Előrejelzés regressziós egyenlettel. Előrejelzés regressziós egyenlet segítségével

A statisztikai hipotézisek tesztelésének alapelve a következőképpen fogalmazható meg. Ha K megfigyelhető kritikus tartományba esik, akkor a hipotézis H 0 elutasításra kerül, és a hipotézist elfogadjuk H 1. Ennek során azonban meg kell értenie, hogy itt 1. típusú hibát követhet el a valószínűséggel. Ha K megfigyelhető a hipotézis elfogadható tartományába esik - akkor nincs ok a nullhipotézis elutasítására H 0 . De ez egyáltalán nem azt jelenti H A 0 az egyetlen megfelelő hipotézis: egyszerűen a mintaadatok és a hipotézis közötti eltérés H 0 kicsi; ugyanakkor más hipotézisek is rendelkezhetnek ugyanezzel a tulajdonsággal.

A kritérium ereje annak a valószínűsége, hogy a nullhipotézis elutasításra kerül, ha az alternatív hipotézis igaz; azok. a kritérium hatványa 1–b, ahol b a 2-es típusú hiba elkövetésének valószínűsége. Legyen egy bizonyos a szignifikancia szint a hipotézis tesztelésére, és a minta fix méretű legyen. Mivel a kritikus tartomány megválasztásában van bizonyos önkényesség, célszerű úgy megszerkeszteni, hogy a kritérium hatványa maximális legyen, vagy a 2-es típusú hiba valószínűsége minimális legyen.

Az eloszlási paraméterekkel kapcsolatos hipotézisek tesztelésére használt kritériumokat ún jelentőségteljes kritériumok. Konkrétan egy kritikus tartomány felépítése hasonló a konfidenciaintervallum felépítéséhez. A mintavételi eloszlás és a feltételezett elméleti eloszlás közötti egyezés tesztelésére használt teszteket ún beleegyezési kritériumok.

Itt az átlagot ismert fix számnak tekintjük, a variancia pedig ismeretlen paraméterként működik. Tegyük fel

Mivel --, szabványos normál eloszlású. Így a függvénynek van egy olyan szabadságfok-eloszlása, amely semmilyen módon nem függ az ismeretlen paramétertől. Ennek az eloszlásnak a kvantiliseivel való jelölése és néhány rögzítése úgy, hogy , eljutunk az egyenlőtlenséghez

amely megelégszik a valószínűséggel . Honnan kapjuk a konfidencia intervallumot:

Ismeretlen átlagú variancia konfidencia intervalluma

Vegye figyelembe, hogy a függvény úgy van definiálva, hogy egy adott mintánál az értékei csak a paramétertől függenek. Egy valószínűségi változó eloszlásával kapcsolatban , akkor Fisher tétele szerint (lásd 8.3) ez a szabadságfokok -eloszlása, és ezért nem függ ismeretlen paraméterektől. Olyan javítás , és a (47) szerinti érvelés alapján a következő konfidenciaintervallumhoz jutunk:

amely a (30) jelöléssel a következőképpen írható át

Az ismeretlen varianciájú átlag konfidencia intervalluma

Az előző bekezdéshez hasonlóan mindkét paraméter ismeretlennek minősül, a zavaró paraméter a zavaró paraméter. Fisher tétele szerint

És

függetlenek, és eloszlásaik, illetve szabadságfok-eloszlásaik vannak. Ezért az arány

szabadságfokokkal rendelkező Student eloszlása ​​van. Válasszunk ki egy függvényt egyenlő a jobb oldallal (48):

ahol a (30) képlettel meghatározott minta szórása. A funkció nem függ kifejezetten a zavaró paramétertől. A szabadság fokát a Student-eloszlás kvantilisén keresztül jelölve azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenség

valószínűséggel teljesül . Innen megkapjuk a megbízhatósági intervallumot:

Mivel a Student-eloszlás szimmetrikus, ezért a 3.3

Ezért a konfidenciaintervallum így írható fel

Így a minta átlaga ennek az intervallumnak a közepe.

8.2. példa

Nézzük a 6.4 példát. Tegyük fel hogy a minták mindegyikéből származnak normál disztribúciók a ismeretlen paramétereket – és ennek megfelelően. (Arról, hogy mi alapján tehetünk ilyen feltételezést, később a 9.5-ben lesz szó.)

Célunk a GS50 acél elméleti széntartalmára és szakítószilárdságára vonatkozó konfidenciaintervallumok megtalálása. Emlékezzünk arra, hogy az egyes minták mérete. Rögzítsünk egy egységhez közeli megbízhatósági valószínűséget, mondjuk. Az oldalon található Hallgatói eloszlási táblázat segítségével hozzávetőlegesen ezt határozzuk meg. A oldalon a 6.5 példában talált értékeket felidézve kiszámítjuk

és a (49) képlet segítségével megkapjuk a százalék -konfidencia intervallumot széntartalom

és - az érték konfidencia intervalluma szakítószilárdság

12. sz. laboratóriumi munka. Értékeléselmélet alapjai

A statisztikus a véletlenszerű változékonyságnak alávetett adatokkal foglalkozik. Viselkedésüket egy bizonyos valószínűség-eloszlási törvény jellemzi. Egy ilyen törvény általában ismeretlen mennyiségeket tartalmaz, amelyeket a törvény paramétereinek tekintünk. A megfigyelt adatok véletlenszerű változékonysága miatt ezek alapján lehetetlen a paraméterek teljesen pontos értékét megadni. Csak hozzávetőleges értékekkel kell megelégednünk. Tehát a matematikai statisztikus a következő mennyiségekkel dolgozik: - egy valószínűségi változó, amelyet soha nem figyel meg, de amelyet az általa vizsgált adatok „lelkének”, az őket kiváltó oknak tekint. Ezt az értéket több paraméter határozza meg; - a vizsgált adatok, amelyeket egy valószínűségi változó realizálásaként kapunk. Például egy valószínűségi változó a pontos idő. Megvalósításai a statisztikus számára elérhető óraleolvasások. A statisztikus feladata, hogy n óra t 1,...,t n leolvasását felhasználva állítsa be az időt a lehető legpontosabban. Emellett köteles jellemezni a megállapított érték pontosságát. A kívánt értéket t = t 0 + ξ(a,σ) formában értékeli ki, ahol t 0 a valódi időpont a kutatás időpontjában, ξ(a,σ) a valódi értéktől való eltérést jellemző valószínűségi változó. , t 0 , a, σ paraméterek, a ξ értéket az eloszlási törvény jellemzi, annak a valószínűsége, hogy különböző értékeket vesz fel. A becslés a statisztikában a megfigyelt adatokon alapuló paraméter közelítő értékének kiszámításának szabálya. A becslés egy paraméter hozzávetőleges értéke, amelyet a megfigyelt adatokból találtak meg. A gyakorlati felhasználásra szánt becslések összeállításakor három fő követelményt támasztanak a becslésekkel szemben:

pontosság, vagyis a paraméter valódi értékéhez való közelség, a példában ξ(a,σ) kicsinek kell lennie;

torzítatlanság, vagyis az a követelmény, hogy a becslés matematikai elvárása egyenlő legyen a példában szereplő paraméter valódi értékével, ξ(a,σ) átlagosan nullával egyenlő;

konzisztencia, vagyis az a követelmény, hogy a megfigyelések számának növekedésével a becslés valószínűsége konvergáljon a paraméter valódi értékéhez. A példában nagy számú óra n esetén ξ(a,σ) értékének nullára kell irányulnia, egységnyi valószínűséggel.

Nincsenek minden szempontból legjobb becslések. Például az aritmetikai átlag, egy valószínűségi változó átlagos értékének széles körben használt becslése, az a tulajdonsága, hogy optimális a normális eloszlású adatokhoz. Hibához vezet azonban, ha az adatok között vannak kiugró értékek, vagyis élesen kiugró értékek. Ilyen kibocsátást a gazdaságban a durva mérési hibák vagy elírások generálnak, amelyekben a rubel és kopejka közötti pont eltűnhet, és a bérek százszorosára nőnek. Tekintsük azt a véletlenszerű folyamatot, amely Nagy-Britannia történetéhez kapcsolódik, amikor Nagy-Britannia térképére felrajzolják birtokainak finomított határait, szétszórva a világ minden részén. Ismeretes, hogy a Föld bármely pontját két koordináta jellemez - szélesség és hosszúság. Ma már minden iskolás hallott olyan műholdas műszerekről, amelyek akár méteres pontossággal meghatározzák a Föld bármely pontját. Azonban akkoriban még egy ilyen eszköz sem segített volna a tengerészeken, mivel egyetlen „referencia” műholdat sem észlelt volna az égen. A szélességi fokot közvetlenül a világítótestek horizont feletti magasságából határozták meg egy „szektáns” eszközzel, amely hasonló egy modern teodolithoz (teleszkóp plusz szögmérő). A hosszúság a földgömb forgási szöge, amelynél a lokális meridián és a hagyományos nullaként választott Greenwich-meridián egyesül. A Föld közel egy nap alatt 360°-os fordulatot tesz, azaz egy óra alatt 15°-ot, 4 perc alatt 1°-ot elfordul. A hosszúság meghatározásához pontosan ismernie kell a helyi és a greenwichi időt. Ha a navigátor azt mondja a kapitánynak: „Helyi dél, uram”, és a kapitány tudja az adott pillanatban Greenwichben töltött időt, akkor az időkülönbség 4 perccel osztva határozza meg a terület hosszúságát fokban. Ma minden egyszerű lenne – hívd fel Greenwich-et, és tudd meg az idejét. De akkor még nem találták fel a rádiót. Ha lett volna a hajón a perc töredékét mozgó kvarcóra évente, akkor sem lett volna gond, de az akkoriban létező legjobb kronométerek nem adták volna meg a hosszúságméréshez szükséges pontosságot. A több hónapos hajózás során több tíz perccel távolodtak el a pontos időtől. Amikor pedig 1831-ben a Beagle hajó világkörüli útra indult, hogy térképeket állítson össze, a hajó kapitánya, Fitz Roy, a felvilágosult és tanult ember 24(!) tengeri kronométert vitt magával. Mindegyik kronométer a saját „greenwichi idejét” mutatta. Ebben a tanulmányban a valószínűségi változó az a pillanat, amikor a navigátor valamilyen égitestről meghatározta a pontos helyi időt. A mért valószínűségi változó "lelke" az adott pillanatban Greenwichben érvényes valós idő. Ezt a mennyiséget ξ-vel jelöljük. Ennek a mennyiségnek az értéke soha nem ismert. A valószínűségi változó megfigyelt értékei (különböző) kronométerek leolvasásai. Mindegyikük elkövetett néhány hibát, de összességében a közös „lelket” követték, hozzátéve a saját véletlenszerű hibájukat. A valószínűségi változó becslése a greenwichi idő, amelyet a kapitány a megfigyelt adatokból feltételezett. Legyenek az x i, i = 1,...,n valószínűségi változók egy ξ valószínűségi változó realizációi, azaz azonos eloszlásúak (egy „lélek”), és bármely i-re a leolvasások átlagértéke egyenlő ugyanarra a számra: E( x i) = E(ξ). Ennek az állításnak a jelentése: tervezési problémák miatt nem lehet minden óra lemaradva vagy sietni. Átlagosan ugyanannyira valószínű, hogy sietnek vagy lemaradnak. Ezenkívül hagyják, hogy függetlenek legyenek. Más szóval, nincs semmi közös a csoportjukban. Így egy matróz, aki az óra leolvasását rögzíti, egy sorozatban rögzítheti azokat. Ekkor az utolsó leolvasást egy perccel később rögzítik, mint az elsőt. Vagy akár órákig is lóghatnak meleg helyen, és együtt rohangálnak a hőségtől. Az a feltételezés, hogy nincs ilyen jelenség, összhangban van a függetlenség feltételével a vizsgálatok során. A legegyszerűbb becslési probléma egy esemény valószínűségének meghatározása, például annak, hogy egy valódi (nem feltétlenül helyes) érme képpel felfelé fog landolni. Szinte soha nem lehet közvetlenül meghatározni egy esemény valószínűségét. Nincs olyan univerzális módszer, amely lehetővé tenné, hogy egy tetszőleges esemény jelezze annak valószínűségét. Az A esemény valószínűségét meg lehet becsülni, ha megengedhető független ismételt tesztek elvégzése, amelyek során ez az esemény állandó valószínűséggel következik be. Maradjon változatlan az A esemény p = P(A) valószínűsége mind az n próbában, és az egyes kísérletek eredménye független legyen a többitől. Jelöljük m-mel azon kísérletek véletlenszámát az összes n-ből, amelyekben A esemény történt. Azt mondják, hogy m a „sikerek” száma n Bernoulli-próbában. A valószínűség statisztikai definíciója szerint nagy n esetén az A esemény m/n relatív gyakorisága megközelítőleg egyenlő az A esemény bekövetkezésének valószínűségével, azaz m/n ~ p, ahol p = P(A). Bizonyítsuk be, hogy ez Kolmogorov axiomatikájából következik. A matematikai elemzésben a sorozat határértékének szigorú fogalmát alkalmazzák: kellően nagy számú sorozattag esetén értéke tetszőlegesen a határérték közelébe tehető. Ez a meghatározás nem felel meg a valós életnek, ahol ritkán fordulnak elő teljesen hihetetlen események. Például az ősi kaotikus levesből egy baktérium bukkan elő, amely képes önmagát szaporítani. Vagy egy hal alkot valamit, amire eleinte évmilliókig nincs szüksége (de fejlődik), aztán szárnysá válik. Vagy egy egész várost (vagy országot) elönt a víz. A valószínűségszámításban a határ fogalmát más értelemben értelmezik, mint a matematikai elemzésben. A valószínűségszámítás definíciója közelebb áll az élethez. Nem tiltja, hogy a sorozat egy pontján olyan szám legyen, amely élesen különbözik a többitől. Egy u n valószínűségi változók sorozata p-hez konvergál, ha bármely ε > 0 szám esetén annak a valószínűsége, hogy a különbség modulusa |u n - p| mivel n → ∞ kisebb, mint ε, egységre hajlik:

A valószínűségszámításban egyetlen esemény sem biztos, de az esemény: |u n - р| ≤ ε gyakorlatilag megbízható kellően nagy n esetén. Bizonyítsuk be Csebisev egyenlőtlenségét. Legyen ξ egy valószínűségi változó, amelynek matematikai elvárása E(ξ) = a és variancia D(ξ) = σ², ε pozitív szám. Ekkor annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a központosított (E(ξ) - a) és normalizált valószínűségi változó meghaladja ε-t, kisebb, mint ε -2:

Valóban, σ² = E(ξ - a)². A jobb oldali átlag kiszámításakor két ξ értéktartományt választunk ki. Azokra a ξ-ekre, amelyekre |ξ - а|< εσ, сумма (или интеграл) соответствующих произведений неотрицателен. Для тех ξ, у которых |ξ - а| >εσ, összeg (vagy integrál):

Érdekes speciális eset: σ = 0. Nyilvánvaló, hogy |ξ - a| = 0, azaz ξ = a. Bizonyítsuk be Csebisev tételét. Legyenek x 1,..., x n független azonos eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek matematikai elvárása és varianciája van. Azaz minden x i egy ξ valószínűségi változó realizációja, és E(ξ) = E(x i) = a, D(ξ) = D(x i) = σ². Ezután bármely ε > 0 esetén:

Bizonyíték. A számtani átlag szórása:

Tekintsük az η n valószínűségi változót, amely n megfigyelés számtani átlaga. Az átlaga és a szórása . η n megfigyelhető realizációi a következők. Az η n valószínűségi változóra vonatkozó Csebisev-egyenlőtlenségnek megfelelően annak a valószínűsége, hogy az átlagos értéktől nagyobb mértékben tér el, nullára hajlamos:

Az ellenkező esemény valószínűsége 1-re hajlamos nagy n esetén: P(|η n - a|) → 1. Ez azt jelenti, hogy az n valószínűségi változók sorozata valószínűség szerint a-hez konvergál. Térjünk vissza az idő mérésére a Beagle-en. Az egyes kronométerek x i, i = 1,...,n leolvasása a többi műszertől független mérés. Nyilvánvaló, hogy a kronométert úgy tervezték, hogy működésében ne legyen szisztematikus hiba. Ez azt jelenti, hogy a kronométerek egy része „előre mehet”, mások „lemaradnak”, de ezek a hibák véletlenszerűek, egy adott minta gyártásához kapcsolódnak. Matematikailag ez azt jelenti, hogy az átlagos idő a valódi idő. A kronométerek tervezési és gyártási technológiájának minőségét az jellemzi, hogy mennyire egyenletes a teljes termék pontossága. Matematikailag ezt fejezi ki az egyes műszerek leolvasásának terjedése, i.e. valószínűségi változók varianciája x i . Az átlag szórása n = 24-szer kisebb, mint egy egyedi kronométer diszperziója. Ezért a 24 kronométerből meghatározott „átlagidő” átlagosan közel 5-ször közelebb van a valódi időhöz, mint bármely egyedi kronométer ideje.

Az ökonometriai modellezés egyik központi feladata a függő változó értékeinek előrejelzése (előrejelzése) a magyarázó változók bizonyos értékeire a magyarázó változók bizonyos értékeire vonatkozóan. Itt kettős megközelítés lehetséges: vagy megjósoljuk a függő változó feltételes matematikai elvárását ( átlagos előrejelzés), vagy megjósolni a függő változó valamely meghatározott értékét ( egy adott érték előrejelzése).

Megjegyzés. Egyes szerzők különbséget tesznek az olyan fogalmak között, mint az előrejelzés és az előrejelzés. Ha a magyarázó változó értéke X pontosan ismert, akkor a függő változó becslése Y hívott jóslat. Ha a magyarázó változó értéke X nem tudni pontosan, akkor mondják, hogy mit csinálnak előrejelzésértékeket Y. Ez a helyzet jellemző az idősorokra. IN ebben az esetben nem fogunk különbséget tenni előrejelzés és előrejelzés között.

Megkülönböztetni foltÉs intervallum előrejelzés. Az első esetben a becslés egy bizonyos szám, a másodikban az az intervallum, amelyben az adott szignifikanciaszintű függő változó valódi értéke található.

A) Az átlag előrejelzése. Készítsünk egy páros regressziós egyenletet, amely alapján meg kell jósolni a feltételes matematikai elvárást . Ebben az esetben az érték egy pontbecslés . Ekkor természetesen felmerül a kérdés, hogy az empirikus egyenlettel számított modellérték mennyiben térhet el a megfelelő feltételestől. matematikai elvárás. Erre a kérdésre a választ egy adott értékre adott a szignifikancia szinttel megszerkesztett intervallumbecslések alapján adjuk meg. xp magyarázó változó.

Írjuk fel az empirikus regressziós egyenletet a formába

Itt két független összetevőt emelünk ki: az átlagot és a növekményt. Ebből következik, hogy a szórás egyenlő lesz

A mintavételi elméletből ismert, hogy

A maradék variancia felhasználása s2 becsléseként S 2, megkapjuk

A regressziós együttható szórása, amint az már látható

A talált eltéréseket (5.41) behelyettesítve kapjuk

. (5.56)

Így a számítási képlet standard hiba a regressziós egyenes által megjósolt Y átlagos értékeúgy néz ki

. (5.57)

A standard hiba értéke, amint az a képletből látható, eléri a minimumot a -nál, és bármely irányban növekszik a távolsággal. Más szóval, minél nagyobb a különbség a és között, annál több több hiba amellyel az átlagértéket megjósolják y Mert beállított érték xp. Várható legjobb eredményeket előrejelzés, ha az értékek xp a megfigyelési terület közepén vannak Xés nem számíthatsz rá jó eredményeket előrejelzés, amint távolodik innen.

Véletlen változó

(5.58)

n= szabadságfokszámú Student-eloszlása ​​van n–2 (belül normál klasszikus modell). Ezért a Student-eloszlás kritikus pontjainak táblázata szerint a szükséges szignifikanciaszint és a szabadságfokok száma szerint n= n–2 határozható meg kritikus pont, kielégíti a feltételt

.

Az (5.46) figyelembevételével a következőket kapjuk:

.

Innen, néhány után algebrai transzformációk, azt találjuk, hogy a konfidencia intervallum alakja a következő:

, (5.59)

Ahol határhiba D púgy néz ki

. (5.60)

Az (5.57) és (5.60) képletekből egyértelműen kiderül, hogy a konfidencia intervallum értéke (hossza) a magyarázó változó értékétől függ xp: amikor minimális, és ahogy távolodik xp a konfidenciaintervallum értékétől növekszik (5.4. ábra). Így a függő változó értékeinek előrejelzése Y a regressziós egyenlet szerint indokolt, ha az érték xp magyarázó változó X nem lépi túl a mintaértékek tartományát (sőt, minél közelebb xp To ). Más szóval, a regressziós görbe extrapolációja, azaz. használata a magyarázó változó felmért értéktartományán kívül(akkor is, ha a megoldandó probléma jelentése alapján indokolt a vizsgált változónál) jelentős hibákhoz vezethet.

b) A függő változó egyedi értékeinek előrejelzése. A gyakorlatban néha fontosabb az eltérés ismerete Y mint a feltételes matematikai elvárások átlagai vagy konfidenciaintervallumai. Ez annak köszönhető, hogy tényleges értékeket Y az átlagérték körül változnak. Egyéni értékek Y eltérhet az e véletlenszerű hiba mértékével, amelynek varianciáját az egy szabadságfokra eső maradék varianciáként becsüljük S 2. Ezért az előre jelzett egyedi érték hibája Y nem csak standard hibát kell tartalmaznia, hanem véletlenszerű hibát is S. Ez lehetővé teszi egy adott érték elfogadható határainak meghatározását Y.

Érdeklődjünk néhány lehetséges érték iránt y 0 változó Y egy bizonyos értéken xp magyarázó változó X. A regressziós egyenletből becsült érték Y at X=xpösszege y p. Ha figyelembe vesszük az értéket y 0 valószínűségi változóként Y 0, a y p– valószínűségi változóként Yp, akkor meg lehet jegyezni, hogy

,

.

Véletlen változók Y 0 és Yp függetlenek, ezért valószínűségi változók U=Y 0 –Yp normális eloszlású -val

ÉS . (5.61)

A maradék variancia használata s2-ként S 2, megkapjuk a számítási képletet a regressziós egyenesből előre jelzett Y egyedi érték standard hibája:

. (5.63)

Véletlen változó

(5.64)

van egy Student eloszlása ​​a szabadságfok számával k=n–2. Ez alapján lehetőség nyílik az egyes értékek konfidenciaintervallumának összeállítására Yp:

, (5.65)

Ahol határhiba D uúgy néz ki

. (5.66)

Megjegyezzük, hogy ez az intervallum szélesebb, mint a feltételes matematikai elvárás konfidenciaintervalluma (lásd 5.4. ábra).

5.5. példa. Az 5.1-5.3 példák adatai alapján számítsa ki a feltételes matematikai elvárás 95%-os konfidencia intervallumát és az egyedi értéket xp=160.

Megoldás. Az 5.1 példában ezt találtuk. Az (5.48) képlet segítségével azt találjuk határhiba feltételes matematikai elváráshoz

Ekkor az a=0,05 szignifikanciaszintű átlagérték konfidenciaintervalluma így fog kinézni

Vagyis a 160-as bevételű átlagfogyasztás 0,95 valószínűséggel a (149,8; 156,6) intervallumban lesz.

Számítsuk ki annak az intervallumnak a határait, amelyben a lehetséges fogyasztási mennyiségek legalább 95%-a összpontosul a jövedelem szintjén xp=160, azaz konfidencia intervallum az egyéni értékhez. Keressük meg egy egyedi érték korlátozó hibáját

Ekkor az az intervallum, amelyen belül az egyéni fogyasztási mennyiségek legalább 95%-a bevételnél lesz xp= 160, úgy néz ki

Könnyen belátható, hogy a feltételes átlagos fogyasztás konfidencia intervallumát tartalmazza. â

PÉLDÁK

5.65. példa. A régió területeire vonatkozóan 199X-es adatok szerepelnek (1.1. táblázat).

2. Épít lineáris egyenlet páros regresszió y-on xés értékelje a regressziós paraméterek statisztikai szignifikanciáját. Készítsen rajzot.

3. Értékelje a regressziós egyenlet minőségét a determinációs együttható segítségével! Ellenőrizze a regressziós egyenlet minőségét a segítségével F- Fisher kritérium.

4. Előrejelzés futtatása bérek y az egy főre jutó átlagos létminimum előre jelzett értékén x, ami az átlagos szint 107%-a. Értékelje az előrejelzés pontosságát az előrejelzési hiba és annak konfidencia intervallumának kiszámításával az a=0,05 szignifikancia szintre. vonjon le következtetéseket.

Megoldás

1. A kötési tömítettség mértékének meghatározására általában ezt használják korrelációs együttható:

ahol , a változók mintavarianciái xÉs y. A korrelációs együttható kiszámításához számítási táblázatot készítünk (5.4. táblázat):

5.4. táblázat

A táblázat szerint a következőket találjuk:

, , , ,

, , , ,

, .

Így, között bérek(y) és az egy főre jutó átlagos létminimum (x) között közvetlen, meglehetősen erős összefüggés van .

Értékelésre statisztikai szignifikancia korrelációs együttható számoljunk kétirányú Student-féle t-próba:

amelynek Diákelosztása van k=n–2 és szignifikancia szint a. A mi esetünkben

És .

Mivel a korrelációs együttható jelentősen eltér a nullától.

Jelentős együttható esetén meg lehet építeni konfidencia intervallum, amely egy ismeretlen általános korrelációs együtthatót tartalmaz adott valószínűséggel. Intervallumbecslés összeállításához (kis mintákhoz n<30), используют Fisher z-transzformáció:

Elosztás z már kicsiben n egy hozzávetőleges normális eloszlás elvárással és szórással. Ezért először készítsünk konfidencia intervallumot M[ z], majd tegye az ellenkezőjét z-átalakítás. Jelentkezés z-transzformációt a talált korrelációs együtthatóra kapjuk

M( z) lesz az űrlap

,

Ahol t g az F( t g)=g/2. A g=0,95-re van t g = 1,96. Majd

vagy . Fordított z- az átalakítás a képlet szerint történik

Ennek eredményeként azt találjuk

.

A jelzett határokon belül 0,05-ös szignifikanciaszinten (0,95-ös megbízhatóság mellett) az általános r korrelációs együttható szerepel.

2. Így a változók között xÉs y szignifikáns összefüggés van. Feltételezzük, hogy ez a függőség lineáris. A páros lineáris regressziós modellnek a formája van

,

Ahol y– függő változó (eredményes attribútum), x– független (magyarázó) változó, e – véletlen eltérések, b 0 és b 1 – regressziós paraméterek. Korlátozott mintamérettel empirikus regressziós egyenletet állíthatunk össze:

Ahol b 0 és b 1 – empirikus regressziós együtthatók. A regressziós paraméterek becsléséhez általában használjuk legkisebb négyzetek módszere (MNC). Az OLS-nek megfelelően a függő változó tényleges értékeinek négyzetes eltéréseinek összege y az elméletiekből minimális volt:

,

Ahol – eltérések y i a becsült regressziós egyenesből. A két változóból álló függvény minimum létezésének szükséges feltétele, hogy ismeretlen paraméterekre vonatkozó parciális deriváltjai nullával egyenlők. b 0 és b 1. Ennek eredményeként azt kapjuk normál egyenletrendszer:

Ezt a rendszert megoldva azt találjuk

, .

A táblázat adatai szerint találjuk

A kapott regressziós egyenlet:

Paraméter b 1 hívják regressziós együttható. Értéke az eredmény átlagos változását mutatja a tényező egy egységnyi változásával. A vizsgált esetben az átlagos egy főre jutó minimum 1 rubel növekedésével. átlagos napibér átlagosan 0,92 rubel nő .

,

Ahol F a Fisher-eloszlásnak engedelmeskedik a szignifikanciaszinttel és szabadságfokkal k 1 = 1 és k 2 =n–2. A mi esetünkben

.

Mivel a kritérium kritikus értéke az

és , akkor felismerjük a megszerkesztett regressziós egyenlet statisztikai szignifikanciáját. Vegye figyelembe, hogy a lineáris modellnél F- És t-kritériumokat egyenlőség köti össze, amivel a számításokat ellenőrizhetjük.

4. A regressziós egyenlet kapott becslései lehetővé teszik az előrejelzéshez való felhasználását. Előrejelzési érték y púgy határozzuk meg, hogy a megfelelő (előre jelzett) értéket behelyettesítjük az (1.16) regressziós egyenletbe. xp

5. ELŐADÁS 99

§5.2. A regressziós együttható becslések pontosságának elemzése 99

5.2.1. A véletlen eltérés variancia becslése 99

5.2.2. Hipotézisek tesztelése a regressziós együtthatókkal kapcsolatban 100

5.2.3. A regressziós együtthatók intervallumbecslése 103

§5.3. Regressziós egyenlet minőségi mutatói 104

5.3.1. Determinációs együttható 104

5.3.2. A regressziós egyenlet általános minőségének ellenőrzése: F-próba 106

5.3.3. A regressziós egyenlet általános minőségének ellenőrzése: t-próba 108

§5.4. Az intervallumok előrejelzése a 108-as regressziós egyenlet segítségével