A származék geometriai jelentése az. VIII
A függvény deriváltja az egyik nehéz témák V iskolai tananyag. Nem minden diplomás fog válaszolni arra a kérdésre, hogy mi a származék.
Ez a cikk egyszerűen és világosan elmagyarázza, mi az a származékos termék, és miért van rá szükség.. Az előadásban most nem törekszünk matematikai szigorra. A legfontosabb, hogy megértsük a jelentését.
Emlékezzünk a definícióra:
A derivált egy függvény változási sebessége.
Az ábrán három függvény grafikonja látható. Szerinted melyik nő gyorsabban?
A válasz nyilvánvaló - a harmadik. Neki van a legtöbb nagy sebesség változásokat, vagyis a legnagyobb származékot.
Íme egy másik példa.
Kostya, Grisha és Matvey egyszerre kapott munkát. Nézzük meg, hogyan változott a bevételük az év során:
A grafikon mindent egyszerre mutat, nem? Kostya bevétele hat hónap alatt több mint kétszeresére nőtt. És Grisha bevétele is nőtt, de csak egy kicsit. És Matvey jövedelme nullára csökkent. A kiindulási feltételek ugyanazok, de a függvény változási sebessége, azaz származéka, - különböző. Ami Matveyt illeti, a származtatott jövedelme általában negatív.
Intuitív módon könnyen megbecsülhetjük egy függvény változási sebességét. De hogyan tegyük ezt?
Valójában azt nézzük, hogy egy függvény grafikonja milyen meredeken megy felfelé (vagy lefelé). Más szóval, milyen gyorsan változik y, amikor x változik? Nyilvánvalóan ugyanaz a funkció különböző pontokat lehet eltérő jelentése származéka – vagyis gyorsabban vagy lassabban változhat.
Egy függvény deriváltját jelöljük.
Megmutatjuk, hogyan találhatja meg grafikon segítségével.
Valamelyik függvény grafikonja készült. Vegyünk egy pontot, amelyen abszcissza van. Rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára ezen a ponton. Meg akarjuk becsülni, milyen meredeken emelkedik a függvénygrafikon. Ennek kényelmes értéke az az érintőszög érintője.
Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára ebben a pontban húzott érintőszög érintőjével.
Figyelem - az érintő dőlésszögeként az érintő és az érintő közötti szöget vesszük pozitív irány tengelyek
Néha a tanulók megkérdezik, hogy mi az érintője egy függvény grafikonjának. Ez egy egyenes vonal ezt a területet az egyetlen közös pont grafikonnal, és az ábránkon látható módon. Úgy néz ki, mint egy kör érintője.
Találjuk meg. Emlékezzünk arra, hogy egy hegyesszög érintője in derékszögű háromszög egyenlő az aránnyal a szomszédos oldallal ellentétes oldalon. A háromszögből:
A deriváltot egy gráf segítségével találtuk meg anélkül, hogy a függvény képletét is ismertük volna. Ilyen problémák gyakran találhatók a matematika egységes államvizsgáján a szám alatt.
Van még egy fontos kapcsolat. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenest az egyenlet adja meg
Az ebben az egyenletben szereplő mennyiséget ún egy egyenes lejtése. Ez egyenlő az egyenes tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintőjével.
.
Ezt értjük
Emlékezzünk erre a képletre. Kifejezi geometriai jelentése származéka.
Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára az adott pontban húzott érintő meredekségével.
Más szóval, a derivált egyenlő az érintőszög érintőjével.
Már említettük, hogy ugyanannak a függvénynek különböző pontokon különböző deriváltjai lehetnek. Nézzük meg, hogyan kapcsolódik a derivált a függvény viselkedéséhez.
Rajzoljuk meg valamelyik függvény grafikonját. Hagyja, hogy ez a függvény egyes területeken növekedjen, másokon csökkenjen, és ezzel együtt különböző sebességgel. És legyen ennek a függvénynek maximum és minimum pontja.
Egy ponton a függvény növekszik. Kialakul a pontban megrajzolt gráf érintője hegyesszög; pozitív tengelyiránnyal. Ez azt jelenti, hogy a pont deriváltja pozitív.
Ezen a ponton a funkciónk csökken. Az érintő ezen a ponton tompaszöget képez; pozitív tengelyiránnyal. Érintő óta tompaszög negatív, abban a pontban a derivált negatív.
Íme, mi történik:
Ha egy függvény növekszik, a deriváltja pozitív.
Ha csökken, a deriváltja negatív.
Mi fog történni a maximális és minimális pontoknál? Látjuk, hogy a pontokban (maximum pont) és (minimális pont) az érintő vízszintes. Ezért ezekben a pontokban az érintőszög érintője egyenlő nullával, és a derivált is nulla.
Pont - maximális pont. Ezen a ponton a függvény növekedését csökkenés váltja fel. Következésképpen a derivált előjele a ponton „pluszról” mínuszra változik.
A ponton - a minimum ponton - a derivált is nulla, de előjele „mínuszról” „pluszra” változik.
Következtetés: a derivált segítségével mindent megtudhatunk egy függvény viselkedéséről, ami érdekel.
Ha a derivált pozitív, akkor a függvény növekszik.
Ha a derivált negatív, akkor a függvény csökken.
A maximális ponton a derivált nulla, és az előjelet „plusz”-ról „mínuszra” változtatja.
A minimumponton a derivált is nulla, és az előjelet „mínusz”-ról „pluszra” változtatja.
Írjuk le ezeket a következtetéseket táblázat formájában:
| növeli | maximális pont | csökken | minimum pont | növeli | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Tegyünk két apró pontosítást. A probléma megoldásához ezekre lesz szüksége. Egy másik - az első évben, a függvények és származékok komolyabb vizsgálatával.
Lehetséges, hogy egy függvény deriváltja egy ponton nulla, de a függvénynek ezen a ponton nincs sem maximuma, sem minimuma. Ez az ún :
Egy ponton a gráf érintője vízszintes, a derivált pedig nulla. A pont előtt azonban a függvény nőtt - a pont után pedig tovább növekszik. A származék előjele nem változik - pozitív marad, ahogy volt.
Az is előfordul, hogy a maximum vagy minimum pontján a derivált nem létezik. A grafikonon ez egy éles törésnek felel meg, amikor egy adott pontban nem lehet érintőt rajzolni.
Hogyan találjuk meg a deriváltot, ha a függvényt nem gráf, hanem képlet adja meg? Ebben az esetben érvényes
Téma. Származék. A származék geometriai és mechanikai jelentése
Ha ez a határ létezik, akkor a függvényt egy ponton differenciálhatónak mondjuk. Egy függvény deriváltját (2. képlet) jelöljük.
- A származék geometriai jelentése. Nézzük meg a függvény grafikonját. Az 1. ábrából jól látható, hogy a függvény grafikonjának bármely két A és B pontjára felírható a 3) képlet. Tartalmazza az AB szekáns dőlésszögét.
Így a különbség aránya megegyezik a szekáns meredekségével. Ha az A pontot rögzítjük és a B pontot feléje mozgatjuk, akkor korlátlanul csökken, és megközelíti a 0-t, és az AB szekáns megközelíti az AC érintőt. Ezért a különbségi arány határa megegyezik az A pontban lévő érintő meredekségével. Ebből következik a következtetés.
Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége abban a pontban. Ez a származék geometriai jelentése.
- Érintőegyenlet . Vezessük le a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét egy pontban. IN általános eset a szögegyütthatós egyenes egyenlete a következő: . A b megtalálásához kihasználjuk, hogy az érintő átmegy A ponton: . Ebből következik: . Ha b helyett ezt a kifejezést helyettesítjük, megkapjuk az érintőegyenletet (4. képlet).
Előadás: A függvény deriváltjának fogalma, a derivált geometriai jelentése
A derivált függvény fogalma
Tekintsünk valamilyen f(x) függvényt, amely a teljes mérlegelési intervallumon folytonos lesz. A vizsgált intervallumon kiválasztjuk az x 0 pontot, valamint a függvény értékét ezen a ponton.
Tehát nézzük meg azt a grafikont, amelyen x 0 pontunkat, valamint az (x 0 + ∆x) pontot jelöljük. Emlékezzünk vissza, hogy ∆х a távolság (különbség) két kiválasztott pont között.
Azt is érdemes megérteni, hogy minden x-nek felel meg sajátérték függvények y.
A függvény értékei közötti különbséget az x 0 és (x 0 + ∆x) pontban a függvény növekményének nevezzük: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).
Figyeljünk oda további információk, amely a grafikonon egy KL szekáns, valamint az általa alkotott háromszög KN és LN intervallumokkal.
Azt a szöget, amelyben a metsző található, dőlésszögének nevezzük, és α-val jelöljük. Könnyen megállapítható, hogy fokmérő LKN szög is egyenlő α-val.
Most emlékezzünk a tgα = LN / KN = ∆у / ∆х derékszögű háromszög összefüggéseire.
Vagyis a szekáns szög érintője egyenlő a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányával.
Egyszerre a derivált a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa infinitezimális intervallumokon.
A derivált határozza meg, hogy egy függvény milyen sebességgel változik egy adott területen.
A származék geometriai jelentése
Ha megtalálja bármely függvény deriváltját egy bizonyos ponton, akkor meghatározhatja, hogy az adott áramban a grafikon érintője az OX tengelyhez képest milyen szögben helyezkedik el. Ügyeljen a grafikonra - az érintőleges dőlésszöget φ betűvel jelöljük, és az egyenes egyenletében szereplő k együttható határozza meg: y = kx + b.
Vagyis arra a következtetésre juthatunk, hogy a derivált geometriai jelentése az érintőszög érintője a függvény valamely pontjában.
Absztrakt nyílt óra GBPOU tanár Tanárképző 4. sz. Szentpétervár"
Martusevics Tatyana Olegovna
Időpont: 2014.12.29.
Téma: A származékok geometriai jelentése.
Az óra típusa: új anyagok tanulása.
Oktatási módszerek: vizuális, részben keresés.
Az óra célja.
Mutassuk be egy függvény grafikonjának érintő fogalmát egy pontban, derítsük ki a derivált geometriai jelentését, származtassuk az érintő egyenletét, és tanítsuk meg, hogyan kell megtalálni.
A származék geometriai jelentésének megértése; az érintőegyenlet levezetése; megtanulni alapvető problémákat megoldani;
ismétlést biztosít a „Származék meghatározása” témában;
megteremteni a tudás és készségek ellenőrzésének (önkontrolljának) feltételeit.
Fejlesztési feladatok:
elősegíti a készségek kialakulását az összehasonlítás, az általánosítás és a legfontosabb kiemelési technikák alkalmazásához;
a matematikai horizont, a gondolkodás és a beszéd, a figyelem és a memória fejlesztésének folytatása.
Oktatási feladatok:
felkelti az érdeklődést a matematika iránt;
aktivitás, mobilitás, kommunikációs készségek oktatása.
Az óra típusa – kombinált óra IKT segítségével.
Felszerelés – multimédiás installáció, bemutatóMicrosoftHatalomPont.
Lecke szakasz
Idő
A tanári tevékenység
Diák tevékenység
1. Szervezeti mozzanat.
Mondja el az óra témáját és célját!
Téma: A származékok geometriai jelentése.
Az óra célja.
Mutassuk be egy függvény grafikonjának érintő fogalmát egy pontban, derítsük ki a derivált geometriai jelentését, származtassuk az érintő egyenletét, és tanítsuk meg, hogyan kell megtalálni.
A tanulók felkészítése az órai munkára.
Felkészülés az órai munkára.
Az óra témájának és céljának megértése.
Jegyzetelés.
2. Felkészülés az új tananyag elsajátítására ismétléssel és frissítéssel háttértudás.
Az alapismeretek ismétlésének és aktualizálásának megszervezése: a származék meghatározása és fizikai jelentésének megfogalmazása.
A származék definíciójának megfogalmazása és fizikai jelentésének megfogalmazása. Az alapismeretek ismétlése, frissítése, megszilárdítása.
Az ismétlés megszervezése és a származékkeresési készség fejlesztése teljesítmény funkcióés elemi függvények.
Ezen függvények deriváltjának megkeresése képletek segítségével.
Tulajdonságok ismétlése lineáris függvény.
Ismétlés, rajzok és tanári nyilatkozatok észlelése
3. Munka új anyaggal: magyarázat.
A függvénynövekmény és az argumentumnövekmény közötti kapcsolat jelentésének magyarázata
A származék geometriai jelentésének magyarázata.
Új anyagok megismertetése szóbeli magyarázatokkal képekkel és szemléltető eszközökkel: multimédiás bemutató animációval.
Magyarázat érzékelése, megértés, tanári kérdések megválaszolása.
Nehézség esetén kérdés megfogalmazása a tanárnak.
Észlelés új információk, annak elsődleges megértése és megértése.
Nehézség esetén kérdések megfogalmazása a tanárnak.
Jegyzet létrehozása.
A származék geometriai jelentésének megfogalmazása.
Három eset mérlegelése.
Jegyzetelés, rajzok készítése.
4. Munka új anyagokkal.
A tanult anyag elsődleges megértése, alkalmazása, konszolidációja.
Mely pontokon pozitív a derivált?
Negatív?
Egyenlő a nullával?
Oktatás a kérdések megválaszolására szolgáló algoritmus megtalálásában ütemterv szerint.
Az új információk megértése, értelmezése és alkalmazása egy probléma megoldására.
5. A tanult anyag elsődleges megértése, alkalmazása, konszolidációja.
A feladat feltételeinek üzenete.
A feladat feltételeinek rögzítése.
Nehézség esetén kérdés megfogalmazása a tanárnak
6. Az ismeretek alkalmazása: önálló nevelő-oktató munka.
Oldja meg a problémát saját maga:
A megszerzett ismeretek alkalmazása.
Önálló munkavégzés a derivált rajzból való megtalálásának problémájának megoldásáról. A válaszok megbeszélése, ellenőrzése párban, kérdés megfogalmazása a tanárnak nehézség esetén.
7. Munka új anyaggal: magyarázat.
Egy függvény grafikonjának érintő egyenletének levezetése egy pontban.
Részletes magyarázat függvény grafikonjának érintő egyenletének levezetése egy pontban multimédiás prezentáció segítségével az érthetőség kedvéért, a tanulói kérdések megválaszolása.
Az érintőegyenlet levezetése a tanárral közösen. Válaszok a tanári kérdésekre.
Jegyzetelés, rajz készítés.
8. Munka új anyaggal: magyarázat.
A tanulókkal folytatott párbeszédben egy algoritmus levezetése egy adott függvény grafikonjának érintő egyenletének megtalálására adott pontban.
A tanárral folytatott párbeszéd során alkosson egy algoritmust egy adott függvény grafikonjának érintőjének egyenletének megtalálásához egy adott pontban.
Jegyzetelés.
A feladat feltételeinek üzenete.
A megszerzett ismeretek alkalmazásának képzése.
Problémamegoldási módok keresésének megszervezése és azok megvalósítása. részletes elemzés megoldások magyarázattal.
A feladat feltételeinek rögzítése.
Feltételezések megfogalmazása kb lehetséges módjai a probléma megoldása az akcióterv egyes pontjainak megvalósítása során. A feladat megoldása a tanárral közösen.
A probléma megoldásának és a válasznak a rögzítése.
9. Az ismeretek alkalmazása: önálló, oktató jellegű munka.
Egyéni vezérlés. Szükség esetén tanácsadás és segítségnyújtás a hallgatóknak.
Ellenőrizze és magyarázza el a megoldást bemutató segítségével.
A megszerzett ismeretek alkalmazása.
Önálló munka a származék rajzból való megtalálásának problémájának megoldásán. A válaszok megbeszélése, ellenőrzése párban, kérdés megfogalmazása a tanárnak nehézség esetén
10. Házi feladat.
§48, 1. és 3. feladat, értse meg a megoldást, és írja le füzetbe, rajzokkal.
№ 860 (2,4,6,8),
Üzenet házi feladat megjegyzésekkel.
Házi feladat rögzítése.
11. Összegzés.
Megismételtük a derivált definícióját; fizikai jelentése származéka; egy lineáris függvény tulajdonságai.
Megtudtuk, mi a származék geometriai jelentése.
Megtanultuk levezetni egy adott függvény grafikonjának érintőjének egyenletét egy adott pontban.
Óraeredmények javítása, pontosítása.
Az óra eredményeinek felsorolása.
12. Reflexió.
1. A leckét: a) könnyűnek találtad; b) általában; c) nehéz.
a) teljesen elsajátítottam, alkalmazni tudom;
b) megtanulták, de nehezen tudják alkalmazni;
c) nem értette.
3. Multimédiás bemutató osztályban:
a) segített az anyag elsajátításában; b) nem segített elsajátítani az anyagot;
c) megzavarta az anyag asszimilációját.
Reflexió lebonyolítása.
Munka típusa: 7
Állapot
Az y=3x+2 egyenes érinti az y=-12x^2+bx-10 függvény grafikonját.
Határozzuk meg b-t, feltéve, hogy az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
Megoldás
A derivált értéke az x_0 pontban megegyezik az érintő meredekségével, azaz y"(x_0)=-24x_0+b=3. Másrészt az érintőpont egyszerre tartozik az érintő grafikonjához. függvényt és az érintőt, azaz -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 egyenletrendszert kapunk \begin(esetek) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(esetek)
Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy x_0=-1 vagy x_0=1.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Munka típusa: 7
Válasz
Állapot
Téma: A származékok geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője
Határozzuk meg b-t, feltéve, hogy az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
Az y=-3x+4 egyenes párhuzamos az y=-x^2+5x-7 függvény grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintőpont abszcisszáját! Az y=-x^2+5x-7 függvény grafikonjához tartozó egyenes szögegyütthatója egy tetszőleges x_0 pontban egyenlő y"(x_0). De y"=-2x+5, ami y-t jelent" (x_0)=-2x_0+5 A feltételben megadott y=-3x+4 egyenes együtthatója egyenlő a -3-mal
lejtőkön
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
. Ezért találunk olyan x_0 értéket, hogy =-2x_0 +5=-3. A következőt kapjuk: x_0 = 4. Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára.
Munka típusa: 7
Válasz
Állapot
Határozzuk meg b-t, feltéve, hogy az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
Profilszint " Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova. Az ábrából meghatározzuk, hogy az érintő átmegy az A(-6; 2) és B(-1; 1) pontokon.
Jelöljük C(-6; 1) az x=-6 és y=1 egyenesek metszéspontját, valamint \alpha szög ABC(a képen látszik, hogy éles). Ekkor az AB egyenes \pi -\alpha szöget zár be az Ox tengely pozitív irányával, amely tompaszög. Mint ismeretes, tg(\pi -\alpha) lesz az f(x) függvény deriváltjának értéke az x_0 pontban.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Jegyezze meg
Munka típusa: 7
Válasz
Állapot
tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Innen a redukciós képletekkel a következőket kapjuk:.
Határozzuk meg b-t, feltéve, hogy az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.
Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova.
Az y=-2x-4 egyenes érinti az y=16x^2+bx+12 függvény grafikonját. Határozzuk meg b-t, mivel az érintőpont abszcisszája
nagyobb nullánál
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Jegyezze meg
Munka típusa: 7
Válasz
Állapot
Az ábra a (-2; 8) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja.
Megoldás megjelenítése
Határozza meg azon pontok számát, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az y=6 egyenessel! Az y=6 egyenes párhuzamos az Ox tengellyel. Ezért találunk olyan pontokat, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az Ox tengellyel. On
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Jegyezze meg
Munka típusa: 7
Válasz
Állapot
ezt a diagramot
Határozzuk meg b-t, feltéve, hogy az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
az ilyen pontok szélsőséges pontok (maximum vagy minimum pontok). Amint látja, 4 szélsőséges pont van.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Jegyezze meg
Munka típusa: 7
Válasz
Állapot
Az y=4x-6 egyenes párhuzamos az y=x^2-4x+9 függvény grafikonjának érintőjével.
Megoldás megjelenítése
Keresse meg az érintőpont abszcisszáját!
Előző cikk: Az y=x^2-4x+9 függvény grafikonjának érintőjének meredeksége egy tetszőleges x_0 pontban egyenlő y"(x_0). De y"=2x-4, ami azt jelenti, hogy y"(x_0)= 2x_0-4 A feltételben megadott y =4x-7 érintő meredeksége egyenlő 4-gyel. A párhuzamos egyenesek szögegyütthatója tehát 2x_0-4=4. Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete