A szabályos piramis minden lapja egyenlő. A geometria alapjai: szabályos piramis az

Meghatározás

Piramis egy poliéder, amely egy \(A_1A_2...A_n\) és \(n\) háromszögekből áll, amelyeknek közös csúcsa \(P\) (amely nem a sokszög síkjában fekszik) és a vele szemközti oldalakkal egybeesik a sokszög oldalai.
Megnevezés: \(PA_1A_2...A_n\) .
Példa: ötszögletű piramis \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Háromszögek \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) stb. hívják oldalsó arcok piramisok, szegmensek \(PA_1, PA_2\) stb. – oldalsó bordák, sokszög \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – alapján, \(P\) pont – tetejére.

Magasság A piramisok a piramis tetejétől az alap síkjához ereszkedő merőlegesek.

Olyan piramist, amelynek alapjában háromszög van, un tetraéder.

A piramist az ún helyes, ha az alapja egy szabályos sokszög, és az alábbi feltételek egyike teljesül:

\((a)\) oldalsó bordák a piramisok egyenlőek;

\((b)\) a piramis magassága átmegy az alap közelében körülírt kör középpontján;

\((c)\) az oldalbordák ugyanabban a szögben dőlnek az alap síkjához.

\((d)\) oldalsó arcok az alap síkjához ugyanabban a szögben hajlik.

Szabályos tetraéder egy háromszög alakú piramis, amelynek minden oldala egyenlő egyenlő oldalú háromszögek.

Tétel

A \((a), (b), (c), (d)\) feltételek egyenértékűek.

Bizonyíték

Határozzuk meg a piramis magasságát \(PH\) . Legyen \(\alpha\) a piramis alapjának síkja.

1) Bizonyítsuk be, hogy \((a)\)-ból \((b)\) következik. Legyen \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Mert \(PH\perp \alpha\), akkor \(PH\) merőleges bármely, ezen a síkon fekvő egyenesre, ami azt jelenti, hogy a háromszögek derékszögűek. Ez azt jelenti, hogy ezek a háromszögek egyenlőek a \(PH\) és a \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) közös lábban. Ez azt jelenti, hogy \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Ez azt jelenti, hogy a \(A_1, A_2, ..., A_n\) pontok azonos távolságra vannak a \(H\) ponttól, tehát ugyanazon a \(A_1H\) sugarú körön fekszenek. Ez a kör definíció szerint a \(A_1A_2...A_n\) sokszög körül van körülírva.

2) Bizonyítsuk be, hogy \((b)\) azt jelenti, hogy \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) téglalap alakú és két lábon egyenlő. Ez azt jelenti, hogy a szögeik is egyenlőek, ezért \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Bizonyítsuk be, hogy \((c)\) azt jelenti, hogy \((a)\) .

Az első ponthoz hasonlóan háromszögek \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) téglalap alakú és a lábszár mentén és éles sarok. Ez azt jelenti, hogy a hipotenuszok is egyenlőek, azaz \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Bizonyítsuk be, hogy \((b)\)-ből \((d)\) következik.

Mert szabályos sokszögben a körülírt és a beírt kör középpontja egybeesik (általában ezt a pontot középpontnak nevezzük szabályos sokszög), akkor \(H\) a beírt kör középpontja. Rajzoljunk merőlegeseket a \(H\) pontból az alap oldalaira: \(HK_1, HK_2\) stb. Ezek a beírt kör sugarai (definíció szerint). Ekkor a TTP szerint (\(PH\) a síkra merőleges, a \(HK_1, HK_2\) stb. vetületek, merőleges az oldalakra) ferde \(PK_1, PK_2\) stb. merőleges az oldalakra \(A_1A_2, A_2A_3\) stb. illetőleg. Tehát definíció szerint \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) egyenlő az oldallapok és az alap közötti szögekkel. Mert a \(PK_1H, PK_2H, ...\) háromszögek egyenlőek (két oldalon téglalap alakúak), akkor a szögek \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) egyenlőek.

5) Bizonyítsuk be, hogy \((d)\) azt jelenti, hogy \((b)\) .

A negyedik ponthoz hasonlóan a \(PK_1H, PK_2H, ...\) háromszögek egyenlőek (a szár és hegyesszög mentén téglalap alakúak), ami azt jelenti, hogy a \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) szakaszok egyenlő. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy \(H\) az alapba írt kör középpontja. Hanem azért, mert Szabályos sokszögeknél a beírt és körülírt körök középpontja egybeesik, ekkor \(H\) a körülírt kör középpontja. Chtd.

Következmény

Egy szabályos gúla oldallapjai egyenlőek egyenlő szárú háromszögek.

Meghatározás

Egy szabályos gúla csúcsából húzott oldallapjának magasságát ún apotém.
Egy szabályos gúla összes oldallapjának apotémjei egyenlők egymással, és egyben mediánok és felezők is.

Fontos jegyzetek

1. Egy szabályos háromszög alakú gúla magassága az alap magasságainak (vagy felezőinek vagy mediánjainak) metszéspontjába esik (az alap szabályos háromszög).

2. Egy szabályos négyszög alakú gúla magassága az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap négyzet).

3. A magasság megfelelő hatszögletű piramis az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap szabályos hatszög).

4. A piramis magassága merőleges az alján fekvő bármely egyenesre.

Meghatározás

A piramist az ún négyszögletes, ha az egyik oldaléle merőleges az alap síkjára.

Fontos jegyzetek

1. U téglalap alakú piramisél, merőleges az alapra, a piramis magassága. Azaz \(SR\) a magasság.

2. Mert \(SR\) tehát merőleges az alaptól számított bármely egyenesre \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – derékszögű háromszögek.

3. Háromszögek \(\háromszög SRN, \háromszög SRK\)- téglalap alakú is.
Vagyis bármely háromszög, amelyet ez az él és az ennek az élnek az alapon fekvő csúcsából kilépő átló alkot, téglalap alakú lesz.

\[(\Large(\text(a piramis térfogata és felülete)))\]

Tétel

A piramis térfogata egyenlő a gúla alapterületének és magasságának szorzatának egyharmadával: \

Következmények

Legyen \(a\) az alap oldala, \(h\) a gúla magassága.

1. Egy szabályos háromszög alakú gúla térfogata az \(V_(\text(derékszögű háromszög.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Egy szabályos négyszög alakú gúla térfogata az \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Egy szabályos hatszögletű gúla térfogata az \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Hangerő szabályos tetraéder egyenlő \(V_(\text(jobb oldali tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Tétel

A szabályos gúla oldalfelületének területe megegyezik az alap és az apotém kerületének felével.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Meghatározás

Tekintsünk egy tetszőleges piramist \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Rajzoljunk egy, a piramis alapjával párhuzamos síkot a gúla oldalélén fekvő bizonyos ponton keresztül. Ez a repülő a piramist két poliéderre osztja, amelyek közül az egyik egy piramis (\(PB_1B_2...B_n\) ), a másik pedig az ún. csonka piramis(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

A csonka piramisnak két alapja van - a \(A_1A_2...A_n\) és \(B_1B_2...B_n\) sokszögek, amelyek hasonlóak egymáshoz.

A csonka gúla magassága a felső alap valamely pontjából az alsó alap síkjára húzott merőleges.

Fontos jegyzetek

1. A csonka gúla minden oldallapja trapéz.

2. A szabályos csonka gúla (vagyis egy szabályos gúla keresztmetszete alapján kapott gúla) alapjainak középpontjait összekötő szakasz a magasság.

Hipotézis:úgy gondoljuk, hogy a piramis alakjának tökéletessége annak köszönhető matematikai törvények, formájába ágyazva.

Cél: miután tanulmányozta a piramist, mint geometrikus test, hogy megmagyarázza a forma tökéletességét.

Feladatok:

1. Adj matematikai meghatározás piramis.

2. Tanulmányozza a piramist mint geometriai testet!

3. Értsd meg, milyen matematikai ismereteket építettek be az egyiptomiak piramisaiba.

Privát kérdések:

1. Mi a piramis mint geometriai test?

2. Hogyan magyarázhatjuk a piramis egyedi alakját azzal matematikai pont látomás?

3. Mi magyarázza a piramis geometriai csodáit?

4. Mi magyarázza a piramis alakjának tökéletességét?

A piramis definíciója.

PIRAMIS (a görög pyramis, gen. pyramidos) - poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a fennmaradó lapok pedig háromszögek, amelyeknek közös csúcsa van (rajz). Az alap sarkainak száma alapján a piramisokat háromszög, négyszög stb.

PIRAMIS - egy monumentális épület geometriai alakzat piramisok (néha lépcsős vagy torony alakúak is). Piramisok az ókori egyiptomi fáraók óriássírjainak elnevezése a Kr.e. 3-2. évezredben. e., valamint az ősi amerikai templomok talapzatai (Mexikóban, Guatemalában, Hondurasban, Peruban), amelyek a kozmológiai kultuszokhoz kapcsolódnak.

Lehetséges, hogy görög szó A „piramis” az egyiptomi per-em-us kifejezésből származik, azaz a piramis magasságát jelentő kifejezésből. A kiváló orosz egyiptológus V. Struve úgy vélte, hogy a görög „puram...j” az ókori egyiptomi „p”-mr-ből származik.

A történelemből. Miután tanulmányozta az Atanasyan szerzői „Geometria” tankönyv anyagát. Butuzov és mások, megtudtuk, hogy: Egy poliéder, amely egy n-szögű A1A2A3 ... An és n háromszögből áll, PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, piramisnak nevezzük. Az A1A2A3...An sokszög a piramis alapja, a PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 háromszögek pedig a gúla oldallapjai, P a gúla teteje, PA1, PA2,..., PAn szakaszok az oldalsó élek.

A piramisnak ez a meghatározása azonban nem mindig létezett. Például, ókori görög matematikus, a hozzánk eljutott matematikai elméleti értekezések szerzője, Eukleidész a piramist olyan szilárd alakként határozza meg, amelyet egy síkból egy pontba konvergáló síkok határolnak.

De ezt a meghatározást már az ókorban is kritizálták. Szóval Heron javasolta következő definíciót piramis: "Ez egy olyan alak, amelyet egy pontban összefolyó háromszögek határolnak, és amelynek alapja egy sokszög."

Csoportunk a definíciók összehasonlítása után arra a következtetésre jutott, hogy nincs egyértelmű megfogalmazásuk az „alapítvány” fogalmáról.

Megvizsgáltuk ezeket a definíciókat, és megtaláltuk Adrien Marie Legendre definícióját, aki 1794-ben „Elements of Geometry” című munkájában a következőképpen határozza meg a piramist: „A piramis egy testi alak, háromszögek alkotják, amely egy ponton összefolyik, és egy lapos alap különböző oldalain végződik.”

Számunkra úgy tűnik, hogy az utolsó meghatározás világos képet ad a piramisról, mivel az arról beszélünk hogy az alap lapos. A piramis egy másik meghatározása megjelent egy 19. századi tankönyvben: „a piramis egy térszög, amelyet egy sík metsz”.

Piramis mint geometriai test.

Hogy. A piramis egy poliéder, amelynek egyik lapja (alapja) sokszög, a többi lapja (oldalai) háromszögek, amelyeknek egy közös csúcsa van (a piramis csúcsa).

A piramis tetejétől az alap síkjához húzott merőlegest ún magasságh piramisok.

Az önkényes piramison kívül vannak helyes piramis melynek tövében egy szabályos sokszög és csonka piramis.

Az ábrán egy PABCD piramis látható, az ABCD az alapja, a PO a magassága.

Terület teljes felület A piramis az összes lapja területének összege.

Sfull = Sside + Smain, Ahol Oldal– az oldallapok területének összege.

A piramis térfogata képlettel találjuk meg:

V=1/3Sbas. h, ahol Sbas. - alapterület, h- magasság.

A szabályos piramis tengelye a magasságát tartalmazó egyenes.
Az Apothem ST egy szabályos gúla oldallapjának magassága.

A szabályos gúla oldalsó felületének területét a következőképpen fejezzük ki: Oldal. =1/2P h, ahol P az alap kerülete, h- az oldallap magassága (egy szabályos piramis apotémája). Ha a piramist az A’B’C’D’ sík metszi, párhuzamos az alappal, Ez:

1) az oldalbordákat és a magasságot ez a sík arányos részekre osztja;

2) keresztmetszetben egy A’B’C’D’ sokszöget kapunk, hasonlóan az alaphoz;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Csonka piramis alapjai– hasonló ABCD és A`B`C`D` sokszögek, az oldallapok trapézok.

Magasság csonka piramis - az alapok közötti távolság.

Csonka kötet A piramist a következő képlettel találjuk meg:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Egy szabályos csonka gúla oldalfelülete a következőképpen fejezzük ki: Sside = ½(P+P') h, ahol P és P’ az alapok kerülete, h- az oldalfelület magassága (egy szabályos csonka pirami apotémája

Egy piramis metszetei.

A piramis csúcsán áthaladó síkok metszetei háromszögek.

A gúla két nem szomszédos oldalélén áthaladó szakaszt nevezzük átlós szakasz.

Ha a szakasz egy ponton halad át az oldalélen és az alap oldalán, akkor a gúla alapjának síkjához vezető nyoma ez az oldal lesz.

A gúla lapján fekvő ponton áthaladó metszet és az alapsíkon egy adott metszetnyom, akkor a konstrukciót a következőképpen kell elvégezni:

· keresse meg egy adott lap síkjának metszéspontját és a gúla metszetének nyomát, és jelölje ki;

szerkeszteni egy áthaladó egyenest adott pontés a kapott metszéspont;

· ismételje meg ezeket a lépéseket a következő arcokra.

, ami egy derékszögű háromszög szárainak arányának felel meg 4:3. Ez a lábak aránya megfelel a jól ismert 3:4:5 oldalú derékszögű háromszögnek, amelyet „tökéletes”, „szent” vagy „egyiptomi” háromszögnek neveznek. A történészek szerint az „egyiptomi” háromszög mágikus jelentést kapott. Plutarkhosz azt írta, hogy az egyiptomiak a világegyetem természetét egy „szent” háromszöghöz hasonlították; szimbolikusan hasonlították a függőleges lábat a férjhez, a talpat a feleséghez, a hipotenuszt pedig ahhoz, amely mindkettőből születik.

A 3:4:5 arányú háromszögre igaz az egyenlőség: 32 + 42 = 52, ami a Pitagorasz-tételt fejezi ki. Nem ezt a tételt akarták állandósítani? egyiptomi papok, piramist építeni egy 3:4:5-ös háromszög alapján? Nehéz többet találni jó példa a Pythagorean-tétel illusztrálására, amelyet az egyiptomiak már jóval Pitagorasz felfedezése előtt ismertek.

Így a zseniális alkotók egyiptomi piramisok tudásuk mélységével igyekeztek ámulatba ejteni a távoli leszármazottakat, és ezt úgy érték el, hogy a Kheopsz-piramis „fő geometriai ötletének” az „arany” derékszögű háromszöget, a Khafre-piramisnál pedig a „szent” vagy „egyiptomi” háromszöget választották. .

Kutatásaik során a tudósok nagyon gyakran használják az aranyarány arányú piramisok tulajdonságait.

A matematikában enciklopédikus szótár Az Aranymetszet alábbi definíciója - ez egy harmonikus felosztás, szélsőséges és átlagos arányú osztás - az AB szakaszt két részre osztva úgy, hogy a nagyobbik AC része a teljes AB szakasz és a szegmens átlaga arányos. kisebb rész ÉK.

Szakasz aranymetszetének algebrai meghatározása AB = a redukálja az a: x = x: (a – x) egyenlet megoldására, amelyből x megközelítőleg egyenlő 0,62a-val. Az x arány 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618 törtként fejezhető ki, ahol 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-számok.

Az AB szakasz aranymetszetének geometriai felépítése a következőképpen történik: a B pontban helyreállítjuk az AB-re merőlegest, ráfektetjük a BE = 1/2 AB szakaszt, A és E összekapcsoljuk, DE = BE elbocsátjuk és végül AC = AD, akkor teljesül az AB egyenlőség: CB = 2:3.

aranymetszés gyakran használják műalkotásokban, építészetben és megtalálhatók a természetben. Élénk példák Apollo Belvedere szobra, a Parthenon. A Parthenon építése során az épület magasságának és hosszának arányát használták, ez az arány 0,618. A körülöttünk lévő tárgyak is példát szolgáltatnak az aranyarányra, például sok könyv kötésénél a szélesség-hossz arány közel 0,618. Figyelembe véve a levelek elrendezését a növények közös szárán, észrevehető, hogy minden két levélpár között a harmadik az Aranymetszetben található (csúszdák). Mindannyian „a kezünkben” hordjuk magunkkal az aranymetszetet - ez az ujjak falánjainak aránya.

Számos matematikai papirusz felfedezésének köszönhetően az egyiptológusok tanultak valamit az ókori egyiptomi számítási és mérési rendszerekről. A bennük foglalt feladatokat írástudók oldották meg. Az egyik leghíresebb a Rhind matematikai papirusz. E problémák tanulmányozásával az egyiptológusok megtudták, hogyan kezelték az ókori egyiptomiak különböző mennyiségben, amely a tömeg-, hossz- és térfogatmértékek kiszámításakor merült fel, amelyek gyakran használtak törteket, és hogyan kezelték a szögeket.

Az ókori egyiptomiak egy olyan módszert alkalmaztak a szögszámításra, amely a magasság és a derékszögű háromszög alapja arányán alapult. Bármilyen szöget kifejeztek a színátmenet nyelvén. A lejtő gradienst egész számarányként fejeztük ki, amelyet "szekednek" neveztek. Richard Pillins a Mathematics in the Time of the Pharaohs című könyvében kifejti: „Egy szabályos piramis második része a négy közül bármelyik meredeksége. háromszög alakú arcok az alap síkjához, egy függőleges emelkedési egységenkénti n-edik vízszintes egységgel mérve. Így ez a mértékegység megegyezik a dőlésszög modern kotangensével. Ezért az egyiptomi "szeked" szó rokon a miénkkel modern szó"gradiens"".

A piramisok numerikus kulcsa magasságuk alapjához viszonyított arányában rejlik. BAN BEN gyakorlati szempontból- Ez a legegyszerűbb módja a megfelelő dőlésszög folyamatos ellenőrzéséhez szükséges sablonok elkészítésének a piramis építése során.

Az egyiptológusok szívesen meggyőznének bennünket arról, hogy minden fáraó vágyott arra, hogy kifejezze egyéniségét, ebből adódik az egyes piramisok dőlésszögeinek különbsége. De lehet más oka is. Talán mindannyian más-más arányban rejtőzködő szimbolikus asszociációkat akartak megtestesíteni. A Khafre-piramis szöge azonban (a háromszög alapján (3:4:5) megjelenik a Rhind matematikai papirusz piramisai által bemutatott három feladatban). Tehát ezt a hozzáállást jól ismerték az ókori egyiptomiak.

Hogy igazságosak legyünk az egyiptológusokkal szemben, akik azt állítják, hogy az ókori egyiptomiak nem voltak tudatában a 3:4:5-ös háromszögnek, az 5-ös hipotenusz hosszát soha nem említették. De matematikai feladatok A piramisokkal kapcsolatos kérdéseket mindig a második szög - a magasság és az alap aránya - alapján döntik el. Mivel a hypotenus hosszát soha nem említették, arra a következtetésre jutottak, hogy az egyiptomiak soha nem számították ki a harmadik oldal hosszát.

A gízai piramisokban használt magasság-alap arányokat az ókori egyiptomiak kétségtelenül ismerték. Lehetséges, hogy ezeket az összefüggéseket minden piramishoz önkényesen választották ki. Ez azonban ellentmond a számszimbolikának tulajdonított fontosságnak az egyiptomi nyelv minden típusában vizuális művészetek. Nagyon valószínű, hogy az ilyen kapcsolatok azért voltak jelentősek, mert konkrét vallási elképzeléseket fejeztek ki. Más szóval, az egész gízai komplexum egy koherens tervezésnek volt alárendelve, amely egy bizonyos isteni témát tükrözött. Ez megmagyarázza, miért választották a tervezők különböző szögekből a három piramis dőlése.

Az Orion-rejtélyben Bauval és Gilbert mutatta be meggyőző bizonyíték kapcsolatok a gízai piramisok és az Orion csillagkép között, különösen az Orion-öv csillagai között. Ugyanez a csillagkép szerepel Ízisz és Ozirisz mítoszában, és indokolt, hogy mindegyik piramist a három fő egyik képének tekintsük. istenségek - Ozirisz, Ízisz és Hórusz.

"GEOMETRIAI" CSODÁK.

Egyiptom grandiózus piramisai között különleges helyet foglal el Kheopsz fáraó nagy piramisa (Khufu). Mielőtt elkezdenénk elemezni a Kheopsz-piramis alakját és méretét, emlékeznünk kell arra, milyen mértékrendszert alkalmaztak az egyiptomiak. Az egyiptomiaknak három hosszegységük volt: egy „könyök” (466 mm), ami hét „tenyérrel” (66,5 mm) volt egyenlő, ami viszont négy „ujjjal” (16,6 mm).

Vizsgáljuk meg a Kheopsz-piramis méreteit (2. ábra), a 2. ábra indoklása szerint. csodálatos könyv Nyikolaj Vasyutinsky ukrán tudós aranymetszés" (1990).

A legtöbb kutató egyetért abban, hogy például a piramis alapja oldalának hossza GF egyenlő L= 233,16 m Ez az érték majdnem pontosan 500 „könyök”-nek felel meg. Az 500 „könyök” teljes megfelelése akkor következik be, ha a „könyök” hosszát 0,4663 m-nek tekintjük.

A piramis magassága ( H) a kutatók 146,6-148,2 m-re becsülik, és a piramis elfogadott magasságától függően minden aránya változik geometriai elemek. Mi az oka a piramis magasságára vonatkozó becslések különbségeinek? A helyzet az, hogy szigorúan véve a Kheopsz-piramis csonka. Felső emelvénye ma körülbelül 10 × 10 méter, de egy évszázaddal ezelőtt még 6 × 6 méteres volt. Nyilvánvaló, hogy a piramis tetejét leszerelték, és nem felel meg az eredetinek.

A piramis magasságának értékelésekor ezt figyelembe kell venni fizikai tényező, mint a szerkezet „tervezete”. Mögött hosszú idő kolosszális nyomás hatására (az alsó felület 1 m2-én elérve az 500 tonnát) a piramis magassága csökkent az eredeti magassághoz képest.

Mekkora volt a piramis eredeti magassága? Ezt a magasságot a piramis alapvető "geometriai ötletének" megtalálásával lehet újra létrehozni.

2. ábra.

1837-ben G. Wise angol ezredes megmérte a piramis lapjainak dőlésszögét: az egyenlőnek bizonyult. a= 51°51". Ezt az értéket a legtöbb kutató még ma is felismeri. A megadott szögérték megfelel az érintőnek (tg a), egyenlő: 1,27306. Ez az érték megfelel a piramis magasságának arányának AC az alapja feléig C.B.(2. ábra), azaz A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

És itt nagy meglepetés várt a kutatókra!.png" width="25" height="24">= 1,272. Ezt az értéket összehasonlítva a tg értékkel a= 1,27306, azt látjuk, hogy ezek az értékek nagyon közel állnak egymáshoz. Ha a szöget vesszük a= 51°50", azaz csak egy ívperccel csökkentse, majd az értéket a egyenlő lesz 1,272-vel, azaz egybeesik az értékkel. Megjegyzendő, hogy 1840-ben G. Wise megismételte méréseit, és tisztázta, hogy a szög értéke a=51°50".

Ezek a mérések a következő nagyon érdekes hipotézishez vezették a kutatókat: a Kheopsz-piramis ACB háromszöge az AC reláción alapult / C.B. = = 1,272!

Tekintsük most a derékszögű háromszöget ABC, amelyben a lábak aránya A.C. / C.B.= (2. ábra). Ha most a téglalap oldalainak hossza ABCáltal kijelölni x, y, z, és azt is vegyük figyelembe, hogy az arány y/x= , akkor a Pitagorasz-tételnek megfelelően a hossz z képlettel lehet kiszámítani:

Ha elfogadjuk x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3. ábra."Arany" derékszögű háromszög.

Egy derékszögű háromszög, amelyben az oldalak egymáshoz kapcsolódnak t:arany" derékszögű háromszög.

Ekkor, ha azt a hipotézist vesszük alapul, hogy a Kheopsz-piramis fő „geometriai elképzelése” egy „arany” derékszögű háromszög, akkor innen könnyen kiszámíthatjuk a Kheopsz-piramis „tervezési” magasságát. Ez egyenlő:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Vezessünk most le néhány további összefüggést a Kheopsz-piramisra, amelyek az „arany” hipotézisből következnek. Különösen meg fogjuk találni a piramis külső területének és az alapterületének arányát. Ehhez vesszük a láb hosszát C.B. egységenként, azaz: C.B.= 1. De akkor a gúla alapjának oldalának hossza GF= 2, és az alap területe EFGH egyenlő lesz SEFGH = 4.

Számítsuk ki most a Kheopsz-piramis oldallapjának területét SD. A magasság óta AB háromszög AEF egyenlő t, akkor az oldalfelület területe egyenlő lesz SD = t. Ekkor a piramis mind a négy oldalsó felületének összterülete 4 lesz t, és a piramis teljes külső területének az alapterülethez viszonyított aránya egyenlő lesz az aranymetszet! Az az ami - a Kheopsz-piramis fő geometriai rejtélye!

a csoporthoz" geometriai csodák"Kheopsz piramisai a kapcsolat valódi és távoli tulajdonságainak tulajdoníthatók. különböző dimenziók a piramisban.

Általában bizonyos „konstansok”, különösen a „pi” (Ludolfo-szám) keresése során nyerik őket, amely 3,14159...; okokból természetes logaritmusok"e" (Neper-szám), egyenlő: 2,71828...; az "F" szám, az "aranymetszet" száma, ami például 0,618... stb.

Megnevezheti például: 1) Hérodotosz tulajdona: (Magasság)2 = 0,5 art. alapvető x Apothem; 2) V. tulajdona Ár: Magasság: 0,5 art. alap = "F" négyzetgyöke; 3) M. Eist tulajdonsága: Az alap kerülete: 2 Magasság = "Pi"; más értelmezésben - 2 evőkanál. alapvető : Magasság = "Pi"; 4) G. él tulajdonságai: A beírt kör sugara: 0,5 art. alapvető = "F"; 5) Kleppisch K. tulajdona: (Art. main.)2: 2 (Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2 (Art. main. x Apothem) : ((2 art. fő X Apothem) + (v. fő)2). Stb. Sok ilyen tulajdonsággal találkozhat, különösen, ha két szomszédos piramist köt össze. Például „A. Arefjev tulajdonságaiként” megemlíthető, hogy a Kheopsz piramis és Khafre piramis térfogatának különbsége megegyezik Mikerin piramisának kétszeresével...

Sok érdekes rendelkezések Különösen a piramisok „aranymetszés” szerinti felépítését írja le D. Hambidge „Dinamikus szimmetria az építészetben” és M. Gick „Az arány esztétikája a természetben és a művészetben” című könyvében. Emlékezzünk vissza, hogy az „aranymetszés” egy szakasz olyan arányban való felosztása, hogy A rész annyiszor nagyobb, mint B rész, A hányszor kisebb, mint a teljes A + B szakasz. Az A/B arány ebben az esetben egyenlő az „F” számmal == 1,618 .. Az „aranymetszés” használata nemcsak az egyes piramisokban, hanem a gízai piramisok egészében is szerepel.

A legkülönösebb azonban az, hogy egy és ugyanaz a Kheopsz-piramis egyszerűen „nem tud” ennyi csodálatos tulajdonságot tartalmazni. Egyes tulajdonságokat egyenként véve „illeszthető”, de nem fér el mindegyik egyszerre - nem esnek egybe, ellentmondanak egymásnak. Ezért, ha például az összes tulajdonság ellenőrzésekor kezdetben a piramis alapjának ugyanazt az oldalát vesszük (233 m), akkor a különböző tulajdonságú piramisok magassága is eltérő lesz. Más szavakkal, van egy bizonyos piramiscsalád, amely külsőleg hasonlít Kheopszhoz, de megfelel különböző tulajdonságok. Ne feledje, hogy a „geometriai” tulajdonságokban nincs semmi különösebben csodálatos – sok minden tisztán automatikusan, magának az alaknak a tulajdonságaiból fakad. „Csodának” csak olyasmit szabad tekinteni, ami nyilvánvalóan lehetetlen volt az ókori egyiptomiak számára. Ide tartoznak különösen a „kozmikus” csodák, amelyekben a Kheopsz-piramis vagy a gízai piramiskomplexum méréseit összevetik néhány csillagászati ​​méréssel, és „páros” számokat jeleznek: milliószor kevesebb, egymilliárdszor kevesebb, ill. hamar. Nézzünk néhány „kozmikus” kapcsolatot.

Az egyik állítás: "ha elosztod a piramis alapjának oldalát egy év pontos hosszával, akkor pontosan az év 10 milliomod részét kapod." a föld tengelye Számítsuk ki: 233-at osszuk el 365-tel, 0,638-at kapunk. A Föld sugara 6378 km.

Egy másik állítás valójában az előző ellentéte. F. Noetling rámutatott, hogy ha az általa talált „egyiptomi könyököt” használjuk, akkor a piramis oldala „a legpontosabb időtartamnak” felel meg. napév, a nap legközelebbi milliárdod részével kifejezve" - ​​365.540.903.777.

P. Smith nyilatkozata: "A piramis magassága pontosan egymilliárd része a Föld és a Nap közötti távolságnak." Bár a felvett magasság általában 146,6 m, Smith a modern radarmérések szerint a félnagy tengelyt 148,2 m-nek vette a föld pályája 149 597 870 + 1,6 km. Ez a Föld és a Nap közötti átlagos távolság, de a perihéliumban 5 000 000 kilométerrel kisebb, mint az aphelionnál.

Egy utolsó érdekes kijelentés:

"Hogyan magyarázhatjuk meg, hogy Kheopsz, Khafre és Mykerinus piramisainak tömegei úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a Föld, Vénusz és Mars bolygók tömegei?" Számoljunk. A három piramis tömege: Khafre - 0,835; Kheopsz - 1000; Mikerin - 0,0915. A három bolygó tömegének aránya: Vénusz - 0,815; Föld - 1000; Mars - 0,108.

Tehát a szkepticizmus ellenére megjegyezzük az állítások felépítésének jól ismert harmóniáját: 1) a piramis magassága, mint egy „űrbe menő” vonal, megfelel a Föld és a Nap távolságának; 2) a piramis alapjának a „hordozóhoz”, azaz a Földhöz legközelebb eső oldala felelős a Föld sugaráért és földi keringés; 3) a piramis térfogata (értsd - tömegek) megfelel a Földhöz legközelebb eső bolygók tömegeinek arányának. Hasonló „rejtjel” nyomon követhető például a Karl von Frisch által elemzett méhnyelvben is. Ennek az ügynek a kommentálásától azonban egyelőre tartózkodunk.

PIRAMIS ALAKÚ

A piramisok híres tetraéderes alakja nem jelent meg azonnal. A szkíták földes dombok - halmok - formájában temették el. Az egyiptomiak kőből "dombokat" építettek - piramisokat. Ez először Felső- és Alsó-Egyiptom egyesítése után történt, a Kr.e. 28. században, amikor az alapító előtt III. dinasztia Djoser (Zoser) fáraó az ország egységének megerősítését kapta.

És itt a történészek szerint fontos szerep játszott a központi kormányzat megerősítésében" új koncepció a király "istenítése" Bár a királyi temetkezések nagyobb pompával jellemezték őket, elvileg nem különböztek az udvari nemesek sírjaitól, ugyanazok az építmények – a múmiát tartalmazó szarkofág fölötti kamra, egy téglalap alakú Kiöntötték a kis kövekből álló dombot, ahol aztán egy nagy kőtömbökből álló kis épületet helyeztek el – „mastaba” (arabul – „pad”). Elődje, Sanakht masztabájának helyén Djoser fáraó állította fel az elsőt. piramis volt lépcsős és látható. átmeneti szakasz egyik építészeti formától a másikig, a masztabától a piramisig.

Ily módon „nevelte fel” a fáraót a bölcs és Imhotep építész, akit később varázslónak tartottak, és a görögök Aszklépiosz istennel azonosítottak. Mintha hat mastabát állítottak volna fel egymás után. Ezenkívül az első piramis 1125 x 115 méteres területet foglalt el, becsült magassága 66 méter (az egyiptomi szabványok szerint - 1000 „tenyér”). Az építész először egy masztabát tervezett, de nem hosszúkás, hanem négyzet alakú alaprajzú. Később kibővítették, de mivel a hosszabbítást lejjebb tették, úgy tűnt, két lépcső van.

Ez a helyzet nem elégítette ki az építészt, és a hatalmas lapos masztaba felső emelvényén Imhotep további hármat helyezett el, fokozatosan csökkenve a teteje felé. A sír a piramis alatt volt.

Több lépcsős piramis is ismert, de később az építők áttértek az ismertebb piramisok építésére tetraéder piramisok. De miért nem háromszögletű vagy mondjuk nyolcszögletű? Közvetett választ ad az a tény, hogy szinte minden piramis tökéletesen orientált a négy fő irány mentén, és ezért négy oldala van. Ezenkívül a piramis egy „ház”, egy négyszögletes sírkamra héja volt.

De mi határozta meg az arcok dőlésszögét? A „Az arányok elve” című könyvben egy egész fejezetet szentelnek ennek: „Mi határozhatta meg a piramisok dőlésszögét?” Különösen azt jelzi, hogy „a kép, amelyhez a nagy piramisok vonzódnak Ősi királyság- a csúcsban derékszögű háromszög.

A térben ez egy féloktaéder: egy piramis, amelyben az alap élei és oldalai egyenlőek, az élek egyenlő oldalú háromszögek." Hambidge, Gick és mások könyvei tartalmaznak bizonyos megfontolásokat ebben a témában.

Mi az előnye a féloktaéder szögének? A régészek és történészek leírása szerint egyes piramisok saját súlyuk alatt összeomlottak. Amire szükség volt, az egy „tartóssági szög”, egy olyan szög, amely energetikailag a legmegbízhatóbb. Pusztán empirikusan ezt a szöget egy omladozó száraz homokhalom csúcsszögéből vehetjük ki. De ahhoz, hogy pontos adatokat kapjunk, modellt kell használni. Négy szilárdan rögzített golyót véve rájuk kell egy ötödik, és meg kell mérni a dőlésszögeket. Itt azonban hibázhatunk, így egy elméleti számítás segít: a golyók középpontját érdemes vonalakkal összekötni (mentálisan). Az alap egy négyzet lesz, amelynek oldala a sugár kétszeresével egyenlő. A négyzet csak az alapja lesz a piramisnak, amelynek éleinek hossza is megegyezik a sugár kétszeresével.

Így a golyók 1:4-hez hasonló szoros összepakolása szabályos féloktaédert ad.

De miért nem tartja meg sok hasonló alak felé vonzó piramis azt? A piramisok valószínűleg elöregedtek. Ellentétben a híres mondással:

„Minden a világon fél az időtől, és az idő fél a piramisoktól” – a piramisok épületeinek el kell öregedniük, nem csak külső mállási folyamatok történhetnek és kell bennük, hanem belső „zsugorodási” folyamatok is. A piramisok lejjebb süllyednek. A zsugorodás azért is lehetséges, mert D. Davidovits munkája szerint az ókori egyiptomiak a mészforgácsból, más szóval „betonból” tömbök készítésének technológiáját alkalmazták. Pontosan hasonló folyamatok magyarázhatják a Kairótól 50 km-re délre található Medum piramis pusztulásának okát. 4600 éves, az alap mérete 146 x 146 m, magassága 118 m. „Miért ilyen eltorzult?” – kérdezi V. Zamarovsky „Az idő pusztító hatására és a „kő más épületekre való felhasználására” való szokásos utalások nem alkalmasak.

Hiszen a legtöbb tömbje és homlokzati födémje a mai napig a helyén maradt, a lábánál romokban áll." Mint látni fogjuk, számos rendelkezés még azon is elgondolkodtat, híres piramis Cheops is „összezsugorodott”. Mindenesetre minden ókori képen a piramisok hegyesek...

A piramisok formáját utánzással is előállíthatták: néhány természetes minta, „csodatökéletesség”, mondjuk néhány kristály oktaéder formájában.

Hasonló kristályok lehetnek a gyémánt és az arany kristályok. Jellegzetes nagyszámú„átfedő” jelek olyan fogalmakra, mint a fáraó, nap, arany, gyémánt. Mindenhol - nemes, ragyogó (zseniális), nagyszerű, kifogástalan stb. A hasonlóságok nem véletlenek.

A napkultusz, mint ismeretes, a vallás fontos részét képezte Az ókori Egyiptom. „Nem számít, hogyan fordítjuk a piramisok legnagyobbjának nevét” – jegyzi meg az egyik modern segédeszközök- „Khufu égboltja” vagy „Khufu égboltja” azt jelentette, hogy a király a nap, ha Khufu hatalmának ragyogásában a második napnak képzelte magát, akkor fia, Djedef-Ra az egyiptomi királyok közül az első, aki „Ra fiának”, vagyis a Nap fiának nevezte magát. Szinte minden nép Napját a „szoláris fém”, az arany jelképezte. „Egy nagy fényes arany korong” - így hívták az egyiptomiak a miénket napfény. Az egyiptomiak tökéletesen ismerték az aranyat, ismerték az őshonos formáit, ahol az aranykristályok oktaéderek formájában jelenhetnek meg.

A „napkő” – a gyémánt – itt is érdekes, mint „alakminta”. A gyémánt neve pontosan innen ered arab világ, "almas" - a legkeményebb, legedzettebb, elpusztíthatatlan. Az ókori egyiptomiak jól ismerték a gyémántot és annak tulajdonságait. Egyes szerzők szerint még bronzcsöveket is használtak gyémántvágókkal a fúráshoz.

Jelenleg a gyémánt fő szállítója Dél-Afrika, de Nyugat-Afrika is gazdag gyémántban. A Mali Köztársaság területét még „Gyémántföldnek” is nevezik. Eközben Mali területén él a dogon, akivel a paleo-látogatás hipotézisének hívei sok reményt fűznek (lásd alább). A gyémánt nem lehetett az oka az ókori egyiptomiak kapcsolatainak ezzel a vidékkel. Azonban így vagy úgy lehetséges, hogy az ókori egyiptomiak éppen a gyémánt- és aranykristályok oktaédereinek másolásával istenítették a fáraókat, akik „elpusztíthatatlanok”, mint a gyémánt és „ragyogóak”, mint az arany, a Nap fiait, amelyek csak összehasonlíthatók. a természet legcsodálatosabb alkotásaihoz.

Következtetés:

A piramis mint geometriai test tanulmányozása, elemeinek és tulajdonságainak megismerése után meggyőződtünk a piramis alakjának szépségéről alkotott vélemény érvényességéről.

Kutatásunk eredményeként arra a következtetésre jutottunk, hogy az egyiptomiak a legértékesebb matematikai tudást összegyűjtve piramisban testesítették meg. Ezért a piramis valóban a természet és az ember legtökéletesebb alkotása.

BIBLIOGRÁFIA

"Geometria: Tankönyv. 7-9 évfolyamra. Általános oktatás intézmények\ stb. - 9. kiadás - M.: Oktatás, 1999

A matematika története az iskolában, M: „Prosveshchenie”, 1982.

Geometria 10-11 évfolyam, M: „Felvilágosodás”, 2000

Peter Tompkins "titkai" nagy piramis Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Internetes források

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

A C2 feladat koordinátamódszerrel történő megoldása során sok diák szembesül ugyanezzel a problémával. Nem tudnak számolni pontok koordinátái szerepel a képletben pont termék. A legnagyobb nehézségek merülnek fel piramisok. És ha az alappontokat többé-kevésbé normálisnak tekintjük, akkor a csúcsok igazi pokol.

Ma egy szabályos négyszög alakú piramison fogunk dolgozni. Van egy háromszög alakú piramis is (más néven - tetraéder). Ez több összetett kialakítás, ezért külön leckét szentelünk neki.

Először is emlékezzünk a definícióra:

Helyes piramis- ez egy piramis, amelyben:

1. Az alap egy szabályos sokszög: háromszög, négyzet stb.;
2. A bázishoz húzott magasság áthalad a középpontján.

Különösen egy négyszögletű piramis alapja az négyzet. Akárcsak Kheopsz, csak egy kicsit kisebb.

Az alábbiakban egy olyan piramis számításait mutatjuk be, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel. Ha a problémában nem ez a helyzet, a számítások nem változnak – csak a számok különböznek.

Négyszögletű piramis csúcsai

Tehát legyen megadva a megfelelő négyszög alakú piramis SABCD, ahol S a csúcs, az ABCD alap egy négyzet. Minden él egyenlő 1-gyel. Meg kell adnia egy koordináta-rendszert, és meg kell találnia az összes pont koordinátáját. Nekünk van:

Bevezetünk egy koordinátarendszert, amelynek origója az A pontban van:

1. Az OX tengely párhuzamos az AB éllel;
2. Az OY tengely párhuzamos az AD-vel. Mivel ABCD négyzet, AB ⊥ AD;
3. Végül az OZ tengelyt felfelé irányítjuk, merőlegesen az ABCD síkra.

Most kiszámoljuk a koordinátákat. Kiegészítő konstrukció: SH - az alaphoz húzott magasság. A kényelem kedvéért a piramis alapját külön rajzban helyezzük el. Mivel az A, B, C és D pontok az OXY síkban helyezkednek el, koordinátájuk z = 0.

1. A = (0; 0; 0) - egybeesik az origóval;
2. B = (1; 0; 0) - 1-gyel lépésenként az OX tengely mentén az origótól;
3. C = (1; 1; 0) - 1-gyel az OX tengely mentén és 1-gyel az OY tengely mentén;
4. D = (0; 1; 0) - lépés csak az OY tengely mentén.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - a négyzet közepe, az AC szegmens közepe.

Meg kell találni az S pont koordinátáit. Figyeljük meg, hogy az S és H pontok x és y koordinátái megegyeznek, mivel az OZ tengellyel párhuzamos egyenesen fekszenek. Meg kell találni az S pont z koordinátáját.

Tekintsük az ASH és ABH háromszögeket:

1. AS = AB = 1 feltétel szerint;
2. Szög AHS = AHB = 90°, mivel SH a magassága és AH ⊥ HB a négyzet átlói;
3. Az oldalsó AH gyakori.

Ezért az ASH és ABH derékszögű háromszögek egyenlő egy láb és egy-egy hypotenusa. Ez azt jelenti, hogy SH = BH = 0,5 BD. De BD egy olyan négyzet átlója, amelynek oldala 1. Ezért van:

Az S pont összes koordinátája:

Végezetül felírjuk egy szabályos téglalap alakú piramis összes csúcsának koordinátáit:

Mi a teendő, ha a bordák eltérőek

Mi van akkor, ha a piramis oldalélei nem egyenlők az alap éleivel? Ebben az esetben vegye figyelembe az AHS háromszöget:

AHS háromszög - négyszögletes, és az AS hipotenusz szintén az eredeti SABCD piramis oldaléle. Az AH láb könnyen kiszámítható: AH = 0,5 AC. Megtaláljuk a maradék SH lábat a Pitagorasz-tétel szerint. Ez lesz az S pont z koordinátája.

Feladat. Adott egy szabályos négyszög alakú SABCD gúla, melynek alapjában egy 1 oldalú négyzet található. Oldalél BS = 3. Határozza meg az S pont koordinátáit!

Ennek a pontnak az x és y koordinátáit már ismerjük: x = y = 0,5. Ez két tényből következik:

1. Az S pont vetülete az OXY síkra a H pont;
2. Ugyanakkor a H pont egy ABCD négyzet középpontja, amelynek minden oldala egyenlő 1-gyel.

Meg kell találni az S pont koordinátáját. Tekintsük az AHS háromszöget. Téglalap alakú, a hipotenusz AS = BS = 3, az AH láb az átló fele. További számításokhoz szükségünk van a hosszára:

Pitagorasz-tétel AHS háromszögre: AH 2 + SH 2 = AS 2. Nekünk van:

Tehát az S pont koordinátái:

• apotém- egy szabályos gúla oldallapjának magassága, amelyet a csúcsából húzunk (továbbá az apotém a merőleges hossza, amely a szabályos sokszög közepétől az egyik oldalára süllyeszthető);
• oldalsó arcok (ASB, BSC, CSD, DSA) - háromszögek, amelyek a csúcsban találkoznak;
• oldalsó bordák ( MINT , B.S. , C.S. , D.S. ) — közös szempontok oldalsó élek;
• a piramis teteje (t. S) - az oldalbordákat összekötő pont, amely nem az alap síkjában fekszik;
• magasság ( ÍGY ) - a piramis tetején keresztül az alap síkjához húzott merőleges szakasz (egy ilyen szakasz vége a gúla teteje és a merőleges alapja lesz);
• a piramis átlós metszete- a piramis egy szakasza, amely áthalad a tetején és az alap átlóján;
• bázis (ABCD) - sokszög, amely nem tartozik a piramis csúcsához.

A piramis tulajdonságai.

1. Ha az összes oldalsó él azonos méretű, akkor:

• könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
• az oldalbordák az alap síkjával egyenlő szöget zárnak be;
• Ráadásul ennek az ellenkezője is igaz, pl. amikor az oldalbordák az alap síkjával kialakulnak egyenlő szögek, vagy amikor egy kör írható le a piramis alapja közelében, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve, ami azt jelenti, hogy a gúla minden oldaléle azonos méretű.

2. Ha az oldallapok dőlésszöge azonos értékű az alap síkjával, akkor:

• könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
• az oldallapok magassága az egyenlő hosszúságú;
• az oldalfelület területe egyenlő az alap kerületének és az oldalfelület magasságának a szorzatával.

3. A gúla körül gömb írható le, ha a piramis alján van egy sokszög, amely körül kör írható le (szükséges ill. elégséges állapot). A gömb középpontja azoknak a síkoknak a metszéspontja lesz, amelyek átmennek a piramis rájuk merőleges éleinek közepén. Ebből a tételből arra a következtetésre jutunk, hogy egy gömb leírható bármely háromszög és bármely szabályos piramis körül.

4. Egy gömb akkor írható a gúlába, ha a belső felező síkjai kétszögek a piramisok az 1. pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.

A legegyszerűbb piramis.

A szögek száma alapján a piramis alapja háromszögre, négyszögre stb.

Piramis lesz háromszög alakú, négyszögű, és így tovább, amikor a piramis alapja egy háromszög, egy négyszög stb. Háromszög alakú piramis van egy tetraéder – egy tetraéder. Négyszögletű - ötszögletű és így tovább.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete