Frakciók

Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

A törtek nem okoznak nagy kellemetlenséget a középiskolában. Egyelőre. Amíg nem találkozik fokokkal racionális mutatók igen logaritmusok. És ott... Megnyomja és megnyomja a számológépet, és néhány szám teljes kijelzését mutatja. Fejjel kell gondolkodni, mint a harmadik osztályban.

Találjuk ki végre a törteket! Hát mennyire lehet bennük összezavarodni!? Ráadásul mindez egyszerű és logikus. Így, milyen fajtái vannak a törteknek?

A törtek fajtái. Átváltozások.

Vannak törtek három fajta.

1. Közönséges törtek , Például:

Néha a vízszintes vonal helyett perjelet tesznek: 1/2, 3/4, 19/5, jól stb. Itt gyakran ezt a helyesírást fogjuk használni. A felső számot hívják számláló, alsó - nevező. Ha folyamatosan összekevered ezeket a neveket (előfordul...), mondd ki magadnak a következő mondatot: " Zzzzz emlékezz! Zzzzz nevező - nézd zzzzz uh!" Nézd, mindenre zzzz emlékezni fognak.)

A kötőjel, akár vízszintes, akár ferde, azt jelenti osztály a felső szám (számláló) az alsó (nevező). Ez minden! A kötőjel helyett teljesen lehetséges osztásjelet tenni - két pontot.

Amikor a teljes felosztás lehetséges, ezt meg kell tenni. Tehát a „32/8” tört helyett sokkal kellemesebb a „4” számot írni. Azok. A 32-t egyszerűen elosztjuk 8-cal.

32/8 = 32: 8 = 4

A "4/1" törtről nem is beszélek. Ami szintén csak "4". És ha nem teljesen osztható, akkor törtként hagyjuk. Néha az ellenkező műveletet kell végrehajtania. Alakítson át egy egész számot törtté. De erről majd később.

2. Tizedesjegyek , Például:

Ebben a formában kell leírnia a „B” feladatok válaszait.

3. Vegyes számok , Például:

A vegyes számokat a középiskolában gyakorlatilag nem használják. A velük való munkavégzés érdekében le kell őket fordítani közönséges törtek. De ezt mindenképpen tudnia kell! Ellenkező esetben egy problémában találkozik egy ilyen számmal, és lefagy... A semmiből. De emlékezni fogunk erre az eljárásra! Kicsit lejjebb.

A legsokoldalúbb közönséges törtek. Kezdjük velük. Egyébként ha egy tört mindenféle logaritmust, szinust és egyéb betűt tartalmaz, az nem változtat semmit. Abban az értelemben, hogy minden a tört kifejezésekkel végzett műveletek nem különböznek a közönséges törtekkel végzett műveletektől!

A tört fő tulajdonsága.

Szóval, gyerünk! Először is megleplek. A törttranszformációk teljes választékát egyetlen tulajdonság biztosítja! Így hívják tört fő tulajdonsága. Ne feledje: Ha egy tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk (osztjuk) ugyanazzal a számmal, a tört nem változik. Azok:

Egyértelmű, hogy addig írhatsz, amíg elkékülsz. Ne hagyja, hogy a szinuszok és logaritmusok összezavarjanak, mi foglalkozunk velük a továbbiakban. A legfontosabb dolog az, hogy megértsük, hogy mindezek a különféle kifejezések ugyanaz a tört . 2/3.

Szükségünk van rá, ezekre az átalakulásokra? Igen! Most meglátod magad. Kezdésként használjuk a for tört alapvető tulajdonságát redukáló frakciók. Ez elemi dolognak tűnik. Osszuk el a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal, és kész! Lehetetlen hibázni! De... az ember teremtő lény. Bárhol hibázhatsz! Főleg, ha nem töredékét kell csökkenteni, mint 5/10, hanem tört kifejezés mindenféle betűkkel.

Hogyan lehet helyesen és gyorsan csökkenteni a törteket plusz munka nélkül, az a speciális 555. szakaszban olvasható.

Egy normális diák nem zavarja, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal (vagy kifejezéssel) osztja el! Egyszerűen áthúz mindent, ami fent és lent ugyanaz! Ez itt lapul tipikus hiba, baklövés, ha úgy tetszik.

Például le kell egyszerűsítenie a kifejezést:

Itt nincs mit gondolni, húzd át felül az „a” betűt, alul pedig a kettőt! Kapunk:

Minden helyes. De tényleg megosztottad minden számláló és minden a nevező "a". Ha megszokta, hogy csak áthúzza, akkor sietve áthúzhatja az „a”-t a kifejezésben

és szerezd meg újra

Ami kategorikusan hamis lenne. Mert itt minden az "a"-n lévő számláló már az nincs megosztva! Ez a hányad nem csökkenthető. Egyébként egy ilyen csökkentés, hm... komoly kihívás a tanár számára. Ezt nem bocsátják meg! Emlékszel? Csökkentéskor osztani kell minden számláló és minden nevező!

A törtek csökkentése nagyban megkönnyíti az életet. Valahol töredéket kapsz, például 375/1000. Hogyan tudnék most vele együtt dolgozni? Számológép nélkül? Szorozzuk, mondjuk, összeadjuk, négyzet!? És ha nem vagy túl lusta, és óvatosan vágd le öttel, és még öttel, sőt... rövidítés közben röviden. Legyen 3/8! Sokkal szebb, igaz?

A tört fő tulajdonsága lehetővé teszi a közönséges törtek tizedesjegyekké alakítását és fordítva számológép nélkül! Ez fontos az egységes államvizsgához, nem?

Hogyan lehet a törteket egyik típusból a másikba konvertálni.

A tizedes törtekkel minden egyszerű. Ahogy hallják, úgy meg van írva! Mondjuk 0,25. Ez nulla pont huszonöt századrész. Így írjuk: 25/100. Csökkentjük (a számlálót és a nevezőt elosztjuk 25-tel), megkapjuk a szokásos törtet: 1/4. Minden. Megtörténik, és semmi sem csökken. Mint 0.3. Ez három tized, i.e. 3/10.

Mi van, ha az egész számok nem nullák? Rendben van. Felírjuk a teljes törtet vessző nélkül a számlálóban és a nevezőben - amit hall. Például: 3.17. Ez három pont tizenhét századrész. A számlálóba 317-et, a nevezőbe 100-at írunk. 317/100-at kapunk. Semmi sem csökken, ez mindent jelent. Ez a válasz. Elemi, Watson! Az elmondottakból egy hasznos következtetés: bármely tizedes tört közönséges törtté alakítható .

De inverz konverzió, hétköznapitól tizedesjegyig, vannak, akik nem tudják megtenni számológép nélkül. És ez szükséges! Hogyan írja le a választ az egységes államvizsgán!? Olvassa el figyelmesen, és sajátítsa el ezt a folyamatot.

Mi a jellemzője a tizedes törtnek? A nevezője az Mindigára 10, 100, 1000, 10 000 és így tovább. Ha a közös törtnek ilyen nevezője van, akkor nincs gond. Például 4/10 = 0,4. Vagy 7/100 = 0,07. Vagy 12/10 = 1,2. Mi van akkor, ha a „B” részben szereplő feladatra 1/2-nek bizonyult a válasz? Mit írunk válaszul? Tizedesjegyek megadása kötelező...

Emlékezzünk tört fő tulajdonsága ! A matematika előnyösen lehetővé teszi, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal szorozza meg. Egyébként bármit! Kivéve persze a nullát. Használjuk tehát előnyünkre ezt az ingatlant! Mivel lehet szorozni a nevezőt, pl. 2, hogy legyen 10, vagy 100, vagy 1000 (persze a kisebb jobb...)? 5 évesen nyilván. Nyugodtan szorozd meg a nevezőt (ez az minket szükséges) 5-tel. De akkor a számlálót is meg kell szorozni 5-tel. Ez már az matematika követeli! Azt kapjuk, hogy 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Ennyi.

Azonban mindenféle nevező találkozik. Találkozni fog például a 3/16 törttel. Próbáld meg kitalálni, mivel szorozd meg a 16-ot, hogy 100 vagy 1000 legyen... Nem működik? Ezután egyszerűen eloszthatja a 3-at 16-tal. Számológép hiányában sarokkal kell osztania egy papírlapon, mint a junior osztályok tanította. 0,1875-öt kapunk.

És vannak nagyon rossz nevezők is. Például nincs mód arra, hogy az 1/3 törtet jó tizedessé alakítsuk. A számológépen és egy papírlapon is 0,3333333-at kapunk... Ez azt jelenti, hogy az 1/3 pontos tizedes tört nincs lefordítva. Ugyanaz, mint 1/7, 5/6 és így tovább. Sok van belőlük, lefordíthatatlan. Ezzel egy másik hasznos következtetéshez jutunk. Nem minden tört konvertálható tizedessé !

Mellesleg ezt hasznos információkatönteszthez. A "B" részben a válaszában egy tizedes törtet kell írni. És megvan például a 4/3. Ez a tört nem alakul át tizedesvesszővé. Ez azt jelenti, hogy valahol hibázott az úton! Menjen vissza, és ellenőrizze a megoldást.

Tehát kitaláltuk a közönséges és a tizedes törteket. Marad a vegyes számok kezelése. A velük való munkavégzés érdekében át kell alakítani őket közönséges frakciókká. Hogyan kell ezt csinálni? Elkaphatsz egy hatodikost, és megkérdezheted tőle. De egy hatodikos nem lesz mindig kéznél... Ezt magadnak kell megtenned. Nem nehéz. A tört rész nevezőjét meg kell szoroznia az egész résszel, és hozzá kell adnia a tört rész számlálóját. Ez lesz a számláló közönséges tört. Mi a helyzet a nevezővel? A nevező ugyanaz marad. Bonyolultnak hangzik, de a valóságban minden egyszerű. Nézzünk egy példát.

Tegyük fel, hogy megrémült, amikor meglátta a számot a problémában:

Nyugodtan, pánik nélkül, gondoljuk. Az egész rész 1. Egység. A tört rész 3/7. Ezért a törtrész nevezője 7. Ez a nevező lesz a közönséges tört nevezője. Számoljuk a számlálót. 7 szorozva 1-gyel ( egész rész) és adjunk hozzá 3-at (a tört rész számlálóját). 10-et kapunk. Ez lesz a közönséges tört számlálója. Ennyi. Még egyszerűbbnek tűnik matematikai jelölés:

Világos? Akkor biztosítsd a sikered! Átalakítás közönséges törtekké. 10/7, 7/2, 23/10 és 21/4.

A fordított művelet egy nem megfelelő törtet alakít át vegyes szám- középiskolában ritkán szükséges. Hát ha igen... Ha pedig nem gimnazista, akkor belenézhet a speciális 555-ös szakaszba. Egyébként a helytelen törtekről is ott fogsz tanulni.

Nos, gyakorlatilag ez minden. Emlékszel a törtek típusaira, és megértetted Hogyan átviheti őket egyik típusból a másikba. A kérdés továbbra is fennáll: Minek csináld ezt? Hol és mikor érdemes ezeket használni mély tudás?

felelem. Bármely példa megmondja szükséges intézkedéseket. Ha a példában közönséges törtek, tizedesjegyek és még vegyes számok is keverednek, akkor mindent közönséges törtekké alakítunk. Mindig meg lehet csinálni. Nos, ha valami olyasmit ír, hogy 0,8 + 0,3, akkor ezt így számoljuk, fordítás nélkül. Miért van szükségünk plusz munka? A kényelmes megoldást választjuk minket !

Ha a feladat teljesen tizedesjegyek, de hm... néhány gonosz, menj a közönségesekhez, próbáld ki őket! Nézd, minden menni fog. Például négyzetre kell emelnie a 0,125-ös számot. Ez nem olyan egyszerű, ha még nem szokott hozzá a számológép használatához! Nem csak a számokat kell szorozni egy oszlopban, hanem azt is át kell gondolni, hogy hova illessze be a vesszőt! Biztosan nem fog működni a fejedben! Mi van, ha áttérünk egy közönséges törtre?

0,125 = 125/1000. Csökkentjük 5-tel (ez az indulásnak szól). 25/200-at kapunk. Még egyszer 5-ig. 5/40-et kapunk. Ó, még mindig zsugorodik! Vissza az 5-höz! 1/8-at kapunk. Könnyen négyzetre emelhetjük (gondolatban!), és 1/64-et kapunk. Minden!

Foglaljuk össze ezt a leckét.

1. Háromféle tört létezik. Közös, decimális és vegyes számok.

2. Tizedes és vegyes számok Mindigátváltható közönséges törtekké. Fordított átvitel nem mindig lehetséges

3. A feladathoz tartozó törtek típusának megválasztása magától a feladattól függ. A rendelkezésre állás függvényében különböző típusok törteket egy feladatban, a legmegbízhatóbb az, ha áttérünk a közönséges törtekre.

Most gyakorolhatod. Először konvertálja át ezeket a tizedes törteket közönséges törtekre:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Ilyen válaszokat kellene kapnod (egy káoszban!):

Itt fejezzük be. Ebben a leckében felfrissítettük emlékezetünket a törtekkel kapcsolatos legfontosabb pontokon. Előfordul azonban, hogy nincs mit felfrissíteni...) Ha valaki teljesen elfelejtette, vagy még nem sajátította el... Akkor mehet egy speciális 555-ös szekció. Ott minden alapelvvel részletesen foglalkozunk. Sokan hirtelen mindent megérteni kezdődnek. És menet közben oldják meg a törteket).

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A törtek redukálására azért van szükség, hogy a tört egyszerűbb formára redukálható legyen, például egy kifejezés megoldása eredményeként kapott válaszban.

Törtek redukálása, meghatározás és képlet.

Mi a redukáló frakció? Mit jelent a töredék csökkentése?

Meghatározás:
Frakciók csökkentése- ez a tört számlálójának és nevezőjének felosztása ugyanarra a dologra pozitív szám Nem egyenlő nullávalés egy. A redukció eredményeként egy kisebb számlálóval és nevezővel rendelkező törtet kapunk, amely megegyezik a szerinti előző törttel.

Képlet a frakciók csökkentésére fő ingatlan racionális számok.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Nézzünk egy példát:
Csökkentse a tört \(\frac(9)(15)\)

Megoldás:
A töredéket beszámíthatjuk prímtényezőkbe, és törölhetjük a közös tényezőket.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(piros) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Válasz: redukció után megkaptuk a \(\frac(3)(5)\ törtet. A racionális számok alaptulajdonsága szerint az eredeti és a kapott tört egyenlő.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Hogyan csökkenthető a frakció? Egy tört redukálása irreducibilis formájára.

Ahhoz, hogy ennek eredményeként egy redukálhatatlan törtet kapjunk, szükségünk van megtalálni a legnagyobbat közös osztó(BÓLINT) a tört számlálójához és nevezőjéhez.

A GCD megtalálásának többféle módja van, a példában a számok prímtényezőkre történő felosztását fogjuk használni.

Szerezd meg az irreducibilis törtet \(\frac(48)(136)\).

Megoldás:
Keressük a GCD(48, 136) értéket. Írjuk fel a 48-as és 136-os számokat prímtényezőkbe.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48; 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\szín(piros) (2 \× 2 \× 2) \× 2 \× 3) (\color (piros) (2 \× 2 \× 2) ? frac(6)(17)\)

A tört redukálhatatlan formává való redukálásának szabálya.

1. Meg kell találnia a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját.
2. A számlálót és a nevezőt el kell osztani a legnagyobb közös osztóval, hogy az osztás eredményeként egy irreducibilis törtet kapjunk.

Példa:
Csökkentse a \(\frac(152)(168)\ törtet.

Megoldás:
Keressük a GCD(152, 168) értéket. Írjuk fel a 152 és 168 számokat prímtényezőkbe.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\szín(piros) (6) \times 19)(\color(piros) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Válasz: A \(\frac(19)(21)\) egy redukálhatatlan tört.

A nem megfelelő törtek csökkentése.

Hogyan kell vágni helytelen tört?
A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok ugyanazok a megfelelő és nem megfelelő törtek esetében.

Nézzünk egy példát:
Csökkentse a \(\frac(44)(32)\ nem megfelelő törtet.

Megoldás:
Írjuk a számlálót és a nevezőt egyszerű tényezőkbe. És akkor csökkentjük a közös tényezőket.

' )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Vegyes frakciók redukálása.

A vegyes törtek ugyanazokat a szabályokat követik, mint a közönséges törtek. Az egyetlen különbség az, hogy képesek vagyunk rá ne érintse meg az egész részt, de törtrész csökkenteni vagy vegyes frakcióátalakítani nem megfelelő törtté, csökkenteni és visszaváltani megfelelő törtté.

Nézzünk egy példát:
Törölje a \(2\frac(30)(45)\ vegyes törtet.

Megoldás:
Kétféleképpen oldjuk meg:
Első út:
Írjuk a tört részt egyszerű faktorokba, de ne érintsük a teljes részt.

' frac(2)(3)\)

Második út:
Először alakítsuk át nem megfelelő törtté, majd írjuk prímtényezőkké és redukáljuk. A kapott nem megfelelő törtet alakítsuk át megfelelő törtté.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(piros) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Kérdések a témában:
Csökkentheti a törteket összeadáskor vagy kivonáskor?
Válasz: nem, először össze kell adni vagy ki kell venni a törteket a szabályok szerint, és csak ezután kell csökkenteni őket. Nézzünk egy példát:

Értékelje a \(\frac(50+20-10)(20)\) kifejezést.

Megoldás:
Gyakran elkövetik a rövidítés hibáját ugyanazok a számok Esetünkben a számláló és a nevező 20-as számmal rendelkezik, de addig nem csökkenthető, amíg az összeadást és a kivonást be nem fejezi.

\(\frac(50+\szín(piros) (20)-10)(\szín(piros) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Milyen számokkal csökkentheti töredékét?
Válasz: A törtet csökkentheti a legnagyobb közös tényezővel vagy a számláló és a nevező közös osztójával. Például a \(\frac(100)(150)\ tört.

Írjuk fel a 100 és 150 számokat prímtényezőkbe.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
A legnagyobb közös osztó a gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 szám lesz.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Megkaptuk a \(\frac(2)(3)\ irreducibilis törtet.

De nem szükséges mindig gcd-vel osztani, nem mindig van szükség a törtre a számláló és a nevező egyszerű osztójával. Például a 100 és 150 szám közös osztója 2. Csökkentsük a \(\frac(100)(150)\) törtet 2-vel.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Megkaptuk a \(\frac(50)(75)\ redukálható törtet.

Milyen töredékek csökkenthetők?
Válasz: Lecsökkentheti azokat a törteket, amelyekben a számlálónak és a nevezőnek közös osztója van. Például a \(\frac(4)(8)\ tört. A 4-es és a 8-as számnak van egy száma, amellyel mindkettő osztható - ez a szám 2. Ezért egy ilyen tört csökkenthető a 2-vel.

Példa:
Hasonlítsa össze a két tört \(\frac(2)(3)\) és \(\frac(8)(12)\).

Ez a két tört egyenlő. Nézzük meg közelebbről a \(\frac(8)(12)\ törtet:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)

Innen a következőt kapjuk: \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Két tört akkor és csak akkor egyenlő, ha az egyiket úgy kapjuk, hogy a másik törtet redukáljuk közös szorzó számláló és nevező.

Példa:
Ha lehetséges, csökkentse a következő törteket: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Megoldás:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \szer 3 \szer 3) (13)=\frac(18) (13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\szín(piros) (3 \szer 3) \szer 3)(\szín(piros) (3 \szer 3) \szer 7)=\frac (3) (7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreducibilis tört
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\szín(piros) (2 \x 5 \x 5) \x 2)(\color(piros) (2 \x 5 \x 5) \ szor 5)=\frac(2)(5)\)

Ez a cikk az algebrai törtek konvertálásának témáját folytatja: tekintsünk egy ilyen műveletet az algebrai törtek csökkentésének. Határozzuk meg magát a fogalmat, fogalmazzunk meg redukciós szabályt és elemezzünk gyakorlati példákat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az algebrai tört redukálásának jelentése

A közönséges törtekről szóló anyagokban megvizsgáltuk a redukcióját. A tört redukálását úgy határoztuk meg, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk egy közös tényezővel.

Az algebrai tört redukálása hasonló művelet.

1. definíció

Algebrai tört redukálása számlálójának és nevezőjének közös tényezővel való osztása. Ebben az esetben, ellentétben a közönséges tört redukciójával (a közös nevező csak egy szám lehet), az algebrai tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője lehet polinom, különösen monomiális vagy szám.

Például, algebrai tört 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 csökkenthető a 3-as számmal, ami a következőt kapja: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Ugyanezt a törtet csökkenthetjük az x változóval, és így a 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 kifejezést kapjuk. Lehetőség van egy adott tört monomiális csökkentésére is 3 x vagy bármelyik polinom x + 2 év, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ill 3 x 2 + 6 x y.

A végső cél egy algebrai tört redukciója törtével több egyszerű típus, legjobb esetben is redukálhatatlan tört.

Minden algebrai tört redukálható?

Ismét a közönséges frakciókon lévő anyagokból tudjuk, hogy vannak redukálható és redukálhatatlan törtek. Az irreducibilis törtek olyan törtek, amelyeknek nincs közös számlálója és nevezője az 1-en kívül.

Ugyanez a helyzet az algebrai törtekkel: lehet, hogy van közös tényezőjük a számlálóban és a nevezőben, vagy nem. A közös tényezők jelenléte lehetővé teszi az eredeti tört egyszerűsítését a redukció révén. Ha nincsenek közös tényezők, lehetetlen egy adott tört optimalizálása redukciós módszerrel.

IN általános esetekÁltal adott típus Egy töredék számára meglehetősen nehéz megérteni, hogy csökkenthető-e. Természetesen bizonyos esetekben nyilvánvaló egy közös tényező jelenléte a számláló és a nevező között. Például a 3 x 2 3 y algebrai törtben teljesen egyértelmű, hogy a közös tényező a 3.

Az - x · y 5 · x · y · z 3 törtből azt is azonnal megértjük, hogy csökkenthető x-szel, y-val vagy x · y-val. És mégis, sokkal gyakrabban vannak példák az algebrai törtekre, amikor a számláló és a nevező közös tényezője nem olyan könnyen látható, sőt gyakrabban egyszerűen hiányzik.

Például csökkenthetjük az x 3 - 1 x 2 - 1 törtet x - 1-gyel, miközben a megadott közös tényező nem szerepel a bejegyzésben. De az x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 tört nem csökkenthető, mivel a számlálónak és a nevezőnek nincs közös tényezője.

Így egy algebrai tört redukálhatóságának meghatározása nem olyan egyszerű, és gyakran könnyebb egy adott alak törtével dolgozni, mint azt kideríteni, hogy az redukálható-e. Ebben az esetben olyan átalakítások mennek végbe, amelyek adott esetben lehetővé teszik a számláló és a nevező közös tényezőjének meghatározását, vagy a tört irreducibilitására vonatkozó következtetés levonását. Ezt a kérdést a cikk következő bekezdésében részletesen megvizsgáljuk.

Az algebrai törtek csökkentésének szabálya

Az algebrai törtek csökkentésének szabálya két egymást követő műveletből áll:

• a számláló és a nevező közös tényezőinek megtalálása;
• ha ilyeneket találunk, a frakció csökkentését közvetlenül hajtjuk végre.

A közös nevezők megtalálásának legkényelmesebb módja egy adott algebrai tört számlálójában és nevezőjében lévő polinomok faktorizálása. Ez lehetővé teszi, hogy azonnal világosan láthassa a közös tényezők jelenlétét vagy hiányát.

Az algebrai tört redukálásának művelete egy algebrai tört fő tulajdonságán alapul, amelyet a definiálatlan egyenlőség fejez ki, ahol a, b, c néhány polinom, b és c pedig nem nulla. Első lépésként a törtet a · c b · c alakra redukáljuk, amelyben azonnal észrevesszük a c közös tényezőt. A második lépés a redukció végrehajtása, azaz. átmenet az a b alak törtrészére.

Tipikus példák

Némi nyilvánvalóság ellenére tisztázzuk kb speciális eset amikor egy algebrai tört számlálója és nevezője egyenlő. Hasonló törtek ennek a törtnek a változóinak teljes ODZ-jén azonosak 1-gyel:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Mivel a közönséges törtek az algebrai törtek speciális esetei, emlékezzünk vissza, hogyan redukáljuk őket. A számlálóba és nevezőbe írt természetes számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a közös tényezőket (ha vannak) töröljük.

Például 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Az egyszerű azonos tényezők szorzata hatványként írható fel, és a tört redukálása során használhatja a hatványok osztó tulajdonságát ugyanazon az alapon. Akkor a fenti megoldás a következő lenne:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(a számláló és a nevező osztva egy közös tényezővel 2 2 3). Vagy az érthetőség kedvéért a szorzás és osztás tulajdonságai alapján a következő formát adjuk a megoldásnak:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analógia útján az algebrai törtek redukcióját hajtjuk végre, amelyben a számlálónak és a nevezőnek egész együtthatós monomija van.

1. példa

Az algebrai tört adott - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Csökkenteni kell.

Megoldás

Lehetőség van adott tört számlálójának és nevezőjének szorzatként való felírására elsődleges tényezőkés a változókat, majd hajtsa végre a redukciót:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Azonban több racionális módon a megoldást egy kifejezés formájában írjuk le fokokkal:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Válasz:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ha egy algebrai tört számlálója és nevezője tört numerikus együtthatókat tartalmaz, két lehetséges további lépés lehetséges: vagy külön osztjuk el ezeket a törtegyütthatókat, vagy először megszabadulunk a törtegyütthatóktól úgy, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk egy bizonyos értékkel. természetes szám. Az utolsó transzformációt az algebrai tört alapvető tulajdonsága miatt hajtják végre (erről olvashat az „Algebrai tört redukálása új nevezőre” című cikkben).

2. példa

A megadott tört 2 5 x 0, 3 x 3. Csökkenteni kell.

Megoldás

A tört csökkentése a következőképpen lehetséges:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Próbáljuk meg másképpen megoldani a problémát, miután először megszabadultunk a törtegyütthatóktól - szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ezen együtthatók nevezőinek legkisebb közös többszörösével, azaz. LCM-en (5, 10) = 10. Akkor kapjuk:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Válasz: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Amikor az algebrai törteket redukáljuk általános nézet, amelyben a számlálók és nevezők lehetnek monomiálisok vagy polinomok, akkor lehet probléma, ha a közös tényező nem mindig látható azonnal. Vagy ráadásul egyszerűen nem létezik. Ezután a közös tényező meghatározásához vagy a hiánya tényének rögzítéséhez az algebrai tört számlálóját és nevezőjét faktoráljuk.

3. példa

A racionális tört 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Csökkenteni kell.

Megoldás

Vegyük figyelembe a polinomokat a számlálóban és a nevezőben. Vegyük ki a zárójelből:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Látjuk, hogy a zárójelben lévő kifejezés rövidített szorzóképletekkel konvertálható:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jól látható, hogy lehetséges egy töredéket egy közös tényezővel csökkenteni b 2 (a + 7). Csináljunk egy csökkentést:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Írjunk egy rövid magyarázat nélküli megoldást egyenlőségláncként:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Válasz: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Előfordul, hogy a közös tényezőket numerikus együtthatók rejtik el. Ekkor a törtek kicsinyítésekor optimális a számláló és a nevező nagyobb hatványain lévő számtényezőket zárójelbe tenni.

4. példa

Adott az 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 algebrai tört. Lehetőség szerint csökkenteni kell.

Megoldás

Első pillantásra a számláló és a nevező nem létezik közös nevező. Azonban próbáljuk meg átváltani a megadott törtet. Vegyük ki a számlálóból az x tényezőt:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 év - 3 1 2

Most már láthat némi hasonlóságot a zárójelben lévő kifejezés és a nevezőben lévő kifejezés között x 2 y miatt . Vegyük ki ezeknek a polinomoknak a nagyobb hatványainak numerikus együtthatóit:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Most láthatóvá válik a közös tényező, végrehajtjuk a redukciót:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Válasz: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Hangsúlyozzuk, hogy az összehúzódás készsége racionális törtek a polinomok faktorálási képességétől függ.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A törtek csökkentésének megértéséhez először nézzünk meg egy példát.

A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a dologgal osztjuk el. A 360 és a 420 is számra végződik, így ezt a törtet 2-vel csökkenthetjük. B új frakció A 180 és a 210 is osztható 2-vel, ezért ezt a törtet 2-vel csökkentjük. A 90 és 105 számokban a számjegyek összege osztható 3-mal, tehát mindkét szám osztható 3-mal, a törtet csökkentjük 3. Az új törtben 30 és 35 0-ra és 5-re végződik, ami azt jelenti, hogy mindkét szám osztható 5-tel, így a törtet 5-tel csökkentjük. A kapott hathetedes tört irreducibilis. Ez a végső válasz.

Ugyanarra a válaszra más módon is eljuthatunk.

Mind a 360, mind a 420 nullára végződik, ami azt jelenti, hogy oszthatóak 10-zel. Csökkentjük a törtet 10-zel. Az új törtben a 36 számlálót és a 42 nevezőt is osztjuk 2-vel. Csökkentjük a törtet 2-vel. Következő tört, mind a 18 számláló, mind a 21 nevező el van osztva 3-mal, ami azt jelenti, hogy a törtet 3-mal csökkentjük. Megérkeztünk az eredményhez - hat heted.

És még egy megoldás.

Legközelebb a törtek csökkentésére nézünk példákat.

Elérkeztünk tehát a csökkentéshez. Itt a tört alapvető tulajdonságát alkalmazzuk. DE! Ez nem ilyen egyszerű. Sok törttel (beleértve a iskolai tanfolyam) teljesen meg lehet boldogulni velük. Mi van, ha olyan törteket veszünk, amelyek „hirtelenebbek”? Nézzük meg közelebbről! Azt javaslom, hogy a törtekkel rendelkező anyagokat nézze meg.

Tehát már tudjuk, hogy a tört számlálója és nevezője szorozható és osztható ugyanazzal a számmal, a tört nem fog változni. Nézzünk három megközelítést:

Közelítsd meg az egyiket.

A csökkentéshez osszuk el a számlálót és a nevezőt egy közös osztóval. Nézzünk példákat:

Rövidítsük le:

A megadott példákban azonnal látjuk, hogy mely osztókat vegyük redukcióhoz. A folyamat egyszerű - végigmegyünk a 2, 3, 4, 5 és így tovább. A legtöbb iskolai kurzus példájában ez teljesen elég. De ha töredék:

Itt az osztók kiválasztásának folyamata sokáig tarthat;). Természetesen az ilyen példák kívül esnek az iskolai tananyagon, de meg kell birkózni velük. Az alábbiakban megnézzük, hogyan történik ez. Egyelőre térjünk vissza a létszámcsökkentési folyamathoz.

Mint fentebb tárgyaltuk, a tört csökkentése érdekében elosztottuk az általunk meghatározott közös osztó(k)kal. Minden korrekt! Csak a számok oszthatóságának jeleit kell hozzáadni:

- ha a szám páros, akkor osztható 2-vel.

- ha egy szám az utolsó két számjegyből osztható 4-gyel, akkor maga a szám osztható 4-gyel.

— ha a számot alkotó számjegyek összege osztható 3-mal, akkor maga a szám osztható 3-mal. Például 125031, 1+2+5+0+3+1=12. A tizenkettő osztható 3-mal, így az 123031 osztható 3-mal.

- ha egy szám vége 5 vagy 0, akkor a szám osztható 5-tel.

— ha a számot alkotó számjegyek összege osztható 9-cel, akkor maga a szám osztható 9-cel. Például 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Tizennyolc osztható 9-cel, ami azt jelenti, hogy 623032 osztható 9-cel.

Második megközelítés.

Röviden fogalmazva, az egész művelet a számláló és a nevező faktorálásából, majd a számlálóban és a nevezőben egyenlő tényezők csökkentéséből áll ( ezt a megközelítést– ez az első megközelítés következménye):

Vizuálisan, nehogy összezavarodjon és ne hibázzon egyenlő tényezők csak áthúzzák. Kérdés – hogyan lehet egy számot faktorálni? Minden osztót kereséssel kell meghatározni. Ez egy külön téma, nem bonyolult, nézz utána egy tankönyvben vagy az interneten az információknak. Az iskolai törtekben jelenlévő faktorszámokkal nem lesz nagy probléma.

Formálisan a redukciós elv a következőképpen írható le:

Közelítsd meg a hármat.

Itt van a legérdekesebb a haladóknak és azoknak, akik azzá szeretnének válni. Csökkentsük a törtet 143/273. Próbáld ki te is! Nos, hogy történt ez gyorsan? Most nézd!

Megfordítjuk (cseréljük a számláló és a nevező helyét). A kapott törtet elosztjuk egy sarokkal, és vegyes számmá alakítjuk, azaz kijelöljük a teljes részt:

Máris könnyebb. Látjuk, hogy a számláló és a nevező 13-mal csökkenthető:

Most ne felejtsd el újra megfordítani a törtet, írjuk fel a teljes láncot:

Ellenőrzött – kevesebb időt vesz igénybe, mint az osztók átkutatása és ellenőrzése. Térjünk vissza a két példánkhoz:

Első. Sarokkal osztva (nem számológépen) kapjuk:

Ez a töredék persze egyszerűbb, de a redukció megint probléma. Most külön elemezzük az 1273/1463 frakciót, és megfordítjuk:

Itt könnyebb. Tekinthetünk olyan osztót, mint a 19. A többi nem megfelelő, ez egyértelmű: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurrá! Írjuk fel:

Következő példa. Rövidítsük le a 88179/2717-et.

Osztva kapjuk:

Külön elemezzük az 1235/2717 frakciót, és megfordítjuk:

Tekinthetünk olyan osztót, mint például a 13 (legfeljebb 13 nem megfelelő):

Számláló 247:13=19 Nevező 1235:13=95

*A folyamat során egy másik osztót láttunk, amely egyenlő 19-cel. Kiderült, hogy:

Most írjuk fel az eredeti számot:

És nem számít, mi a nagyobb a törtben - a számláló vagy a nevező, ha ez a nevező, akkor megfordítjuk, és a leírtak szerint járunk el. Így tetszőleges töredéket redukálhatunk a harmadik megközelítés univerzálisnak nevezhető.

Természetesen a fent tárgyalt két példa nem egyszerű példa. Próbáljuk ki ezt a technológiát az „egyszerű” törtrészeken, amelyeket már figyelembe vettünk:

Két negyed.

Hetvenkét hatvanas évek. A számláló nagyobb, mint a nevező, nem kell megfordítani:

Természetesen az ilyenekre a harmadik megközelítést alkalmazták egyszerű példák csak alternatívaként. A módszer, mint már említettük, univerzális, de nem kényelmes és helyes minden frakcióra, különösen az egyszerűekre.

A frakciók sokfélesége nagy. Fontos, hogy megértse az elveket. Szigorú szabályok egyszerűen nincs mód törtekkel dolgozni. Megnéztük, kitaláltuk, hogyan lenne kényelmesebb cselekedni, és haladtunk előre. Gyakorlással jön a készség, és feltöröd őket, mint a magokat.

Következtetés:

Ha a számláló és a nevező közös osztóját látja, használja őket a csökkentéshez.

Ha tudja, hogyan kell gyorsan faktorozni egy számot, akkor faktorálja a számlálót és a nevezőt, majd csökkentse.

Ha nem tudja meghatározni a közös osztót, használja a harmadik megközelítést.

*A törtek csökkentéséhez fontos a redukció elveinek elsajátítása, a tört alapvető tulajdonságának megértése, a megoldási megközelítések ismerete, valamint a számítások végzésekor rendkívül óvatosnak kell lenni.

És ne feledd! Törtet addig szokás csökkenteni, amíg meg nem áll, vagyis addig redukálni, amíg van közös osztó.

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete