A vektorok összeadásának, kivonásának, szorzásának és osztásának képletei. A vektorösszeadás és szorzás tulajdonságai

Ebben a cikkben a vektorokkal a síkon és a térben végrehajtható műveleteket nézzük meg. Ezután felsoroljuk a vektorokon végzett műveletek tulajdonságait, és geometriai konstrukciókkal indokoljuk azokat. Megmutatjuk továbbá a vektorokon végzett műveletek tulajdonságainak használatát a vektorokat tartalmazó kifejezések egyszerűsítésekor.

Az anyag jobb asszimilációja érdekében javasoljuk, hogy frissítse az emlékezetét a cikkben szereplő fogalmakról, vektorokról - alapvető definíciókról.

Oldalnavigáció.

Két vektor összeadásának művelete a háromszög szabály.

Mutatjuk, hogyan történik két vektor összeadása.

A vektorok összeadása a következőképpen történik: egy tetszőleges A pontból egy egyenlő vektort rakunk le, majd a B pontból egy egyenlő vektort rakunk le, és a vektor vektorok összege és. Ezt a két vektor összeadásának módszerét ún háromszög szabály.

Illusztráljuk az összeadást kollineáris vektorok a síkon a háromszögszabály szerint.

Az alábbi rajz pedig az együtt irányított és ellentétes irányú vektorok összeadását mutatja.

Több vektor összeadása - sokszög szabály.

Két vektor összeadásának megfontolt művelete alapján három vagy több vektort is összeadhatunk. Ebben az esetben az első két vektort összeadjuk, a harmadik vektort hozzáadjuk a kapott eredményhez, a negyediket hozzáadjuk a kapott eredményhez, és így tovább.

Több vektor összeadása történik építkezést követően. Egy sík vagy tér tetszőleges A pontjából az első taggal egyenlő vektort ábrázolunk, a végétől egy vektort ábrázolunk egyenlő a másodikkal kifejezés, a végétől egy harmadik tag hozzáadódik, és így tovább. Legyen B pont az utolsó halasztott vektor vége. Ezen vektorok összege lesz a vektor.

Több vektor összeadása egy síkon ilyen módon ún sokszög szabály. Íme a sokszögszabály illusztrációja.

Több térbeli vektor összeadása pontosan ugyanúgy történik.

Egy vektor számmal való szorzásának művelete.

Most nézzük meg, hogyan történik vektort megszorozunk egy számmal.

Egy vektort megszorozunk a k számmal a vektor k-szoros nyújtásának felel meg, ha k > 1, vagy a tömörítésnek 0-szoros szorzóval< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и tetszőleges szám van egy nulla vektor.

Például, amikor egy vektort megszorozunk a 2-vel, meg kell duplázni a hosszát és meg kell tartani ugyanazt az irányt, ha pedig egy vektort mínusz egyharmaddal szorozunk, akkor a hosszát háromszor kell csökkenteni, és az irányt fordítani. Az egyértelműség kedvéért adjunk egy illusztrációt erre az esetre.

A vektorokon végzett műveletek tulajdonságai.

Tehát definiáltuk a vektorok összeadásának és a vektorok számmal való szorzásának műveletét. Sőt, bármilyen vektor és tetszőleges valós számok lehetséges használata geometriai konstrukciók indokolja a következőket vektorokon végzett műveletek tulajdonságai. Némelyikük nyilvánvaló.

A figyelembe vett tulajdonságok lehetőséget adnak vektorkifejezések transzformációjára.

A vektorösszeadás művelet kommutatív és asszociatív tulajdonságai lehetővé teszik, hogy tetszőleges sorrendben adjon hozzá vektorokat.

A vektorok kivonásának mint olyannak nincs művelete, mivel a vektorok különbsége a vektorok és a vektorok összege.

A vektorokon végzett műveletek figyelembe vett tulajdonságait figyelembe véve az összegeket, vektorkülönbségeket és vektorok számokkal való szorzatait tartalmazó kifejezésekben ugyanúgy tudunk transzformációt végrehajtani, mint a numerikus kifejezésekben.

Nézzük meg egy példával.

Meghatározás

A vektorok összeadása a szerint történik háromszög szabály.

Összeg két vektor ilyen harmadik vektornak neveznek, amelynek az eleje egybeesik az elejével, a vége pedig a végével, feltéve, hogy a vektor vége és a vektor eleje egybeesik (1. ábra).

A kiegészítéshez vektorok A paralelogramma szabály is érvényes.

Meghatározás

Paralelogramma szabály- ha két nem kollineáris vektor és vezet általános kezdet, akkor a vektor egybeesik a vektorokra épített paralelogramma átlójával (2. ábra). Ráadásul a vektor eleje egybeesik az adott vektorok kezdetével.

Meghatározás

A vektort ún ellentétes vektor a vektorhoz, ha az kollineáris vektor, hossza egyenlő vele, de a vektorral ellentétes irányban.

A vektorösszeadás művelet a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Meghatározás

Különbség szerint vektorok vektornak nevezzük úgy, hogy a feltétel teljesül: (3. ábra).

Egy vektor szorzata egy számmal

Meghatározás

A munka vektor számonként olyan vektor, amely megfelel a feltételeknek:

Egy vektor számmal való szorzásának tulajdonságai:

Itt és tetszőleges vektorok, és tetszőleges számok.

Euklideszi tér(Is Euklideszi tér) - eredeti értelemben az a tér, amelynek tulajdonságai le vannak írva axiómák Euklideszi geometria. Ebben az esetben feltételezzük, hogy a tér rendelkezik dimenzió egyenlő 3-mal.

A mai értelemben, általánosabb értelemben jelentheti a hasonló és szorosan összefüggő objektumok valamelyikét: véges-dimenziós igazi vektor tér pozitív határozottsággal bevezetve rajta skaláris szorzat, vagy metrikus tér, amely egy ilyen vektortérnek felel meg. Ebben a cikkben az első meghatározást tekintjük kiindulópontnak.

A dimenziós euklideszi teret is gyakran jelölik a jelöléssel (ha a szövegkörnyezetből világosan látszik, hogy a tér euklideszi szerkezetű).

Az euklideszi tér meghatározásához a legegyszerűbb alapfogalomnak tekinteni pont termék. Az euklideszi vektorteret a következőképpen határozzuk meg véges-dimenziós vektor tér felett mező valós számok, amelynek vektoraira adott valós értékű függvény a következő három tulajdonsággal rendelkezik:

Affin tér egy ilyen vektortérnek megfelelő euklideszi affin térnek, vagy egyszerűen euklideszi térnek nevezzük. .

Az euklideszi tér egyik példája az összes lehetséges koordinátatér n-ok valós számok, amelyekben a skaláris szorzatot a képlet határozza meg

Alap- és vektorkoordináták

Alap (ógörögβασις, alap) - ilyen halmaza vektorok V vektor tér, hogy ennek a térnek bármely vektora egyedileg ábrázolható a formában lineáris kombináció vektorok ebből a halmazból - bázisvektorok.

Abban az esetben, ha az alap végtelen, a „lineáris kombináció” fogalma pontosítást igényel. Ez a meghatározás két fő típusához vezet:

Hamel alapon, amelynek definíciója csak véges lineáris kombinációkat vesz figyelembe.

A Hamel-alapot főleg az absztrakt algebrában (különösen a lineáris algebrában) használják. Schauder alapon , amelynek definíciója végtelen lineáris kombinációkat is figyelembe vesz, nevezetesen a bennük való bővítést rangok . Ezt a definíciót főként a funkcionális elemzés,

, különösen azért

Hilbert tér A véges dimenziós terekben mindkét típusú bázis egybeesik. lineáris kombináció Vektor koordináták vektorok— az egyetlen lehetséges együtthatói alapvető a kiválasztottban

koordinátarendszer

, egyenlő ezzel a vektorral.

hol vannak a vektor koordinátái. Pontos termék. műtét kettőn vektorok, melynek eredménye az szám[ha vektorokat veszünk figyelembe, gyakran hívnak számokat skalárok], a koordinátarendszertől független és a faktorvektorok hosszát jellemzi és sarok közöttük. Ez a művelet a szorzásnak felel meg hossz vektor x közöttük. Ez a művelet a szorzásnak felel meg -on vetítés hossz y vektorhoz. Ezt a műveletet általában úgy tekintik kommutatívÉs

lineáris két vektor egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével:

vektoros alkotás

Ez pszeudovektor, függőleges sík két tényezőből épül fel, ami az eredmény bináris művelet"vektor szorzás" vége Pontos termék. három dimenzióban Euklideszi tér. A keresztterméknek nincsenek tulajdonságai kommutativitás. Ezt a műveletet általában úgy tekintik asszociativitás(az antikommutatív) és ezzel ellentétben vektorok skaláris szorzata, egy vektor. Széles körben használják számos mérnöki és fizikai alkalmazásban. Például, szögimpulzus. Ezt a műveletet általában úgy tekintik Lorentz erő matematikailag vektorszorzatként írva. A keresztszorzat hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának modulusa egyenlő a modulusuk szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy antiparallelek.

vektoros alkotás segítségével két vektor számítható ki döntő mátrixok

Vegyes darab

Vegyes termék vektorok -pont termék vektor-on vektor termék vektorokÉs:

Néha úgy hívják háromszoros skalárszorzat vektorok, nyilván annak a ténynek köszönhető, hogy az eredmény skalár(pontosabban - pszeudoszkaláris).

Geometriai jelentése: Modul vegyes termék számszerűen megegyezik a hangerővel paralelepipedon, művelt Pontos termék. .vegyes munka három vektor található a determinánson keresztül

Repülő az űrben

Repülőgép - algebrai felület első sorrend: be Derékszögű koordinátarendszer sík megadható egyenlet első fokozat.

A sík néhány jellemző tulajdonsága

repülőgép - felület, amely teljesen mindegyiket tartalmazza közvetlen, összekötve bármelyiket pontokat;

A két sík vagy párhuzamos, vagy egyenes vonalban metszi egymást.

Az egyenes vagy párhuzamos a síkkal, vagy egy pontban metszi azt, vagy a síkon van.

Két, ugyanarra a síkra merőleges egyenes párhuzamos egymással.

Két, ugyanarra az egyenesre merőleges sík párhuzamos egymással.

Hasonlóképpen szegmens. Ezt a műveletet általában úgy tekintik intervallum, a szélső pontokat nem tartalmazó síkot intervallumsíknak, vagy nyitott síknak nevezhetjük.

A sík általános egyenlete (teljes).

ahol és konstansok, ugyanakkor nem egyenlők nullával; V vektor forma:

ahol a pont sugárvektora, vektor merőleges a síkra (normálvektor). Útmutatókkoszinuszokat vektor:

A gimnáziumi matematika és fizika tanítása során középiskola, valamint magasabb oktatási intézményekben folyamatosan foglalkozni kell vele vektor fogalma. A tanulóknak és hallgatóknak a legegyszerűbb dolgokat is meg kell tudniuk csinálni vektorokkal aritmetikai műveletek.

Ez a cikk bemutatja, hogyan szorozhatja meg ezeket állandó számokkal.

Alapfogalmak és definíciók

A cikkel végzett munka további egyszerűsítése érdekében bevezetünk néhány megfogalmazást és megállapodást:

1. Állandó- bármilyen rendes szám, amely bizonyos rögzített értékeket vehet fel, lehet pozitív, negatív vagy nulla. kijelöljük latin betű C (tól görög szó konstans, azaz állandó).
2. Vektor- egy egyenes szakasza, amelyet két pont határol és adott irányú. Jelöljük (AB)-ként. Ráadásul az A pont a kezdete, B a vége. Figyelembe vesszük az A ponttól a B pontig tartó irányt. Cseréje (CD) elfogadható.
3. A vektorokat párhuzamosnak nevezzük(kollineáris), ha kollineáris vonalakon vagy ugyanazon a vonalon fekszenek.
4. Nulla vektor Olyannak nevezzük, amelynek vége és kezdete egybeesik. Ezt nullvektornak nevezzük, és (0) jelöljük.
5. Koordináták(AB) olyan számok, amelyek egyenlőek a mértékével az egyes koordinátatengelyekhez képest Descartes-rendszer. Úgy találjuk meg, hogy kivonjuk a kezdetének koordinátáit a végvektor koordinátáiból. A szám előtti mínusz jel azt jelenti, hogy a vektor ennek a tengelynek az iránya ellen irányul.
6. Modul(AB) az AB szakasz hossza.
7. Négyzetgyök közül vagy olyan kifejezések, amelyeket a latin SQRT betűkombinációval jelölünk.
8. Az (AB) koordinátákkal (x; y; z) az (AB) (x; y; z) lesz.

Nézzük meg, hogyan szorozhatunk meg egy vektort egy számmal:

A cselekvés algebrai és geometriai jelentése

Bármilyen matematikai művelet van egy bizonyos jelentése, és különbözik a különböző tudományokban. Nézzük meg, mit ad nekünk ez a fajta szorzás:

1. Geometriai jelentés : (AB)*C az adotthoz képest kollineáris vektor, melynek modulja C-szorosan különbözik az eredetitől, az irány az állandó előjelétől függően egybeeshet vagy az ellenkezőjére változhat.
2. Algebrai jelentés: (AB) (x; y; z)*C egy új (A1B1), amelynek koordinátái egyenlőek (C*x; C*y; C*z).
3. Fizikai jelentés : a testre ható erő C-szeresére csökkentése vagy növelése ill anyagi pont.

Szorzóképletek

A szorzásnál a legegyszerűbb az előre megjegyzett képletek használata, amelyek sablon szerint alkalmazhatók, szó szerint teljesen automatikusan végrehajtva a műveleteket:

• C*(AB) (x; y; z) = (A1B1) (C*x; C*y; C*z).
• 0*(AB) = (0).

Kezdésnek vegyük fizikai probléma az erő hatása egy anyagi pontra. Hadd hatjon rá az (AB) (57;63;28) által leírt erő. Hogyan változik ez az erő koordinátáiban, ha tízszeresére nő?

Először is meg kell jegyezni, hogy az erő iránya nem változik, de maga az erő tízszeresére nő. A koordináták megadásakor a következőket kapjuk:

10*(AB) (57;63;28) = (A1B1) (10*57;10*63;10*28) = (A1B1) (570;630;280).

Vegyünk egy hasonló második problémát: hogyan fog hatni az erő anyagi test, amelyet (AB) (46;59;-43) ír le -0,5-szeres növekedésével.

Először is megjegyezzük, hogy az állandó előjele negatív, ezért maga az erő iránya az ellenkezőjére változik. Használjuk a fenti szorzási szabályok 2. pontját, akkor azonnal kiderül, hogy az erő számszerű kifejezése megfeleződik. Végezzünk számításokat a sablon segítségével:

0,5*(AB) (46;59;-43) = (A1B1) (-0,5*46;-0,5*59;-0,5*(-43)) = (A1B1) (-23;-29,5;21,5).

Megjegyzendő, hogy a fenti problémákat térben elhelyezkedő, három koordinátájú vektorokra oldottuk meg. Síkbeli elhelyezés esetén a koordináták száma kettőre, lineáris elhelyezés esetén pedig egyre csökken. Mérlegeljük matematikai példák ezekre az esetekre:

• 33*(CD) (11;10) = (C1D1) (33*11;33*10) = (C1D1) (363;330).
• -0,2*(AB) (-0,3;25) = (A1B1) (-0,2*(-0,3); -0,2*25) = (A1B1) (0,06; -5).
• 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
• 0*(AB) (65;-87) = (0).

Lehetséges műveletek vektorokkal

Nem szabad azt gondolnia, hogy minden lehetséges művelet egy számmal való szorzásra korlátozódik. Először is meghatározhatja a hosszt (AB) - a modult. Ez egyenlő lesz a SQRT-vel a koordináták négyzeteinek összegéből. Magyarázzuk meg ezt egy példával:

• modul (AB) (3;4) = SQRT (3 2 + 4 2) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.

Ráadásul a tanfolyamból iskolai matematikaés a fizikusok tudják, hogy a vektorok összeadhatók és kivonhatók egymástól. Ebben az esetben a megfelelő koordinátákat összeadjuk és kivonjuk.

Végül, felsőbb matematika bemutatja a numerikus (skaláris) és vektor szorzás két vektor. Az első esetben egy bizonyos számot kapunk, a másodikban egy harmadik vektort, amely merőleges az első kettőt tartalmazó síkra.

Ez a cikk bemutatja a vektorok számmal való szorzásának alapjait. Anyaga alapján elmondható, hogy ez a művelet egyszerű, és minden kielégítő tanulmányi teljesítménnyel rendelkező hallgató számára elérhető. Javasoljuk, hogy tanulmányozza a képleteket, és a számítások során a szövegben vázolt sablon szerint járjon el.

Vegyük észre, hogy az évszázadok összetétele anális-o-gic-párti, de pla-ni-metrika, csak minden cselekvés félig térben van.

Tehát tegyünk fel két szabad évszázadot a térben (1. ábra):

Rizs. 1. Pro-of-szabad évszázadok az űrben

Határozzuk meg, minek nevezzük ennek a két évszázadnak az összegét.

Ugyanúgy, mint a pla-ni-metriában, bármely kényelmes pontról, nevezzük A pontnak, egyetlen módon élhetsz egy évszázados tórusz, egyenértékű századtól-ru-ig. Emlékeztessünk arra, hogy az adott vektorok, mint bármely más, szabadok, csak az irány és a hosszúság a fontos, maga a vektor változtatható ral-lel-de átvihető bárhová a síkon és a térben egyaránt. Tehát megkaptuk a vektort - az évszázad akciója következtében az A pont B pontba került. Most a pontból A de-cla-dy-va-emben, az egyetlen lehetséges módon, a vektor-tor, a-lu-cha-em vektor-torban - tehát az évszázad eredmény-ta-te akciójában a B pont a C pontba került. Ennek eredményeként az A pont a C pontba, fél-chen vektorba került, ami sum-én századom-árok-nak nevezik (2. ábra).

Rizs. 2. Két évszázad összege a térben

Tehát a háromszög megfelelő módon évszázadok kialakulásához a térben.

Jobb háromsarok

A tér bármely pontjából (A pont) az első vektorból, az első század végétől (B pont) az első vektorból megesszük a második vektort és megkapjuk a C pontot. Az első századot egyesítő vektor (A pont) és a második vége (C pont), és ez lesz re-zul-ti-ru-yu-y.

Megjegyezzük, hogy az évszázadok kompozíciójának eredménye nem függ a kiindulópont megválasztásától, a theo-re-ma válaszul együttélés van, ami azon alapul, hogy egy pontból lehet élni. örökre -tor, egyenlő az adottval, az egyetlen módon.

Meghatározás

A két szemhéj közötti különbség egy ilyen harmadik szemhéjat igényel, amely a második szemhéjjal, a rummal összetett, az első vektort adja.

Vezessük be a különbséget a vektorok és a között, ehhez adjuk hozzá a vektort a pro-false vektorral:

Tehát a tetszőleges A pontból kapunk egy vektort, kapunk egy B pontot. Hogy egy vektort kapjunk, építünk egy vektortóruszt, amely megegyezik a század hosszúságával, de pro-ti-a-jobbra. A B pontból származó vektor a D pontból származik. A vektor a kívánt méretű lesz.

Pro-il-lu-stri-ru-em (3. ábra):

Rizs. 3. Két évszázad számítása a térben

Építse fel őket az adott szemhéjra és par-ral-le-lo-gramra (4. ábra):

Rizs. 4. Par-ral-le-lo-gram két megadott szemhéjon

Mert vektor ; hasonló .

A szabály szerint háromsarok:

Tehát az egyik dia-go-na-lei pa-ral-le-lo-gram-ma, két szemhéjra beépített-en-no-go, megfelel ezeknek az évszázadoknak az összegének.

Vegyük figyelembe az évszázadok közötti különbséget. A szabály szerint háromsarok:

Tehát a második dia-go-nal pa-ral-le-lo-gram-ma, amely két szemhéjra épült, a de ezeknek az évszázadoknak felel meg.

Több évszázados összetételhez és számításhoz sok szenet használnak. Évszázadokon át és:

Rizs. 5. Három évszázad az űrben

Vektort kell építeni .

Látjuk, hogy néhány évszázad előtt számos szám létezik. Emlékezzünk arra, hogy ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor egy jobb oldali társvektort kapunk, amelynek hossza a használt század hossza, megszorozva egy adott számmal. Egyre jobbak vagyunk az évszázadok során, és... A vektor a szemhéjjal jobb oldalon van, hossza háromszor hosszabb. A vektor nagyjából megfelelő, hossza kétszer akkora. Pro-il-lu-stri-ru-em (6. ábra):

Rizs. 6. Egy évszázad szorzása egy számmal

Gyerünk a komplexumhoz. A tetszőleges A pontból kapjuk a legjobb vektort - kapjuk a B pontot. B pontból megkapjuk a vektort - egy vektor-tortot - kapunk egy C pontot. A C pontból egy vektor-torból kapunk egy D pontot. A jobb oldali szerint -sok szén van, a vektort az én századomra használják:

Rizs. 7. Századok összetétele a sok szén szabálya szerint

Za-da-cha 1:

Az ABCD tet-ra-éder (ri-su-nok 8) adott. Bizonyítsuk be:

Rizs. 8. Tet-ra-éder, for-da-cha 1

Megoldás:

A szabály szerint háromsarok: