Lecke "Hogyan készítsük el az y = f(kx) függvény grafikonját, ha az y = f(x) függvény grafikonja ismert."

2. Ha 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(3.8. ábra). Így a függvény grafikonját tömörítjük vagy nyújtjuk.

y

y

0 x X 0 x X

Rizs. 3.7 ábra. 3.8

2. szabály Legyen k > 1. Ekkor az f(x) függvény grafikonjából kapjuk meg az f(kx) függvény grafikonját úgy, hogy az OX tengely mentén k-szeresre tömörítjük (más szóval: az OY tengelyre tömörítve k-szer).

Legyen 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Példák. Szerkesszünk függvénygráfokat: 1)
És
;

2)
És
.

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Rizs. 3.9 ábra. 3.10

Megjegyzés. Figyelem: pont , amely az OY tengelyen fekszik, a helyén marad. Valójában az f(x) gráf minden N(0, y) pontjához tartozik egy pont
graphicsf(kx).

Egy függvény grafikonja
a függvény grafikonjának nyújtásával kapott
az OY tengelytől 2-szeresére. Ugyanakkor ismét mutasson rá változatlan marad (3.9. ábra (3) görbe).

Függvény ábrázolása y=f(-x).

Az f(x) és f(-x) függvények egyenlő értéket vesznek fel az x argumentum ellentétes értékeire. Következésképpen grafikonjaik N(x;y) és M(-x;y) pontjai szimmetrikusak lesznek az OY tengelyre.

3. szabály. Az f(-x) grafikonjának elkészítéséhez tükröznie kell az f(x) függvény grafikonját az OY tengelyhez képest.

Példák. Grafikonfüggvények
És
.

A megoldásokat a ábra mutatja. 3.11 és 3.12.

Y
Y

Rizs. 3.11 ábra. 3.12

Függvény ábrázolása y=f(-kx), ahol k > 0.

4. szabály. Megszerkesztjük az y=f(kx) függvény grafikonját a 2. szabály szerint. Az f(kx) függvény grafikonját a szabálynak megfelelően tükrözzük az OY tengelyről.

selejt 3. Ennek eredményeként megkapjuk az f(-kx) függvény grafikonját.

Példák. Grafikonfüggvények

A megoldásokat a ábra mutatja. 3,13 és 3,14.

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Rizs. 3.13 ábra. 3.14

Függvény ábrázolása
, ahol A > 0. Ha A > 1, akkor minden értékre
ordináta adott funkciót Egyszer nagyobb, mint az f(x) főfüggvény ordinátája. Ebben az esetben az f(x) gráfot A-szor nyújtjuk az OY tengely mentén (más szóval: az OX tengelytől).

Ha 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в alkalommal az OY tengely mentén (vagy az OX tengely felől).

5. szabály. Legyen A > 1. Ekkor a függvény grafikonja
Az f(x) gráfból A-szoros nyújtással az OY tengely (vagy az OX tengely) mentén kapjuk meg.

Legyen 0< A < 1. Тогда график функции
f(x) grafikonjából kapjuk össze tömörítésével alkalommal az OY tengely mentén (vagy az OX tengelyig).

Példák. Szerkesszünk függvénygráfokat 1)
,
és 2)
,

Y
Y

1
0 p/2 p p/3 p x

Rizs. 3.15 ábra. 3.16

Függvény ábrázolása
.

Mindenkinek
az f(x) függvény N(x,y) és az -f(x) függvény M(x, -y) pontjai szimmetrikusak az OX tengelyre, így megkapjuk a szabályt.

6. szabály. Függvény ábrázolása
Kell egy ütemterv
tükör az OX tengelyhez képest.

Példák. Grafikonfüggvények
És
(3.17. és 3.18. ábra).

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Rizs. 3.17 ábra. 3.18

Függvény ábrázolása
, ahol A>0.

7. szabály. Függvény grafikonjának elkészítése
, ahol A>0, az 5. szabálynak megfelelően. A kapott grafikont a 6. szabály szerint tükrözzük az OX tengelyről.

Függvény ábrázolása
.

Ha B>0, akkor mindegyikre
az adott függvény ordinátája B egységgel nagyobb, mint f(x) ordinátája. Ha B<0, то для каждого
az első függvény ordinátája csökken a egységek az ordináta(x)-hoz képest. Így megkapjuk a szabályt.

8. szabály. Egy függvény ábrázolásához
az y=f(x) grafikon szerint ezt a grafikont az OY tengely mentén B egységgel felfelé kell mozgatni, ha B>0, vagy egységekkel lefelé, haB<0.

Példák. Készítsen függvénygráfokat: 1) és

2)
(3.19. és 3.20. ábra).

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Rizs. 3.19 ábra. 3.20

Egy függvény grafikonjának felépítésének sémája .

Mindenekelőtt a függvény egyenletét írjuk az alakba
és jelöljük
. Ezután a következő séma szerint megszerkesztjük a függvény grafikonját.

Megszerkesztjük az f(x) főfüggvény grafikonját.

Az 1. szabálynak megfelelően f(x-a) gráfot készítünk.

Az f(x-a) gráf tömörítésével vagy nyújtásával k előjelét figyelembe véve a 2-4 szabály szerint megszerkesztjük az f függvény gráfját.

Figyelem: az f(x-a) grafikon az x=a egyeneshez képest össze van nyomva vagy megnyújtva (miért?)

Figyelem: minden szerkesztési lépésnél az előző grafikon a fő függvény grafikonjaként működik.

Példa.Ábrázolja a függvényt
. Herek=-2, szóval
. Adott páratlan
, van
.

(3.21. ábra).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Rizs. 3.21 ábra. 3.22

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Rizs. 3.23 ábra. 3.24

2. feladat.

A modulusjelet tartalmazó függvények grafikonjainak ábrázolása.

Ennek a problémának a megoldása is több szakaszból áll. Ebben az esetben emlékeznie kell a modul meghatározására:

Függvény ábrázolása
.

Azoknak az értékeknek
, amihez
, lesz
. Ezért itt vannak a függvénygrafikonok
és f(x) ugyanaz. Ugyanerre
, amelyre f(x)<0, будет
. De az -f(x) gráfot az f(x) gráfból kapjuk az OX tengelyről való tükrözéssel. Megkapjuk a függvény gráfjának felépítésének szabályát
.

9. szabály. Megszerkesztjük az y=f(x) függvény grafikonját. Ezek után az f(x) gráf azon része, ahol
, hagyja változatlanul, és hagyja azt a részt, ahol f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Megjegyzés. Felhívjuk figyelmét, hogy a menetrend
mindig az OX tengelye felett fekszik vagy megérinti azt.

Példák. Grafikonfüggvények

(3.24., 3.25., 3.26. ábra).

Rizs. 3.25 ábra. 3.26

Függvény ábrázolása
.

Mert
, Azt
, vagyis adott páros funkció, melynek grafikonja szimmetrikus az OY tengelyre.

10. szabály.Ábrázoljuk az y=f(x) függvényt at
. A megszerkesztett gráfot az OY tengelyről tükrözzük. Ekkor a két kapott görbe kombinációja adja a függvény grafikonját
.

Példák. Grafikonfüggvények

(3.27., 3.28., 3.29. ábra)

I I Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Rizs. 3.27 ábra. 3.28 ábra. 3.29

Függvény ábrázolása
.

Függvény grafikonjának elkészítése
10. szabály szerint.

Függvény grafikonjának elkészítése
9. szabály szerint.

Példák. Grafikonfüggvények
És
.

A grafikon negatív része az OX tengelyről tükröződik. Menetrend
ábrán látható. 3.30.

2 0 2 x -1 0 1 x

Rizs. 3.30 Fig. 3.31

2. Készítse el a függvény grafikonját!
(3.29. ábra).

A gráf negatív részét az OX tengelyről tükrözzük. Menetrend
ábrán látható. 3.31.

A modulusjeleket tartalmazó függvény grafikonjának ábrázolásakor nagyon fontos ismerni a függvény konstans előjelének intervallumait. Ezért az egyes problémák megoldását ezen intervallumok meghatározásával kell kezdeni.

Példa.Ábrázolja a függvényt
.

A meghatározás hatálya. Az x+1 és x-1 kifejezések az x=-1 és x=1 pontokban változtatják előjelüket. Ezért a definíciós tartományt négy intervallumra osztjuk:

Figyelembe véve az x+1 és x-1 jeleket, megvan

;

Így a függvény modulusjelek nélkül is írható alábbiak szerint:

Funkciók
hiperboláknak, az y=2 függvény pedig egy egyenesnek felel meg. A további építkezés pontonként végezhető el (3.32. ábra).

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Megjegyzés. Vegye figyelembe, hogy ha x=0, a függvény nincs definiálva. Állítólag a funkció ezen a ponton megszakad. ábrán. 3.32 ezt nyilakkal jelöljük.

3. feladat. Több analitikai kifejezéssel meghatározott függvény grafikonjának ábrázolása.

Az előző példában a függvény
több elemző kifejezéssel is bemutattuk. Igen, a kettő között
a hiperbola törvénye szerint változik
; között
, kivéve x=0, ez egy lineáris függvény; között
megint hiperbolánk van
. Hasonló funkciókkal a jövőben gyakran találkozunk majd. Nézzünk egy egyszerű példát.

A vonatút az A állomástól a B állomásig három szakaszból áll. Az első szakaszban felveszi a sebességet, vagyis az intervallumban
a sebességét
, Hol
. A második szakaszban állandó sebességgel mozog, azaz v=c, ha
. Végül fékezéskor a sebessége lesz
.
Így a kettő között

a mozgás sebessége a törvény szerint változik A videó leckében bemutatott anyag a függvénygráfok különféle transzformációkkal történő szerkesztése témakör folytatása. Megnézzük, hogyan ábrázoljuk egy függvény grafikonjáty=(f kx ), ha a függvény grafikonja ismerty=(y=) x . Ebben az esetben k - bármilyen valós szám

, nem egyenlő nullával. . Ebben az esetben Először nézzük meg azt az esetet, amikor ), ha a függvény grafikonja ismerty=(3 y=) , - pozitív szám. Például készítsük el a függvény grafikonját ), ha a függvény grafikonja ismerty=ha egy függvény grafikonja(X) ), ha a függvény grafikonja ismerty=van. Az ábrán egy grafikon látható a koordinátatengelyen(X ), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása X ), ha a függvény grafikonja ismerty=(3 y=és behelyettesíti őket a függvénybe ), keresse meg a megfelelő függvényértékeket at ), ha a függvény grafikonja ismerty=(3 y=) . Így megkapjuk a függvény gráfpontjait ), ha a függvény grafikonja ismerty=(y=) A 1 és B 1, amelyek ordinátái megegyeznek az A és B pontokéval. Vagyis a függvény grafikonjából elmondhatjuk, hogy . Ebben az esetben együtthatóval való tömörítéssel A videó leckében bemutatott anyag a függvénygráfok különféle transzformációkkal történő szerkesztése témakör folytatása. Megnézzük, hogyan ábrázoljuk egy függvény grafikonjáty=(f) . Fontos megjegyezni, hogy az ordinátatengellyel való metszéspontok a tömörítés során ugyanazon a helyen maradnak.

Amennyiben . Ebben az esetben- negatív szám, függvény grafikonja A videó leckében bemutatott anyag a függvénygráfok különféle transzformációkkal történő szerkesztése témakör folytatása. Megnézzük, hogyan ábrázoljuk egy függvény grafikonjáty=(f) függvény grafikonjából konvertálva ), ha a függvény grafikonja ismerty=(y=) együtthatóval az y tengelyről nyújtva 1/ . Ebben az esetben.

1) először a függvénygráf hullámának egy részét ábrázoljuk y =bűn), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása(lásd a képet);

2) mert . Ebben az esetben= 2, a függvénygráf tömörítve van ), ha a függvény grafikonja ismertsinx az ordináta tengelyéhez képest a tömörítési arány 2. Keresse meg a tengellyel való metszéspontot y=. Mert függvény grafikonja y =bűn), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása metszi az x tengelyt a π pontban, majd a függvény grafikonját y =bűn 2), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása metszi az x tengelyt a π/k = π/2 pontban a függvény grafikonjának összes többi pontja hasonló módon található y =bűn 2xés a teljes gráf ezekből a pontokból épül fel.

Tekintsük a 2. példát - egy függvény ábrázolását y =cos(x/2).

1) építse fel az y = cos függvény hullámgráfjának egy részét ), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása(lásd a képet);

2) mert . Ebben az esetben=1/2, nyújtsuk a függvény grafikonját y =bűn), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása az ordináta tengelyétől ½ tényezővel.

Keresse meg a grafikon és a tengely metszéspontját ), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása. Mert függvény grafikonja y =kötözősaláta), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása metszi az x tengelyt a π/2 pontban, majd a függvény grafikonját y =cos(x/2) metszi az x tengelyt a π pontban. Ugyanígy megtaláljuk a függvénygráf összes többi pontját is y =cos(x/2), ezek alapján építsük fel a teljes grafikont.

Ezután fontolja meg a függvény grafikonjának megszerkesztésének lehetőségét y= y=(f), Ahol . Ebben az esetben- a szám negatív. Például mikor . Ebben az esetben= -1 függvény y= y=(f) = y=(- y=). Az ábra egy grafikont mutat ), ha a függvény grafikonja ismerty=(X), amelyeken A és B koordinátájú pontok vannak. Tetszőleges x érték kiválasztásával és behelyettesítésével a függvénybe y= y=(- y=), keresse meg a megfelelő függvényértékeket ), keresse meg a megfelelő függvényértékeket. Nézzük meg a függvény grafikonpontjait y= y=(- y=) A 1 és B 1, amely szimmetrikus lesz az A és B pontra az ordináta tengelyéhez képest. Vagyis ha szimmetriát használunk az ordinátatengely körül a függvény grafikonjából ), ha a függvény grafikonja ismerty=(f) megkapjuk a függvény grafikonját A videó leckében bemutatott anyag a függvénygráfok különféle transzformációkkal történő szerkesztése témakör folytatása. Megnézzük, hogyan ábrázoljuk egy függvény grafikonjáty=(- y=).

Térjünk át a függvény ábrázolására y= y=(f) a k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) ábrázoljuk a gráf hullámának egy részét y =bűn), amelyeken A és B koordinátájú pontok találhatók. Tetszőleges értékek kiválasztása;

2) mert . Ebben az esetben= 4, nyújtsuk meg a grafikon félhullámát az abszcissza tengelyhez képest, ahol a nyújtási tényező 4;

3) végezzen szimmetrikus transzformációt az abszcissza tengelyhez képest;

4) nyújtás az ordináta tengelyétől (nyúlási együttható 2);

5) fejezze be a teljes gráf felépítését.

Ebben az oktatóvideóban részletesen megvizsgáltuk, hogyan lehet lépésről lépésre felépíteni egy függvény grafikonját A videó leckében bemutatott anyag a függvénygráfok különféle transzformációkkal történő szerkesztése témakör folytatása. Megnézzük, hogyan ábrázoljuk egy függvény grafikonjáty=(f) különböző értékeken . Ebben az esetben.

SZÖVEGDEKÓDOLÁS:

Ma egy olyan transzformációval ismerkedünk meg, amely segít megtanulni az y = f (kx) függvény grafikonját.

(az y egyenlő a ka és x szorzatát reprezentáló argumentum eff értékével), ha az y = f (x) függvény grafikonja ismert (az y egyenlő x ef értékével), ahol ka bármely valós szám (nulla kivételével).

1) Tekintsük azt az esetet, amikor k pozitív szám egy konkrét példán keresztül, amikor k = 3. Azaz meg kell ábrázolni a függvényt

y = f (3x) (az y egyenlő három x eff-jével), ha az y = f (x) függvény grafikonja ismert. Legyen az y = f (x) függvény grafikonján egy A pont (6; 5) és B pont (-3; 2) koordinátákkal. Ez azt jelenti, hogy f (6) = 5 és f (- 3) = 2 (hat ef értéke öt, mínusz három ef értéke kettő). Kövessük ezeknek a pontoknak a mozgását az y = f (3x) függvény grafikonjának elkészítésekor.

Vegyünk egy tetszőleges értéket x = 2, számítsuk ki y-t úgy, hogy x értékét behelyettesítjük az y = f (3x) függvény grafikonjába, azt kapjuk, hogy y = 5. (a képernyőn: y = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) Azaz az y = f (3x) függvény grafikonján van egy pont, amelynek A 1 koordinátái (2; 5) vannak. Ha x = - 1, akkor az x értékét behelyettesítve az y = f (3x) függvény grafikonjába, az y = 2 értéket kapjuk.

(A képernyőn: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Vagyis az y = f (3x) függvény grafikonján van egy pont, melynek koordinátái B 1 (- 1; 2). Tehát az y = f (3x) függvény grafikonján olyan pontok vannak, amelyek ordinátája megegyezik az y = f (x) függvény grafikonjával, míg a pont abszcisszája abszolút értékben kétszer kisebb.

Ugyanez igaz lesz az y = f (x) függvény grafikonjának többi pontjára is, amikor továbblépünk az y = f (3x) függvény grafikonjára.

Az ilyen transzformációt általában az y-tengelyre (y-tengelyre) való tömörítésnek nevezik 3-as tényezővel.

Következésképpen az y = f (kx) függvény grafikonját az y = f (x) függvény grafikonjából kapjuk úgy, hogy azt k együtthatóval az y tengelyre tömörítjük. Figyeljük meg, hogy egy ilyen transzformációnál az y = f (x) függvény gráfjának az ordinátával való metszéspontja a helyén marad.

Ha k kisebb egynél, akkor nem k együtthatós összenyomásról beszélünk, hanem együtthatós y tengelyről való nyújtásról (vagyis ha k = , akkor 4-es együtthatójú nyújtásról beszélünk ).

PÉLDA 1. Szerkesszük meg az y = sin 2x függvény grafikonját (az y egyenlő két x szinuszával).

Megoldás. Először konstruáljuk meg az y = sin x gráf félhullámát a nullától piig terjedő intervallumban. Mivel az együttható kettővel egyenlő, ami azt jelenti, hogy k egynél nagyobb pozitív szám, ezért az y = sin x függvény grafikonját az ordináta tengelyére tömörítjük 2-es együtthatóval. Keressük meg az OX tengellyel való metszéspontot. . Ha az y = sin x függvény grafikonja a π pontban metszi az OX tengelyt, akkor az y = sin 2x függvény grafikonja a (π: k =π: 2 =) pontban metszi (pi osztva pivel egyenlő pi osztva kettővel egyenlő pi-vel kettővel) . Hasonló módon megtaláljuk az y = sin2 x függvény grafikonjának összes többi pontját is. Így az y = sin x függvény grafikonjának egy pontja (;1) koordinátákkal megfelel az y = sin 2x függvény grafikonjának egy pontjának, koordinátákkal (;1). Így megkapjuk az y = sin 2x függvény grafikonjának egy félhullámát. A függvény periodicitását felhasználva megszerkesztjük a teljes gráfot.

2. PÉLDA Szerkesszük meg az y = cos függvény grafikonját (az y egyenlő x és kettő hányadosának koszinuszával).

Megoldás. Először is építsük fel az y = cos x gráf félhullámát. Mivel k e egységnél kisebb pozitív szám, az y = cos x függvény grafikonját az ordinátáról 2-szeres tényezővel nyújtjuk.

Keressük meg az OX tengellyel való metszéspontot. Ha az y = cos x függvény grafikonja egy pontban metszi az OX tengelyt, akkor az y = cos függvény grafikonja a π pontban metszi egymást. (: k =π: = π). Hasonló módon az y = cos függvény grafikonján megtaláljuk az összes többi pontot is. Így megkapjuk a függvény kívánt gráfjának egy félhullámát. A függvény periodicitását felhasználva megszerkesztjük a teljes gráfot.

Tekintsük azt az esetet, amikor k egyenlő mínusz eggyel. Azaz fel kell építeni az y = f (-x) függvény grafikonját (az y egyenlő mínusz x eff-jével), ha az y = f (x) függvény grafikonja ismert. Legyen a grafikonon egy A pont koordinátákkal (4; 5) és egy B pont (-5; 1). Ez azt jelenti, hogy f(4) = 5 és f(-5) = 1.

Mivel a képletbe x = - 4 helyett y = f (-x) behelyettesítésével y = f (4) = 5-öt kapunk, így az y = f (-x) függvény grafikonján van egy koordinátákkal rendelkező pont A 1

(- 4; 5) (mínusz négy, öt). Hasonlóan, az y = f (-x) függvény grafikonja a B 1 (5; 1) ponthoz tartozik, vagyis az y = f (x) függvény grafikonja az A (4; 5) és B pontokhoz tartozik. (-5; 1), a gráf pedig az y = f (-x) függvény az A 1 (- 4; 5) és B 1 (5; 1) pontokhoz tartozik. Ezek a pontpárok szimmetrikusak az ordináta tengelyére.

Következésképpen az y = f (-x) függvény grafikonját az y = f (x) függvény grafikonjából kaphatjuk meg ordináta tengely körüli szimmetriatranszformáció segítségével.

3) Végül pedig vegyük figyelembe azt az esetet, amikor k negatív szám. Ha figyelembe vesszük, hogy az f (kx) = f (- |k|x) egyenlőség (eff ka x-szel egyenlő eff szorzatából mínusz ka és x modulusa) igazságos, akkor arról beszélünk az y = f (- |k|x) függvény gráfjának megalkotásáról, amely lépésről lépésre megszerkeszthető:

1) készítse el az y = f (x) függvény grafikonját;

2) a megszerkesztett gráfot az ordináta tengelyére szorítani vagy nyújtani |k| együtthatóval (ka modul);

3) hajtson végre szimmetria-transzformációt az y tengely körül

(Y) a grafikon második bekezdésében kapott.

3. PÉLDA Szerkesszük meg az y = 4 sin (-) függvény grafikonját (az y egyenlő négygel, megszorozva a hányados mínusz x kettővel szinuszával).

Megoldás. Először is ne feledje, hogy sin(-t) = -sint (mínusz te szinusza egyenlő mínusz te-vel), ami azt jelenti, hogy y = 4 sin (-) = -4 sin (az y egyenlő mínusz négyszeresével) a parciális x szinusza kettővel ). Lépésekben építjük meg:

1) Szerkesszük meg az у= sinх függvény grafikonjának egy félhullámát.

2) Nyújtsuk ki a megszerkesztett gráfot az x tengelytől 4-es tényezővel, és kapjuk meg a függvénygráf egy félhullámát

y = 4sinx (E négyszer az x szinusz).

3) Alkalmazza az x(x) tengelyhez viszonyított szimmetriatranszformációt az y= 4sinх függvény grafikonjának megszerkesztett félhullámára, és kapja meg az y= - 4sinx függvény grafikonjának félhullámát.

4) Az y = - 4sinх függvény grafikonjának egy félhullámát az ordináta tengelyétől 2-szeres tényezővel nyújtjuk; a függvény grafikonjának félhullámát kapjuk - 4 sin.

5) A kapott félhullám felhasználásával megszerkesztjük a teljes gráfot.

Párhuzamos átvitel.

FORDÍTÁS AZ Y TENGELY MENTÉN

f(x) => f(x) - b
Tegyük fel, hogy az y = f(x) - b függvény grafikonját szeretné felépíteni. Könnyen belátható, hogy ennek a grafikonnak az ordinátái az x összes értékére a |b|-n egységekkel kisebb, mint az y = f(x) függvénygráf megfelelő ordinátái b>0 és |b| egységgel több - b 0-nál vagy felfelé b-nél Az y + b = f(x) függvény grafikonjának ábrázolásához az y = f(x) függvényt kell ábrázolni, és az x tengelyt el kell mozgatni |b| egységgel feljebb b>0-nál vagy |b|-vel egységekkel lefelé a b-nél

ÁTVITEL AZ ABSCISS TENGELY MENTÉN

f(x) => f(x + a)
Tegyük fel, hogy az y = f(x + a) függvényt szeretnénk ábrázolni. Tekintsük az y = f(x) függvényt, amely egy bizonyos ponton x = x1 felveszi az y1 = f(x1) értéket. Nyilvánvalóan az y = f(x + a) függvény ugyanazt az értéket veszi fel az x2 pontban, amelynek koordinátáját az x2 + a = x1 egyenlőségből határozzuk meg, azaz. x2 = x1 - a, és a vizsgált egyenlőség a függvény definíciós tartományából származó összes érték összességére érvényes. Ezért az y = f(x + a) függvény grafikonját úgy kaphatjuk meg, hogy az y = f(x) függvény grafikonját az x tengely mentén balra |a| egységek a > 0 vagy jobbra |a|-val mértékegységei a függvényhez Az y = f(x + a) függvény grafikonjának elkészítéséhez meg kell alkotnia az y = f(x) függvény grafikonját, és el kell mozgatnia az ordináta tengelyét |a| egységgel jobbra, ha a>0 vagy |a|-val egységekkel balra az a

Példák:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Visszaverődés.

AZ Y = F(-X) FORMA FUNKCIÓJÁNAK GRAFONJÁNAK KÉSZÍTÉSE

f(x) => f(-x)
Nyilvánvaló, hogy az y = f(-x) és y = f(x) függvények egyenlő értéket vesznek fel azokban a pontokban, amelyek abszcisszán egyenlők abszolút érték, de ellentétes előjelben. Más szóval, az y = f(-x) függvény grafikonjának ordinátái az x pozitív (negatív) értékeinek tartományában megegyeznek az y = f(x) függvény grafikonjának ordinátáival. x megfelelő negatív (pozitív) értékeire abszolút értékben. Így a következő szabályt kapjuk.
Az y = f(-x) függvény ábrázolásához az y = f(x) függvényt kell ábrázolni, és tükrözni kell az ordinátához képest. Az eredményül kapott gráf az y = f(-x) függvény grafikonja

AZ Y = - F(X) FORMA FUNKCIÓJÁNAK GRÁFIJÁNAK KÉSZÍTÉSE

f(x) => - f(x)
Az y = - f(x) függvény grafikonjának ordinátái az argumentum összes értékére abszolút értékben egyenlőek, de előjelben ellentétesek az y = f(x) függvény grafikonjának ordinátáival az érvelés azonos értékei. Így a következő szabályt kapjuk.
Az y = - f(x) függvény grafikonjának ábrázolásához az y = f(x) függvény grafikonját kell ábrázolnia, és tükröznie kell az x tengelyhez képest.

Példák:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformáció.

GRAFIK DEFORMÁCIÓ AZ Y TENGELY MENTÉN

f(x) => k f(x)
Tekintsünk egy y = k f(x) alakú függvényt, ahol k > 0. Könnyen belátható, hogy mikor egyenlő értékeket argumentum, ennek a függvénynek a grafikonjának ordinátái k-szor nagyobbak lesznek, mint az y = f(x) függvény grafikonjának ordinátái, ha k > 1 vagy 1/k-szor kisebbek, mint az y függvény grafikonjának ordinátái. = f(x) k-ra Az y = k f(x) függvény grafikonjának ábrázolásához meg kell szerkesztenie az y = f(x) függvény grafikonját, és k-szor kell növelnie az ordinátáit k > 1 esetén (nyújtani a grafikont végig az ordinátatengely) vagy csökkentse k ordinátáit 1/k-szeresére
k > 1- az Ökör tengelyétől húzódó
0 - kompresszió az OX tengelyhez

GRAFIK DEFORMÁCIÓ AZ ABSCISS TENGELY MENTÉN

f(x) => f(k x)
Legyen szükséges az y = f(kx) függvény gráfjának elkészítése, ahol k>0. Tekintsük az y = f(x) függvényt, amely egy tetszőleges x = x1 pontban felveszi az y1 = f(x1) értéket. Nyilvánvaló, hogy az y = f(kx) függvény ugyanazt az értéket veszi fel az x = x2 pontban, amelynek koordinátáját az x1 = kx2 egyenlőség határozza meg, és ez az egyenlőség az összes érték összességére érvényes. x a függvény definíciós tartományából. Következésképpen az y = f(kx) függvény grafikonja az y = f(x) függvény grafikonjához képest az abszcissza tengely mentén tömörítettnek bizonyul (k 1 esetén). Így megkapjuk a szabályt.
Az y = f(kx) függvény grafikonjának elkészítéséhez meg kell alkotnia az y = f(x) függvény grafikonját, és k-szor kell csökkentenie az abszcisszákat k>1 esetén (a grafikont az abszcissza tengelye mentén tömöríteni) vagy növelni abszcisszái 1/k-szeresével k-ra
k > 1- összenyomás az Oy tengelyre
0 - az OY tengelytől nyúlik

>> Hogyan készítsük el az y = f(kx) függvény grafikonját, ha a függvény grafikonja ismert

13. §. Hogyan ábrázoljuk az y = f(kx) függvényt, ha a függvény grafikonja ismert

Ebben a részben egy másik transzformációval ismerkedünk meg, amely lehetővé teszi, tudva menetrend Az y = f(x) függvény segítségével meglehetősen gyorsan készítsük el az y = f(Ax) függvény grafikonját, ahol k bármely valós szám (nulla kivételével). Nézzünk meg több esetet.

1. feladat. Az y = f(x) függvény grafikonjának ismeretében készítsük el az y - f(kx) függvény grafikonját, ahol k egy pozitív szám.
Hogy könnyebben megértse a dolog lényegét, fontolja meg konkrét példa, amikor k =2. Hogyan készítsük el az y = f(2x) függvény gráfját, ha az y = f(x) függvény gráfja ismert?

Legyen az y = f(x) függvény grafikonjának (4; 7) és (-2; 3) pontja. Ez azt jelenti, hogy f(4) = 7 és f(-2) = 3. Merre mozognak a pontok, ha az y = f(2x) függvényt ábrázoljuk? Nézze meg (50. ábra): ha x = 2, akkor y = f(2x) = f(2 2) = f(4) = 7. Ez azt jelenti, hogy az y = f(2x) függvény grafikonján van egy pont (2; 7 ). Továbbá, ha x = -1, akkor y = f(2x) = D-1-2) = f(-2) = 3. Ez azt jelenti, hogy az y = f(2x) függvény grafikonján van egy pont (-1; 3) . Tehát az y = f(x) függvény grafikonján (4; 7) és (-2; 3) pontok, az y = f(2x) függvény grafikonján pedig (2; 7) pontok találhatók. ) és (- 1; 3) , azaz. pontok azonos ordinátával.

de kétszer olyan kicsi (abszolút értékben), mint az abszcissza. Ugyanez igaz az y = f(x) függvény grafikonjának más pontjaira is, amikor továbblépünk az y = f(2x) függvény grafikonjára (51. ábra). Ezt a transzformációt általában az y tengelyre való tömörítésnek nevezik 1 2 együtthatóval.

Általánosságban az y = f(kx) függvény grafikonját az y-f(x) függvény grafikonjából kapjuk meg az y tengelyre való tömörítéssel, k együtthatóval az y = f(x) függvény helyén marad az y tengelyen (ha x = 0, akkor kx = 0).

Ha azonban< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

1. példa Függvénygrafikonok készítése:

Megoldás: a) Szerkesszük meg az y = sin x függvény félhullám gráfját, és nyújtsuk ki az y tengelytől 2-szeres tényezővel; megkapjuk a függvény kívánt grafikonjának egy félhullámát (52. ábra). Ezután megépítjük a teljes gráfot (53. ábra).

b) Szerkesszük meg az y = cos x függvény félhullám gráfját, és tömörítsük az y tengelyre 2-es tényezővel; megkapjuk az y=cos 2x függvény kívánt gráfjának egy félhullámát (54. ábra). Ezután megépítjük a teljes gráfot (55. ábra).

2. feladat. Az y = f(x) függvény grafikonjának ismeretében készítsük el az y = f(kx) függvény gráfját, ahol k = -1. Más szóval, az y = f(-x) függvény gráfjának megalkotásáról beszélünk.

Tegyük fel, hogy az y = f(x) függvény grafikonján vannak (3; 5) és (-6; 1) pontok. Ez azt jelenti, hogy f(3) = 5, és f(-6) = 1. Ennek megfelelően az y = f(-x) függvény grafikonján van egy pont (-3; 5), mivel behelyettesítéskor képlet y = f(-x) értékeket x = -3 kapunk y = f(3) = 5. Hasonlóképpen meg vagyunk győződve arról, hogy az y = f(-x) függvény grafikonja a (6; 1) ponthoz tartozik. ).

Tehát az y = f(x) függvény gráfjához tartozó (3; 5) pont megfelel az y = f(-x) függvény gráfjához tartozó (-3; 5) pontnak; az y = f(x) függvény grafikonjához tartozó (-6; 1) pont megfelel az y = f(-x) függvény grafikonjához tartozó (6; 1) pontnak. Ezek a pontpárok szimmetrikusak az y tengelyre (56. ábra).

Összefoglalva ezeket az érveket, eljutunk a a következő következtetésre: az y = f(-x) függvény grafikonját az "y = f(x) függvény grafikonjából kaphatjuk meg az y tengely körüli szimmetriatranszformáció segítségével.

Megjegyzés. Az y = f(x) függvény ábrázolásakor általában először ellenőrizzük, hogy az y = f(x) függvény páros vagy páratlan. Ha y = f(x) páros függvény, azaz. f(-x)= f(x), akkor az y = f(-x) függvény grafikonja egybeesik az y = f(x) függvény grafikonjával. Ha y = f(x) - páratlan függvény, azaz f(-x) = -f(x), akkor az y = f(-x) függvény grafikonja helyett az y = -f(x) függvény grafikonját is megszerkeszthetjük.

3. feladat. Az y = f(x) függvény grafikonjának ismeretében alkossuk meg az y = f(kx) függvény gráfját, ahol k negatív szám.
Mivel ebben az esetben az f(kx) = f(-\k\x) egyenlőség igaz, akkor az y = f(-\k\x) függvény gráfjának megalkotásáról beszélünk. Ezt három lépésben lehet megtenni:

1) készítse el az y = f (x) függvény grafikonját;
2) hajtsa végre az összenyomását (vagy nyújtását) az y tengely felé | együtthatóval hogy |;
3) a tömörített (vagy nyújtott) gráfot az y tengely körüli szimmetriatranszformációnak vetjük alá.

2. példa Szerkesszük meg az y = -3 cos (~2x) függvény grafikonját!

Megoldás. Először is vegye figyelembe, hogy cos (-2x) = cos2x.
1) Szerkesszük meg az y = cosx függvény gráfját, pontosabban a gráf egy félhullámát (57a. ábra. Minden előzetes konstrukciót pontozott vonal jelzi).
2) Nyújtsuk ki a megszerkesztett gráfot az x tengelytől 3-as tényezővel; az y=3cos x függvény grafikonjának egy félhullámát kapjuk.
3) Vegyük alá az y = 3 cos x függvény gráfjának megszerkesztett félhullámát az x tengely körüli szimmetriatranszformációnak; az y = -Зсоs x függvény grafikonjának félhullámát kapjuk.
4) Az y = -3cos x függvény grafikonjának félhullámához tömörítsük az y tengelyre 2-es tényezővel; megkapjuk az y = -Зсоs2х függvény grafikonjának félhullámát (folytonos vonal az 57a. ábrán).
5) A kapott félhullám felhasználásával megszerkesztjük a teljes gráfot (576. ábra).

A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály

Naptári tematikus tervezés matematikában, videó matematikából online, Matematika az iskolában letöltés

Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat vitatott kérdések szónoki kérdéseket diákoktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsiskodóknak bölcsők tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre módszertani ajánlások vitaprogramok Integrált leckék

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete