A fő geometriai alakzatok a. Geometriai formák egy síkon

A geometriai alakzatok pontok, vonalak, testek vagy felületek komplexumai. Ezek az elemek síkon és térben is elhelyezkedhetnek, formálva végső mennyiség egyenes

Az „ábra” kifejezés több ponthalmazt foglal magában. Egy vagy több síkon kell elhelyezkedniük, és egyidejűleg meghatározott számú kitöltött sorra kell korlátozódniuk.

A fő geometriai alakzatok a pont és az egyenes. Egy repülőn helyezkednek el. Rajtuk kívül, köztük egyszerű figurák sugarat, szaggatott vonalat és szakaszt különböztetünk meg.

Pont

Ez a geometria egyik fő alakja. Nagyon kicsi, de mindig építkezésre használják különféle formák a felszínen. A lényeg abszolút minden építkezésnél a fő szám, még a legtöbbnél is magas komplexitás. A geometriában általában a latin ábécé betűivel jelölik, például A, B, K, L.

A matematika szempontjából a pont egy absztrakt térbeli objektum, amely nem rendelkezik olyan jellemzőkkel, mint a terület vagy a térfogat, ugyanakkor alapvető fogalom marad a geometriában. Ennek a nulldimenziós objektumnak egyszerűen nincs definíciója.

Egyenes

Ez az ábra teljesen egy síkban van elhelyezve. Az egyenesnek nincs konkrét matematikai meghatározás, hiszen abból áll Hatalmas mennyiségű pontok egy végtelen vonalon helyezkednek el, amelynek nincs határa vagy határa.

Van egy szegmens is. Ez is egy egyenes, de egy pontból indul ki és végződik, ami azt jelenti, hogy geometriai korlátozásokkal rendelkezik.

A vonal iránynyalábbá is alakulhat. Ez akkor fordul elő, ha egy egyenes egy pontból indul ki, de nincs egyértelmű vége. Ha a vonal közepére teszünk egy pontot, akkor az két sugárra válik szét (további), és egymással ellentétes irányban irányul.

Több olyan szegmens, amelyek egymás után egymáshoz kapcsolódnak, befelé végződnek közös pontés nem ugyanazon az egyenes vonalon helyezkednek el, általában szaggatott vonalnak nevezik.

Sarok

A geometriai ábrákat, amelyek nevét fentebb tárgyaltuk, figyelembe vesszük kulcselemei, bonyolultabb modellek felépítésénél használják.

A szög egy csúcsból és két abból kiinduló sugárból álló szerkezet. Vagyis ennek az ábrának az oldalai egy ponton kapcsolódnak össze.

Repülőgép

Nézzünk egy másik elsődleges koncepciót. A sík olyan alakzat, amelynek nincs se vége, se kezdete, valamint egy egyenes és egy pont. Miközben ezt mérlegeljük geometriai elem csak a törött zárt vonal körvonalai által határolt részt veszik figyelembe.

Minden sima határolt felület síknak tekinthető. Lehet, hogy vasalódeszka, egy darab papírt vagy akár egy ajtót.

Négyszögek

A paralelogramma egy geometriai alakzat ellentétes oldalak amelyek páronként párhuzamosak egymással. Ennek a kialakításnak a különleges típusai közé tartozik a gyémánt, a téglalap és a négyzet.

A téglalap olyan paralelogramma, amelynek minden oldala derékszögben érintkezik.

A négyzet olyan négyszög, amelynek egyenlő oldalakés sarkok.

A rombusz olyan alakzat, amelyben minden oldal egyenlő. Ebben az esetben a szögek teljesen eltérőek lehetnek, de párban. Minden négyzet gyémántnak számít. De ellenkező irányba ez a szabály nem mindig érvényes. Nem minden rombusz négyzet.

Trapéz alakú

A geometriai formák teljesen eltérőek és bizarrak lehetnek. Mindegyikük egyedi formával és tulajdonságokkal rendelkezik.

A trapéz olyan alakzat, amely némileg hasonlít egy négyszögre. Két párhuzamos, ellentétes oldala van, és ívesnek tekinthető.

Kör

Ez a geometriai ábra a középpontjától egyenlő távolságra lévő pontok elhelyezkedését jelenti egy síkban. Ebben az esetben egy adott nem nulla szakaszt általában sugárnak neveznek.

Háromszög

Ez egy egyszerű geometriai alakzat, amellyel nagyon gyakran találkoznak és tanulmányoznak.

A háromszög a sokszög altípusának tekinthető, amely egy síkban helyezkedik el, és három éllel és három érintkezési ponttal határolódik. Ezek az elemek páronként kapcsolódnak egymáshoz.

Poligon

A sokszögek csúcsai a szakaszokat összekötő pontok. Utóbbiak pedig bulinak számítanak.

Térfogatbeli geometriai formák

• prizma;
• gömb;
• kúp;
• henger;
• piramis;

Ezekben a testekben van valami közös. Mindegyik zárt felületre korlátozódik, amelyen belül sok pont található.

A térfogati testeket nemcsak a geometriában, hanem a krisztallográfiában is tanulmányozzák.

Érdekes tények

Biztosan érdeklődni fog az alábbi információk elolvasása után.

• A geometriát tudományként formálták már az ókorban. Ez a jelenség általában a művészet és a különféle mesterségek fejlődéséhez kapcsolódik. A geometriai alakzatok nevei pedig a hasonlóság és hasonlóság meghatározásának elveinek alkalmazását jelzik.
• Az ógörögről lefordítva a „trapéz” kifejezés étkezési asztalt jelent.
• Ha veszed különféle figurák, amelynek kerülete akkora lesz legnagyobb terület garantáltan benne lesz a körben.
• Lefordítva innen görög nyelv a "kúp" kifejezés fenyőtobozra utal.
• Létezik híres kép Kazemir Malevich, amely a múlt század óta sok festő nézetét vonzotta. A „Fekete négyzet” alkotás mindig is misztikus és titokzatos volt. A fehér vászon geometrikus figurája egyszerre gyönyörködtet és ámulatba ejt.

Létezik nagyszámú geometriai formák. Mindegyik paraméterben különbözik, és néha még alakjuk is meglepő.

Kandinszkij festészetről alkotott nézeteit könyvben rendszerezte "Pont és vonal egy síkon"(1926). Tanul geometriai formák, a művész úgy találta, hogy felhasználhatók a szín tulajdonságainak fokozására vagy gyengítésére. Ehhez a festményhez egy tompa palettát használt, amely a spektrum egyik részén elhelyezkedő színek felé hajlott.

Idézetek a könyvből:
VONAL
A geometriai vonal egy láthatatlan tárgy. Ez egy mozgó pont nyoma, vagyis a terméke. Mozgásból keletkezett – mégpedig a pont legmagasabb, önálló többi részének megsemmisülése következtében. Itt ugrás történt a statikától a dinamika felé.
Így a vonal a képi elsődleges elem - a pont - legnagyobb ellentéte. És a legnagyobb pontossággal másodlagos elemként is kijelölhető.

KINÉZET
A kívülről érkező erők, amelyek egy pontot egyenessé alakítanak, különbözőek lehetnek. A vonalak sokfélesége ezen erők számától és kombinációiktól függ.
Végső soron az összes vonalalak [eredete] két esetre redukálható:
1. egy erő alkalmazása és
2. két erő alkalmazása:
a) mindkét erő egyszeri vagy többszörös váltakozó hatása,
b) mindkét erő egyidejű hatása.

EGYENES
Ha egy kívülről érkező erő elmozdít egy pontot bármely irányba, akkor létrejön az első típusú vonal, és a választott irány változatlan marad, és maga az egyenes is hajlamos arra, hogy haladjon. egyenes ösvény végtelenül.
Ez egy egyenes vonal, amely feszültségében a mozgás végtelen lehetőségének legsűrítettebb formáját képviseli.
...
Az egyenesek között három típust különböztetünk meg, amelyekhez képest az összes többi egyenes csak eltérés.
1. A legegyszerűbb forma egyenes vízszintes. Az emberi felfogásban annak a vonalnak vagy felületnek felel meg, amelyen az ember áll vagy mozog. Tehát a vízszintes egy hideg teherhordó alap, amely síkban folytatható különféle irányokba. A hidegség és a laposság ennek a vonalnak a fő hangjai, a korlátlan hideg mozgáslehetőség legrövidebb formájaként definiálható.
2. Ezzel a vonallal mind kívül, mind belül teljesen ellentétes egy rá merőlegesen álló függőleges, amelyben a síkságot a magasság, vagyis a hideget a meleg váltja fel. Így a függőleges a korlátlan meleg mozgási lehetőség legrövidebb formája.
3. Harmadik tipikus megjelenés Az egyenes egy átló, amely sematikusan alatta van egyenlő szög eltér a fentiektől, és ezáltal mindkettő felé egyforma gravitációja van, ami meghatározza belső hangját, a hideg és a meleg egységes kombinációját. Tehát: a korlátlan meleg-hideg mozgáslehetőség legrövidebb formája.. .

Az ábra egy síkon lévő pontok tetszőleges halmaza. Egy pont, egy egyenes, egy szakasz, egy sugár, egy háromszög, egy kör, egy négyzet és így tovább, mind példák a geometriai alakzatokra.

A fő geometriai alakzatok egy síkon egy pont és egy egyenes. Ezek az ábrák nem adnak definíciót a geometriában.

A síkon lévő meghatározatlan geometriai alakzatok egy pont és egy egyenes.

A pontokat általában nagybetűkkel jelöljük latin betűkkel: A, B, C, D…. A közvetlen vonalakat kis latin betűk jelölik: a, b, c, d....

Planimetriával vizsgált ábrák:

3. Parallelogramma (speciális esetek: négyzet, téglalap, rombusz)

4. Trapéz

5. Kerület

6. Háromszög

7. Sokszög

A geometriában, a topológiában és a matematika rokon ágaiban egy pontot ún absztrakt tárgy térben, nem rendelkezik sem térfogattal, sem területtel, sem hosszúsággal, sem más hasonló nagy méretű jellemzőkkel. Így egy pont egy nulldimenziós objektum. A pont a matematika egyik alapfogalma.

A pont a geometria egyik alapfogalma, ezért a „pontnak” nincs definíciója. Eukleidész úgy határozta meg a pontot, mint ami nem osztható.

Szintén a geometriában nincs definíciója az "egyenesnek" (az egyenest jelenti).

Az egyenes a geometria egyik alapfogalma.

Geometriai egyenes (egyenes) - kiterjesztett, nem ívelt geometriai objektum, amely nincs zárva mindkét oldalon, keresztmetszet amely nullára hajlik, és a síkra való hosszirányú vetítés pontot ad.

A geometria szisztematikus bemutatásánál általában az egyenest veszik az egyik kezdeti fogalomnak, amit csak közvetve határoznak meg a geometria axiómái.

Ha a geometria megalkotásának alapja a tér két pontja közötti távolság fogalma, akkor az egyenes olyan egyenesként definiálható, amely mentén egyenlő a távolsággal két pont között.

3) Párhuzamos

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, azaz párhuzamos egyeneseken fekszenek. A paralelogramma speciális esetei a téglalap, a négyzet és a rombusz.

Különleges esetek:

A négyzet olyan szabályos négyszög vagy rombusz, amelyben minden szög derékszögű, vagy olyan paralelogramma, amelynek minden oldala és szöge egyenlő.

A négyzet a következőképpen határozható meg:

§ egy téglalap kettővel szomszédos oldalak egyenlő

§ egy rombusz, amelyben minden szög derékszögű (bármely négyzet rombusz, de nem minden rombusz négyzet).

A téglalap olyan paralelogramma, amelyben minden szög derékszög (egyenlő 90 fokkal).

A rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő. A derékszögű rombuszt négyzetnek nevezzük.

4) Trapéz

A trapéz olyan négyszög, amelynek pontosan egy pár szemközti oldala párhuzamos.

Néha a trapéz egy olyan négyszög, amelyben egy pár szemközti oldal párhuzamos (a másik nincs megadva), ebben az esetben a paralelogramma a trapéz speciális esete. Különösen létezik egy olyan fogalom, mint a görbe vonalú trapéz.

Téglalap alakú trapéz

5) Kerület

Körméret -- locus a sík pontjaitól egyenlő távolságra adott pont, amelyet középpontnak nevezünk, egy adott nem nulla távolságra, amelyet sugarának nevezünk.

6) Háromszög

A háromszög a legegyszerűbb sokszög, amelynek 3 csúcsa (szöge) és 3 oldala van; a sík három pont által határolt része és ezeket a pontokat páronként összekötő három szakasz.

Ha egy háromszög mindhárom pontja ugyanazon az egyenesen fekszik, akkor degeneráltnak nevezzük.

7) Sokszög

A sokszög egy geometriai alakzat, amelyet zárt szaggatott vonalként határoznak meg. Itt három van különféle lehetőségeket definíciók:

§ Sík zárt szaggatott vonalak;

§ Sík zárt szaggatott vonalak önmetszéspontok nélkül;

§ A sík szaggatott vonallal határolt részei.

A sokszög csúcsait a sokszög csúcsainak, a szakaszait pedig a sokszög oldalainak nevezzük.

Egy pont és egy egyenes az alapvető geometriai alakzatok egy síkon.

Az ókori görög tudós, Eukleidész azt mondta: „a pont” az, aminek nincsenek részei. A "pont" szó fordítása latin nyelv azonnali érintés, szúrás eredményét jelenti. Egy pont az alapja bármely geometriai alakzat megalkotásának.

Az egyenes vagy egyszerűen egy egyenes olyan vonal, amely mentén két pont közötti távolság a legrövidebb. Az egyenes végtelen, és lehetetlen a teljes egyenest ábrázolni és megmérni.

A pontokat nagy latin betűkkel jelöljük A, B, C, D, E stb., az egyeneseket pedig ugyanezekkel a betűkkel, de kisbetűkkel a, b, c, d, e stb. Az egyenes vonalat jelölhetjük két betű, amelyek a rajta fekvő pontoknak felelnek meg. Például az a egyenest AB-vel jelölhetjük.

Azt mondhatjuk, hogy az AB pontok az a egyenesen vannak, vagy az a egyeneshez tartoznak. És azt mondhatjuk, hogy az a egyenes áthalad az A és B pontokon.

Protozoa geometriai alakzatok síkon ez egy szegmens, egy sugár, szaggatott vonal.

A szakasz egy egyenes része, amely ennek az egyenesnek az összes pontjából áll, és két kiválasztott ponttal határolódik. Ezek a pontok a szegmens végeit. Egy szakaszt a végeinek jelzése jelöl.

A sugár vagy félegyenes egy olyan egyenes része, amely ennek az egyenesnek egy adott pont egyik oldalán fekvő összes pontjából áll. Ezt a pontot a félegyenes kezdőpontjának vagy a sugár kezdetének nevezzük. A gerendának van kiindulópontja, de vége nincs.

A félegyenes vonalakat vagy sugarakat két kis latin betű jelöli: a kezdőbetű és bármely más betű, megfelelő pont félvonalhoz tartozó. Ahol kiindulópont első helyre kerül.

Kiderült, hogy az egyenes végtelen: nincs se eleje, se vége; egy sugárnak csak eleje van, de vége nincs, de egy szakasznak van eleje és vége. Ezért csak egy szegmenst tudunk mérni.

Több olyan szegmens, amelyek szekvenciálisan kapcsolódnak egymáshoz úgy, hogy az egy közös ponttal rendelkező szakaszok (szomszédos) nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, szaggatott vonalat jelentenek.

A szaggatott vonal lehet zárt vagy nyitott. Ha az utolsó szakasz vége egybeesik az első kezdetével, akkor zárt szaggatott vonalunk van, ha nem, akkor ez nyitott.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

1. A geometriai alakzat fogalma.

3. Párhuzamos és merőleges egyenesek.

4. Háromszögek.

5. Négyszögek.

6. Sokszögek.

7. Kör és kör.

8. Geometriai alakzatok felépítése síkon.

9. Geometriai formák transzformációi. Átalakítási koncepció

Fő irodalom;

kiegészítő irodalom

Geometriai ábra koncepció

Geometriai ábra pontok tetszőleges halmazaként definiálható.

Szakasz, egyenes, kör, labda- geometriai alakzatok.

Ha egy geometriai alakzat összes pontja egy síkhoz tartozik, akkor ún lakás .

Például egy szegmens, egy téglalap lapos figurák. Vannak figurák, amelyek nem laposak. Ez például egy kocka, egy golyó, egy piramis.

Mivel a geometriai alakzat fogalmát a halmaz fogalmán keresztül határozzuk meg, így azt mondhatjuk, hogy egy figura benne van a másikban (vagy benne van egy másikban), tekinthetjük az alakzatok egyesülését, metszetét és különbségét.

Például, két sugár egyesítése ABÉs MK(1. ábra) egyenes KV, metszéspontjuk pedig egy szakasz AM.

K A M V

A konvex alakok egy sík, egy egyenes, egy sugár, egy szakasz és egy pont. Könnyen ellenőrizhető, hogy a konvex alak egy kör (3. ábra). Ha az XY szakaszt addig folytatjuk, amíg az nem metszi a kört, akkor egy akkordot kapunk AB. Mivel az akkord egy körben van, az XY szakasz is benne van a körben, ezért a kör konvex alakzat.

A sokszögekre egy másik definíció is ismert: egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha minden oldalát tartalmazó vonal egyik oldalán fekszik .

Mivel ennek a definíciónak a sokszögre adott ekvivalenciája bebizonyosodott, mindkettőt használhatjuk.

Ezen fogalmak alapján nézzünk meg más geometriai alakzatokat is, amelyeket tanulmányoztunk iskolai tanfolyam planimetria. Nézzük meg definícióikat és alapvető tulajdonságait, elfogadja őket bizonyíték nélkül. Ennek az anyagnak az ismerete és az egyszerű problémák megoldására való alkalmazásának képessége geometriai problémák az az alap, amelyre a tanítási módszereket lehet építeni alsó tagozatos iskolások a geometria elemei.

Szögek

Emlékezzünk erre a szög egy geometriai alakzat, amely egy pontból és két, ebből a pontból kiinduló sugárból áll.

A sugarakat a szög oldalainak nevezzük, és azok általános kezdet- a teteje.

Egy szöget többféleképpen jelölünk: vagy a csúcsát, vagy az oldalait, vagy három pontot jelölünk: a csúcsot és a szög oldalain lévő két pontot: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

A szöget ún kiterjesztett , ha oldalai ugyanazon az egyenesen fekszenek.

Olyan szöget nevezünk, amelyik fél egyenes szög közvetlen. A derékszögnél kisebb szöget nevezzük fűszeres. A derékszögnél nagyobb, de az egyenesnél kisebb szöget nevezzük hülye .

A geometriában a szög fent megadott fogalma mellett a síkszög fogalmát is figyelembe veszik.

A síkszög egy sík része, amelyet két, ugyanabból a pontból kiinduló sugár határol.

A planimetriában figyelembe vett szögek nem haladják meg a kihajtott szöget.

A két szöget ún szomszédos, ha az egyik oldaluk közös, és ezeknek a szögeknek a másik oldala további félegyenesek.

Összeg szomszédos sarkok egyenlő 180-al°. Ennek a tulajdonságnak az érvényessége a szomszédos szögek meghatározásából következik.

A két szöget ún függőleges, ha az egyik szög oldalai a másik oldalainak komplementer félegyenesei. Az AOB és COB szögek, valamint az AOC és D0B szögek függőlegesek (4. ábra).