Mit nevezünk paralelepipedonnak? Tanulság: Cuboid

A paralelepipedon olyan prizma, amelynek alapjai paralelogrammák. Ebben az esetben minden él lesz paralelogrammák.
Mindegyik paralelepipedon hárommal rendelkező prizmának tekinthető különböző utak, hiszen minden második ellentétes arcok(az 5. ábrán az ABCD és az A"B"C"D", vagy az ABA"B" és a CDC"D" vagy a VSV"C" és az ADA"D"felületek).
A kérdéses testnek tizenkét éle van, amelyek közül négy egyenlő és egymással párhuzamos.
3. tétel . A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, mindegyik középével egybeesve.
A paralelepipedon ABCDA"B"C"D" (5. ábra) négy átlója AC", BD", CA, DB". Bizonyítanunk kell, hogy bármelyik kettő, például AC és BD" felezőpontja egybeesik. Ez abból következik, hogy az ABC"D" alaknak egyenlő és párhuzamos oldalak AB és C"D" paralelogramma.
7. definíció . A jobb oldali paralelepipedon olyan paralelepipedon, amely egyben egyenes prizma, vagyis olyan paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alap síkjára.
8. definíció . A téglalap alakú paralelepipedon olyan derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja egy téglalap. Ebben az esetben minden lapja téglalap alakú lesz.
Téglalap alakú paralelepipedon egy egyenes prizmát ábrázol, függetlenül attól, hogy melyik lapját vesszük alapul, mivel minden éle merőleges az ugyanabból a csúcsból kilépő élekre, és ezért merőleges lesz az ezen élek által meghatározott lapok síkjaira. . Ezzel szemben egy egyenes, de nem téglalap alakú paralelepipedon csak egyféleképpen tekinthető derékszögű prizmának.
9. definíció . Hossza három Egy téglalap alakú paralelepipedon éleit, amelyekből nincs kettő párhuzamos egymással (például egy csúcsból három él jön ki), méreteinek nevezzük. Két megfelelően egyenlő méretű négyszögletes paralelepipedon nyilvánvalóan egyenlő egymással.
10. definíció .A kocka téglalap alakú paralelepipedon, amelynek mindhárom mérete egyenlő egymással, így minden lapja négyzet. Két egyenlő élű kocka egyenlő.
11. definíció . Romboédernek nevezzük azt a ferde paralelepipedust, amelynek minden éle egyenlő egymással, és minden lap szöge egyenlő vagy komplementer.
Egy romboéder minden lapja - egyenlő rombuszok. (Néhány kristály romboéder alakú, nagyon fontos, például Izlandi sparkristályok.) Egy romboéderben találhatunk olyan csúcsot (sőt két ellentétes csúcsot is), hogy minden vele szomszédos szög egyenlő egymással.
4. tétel . A téglalap alakú paralelepipedon átlói egyenlőek egymással. Átlós négyzet egyenlő az összeggel háromdimenziós négyzetek.
A téglalap alakú ABCDA"B"C"D" paralelepipedonban (6. ábra) az AC" és a BD" átlók egyenlőek, mivel az ABC"D" négyszög egy téglalap (az AB egyenes merőleges az EKB" síkra C", amelyben BC található") .
Ezenkívül AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 a hipotenúzus négyzetére vonatkozó tétel alapján. De ugyanezen AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 tétel alapján; ezért rendelkezik:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

A középiskolások számára hasznos lesz a megoldás megtanulása Egységes államvizsga-feladatok hogy megtaláljuk a négyszögletes paralelepipedon térfogatát és egyéb ismeretlen paramétereit. A korábbi évek tapasztalatai megerősítik azt a tényt, hogy az ilyen feladatok sok végzős számára meglehetősen nehézkesek.

Ugyanakkor a bármilyen képzettségű középiskolás diákoknak meg kell érteniük, hogyan lehet megtalálni a téglalap alakú paralelepipedon térfogatát vagy területét. Csak ebben az esetben számíthatnak versenyképes pontszámok megszerzésére az egységes matematika államvizsga eredménye alapján.

A legfontosabb pontok, amelyeket emlékezni kell

• A paralelogrammákat alkotó paralelogrammák a lapjai, oldalaik az élei. Ezen alakzatok csúcsait magának a poliédernek tekintjük.
• A téglalap alakú paralelepipedon minden átlója egyenlő. Mivel ez egy egyenes poliéder, akkor oldalsó arcok téglalapok.
• Mivel a paralelepipedon egy prizma, amelynek alapja egy paralelogramma, ez az ábra a prizma összes tulajdonságával rendelkezik.
• A téglalap alakú paralelepipedon oldalsó élei merőlegesek az alapra. Ezért ezek a magasságok.

Készüljön fel az egységes államvizsgára Shkolkovóval!

Ha egyszerűbbé és a lehető leghatékonyabbá szeretné tenni óráit, válassza matematikai portálunkat. Itt mindent megtalál szükséges anyag, amelyre az egységes államvizsgára való felkészülés szakaszában lesz szükség.

Szakemberek oktatási projekt„Shkolkovo” azt javasolja, hogy az egyszerűtől a bonyolultig menjünk: először megadjuk az elméletet, az alapképleteket és elemi feladatok megoldással, majd fokozatosan térjünk át a szakértői szintű feladatokra. Gyakorolhat például a -val.

A megfelelőt alapinformációk az „Elméleti információk” részben találja meg. Azonnal megkezdheti a problémák megoldását a „Téglalap paralelepipedon” témában online. A „Katalógus” rész gyakorlatok széles választékát mutatja be változó mértékben nehézségek. A feladatadatbázis rendszeresen frissül.

Nézze meg, könnyen megtalálja-e most egy téglalap alakú paralelepipedon térfogatát. Elemezzen bármilyen feladatot. Ha a gyakorlat könnyű számodra, folytasd tovább összetett feladatok. És ha bizonyos nehézségek merülnek fel, javasoljuk, hogy úgy tervezze meg a napját, hogy az ütemezése tartalmazzon órákat a Shkolkovo távoli portálon.

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy a vele való kapcsolat.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, akciók és egyéb események és Közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Meghatározás

Poliéder poligonokból álló és a tér egy részét határoló zárt felületet fogunk nevezni.

Azokat a szakaszokat, amelyek ezeknek a sokszögeknek az oldalai, nevezzük borda poliéder, és maguk a sokszögek is azok élek. A sokszögek csúcsait poliéder csúcsoknak nevezzük.

Csak mérlegelni fogjuk domború poliéderek(ez egy poliéder, amely minden sík egyik oldalán található, amely az arcát tartalmazza).

A poliédert alkotó sokszögek alkotják a felületét. A térnek azt a részét, amelyet egy adott poliéder határol, belsejének nevezzük.

Definíció: prizma

Tekintsünk kettőt egyenlő sokszög\(A_1A_2A_3...A_n\) és \(B_1B_2B_3...B_n\) a következő helyen található: párhuzamos síkok hogy a szegmensek \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) párhuzamos. A \(A_1A_2A_3...A_n\) és \(B_1B_2B_3...B_n\) sokszögekből, valamint paralelogrammákból alkotott poliéder \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), az úgynevezett (\(n\)-gonal) prizma.

A \(A_1A_2A_3...A_n\) és \(B_1B_2B_3...B_n\) sokszögeket prizmabázisoknak, paralelogrammáknak nevezzük. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– oldallapok, szegmensek \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- oldalsó bordák.
És így, oldalsó bordák a prizmák párhuzamosak és egyenlőek egymással.

Nézzünk egy példát - egy prizmát \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), melynek tövében egy domború ötszög található.

Magasság A prizmák az egyik alap bármely pontjáról egy másik alap síkjára ejtett merőlegesek.

Ha az oldalélek nem merőlegesek az alapra, akkor egy ilyen prizmát nevezünk hajlamos(1. ábra), in másképp – egyenes. Egy egyenes prizmában az oldalélek magasságok, az oldallapok pedig egyenlő téglalapok.

Ha egy egyenes prizma alapja fekszik szabályos sokszög, akkor a prizmát hívják helyes.

Definíció: térfogat fogalma

A térfogat mértékegysége egy egységkocka (\(1\szor1\szer1\) mértékegység\(^3\) méretű kocka, ahol az egység egy bizonyos mértékegység).

Azt mondhatjuk, hogy egy poliéder térfogata az a térmennyiség, amelyet ez a poliéder korlátoz. Egyébként: ez a mennyiség számérték amely megmutatja, hogy egy egységkocka és részei hányszor illeszkednek egy adott poliéderbe.

A kötet ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a terület:

1. Kötetek egyenlő számok egyenlőek.

2. Ha egy poliéder több nem metsző poliéderből áll, akkor a térfogata megegyezik ezen poliéderek térfogatának összegével.

3. A térfogat egy nem negatív mennyiség.

4. A térfogat cm-ben van mérve\(^3\) ( köbcentiméter), m\(^3\) (köbméter) stb.

Tétel

1. A prizma oldalfelületének területe egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.
Az oldalfelület a prizma oldallapjainak területeinek összege.

2. Prizma térfogata egyenlő a termékkel alapterület prizma magasságonként: \

Definíció: paralelepipedon

Paralelepipedon egy prizma, amelynek alapja egy paralelogramma.

A paralelepipedon minden lapja (van \(6\) : \(4\) oldallapja és \(2\) alapja) paralelogramma, a szemközti (egymással párhuzamos) lapjai pedig egyenlő paralelogrammák(2. ábra).

Egy paralelepipedon átlója egy szakasz, amely egy paralelepipedon két olyan csúcsát köti össze, amelyek nem ugyanazon a lapon helyezkednek el (\(8\) van: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) stb.).

Téglalap alakú paralelepipedon egy derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja egy téglalap.
Mert Mivel ez egy jobb oldali paralelepipedon, az oldallapok téglalapok. Ez azt jelenti, hogy általában a téglalap alakú paralelepipedon minden lapja téglalap.

Egy téglalap alakú paralelepipedon minden átlója egyenlő (ez a háromszögek egyenlőségéből következik \(\háromszög ACC_1=\háromszög AA_1C=\háromszög BDD_1=\háromszög BB_1D\) stb.).

Megjegyzés

Így a paralelepipedon a prizma összes tulajdonságával rendelkezik.

Tétel

A téglalap alakú paralelepipedon oldalfelülete a \

Négyzet teljes felület téglalap alakú paralelepipedon egyenlő \

Tétel

Egy téglatest térfogata egyenlő az egyik csúcsból kilépő három élének szorzatával (a téglatest három mérete): \

Bizonyíték

Mert Egy téglalap alakú paralelepipedonban az oldalélek merőlegesek az alapra, akkor ezek a magasságai is, vagyis \(h=AA_1=c\) Mert az alap tehát egy téglalap \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Innen származik ez a képlet.

Tétel

A téglalap alakú paralelepipedon \(d\) átlóját a képlet segítségével találjuk meg (ahol \(a,b,c\) a paralelepipedon méretei) \

Bizonyíték

Nézzük az ábrát. 3. Mert az alap téglalap, akkor \(\háromszög ABD\) téglalap alakú, ezért a Pitagorasz-tétel szerint \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Mert minden oldalél merőleges az alapokra, akkor \(BB_1\perp (ABC) \Jobbra BB_1\) merőleges ebben a síkban bármely egyenesre, azaz. \(BB_1\perp BD\) . Ez azt jelenti, hogy a \(\háromszög BB_1D\) téglalap alakú. Aztán a Pitagorasz-tétel szerint \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definíció: kocka

Kocka egy téglalap alakú paralelepipedon, amelynek minden lapja egyenlő négyzet.

Így a három dimenzió egyenlő egymással: \(a=b=c\) . Tehát a következők igazak

Tételek

1. Egy \(a\) élű kocka térfogata egyenlő \(V_(\text(kocka))=a^3\) .

2. A kocka átlóját a \(d=a\sqrt3\) képlet segítségével találjuk meg.

3. Egy kocka teljes felülete \(S_(\text(teljes kocka))=6a^2\).