx\cos x nem egyenlő 0-val, akkor osszuk el mindkét oldalt cosx\cos x:

sinxcosx=1

\frac(\sin x)(\cos x)=1

sinxcosx=tgx

\frac(\sin x)(\cos x)=tgx

tgx=1

És most megvan a forma régóta várt legegyszerűbb kifejezése tgx=a tgx=a. Remek, oldjuk meg. Ez a táblázat értéke:

x= π 4 + π n,n ˜ ∈Z

x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) n,n˜\in Z

Megtaláltuk a gyökeret, megoldottuk a feladat első részét, vagyis becsületesen kiérdemeltünk egy elsődleges pontot a kettőből.

Térjünk át a második részre: keressük meg ennek az egyenletnek az intervallumhoz, pontosabban a szegmenshez tartozó gyökereit.

[\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2 ) \jobbra]\]. Azt javaslom, mint pl utoljára ezt a kifejezést grafikusan oldja meg, azaz rajzoljon egy kört, jelölje meg benne a kezdetet, azaz a 0-t, valamint a szakasz végeit:

A szegmensen

−2 π ;− π 2

2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\pi )(2) meg kell találnia az összes értéket, amelyhez tartozik

π 4 +πn

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. És most a szórakoztató rész: tény, hogy maga a lényeg π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) nem tartozik a szegmenshez

[ −2 π ;− π 2 ] ,

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right], ez nyilvánvaló:

π 4 ∉˜ [ −2 π ;− π 2 ]

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)\notin ˜\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\text( )\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]

Már csak azért is, mert ennek a szegmensnek mindkét vége negatív, és a szám π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) pozitív, de másrészt az űrlap néhány értéke

π 4 +πn

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n továbbra is a mi szegmensünkhöz tartozik . Szóval hogyan emeled ki őket? Nagyon egyszerű: vegyük a szegmens végét

−2π

2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) és add hozzá π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)), azaz minden ugyanúgy történik, mintha nem 0-ról kezdenénk a jelentést, hanem −2π-2\text( )\!\!\pi\!\!\text() és megvan az első pont:

x=−2 π + π 4 =−7π 4

x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)=- \frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Most a második szám:

x=−2 π + π 4 + π =− 3π 4

x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4) ))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Ez a második jelentés. Nincsenek más gyökerek, mert mi magunk, amikor megjelöltük őket, és amikor megjelöltük a korlátunk szegmensét, felfedeztük, hogy ezen a szegmensen belül csak két típus létezik: π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) és π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ). Ezek a pontok mi és a miénk. Kiírjuk a választ:

−7π 4 ;−3π 4

-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4);-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)

Egy ilyen döntésért kettőt kap elsődleges pontszámok két lehetséges közül.

Amit emlékezned kell a helyes döntéshez

Még egyszer a legfontosabb követendő lépések. Először is ismernie kell a szinusz vagy koszinusz kettős szögének számításait, különösen a mi feladatunkban a kettős szög koszinuszát. Ezenkívül a használata után meg kell oldania a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet. A megoldás meglehetősen egyszerű, de ezt meg kell írni és ellenőrizni kell cosx\cos x a mi konstrukciónkban nem egyenlő 0-val. A trigonometrikus egyenlet után egy elemi kifejezést kapunk, esetünkben ez tgx=1 tgx=1, ami könnyen megoldható szabványos képletek 9-10 évfolyam óta ismert. Így megoldjuk a példát, és megkapjuk a választ a feladat első részére - az összes gyökér halmazára. A mi esetünkben az

π 4 + π n,n∈Z

\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n, n\in ˜Z. Ezután már csak a szegmenshez tartozó gyökerek kiválasztása marad hátra

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \jobbra]. Ehhez ismét rajzolunk trigonometrikus kör, jelöljük meg rajta a gyökereinket és a szegmensünket, majd számoljuk a végétől ugyanezt π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) és π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ), amelyeket a jelölés során kaptunk a forma összes gyökere π 4 +πn\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. Egy egyszerű számítás után két konkrét gyökeret kaptunk, nevezetesen

−7π 4

-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) és

−3π 4

-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4), amelyek a válasz a feladat második részére, vagyis a szegmenshez tartozó gyökökre

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \jobbra].

Kulcspontok

Az ilyen típusú C1-problémák egyszerű megbirkózása érdekében emlékezzen két alapvető képletre:

1. Kettős szög szinusza:

   sin2 α =2sin α cos α

   \sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\sin \text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\cos \text( )\ !\!\alpha\!\!\text( ) - a szinuszokra vonatkozó képlet mindig ebben a formában működik;

2. Kettős szög koszinusza: cos2 α =co s2 α−si n2 α \cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( =)co(s)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) -si((n)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) - és itt vannak lehetséges opciók.

Az első egyértelmű. De milyen lehetőségek lehetségesek a második esetben? A helyzet az, hogy a kettős szög koszinusza különböző módon írható fel:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α

\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-1=1-2\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )

Ezek az egyenlőségek az alapvető trigonometrikus azonosságból következnek. Nos, melyik egyenlőséget válasszuk a megoldáskor konkrét példa C1? Egyszerű: ha azt tervezi, hogy a szerkezetet szinuszokra redukálja, akkor válassza az utolsó bővítést, amely csak

sin2 α

\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ). Ellenkező esetben, ha a teljes kifejezést koszinuszokkal kívánja kezelni, válassza a második lehetőséget – azt, ahol a koszinusz az egyetlen trigonometrikus függvény.