Hogyan készítsünk intervallum sorozatot. Intervallum variációs sorozat

A feldolgozott adatok alapján több modell is felépíthető.

Téglalap alakú valós értékű mátrix

Az adatfeldolgozás után egy téglalap alakú valós mátrixot kaptunk. Ez a mátrix az OKPD osztályozó n osztályára vonatkozó, m régióban kötött szerződések összértékét tükrözi (emlékezzünk rá, hogy m=86) (minden szerződés 62 különböző besorolási kóddal történt). Tehát a kapott mátrix m n-dimenziós vektorból áll.

A mátrix elemei 0-tól rubelig terjedő tartományban erős szórással rendelkeznek. Ilyen nagy hatótávolság problémákat okozhat a további adatelemzés során. Ezen túlmenően egyes osztályozók „népszerűek”, és gyakori és nagy mennyiségű vásárláshoz használják őket, mint például a 45-ös osztályozó kódhoz. Ugyanakkor a 12-es osztályozó kód (urán- és tóriumércek) nagyon ritka vásárlásokat tartalmaz kis összegek. A fentiekkel kapcsolatban fontos ezeknek a mennyiségeknek a hozzájárulását valahogy kiegyenlíteni és az adatokat normalizálni. Az adatnormalizálás az eredeti adatok megváltoztatásának és dimenzió nélküli formába hozásának folyamata. Ez a folyamat jobb adatminőséghez vezet.

Ennek a mátrixnak a normalizálására a következő módszerek közül választhat: normalizálás az egyes régiók szerződéseinek teljes összegéből, normalizálás az egyes osztályozó kódok teljes összegéből, a régió népessége.

1) Normalizálás régiónként

Bármely régió esetében az egyes osztályozók részvételi arányának meghatározása a szerződésérték összegének kialakításában az i. régióban.

2) Normalizálás osztályozó kódokkal

Tetszőleges osztályozó kódnál az egyes régiók részvételi arányának megállapítása a szerződési érték összegének kialakításában az osztályozó kódok szerint j.

3) Normalizálás a régiók számával

A mátrix minden elemét el kell osztani a megfelelő régió populációjával.

Megfontolhatja a szabványos adatnormalizálási módszereket is:

1) Mini-max lineáris normalizálás

hol van a minimum és maximális érték költségek a vektor minden i régiójára.

Ez a normalizálás az összes adatot egy tartományon belüli értékekre hozza.

2) N típusú eloszlásra való csökkentés (adatszabványosítás)

hol van a matek. elvárás,

a vektor szórása.

3) Nemlineáris normalizálás

Ez a módszer az eredeti és a normalizált adatok közötti nemlineáris kapcsolaton alapul. Ki kell választani egy bizonyos adattömböt, normalizáltnak nevezni és az alapján normalizáló függvényt felépíteni. Az összes többi adatot normalizálni kell ennek a függvénynek megfelelően.

Négyzetes távolságmátrix

Egy téglalap alakú valós mátrixból továbbléphetünk a régiók közötti távolságok mátrixára. Ez egy négyzet alakú mátrix lesz. A távolság az alábbi mérőszámok egyikével számítható ki.

Nézzük a leggyakoribb mérőszámokat:

1) Euklideszi távolság

A leggyakoribb mérőszám a geometriai távolság többdimenziós térben.

2) Minkowski metrika

Az úgynevezett teljesítménytávolság. BAN BEN ebben az esetben r a nagy távolságkülönbségek súlyozásáért, p a koordinátakülönbségek súlyozásáért felel. Figyeljük meg, hogy ha r,p=2 egybeesik az euklideszi távolsággal.

3) Manhattan Metric

Várostömb metrikának is nevezik. A koordináták közötti átlagos különbségként számítják ki. Jellemzően az euklideszi távolsághoz hasonló eredményeket ad, de előnye van a minták esetében nagy értékek kibocsátások.

4) Koszinusz hasonlóság

Ez az intézkedés ritka vektorok esetén hatásos, mert csak a nullától eltérő értékeket számolja a rendszer. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha az eredeti valós mátrixot átalakítjuk (egy bizonyos küszöbön levágják az adatokat), és ritkábbá teszik.

5) Hamming távolság

Ez a Minkowski-metrika egy speciális esete, és erre használják bináris vektorok. Ahhoz, hogy ezt a távolságot alkalmazzuk a távolságmátrix kiszámításakor ebben a feladatban, egy kezdőbetűre van szükség valós értékű mátrix binárishoz vezet (egy bizonyos küszöb bevezetésével).

Közelítési grafikon

A méret közelségi gráf a távolságmátrixból származik valamilyen küszöbérték vagy a csúcsok foka alapján. Mivel a távolságmátrix nem ritka, figyelembe vehetünk bizonyos küszöbértékeket, például minden sorban a felső 5 elemet (minden osztályozó kódhoz), vagy az oszlopok felső 5 elemét (minden régióhoz). Ily módon ritka mátrixot kaphat, amely lehetővé teszi az eredmények tisztábban történő megjelenítését.

A fent leírt modellek univerzálisak a vizsgált probléma keretein belül.

Először is, nemcsak a 2015-ös, hanem bármely időszaki adatokra is alkalmazhatók.

Másodszor, különböző vágásokkal és különböző küszöbértékekkel hasonló mátrixokhoz léphet, ami azt jelenti, hogy ezt a modellt többször is alkalmazhatja a különböző helyzetektől függően.

Ez a rész hármat ismertet matematikai modellek. Valós értékű téglalap mátrixból négyzetes távolságmátrixot kaphatunk. A fent leírt mérőszámok használhatók távolságmérőként. A távolságmátrixból bizonyos küszöbértékek és/vagy korlátozások bevezetésével ritka közelségi gráfot kaphatunk.

Az utolsó bekezdésben hangsúlyoztuk, hogy nagyon fontos szerepet játszik az ott bevezetett $A$ szomszédsági mátrix, pontosabban a gráf csúcsszomszédsági mátrixa. fontos szerep a gráfelméletben. Megjegyeztük ennek a mátrixnak az előnyeit - ez a sorrend négyzetes számával egyenlő a $B$ előfordulási mátrix sorai, azaz általában kisebb számú elemet tartalmaz. Másodszor, ez a mátrix minden információt tárol a gráf éleiről, és adott csúcsszámozással egyedileg írja le a gráfot. A szomszédsági mátrix a gráf incidenciamátrixához hasonlóan (0,1) mátrix, azaz. elemei más algebrai struktúrák elemeinek is tekinthetők, nem csak az egész számok halmazának elemeinek. Külön megjegyeztük, hogy a szomszédsági mátrix elemei a Boole-algebra elemeinek tekinthetők, a logikai aritmetika törvényei szerint, de ezt nem magyaráztuk meg megfelelően. Mielőtt ezt a hiányt pótolnánk, hangsúlyozzuk a szomszédsági mátrix négyzetességéből adódó előnyeit.

Ehhez idézzük fel a mátrixszorzás szabályait. Legyen tetszőleges mátrixok numerikus elemek: $A$ mátrix a $n\szer m$ dimenzióból $a_(ik)$ elemekkel és $B$ mátrix a $m\x q$ dimenziójú $b_(kj)$ elemekkel. A $n\x q$ méretű $C$ mátrixot a $A$ mátrix $B$ szorzatának nevezzük (a sorrend fontos), ha a $c_(ij)$ elemei meg vannak határozva a következő módon: $c_(ij) = \sum\limits_(k = 1)^m (a_(ik) b_(kj))$. A mátrixok szorzatát a szokásos módon írjuk fel: $AB=C$. Amint látjuk, a mátrixok szorzata megköveteli az első és a második faktor méretének konzisztenciáját (az első faktormátrix oszlopainak száma megegyezik a második faktormátrix sorainak számával). Ez a követelmény megszűnik, ha azonos sorrendű négyzetmátrixokat veszünk figyelembe, és ezért egy négyzetmátrix tetszőleges hatványait is figyelembe vehetjük. Ez az egyik előnye négyzetes mátrixok a téglalap alakúak előtt. További előnye, hogy a szomszédsági mátrix fokelemeihez gráfértelmezést tudunk adni.

Legyen a $A$ szomszédsági mátrix alakja: $A = \left(((\begin(array)(*c) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_) (1n ) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (... ) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \\ \end(array) )) \right)$, és $ k$-ik fokozata — $A^k = \left(((\begin(array)(*c) (a_(11)^((k)) ) & (a_(12)^((k)) ) & (...) & (a_(1n)^((k)) \\ (a_(21)^((k)) ) & (a_(22)^((k)) ) & (. .) & (a_(2n)^((k)) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1)^( ( k)) ) & (a_(n2)^((k)) ) & (...) & (a_(nn)^((k)) ) \\ \end(array) )) \right)$ , ahol $k = 2,3,...$ Nyilvánvalóan $A^k$, akárcsak a $A$ mátrix, szimmetrikus mátrix lesz.

Legyen $k=2$. Ekkor $a_(ij)^((2)) = \sum\limits_(k = 1)^n (a_(il) a_(lj))$ ($i,j = 1,2,...,n $), és minden $a_(il) a_(lj)$ tag egyenlő vagy $0$ vagy $1$ értékkel. Az az eset, amikor $a_(il) a_(lj) = 1$ azt jelenti, hogy a gráfnak két éle van: a $\(i,l\)$ él (mivel $a_(il) = 1)$ és az él $\( l,j\)$ (mivel $a_(lj) = 1$), és ezért a $\(( \(i,l\), \(l,j\) )\)$ elérési útja $i $--edik csúcs a $j$-adik, kettes hosszúságú csúcshoz (két élből álló út). Itt arról beszélünk konkrétan egy útvonalról, nem egy láncról, mivel a jelzett irány az $i$-edik csúcstól a $j$-edik csúcsig van. Így az $a_(ij)^((2))$ megadja a gráfon (a gráf geometriai értelmezésében) a $i$-edik csúcsból a $j$-ba vezető 2 hosszúságú összes útvonal számát. -th.

Ha $k=3$, akkor $A^3 = A^2A = AA^2 = AAA$ és $a_(ij)^((3)) = \sum\limits_(l_1 = 1)^n (a_( il_1 ) ) a_(l_1 j)^((2)) = $ $\sum\limits_(l_1 = 1)^n (a_(il_1 ) ) \left((\sum\limits_(l_2 = 1)^n ( a_(l_1 l_2 ) a_(l_2 j) ) \right) =$ $\sum\limits_(l_1 = 1)^n (\sum\limits_(l_2 = 1)^n (a_(il_1 ) ) ) a_( l_1 l_2 ) a_(l_2 j) = \sum\limits_(l_1 ,l_2 = 1)^n (a_(il_1 ) a_(l_1 l_2 ) a_(l_2 j) )$.

Az $a_(il_1 ) a_(l_1 l_2 ) a_(l_2 j) $ kifejezés, ha egyenlő 1-gyel, egy 3 hosszúságú utat definiál, amely a $i$-edik csúcstól a $j$-edikig megy és áthalad a $l_1$ és $l_2$ csúcsok. Ekkor $a_(ij)^((3))$ megadja a $i$-edik és a $j$-adik csúcsot összekötő 3 hosszúságú utak számát. BAN BEN általános eset Az $a_(ij)^((k))$ a $i$-edik és a $j$-adik csúcsot összekötő $k$ hosszúságú utak számát adja meg. Ebben az esetben $a_(ij)^((k)) = \sum\limits_(l_1 ,l_2 ,...,l_(k - 1) = 1)^n (a_(il_1 ) a_(l_1 l_2 ) .. .) a_(l_(k - 2) l_(k - 1) ) a_(l_(k - 1) j)$.

Nyilvánvaló, hogy az $a_(ii)^((k)) $ érték megadja a $k$ hosszúságú zárt utak számát, amelyek a $i$ csúcson kezdődnek és végződnek. Így egy 2 - $a_(il) a_(li)$ hosszúságú út a $\(i,l \)$ él mentén haladó utat jelent $i$ csúcstól $l$ csúcsig és vissza. Ezért $a_(ii)^((2)) = s_i$, azaz. az $A^2$ mátrix átlós elemei egyenlők a megfelelő csúcsok fokszámaival.

Tekintsük most az $A$ mátrix mellett a $\dot (A)$ mátrixot, amely csak annyiban különbözik a $A$ mátrixtól, hogy elemeit (0 vagy 1 számokat) a Boole-algebra elemeinek tekintjük. Ezért az ilyen mátrixokkal végzett műveleteket a Boole-algebra szabályai szerint hajtják végre. Mivel a Boole-elemeket tartalmazó mátrixok összeadása és szorzása a logikai aritmetika szabályai szerint ezen mátrixok elemeinek összeadására és szorzására redukálódik, reméljük, hogy ez nem okoz nehézségeket. A Boole-elemeket tartalmazó mátrixot logikai mátrixnak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy a Boole-féle mátrixok összeadási és szorzási műveletei a Boole-féle mátrixok halmazán zártak, azaz. ezeknek a műveleteknek az eredménye ismét egy Boole-mátrix lesz.

Nyilvánvaló, hogy a csúcsok adott számozása esetén egy az egyhez megfelelés van a Boole-féle szomszédsági mátrixok és gráfok között. Ezért érdekes a Boole-féle szomszédsági mátrixok összeadási és hatványozási műveleteinek gráf értelmezése (általános esetben két azonos rendű szimmetrikus mátrix szorzata nem feltétlenül szimmetrikus mátrix).

Két azonos rendű logikai szimmetrikus mátrix összeadásának eredménye egy azonos rendű logikai szimmetrikus mátrix lesz nullákkal azokon a helyeken, ahol mindkét tag nulla, azokon a helyeken pedig egyesek, ahol legalább az egyik tagnak van egy. A gráfértelmezésben ezt a műveletet műveletnek nevezzük grafikon hozzáadása. Két grafikon összege, ugyanazon a csúcshalmazon, azonos számozással egy gráfot hívunk meg, amelynek i és j csúcsai nem szomszédosak, ha nem szomszédosak mindkét gráfkomponensben, és az i és j csúcsok szomszédosak, ha szomszédosak legalább egy gráftag.

Most értelmezzük a $\dot (A)^2$ logikai szomszédsági mátrix második fokát a $\dot (a)_(ij)^((2)) = \sum\limits_(l = 1)^ elemekkel. n (\pont ( a)_(il) \pont (a)_(lj) )$. Nyilvánvaló, hogy $\pont (a)_(ij)^((2)) = 1$, ha legalább egy $\pont (a)_(il) \pont (a)_(lj) $ tag egyenlő 1-hez és $\pont (a)_(ij)^((2)) = 0$, ha minden tag egyenlő 0-val. Ha a $\pont (A)$ mátrix valamely gráf szomszédsági mátrixa, azaz. egy szimmetrikus (0,1) mátrix nulla főátlóval, akkor a $\dot (A)^2$ mátrix általában véve nem szomszédsági mátrixa egy gráfnak abban az értelemben, ahogyan azt elfogadjuk, mivel minden átlós eleme egyenlők 1-gyel (ha a gráfnak nincsenek elszigetelt csúcsai). Ahhoz, hogy az ilyen mátrixokat szomszédsági mátrixoknak tekintsük, meg kell vizsgálnunk néhány csúcspontja közötti kapcsolatokat. csatlakoztatott rendszer, ezt a rendszert gráfként definiálva lehetővé teszik, hogy egyes csúcsok önmagukhoz kapcsolódjanak. Egy „élt”, amely egy bizonyos csúcs önmagával való kapcsolatát határozza meg, nevezzük hurok. Továbbá, mint korábban, a gráf szó alatt egy hurok nélküli gráfot, és egy hurokkal rendelkező gráfot fogunk érteni, ha ez nem világos a szövegkörnyezetből, akkor ezt mondjuk - hurkokkal rendelkező gráfot.

Tekintsük a $\pont (A)^() = \pont (A) + \pont (A)^2$ összeget. A $\dot (A)^()$ mátrix ad nekünk egy gráfot, amelyet az eredetiből úgy kapunk, hogy további kapcsolatokkal „telítjük” a 2 hosszúságú útvonalaknak megfelelően. Azaz az új gráfban a $i$ és a $ csúcsok j$ akkor szomszédos, ha az eredeti gráfban szomszédosak, vagy ezeket a csúcsokat valamilyen 2 hosszú út köti össze, és a $i$ és $j$ nem szomszédosak, ha nem szomszédosak az eredeti gráfban és ott nem 2 hosszúságú út köti össze ezeket a csúcsokat.

$\pont (A)^() = \pont (A) + \pont (A)^2 + \pont (A)^3$ hasonlóan van definiálva. Azaz a $\pont (A)^()$ mátrix által meghatározott gráfban a $i$ és $j$ csúcsok szomszédosak, ha szomszédosak a $\pont (A)^()$ gráfban, vagy ezek A csúcsok valamilyen módon 3 hosszúságúak az eredeti gráfban, és a $i$ és $j$ nem szomszédosak, ha nem szomszédosak a $\dot (A)^()$ gráfban, és nincs 3 hosszúságú út összekötve ezeket a csúcsokat az eredeti gráfban. Stb.

Általában $\pont (A)^([k]) = \sum\limits_(i = 1)^k (\pont (A)^i) $. Könnyen belátható, hogy a $k \ge n - 1$ összes $\pont (A)^([k])$ értéke, ahol $n$ a $\pont (A)$ mátrix sorrendje, egyenlő egymáshoz. Valójában, ha a $i$ és $j$ csúcsok össze vannak kötve, akkor van egy út (lánc), amely összeköti ezeket a csúcsokat, és ezért van egy egyszerű út (egyszerű lánc), amely összeköti ezeket a csúcsokat. Egy $n$-csúcs gráfban a lehetséges maximális egyszerű útvonal $n-1$ hosszúságú (egy egyszerű út, amely a gráf összes különálló csúcsát összeköti). Ezért ha a $\pont (A)^()$ mátrixban 1 van a $(i,j)$ helyen, akkor a $\pont (A)^([k] )$ a $k \ge n - 1$ pontban szintén 1 lesz, mivel a $\dot (A)^()$ mátrix logikai kifejezésként szerepel a $\pont (A)^([ k])$. Ha a $\pont (A)^()$ mátrixban a $(i,j)$ helyett 0 van, akkor ez azt jelenti, hogy nincs egyszerű lánc a gráfban, amely összeköti a $i$-edik és $j. $- csúcsok, és ezért egyáltalán nincs lánc, amely összekötné ezeket a csúcsokat. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált esetben és a $\dot (A)^([k])$ mátrixban $k \ge n - 1$ esetén 0 lesz a helyén ($i$,$j)$. Ezt bizonyítja az állításunk az összes $\dot (A)^([k])$ mátrix egyenlőségéről $k \ge n - 1$ esetén a $\pont (A)^()$ mátrixszal, és ezért , egymáshoz.

A $\dot (A)^()$ mátrixot hívjuk a mátrix tranzitív lezárásának mátrixa$\dot (A)$, valamint a gráf tranzitív lezárásának szomszédsági mátrixa, amelyet a $\dot (A)$ mátrix határoz meg. Teljesen nyilvánvaló, hogy egy összefüggő gráf tranzitív zárási mátrixa lesz a teljes gráf szomszédsági mátrixa, azaz. csak egyből álló négyzetmátrix. Ez a megfigyelés egy módszert is ad egy gráf összekapcsolhatóságának meghatározására: egy gráf akkor és csak akkor kapcsolódik össze, ha szomszédsági mátrixának tranzitív zárási mátrixa csak egyből áll (a teljes gráf mátrixa lesz).

A tranzitív lezáró mátrix azt is lehetővé teszi, hogy megoldjuk a gráf összekapcsolt komponensekre történő particionálásának problémáját.

Most mutassuk meg, hogy a tranzitív zárási eljárás hogyan teszi lehetővé az úgynevezett „távolságmátrix” felépítését. Ehhez meghatározzuk a $i$ és $j$ csúcsok távolságát. Ha $i$ és $j$ csúcsok össze vannak kötve, akkor távolság közöttük az ezeket a csúcsokat összekötő minimális (a bejárt élek számát tekintve) egyszerű út hosszát nevezzük; ha a $i$ és $j$ csúcsok szét vannak kapcsolva, akkor a távolságot nullára állítjuk (nulla az ezeket a csúcsokat összekötő útvonalak negációja). Ezzel a távolságdefinícióval a csúcs és önmaga közötti távolság egyenlő 2-vel (az út hossza az él mentén és visszafelé). Ha a csúcsban van hurok, akkor a csúcs és önmaga közötti távolság 1.

Egy $n$ csúcsú gráf távolságmátrixának összeállításához $A$ szomszédsági mátrixszal, amely bármely két csúcs közötti távolságot jelezné, figyelembe vesszük a $A^(\(k\)) = A^ mátrixokat. ([k]) - A^()$, ahol $k = 2,3,...,n - 1$ és $A^(\(1\)) = A^() = A$. A pontok hiánya a mátrixjelölés felett azt jelzi, hogy a $A^([k])$ ($k = 1,2,...,n - 1)$ mátrixokat numerikus (0,1)-mátrixoknak tekintjük, természetesen a $\dot (A)^([k])$ mátrixokból kapjuk (most a 0 és 1 Boole-elemeket 0 és 1 számoknak tekintjük). A $A^([k])$ mátrixok felépítésének módszeréből az következik, hogy $A^([k]) \ge A^()$ ($k = 2,3,...,n - 1$) és ezért $A^(\(k\))$ ($k = 1,2,...,n - 1$) (0,1)-mátrixok. Ráadásul a $A^(\(2\))$ mátrix csak azokon a helyeken tartalmaz 1-et, ahol az e hely által meghatározott csúcsokat (sorszám és oszlopszám) valamilyen kettes hosszúságú út köti össze, és nem rövidebb. pálya. Hasonlóképpen, $A^(\(3\))$ csak azokon a helyeken tartalmaz 1-et, ahol az e hely által meghatározott csúcsokat egy három hosszúságú út köti össze, és nincs összekötve rövidebb úttal stb. Így a $D = \sum\limits_(k = 1)^(n - 1) (k \cdot A^(\(k\)))$ mátrix lesz a szükséges távolságmátrix. Ennek a mátrixnak a $d_(ij)$ eleme lesz egyenlő a távolsággal$i$ és $j$ csúcsok között. A $u$ és $v$ csúcsok közötti távolságot szintén $d(u,v)$-ként jelöljük.

Megjegyzés. Konkrét termékkifejezés $a_(il_1 ) a_(l_1 l_2 ) ...a_(l_(k - 2) l_(k - 1) ) a_(l_(k - 1) j) = 1$ elem $a_(ij ) Az $A^k$ szomszédsági mátrix $k$-edik hatványának ^((k))$ egy adott $(i,j)$-útvonalat ad meg $i\(i,l_1\)l_1 \(l_1 , l_2 \)l_2 ...l_(k - 2) \(l_(k - 2) ,l_(k - 1) \)l_(k - 1) \(l_(k - 1) ,j\)j$ $i$ -edik csúcstól $j$-edikig. A szomszédos csúcsok és az őket összekötő élek sorozata $i\(i,l_1 \)l_1 \(l_1 ,l_2 \)l_2 ...l_(k - 2) \(l_(k - 2) ,l_(k - 1) \ )l_(k - 1) \(l_(k - 1) ,j\)j$ is hívják $(i,j)$-útvonal. Az útvonal abban különbözik a lánctól, amely csak különböző szomszédos élekből áll, mivel az útvonal lehetővé teszi egyenlő élek. Egy egyszerű útvonal különböző szomszédos csúcsokból és élekből áll, pl. gyakorlatilag egybeesik egy egyszerű lánccal.

Nyilvánvaló, hogy a távolságmátrix $d_(ij) $ eleme határozza meg annak a minimális láncnak a hosszát, amely az $i$-edik csúcsot a $j$-edik csúcshoz köti.

Tekintsünk példákat az 1. és 2. ábra szerinti gráfokra, szomszédsági mátrixaikra és távolságmátrixaikra.

1. ábra ($\Gamma _1$ grafikon, $A_1$ szomszédsági mátrix, $D_1$ távolságmátrix).
$A_1 = \left(((\begin(tömb)(*c) 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end(array) )) \right), $
$D_1 = \left(((\begin(tömb)(*c) 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & 1 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 3 & 1 & 1 & 2 & 1 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 3 & 2 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ \end(array) )) \right) $

Rizs. 2 ($\Gamma _2$ grafikon, $A_2$ szomszédsági mátrix, $D_2$ távolságmátrix).
$A_2 = \left(((\begin(array)(*c) 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array) )) \right)$,
$D_2 = \left(((\begin(array)(*c) 2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 4 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ​​3 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 2\ \ 4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 1 & 3 & 3 & 4 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 4 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 & 3 & 1 & 2 \\ \end(array) )) \right). $

A $D_1$ és $D_2$ mátrixokból könnyen meghatározható átmérők$d_1$ a $\Gamma _1$ gráfból és $d_2$ a $\Gamma _2$ gráfból, mint ezen mátrixok elemeinek maximális értéke. Tehát $d_1 = 3 $, és $d_2 = 6 $.

A gráfelmélet a távolságmátrixon kívül más mátrixokat is figyelembe vesz, amelyek elemeit az út hosszán keresztül határozzák meg. Ilyen például bejárási mátrix. BAN BEN bejárási mátrix$(i,j)$-edik elem hosszával egyenlő a leghosszabb út (leghosszabb lánc) az $i$. csúcstól a $j$. csúcsig, és ha egyáltalán nincsenek ilyen utak, akkor a távolság definíciója szerint a $(i,j)$ a bejárási mátrix eleme nullával egyenlő.

A rész végén feljegyzést teszünk a minimális és maximális láncok meghatározásának módszereiről a gráf $i$-edik és $j$-edik csúcsát összekötő távolságmátrix segítségével.

Most adjunk meg még néhány gráfelmélet definíciót a csúcsok közötti távolságokkal kapcsolatban, amelyek könnyen meghatározhatók távolságmátrixokból.

Különcség$e(v)$ egy $v$ csúcs egy összekapcsolt gráfban $\Gamma$ max $d(u,v)$ a $\Gamma$ összes $u$ csúcsán. Sugár$r(\Gamma)$ a csúcsok legkisebb excentricitása. Vegye figyelembe, hogy az excentricitások közül a legnagyobb egyenlő a grafikon átmérőjével. A $v$ csúcsot a $\Gamma$ gráf központi csúcsának nevezzük, ha $e(v) = r(\Gamma)$; központ A $\Gamma$ gráf az összes központi csúcs halmaza.

Tehát az 1. ábra $\Gamma _1$ gráfjához a 13. csúcs excentricitása egyenlő lesz 2-vel ($e(13) = 2$). A 3., 5. és 10. csúcsok azonos excentricitásúak lesznek ($e(3) = e(5) = e(10) = 2$). A 2-vel egyenlő excentricitás lesz a legkisebb a $\Gamma _1$ gráfnál, azaz. $r(\Gamma _1) = 2$. A $\Gamma _1$ gráf középpontja a 3., 5., 10. és 13. csúcsokból áll. A legnagyobb excentricitás 3 lesz, és megegyezik, mint fentebb említettük, a $\Gamma _1$ gráf átmérőjével.

ábra $\Gamma _2$ gráfjához. 2, az egyetlen 4-es csúcsnak lesz a legkisebb excentricitása ($e(4) = r(\Gamma _2) = 3$). Következésképpen a $\Gamma _2$ gráf középpontja egy 4-es csúcsból áll. A $\Gamma _2$ gráf átmérője, amint fentebb megjegyeztük, 6.

A $\Gamma _2$ gráf egy fa, és bármely fa középpontjának szerkezetét az alábbiakban megadott tétel írja le.

Jordan–Sylvester tétel. Minden fának van egy középpontja, amely egy csúcsból vagy két szomszédos csúcsból áll.

Bizonyíték. Jelöljünk $K_1$-val egy izolált csúcsból álló gráfot, $K_2$-val pedig két éllel összekötött csúcsból álló gráfot. Definíció szerint a következőt tesszük: $e(K_1) = r(K_1) = 0$. Ekkor a tétel igaz lesz $K_1$ és $K_2$ esetén. Mutassuk meg, hogy bármely $T$ fának ugyanazok a központi csúcsai vannak, mint egy $(T)"$ fának, amelyet $T$-ból kapunk az összes függő csúcs eltávolításával. Nyilvánvaló, hogy egy adott $u$ csúcstól tetszőleges távolságra a $v$ másik csúcs elérheti legmagasabb érték csak akkor, ha $v$ egy függő csúcs.

Így a $(T)"$ fa minden csúcsának excentricitása pontosan eggyel kisebb, mint ugyanannak a csúcsnak a $T$-ban lévő excentricitása. Ebből következik, hogy a $T$ fa azon csúcsai, amelyeknek a legkisebb excentricitása van $-ban A T$ egybeesik azokkal a csúcsokkal, amelyeknek a legkisebb excentricitásuk van $(T)"$-ban, azaz. a $T$ és a $(T)"$ fák középpontja egybeesik. Ha folytatjuk a függőcsúcsok eltávolításának folyamatát, akkor olyan fák sorozatát kapjuk, amelyeknek a középpontja megegyezik a $T$ középpontjával. Mivel a $T$ véges, akkor szükségszerűen vagy $ K_1$-hoz, vagy $K_2$-hoz jutunk. Mindenesetre az így kapott fa összes csúcsa alkotja a fa középpontját, amely tehát vagy egyetlen csúcsból, vagy pedig egy csúcsból áll. két szomszédos csúcs.

Most mutassuk meg, hogy a távolságmátrix segítségével hogyan határozhatjuk meg például a $\Gamma _1$ gráf 4-es csúcsát a 8-as csúcsot összekötő minimális láncot. A $D_1$ mátrixban a $d_(48) = 3$ elem. Vegyük a $D_1$ mátrix 8. oszlopát, és keressük meg az oszlopban ennek az oszlopnak az összes elemét, amely egyenlő 1-gyel. Legalább egy ilyen elemet találunk a $D_1$ gráf összekapcsoltsága miatt. Valójában három ilyen egység lesz a 8. oszlopban, ezek pedig az 5., 6. és 7. sorban találhatók. Vegyük most a 4. sort, és nézzük meg az 5., 6. és 7. oszlopban található elemeket. Ezek az elemek 2, 3 és 3 lesznek. Csak az 5. oszlopban található elem egyenlő 2-vel, és az (5,8) helyen található 1-gyel együtt adja a 3-as összeget. Ez azt jelenti, hogy az 5-ös csúcs szerepel a láncban $\( \(4, ?\), \(? ,5\), \(5,8\) \)$. Vegyük most a mátrix 5. oszlopát, és vegyük ennek az oszlopnak az 1-jét. Ezek a 3., 6., 7., 8., 10. és 13. sorban található elemek lesznek. Ismét visszatérünk a 4. sorhoz, és azt látjuk, hogy csak a harmadik oszlop és a 4. sor metszéspontjában van egy 1, ami a helyén lévő 1-gyel kombinálva (3.5) összesen 2-t ad. Ezért a kívánt lánc legyen $\( \ (4,3\), \(3,5\), \(5,8\) \)$. Ha most megnéztük az 1. ábrát, meg vagyunk győződve a talált megoldás érvényességéről.

Bár a bejárási mátrixról modern tankönyvek azt mondják, hogy „nincs hatékony módszer az elemeinek megtalálására”, ne feledjük, hogy az előfordulási mátrix segítségével megtalálhatjuk az összefüggő gráf csúcspárját összekötő összes láncot, tehát maximális hosszúságú láncokat.

Legyen - csatlakoztatva irányítatlan gráf. Mivel a és a gráf bármely két csúcsa össze van kötve, léteznek egyszerű láncok, amelyeknek vége és . Több ilyen lánc is lehet. A hosszúságuk nem negatív egész szám. Ezért a csúcsok és ott között egyszerűnek kell lennie legrövidebb lánchossz. Lánc hossza legrövidebb hossza, amely összeköti a csúcsokat és a , szimbólummal jelöljük és hívjuk távolság a csúcsok és a . A-priory .

Könnyen ellenőrizhető, hogy az így bevezetett távolság fogalma kielégíti-e a metrika axiómáit:

2. akkor és csak akkor ;

3. ;

4. A háromszög egyenlőtlenség igaz:

A gráf egy rögzített csúcsánál a távolság a tőle legtávolabbi csúcstól: , hívott különcség (maximális törlés) csúcsok.

Átmérő A gráfot olyan számnak nevezzük, amely egyenlő a gráf egymástól legtávolabbi csúcsai közötti távolsággal:

.

Egy egyszerű láncot nevezünk, amelynek hossza egyenlő diametrális lánc. Nyilvánvaló, hogy a gráf átmérője egyenlő a gráf csúcsainak minden excentricitása közül a legnagyobbkal. A tetejét ún kerületi, Ha .

Egy összefüggő gráf csúcsainak minimális excentricitását ún sugárés jelölje:

Mivel a gráf átmérője egyenlő a csúcsok excentricitásai közül a legnagyobbkal, a sugár pedig a legkisebbvel, a gráf sugara nem lehet nagyobb, mint az átmérője. A tetejét ún központi, Ha . A gráf összes központi csúcsának halmazát nevezzük központ. A gráf középpontja lehet egy vagy több csúcs. Vannak gráfok, amelyek középpontja egybeesik az összes csúcsának halmazával. Például egy egyszerű lánc középpontja két pontból áll páros szám csúcsai és egyből - ha páratlan, és bármely ciklusban minden csúcs központi.

Szemléltetésképpen nézzük meg az ábra grafikonját. 4.29. Itt

Ezért

A 2. csúcs a gráf középpontja, a többi csúcsa pedig perifériás. Az 1, 2, 3 lánc az egyik átmérős lánc.

Összefüggő digráf esetén a és csúcsok közötti távolság a csúcsok közötti távolság és a gráf irányítatlan másolatában.

Folyamatosan felmerül a gráf központi csúcsainak megtalálásának problémája gyakorlati tevékenységek. Például legyen a gráf csúcsai a kis falvaknak, élei pedig a köztük lévő utaknak. Ezek szerint kell optimálisan elhelyezni települések mondjuk üzletek. Ilyen helyzetekben az optimalitási kritérium általában a „legrosszabb” eset optimalizálása, vagyis az üzlet és a legtávolabbi falu távolságának minimalizálása. Ez az optimalizálási megközelítés magában foglalja az üzletek olyan falvakban történő elhelyezését, amelyek a gráf központi csúcsait képviselik.

Grafikon bejárások

Már említettük, hogy a gráfelmélet kezdete a königsbergi hidak problémájához kapcsolódik. Ez a maga korában híres feladat a következő. Koenigsberg város (ma Kalinyingrád) hét hídja volt a Pregel folyón, amint az az ábrán látható. 4.30. A feladat az, hogy elhagyjuk a házat, és vissza kell térni, minden hídon csak egyszer kell átkelni.

Mivel a problémában csak a hídátkelőhelyeknek van jelentősége, ezért a városterv egy gráf (pontosabban multigráf) képére redukálható, melyben az élek a hidaknak, a csúcsok pedig a különböző tagolt városrészeknek felelnek meg. amelyeket betűk jelölnek (4.30. ábra, jobbra). Euler megmutatta, hogy lehetetlen egyszer végigmenni az összes königsbergi hídon és visszatérni. 1736-ban megjelent munkájában a következőket fogalmazta meg és oldotta meg gyakori probléma gráfelmélet: milyen feltételek mellett tartalmaz egy összefüggő gráf minden élén átmenő ciklust.

A gráf ciklusát ún Eulerianus, ha tartalmazza a gráf összes élét. Egy Euler-ciklust tartalmazó összefüggő gráfot nevezünk Eulerianus számol. Egy ilyen grafikon megrajzolható anélkül, hogy felemelné a ceruzát a papírról, és nem ismételné meg a vonalakat.

Például az ábrán látható grafikon. A 4.31 azért Euler-ciklus, mert tartalmazza az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 6, 1 Euler-ciklusokat. Ebben a gráfban vannak más Euler-ciklusok is. Nyilvánvaló, hogy bármely két ilyen ciklus csak abban a sorrendben tér el egymástól, ahogy az éleken áthaladnak.

4.7. Tétel.(L. Euler, 1736 .) Egy összefüggő gráf akkor és csak akkor Euleri, ha minden csúcsának foka páros.

A láncot hívják Eulerianus, ha tartalmazza a gráf összes élét.

4.8. Tétel(L. Euler, 1736 .) Egy multigráfnak akkor és csak akkor van Euler-lánca, ha össze van kötve, és a csúcsok száma páratlan fokozat egyenlő 0-val vagy 2-vel.

Az Euler- és Hamilton-ciklusok definícióinak „hasonlósága” ellenére az ilyen ciklusok létezési kritériumait és keresési algoritmusait megállapító megfelelő elméleteknek kevés a közös vonása. Euler-tétel (4.7. tétel) megkönnyíti annak meghatározását, hogy egy gráf Euleri-e. Algoritmusokat fejlesztettek ki, amelyek meglehetősen egyszerűvé teszik az Euler-gráf Euler-ciklusainak megtalálását. Ami a Hamilton-gráfokat illeti, itt lényegesen más a helyzet. Általában nagyon nehéz megválaszolni azt a kérdést, hogy egy adott gráf Hamilton-e. Itt nincs Euler-kritériumhoz hasonló általános kritérium. Ám, mint kiderült, az összes gráf halmaza között elhanyagolhatóan kevés Euler-gráf, viszont elég sok Hamilton-gráf van.

A távolságok kiszámítása és az útvonalak meghatározása egy gráfban a gráfelmélet egyik legnyilvánvalóbb és legpraktikusabb problémája. Mutassunk be néhány szükséges definíciót.

Különcség gráf csúcsai – a maximális csúcs távolsága tőle. Olyan gráfhoz, amelyre nincs definiálva súly élei, a távolság az élek számaként van definiálva.

Sugár gráf a csúcsok minimális excentricitása, és átmérő graph – csúcsok maximális excentricitása.

Központ A gráfot olyan csúcsok alkotják, amelyek excentricitása megegyezik a sugárral. A gráf középpontja állhat a gráf egy, több vagy összes csúcsából.

Kerületi a csúcsok excentricitása megegyezik az átmérővel.

Egyszerű lánc hosszúsággal egyenlő az átmérővel grafikont hívják diametrális .

12.1. Tétel.Egy összefüggő gráfban az átmérő nem nagyobb, mint a szomszédsági mátrix rangja.

12.2. Tétel.(Jordan) Minden fának van egy középpontja, amely egy vagy két szomszédos csúcsból áll.

12.3. Tétel.Ha a fa átmérője páros, akkor a fának egyetlen középpontja van, és minden átmérőjű lánc áthalad rajta, ha az átmérő páratlan, akkor két középpont van, és minden átmérőjű lánc tartalmaz egy élt, amely összeköti őket.

Magától értetődően gyakorlati jelentősége a grafikon közepén. Ha például városcsúcsokkal rendelkező utak grafikonjáról beszélünk, akkor célszerű a matematikai középpontba helyezni közigazgatási központja, raktárak stb. Ugyanez a megközelítés alkalmazható egy súlyozott gráfra is, ahol a távolságok az élek súlyai. Súlyként felveheti a pontok közötti euklideszi távolságot, időt vagy a mozgás költségét.

12.5. példa. Keresse meg az ábrán látható grafikon sugarát, átmérőjét és középpontját. 12.1.

Megoldás. Ebben a feladatban kényelmesen használható távolságmátrix S. Ennek a négyzetes szimmetrikus mátrixnak egy eleme egyenlő a csúcsok közötti távolsággal énés a felső j. ábrán látható grafikonhoz. 12.1, a távolságmátrix rendelkezik következő nézet:

Számítsuk ki az egyes csúcsok excentricitását. Ez az érték definiálható a távolságmátrix megfelelő oszlopának (vagy sorának - a mátrix óta) maximális elemeként S szimmetrikus). Kapunk

Grafikon sugara r– a csúcsok minimális excentricitása. Ebben az esetben r= 2. A 2., 4. és 5. csúcsok ilyen excentricitásúak. Ezek a csúcsok alkotják a gráf középpontját. Számláló átmérő d– a csúcsok maximális excentricitása. Ebben az esetben d= 3. Az 1. és 3. csúcsok ilyen excentricitásúak, ez a gráf perifériája. A vizsgált gráfban a csúcsok központinak vagy perifériásnak bizonyultak. A magasabb rendű gráfokban vannak más csúcsok is.

Egy kis gráf csúcsainak excentricitásai könnyen kiszámíthatók közvetlen számítással a rajzból. A grafikont azonban nem mindig a tervezése határozza meg. Ezen kívül a grafikon lehet nagy méretű. Ezért az előző probléma más megoldására van szükség. Ismert a következő tétel.

12.4. Tétel. Legyen egy G gráf szomszédsági mátrixa hurkok nélkül és , ahol . Ekkor egyenlő a csúcstól a csúcsig tartó k hosszúságú útvonalak számával.

A gráfelméleti problémák megoldását a szomszédsági mátrix különféle transzformációival hívják algebrai módszer .

12.6. példa. Keresse meg az ábrán látható grafikon távolságmátrixát! 12.1, algebrai módszerrel.

Megoldás. Ennek a gráfnak a szomszédsági mátrixa egyenlő:

A távolságmátrixot a szomszédsági mátrix fokszámainak figyelembevételével töltjük ki. A szomszédsági mátrix egységei olyan csúcspárokat mutatnak, amelyek távolsága közöttük egy (azaz egyetlen éllel vannak összekötve).

A távolságmátrix átlós elemei nullák. Szorozzuk meg a szomszédsági mátrixot önmagával:

A tétel szerint a 2 és 3, 1 és 4 csúcsok között stb. van bizonyos számú 2-es hosszúságú útvonal (mivel a mátrix foka kettő). Az útvonalak számát itt nem használjuk, az útvonal meglétének ténye és hossza, amint azt a mátrixfokozat nullától eltérő eleme jelzi, amely nem esik egybe az útvonal kiszámításakor feljegyzett elemmel; rövidebb hosszúságú. A távolságmátrix üres elemeibe 2-t teszünk, és a következő közelítést kapjuk:

Az 1 és 3 csúcsok közötti távolság ismeretlen marad. A szomszédsági mátrixot megszorozzuk önmagán egészen a mátrixba nem nulla elem nem jelenik meg . Ezután a távolságmátrix megfelelő eleme egyenlő a hatalommal szomszédsági mátrixok: . A következő lépésben megkapjuk

ennélfogva, , és végül

A kapott mátrix egybeesik a távolságmátrixszal S(12.2), amelyet az ábrából közvetlen számítással találtunk.

Legyen G(V,X) egy pszeudográf, és legyen ennek a gráfnak v és w (v¹w) csúcsai összekötve egy útvonallal. Ezután egy minimális útvonalnak kell lennie, amely összeköti ezeket a csúcsokat. Jelöljük ennek az útvonalnak a hosszát d(v, w) alakban. Azt is beállítjuk, hogy d(v, v) =0 bármely vÎV csúcsra; d(v, w) = ¥, ha nincs v-t és w-t összekötő útvonal.

Az így definiált d(v,w) értéket a G(V, X) gráf bármely v és w csúcsára ún. a v és w közötti távolság.

Egy n csúcsú gráfban a távolságok száma megegyezik a C n 2 kombinációk számával.

Legyen a G(V,X) gráf összekapcsolva. Határozzuk meg a következő fogalmakat:

Számláló átmérő: d(G) = maxd(v, w).

A csúcs excentricitása (maximális eltolása).: r(v) = maxd(v, w);

Grafikon sugara: r(G) = min r(v);

Grafikon központ: bármely vÎV csúcs, amelyre r(v) = r(G).

A gráf átmérőjét, a csúcsok excentricitását, a gráf sugarát és a gráf középpontjait a gráf metrikus jellemzőinek nevezzük.

Példa. Keresse meg a diagram által megadott grafikon metrikus jellemzőit:

Határozzuk meg az összes távolságot, figyelembe véve, hogy d(v, w) = d(w, v).

A távolságok száma ezen a grafikonon C 5 2 = 5!/3!2! = 10: d(v 1, v 2) = 1, d(v 1, v 3) = 2, d(v 1, v 4) = 2, d(v 1, v 5) = 3, d(v 2, v 3) = 1, d(v 2, v 4) = 1, d(v 2, v 5) = 2, d(v 3, v 4) = 1, d(v 3, v 5) = 2, d(v 4, v 5) = 1.

A grafikon átmérője d(G) =3.

Csúcsexcentricitások: r(v 1) = 3, r(v 2) = 2, r(v 3) = 2, r(v 4) = 2, r(v 5) = 3.

A grafikon sugara r(G) = 2.

A grafikon középpontjai: v 2, v 3, v 4.

3. Minimális útvonalak betöltött grafikonokban

A G(V, X) gráfot betöltöttnek nevezzük, ha a gráf éleinek halmazán megadunk egy súlyfüggvénynek nevezett függvényt, amely a gráf minden x ОХ éléhez egy bizonyos l(x) számot rendel. Az l(x) értéket ívhossznak nevezzük.

Az l(x) érték többféle jelentéssel is adható: szállítási költség, utazási idő, pontok közötti távolság, benzinfogyasztás stb.

Az útvonalban szereplő élek hosszának összegét útvonalhossznak nevezzük.

Figyeljük meg, hogy ha minden x О Х l(x) = 1, akkor a grafikont terheletlennek tekinthetjük.

A G(V, X) gráfban a v csúcstól a w (v¹w) csúcsig tartó útvonalat minimálisnak nevezzük, ha a G(V, X) gráfban a v csúcstól w csúcsig tartó összes útvonal közül a legkisebb hosszúságú.

Szűkítsük magunkat olyan gráfokra, amelyekre l(x)>0.

Amikor a minimális útvonalat keresi egy betöltött grafikonon, ahol l(x)>0

Használjuk ugyanazt az utasítást, mint a betöltetlen gráfnál, nevezetesen:

minden minimális útvonal egy egyszerű kör.

Tekintsük most a minimális útvonal megtalálásának problémáját egy betöltött gráfban.

Legyen a G(V,X) gráf betöltve, a csúcsok száma n ³ 2, minimális útvonalat kell készíteni v 1 -ből v n -be.

Mutatjuk az algoritmust.

1. lépés: Rendeljen a(v i) indexet minden csúcshoz: a(v 1) = 0, a(v i) = ¥, i ¹ 1. Színezze ki a v 1 csúcsot, és tegye v = v 1-et.

2. lépés: Minden színtelen v j csúcshoz módosítsa az indexet a szabály szerint:

a(v j) = min (a(v j), a(v) + l(v, v j)).

Színezd ki azt a csúcsot, amelynek a(v j) a legkisebb az ebben a lépésben kiválasztott v j csúcshoz vezető élt is. Állítsa be a v = v j .

3. lépés Ha v = v j, fejezze be az eljárást, mivel a legrövidebb út v 1-től v n-ig vezet. ha v ¹ v n , akkor folytassa a 2. lépéssel.

Megjegyzés. A 2. lépés lehetetlen, ha mind a(v j)= ¥. Ebben az esetben a v n csúcs elérhetetlen.

Alkalmazzuk a leírt algoritmust a diagram által megadott gráfra. Keressük meg benne a legrövidebb utat v 1-től v 6-ig.

1. lépés Színezd ki a v 1 csúcsot. Rendeljünk indexeket a csúcsokhoz: a(v 1) =0, a(v 2) = a(v 3)=…= a(v n)=¥. Feltételezzük, hogy v 1 = v.

a(v 2) = min (¥, 0+4) = 4,

a(v 3) = min (¥, 0+7) = 7,

a(v 4) = min (¥, 0+3) = 3,

a(v 5) = min (¥, 0+¥) = ¥,

a(v 6) = min (¥, 0+¥) = ¥.

Színezd ki a v 4 csúcsot és az élt (v 1 , v 4 ).

3. lépés Mivel a v 6 csúcs nem színezett, a 2. lépést végrehajtjuk, feltéve, hogy v = v 4.

a(v 2) = min (4, 3+¥) = 4,

a(v 3) = min (7, 3+¥) = 7,

a(v 5) = min (¥, 3+3) = 6,

a(v 6) = min (¥, 3+¥) = ¥.

Színezd ki a v 2 csúcsot és az élt (v 1 , v 2 ).

3. lépés Mivel a v 6 csúcs nem színezett, a 2. lépést végrehajtjuk, feltéve, hogy v = v 2.

a(v 3) = min (7, 4+3) = 7,

a(v 5) = min (6, 4+2) = 6,

a(v 6) = min (¥, 4+¥) = ¥.

Színezd ki a v 5 csúcsot és az élt (v 4 , v 5 ).

3. lépés Mivel a v 6 csúcs nem színezett, a 2. lépést végrehajtjuk, feltéve, hogy v = v 5 .

a(v 3) = min (7, 6+¥) = 7,

a(v 6) = min (¥, 6+2) = 8.

Színezd ki a v 3 csúcsot és az élt (v 1 , v 3 ).

3. lépés Mivel a v 6 csúcs nem színezett, a 2. lépést végrehajtjuk, feltéve, hogy v = v 3 .

a(v 6) = min (8, 7+2) = 8.

Színezd ki a v 6 csúcsot és az élt (v 5 , v 6 ).

Mivel a v 6 vertex színes, leállunk a munkával. Kaptunk egy minimális útvonalat v 1 v 4 v 5 v 6 , melynek hossza 8 .

Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben nem ez az egyetlen minimális útvonal a v 1 és v 6 csúcsokhoz, mivel az algoritmusban az él (v 4, v 5) helyett az élt (v 2, v 5) lehetett színezni, akkor egy másik, azonos hosszúságú útvonalat kapnánk.

4. Problémák a fákon

Egy gráfot aciklikusnak nevezünk, ha nincsenek ciklusai.

A ciklusok nélküli gráfot erdőnek nevezzük.

A fa egy összefüggő aciklikus gráf.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete