Lineáris differenciálegyenletrendszerek általános megoldásának felépítése. Lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldásának felépítése

Az egyenlet alapvető megoldási rendszerének ismerete lehetővé teszi az egyenlet általános megoldásának megalkotását. Emlékezzünk a definícióra általános megoldás differenciálegyenlet n-edik sorrend

Funkció
, a változók valamilyen variációs tartományában definiálva
, amelynek minden pontján létezik és egyedi a Cauchy-probléma megoldása, és folyamatos parciális deriváltjai vannak a X rendelésre n(beleértve) a (15) egyenlet általános megoldásának nevezzük a megadott tartományban, ha:

egyenletrendszer

a megadott tartományban tetszőleges állandók tekintetében megoldható
, Szóval

(16)

2. funkció
a (15) egyenlet megoldása tetszőleges állandók összes értékére
, a (16) képletekkel kifejezve, amikor a pont
a vizsgált területhez tartozik.

1. tétel (egy lineáris homogén általános megoldásának szerkezetéről differenciálegyenlet) . Ha a funkciók
,
, …,
forma alapvető rendszer homogén lineáris egyenlet megoldásai n-edik sorrend
az intervallumban
, azaz együtthatók folytonossági intervallumában, akkor a függvény
ennek az egyenletnek egy általános megoldása a régióban D:
,
,
.

Bizonyíték. A jelzett régió minden pontján létezik és egyedi a Cauchy-probléma megoldása. Most mutassuk meg, hogy a függvény
kielégíti az egyenlet általános megoldásának definícióját n-edik sorrend.

egyenletrendszer

a domainben megoldható D tetszőleges állandókhoz képest
mivel ennek a rendszernek a determinánsa a (12) alapvető megoldási rendszer Wronski-determinánsa, és ezért különbözik a nullától.

2. Funkció
egy homogén lineáris egyenlet megoldásainak tulajdonsága alapján az egyenlet megoldása
tetszőleges állandók összes értékére
.

Ezért a funkció
az egyenlet általános megoldása
a területen D. A tétel bizonyítást nyert.

Példa.

.

Ennek az egyenletnek a megoldásai nyilvánvalóan a függvények
,
. Ezek a döntések a döntések alapvető rendszerét alkotják, hiszen

.

Ezért az általános megoldás eredeti egyenlet a funkció.

Egy n-edrendű inhomogén lineáris egyenlet általános megoldásának felépítése.

Tekintsünk egy heterogént lineáris egyenlet n-edik sorrend

Mutassuk meg, hogy mint egy elsőrendű lineáris inhomogén egyenletnél, az (1) egyenlet integrálása az integrációra redukálódik homogén egyenlet, ha az (1) inhomogén egyenlet egy adott megoldása ismert.

Hadd
- az (1) egyenlet egy sajátos megoldása, azaz.

,
. (2)

Tegyük fel
, Hol z– új nem ismert funkciója-tól X. Ekkor az (1) egyenlet a következő alakot veszi fel

vagy
,

ahonnan a (2) azonosság alapján megkapjuk

. (3)

Ez egy homogén lineáris egyenlet, bal oldalt amely megegyezik a tekintett (1) inhomogén egyenletével. Azok. ennek az (1) inhomogén egyenletnek megfelelő homogén egyenletet kaptunk.

,
, …,
,

a (3) homogén egyenlet alapvető megoldási rendszere. Ekkor ennek az egyenletnek az összes megoldását tartalmazza az általános megoldási képlet, azaz.

.

Helyettesítsük ezt az értéket z a képletbe
, megkapjuk

.

A kapott függvény az (1) egyenlet általános megoldása a régióban D.

Így megmutattuk, hogy az (1) lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása egyenlő ezen egyenlet valamely konkrét megoldásának és a megfelelő homogén lineáris egyenlet általános megoldásának összegével.

Példa. Keresse meg az egyenlet általános megoldását!

.

Megoldás. Megvan, hogy ennek az inhomogén lineáris egyenletnek egy adott megoldása a következő formában van

.

A megfelelő homogén egyenlet általános megoldása
, mint már korábban bemutattuk, a formája van

Ezért az eredeti egyenlet általános megoldása a következő:
.

Sok esetben egyszerűbb egy inhomogén egyenlet megoldásának megtalálása, ha a következő tulajdonságot használja:

Tétel. Ha az (1) egyenletben a jobb oldal alakja

és ez köztudott
, A - az egyenlet konkrét megoldása
, akkor ezeknek a konkrét megoldásoknak az összege +az (1) egyenlet parciális megoldása lesz.

Bizonyíték. Valóban, hiszen feltétellel van egy sajátos megoldása az egyenletnek
, A - az egyenlet konkrét megoldása
, Azt

,
.

azok. +az (1) egyenlet sajátos megoldása.

Egy ilyen egyenlet általános megoldásának szerkezetét a következő tétel határozza meg.

1. Tétel. Az (1) inhomogén egyenlet általános megoldását az egyenlet valamely konkrét megoldásának összegeként ábrázoljuk é hés a megfelelő homogén egyenlet általános megoldása

Bizonyíték. Be kell bizonyítanunk, hogy az összeg (3)

Az (1) egyenletnek van egy általános megoldása.

Először is bizonyítsuk be, hogy a (3) függvény az (1) egyenlet megoldása. Helyettesítés at az (1) egyenletben szereplő összeg a következő lesz:

Mivel – a (2) egyenlet megoldása, a (4) egyenlet első zárójelében lévő kifejezés megegyezik a nullával. Mert é h az (1) egyenlet megoldása, akkor a második zárójelben lévő kifejezés (4) egyenlő f(x). Ezért az egyenlőség (4) egy azonosság. Így a tétel első része bizonyítva van.

Most bizonyítsuk be, hogy a (3) kifejezés az (1) egyenlet általános megoldása, azaz. Bizonyítsuk be, hogy a benne szereplő tetszőleges állandók úgy választhatók, hogy az (5) kezdeti feltételek teljesüljenek

bármilyenek is legyenek a számok x 0, y 0,és (ha csak azokat a területeket, ahol a funkciók működnek egy 1,a 2És f(x) folyamatos).

Észrevehetjük, hogy úgy tudjuk ábrázolni , Hol y 1 , y 2 a (2) egyenlet lineárisan független megoldásai, és C 1És C 2 tetszőleges állandók, a (3) egyenlőséget átírhatjuk alakba. Ekkor az (5) feltétel alapján lesz egy rendszerünk

.

Ebből az egyenletrendszerből meg kell határozni C 1És C 2. Írjuk át a rendszert a formába

(6)

Rendszer meghatározó – van egy Wronski-determináns a megoldásokhoz 1-korÉs 2-kor pontban. Mivel ezek a függvények feltétel szerint lineárisan függetlenek, a Wronski-determináns nem az egyenlő nullával, ezért a (6) rendszer rendelkezik az egyetlen megoldás C 1És C 2, azaz vannak ilyen jelentések C 1És C 2 amelynél a (3) képlet meghatározza az (1) egyenlet adott kezdeti feltételeket kielégítő megoldását.

Tehát, ha a (2) homogén egyenlet általános megoldása ismert, akkor az (1) inhomogén egyenlet integrálásakor a fő feladat az, hogy megtaláljuk a konkrét megoldást. é h.

Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek -val állandó együtthatók Vel jobb oldalon speciális típus. A meghatározatlan együtthatók módszere.

Néha lehetséges egyszerűbb megoldást találni integráció nélkül. Ez ben történik speciális esetek amikor a funkció f(x) különleges megjelenésű.

Legyen az (1) egyenlet

Ahol pÉs q valós számok és f(x) különleges megjelenésű. Tekintsünk több ilyen lehetőséget az (1) egyenletre.

Legyen az (1) egyenlet jobb oldala a szorzat exponenciális függvény polinomhoz, azaz. úgy néz ki , (2)

ahol egy n-edik fokú polinom. Akkor lehetséges következő eseteket:

a) szám - nem gyökér karakterisztikus egyenlet .

Ebben az esetben konkrét megoldást kell keresni a (3) űrlapon.

azok. polinom formájában is n-edik fokozat, hol A 0, A 1,…, A n meghatározandó együtthatók.

Meghatározásuk érdekében megtaláljuk a és a származékait.

Helyettesítés é h, és az (1) egyenletbe, és mindkét oldalt egy tényezővel csökkentve a következőt kapjuk:

Itt van egy n-edik fokú polinom, – egy (n-1)-edik fokú polinom, és – egy (n-2) fokú polinom.

Így az egyenlőségjeltől balra és jobbra polinomok vannak n-edik fokozat. Az együtthatók egyenlővé tétele a egyenlő fokozatok X(az ismeretlen együtthatók száma egyenlő ), kapunk egy egyenletrendszert az együtthatók meghatározásához A 0, A 1, ..., A n.

ha az (1) egyenlet jobb oldalának alakja:

Lineáris inhomogén differenciálegyenlethez n- első rendelés

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + egy- 1 (x) y" + an(x)y = f(x),

Ahol y = y(x) - ismeretlen függvény, a 1(x),a 2(x), ..., egy- 1(x), an(x), f(x) - ismert, folyamatos, igazságos:
1) ha y 1(x) És y 2(x) egy inhomogén egyenlet két megoldása, akkor a függvény
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - a megfelelő homogén egyenlet megoldása;
2) ha y 1(x) egy inhomogén egyenlet megoldása, és y 2(x) a megfelelő homogén egyenlet megoldása, majd a függvény
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - nem homogén egyenlet megoldása;
3) ha y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n lineáris önálló döntések homogén egyenlet, és ych(x) - önkényes döntés inhomogén egyenlet,
majd bármilyen kezdőértékre
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Kifejezés
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
hívott általános döntés lineáris inhomogén differenciálegyenlet n-edik sorrend.

Inhomogén differenciálegyenletek részmegoldásai konstans együtthatókkal az alak jobb oldalával:
Pk(x)exp(a x)kötözősaláta( bx) + Q m(x)exp(a x)bűn( bx),
Ahol Pk(x), Q m(x) - fokszámú polinomok kÉs m Ennek megfelelően létezik egy egyszerű algoritmus egy adott megoldás elkészítésére, ún kiválasztási módszer.

A kiválasztási módszer, vagy a meghatározatlan együtthatók módszere a következő.
Az egyenlet szükséges megoldása a következőképpen írható:
(Pr(x)exp(a x)kötözősaláta( bx) + QR(x)exp(a x)bűn( bx))xs,
Ahol Pr(x), QR(x) - fokszámú polinomok r= max( k, m) -val ismeretlen együtthatók
pr , pr- 1, ..., p 1, p 0, qr, QR- 1, ..., q 1, q 0.
Így, hogy általános megoldást találjunk egy lineáris inhomogén differenciálegyenletre állandó együtthatókkal,
keresse meg a megfelelő homogén egyenlet általános megoldását (írja fel a karakterisztikus egyenletet, keresse meg a karakterisztikus egyenlet összes gyökerét l 1, l 2, ... , ln, írja le a megoldások alapvető rendszerét y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
találjon valamilyen konkrét megoldást az inhomogén egyenletre ych(x);
írja le az általános megoldás kifejezését!
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek konstans együtthatókkal, speciális jobb oldallal. A meghatározatlan együtthatók módszere.

Az (1) alakú differenciálegyenlet

ahol , f egy ismert függvény, amelyet n-edrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezünk állandó együtthatókkal. Ha , akkor az (1) egyenletet homogénnek nevezzük, in egyébként- heterogén.

Konstans együtthatós lineáris inhomogén egyenletekre, amelyek egy speciális alak jobb oldala, nevezetesen függvények összegeiből és szorzataiból állnak, a meghatározatlan együtthatók módszerével kereshetünk konkrét megoldást. Az adott megoldás típusa a karakterisztikus egyenlet gyökereitől függ. Az alábbiakban egy speciális jobb oldali lineáris inhomogén egyenlet parciális megoldásainak táblázata látható.

Komplex sík. Komplex szám modulusa és argumentuma. Az érvelés fő jelentése. Geometriai jelentés

A komplex számokat a következő formában írjuk fel: a+ bi. Itt a és b valós számok, i pedig egy képzeletbeli egység, azaz. i 2 = –1. Az a számot abszcisszának nevezzük, b pedig az a+bi komplex szám ordinátáját. Két a+ bi és a – bi komplex számot konjugált komplex számoknak nevezünk.

Komplex számok geometriai ábrázolása. Valós számok a számegyenesen lévő pontok jelölik:

Itt az A pont a –3 számot jelöli, a B pont a 2-t, az O pedig a nullát. Ezzel szemben a komplex számokat pontok jelölik koordinátasík. Erre a célra téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Majd komplex szám a+ bi-t a P pont a a abszcisszával és a b ordinátával ábrázolja (lásd az ábrát). Ezt a koordinátarendszert komplex síknak nevezzük.

A komplex szám modulusa annak a OP vektornak a hossza, amely egy komplex számot reprezentál a koordináta (komplex) síkon. Az a+ bi komplex szám modulusát | a+ bi | vagy az r betű és egyenlő:

A konjugált komplex számok modulusa azonos. __

A komplex szám argumentuma az OX tengely és a komplex számot reprezentáló OP vektor közötti szög. Ezért tan = b/a.

D U magasabb rendű

Mint már említettük, a differenciálegyenletek különböző rendű származékokat tartalmazhatnak.

Az ilyen differenciálegyenleteknek vannak olyan megoldásai, amelyek annyi tetszőleges integrációs állandót tartalmaznak → mi a differenciálegyenlet sorrendje, i.e. egy 2. rendű differenciálegyenlethez két tetszőleges C1 és C2 konstans, egy 3. rendű →C1,C2 és C3 stb.

Így egy ilyen differenciálegyenlet általános megoldása (általános integrálja) a függvény lesz

.

Az ilyen differenciálegyenletek adott megoldásának megszerzéséhez annyi kezdeti feltételt kell beállítani, amennyi a differenciálegyenlet sorrendje, vagy hány tetszőleges állandót kapunk az általános megoldásban.

D U teljes differenciálműben. Integráló tényező

Az alakzatú differenciálegyenletet teljes differenciálegyenletnek nevezzük, ha bal oldala valamilyen teljes differenciálegyenlete. sima funkció, azaz Ha , . Szükséges és elégséges állapot egy ilyen függvény létezéséhez a következő alakja van:

A differenciálegyenlet teljes differenciálokban történő megoldásához meg kell találnia a függvényt. Ekkor a differenciálegyenlet általános megoldása felírható egy tetszőleges C állandóra.

Integráló tényező egy differenciálegyenlethez

olyan függvénynek nevezzük, amelynek szorzása után a differenciálegyenlet egyenletté alakul az összdifferenciálokban. Ha az egyenletben az M és N függvények folytonos parciális deriváltjai vannak, és nem tűnnek el egyszerre, akkor létezik integráló tényező. Viszont, általános módszer nincs mód rá.

Az LNDU általános megoldásának felépítése

Tekintsük a lineáris inhomogén differenciálegyenletet

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

- bármi legyen is az kiindulópont(x0, y0, ) , x0∈ , vannak olyan C1 =C10, ..., Cn = Cn0 értékek, hogy az y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) függvény teljesíti az y( kezdeti feltételeket) x0) = y0 , y "(x0) ,..., (x0) = .

Igazságos következő kijelentés(tétel egy lineáris inhomogén egyenlet általános megoldásának szerkezetéről).

Ha egy lineáris homogén differenciálegyenlet egyenletének összes együtthatója folytonos az intervallumon, és az y1(x), y2(x),..., yn(x) függvények megoldási rendszert alkotnak a megfelelő homogén egyenletre , akkor az inhomogén egyenlet általános megoldásának alakja van

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

ahol C1,...,Cn tetszőleges állandók, y*(x) az inhomogén egyenlet egy speciális megoldása.

LNDU 2. rend

Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek.

Egy y" + py" + qy = f(x) alakú egyenlet, ahol p és q valós számok, f(x) - folyamatos funkció, konstans együtthatójú másodrendű lineáris inhomogén egyenletnek nevezzük.

Egy egyenlet általános megoldása egy inhomogén egyenlet adott megoldásának és a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának összege. Tanulmányozták a homogén egyenlet általános megoldásának megtalálását. Egy adott megoldás megtalálásához a határozatlan együtthatók módszerét használjuk, amely nem tartalmaz integrációs folyamatot.

Mérlegeljük különféle típusok az y" + py" + qy = f(x) egyenlet jobb oldalai.

1) A jobb oldal alakja F(x) = Pn(x), ahol Pn(x) egy n fokú polinom. Ekkor egy adott y megoldást kereshetünk olyan formában, ahol Qn (x) egy Pn (x) fokú polinom, és r a karakterisztikus egyenlet nullával egyenlő gyökeinek száma.

Példa. Keresse meg az y" – 2y" + y = x+1 egyenlet általános megoldását.

Megoldás: A megfelelő homogén egyenlet általános megoldása Y = ex (C1 + C2x) alakú. Mivel a k2 – 2k + 1 = 0 karakterisztikus egyenlet egyik gyöke sem egyenlő nullával (k1 = k2 = 1), egy konkrét megoldást keresünk olyan formában, ahol A és B ismeretlen együtthatók. Kétszer differenciálva, és az egyenletbe behelyettesítve a “ és “ karaktereket, azt kapjuk, hogy –2A + Ax + B = x + 1.

Ha az egyenlőség mindkét oldalán x azonos hatványaihoz tartozó együtthatókat egyenlővé teszünk: A = 1, –2A + B = 1, azt kapjuk, hogy A = 1, B = 3. Tehát egy konkrét megoldás adott egyenlet alakja = x + 3, és általános megoldása y = ex (C1 + C2x) + x + Z.

2) A jobb oldal alakja f(x) = eax Pn(x), ahol Рn (x) egy n fokú polinom. Ekkor egy adott megoldást kell keresni olyan formában, ahol Qn(x) egy Pn(x) fokú polinom, r pedig az a-val egyenlő karakterisztikus egyenlet gyökeinek száma. Ha a = 0, akkor f(x) = Pn (x), azaz előfordul az 1. eset.

LOD állandó együtthatókkal.

Tekintsük a differenciálegyenletet

hol vannak a valós állandók.

A (8) egyenlet általános megoldásának megtalálásához ezt tesszük. Összeállítjuk a (8) egyenlet karakterisztikus egyenletét: (9)

Legyen a (9) egyenlet gyöke, és ezek között lehetnek többszörösek. A következő esetek lehetségesek:

a) - valódi és más. A homogén egyenlet általános megoldása a következő lesz;

b) a karakterisztikus egyenlet gyökei valósak, de vannak köztük többszörösek, pl. , akkor az általános megoldás lesz

c) ha a karakterisztikus egyenlet gyökei összetettek (k=a±bi), akkor az általános megoldás alakja .

Általános szerkezet megoldások másodrendű LDE-hez

Tekintsük a lineáris homogén differenciálegyenletet

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Ennek az egyenletnek az általános megoldása egy intervallumon az y = Φ(x, C1,..., Cn) függvény, amely n tetszőleges C1,..., Cn állandótól függ, és teljesül következő feltételekkel:

− bármilyen elfogadható értékeket a C1,..., Cn konstansok közül az y = Φ(x, C1,..., Cn) függvény a következő egyenlet megoldása;

− függetlenül a kezdőponttól (x0, y0, ) , x0∈ , vannak C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 értékek, amelyekre az y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) függvény teljesül. a kezdeti feltételek y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .