Szimmetrikus szakaszok egy tengely körül. Téglalap, gyémánt és négyzet

Az emberek élete tele van szimmetriával. Kényelmes, gyönyörű, és nem kell új szabványokat kitalálni. De mi is ez valójában, és vajon olyan szép-e a természetben, mint ahogyan azt általában hiszik?

Szimmetria

Ősidők óta az emberek igyekeztek megszervezni a körülöttük lévő világot. Ezért néhány dolgot szépnek tartanak, és néhányat nem annyira. Esztétikai szempontból az arany és az ezüst aránya számít vonzónak, valamint természetesen a szimmetria. Ez a kifejezés görög eredetű, és szó szerint „arányosságot” jelent. természetesen arról beszélünk nemcsak a véletlenről ezen az alapon, hanem néhány máson is. BAN BEN általános értelemben a szimmetria egy objektum tulajdonsága, amikor bizonyos formációk eredményeként az eredmény megegyezik az eredeti adatokkal. Ez az életben és az életben egyaránt előfordul élettelen természet, valamint az ember által készített tárgyakban.

Először is, a "szimmetria" kifejezést a geometriában használják, de sok esetben alkalmazzák tudományos területeken, és jelentése általában változatlan marad. Ez a jelenség meglehetősen gyakran előfordul, és érdekesnek tekinthető, mivel számos típusa, valamint eleme különbözik. A szimmetria használata azért is érdekes, mert nemcsak a természetben található meg, hanem a szövetmintákban, az épületek szegélyén és sok más ember alkotta tárgyon is. Érdemes ezt a jelenséget részletesebben is megvizsgálni, mert rendkívül lenyűgöző.

A kifejezés használata más tudományterületeken

A következőkben a szimmetriát geometriai szempontból vizsgáljuk, de ezt érdemes megemlíteni adott szót nem csak itt használják. Biológia, virológia, kémia, fizika, krisztallográfia – mindez nem teljes lista azon területekről, amelyeken ez a jelenség különböző szögekből és körülmények között tanulmányozták. Például az osztályozás attól függ, hogy melyik tudományra vonatkozik ez a kifejezés. Így a típusokra való felosztás nagyon változó, bár néhány alapvető talán mindvégig változatlan marad.

Osztályozás

A szimmetriának több fő típusa van, amelyek közül három a leggyakoribb:

Ezenkívül a következő típusokat is megkülönböztetik a geometriában, ezek sokkal kevésbé gyakoriak, de nem kevésbé érdekesek:

• csúszó;
• forgó;
• pont;
• haladó;
• csavar;
• fraktál;
• stb.

A biológiában minden fajt kissé eltérően neveznek, bár lényegében azonosak lehetnek. Az egyes csoportokra való felosztás az egyes elemek, például középpontok, síkok és szimmetriatengelyek megléte vagy hiánya, valamint mennyisége alapján történik. Ezeket külön és részletesebben kell megvizsgálni.

Alapelemek

A jelenségnek vannak bizonyos jellemzői, amelyek közül az egyik szükségszerűen jelen van. Úgy hívják alapelemek síkokat, középpontokat és szimmetriatengelyeket tartalmaznak. Jelenlétükkel, hiányukkal és mennyiségükkel összhangban kerül meghatározásra a típus.

A szimmetria középpontja az a pont egy alakban vagy kristályon belül, ahol az egymással párhuzamos oldalakat párban összekötő vonalak összefolynak. Természetesen nem mindig létezik. Ha vannak oldalak, amelyekhez nincs párhuzamos pár, akkor ilyen pont nem található, mivel nem létezik. A definíció szerint nyilvánvaló, hogy a szimmetria középpontja az, amelyen keresztül egy figura önmagára tükröződik. Példa lehet például egy kör és egy pont a közepén. Ezt az elemet általában C-vel jelölik.

A szimmetriasík természetesen képzeletbeli, de pontosan ez a sík osztja ketté az ábrát egyenlő barát baráti részek. Áthaladhat egy vagy több oldalon, párhuzamos lehet vele, vagy megoszthatja azokat. Ugyanazon ábrán több sík is létezhet egyszerre. Ezeket az elemeket általában P-vel jelölik.

De talán a leggyakoribb az úgynevezett „szimmetriatengely”. Ez egy általános jelenség, amely a geometriában és a természetben egyaránt megfigyelhető. És ez külön megfontolást érdemel.

Tengelyek

Gyakran az az elem, amelyhez képest egy alak szimmetrikusnak nevezhető

egy egyenes vagy szakasz jelenik meg. Mindenesetre nem pontról vagy síkról beszélünk. Ezután figyelembe veszik a számokat. Nagyon sok lehet, és bármilyen módon elhelyezkedhetnek: az oldalakat elosztva, vagy párhuzamosan velük, valamint a sarkokat metszően vagy nem. A szimmetriatengelyeket általában L-nek jelölik.

Példák az egyenlő szárúak és Az első esetben lesz függőleges tengely szimmetria, amelynek mindkét oldalán egyenlő arcok, a másodikban pedig a vonalak metszik az egyes szögeket, és egybeesnek az összes felezővel, mediánnal és magassággal. A közönséges háromszögekben nincs ilyen.

Egyébként a krisztallográfiában és a sztereometriában a fenti elemek összességét szimmetriafoknak nevezzük. Ez a mutató a tengelyek, síkok és középpontok számától függ.

Példák a geometriában

Hagyományosan feloszthatjuk a matematikusok által vizsgált objektumok egész halmazát olyan ábrákra, amelyeknek van szimmetriatengelye, és olyanokra, amelyeknek nincs szimmetriatengelye. Minden kör, ovális, valamint néhány speciális eset automatikusan az első kategóriába, míg a többi a második csoportba tartozik.

Mint abban az esetben, amikor a háromszög szimmetriatengelyéről mondták, ezt az elemet mert négyszög nem mindig létezik. Négyzetre, téglalapra, rombuszra vagy paralelogrammára igen, de szabálytalan alakra ennek megfelelően nem. Egy kör esetében a szimmetriatengely a középpontján átmenő egyenesek halmaza.

Ezen kívül érdekes megfontolni térfogati számadatok ebből a szempontból. Az összes mellett legalább egy szimmetriatengely szabályos sokszögekés a labdának lesz néhány kúpja, valamint piramisok, paralelogrammák és mások. Minden esetet külön kell megvizsgálni.

Példák a természetben

Az életben bilaterálisnak hívják, ez fordul elő legtöbbször
gyakran. Bármely ember és sok állat példa erre. Az axiálist radiálisnak nevezik, és sokkal kevésbé gyakori, általában in növényvilág. És mégis léteznek. Például érdemes elgondolkodni azon, hogy egy csillagnak hány szimmetriatengelye van, és van-e egyáltalán? Természetesen a tengeri élőlényekről beszélünk, és nem a csillagászok által vizsgált tárgyról. A helyes válasz pedig az lenne: a csillag sugarainak számától függ, például öt, ha ötágú.

Kívül, radiális szimmetria számos virágnál megfigyelhető: százszorszép, búzavirág, napraforgó stb. Példák nagy mennyiség, szó szerint mindenhol ott vannak.

Szívritmuszavar

Ez a kifejezés elsősorban az orvostudományra és a kardiológiára emlékeztet, de kezdetben kissé eltérő jelentéssel bír. BAN BEN ebben az esetben szinonimája az „aszimmetria”, vagyis a szabályosság ilyen vagy olyan formában való hiánya vagy megsértése. Megtalálható véletlenül, és néha csodálatos technikává válhat, például a ruházatban vagy az építészetben. Hiszen sok szimmetrikus épület van, de a híres enyhén ferde, és bár nem ez az egyetlen, de a leginkább híres példa. Köztudott, hogy ez véletlenül történt, de ennek megvan a maga varázsa.

Emellett nyilvánvaló, hogy az emberek és állatok arca és teste sem teljesen szimmetrikus. Még olyan tanulmányok is születtek, amelyek azt mutatják, hogy a „helyes” arcokat élettelennek vagy egyszerűen nem vonzónak ítélik meg. Mégis, a szimmetria érzékelése és ez a jelenség önmagában is elképesztő, és még nem tanulmányozták teljesen, ezért rendkívül érdekesek.

HÁROMSZÖGEK.

17. § SZIMMETRIA JOBB EGYENESRE VONATKOZÓAN.

1. Egymással szimmetrikus figurák.

Rajzoljunk néhány figurát egy papírlapra tintával, és egy ceruzával azon kívül - egy tetszőleges egyenes vonalat. Ezután anélkül, hogy a tinta megszáradna, meghajlítjuk a papírlapot ezen az egyenes mentén úgy, hogy a lap egyik része átfedje a másikat. A lap ezen másik része így ennek az ábrának a lenyomatát adja.

Ha ezután újra kiegyenesíti a papírlapot, akkor két figura lesz rajta, amelyeket ún szimmetrikus adott vonalhoz viszonyítva (128. ábra).

Két alakzatot nevezünk szimmetrikusnak egy bizonyos egyeneshez képest, ha a rajzsíkot ezen egyenes mentén meghajlítjuk.

Az egyenes vonalat, amelyhez képest ezek az ábrák szimmetrikusak, a sajátjuknak nevezzük szimmetriatengely.

A szimmetrikus alakzatok definíciójából az következik, hogy minden szimmetrikus ábra egyenlő.

A sík hajlítása nélkül, de segítséggel szimmetrikus figurákat készíthet geometriai konstrukció. Legyen szükség egy adott C pontra szimmetrikus C" pontra az AB egyenesre vonatkoztatva. A C pontból ejtsünk merőlegest
CD az AB egyenesre és ennek folytatásaként lefektetjük a DC" = DC szakaszt. Ha a rajzsíkot AB mentén hajlítjuk, akkor a C pont a C" ponthoz fog igazodni: a C és C" pont szimmetrikus (129. ábra). ).

Tegyük fel, hogy most egy C "D" szakaszt kell megszerkeszteni, amely szimmetrikus egy adott CD szakaszra az AB egyeneshez képest. Szerkesszük meg a C és D pontokra szimmetrikus C" és D" pontokat. Ha a rajzsíkot AB mentén hajlítjuk, akkor a C és D pont egybeesik a C" és D" pontokkal (130. rajz). CD és C "D" egybeesik, szimmetrikusak lesznek.

Készítsünk most egy, az adott ABCDE sokszögre szimmetrikus ábrát az adott MN szimmetriatengelyhez képest (131. ábra).

A probléma megoldásához vessük el az A merőlegeseket A, BAN BEN b, VAL VEL Val vel, D dés E e az MN szimmetriatengelyhez. Ezután ezeknek a merőlegeseknek a kiterjesztésein ábrázoljuk a szakaszokat
A A" = A A, b B" = B b, Val vel C" = Cs; d D"" =D dÉs e E" = E e.

Az A"B"C"D"E" sokszög szimmetrikus lesz az ABCDE sokszöggel. Valójában, ha a rajzot egy MN egyenes mentén hajlítja meg, akkor mindkét sokszög megfelelő csúcsai igazodnak, így maguk a sokszögek is igazodnak ez bizonyítja, hogy az ABCDE és A" B"C"D"E" sokszögek szimmetrikusak az MN egyenesre.

2. Szimmetrikus részekből álló ábrák.

Gyakran megtalálható geometriai alakzatok, amelyeket valamilyen egyenes két szimmetrikus részre oszt. Az ilyen alakokat ún szimmetrikus.

Tehát például egy szög szimmetrikus alakzat, a szögfelező pedig a szimmetriatengelye, mivel ha végighajlítjuk, a szög egyik része a másikkal kombinálódik (132. ábra).

Körben a szimmetriatengely az átmérője, mivel a mentén hajlítva az egyik félkör a másikkal kombinálódik (133. ábra). A 134, a, b ábrákon látható ábrák pontosan szimmetrikusak.

A szimmetrikus figurák gyakran megtalálhatók a természetben, az építőiparban és az ékszerekben. A 135. és 136. rajzokon elhelyezett képek szimmetrikusak.

Megjegyzendő, hogy szimmetrikus alakzatokat egyszerűen csak egyes esetekben lehet sík mentén mozgatni kombinálni. A szimmetrikus alakzatok kombinálásához általában az egyiket az ellenkező oldalra kell fordítani,

Az ókor óta az embernek eszméi vannak a szépségről. A természet minden alkotása gyönyörű. Az emberek szépek a maguk módján, az állatok és a növények csodálatosak. A látvány kellemes a szemnek drágakő vagy sókristályt, nehéz nem csodálni egy hópelyhet vagy egy pillangót. De miért történik ez? Számunkra úgy tűnik, hogy a tárgyak megjelenése helyes és teljes, amelyek jobb és bal fele ugyanúgy néz ki, mintha tükörképben lenne.

Úgy tűnik, a művészet emberei gondoltak először a szépség lényegére. Ősi szobrászok, akik tanulmányozták a szerkezetet emberi test, még a Kr.e. V. században. Elkezdték használni a „szimmetria” fogalmát. Ez a szó görög eredetű, és harmóniát, arányosságot és hasonlóságot jelent az alkotórészek elrendezésében. Platón azt állította, hogy csak az lehet szép, ami szimmetrikus és arányos.

A geometriában és a matematikában a szimmetria három típusát veszik figyelembe: axiális szimmetria(az egyeneshez viszonyítva), központi (a ponthoz képest) és tükör (a síkhoz képest).

Ha egy objektum minden pontjának megvan a maga pontos leképezése a középpontjához képest, akkor központi szimmetria van. Példák erre: geometriai testek mint egy henger, labda, helyes prizma stb.

A pontok egy egyeneshez viszonyított tengelyirányú szimmetriája azt írja elő, hogy ez az egyenes metszi a pontokat összekötő szakasz közepét és merőleges rá. Példák egy kidolgozatlan szög felezőjére egyenlő szárú háromszög, bármely, a kör közepén áthúzott egyenes, stb. Ha a tengelyirányú szimmetria a jellemző, akkor a tükörpontok meghatározása megjeleníthető úgy, hogy egyszerűen meghajlítja a tengely mentén, és egyenlő feleket „szemtől szembe” helyezünk. A kívánt pontok érintik egymást.

Nál nél tükör szimmetria egy objektum pontjai egyenlően helyezkednek el a középpontján átmenő síkhoz képest.

A természet bölcs és racionális, ezért szinte minden alkotása harmonikus szerkezetű. Ez az élőlényekre és az élettelen tárgyakra egyaránt vonatkozik. A legtöbb életforma szerkezetét a szimmetria három típusának egyike jellemzi: kétoldali, sugárirányú vagy gömb alakú.

Leggyakrabban az axiális a talajfelszínre merőlegesen fejlődő növényeknél figyelhető meg. Ebben az esetben a szimmetria az azonos elemek középen elhelyezkedő közös tengely körüli forgásának eredménye. Elhelyezkedésük szöge és gyakorisága eltérő lehet. Ilyenek például a fák: lucfenyő, juhar és mások. Egyes állatoknál axiális szimmetria is előfordul, de ez kevésbé gyakori. Természetesen a természetet ritkán jellemzi matematikai precizitás, de egy élőlény elemeinek hasonlósága mégis szembetűnő.

A biológusok gyakran nem az axiális szimmetriát, hanem a kétoldali (kétoldalú) szimmetriát veszik figyelembe. Példa erre a pillangó vagy szitakötő szárnyai, növényi levelek, virágszirmok stb. Minden esetben az élő tárgy jobb és bal oldala egyenlő, és egymás tükörképei.

A gömbszimmetria sok növény, egyes halak, puhatestűek és vírusok termésére jellemző. A sugárirányú szimmetria példái a férgek és tüskésbőrűek bizonyos típusai.

Az emberi szemekben az aszimmetria leggyakrabban szabálytalansággal vagy alacsonyabb rendűséggel jár. Ezért a legtöbb emberi kéz alkotásában nyomon követhető a szimmetria és a harmónia.

Célok:

• nevelési:
  • képet ad a szimmetriáról;
  • mutassa be a szimmetria főbb típusait síkon és térben;
  • erős készségek kialakítása a szimmetrikus figurák felépítésében;
  • bővítse ismereteit a híres figurákról a szimmetriához kapcsolódó tulajdonságok bemutatásával;
  • mutassa be a szimmetria felhasználási lehetőségeit a megoldás során különféle feladatokat;
  • a megszerzett tudás megszilárdítása;
• Általános oktatás:
  • tanulja meg magát, hogyan készüljön fel a munkára;
  • tanítsd meg uralkodni magadon és az asztalszomszédon;
  • tanítsa meg értékelni magát és az íróasztal szomszédját;
• fejlesztés:
  • fokozza önálló tevékenység;
  • fejleszteni kognitív tevékenység;
  • megtanulják összegezni és rendszerezni a kapott információkat;
• nevelési:
  • fejlessze a „vállérzéket” a tanulókban;
  • kommunikációs készségek fejlesztése;
  • meghonosítja a kommunikáció kultúráját.

AZ ÓRÁK ALATT

Mindenki előtt olló és egy papírlap.

1. Feladat(3 perc).

- Vegyünk egy papírlapot, hajtsuk darabokra, és vágjunk ki valami figurát. Most hajtsuk ki a lapot, és nézzük meg a hajtási vonalat.

Kérdés: Milyen funkciót lát el ez a sor?

Javasolt válasz: Ez a vonal kettéosztja az ábrát.

Kérdés: Hogyan helyezkedik el az ábra összes pontja a kapott két felén?

Javasolt válasz: A felek minden pontja be van kapcsolva egyenlő távolságra a hajtásvonaltól és ugyanazon a szinten.

– Ez azt jelenti, hogy a hajtásvonal kettéosztja az ábrát úgy, hogy az 1 fele 2 fél másolata, azaz. ez az egyenes nem egyszerű, van egy figyelemreméltó tulajdonsága (a hozzá képest minden pont azonos távolságra van), ez az egyenes szimmetriatengely.

2. feladat (2 perc).

– Vágj ki egy hópelyhet, keresd meg a szimmetriatengelyt, jellemezd.

3. feladat (5 perc).

– Rajzolj egy kört a füzetedbe.

Kérdés: Határozza meg, hogyan halad a szimmetriatengely?

Javasolt válasz: Eltérően.

Kérdés: Tehát hány szimmetriatengelye van egy körnek?

Javasolt válasz: Sok.

– Így van, egy körnek sok szimmetriatengelye van. Ugyanilyen figyelemre méltó figura a labda (térbeli alak)

Kérdés: Milyen más figuráknak van egynél több szimmetriatengelye?

Javasolt válasz: Négyzet, téglalap, egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek.

– Tekintsünk háromdimenziós alakzatokat: kocka, piramis, kúp, henger stb. Ezeknek az ábráknak is van szimmetriatengelye. Határozza meg, hány szimmetriatengelye van a négyzetnek, a téglalapnak, az egyenlő oldalú háromszögnek és a javasolt háromdimenziós alakzatoknak!

Fél gyurmafigurát osztok ki a tanulóknak.

4. feladat (3 perc).

– A kapott információk felhasználásával egészítse ki az ábra hiányzó részét!

Jegyzet: az ábra lehet sík és háromdimenziós is. Fontos, hogy a tanulók határozzák meg, hogyan fusson a szimmetriatengely, és egészítsék ki a hiányzó elemet. A munka helyességét az íróasztal szomszédja határozza meg, és értékeli a munka helyességét.

Az asztalon egy azonos színű csipkéből egy vonalat (zárt, nyitott, önmetszéspontos, önmetszés nélküli) fektetünk ki.

5. feladat (csoportmunka 5 perc).

– Vizuálisan határozza meg a szimmetriatengelyt, és ehhez képest egészítse ki a második részt egy másik színű csipkéből.

Az elvégzett munka helyességét a tanulók maguk határozzák meg.

A rajzok elemeit bemutatják a tanulóknak

6. feladat (2 perc).

– Keresse meg ezeknek a rajzoknak a szimmetrikus részeit!

A tárgyalt anyag összevonására a következő, 15 percre ütemezett feladatokat javaslom:

Nevezze meg a KOR és KOM háromszög minden egyenlő elemét! Milyen típusú háromszögek ezek?

2. Rajzolj több egyenlő szárú háromszöget a füzetedbe azzal közös alap egyenlő 6 cm-rel.

3. Rajzolj egy AB szakaszt. Szerkesszünk egy AB szakaszt merőlegesen, és átmennek a felezőpontján. Jelölje be rajta a C és D pontot úgy, hogy az ACBD négyszög szimmetrikus legyen az AB egyeneshez képest.

– A formával kapcsolatos kezdeti elképzeléseink az ókori kőkorszak nagyon távoli korszakából, a paleolitikumból származnak. Ebből az időszakból több százezer éven át az emberek barlangokban éltek, olyan körülmények között, amelyek alig különböztek az állatok életétől. Az emberek vadászatra és horgászatra eszközöket készítettek, nyelvet alakítottak ki az egymással való kommunikációra, a késő paleolit ​​korszakban pedig művészeti alkotásokkal, figurákkal és rajzokkal ékesítették létezésüket, amelyek figyelemre méltó formaérzéket árulnak el.
Amikor megtörtént az átmenet az egyszerű élelmiszergyűjtésről az aktív termelésre, a vadászatról és a halászatról a mezőgazdaságra, az emberiség új útra lépett. kőkorszak, a neolitikumban.
A neolitikus embernek éles érzéke volt a geometriai formák iránt. Az agyagedények égetése, festése, nádszőnyegek, kosarak, szövetek készítése, majd a fémfeldolgozás a sík- és téralakokról alkotott elképzeléseket. A neolitikus díszítések kellemesek voltak a szemnek, egyenlőségről és szimmetriáról árulkodtak.
– Hol fordul elő a szimmetria a természetben?

Javasolt válasz: pillangók, bogarak, falevelek szárnyai...

– Az építészetben is megfigyelhető a szimmetria. Az épületek építésekor az építők szigorúan betartják a szimmetriát.

Ezért olyan szépek az épületek. Szintén a szimmetria példája az emberek és az állatok.

Házi feladat:

1. Találja ki a saját díszét, rajzolja le A4-es lapra (rajzolhatja szőnyeg formájában).
2. Rajzolj pillangókat, jegyezd meg, hol vannak jelen a szimmetria elemei.

Legyen g fix vonal (191. ábra). Vegyünk egy tetszőleges X pontot, és dobjuk az AX merőlegest a g egyenesre. A merőleges A ponton túli folytatásán félretesszük az AX szakaszt", egyenlő a szegmensselÓ. Azt mondjuk, hogy az X" pont szimmetrikus az X pontra a g egyeneshez képest.

Ha egy X pont egy g egyenesen fekszik, akkor a vele szimmetrikus pont maga az X pont szimmetrikus pont X" az X pont.

Egy F ábra F ábrává alakítását, amelyben minden X pontja egy adott g egyenesre szimmetrikus X" pontba megy, egy g egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformációnak nevezzük. Ebben az esetben az F és F" ábrákat a g egyeneshez képest szimmetrikusnak nevezzük (192. ábra).

Ha egy g egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció magába vesz egy F ábrát, akkor ezt az ábrát egy g egyenesre nézve szimmetrikusnak, a g egyenest pedig az ábra szimmetriatengelyének nevezzük.

Például egy téglalap oldalaival párhuzamos átlóinak metszéspontján átmenő egyenesek a téglalap szimmetriatengelyei (193. ábra). Azok az egyenesek, amelyeken egy rombusz átlói fekszenek, szimmetriatengelyei (194. ábra).

9.3. Tétel. A szimmetria transzformációja egy egyenesre egy mozgás.

Bizonyíték. Vegyük ezt az egyenest y tengelynek Descartes-rendszer koordináták (195. ábra). Menjen az F ábra tetszőleges A (x; y) pontja az F ábra A" (x"; y") pontjába. Az egyenesre vonatkozó szimmetria definíciójából az következik, hogy az A és A" pontok egyenlő ordinátákkal rendelkeznek, és az abszciszák csak előjelben különböznek:

x"= -x.
Vegyünk két tetszőleges A(x 1; y 1) és B (x 2; y 2) pontot – ezek az A" (- x 1, y 1) és B" (-x 2; y 2) pontokba fognak menni.

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

Ebből világos, hogy AB = A "B". Ez pedig azt jelenti, hogy az egyenesre vonatkozó szimmetria transzformációja mozgás. A tétel bizonyítást nyert.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete