Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për katërkëndëshin e rrethuar. Katërkëndëshi i brendashkruar dhe vetitë e tij

Një rreth quhet i brendashkruar në një katërkëndësh nëse të gjitha anët e katërkëndëshit janë tangjente me rrethin.

Qendra e këtij rrethi është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të këndeve të katërkëndëshit. Në këtë rast, rrezet e tërhequra në pikat tangjente janë pingul me anët e katërkëndëshit

Një rreth thuhet se është i rrethuar rreth një katërkëndëshi nëse ai kalon nëpër të gjitha kulmet e tij.

Qendra e këtij rrethi është pika e kryqëzimit perpendikularët e mesit në anët e katërkëndëshit

Jo çdo katërkëndësh mund të brendashkruhet në një rreth, dhe jo çdo katërkëndësh mund të rrethohet nga një rreth.

VETITË E KATERKËNDËSHVE TË FRYMËZUARA DHE TË PAJTUR

TEOREMA Në një katërkëndësh të brendashkruar konveks, shumat qoshet e kundërta janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me 180°.

TEOREMA Në anën tjetër, nëse shumat e këndeve të kundërta në një katërkëndësh janë të barabarta, atëherë rreth katërkëndëshit mund të rrethohet rrethi. Qendra e saj është pika e kryqëzimit të pinguleve mediale me anët.

TEOREMA Nëse një rreth është i brendashkruar në një katërkëndësh, atëherë shumat e brinjëve të kundërta të tij janë të barabarta.

TEOREMA Në anën tjetër, nëse shumat e brinjëve të kundërta në një katërkëndësh janë të barabarta, atëherë në të mund të futet një rreth. Qendra e saj është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve.

Pasojat: nga të gjithë paralelogramet, vetëm afër një drejtkëndëshi (në veçanti, afër një katrori) mund të rrethohet një rreth.

Nga të gjithë paralelogramet, vetëm një romb (në veçanti, një katror) mund të futet në një rreth (qendra është pika e kryqëzimit të diagonaleve, rrezja është gjysma lartësia).

Nëse një rreth mund të rrethohet pranë një trapezoidi, atëherë ai është izosceles. Një rreth mund të jetë i rrethuar rreth çdo trapezi izoscelular.

Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez, atëherë rrezja e tij është gjysma e lartësisë.

Detyrat me zgjidhje

1. Gjeni diagonalen e një drejtkëndëshi të brendashkruar në një rreth, rrezja e të cilit është 5.

Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Prandaj, diagonalja ACështë e barabartë me 2 R. Kjo eshte AC=10
Përgjigje: 10.

2. Pranë një trapezi, bazat e të cilit janë 6 cm dhe 8 cm dhe lartësia është 7 cm, rrethohet një rreth Gjeni sipërfaqen e këtij rrethi.

Le DC=6, AB=8. Meqenëse një rreth është i rrethuar pranë trapezoidit, ai është dykëndor.

Le të vizatojmë dy lartësi DM dhe CN.Meqenëse trapezi është dykëndor, atëherë AM=NB=

Pastaj AN=6+1=7

Nga një trekëndësh ANC nga teorema e Pitagorës gjejmë AC.

Nga një trekëndësh CBN nga teorema e Pitagorës gjejmë dielli.

Rrethi i rrethuar i një trapezi është gjithashtu rrethi i rrethuar i një trekëndëshi. DIA.

Gjeni sipërfaqen e këtij trekëndëshi në dy mënyra duke përdorur formulat

Ku h- lartësia dhe - baza e një trekëndëshi

Ku R është rrezja e rrethit të rrethuar.

Nga këto shprehje marrim ekuacionin . Ku

Zona e rrethit do të jetë

3. Këndet dhe katërkëndëshi janë të lidhura si . Gjeni këndin nëse një rreth mund të rrethohet rreth katërkëndëshit të dhënë. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë

Nga kushti del se.Meqenëse një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi, atëherë

Ne marrim ekuacionin . Pastaj . Shuma e të gjithë këndeve të një katërkëndëshi është 360º. Pastaj

. nga e marrim atë

4. Brinjët e një trapezi të rrethuar rreth një rrethi janë 3 dhe 5. Gjeni vijën e mesit të trapezit.

Atëherë vija mesatare është

5. Perimetri trapez drejtkëndor, i rrethuar rreth një rrethi, është i barabartë me 22, më i madhi i tij anësorështë 7. Gjeni rrezen e rrethit.

Në një trapez, rrezja e rrethit të brendashkruar është gjysma e lartësisë. Le të vizatojmë lartësinë e SC.

Pastaj .

Meqenëse një rreth është i gdhendur në një trapez, shumat e gjatësive anët e kundërta janë të barabartë. Pastaj

Pastaj perimetri

Ne marrim ekuacionin

6. Bazat e një trapezi dykëndor janë 8 dhe 6. Rrezja e rrethit të rrethuar është 5. Gjeni lartësinë e trapezit.

Le të jetë O qendra e rrethit të rrethuar rreth trapezit. Pastaj .

Le të vizatojmë lartësinë KH përmes pikës O

Pastaj , ku KO dhe OH janë lartësi dhe në të njëjtën kohë mediana trekëndëshat dykëndësh DOC dhe AOB. Pastaj

Sipas teoremës së Pitagorës.

Katërkëndëshi konveks A B C D (\displaystyle \displaystyle ABCD) brendashkrohet nëse dhe vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta është 180°, pra .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . (\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^(\circ ).)

Teorema ishte Oferta 22 në librin 3 të Euklidit Fillimet. Në mënyrë ekuivalente, një katërkëndësh konveks është i brendashkruar nëse dhe vetëm nëse këndi ngjitur është i barabartë me këndin e brendshëm të kundërt.

p q = a c + b d . (\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.)

Nëse dy rreshta, njëra prej të cilave përmban një segment AC, dhe tjetra është një segment BD, kryqëzohen në një pikë P, pastaj katër pikë A, B, C, D shtrihuni në rreth nëse dhe vetëm nëse

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . (\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.)

Pika e kryqëzimit P mund të shtrihet brenda dhe jashtë rrethit. Në rastin e parë, do të jetë një katërkëndësh i gdhendur ABCD, dhe në të dytën - një katërkëndësh i gdhendur ABDC. Nëse kryqëzimi shtrihet brenda, barazia do të thotë se produkti i segmenteve në të cilat pika P ndan një diagonale është e barabartë me prodhimin e segmenteve të diagonales tjetër. Kjo deklaratë njihet si teorema e kordës së kryqëzuar, meqenëse diagonalet e një katërkëndëshi të brendashkruar janë korda të rrethit të rrethuar.

Katërkëndëshi konveks ABCD mbishkruhet nëse dhe vetëm nëse

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))\tan (\frac (C)(2))=\tan (\frac (B)(2))\tan (\frac (D)(2))=1.)

Sheshi

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) (\displaystyle S=(\sqrt ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))))

Një katërkëndësh i brendashkruar ka sipërfaqen maksimale midis të gjithë katërkëndëshve me të njëjtën sekuencë të gjatësive të brinjëve. Kjo është një tjetër pasojë e marrëdhënies Bretschneider. Pretendimi mund të vërtetohet duke përdorur llogaritjen.

Katër gjatësi të pabarabarta, secila më e vogël se shuma e tre të tjerave, janë brinjët e tre katërkëndëshave jokongruentë të brendashkruar, dhe sipas formulës së Brahmagupta-s, të gjithë këta trekëndësha kanë të njëjtën sipërfaqe. Sidomos për festa a, b, c dhe d anësor a mund të jetë e kundërta me secilën anë b, c ose d. Çdo dy nga këto tre katërkëndësha të brendashkruar kanë një diagonale me të njëjtën gjatësi.

Zona e një katërkëndëshi të brendashkruar me brinjë të njëpasnjëshme a, b, c, d dhe këndi B ndërmjet palëve a dhe b mund të shprehet me formulën

S = 1 2 (a b + c d) sin ⁡ B (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ab+cd)\sin (B)) S = 1 2 (a c + b d) sin⁡ θ (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ac+bd)\sin (\theta ))

ku θ - çdo kënd midis diagonaleve. Nëse këndi A nuk është një vijë e drejtë, zona mund të shprehet me formulën

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan⁡ A . (\displaystyle S=(\tfrac (1)(4))(a^(2)-b^(2)-c^(2)+d^(2))\tan (A).) S = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ θ (\displaystyle S=2R^(2)\sin (A)\sin (B)\sin (\theta )) S ≤ 2 R 2 (\displaystyle S\leq 2R^(2)),

dhe pabarazia kthehet në barazi nëse dhe vetëm nëse katërkëndëshi është katror.

Diagonalet

me majat A, B, C, D(në atë radhë) dhe palët a = AB, b = para Krishtit, c = CD dhe d = DA gjatesite diagonale fq = AC dhe q = BD mund të shprehet në terma të

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d (\displaystyle p=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd)))) q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c (\displaystyle q=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc)))) p q = a c + b d . (\displaystyle pq=ac+bd.)

Sipas Teorema e dytë e Ptolemeut ,

p q = a d + b c a b + c d (\displaystyle (\frac (p)(q))=(\frac (ad+bc)(ab+cd)))

me të njëjtin shënim si më parë.

Për shumën e diagonaleve kemi pabarazinë

p + q ≥ 2 a c + b d . (\displaystyle p+q\geq 2(\sqrt (ac+bd)).)

Një pabarazi bëhet barazi nëse dhe vetëm nëse diagonalet janë të njëjta gjatësi, gjë që mund të tregohet duke përdorur pabarazinë midis mesatares aritmetike dhe mesatares gjeometrike.

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . (\style ekrani (p+q)^(2)\leq (a+c)^(2)+(b+d)^(2).)

Në çdo katërkëndësh konveks, dy diagonale e ndajnë katërkëndëshin në katër trekëndësha. Në një katërkëndësh të brendashkruar, çifte të kundërta të këtyre katër trekëndësha janë të ngjashme.

Nese nje M dhe N janë mesi i diagonaleve AC dhe BD, pastaj

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | (\displaystyle (\frac (MN)(EF))=(\frac (1)(2))\majtas|(\frac (AC)(BD))-(\frac (BD)(AC))\djathtas |)

ku E dhe F- pikat e kryqëzimit të anëve të kundërta.

Nese nje ABCD- një katërkëndësh i brendashkruar dhe AC kryqe BD në pikën P, pastaj

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . (\displaystyle (\frac (AP)(CP))=(\frac (AB)(CB))\cdot (\frac (AD)(CD)).)

Formulat e këndit

a, b, c, d, gjysmëperimetri s dhe këndi A ndërmjet palëve a dhe d funksionet trigonometrike të këndit A të barabartë

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , (\displaystyle \cos A=(\frac (a^(2)+d^(2)-b^(2) -c^(2))(2(ad+bc)))) sin⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , (\displaystyle \sin A=(\frac (2(\sqrt ((s-a) (s-b)(s-c)(s-d))))((ad+bc)))) tan ⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac ((s-a)(s-d))((s-b)(s-c)))).

Për këndin θ ndërmjet diagonaleve

tan⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (\theta )(2))=(\sqrt (\frac ((s-b)(s-d))((s-a)(s-c)))).

Nëse vazhdimet e anëve të kundërta a dhe c kryqëzohen në një kënd phi (\displaystyle \phi) , pastaj

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) (\displaystyle \cos (\frac (\phi )(2))=(\ sqrt (\frac ((s-b)(s-d)(b+d)^(2))((ab+cd)(ad+bc)))))

Formula Parameswar

Për një katërkëndësh të brendashkruar me brinjë a, b, c, d(në sekuencën e specifikuar) dhe gjysmëperimetri s rrezja e rrethit të rrethuar) jepet me formulë

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . (\displaystyle R=(\frac (1)(4))(\sqrt (\frac ((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))((s-a)(s-b)(s-c)(s-d ))))))

Formula u zhvillua nga një matematikan indian Vatasseri Parameswara në shekullin e 15-të.

Nëse diagonalet e një katërkëndëshi të brendashkruar priten në një pikë P, dhe pikat e mesit të diagonaleve janë V dhe W, atëherë antiqendra e katërkëndëshit është ortoqendra e trekëndëshit VWP, dhe qendra e kulmit është në mes të segmentit që lidh mesin e diagonaleve.

Në një katërkëndësh të gdhendur "zona qendrore" G a, "vertex centroid" G v dhe kryqëzim P diagonalet shtrihen në të njëjtën linjë. Për largësitë ndërmjet këtyre pikave, barazia

P G a = 4 3 P G v. (\displaystyle PG_(a)=(\tfrac (4)(3))PG_(v).)

Prona të tjera

Në një katërkëndësh të brendashkruar ABCD me qendër të rrethit të rrethuar O le P- pika e prerjes së diagonaleve AC dhe BD. Pastaj këndi APBështë mesatarja aritmetike e këndeve AOB dhe COD. Kjo është pasojë e drejtpërdrejtë e teoremës së këndit të brendashkruar dhe teoremat e këndit të jashtëm të trekëndëshit.

Nëse një katërkëndësh i brendashkruar ka gjatësi anësore që formojnë një progresion aritmetik, atëherë katërkëndëshi është gjithashtu të përshkruara nga jashtë.

Katërkëndëshat e Brahmagupta

Katërkëndëshi Brahmaguptaështë një katërkëndësh i brendashkruar me gjatësi të anës së plotë, gjatësi diagonale me numër të plotë dhe sipërfaqe të plotë. Të gjithë katërkëndëshat e Brahmagupta me brinjë a, b, c, d, diagonale e, f, zona S dhe rrezja e rrethit të rrethuar R mund të merret duke hequr qafe emëruesin në shprehjet e mëposhtme(me parametra racionalë t, u dhe v):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] (\displaystyle a=) b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) (\style ekrani b=(1+u^(2))(v-t)(1+tv)) c = t (1 + u 2) (1 + v 2) (\stil ekrani c=t(1+u^(2))(1+v^(2))) d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) (\style ekrani d=(1+v^(2))(u-t)(1+tu)) e = u (1 + t 2) (1 + v 2) (\displaystyle e=u(1+t^(2))(1+v^(2))) f = v (1 + t 2) (1 + u 2) (\style ekrani f=v(1+t^(2))(1+u^(2))) S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] (\displaystyle S= UV) 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . (\displaystyle 4R=(1+u^(2))(1+v^(2))(1+t^(2)).)

Vetitë e katërkëndëshave të brendashkruar ortodiagonale

Sipërfaqja dhe rrezja e rrethit të rrethuar

Le të jetë një katërkëndësh i brendashkruar, i cili është gjithashtu ortodiagonal (d.m.th., ka diagonale pingule), kryqëzimi i diagonaleve ndan një diagonale në segmente të gjatësisë fq 1 dhe fq 2, dhe ndan tjetrin në segmente të gjatësisë q 1 dhe q 2. Atëherë (barazia e parë është Propozimi 11 në Lemat e Arkimedit)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 (\displaystyle D^(2)=p_(1)^(2)+p_( 2)^(2)+q_(1)^(2)+q_(2)^(2)=a^(2)+c^(2)=b^(2)+d^(2)),

ku D -

ose, përmes brinjëve të katërkëndëshit

R \u003d 1 2 a 2 + c 2 \u003d 1 2 b 2 + d 2. (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (a^(2)+c^(2)))=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (b^( 2)+d^(2))))

Nga kjo rezulton gjithashtu se

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . (\displaystyle a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2)=8R^(2).)

Kështu, sipas formulës së Euler-it, rrezja mund të shprehet në terma të diagonaleve fq dhe q dhe distanca x ndërmjet pikave të mesit të diagonaleve

R \u003d p 2 + q 2 + 4 x 2 8. (\displaystyle R=(\sqrt (\frac (p^(2)+q^(2)+4x^(2))(8))).)

Formula për zonën K e një katërkëndëshi ortodiagonal të brendashkruar mund të merret drejtpërdrejt për sa i përket anëve duke kombinuar teoremën e Ptolemeut (shih më lart) dhe formulën për sipërfaqen e një katërkëndëshi ortodiagonal. Si rezultat, ne marrim

Letërsia

Claudi Alsina, Roger Nelsen. Kur më pak është më shumë: vizualizimi i pabarazive bazë, Kapitulli 4.3 Katërkëndëshat ciklikë, tangjencialë dhe bicentrikë. - Shoqata Matematikore e Amerikës, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Në diagonalet e një katërkëndëshi ciklik // Forum Geometricorum. - 2007. - V. 7.
Nathan Altshiller-Gjykata. Gjeometria e Kolegjit: Një hyrje në Gjeometrinë Moderne të Trekëndëshit dhe Rretho. - 2. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2.(org. 1952)
=Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Gjeometria e rishikuar. 3.2 Katërkëndëshe ciklike; Formula e Brahmagupta - Shoqata Matematikore e Amerikës, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2. Përkthimi G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Takime të reja me gjeometrinë. 3.2 Katërkëndëshat e brendashkruara; Teorema e Brahmaguptës. - Moskë: "Shkenca", 1978. - (Biblioteka e rrethit matematikor).
Crux Mathematicorum. Pabarazitë e propozuara në Crux Mathematicorum. - 2007.
D. Fraivert. Teoria e një katërkëndëshi të shkrepshëm dhe një rrethi që formon pikat Pascal // Journal of Mathematical Sciences: Avances and Applications. - 2016. - T. 42. - F. 81–107. - DOI:10.18642/jmsaa_7100121742.
C. V. Durell, A. Robson. trigonometria e avancuar. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8.(origjina 1930)
Movaffaq Haxhi. Një kusht që një katërkëndësh i kufizuar të jetë ciklik // Forum Geometricorum. - 2008. - V. 8.
Larry Hoehn. Rrethi i një katërkëndëshi ciklik // Gazeta matematike. - 2000. - T. 84, nr. 499 mars.
Ross Honsberger. Episodet në Gjeometrinë Euklidiane të shekullit të nëntëmbëdhjetë dhe të njëzetë. - Universiteti i Kembrixhit Shtypi, 1995. - Vëllimi 37. - (Biblioteka e re Matematikore). - ISBN 978-0-88385-639-0.
Roger A. Johnson. Gjeometri e avancuar Euklidiane. - Dover Publ, 2007.(origjina 1929)
Thomas Pjetri. Maksimizimi i sipërfaqes së një katërkëndëshi // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34, nr. 4 shtator.
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Probleme sfiduese në gjeometri. - 2. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Kapitulli: Zgjidhjet: 4-23 Vërtetoni që shuma e katrorëve të masave të segmenteve të bëra nga dy korda pingule është e barabartë me katrorin e masës së diametrit të rrethit të dhënë.

, Përkthim nga botimi rus V.V. Prasolov. Probleme në planimetri. Tutorial. - 5. - Moskë: MTSNMO OAO "Librat shkollorë të Moskës", 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Për një trekëndësh, si rrethi i brendashkruar ashtu edhe rrethi i rrethuar janë gjithmonë të mundur.

Për një katërkëndësh, një rreth mund të brendashkruhet vetëm nëse shumat e anëve të kundërta të tij janë të njëjta. Nga të gjithë paralelogramet, vetëm një romb dhe një katror mund të mbishkruhen me një rreth. Qendra e saj shtrihet në kryqëzimin e diagonaleve.

Një rreth mund të rrethohet rreth një katërkëndëshi vetëm nëse shuma qoshet e kundërtaështë e barabartë me 180°. Nga të gjithë paralelogramet, vetëm rreth një drejtkëndësh dhe një katror mund të rrethohet një rreth. Qendra e saj shtrihet në kryqëzimin e diagonaleve.

Një rreth mund të rrethohet rreth një trapezi, ose një rreth mund të jetë i brendashkruar në një trapezoid nëse trapezi është dykëndor.

Qendra e rrethit të rrethuar

Teorema. Qendra e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve pingul me brinjët e trekëndëshit.

Qendra e rrethit të rrethuar rreth shumëkëndëshit është pika e prerjes së perpendikulave të mesit me anët e këtij shumëkëndëshi.

Rrethi i brendashkruar në qendër

Përkufizimi. Një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh konveks është një rreth që prek të gjitha anët e këtij shumëkëndëshi (d.m.th., secila nga anët e shumëkëndëshit është tangjente me rrethin).

Qendra e rrethit të brendashkruar shtrihet brenda shumëkëndëshit.

Një shumëkëndësh në të cilin është brendashkruar një rreth quhet shumëkëndësh i rrethuar.

Një rreth mund të futet në një shumëkëndësh konveks nëse përgjysmues të të gjithëve qoshet e brendshme kryqëzohen në një pikë.

Qendra e një rrethi të gdhendur në një shumëkëndësh- pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të saj.

Qendra e rrethit të brendashkruar është e barabartë nga anët e shumëkëndëshit. Largësia nga qendra në çdo anë është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar.Për nga vetia e tangjentave të tërhequra nga një pikë, çdo kulm i shumëkëndëshit të rrethuar është i barabartë nga pikat tangjente që shtrihen në anët që dalin nga kjo kulm.

Çdo trekëndësh mund të futet në një rreth. Qendra e rrethit të gdhendur në një trekëndësh quhet qendër.

Një rreth mund të futet në një katërkëndësh konveks nëse dhe vetëm nëse shumat e gjatësive të anëve të tij të kundërta janë të barabarta. Në veçanti, një rreth mund të brendashkruhet në një trapez nëse shuma e bazave të tij është e barabartë me shumën e anëve të tij.

Një rreth mund të futet në çdo shumëkëndësh të rregullt. Pranë ndonjë shumëkëndëshi i rregullt mund të përshkruani edhe një rreth. Qendra e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar shtrihet në qendër të një shumëkëndëshi të rregullt.

Për çdo shumëkëndësh të rrethuar, rrezja e rrethit të brendashkruar mund të gjendet me formulën

Ku S është sipërfaqja e poligonit, p është gjysmëperimetri i tij.

n-gon të rregullt - formula

Formulat për gjatësinë e një ane të një këndi n të rregullt

1. Formula për anën e një këndi n të rregullt për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar:

2. Formula e brinjës së një n-këndëshi të rregullt për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar:

Formula për rrezen e rrethit të brendashkruar të një n-këndor të rregullt

Formula për rrezen e rrethit të brendashkruar të një n-gon për sa i përket gjatësisë së anës:

4. Formula për rrezen e rrethit të rrethuar trekëndësh kënddrejtë përmes gjatësisë anësore:

6. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar: S = r 2 3√3

7. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar:

4. Formula për rrezen e rrethit të rrethuar të një katërkëndëshi të rregullt për sa i përket gjatësisë së anës:

2. Formula e brinjës së një gjashtëkëndëshi të rregullt përsa i përket rrezes së rrethit të rrethuar: a = R

3. Formula për rrezen e rrethit të brendashkruar të një gjashtëkëndëshi të rregullt për sa i përket gjatësisë së anës:

6. Formula për sipërfaqen e një gjashtëkëndëshi të rregullt për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar: S = r 2 2√3

7. Formula për sipërfaqen e një gjashtëkëndëshi të rregullt për sa i përket rrezes së rrethit të rrethuar:

S=	R2 3√3

8. Këndi ndërmjet brinjëve të një gjashtëkëndëshi të rregullt: α = 120°

Vlera e numrit(shqiptohet "pi") - konstante matematikore, e barabartë me raportin

perimetri i një rrethi në gjatësinë e diametrit të tij, ai shprehet si një pjesë dhjetore e pafundme.

Shënohet me shkronjën e alfabetit grek "pi". Me çfarë është e barabartë pi? AT raste të thjeshta mjafton për të njohur 3 karakteret e para (3.14).

53. Gjeni gjatësinë e harkut të një rrethi me rreze R që i korrespondon këndit qendror në n°

Këndi qendror i bazuar në një hark gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit quhet kënd 1 radian.

Masa e shkallës së një këndi prej 1 radian është:

Meqenëse harku është i gjatë π R (gjysmërreth), nënshtrohet këndi qendror në 180 ° , pastaj një hark me gjatësi R, e nënshtron këndin në π herë më i vogël, d.m.th.

Dhe anasjelltas

Sepse π \u003d 3,14, pastaj 1 rad \u003d 57,3 °

Nëse këndi përmban a radian, atëherë masë shkallëështë e barabartë me

Dhe anasjelltas

Zakonisht, kur shënohet masa e një këndi në radianë, emri "rad" hiqet.

Për shembull, 360° = 2π rad, shkruani 360° = 2π

Tabela liston më të zakonshmet kënde në gradë dhe radiane.

Shembuj të katërkëndëshave të përshkruar janë deltoidet, të cilët përfshijnë rombët, të cilët nga ana e tyre përfshijnë katrorë. Deltoidet janë pikërisht ato katërkëndësha të rrethuar që janë gjithashtu ortodiagonale. Nëse një katërkëndësh është një katërkëndësh i rrethuar dhe i brendashkruar, ai quhet dyqendrore.

Vetitë

Në katërkëndëshin e përshkruar, katër përgjysmues kryqëzohen në qendër të rrethit. Në të kundërt, një katërkëndësh konveks në të cilin katër përgjysmues kryqëzohen në një pikë duhet të rrethohet, dhe pika e kryqëzimit të përgjysmuesve është qendra e rrethit të brendashkruar.

Nëse anët e kundërta në një katërkëndësh konveks ABCD(që nuk është trapez) kryqëzohen në pika E dhe F, atëherë ato janë tangjente me rrethin nëse dhe vetëm nëse

B E + B F = D E + D F (\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF) A E − E C = A F − F C . (\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.)

Barazia e dytë është pothuajse e njëjtë me barazinë në Teorema e Urquhart. Dallimi është vetëm në shenja - në teoremën e Urquhart, shumat dhe këtu dallimet (shih figurën në të djathtë).

tjera të nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme- katërkëndësh konveks ABCD përshkruhet nëse dhe vetëm nëse trekëndëshat e brendashkruar ABC dhe ADC rrathët prekin njëri-tjetrin.

përshkrim në qoshe e formuar nga diagonalja BD me brinjë të një katërkëndëshi ABCD, i përket Iosifescu-t. Ai vërtetoi në 1954 se një katërkëndësh konveks ka një rreth nëse dhe vetëm nëse

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . (\displaystyle \tan (\frac (\këndi ABD)(2))\cdot \tan (\frac (\këndi BDC)(2))=\tan (\frac (\këndi ADB)(2))\cdot \tan (\frac (\këndi DBC)(2)).) R a R c = R b R d (\displaystyle R_(a)R_(c)=R_(b)R_(d)),

ku R a , R b , R c , R d janë rrezet e rrathëve nga jashtë tangjent me anët a, b, c, d përkatësisht dhe vazhdimet e anëve ngjitur në secilën anë.

Disa përshkrime të tjera janë të njohura për katër trekëndëshat e formuar nga diagonalet.

Prerje të veçanta

Tetë segmentet tangjente e katërkëndëshit të rrethuar janë segmentet ndërmjet kulmeve dhe pikave të kontaktit në anët. Çdo kulm ka dy segmente tangjente të barabarta.

Pikat e kontaktit formojnë një katërkëndësh të brendashkruar.

Sheshi

Formulat jotrigonometrike

K = 1 2 p 2 q 2 − (a c − b d) 2 (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (p^(2)q^(2)-(ac-bd) ^ (2)))),

duke dhënë sipërfaqen për sa i përket diagonaleve fq, q dhe partitë a, b, c, d katërkëndësh tangjente.

Zona gjithashtu mund të përfaqësohet në terma të segmenteve tangjente (shih më lart). Nëse shënohen me e, f, g, h, atëherë katërkëndëshi tangjent ka sipërfaqe

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . (\displaystyle K=(\sqrt ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).

Për më tepër, zona e një katërkëndëshi tangjent mund të shprehet në terma të brinjëve a, b, c, d dhe gjatësitë përkatëse të segmenteve tangjente e, f, g, h

K = a b c d − (p.sh. g − f h) 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd-(p.sh.-fh)^(2))).)

Sepse p.sh = fh nëse dhe vetëm nëse është gjithashtu i brendashkruar, marrim se sipërfaqja maksimale a b c d (\displaystyle (\sqrt(abcd))) mund të arrihet vetëm në katërkëndësha që janë të rrethuar dhe të brendashkruar në të njëjtën kohë.

Formulat trigonometrike

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (A+C)(2))=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (B+D)(2)).)

Për një produkt të caktuar brinjësh, sipërfaqja do të jetë maksimale kur katërkëndëshi është gjithashtu i brendashkruar. Në këtë rast K = a b c d (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))), meqenëse këndet e kundërta janë plotësuese. Kjo mund të vërtetohet në një mënyrë tjetër, duke përdorur analizën matematikore.

Një formulë tjetër për sipërfaqen e një katërkëndëshi të rrethuar ABCD, duke përdorur dy kënde të kundërta

K = (O A ⋅ O C + O B ⋅ O D) sin ⁡ A + C 2 (\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\djathtas)\sin (\frac (A+C)(2) )),

ku Oështë qendra e rrethit të brendashkruar.

Në fakt, zona mund të shprehet vetëm në terma të dy brinjëve ngjitur dhe dy këndeve të kundërta.

K = a b sin⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=ab\sin (\frac (B)(2))\csc (\frac (D)(2))\sin (\frac (B+D)(2)).) K = 1 2 | (a c − b d) tan⁡ θ | , (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))|(ac-bd)\tan (\theta )|,)

ku θ këndi (ndonjë) midis diagonaleve. Formula nuk është e zbatueshme për rastin e deltoideve, pasi në këtë rast θ është 90° dhe tangjentja nuk është e përcaktuar.

pabarazitë

Siç u përmend më lart, zona e një poligoni tangjent me brinjë a, b, c, d plotëson pabarazinë

K ≤ a b c d (\displaystyle K\leq (\sqrt (abcd)))

dhe barazia arrihet nëse dhe vetëm nëse katërkëndëshi është dyqendrore.

Sipas T. A. Ivanova (1976), gjysmëperimetri s katërkëndëshi i kufizuar plotëson pabarazinë

s ≥ 4r (\displaystyle s\geq 4r),

ku rështë rrezja e rrethit të brendashkruar. Pabarazia kthehet në barazi nëse dhe vetëm nëse katërkëndëshi është katror. Kjo do të thotë se për zonën K = rs, pabarazia

K ≥ 4 r 2 (\displaystyle K\geq 4r^(2))

me kalimin në barazi nëse dhe vetëm nëse katërkëndëshi është katror.

Vetitë e pjesëve të një katërkëndëshi

Katër segmente vijash ndërmjet qendrës së rrethit të brendashkruar dhe pikave të kontaktit e ndajnë katërkëndëshin në katër deltoid drejtkëndor.

Nëse një vijë e drejtë e ndan katërkëndëshin e rrethuar në dy shumëkëndësha me sipërfaqe të barabarta dhe perimetra të barabartë, atëherë kjo drejtëz kalon nëpër qendër.

Rrezja e rrethit të brendashkruar

Rrezja e rrethit të brendashkruar të një katërkëndëshi të brendashkruar me brinjë a, b, c, d dhënë nga formula

r = K s = K a + c = K b + d (\displaystyle r=(\frac (K)(s))=(\frac (K)(a+c))=(\frac (K)( b+d))),

ku Kështë sipërfaqja e katërkëndëshit, dhe s- gjysmëperimetri. Për katërkëndëshat e rrethuar me një gjysmëperimetër të caktuar, rrezja e rrethit të brendashkruar është maksimale kur katërkëndëshi është gjithashtu i brendashkruar.

Për sa i përket segmenteve tangjente, rrezja e rrethit të brendashkruar.

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . (\displaystyle \displaystyle r=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)(e+f+g+h))).

Rrezja e rrethit të brendashkruar mund të shprehet edhe në lidhje me distancën nga qendra O në kulmet e katërkëndëshit të rrethuar ABCD. Nese nje u = AO, v=BO, x=CO dhe y=DO, pastaj

r = 2 (σ − u v x) (σ − v x y) (σ − x y u) (σ − y u v) u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x) (\displaystyle r=2(\sqrt (\ frac ((\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv))(uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx))))),

ku σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (\style shfaqje \sigma =(\tfrac (1)(2))(uvx+vxy+xyu+yuv)) .

Formulat për kënde

Nese nje e, f, g dhe h segmente tangjente nga kulmet A, B, C dhe D përkatësisht te pikat e tangjences së rrethit nga katërkëndëshi ABCD, atëherë këndet e katërkëndëshit mund të llogariten me formula

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (e + f) (e + g) (e + h) , (\displaystyle \sin (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((e+f)(e+g)(e+h))))) sin⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (f + e) (f + g) (f + h) , (\displaystyle \sin (\frac (B)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((f+e)(f+g)(f+h))))) sin⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (g + e) (g + f) (g + h) , (\displaystyle \sin (\frac (C)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((g+e)(g+f)(g+h))))) sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) (h + f) (h + g) . (\displaystyle \sin (\frac (D)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((h+e)(h+f)(h+g)))) .)

Këndi midis kordave KM dhe LN dhënë me formulë (shih figurën)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) . (\displaystyle \sin (\varphi )=(\sqrt (\frac ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))((e+f)(f+g)(g+h )(h+e)))))

Diagonalet

Nese nje e, f, g dhe h janë segmente tangjente nga A, B, C dhe D në pikat e tangjences së rrethit të brendashkruar nga katërkëndëshi ABCD, pastaj gjatësitë e diagonaleve p=AC dhe q=BD të barabartë

p = e + g f + h ((e + g) (f + h) + 4 f h) , (\displaystyle \displaystyle p=(\sqrt ((\frac (e+g)(f+h))(\ I madh ()(e+g)(f+h)+4fh(\i madh))))) q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . (\displaystyle \displaystyle q=(\sqrt ((\frac (f+h)(e+g))(\Big ()(e+g)(f+h)+4eg(\Big)))). )

Akordet e pikave me prekje

Nese nje e, f, g dhe h janë segmente nga kulmet në pikat tangjente, atëherë gjatësitë e kordave në pikat tangjente të kundërta janë

k = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle k=(\frac (2(efg+fgh+ ghe +hef))(\sqrt ((e+f)(g+h)(e+g)(f+h))))) l = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle l=(\frac (2(efg+fgh+ ghe +hef))(\sqrt ((e+h)(f+g)(e+g)(f+h)))))

ku është akordi k lidh anët me gjatësitë a = e + f dhe c = g + h, dhe akordin l lidh anët me një gjatësi b = f + g dhe d = h + e. Katrori i raportit të kordave plotëson relacionin

k 2 l 2 \u003d b d a c. (\displaystyle (\frac (k^(2))(l^(2)))=(\frac (bd)(ac)).)

Dy akorde

Akord midis anëve AB dhe CD në katërkëndëshin e rrethuar ABCD më e gjatë se korda midis anëve para Krishtit dhe DA nëse dhe vetëm nëse vija mesatare ndërmjet anëve AB dhe CD më e shkurtër se vija mesatare midis anëve para Krishtit dhe DA .

Nëse katërkëndëshi i rrethuar ABCD ka pika kontakti M në AB dhe N në CD dhe akord MN kalon diagonalen BD në pikën P, atëherë raporti i segmenteve të tangjentëve B M D N (\style ekrani (\tfrac (BM)(DN)))është e barabartë me raportin B P D P (\displaystyle (\tfrac (BP)(DP))) segmente diagonale BD.

pikat kolineare

Nese nje M1 dhe M2 janë mesi i diagonaleve AC dhe BD përkatësisht në katërkëndëshin e rrethuar ABCD O, dhe çiftet e anëve të kundërta kryqëzohen në pika E dhe F dhe M3- mesi i segmentit EF, pastaj pikat M3, M1, O, dhe M2 shtrihen në një drejtëz Drejtëza që lidh këto pika quhet drejtëza e Njutonit e katërkëndëshit.

E dhe F, dhe zgjatimet e anëve të kundërta të katërkëndëshit të formuar nga pikat e kontaktit kryqëzohen në pikat T dhe S, pastaj katër pikë E, F, T dhe S shtrihuni në të njëjtën linjë

AB, para Krishtit, CD, DA në pika M, K, N dhe L përkatësisht, dhe nëse T M, T K, T N, T L janë pika izotomike të konjuguara të këtyre pikave (d.m.th. NE M = BM etj), pastaj Pika Nagel përkufizohet si kryqëzim i vijave T N T M dhe T K T L. Të dyja këto drejtëza e ndajnë perimetrin e katërkëndëshit në dy pjesë të barabarta. Më e rëndësishmja, megjithatë, pika Nagel P, "zona qendrore" G dhe qendra e rrethit të brendashkruar O shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë, dhe QG = 2SHKO. Kjo linjë quhet drejt Nagel katërkëndësh i rrethuar.

Në katërkëndëshin e rrethuar ABCD me qendrën e rrethit të brendashkruar O P, le HM, H K, H N, H L janë ortoqendrat e trekëndëshave AOB, BOC, COD dhe DOA përkatësisht. Pastaj pikat P, HM, H K, H N dhe H L shtrihuni në të njëjtën linjë.

Vija konkuruese dhe pingule

Dy diagonale të një katërkëndëshi dhe dy korda që lidhin pikat e kundërta të kontaktit (kulmet e kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar) janë të njëpasnjëshme (d.m.th., ato kryqëzohen në një pikë). Për të treguar këtë, mund të përdoret një rast i veçantë i teoremës së Brianchon-it, i cili thotë se një gjashtëkëndësh, të gjitha anët e të cilit janë tangjente me një seksion konik, ka tre diagonale që kryqëzohen në një pikë. Nga katërkëndëshi i përshkruar është e lehtë të përftohet një gjashtëkëndësh me dy kënde 180° duke futur dy kulme të reja në pika tangjente të kundërta. Të gjashtë anët e gjashtëkëndëshit që rezulton janë tangjente me rrethin, në mënyrë që diagonalet e tij të kryqëzohen në një pikë. Por dy diagonalet e gjashtëkëndëshit përkojnë me diagonalet e katërkëndëshit, dhe diagonalja e tretë kalon nëpër pikat e kundërta të kontaktit. Duke përsëritur të njëjtin arsyetim për dy pikat e tjera të prekjes, marrim rezultatin e dëshiruar.

Nëse rrethi i brendashkruar është tangjent me anët AB, para Krishtit, CD dhe DA në pika M, K, N, L përkatësisht, pastaj vijat e drejta MK, LN dhe AC konkurrues.

Nëse zgjatimet e brinjëve të kundërta të katërkëndëshit të rrethuar priten në pika E dhe F, dhe diagonalet kryqëzohen në një pikë P, pastaj vija e drejtë EF pingul me vazhdimin OP, ku Oështë qendra e rrethit të brendashkruar.

Vetitë e rrethit të brendashkruar

Raporti i dy anëve të kundërta të katërkëndëshit të rrethuar mund të shprehet në terma të largësive nga qendra e rrethit të brendashkruar O palëve përkatëse

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . (\displaystyle (\frac (AB)(CD))=(\frac (OA\cdot OB)(OC\cdot OD)),\quad \quad (\frac (BC)(DA))=(\frac ( OB\cdot OC)(OD\cdot OA)).)

Prodhimi i dy brinjëve ngjitur të një katërkëndëshi të rrethuar ABCD me qendrën e rrethit të brendashkruar O kënaq relacionin

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . (\displaystyle AB\cdot BC=OB^(2)+(\frac (OA\cdot OB\cdot OC)(OD)).)

Nese nje O- qendra e rrethit të brendashkruar të katërkëndëshit ABCD, pastaj

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . (\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD=(\sqrt (AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).)

Qendra e rrethit të brendashkruar O përkon me "kulmet qendrore" të katërkëndëshit nëse dhe vetëm nëse

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . (\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.)

Nese nje M1 dhe M2 janë mesi i diagonaleve AC dhe BD përkatësisht, atëherë

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , (\displaystyle (\frac (OM_(1))(OM_(2)))=(\frac (OA\cdot OC)(OB\cdot OD))=(\frac (e+g)(f+h)),)

ku e, f, g dhe h- segmente tangjente në kulme A, B, C dhe D përkatësisht. Duke kombinuar barazinë e parë me atë të fundit, marrim se "qendra e kulmeve" të katërkëndëshit të rrethuar përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar nëse dhe vetëm nëse qendra e rrethit të brendashkruar shtrihet në mes të mesit të diagonaleve.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . (\displaystyle (\frac (1)(r_(1)))+(\frac (1)(r_(3)))=(\frac (1)(r_(2)))+(\frac (1) )(r_(4))).)

Kjo pronë ishte vërtetuar pesë vjet më parë nga Weinstein. Në zgjidhjen e problemit të tij, një pronë e ngjashme u dha nga Vasiliev dhe Senderov. Nëse përmes h M , h K , h N dhe h L tregojnë lartësitë e të njëjtëve trekëndësha (të rënë nga kryqëzimi i diagonaleve P), atëherë katërkëndëshi është i rrethuar nëse dhe vetëm nëse

1 orë M + 1 orë N = 1 orë K + 1 orë L . (\displaystyle (\frac (1)(h_(M)))+(\frac (1)(h_(N)))=(\frac (1)(h_(K)))+(\frac (1) )(h_(L))))

Një tjetër veti e ngjashme vlen për rrezet e rretheve r M , r K , r N dhe r L për të njëjtët katër trekëndësha (katër rrethe janë tangjente me secilën nga brinjët e katërkëndëshit dhe zgjatimet e diagonaleve). Një katërkëndësh është i rrethuar nëse dhe vetëm nëse

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . (\displaystyle (\frac (1)(r_(M)))+(\frac (1)(r_(N)))=(\frac (1)(r_(K)))+(\frac (1) )(r_(L))))

Nese nje R M , R K , R N dhe R L - rrezet e rretheve të trekëndëshave APB, BPC, CPD dhe PDSH përkatësisht, atëherë trekëndëshi ABCD përshkruhet nëse dhe vetëm nëse

R M + R N = R K + R L . (\shfaqja R_(M)+R_(N)=R_(K)+R_(L).)

Në vitin 1996, Weinstein duket se ishte i pari që provoi një tjetër veti të jashtëzakonshme të katërkëndëshave të rrethuar, e cila më vonë u shfaq në disa revista dhe faqe interneti. Vetia thotë se nëse një katërkëndësh konveks ndahet në katër trekëndësha jo të mbivendosur nga diagonalet e tij, qendrat rrethore të këtyre trekëndëshave shtrihen në të njëjtin rreth nëse dhe vetëm nëse katërkëndëshi është i rrethuar. Në fakt, qendrat e rrathëve të brendashkruar formojnë një katërkëndësh ortodiagonal të brendashkruar . Këtu rrathët e brendashkruar mund të zëvendësohen me rrethore (tangjente me anët dhe vazhdimet e diagonaleve të katërkëndëshit). Atëherë një katërkëndësh konveks është i rrethuar nëse dhe vetëm nëse qendrat e rretheve janë kulmet e katërkëndëshit të brendashkruar.

Katërkëndëshi konveks ABCD ku diagonalet kryqëzohen në një pikë P, përshkruhet nëse dhe vetëm nëse katër qendrat e rretheve të trekëndëshave APB, BPC, CPD dhe PDSH shtrihen në të njëjtin rreth (këtu rrethet kryqëzojnë anët e katërkëndëshit, në ndryshim nga thënia analoge e mësipërme, ku rrethet shtrihen jashtë katërkëndëshit). Nese nje R m, R n, Rk dhe Rl- rrezet e rretheve APB, BPC, CPD dhe PDSH përkatësisht e kundërta me kulmet B dhe D, atëherë një kusht tjetër i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që katërkëndëshi të rrethohet është

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . (\displaystyle (\frac (1)(R_(m)))+(\frac (1)(R_(n)))=(\frac (1)(R_(k)))+(\frac (1) )(R_(l)))) m △ (A P B) + n △ (C P D) = k △ (B P C) + l △ (D P A) (\style ekrani (\frac (m)(\trekëndësh (APB)))+(\frac (n)(\trekëndësh (CPD)))=(\frac (k)(\trekëndësh (BPC)))+(\frac (l)(\trekëndësh (DPA))))

këtu m, k, n, l janë gjatësitë e brinjëve AB, BC, CD dhe DA, dhe ∆( APB) - zona e një trekëndëshi APB.

Le të shënojmë segmentet në të cilat pika P ndan diagonalen AC si AP = fq një dhe PC = fq c. Në te njejtën mënyrë P ndaje diagonalen BD në segmente PB = fq b dhe PD = fq d. Atëherë katërkëndëshi është i kufizuar nëse dhe vetëm nëse një nga barazitë vlen:

(m + p a − p b) (n + p c − p d) (m − p a + p b) (n − p c + p d) = (k + p c − p b) (l + p a − p d) (k − p c + p b) (l − p a + p d) . (\style display (\frac ((m+p_(a)-p_(b))(n+p_(c)-p_(d)))((m-p_(a)+p_(b))(n -p_(c)+p_(d)))=(\frac ((k+p_(c)-p_(b))(l+p_(a)-p_(d)))((k-p_ (c)+p_(b))(l-p_(a)+p_(d)))))

Kushtet që katërkëndëshi i rrethuar të jetë një lloj tjetër katërkëndëshi.

Një katërkëndësh i rrethuar është dyqendror (d.m.th. i rrethuar dhe i brendashkruar në të njëjtën kohë) nëse dhe vetëm nëse rrezja e rrethit të brendashkruar është më e madhja nga të gjithë katërkëndëshat e rrethuar që kanë të njëjtën sekuencë gjatësish brinjësh nëse dhe vetëm nëse plotësohet ndonjë nga kushtet e mëposhtme :

Sipërfaqja është gjysma e prodhimit të diagonaleve
Diagonalet janë pingule
Dy segmente vijash që lidhin pikat e kundërta të kontaktit janë me gjatësi të barabartë
Një palë segmente të kundërta nga kulmi në pikën e kontaktit kanë të njëjtën gjatësi
Victor Bryant, John Duncan. Rrota brenda rrotave // Gazeta matematike. - 2010. - Numri. 94, nëntor.
Albrecht Hess. Në një rreth që përmban qendrat e katërkëndëshave tangjencialë // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14.
Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. Kur katërkëndëshat kanë rrathë të brendashkruar (zgjidhja e problemit 10698) // American Mathematical Monthly . - 2000. - T. 107, bo. 7. - DOI:10.2307/2589133.
Movaffaq Haxhi. Një kusht që një katërkëndësh i kufizuar të jetë ciklik // Forum Geometricorum. - 2008. - V. 8.

Larry Hoehn. Një formulë e re në lidhje me diagonalet dhe brinjët e një katërkëndëshi. - 2011. - T. 11 T. 10.

Martin Josephson. Kur është një katërkëndësh tangjencial një qift? // Forum Geometricorum. - 2011a. - T. 11.

Martin Josephson. Më shumë karakteristika të katërkëndëshave tangjencialë // Forum Geometricorum. - 2011b. - T. 11.

Martin Josephson. Zona e një Katërkëndëshi Bicentrik // Forum Geometricorum. - 2011c. - T. 11.

Martin Josephson. Karakterizime të ngjashme metrike të katërkëndëshave tangjencialë dhe ekstangjencialë // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12.

Martin Josephson. Karakterizimet e katërkëndëshave ortodiagonale. - 2012b. - T. 12.

Nicusor Minculet. Karakteristikat e një katërkëndëshi tangjencial // Forum Geometricorum. - 2009. - V. 9.

Alexey Myakishev. Në dy linja të jashtëzakonshme që lidhen me një katërkëndësh // Forum Geometricorum. - 2006. - V. 6.

A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometria. - Universiteti i Kembrixhit. Shtypi, 1929.

I. Weinstein, N. Vasiliev, V. Senderov.(Zgjidhja e problemit) M1495 // Kvant. - 1995. - Numri. 6.

Michael De Villiers. Shumëkëndësha të rrethuar barabrinjës ciklik dhe barabrinjës // Gazeta Matematikore. - 2011. - Numri. 95, mars.

"Rrethi i rrethuar" kemi parë që një rreth mund të rrethohet rreth çdo trekëndëshi. Kjo do të thotë, për çdo trekëndësh ekziston një rreth i tillë që të tre kulmet e trekëndëshit "ulen" mbi të. Si kjo:

Pyetje: A mund të thuhet e njëjta gjë për një katërkëndësh? A është e vërtetë që do të ketë gjithmonë një rreth në të cilin do të "ulen" të katër kulmet e katërkëndëshit?

Rezulton se kjo NUK është e vërtetë! JO GJITHMONË një katërkëndësh mund të futet në një rreth. Ekziston një kusht shumë i rëndësishëm:

Në vizatimin tonë:

Shikoni, këndet dhe shtrihen përballë njëri-tjetrit, që do të thotë se janë të kundërta. Po këndet atëherë? A duken edhe ato të kundërta? A është e mundur të merren kënde dhe në vend të këndeve dhe?

Po, sigurisht që mundeni! Gjëja kryesore është se katërkëndëshi ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilave do të jetë. Dy këndet e mbetura pastaj vetë do të mblidhen gjithashtu. Mos beso? Le të sigurohemi. Shikoni:

Le. A ju kujtohet shuma e të katër këndeve të çdo katërkëndëshi? Sigurisht, . Kjo është - gjithmonë! . Por, → .

Magji drejtpërsëdrejti!

Pra, mbani mend fort:

Nëse një katërkëndësh është i gdhendur në një rreth, atëherë shuma e çdo dy prej këndeve të kundërta të tij është

dhe anasjelltas:

Nëse një katërkëndësh ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilëve është e barabartë, atëherë një katërkëndësh i tillë brendashkruhet.

Ne nuk do t'i vërtetojmë të gjitha këto këtu (nëse jeni të interesuar, shikoni në nivelet e ardhshme të teorisë). Por le të shohim se çfarë çon kjo fakt i mrekullueshëm që shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar është e barabartë.

Për shembull, pyetja vjen në mendje, a është e mundur të përshkruhet një rreth rreth një paralelogrami? Le të provojmë fillimisht "metodën poke".

Disi nuk funksionon.

Tani zbatoni njohuritë:

supozojmë se kemi arritur disi të vendosim një rreth në një paralelogram. Atëherë sigurisht që duhet të jetë:, domethënë.

Dhe tani le të kujtojmë vetitë e një paralelogrami:

Çdo paralelogram ka kënde të kundërta.

Ne e morëm atë

Po qoshet? Epo, e njëjta sigurisht.

Nënshkruar → →

Paralelogrami→ →

E mahnitshme, apo jo?

Doli se nëse një paralelogram është i gdhendur në një rreth, atëherë të gjitha këndet e tij janë të barabarta, domethënë është një drejtkëndësh!

Dhe në të njëjtën kohë - qendra e rrethit përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve të këtij drejtkëndëshi. Kjo, si të thuash, është bashkangjitur si një bonus.

Epo, kjo do të thotë që ne zbuluam se një paralelogram i gdhendur në një rreth - drejtkëndësh.

Tani le të flasim për trapezoidin. Çfarë ndodh nëse një trapez është i gdhendur në një rreth? Dhe rezulton se do trapezoid isosceles . Pse?

Lëreni që trapezi të jetë i gdhendur në një rreth. Pastaj përsëri, por për shkak të paralelizmit të vijave dhe.

Pra, kemi: → → një trapez dykëndor.

Edhe më lehtë sesa me një drejtkëndësh, apo jo? Por ju duhet të mbani mend fort - të vijnë në ndihmë:

Le të rendisim më deklaratat kryesore tangjente me një katërkëndësh të gdhendur në një rreth:

Një katërkëndësh brendashkruhet në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e dy këndeve të kundërta të tij është
Paralelogrami i gdhendur në një rreth drejtkëndësh dhe qendra e rrethit përkon me pikën e prerjes së diagonaleve
Një trapez i gdhendur në një rreth është izosceles.

Katërkëndëshi i brendashkruar. Niveli mesatar

Dihet se për çdo trekëndësh ka një rreth të rrethuar (këtë e vërtetuam në temën "Rrethi i rrethuar"). Çfarë mund të thuhet për katërkëndëshin? Këtu rezulton se JO CDO katërkëndësh mund të futet në një rreth, por ekziston kjo teoremë:

Një katërkëndësh brendashkruhet në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është.

Në vizatimin tonë -

Le të përpiqemi të kuptojmë pse? Me fjalë të tjera, tani do ta vërtetojmë këtë teoremë. Por, para se të provoni, duhet të kuptoni se si funksionon vetë pohimi. A i keni vënë re fjalët "atëherë dhe vetëm atëherë" në deklaratë? Fjalë të tilla nënkuptojnë se matematikanët e dëmshëm kanë shtyrë dy deklarata në një.

Deshifrimi:

"Pastaj" do të thotë: Nëse një katërkëndësh është i gdhendur në një rreth, atëherë shuma e çdo dy këndesh të kundërta të tij është e barabartë.
"Vetëm atëherë" do të thotë: Nëse një katërkëndësh ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilave është e barabartë, atëherë një katërkëndësh i tillë mund të brendashkruhet në një rreth.

Ashtu si Alice: "Unë mendoj atë që them" dhe "Unë them atë që mendoj".

Tani le të kuptojmë pse të dyja 1 dhe 2 janë të vërteta?

E para 1.

Le të jetë i gdhendur katërkëndëshi në një rreth. Shënojmë qendrën e saj dhe vizatojmë rrezet dhe. Çfarë do të ndodhë? A ju kujtohet se një kënd i brendashkruar është gjysma e këndit qendror përkatës? Nëse ju kujtohet - tani e zbatueshme, dhe nëse jo kështu - shikoni temën "Rrethoni. Këndi i brendashkruar".

I gdhendur

Por shikoni:.

Ne marrim se nëse - është e mbishkruar, atëherë

Epo, është e qartë se dhe gjithashtu shton. (duhet konsideruar gjithashtu).

Tani "anasjellta", domethënë 2.

Le të rezultojë se shuma e çdo dy këndesh të kundërta të një katërkëndëshi është e barabartë. Le të themi le

Ne ende nuk e dimë nëse mund të përshkruajmë një rreth rreth tij. Por ne e dimë me siguri se jemi të garantuar të jemi në gjendje të përshkruajmë një rreth rreth një trekëndëshi. Pra, le ta bëjmë atë.

Nëse pika nuk "ulej" në rreth, atëherë në mënyrë të pashmangshme doli të ishte ose jashtë ose brenda.

Le të shqyrtojmë të dyja rastet.

Lëreni pikën së pari jashtë. Pastaj segmenti kryqëzon rrethin në një pikë. Lidhu dhe. Rezultati është një katërkëndësh i mbishkruar (!).

Ne tashmë e dimë për të se shuma e këndeve të tij të kundërta është e barabartë, domethënë, por sipas kushteve kemi.

Rezulton se duhet të jetë kështu.

Por kjo nuk mund të jetë në asnjë mënyrë, pasi - këndi i jashtëm për dhe do të thotë .

Dhe brenda? Le të bëjmë një gjë të ngjashme. Lëreni pikën brenda.

Pastaj vazhdimi i segmentit pret rrethin në një pikë. Përsëri - një katërkëndësh i gdhendur, dhe sipas kushtit duhet të plotësohet, por - një kënd i jashtëm për dhe do të thotë, domethënë, përsëri, nuk mund të jetë ai.

Kjo do të thotë, një pikë nuk mund të jetë as jashtë, as brenda rrethit - që do të thotë se është në rreth!

Vërtetoi të gjithë teoremën!

Tani le të shohim se çfarë pasojash të mira jep kjo teoremë.

Përfundimi 1

Një paralelogram i gdhendur në një rreth mund të jetë vetëm një drejtkëndësh.

Le të kuptojmë pse është kështu. Le të jetë i gdhendur paralelogrami në një rreth. Atëherë duhet bërë.

Por nga vetitë e një paralelogrami, ne e dimë këtë.

Dhe e njëjta, natyrisht, për këndet dhe.

Kështu që drejtkëndëshi doli - të gjitha qoshet janë përgjatë.

Por, përveç kësaj, ekziston një fakt tjetër i këndshëm shtesë: qendra e rrethit të rrethuar rreth drejtkëndëshit përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve.

Le të kuptojmë pse. Shpresoj ta mbani mend shumë mirë se këndi i bazuar në diametër është një kënd i drejtë.

Diametri,

Diametri

dhe kështu qendra. Kjo eshte e gjitha.

Pasoja 2

Një trapez i gdhendur në një rreth është izosceles.

Lëreni që trapezi të jetë i gdhendur në një rreth. Pastaj.

Dhe gjithashtu.

A kemi diskutuar gjithçka? Jo ne te vertete. Në fakt, ekziston një mënyrë tjetër, "sekret" për të njohur një katërkëndësh të gdhendur. Ne do ta formulojmë këtë metodë jo shumë strikte (por qartë), por do ta vërtetojmë vetëm në nivelin e fundit të teorisë.

Nëse në një katërkëndësh mund të vërehet një pamje e tillë si këtu në figurë (këtu këndet që "shikojnë" në anën e pikave dhe janë të barabarta), atëherë një katërkëndësh i tillë është i brendashkruar.

Ky është një vizatim shumë i rëndësishëm - në probleme shpesh është më e lehtë për t'u gjetur kënde të barabarta se shuma e këndeve dhe.

Pavarësisht mungesës së plotë të ashpërsisë në formulimin tonë, ai është i saktë dhe për më tepër, pranohet gjithmonë nga ekzaminuesit e USE. Ju duhet të shkruani kështu:

"- mbishkruar" - dhe gjithçka do të jetë mirë!

Mos harroni këtë shenjë të rëndësishme - mbani mend foton dhe mbase do t'ju tërheqë vëmendjen në kohë kur zgjidhni problemin.

Katërkëndëshi i brendashkruar. Përshkrimi i shkurtër dhe formulat bazë

Nëse një katërkëndësh është i gdhendur në një rreth, atëherë shuma e çdo dy prej këndeve të kundërta të tij është

dhe anasjelltas:

Nëse një katërkëndësh ka dy kënde të kundërta, shuma e të cilëve është e barabartë, atëherë një katërkëndësh i tillë brendashkruhet.

Një katërkëndësh brendashkruhet në një rreth nëse dhe vetëm nëse shuma e dy këndeve të kundërta të tij është e barabartë.

Paralelogrami i gdhendur në një rreth- domosdoshmërisht një drejtkëndësh, dhe qendra e rrethit përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve.

Një trapez i gdhendur në një rreth është izosceles.

Artikulli i mëparshëm: Anglisht detare për jahtistët Kushtet detare në anglisht Artikulli vijues: Lumenjtë që rrjedhin në Detin Kaspik: lista, përshkrimi, karakteristikat Kush kufizohet me Detin Kaspik