Elegendő jele egy függvény növekedésének egy intervallumon keresztül. Növekvő és csökkentő funkció egy intervallumon, szélsőség

Egy függvény természetének meghatározásához és viselkedéséről beszélni meg kell találni a növekedés és a csökkenés intervallumait. Ezt a folyamatot függvénykutatásnak és grafikusnak nevezik. A szélsőpontot egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásakor használjuk, mivel ezeknél a függvény az intervallumtól növekszik vagy csökken.

Ez a cikk feltárja a definíciókat, megfogalmazza az intervallum növekedésének és csökkenésének kellő jelét, valamint a szélsőség fennállásának feltételét. Ez vonatkozik a példák és problémák megoldására. A függvények differenciálásáról szóló részt meg kell ismételni, mert a megoldáshoz a derivált keresését kell használni.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció

Az y = f (x) függvény növekszik az x intervallumon, ha bármely x 1 ∈ X és x 2 ∈ X, x 2 > x 1 esetén teljesül az f (x 2) > f (x 1) egyenlőtlenség. Más szóval, magasabb értéket az argumentum a függvény nagyobb értékének felel meg.

2. definíció

Az y = f (x) függvényt csökkenőnek tekintjük az x intervallumon, ha bármely x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 esetén az f (x 2) > f (x 1) egyenlőség igaznak számít. Más szóval, nagyobb függvényérték felel meg alacsonyabb értékérv. Tekintsük az alábbi ábrát.

Megjegyzés: Ha a függvény határozott és folytonos a növekedési és csökkenési intervallum végén, azaz (a; b), ahol x = a, x = b, akkor a pontok a növekedés és a csökkenés intervallumába kerülnek. Ez nem mond ellent a definíciónak, hanem azt jelenti, hogy az x intervallumon történik.

Alaptulajdonságok elemi függvények y típus = sin x – az argumentumok valós értékeinek határozottsága és folytonossága. Innen azt kapjuk, hogy a szinusz növekszik a - π 2 intervallum alatt; π 2, akkor a szegmens növekedésének alakja - π 2; π 2.

3. definíció

Az x 0 pontot nevezzük maximális pont az y = f (x) függvényre, amikor x minden értékére érvényes az f (x 0) ≥ f (x) egyenlőtlenség. Maximális funkció a függvény értéke egy pontban, és y m a x jelöli.

Az x 0 pontot az y = f (x) függvény minimális pontjának nevezzük, amikor x minden értékére érvényes az f (x 0) ≤ f (x) egyenlőtlenség. Minimális funkciók a függvény értéke egy pontban, és y m i n alakú jelölése van.

Az x 0 pont szomszédságait tekintjük extrém pontok,és a szélsőpontoknak megfelelő függvény értéke. Tekintsük az alábbi ábrát.

A funkció extrémje a legnagyobb és a legalacsonyabb érték funkciókat. Tekintsük az alábbi ábrát.

Az első képen látható, hogy mit kell találnod legmagasabb érték függvények a szegmensből [a; b ] . Maximum pontok és egyenlők használatával érhető el maximális érték függvény, a második ábra pedig inkább az x = b-nél lévő maximális pont megtalálásához hasonlít.

Elegendő feltételek egy függvény növekedéséhez és csökkenéséhez

Egy függvény maximumának és minimumának meghatározásához szélsőségjeleket kell alkalmazni abban az esetben, ha a függvény teljesíti ezeket a feltételeket. Az első jelet tekintik a leggyakrabban használtnak.

Az első elégséges feltétel az extrémumhoz

4. definíció

Legyen adott egy y = f (x) függvény, amely az x 0 pont ε szomszédságában differenciálható, és az adott x 0 pontban folytonos. Innentől azt kapjuk

• ha f " (x) > 0 x ∈ (x 0 - ε ; x 0) és f " (x) esetén< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• amikor f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) esetén, akkor x 0 a minimumpont.

Más szavakkal, megkapjuk a feltételeket a jel beállításához:

• ha a függvény folytonos az x 0 pontban, akkor van változó előjelű deriváltja, azaz +-ból - -be, ami azt jelenti, hogy a pontot maximumnak nevezzük;
• ha a függvény folytonos az x 0 pontban, akkor van egy deriváltja, melynek előjele -ról +-ra változik, ami azt jelenti, hogy a pontot minimumnak nevezzük.

Egy függvény maximális és minimális pontjának helyes meghatározásához kövesse a keresési algoritmust:

• keresse meg a definíció tartományát;
• keresse meg a függvény deriváltját ezen a területen;
• azonosítsa a nullákat és pontokat, ahol a függvény nem létezik;
• a derivált előjelének meghatározása intervallumokon;
• válassza ki azokat a pontokat, ahol a függvény előjelet vált.

Tekintsük az algoritmust úgy, hogy több példát is megoldunk egy függvény szélsőértékének meghatározására.

1. példa

Keresse meg a maximális és minimális pontot adott funkciót y = 2 (x + 1) 2 x - 2.

Megoldás

Ennek a függvénynek a definíciós tartománya minden valós szám, kivéve x = 2. Először keressük meg a függvény deriváltját, és kapjuk meg:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Innen látjuk, hogy a függvény nullái x = - 1, x = 5, x = 2, vagyis minden zárójelet nullával kell egyenlővé tenni. Megjegyzés tovább számtengelyés kapjuk:

Most minden intervallumból meghatározzuk a derivált előjeleit. Ki kell választani egy, az intervallumban szereplő pontot, és be kell cserélni a kifejezésbe. Például az x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6 pontok.

Ezt értjük

y" (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, ami azt jelenti, hogy a - ∞ - 1 intervallumnak van pozitív deriváltja.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Mivel a második intervallum nullánál kisebbnek bizonyult, ez azt jelenti, hogy az intervallum deriváltja negatív lesz. A harmadik mínuszos, a negyedik plusz. A folytonosság meghatározásához figyelni kell a derivált előjelére, ha az megváltozik, akkor ez egy szélsőpont.

Azt találjuk, hogy az x = - 1 pontban a függvény folytonos lesz, ami azt jelenti, hogy a derivált előjelet vált +-ról --ra. Az első jel szerint azt kapjuk, hogy x = - 1 egy maximumpont, ami azt jelenti, hogy megkapjuk

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Az x = 5 pont azt jelzi, hogy a függvény folytonos, és a derivált előjelet vált –ról +-ra. Ez azt jelenti, hogy x = -1 a minimumpont, és a meghatározás alakja

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafikus kép

Válasz: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Érdemes odafigyelni arra, hogy a szélsőérték első elégséges kritériumának alkalmazása nem igényli, hogy a függvény az x 0 pontban differenciálható legyen, ami leegyszerűsíti a számítást.

2. példa

Határozzuk meg az y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 függvény maximális és minimum pontját!

Megoldás.

Egy függvény tartománya minden valós szám. Ez egyenletrendszerként írható fel a következő formájú:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Ezután meg kell találnia a származékot:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Az x = 0 pontnak nincs deriváltja, mert az egyoldali határértékek eltérőek. Ezt kapjuk:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Ebből következik, hogy a függvény folytonos az x = 0 pontban, akkor számolunk

lim y x → 0 - 0 = határ x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Számításokat kell végezni, hogy megtaláljuk az argumentum értékét, amikor a derivált lesz egyenlő nullával:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3, x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Minden kapott pontot egyenes vonalon kell megjelölni az egyes intervallumok előjelének meghatározásához. Ezért minden intervallumra tetszőleges ponton kell kiszámítani a deriváltot. Például vehetünk x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 értékű pontokat. Ezt értjük

y" (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 év "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Az egyenes vonalon lévő kép így néz ki

Ez azt jelenti, hogy arra a következtetésre jutunk, hogy a szélsőség első jeléhez kell folyamodni. Számoljuk ki és találjuk meg

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , akkor innentől a maximális pontok x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 értékek

Térjünk át a minimumok kiszámítására:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 év m i n = év 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Számítsuk ki a függvény maximumait. Ezt értjük

év m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 év m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafikus kép

Válasz:

é m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 év m i n = é 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 év m a x = é - 4 + 2 3 3 = 3 m 2 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Ha adott egy f "(x 0) = 0 függvény, akkor ha f "" (x 0) > 0, akkor azt kapjuk, hogy x 0 minimumpont, ha f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

3. példa

Határozzuk meg az y = 8 x x + 1 függvény maximumát és minimumát!

Megoldás

Először is megtaláljuk a definíció tartományát. Ezt értjük

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Meg kell különböztetni a függvényt, ami után megkapjuk

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Ha x = 1, a derivált nullává válik, ami azt jelenti, hogy a pont egy lehetséges szélsőérték. A tisztázás érdekében meg kell találni a második deriváltot, és ki kell számítani az értéket x = 1-nél. Kapunk:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) "x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Ez azt jelenti, hogy a 2 elégséges feltételt használva egy szélsőséghez azt kapjuk, hogy x = 1 a maximális pont. Ellenkező esetben a bejegyzés így néz ki: y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Grafikus kép

Válasz: y m a x = y (1) = 4 ..

5. definíció

Az y = f (x) függvény deriváltja az n-edik rendig az ε szomszédságában van adott pont x 0 és derivált n + 1. rendig az x 0 pontban. Ekkor f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Ebből következik, hogy ha n páros szám, akkor x 0 inflexiós pontnak számít, ha n páratlan szám, akkor x 0 extrémumpont, és f (n + 1) (x 0) > 0, akkor x 0 egy minimumpont, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

4. példa

Határozzuk meg az y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 függvény maximális és minimum pontját!

Megoldás

Az eredeti függvény egy racionális teljes függvény, ami azt jelenti, hogy a definíciós tartomány minden valós szám. Szükséges a funkció megkülönböztetése. Ezt értjük

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ez a derivált nullára megy, ha x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Vagyis a pontok lehetnek lehetséges szélsőpontok. Az extrémumra a harmadik elégséges feltételt kell alkalmazni. A második derivált megtalálása lehetővé teszi egy függvény maximumának és minimumának pontos meghatározását. A második derivált a lehetséges szélsőértékének pontjain kerül kiszámításra. Ezt értjük

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Ez azt jelenti, hogy x 2 = 5 7 a maximális pont. A 3. elégséges kritériumot alkalmazva azt kapjuk, hogy n = 1 és f (n + 1) esetén 5 7< 0 .

Meg kell határozni az x 1 = - 1, x 3 = 3 pontok jellegét. Ehhez meg kell találnia a harmadik deriváltot, és ki kell számítania az értékeket ezeken a pontokon. Ezt értjük

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Ez azt jelenti, hogy x 1 = - 1 a függvény inflexiós pontja, mivel n = 2 és f (n + 1) esetén (- 1) ≠ 0. Meg kell vizsgálni az x 3 = 3 pontot. Ehhez keressük meg a 4. deriváltot, és ezen a ponton végezzük el a számításokat:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

A fentiek alapján arra a következtetésre jutunk, hogy x 3 = 3 a függvény minimumpontja.

Grafikus kép

Válasz: x 2 = 5 7 az adott függvény maximumpontja, x 3 = 3 a minimumpontja.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Nagyon fontos információkat a függvény viselkedéséről adjon meg növekedési és csökkenési intervallumokat. Megtalálásuk része a függvény vizsgálatának és a grafikon ábrázolásának. Ezen túlmenően megadjuk azokat a szélsőséges pontokat, amelyeknél növekedésről csökkenőre vagy csökkenőről növekvőre változik. különös figyelmet amikor egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét találjuk egy bizonyos intervallumon.

Ebben a cikkben megadjuk a szükséges definíciókat, megfelelő kritériumot fogalmazunk meg egy függvény intervallumon történő növelésére és csökkentésére, valamint elegendő feltételeket a szélsőség létezéséhez, és ezt az egész elméletet alkalmazzuk példák és problémák megoldására.

Oldalnavigáció.

Növelő és csökkentő funkció egy intervallumon.

Növekvő függvény definíciója.

Az y=f(x) függvény növekszik az X intervallumon, ha bármely és esetén egyenlőtlenség érvényesül. Más szavakkal, egy nagyobb argumentumérték nagyobb függvényértéknek felel meg.

Csökkenő függvény definíciója.

Az y=f(x) függvény az X intervallumon csökken, ha bármely és esetén egyenlőtlenség érvényesül . Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

MEGJEGYZÉS: ha a függvény definiált és folytonos a növekvő vagy csökkenő intervallum (a;b) végén, azaz x=a és x=b helyen, akkor ezek a pontok beleszámítanak a növekvő vagy csökkenő intervallumba. Ez nem mond ellent az X intervallumon növekvő és csökkenő függvény definícióinak.

Például az alapvető elemi függvények tulajdonságaiból tudjuk, hogy y=sinx definiált és folytonos az argumentum minden valós értékére. Ezért az intervallumon a szinuszfüggvény növekedéséből azt állíthatjuk, hogy az intervallumon növekszik.

Extrémpontok, függvény szélsőpontjai.

A lényeg az ún maximális pont y=f(x) függvény, ha az egyenlőtlenség igaz minden x-re a szomszédságában. A függvény értékét a maximum pontban hívjuk a funkció maximumaés jelölje.

A lényeg az ún minimum pont y=f(x) függvény, ha az egyenlőtlenség igaz minden x-re a szomszédságában. A függvény értékét a minimum pontban hívjuk minimális funkcióés jelölje.

Egy pont környékét intervallumnak kell tekinteni , ahol egy kellően kis pozitív szám.

A minimum és maximum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a függvényértékek, megfelelő pontokat szélsőséget hívják a funkció szélsősége.

Ne keverje össze egy függvény szélsőértékét a függvény legnagyobb és legkisebb értékével.

Az első ábrán a függvény legnagyobb értékét a szakaszon a maximum pontban érjük el és egyenlő a függvény maximumával, a második ábrán pedig az x=b pontban érjük el a függvény legnagyobb értékét. , ami nem a maximum pont.

Elegendő feltételek a funkciók növeléséhez és csökkentéséhez.

alapján elegendő feltételek a növekvő és csökkenő függvények (jelei) a növekvő és csökkenő függvények intervallumai.

Íme az intervallumon belüli növekvő és csökkenő függvények jeleinek megfogalmazása:

• ha az y=f(x) függvény deriváltja az X intervallum bármely x-ére pozitív, akkor a függvény X-szel növekszik;
• ha az y=f(x) függvény deriváltja az X intervallum bármely x-ére negatív, akkor a függvény X-en csökken.

Tehát egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározásához szükséges:

Nézzünk egy példát a növekvő és csökkenő függvények intervallumainak megtalálására az algoritmus magyarázatához.

Példa.

Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumait!

Megoldás.

Az első lépés a függvény definíciós tartományának megkeresése. Példánkban a nevezőben lévő kifejezés nem lehet nulla, ezért .

Térjünk át a függvény deriváltjának megkeresésére:

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának megfelelő kritérium alapján történő meghatározásához egyenlőtlenségeket oldunk meg a definíciós tartományon. Használjuk az intervallum módszer általánosítását. Az egyetlen igazi gyökér a számláló x = 2, a nevező pedig nullára megy x=0 esetén. Ezek a pontok a definíciós tartományt olyan intervallumokra osztják, amelyekben a függvény deriváltja megtartja előjelét. Jelöljük ezeket a pontokat a számegyenesen. Hagyományosan pluszokkal és mínuszokkal jelöljük azokat az intervallumokat, amelyek között a derivált pozitív vagy negatív. Az alábbi nyilak sematikusan mutatják a függvény növekedését vagy csökkenését a megfelelő intervallumon.

Így, És .

A ponton Az x=2 függvény definiált és folytonos, ezért hozzá kell adni mind a növekvő, mind a csökkenő intervallumokhoz. Az x=0 pontban a függvény nincs definiálva, ezért ezt a pontot nem vesszük bele a szükséges intervallumok közé.

Bemutatjuk a függvény grafikonját, hogy összehasonlíthassuk vele a kapott eredményeket.

Válasz:

A funkció ezzel növekszik , csökken az intervallumon (0;2] .

Elegendő feltétel egy függvény szélsőértékéhez.

Egy függvény maximumának és minimumának meghatározásához használhatjuk a három szélsőségjel bármelyikét, természetesen, ha a függvény teljesíti a feltételeket. A leggyakoribb és legkényelmesebb közülük az első.

Az első elégséges feltétel az extrémumhoz.

Legyen az y=f(x) függvény differenciálható a pont -szomszédságában és folytonos magában a pontban.

Más szóval:

Algoritmus szélsőségpontok meghatározására egy függvény szélsőértékének első jele alapján.

• Megtaláljuk a függvény definíciós tartományát.
• A függvény deriváltját a definíciós tartományon találjuk.
• Meghatározzuk a számláló nulláit, a derivált nevező nulláit és a definíciós tartomány azon pontjait, amelyekben a derivált nem létezik (az összes felsorolt ​​pontot ún. lehetséges szélsőpontok, ezeken a pontokon áthaladva a derivált éppen előjelét változtathatja).
• Ezek a pontok a függvény definíciós tartományát olyan intervallumokra osztják, amelyekben a derivált megtartja előjelét. Meghatározzuk a derivált előjeleit az egyes intervallumokon (például úgy, hogy egy függvény deriváltjának értékét kiszámítjuk egy adott intervallum bármely pontján).
• Kiválasztjuk azokat a pontokat, ahol a függvény folytonos, és amelyeken áthaladva a derivált előjelet változtat - ezek a szélsőpontok.

Túl sok a szó, nézzünk meg néhány példát a függvény szélsőpontjainak és szélsőértékeinek meghatározására a függvény szélsőértékének első elégséges feltételével.

Példa.

Keresse meg a függvény szélsőértékét.

Megoldás.

Egy függvény tartománya a teljes halmaz valós számok, kivéve x=2 .

A származék megkeresése:

A számláló nullái az x=-1 és x=5 pontok, a nevező az x=2-nél nullára megy. Jelölje be ezeket a pontokat a számtengelyen

Minden intervallumban meghatározzuk a derivált előjeleit, ehhez kiszámítjuk a derivált értékét az egyes intervallumok bármelyik pontjában, például az x=-2, x=0, x=3 és pontokban; x=6.

Ezért az intervallumon a derivált pozitív (az ábrán pluszjelet teszünk erre az intervallumra). Hasonlóképpen

Ezért a második intervallum fölé mínuszt, a harmadik fölé mínuszt, a negyedik fölé pedig pluszt teszünk.

Marad a pontok kiválasztása, ahol a függvény folytonos és deriváltja előjelet változtat. Ezek az extrém pontok.

A ponton x=-1 a függvény folytonos és a derivált az előjelet pluszról mínuszra változtatja, ezért a szélsőség első jele szerint x=-1 a maximum pont, a függvény maximuma ennek felel meg .

A ponton x=5 a függvény folytonos és a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, ezért x=-1 a minimumpont, a függvény minimuma ennek felel meg .

Grafikus illusztráció.

Válasz:

FIGYELEM: a szélsőség első elégséges kritériuma nem követeli meg a függvény differenciálhatóságát magán a ponton.

Példa.

Keresse meg a függvény szélsőpontjait és szélsőértékeit .

Megoldás.

Egy függvény tartománya a valós számok teljes halmaza. Maga a függvény így írható fel:

Keressük meg a függvény deriváltját:

A ponton x=0 a derivált nem létezik, mivel az egyoldali határértékek nem esnek egybe, amikor az argumentum nullára hajlik:

Egy időben, eredeti funkciója folytonos az x=0 pontban (lásd a függvény folytonossági vizsgálatáról szóló részt):

Keressük meg annak az argumentumnak az értékét, amelynél a derivált nullára megy:

Jelöljük az összes kapott pontot a számegyenesen, és határozzuk meg az egyes intervallumokon a derivált előjelét. Ehhez kiszámítjuk a derivált értékeit az egyes intervallumok tetszőleges pontjaiban, például a x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

vagyis

Így a szélsőség első jele szerint a minimumpontok az , a maximális pontszám .

Kiszámoljuk a függvény megfelelő minimumait

Kiszámoljuk a függvény megfelelő maximumait

Grafikus illusztráció.

Válasz:

.

A függvény szélsőértékének második jele.

Amint láthatja, egy függvény szélsőértékének ez a jele megköveteli, hogy a ponton legalább másodrendű derivált legyen.

Növekvő függvény definíciója.

Funkció y=f(x) növekszik az intervallum során X, ha bármely és egyenlőtlenség érvényesül. Más szavakkal, egy nagyobb argumentumérték nagyobb függvényértéknek felel meg.

Csökkenő függvény definíciója.

Funkció y=f(x) csökken az intervallumon X, ha bármely és egyenlőtlenség érvényesül . Más szavakkal, az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

MEGJEGYZÉS: ha a függvény definiált és folyamatos a növekvő vagy csökkenő intervallum végén (a;b), vagyis mikor x=aÉs x=b, akkor ezek a pontok a növekedés vagy a csökkenés intervallumába tartoznak. Ez nem mond ellent az intervallumon növekvő és csökkenő függvény definícióinak X.

Például az alapvető elemi függvények tulajdonságaiból tudjuk, hogy y=sinx definiált és folyamatos az argumentum összes valós értékére. Ezért az intervallumon a szinuszfüggvény növekedéséből azt állíthatjuk, hogy az intervallumon növekszik.

Extrémpontok, függvény szélsőpontjai.

A lényeg az ún maximális pont funkciókat y=f(x), ha mindenkinek x szomszédságából az egyenlőtlenség érvényes. A függvény értékét a maximum pontban hívjuk a funkció maximumaés jelölje.

A lényeg az ún minimum pont funkciókat y=f(x), ha mindenkinek x szomszédságából az egyenlőtlenség érvényes. A függvény értékét a minimum pontban hívjuk minimális funkcióés jelölje.

Egy pont környékét intervallumnak kell tekinteni , ahol egy kellően kis pozitív szám.

A minimum és maximum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a szélsőpontoknak megfelelő függvényértékeket hívjuk meg a funkció szélsősége.

Ne keverje össze egy függvény szélsőértékét a függvény legnagyobb és legkisebb értékével.

Az első ábrán a függvény legnagyobb értéke a szegmensen elérjük a maximum ponton és egyenlő a függvény maximumával, a második ábrán pedig - a függvény legmagasabb értékét a pontban érjük el x=b, ami nem maximum pont.

Elegendő feltételek a funkciók növeléséhez és csökkentéséhez.

Egy függvény növekedéséhez és csökkenéséhez elegendő feltétel (jel) alapján a függvény növekedésének és csökkenésének intervallumait találjuk.

Íme az intervallumon belüli növekvő és csökkenő függvények jeleinek megfogalmazása:

ha a függvény deriváltja y=f(x) pozitív bárki számára x az intervallumból X, akkor a függvény értékkel növekszik X;

ha a függvény deriváltja y=f(x) negatív bárki számára x az intervallumból X, akkor a függvény értékkel csökken X.

Tehát egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározásához szükséges:

Nézzünk egy példát a növekvő és csökkenő függvények intervallumainak megtalálására az algoritmus magyarázatához.

Példa.

Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumait!

Megoldás.

Az első lépés a függvény definíciójának megtalálása. Példánkban a nevezőben lévő kifejezés nem lehet nulla, ezért .

Térjünk át a függvény deriváltjának megkeresésére:

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának megfelelő kritérium alapján történő meghatározásához egyenlőtlenségeket oldunk meg a definíciós tartományon. Használjuk az intervallum módszer általánosítását. A számláló egyetlen valódi gyöke az x = 2, és a nevező nullára megy x=0. Ezek a pontok a definíciós tartományt olyan intervallumokra osztják, amelyekben a függvény deriváltja megtartja előjelét. Jelöljük ezeket a pontokat a számegyenesen. Hagyományosan pluszokkal és mínuszokkal jelöljük azokat az intervallumokat, amelyek között a derivált pozitív vagy negatív. Az alábbi nyilak sematikusan mutatják a függvény növekedését vagy csökkenését a megfelelő intervallumon.

osztály: 10

Az óra előrehaladása:

Tanári tevékenység

Diák tevékenységek

Erőforrás

2 perc

I. Szervezési mozzanat.

Köszöntjük a diákokatellenőrzi a leckére való felkészültséget és sikert kíván.

Gondolkodj el a célon.

Jegyzetfüzetek

5 min

II. Házi feladat ellenőrzése: nbh megoldatlan feladatokat megoldani, magyarázni.

Mutassa be tudásukat.

Táblázatok

10 perc

II. Tanulás új téma

Ha egy adott függvény deriváltja pozitív az x minden értékére a ( A;V), azaz f"(x) > 0, akkor a függvény ebben az intervallumban növekszik.
Ha egy adott függvény deriváltja minden értékre negatív X intervallumban ( A;V), azaz f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

A monotonitás intervallumainak megtalálásának sorrendje:

Keresse meg a függvény definíciós tartományát.

Keresse meg a függvény első deriváltját.

Keresse meg a kritikus pontokat, vizsgálja meg az első derivált előjelét azokban az intervallumokban, amelyekre a talált kritikus pontok felosztják a függvény definíciós tartományát.

Keresse meg a függvények monotonitási intervallumait.

Vizsgáljuk meg a derivált előjelét a kapott intervallumokban, és mutassuk be a megoldást táblázat formájában.

A maximum létezésének elégséges feltétele, hogy a derivált előjele megváltozzon az áthaladáskor kritikus pont"+"-ról "-"-ra, a minimumra pedig "-"-ról "+"-ra. Ha a kritikus ponton áthaladva a derivált előjele nem változik, akkor ezen a ponton nincs szélsőség.

Nézzünk meg néhány példát a növelési és csökkentési függvények tanulmányozására.

Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumait!

1) f(x) = 3-0,5x,

2) f(x) = -x2+2x-3,

3) f(x) = 4x-5,

4) f(x) = 5x2-3x+1.

(-∞;1)-növekszik, (1;+∞)-csökken

(-∞;+∞)-növekszik

(-∞;0,3)-növekszik, (0,3;+∞)-csökken

(-∞;+∞)-csökkenő

Mutassa be képességeit.

Plakátok

Képletek

Tankönyv

min

IV. A tudás megszilárdítása Munka a 258., 261. sz. tankönyvvel

f). 2. Keresse meg f"( x).

3. Keresse meg álló pontok, azaz pont ahol f"( x) = 0 vagy f"( x) nem létezik.
(A derivált 0 a számláló nulláinál, a derivált nem létezik a nevező nulláinál)

4. D(pozíció f) és ezek a pontok a koordinátaegyenesen.

5. Határozza meg az egyes intervallumokon a derivált előjeleit!

6. Alkalmazzon jeleket. 7. Írd le a választ.

3 perc

V. Óraösszefoglaló.a tanulók önértékelése oktatási tevékenységük eredményeiről.Reflexiót vezet.

Milyen újdonságokat tanultál a leckében?

Ott voltak neked érdekes pontok?

Írja le matricákra a véleményét a leckéről.

Kártyák

2 perc

VI.Házi feladat. Elmagyarázza a jellemzőket házi feladat № 259, № 257

naplókban rögzítették.

Napló

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete