Közönséges törtek osztása. függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg

IN utoljára Megtanultuk, hogyan kell törteket összeadni és kivonni (lásd a „Törtek összeadása és kivonása”). Ezeknek az akcióknak a legnehezebb része az volt, hogy a törteket közös nevezőre hozzuk.

Itt az ideje, hogy foglalkozzunk a szorzással és az osztással. Jó hír az, hogy ezek a műveletek még az összeadásnál és kivonásnál is egyszerűbbek. Először is nézzük meg legegyszerűbb eset, amikor két pozitív tört van elválasztott egész rész nélkül.

Két tört szorzásához külön kell szoroznia a számlálóikat és a nevezőit. Az első szám lesz a számláló új frakció, a második pedig a nevező.

Két tört elosztásához meg kell szorozni az első törtet a „fordított” második törttel.

Kijelölés:

A definícióból az következik, hogy a törtek osztása szorzásra redukál. Tört „átforgatásához” csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Ezért a leckében elsősorban a szorzást fogjuk figyelembe venni.

A szorzás eredményeként redukálható tört keletkezhet (és gyakran előfordul is) - természetesen csökkenteni kell. Ha az összes csökkentés után a tört helytelennek bizonyul, a teljes részt ki kell emelni. De ami a szorzással biztosan nem fog megtörténni, az a közös nevezőre való redukálás: nincsenek keresztmetszetek, a legnagyobb tényezők és a legkisebb közös többszörösek.

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

Törtek szorzása egész részekkel és negatív törtekkel

Ha a törtek egész részt tartalmaznak, akkor azokat nem megfelelő részekre kell konvertálni - és csak ezután kell megszorozni a fent vázolt sémák szerint.

Ha egy tört számlálójában, a nevezőben vagy előtte mínusz van, akkor az a következő szabályok szerint kivehető a szorzásból vagy teljesen eltávolítható:

1. Plusz mínuszra mínuszt ad;
2. Két negatívum igenlővé tesz.

Ezekkel a szabályokkal eddig csak negatív törtek összeadásánál és kivonásánál találkoztunk, amikor az egész résztől meg kellett szabadulni. Egy mű esetében általánosíthatóak, hogy egyszerre több hátrányt is „égessenek”:

1. Páronként áthúzzuk a negatívokat, amíg teljesen el nem tűnnek. IN utolsó lehetőségként, egy mínusz maradhat fenn - az, amelyikhez nem volt párja;
2. Ha nem marad mínusz, a művelet befejeződött - elkezdheti a szorzást. Ha az utolsó mínusz nincs áthúzva, mert nem volt hozzá pár, akkor kivesszük a szorzás határából. Az eredmény egy negatív tört.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Az összes törtet helytelenné alakítjuk, majd kivesszük a mínuszokat a szorzásból. A maradékot a szokásos szabályok szerint megszorozzuk. Kapunk:

Hadd emlékeztesselek még egyszer, hogy a mínusz jel, amely a kiemelt tört előtt jelenik meg egész rész, kifejezetten a teljes törtre vonatkozik, és nem csak a teljes részére (ez az utolsó két példára vonatkozik).

Szintén vegye figyelembe negatív számok: Szorzáskor zárójelben vannak. Ez azért történik, hogy a mínuszokat elkülönítsék a szorzójelektől, és a teljes jelölés pontosabb legyen.

Törtszámok csökkentése menet közben

A szorzás nagyon munkaigényes művelet. A számok itt elég nagynak bizonyulnak, és a probléma egyszerűsítése érdekében megpróbálhatja tovább csökkenteni a törtet szorzás előtt. Valójában a törtek számlálói és nevezői lényegében közönséges tényezők, ezért a tört alapvető tulajdonságával redukálhatók. Vessen egy pillantást a példákra:

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Értelemszerűen a következőkkel rendelkezünk:

Minden példában pirossal jelöljük a csökkentett számokat és a megmaradt számokat.

Kérjük, vegye figyelembe: az első esetben a szorzók teljes mértékben csökkentek. Helyükön olyan egységek maradnak, amelyeket általában véve nem kell írni. A második példában teljes csökkentés Ezt nem sikerült elérni, de a számítások összmennyisége így is csökkent.

Ezt a technikát azonban soha ne használja törtek összeadásakor és kivonásakor! Igen, néha vannak hasonló számok, amelyeket csak csökkenteni szeretne. Tessék, nézd:

Ezt nem teheted!

A hiba azért fordul elő, mert összeadáskor a tört számlálója összeget ad, nem pedig számok szorzatát. Ezért lehetetlen egy tört fő tulajdonságát alkalmazni, mivel ebben a tulajdonságban arról beszélünk konkrétan a számok szorzásával kapcsolatban.

Egyszerűen nincs más oka a törtek csökkentésének, tehát a helyes döntés az előző feladat így néz ki:

Helyes megoldás:

Mint látható, a helyes válasz nem volt olyan szép. Általában legyen óvatos.

A tört egy egész egy vagy több része, amelyet általában egynek (1) kell érteni. A természetes számokhoz hasonlóan a törtekkel is elvégezhet minden alapvető aritmetikai műveletet (összeadás, kivonás, osztás, szorzás), ehhez ismerni kell a törtekkel való munka jellemzőit, és meg kell különböztetni a típusukat. Többféle tört létezik: tizedes és közönséges, vagy egyszerű. Minden törttípusnak megvannak a maga sajátosságai, de miután alaposan megértette, hogyan kell kezelni őket, bármilyen példát meg tud majd oldani törtekkel, mivel ismeri a végrehajtás alapelveit számtani számítások törtekkel. Nézzünk példákat arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal különböző típusú törtek használatával.

Hogyan oszthatunk el egy egyszerű törtet természetes számmal?
Közönséges vagy egyszerű törtek azok, amelyeket számarány formájában írnak le, amelyben az osztalék (számláló) a tört tetején, a tört osztója (nevezője) pedig alul van feltüntetve. Hogyan lehet egy ilyen törtet elosztani egész számmal? Nézzünk egy példát! Tegyük fel, hogy a 8/12-t el kell osztanunk 2-vel.

Ehhez számos műveletet kell végrehajtanunk:
Így, ha azzal a feladattal állunk szemben, hogy egy törtet el kell osztani egy egész számmal, a megoldási diagram valahogy így fog kinézni:

Hasonló módon bármely közönséges (egyszerű) törtet eloszthat egész számmal.

Hogyan kell elosztani egy tizedesjegyet egész számmal?
A tizedes tört egy olyan tört, amelyet úgy kapunk, hogy egy egységet tíz, ezer és így tovább osztunk. Aritmetikai műveletek a tizedes törtekkel meglehetősen egyszerű.

Nézzünk egy példát arra, hogyan oszthatunk el egy törtet egész számmal. Tegyük fel, hogy el kell osztanunk a 0,925 tizedes törtet az 5-ös természetes számmal.

Összefoglalva, maradjunk két fő ponton, amelyek fontosak a tizedes törtek egész számmal való osztásakor:

• az elválasztáshoz decimális Az oszloposztást természetes szám esetén használjuk;
  
• A hányadosba vessző kerül, amikor az osztalék teljes részének felosztása befejeződött.
  

Ezek alkalmazása egyszerű szabályok, mindig könnyedén oszthat bármilyen tizedes vagy egyszerű tört egész számmal.

) és nevezőnként nevezőt (a szorzat nevezőjét kapjuk).

A törtek szorzásának képlete:

Például:

Mielőtt elkezdené a számlálók és nevezők szorzását, ellenőriznie kell, hogy a tört csökkenthető-e. Ha csökkenteni tudja a törtet, akkor könnyebb lesz további számításokat végeznie.

Közönséges tört elosztása törttel.

Természetes számokat tartalmazó törtek osztása.

Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Az összeadáshoz hasonlóan az egész számot olyan törtté alakítjuk, amelynek nevezője egy. Például:

Vegyes törtek szorzása.

A törtek szorzásának szabályai (vegyes):

• a kevert frakciókat nem megfelelő frakciókká alakítja át;
• a törtek számlálóinak és nevezőinek szorzása;
• csökkentse a frakciót;
• Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.

Figyel! Megszaporodni vegyes frakció egy másik vegyes törtre, először át kell alakítani őket nem megfelelő törtek formájába, majd meg kell szorozni őket a közönséges törtek szorzási szabálya szerint.

A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.

Kényelmesebb lehet a második szorzási módszer alkalmazása közönséges tört számonként.

Figyel! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztani a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagyni.

A fenti példából kitűnik, hogy ezt az opciót kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.

Többemeletes törtek.

A középiskolában gyakran találkoznak háromemeletes (vagy több) törtekkel. Példa:

Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, használjon 2 pontra osztást:

Figyel! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.

Kérjük, vegye figyelembe Például:

Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:

Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha írsz néhány plusz sort a piszkozatodba, mint eltévedni a gondolati számításokban.

2. Feladatokban a különböző típusok törtek - lépjen a közönséges törtek formájába.

3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.

4. Többszintes törtkifejezések közönséges formába hozzuk őket 2 ponton keresztüli osztás segítségével.

5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.

Az óra tartalma

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása

A törtek összeadásának két típusa van:

1. Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
2. Különböző nevezőjű törtek összeadása

Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

2. példa Adjunk hozzá törteket és .

A válasz az lett helytelen tört. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. Esetünkben az egész rész könnyen elkülöníthető - kettő osztva kettővel egyenlő:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:

3. példa. Adjunk hozzá törteket és .

Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és több pizzát ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;

Különböző nevezőjű törtek összeadása

Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig ugyanazok.

Például törteket lehet hozzáadni, mert van ugyanazok a nevezők.

De a törteket nem lehet azonnal hozzáadni, mivel ezek a törtek különböző nevezők. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.

Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az elsőt további szorzó. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.

A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.

1. példa. Adjuk össze a törteket és

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6

LCM (2 és 3) = 6

Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, így 2-t kapunk.

A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.

A kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:

Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:

Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:

Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:

A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).

Az első rajz egy töredéket (hatból négy darabot), a második pedig egy törtet (hatból három darabot) ábrázol. Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).

Kérjük, vegye figyelembe, hogy leírtuk ezt a példát túl részletes. IN oktatási intézményekben Nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Ha iskolában lennénk, ezt a példát a következőképpen kellene leírnunk:

De van olyan is hátoldalérmeket. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:

1. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
2. Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
3. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
4. Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
5. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, válassza ki a teljes részét;

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét .

Használjuk a fenti utasításokat.

1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét

Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok

2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez

Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:

3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel

A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:

4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:

Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.

5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki a teljes részét

A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:

Választ kaptunk

Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása

A törtek kivonásának két típusa van:

1. Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
2. Különböző nevezőjű törtek kivonása

Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.

Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Tegyük ezt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:

Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

1. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
2. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.

Különböző nevezőjű törtek kivonása

Például levonhat egy törtet a törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.

A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják át. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.

1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Először megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12

LCM (3 és 4) = 12

Most térjünk vissza a törtekhez és

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:

Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:

Választ kaptunk

Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz

Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:

A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):

Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.

Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.

A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30

LCM(10;3;5) = 30

Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:

Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.

A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.

A tört csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt (GCD) a 20 és 30 számokkal.

Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:

Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel

Választ kaptunk

Tört szorzása számmal

Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.

1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.

Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel

A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz

A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:

Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz

És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:

Törtek szorzása

A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Választ kaptunk. Célszerű csökkenteni adott tört. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor végső döntést a következő formában lesz:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Hogyan lehet ebből a félből kétharmadot kivenni? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:

És ebből a három darabból vegyél kettőt:

Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:

Ebből a pizzából egy darab és az általunk kivett két darab azonos méretű lesz:

Vagyis azonos méretű pizzáról beszélünk. Ezért a kifejezés értéke

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a legnagyobbkal közös osztó(GCD) 105 és 450 számok.

Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:

Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel

Egész szám törtként való ábrázolása

Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:

Reciprok számok

Most megismerkedünk nagyon érdekes téma a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.

Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.

Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:

Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.

Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:

Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:

Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.

Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.

Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.

Tört elosztása számmal

Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?

Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.

A törtek felosztása reciprok segítségével történik. A reciprok számok lehetővé teszik, hogy az osztást szorzással helyettesítsük.

Egy tört számmal való osztásához meg kell szoroznia a törtet az osztó inverzével.

Ezt a szabályt alkalmazva felírjuk a pizzafelünk felosztását két részre.

Tehát el kell osztani a törtet 2-vel. Itt az osztalék a tört, az osztó pedig a 2.

Ha el szeretne osztani egy tört 2-vel, ezt a törtet meg kell szoroznia a 2 osztó reciprokával. A 2 osztó reciproka a tört. Tehát szorozni kell vele

T lecke típusa: ONZ (új ismeretek felfedezése - a tevékenységalapú tanítási módszer technológiájának felhasználásával).

Főbb célok:

1. Következtessen módszerek tört természetes számmal való osztására;
2. Fejleszteni kell a tört természetes számmal való osztásának képességét;
3. Ismételje meg és erősítse meg a törtek felosztását;
4. Nevelje a törtek csökkentésének, a problémák elemzésének és megoldásának képességét.

Berendezés bemutató anyag:

1. Feladatok az ismeretfrissítéshez:

Hasonlítsa össze a kifejezéseket:

Referencia:

2. Próba (egyéni) feladat.

1. Hajtsa végre a felosztást:

2. Hajtsa végre az osztást a teljes számítási lánc elvégzése nélkül: .

Szabványok:

• Tört természetes számmal való osztásakor megszorozhatja a nevezőt ezzel a számmal, de a számlálót változatlannak hagyja.

• Ha a számláló osztható egy természetes számmal, akkor a tört ezzel a számmal való osztásakor a számlálót eloszthatja a számmal, és a nevezőt változatlannak hagyhatja.

Az óra előrehaladása

I. Motiváció (önrendelkezés) arra oktatási tevékenységek.

A színpad célja:

1. Megszervezi a tanulóval szemben támasztott követelmények aktualizálását a nevelési-oktatási tevékenység tekintetében („kell”);
2. Tanulói tevékenységek megszervezése tematikus keretek kialakítása érdekében („I can”);
3. Teremtsen feltételeket a tanuló fejlődéséhez belső szükségletek bevonása az oktatási tevékenységekbe („akarom”).

Szervezet oktatási folyamat az I. szakaszban.

Helló! Örülök, hogy látlak a matematika órán. Remélem kölcsönös.

Srácok, milyen új ismeretekre tettek szert az utolsó órán? (Oszd el a törteket).

Jobbra. Mi segít a törtek osztásában? (Szabály, tulajdonságok).

Hol van szükségünk erre a tudásra? (Példákban, egyenletekben, feladatokban).

Gratulálok! Jól teljesítetted a feladatokat az utolsó órán. Szeretnél ma magad új ismereteket felfedezni? (Igen).

Akkor - gyerünk! Az óra mottója pedig a következő kijelentés lesz: „Nem tanulhatod meg a matematikát úgy, hogy nézed, ahogy a szomszéd csinálja!”

II. Tudásfrissítés, egyéni nehézségek elhárítása próbaakcióban.

A színpad célja:

1. Szervezze meg a tanult cselekvési módszerek aktualizálását, amely elegendő az új ismeretek építéséhez. Rögzítse ezeket a módszereket verbálisan (beszédben) és szimbolikusan (standard) és általánosítsa őket;
2. Megszervezni a mentális műveletek aktualizálását és kognitív folyamatok, elegendő az új tudás felépítéséhez;
3. Motiválja a próbatételt és annak önálló végrehajtását és indoklását;
4. Jelenlegi egyéni feladat egy próbatevékenységhez, és elemezze azt egy új azonosítása érdekében oktatási tartalom;
5. Kötelezettség megszervezése oktatási céllalés az óra témái;
6. A végrehajtás megszervezése próbatételés a nehézség megoldása;
7. Szervezze meg a kapott válaszok elemzését, és rögzítse a próbatevékenység végrehajtása vagy annak igazolása során felmerülő egyéni nehézségeket.

Az oktatási folyamat megszervezése a II.

Elöl, tabletek (egyedi táblák) segítségével.

1. Hasonlítsa össze a kifejezéseket:

(Ezek a kifejezések egyenlőek)

Milyen érdekességeket vettél észre? (Az osztó számlálója és nevezője, az osztó számlálója és nevezője minden kifejezésben ugyanannyiszor nőtt. Így a kifejezésekben az osztók és osztók egymással egyenlő törtekkel vannak ábrázolva).

Keresse meg a kifejezés jelentését, és írja le a táblagépére. (2)

Hogyan írhatom ezt a számot törtként?

Hogyan hajtotta végre a felosztási akciót? (A gyerekek elmondják a szabályt, a tanár felakasztja a táblára betűjelölések)

2. Csak az eredményeket számítsa ki és rögzítse:

3. Adja össze az eredményeket, és írja le a választ. (2)

Mi a neve a 3. feladatban kapott számnak? (Természetes)

Gondolod, hogy el lehet osztani egy törtet egy természetes számmal? (Igen, megpróbáljuk)

Próbáld ki ezt.

4. Egyéni (próba)feladat.

Felosztás végrehajtása: (csak a példa)

Milyen szabályt használtál az osztásnál? (A törtek törtekkel való osztásának szabálya szerint)

Most osszuk el a törtet egy nagyobb természetes számmal egyszerű módon, a teljes számítási lánc elvégzése nélkül: (b példa). 3 másodpercet adok erre.

Ki nem tudta 3 másodperc alatt elvégezni a feladatot?

Ki csinálta? (Nincs ilyesmi)

Miért? (Nem ismerjük az utat)

mit kaptál? (Nehézség)

Mit gondolsz, mit fogunk csinálni az órán? (Ossza el a törteket természetes számokkal)

Így van, nyissa ki a füzeteit, és írja le a lecke témáját: „Tört elosztása természetes számmal”.

Miért hangzik újszerű ez a téma, ha már tudod, hogyan kell törteket osztani? (Új módszer kell)

Jobbra. Ma kidolgozunk egy technikát, amely leegyszerűsíti a tört természetes számmal való osztását.

III. A probléma helyének és okának azonosítása.

A színpad célja:

1. Szervezze meg az elvégzett műveletek helyreállítását és rögzítse (szóbeli és szimbolikus) azt a helyet - lépést, műveletet - ahol a nehézség felmerült;
2. Szervezd meg a tanulói cselekvések összefüggését az alkalmazott módszerrel (algoritmussal) és a rögzítést külső beszéd a nehézség okai - azok a speciális ismeretek, készségek vagy képességek, amelyek hiányoznak az ilyen típusú kezdeti probléma megoldásához.

Az oktatási folyamat megszervezése a III.

Milyen feladatot kellett teljesítened? (Oss el egy törtet természetes számmal anélkül, hogy végigmennénk a teljes számítási láncon)

Mi okozott nehézséget? (Nem tudtam eldönteni rövid idő gyors út)

Milyen célt tűzzünk ki magunk elé az órán? (Lelet gyors út tört elosztása természetes számmal)

Mi segít neked? (Már ismert szabály a törtek osztására)

IV. Projekt készítése a problémából való kilábalás érdekében.

A színpad célja:

1. A projekt céljának tisztázása;
2. A módszer megválasztása (tisztázás);
3. Átlagok meghatározása (algoritmus);
4. Tervet készíteni a cél eléréséhez.

Az oktatási folyamat megszervezése a IV.

Térjünk vissza a tesztfeladathoz. Azt mondtad, hogy a törtosztás szabályai szerint osztottál? (Igen)

Ehhez helyettesítsünk egy természetes számot törtre? (Igen)

Szerinted melyik lépés (vagy lépések) kihagyható?

(A megoldási lánc nyitva van a táblán:

Elemezze és vonja le a következtetést. (1. lépés)

Ha nincs válasz, akkor végigvezetjük a kérdéseken:

Hová tűnt a természetes osztó? (A nevezőbe)

Változott a számláló? (Nem)

Tehát melyik lépést lehet „kihagyni”? (1. lépés)

Cselekvési terv:

• Szorozza meg a tört nevezőjét egy természetes számmal.
• A számlálót nem változtatjuk meg.
• Új törtet kapunk.

V. A megépített projekt megvalósítása.

A színpad célja:

1. Kommunikatív interakció szervezése a hiányzó ismeretek megszerzését célzó felépített projekt megvalósítása érdekében;
2. A megkonstruált cselekvésmód beszédben és jelekben történő rögzítésének megszervezése (szabvány használatával);
3. Szervezze meg a kezdeti probléma megoldását, és rögzítse a nehézség leküzdésének módját;
4. A tisztázás megszervezése általánosúj ismeretek.

Az oktatási folyamat megszervezése az V. szakaszban.

Most gyorsan futtassa a tesztesetet új módon.

Most gyorsan el tudtad végezni a feladatot? (Igen)

Magyarázd el, hogyan csináltad ezt? (Gyerekek beszélgetnek)

Ez azt jelenti, hogy új ismereteket szereztünk: a tört természetes számmal való osztásának szabályát.

Gratulálok! Mondjuk párban.

Ezután az egyik tanuló beszél az osztálynak. A szabály-algoritmust verbálisan és szabvány formájában rögzítjük a táblán.

Most írja be a betűjeleket, és írja le szabályunk képletét.

A tanuló felírja a táblára a szabályt: tört természetes számmal való osztásakor a nevezőt meg lehet szorozni ezzel a számmal, de a számlálót meg kell hagyni.

(A képletet mindenki a füzetébe írja).

Most elemezze újra a döntési láncot próbafeladat, különös figyelmet fordítva a válaszra. mit csináltál? (A 15-ös tört számlálóját elosztottuk (csökkentettük) a 3-mal)

Mi ez a szám? (természetes, osztó)

Tehát hogyan másként oszthat el egy törtet természetes számmal? (Ellenőrizze: ha egy tört számlálója osztható ezzel a természetes számmal, akkor a számlálót eloszthatja ezzel a számmal, az eredményt beírhatja az új tört számlálójába, és a nevezőt meghagyhatja)

Írja le ezt a módszert képletként. (A tanuló kiejtés közben felírja a szabályt a táblára. A képletet mindenki a füzetébe írja.)

Térjünk vissza az első módszerhez. Használhatja, ha a:n? (Igen az általános módszer)

És mikor célszerű a második módszert használni? (Ha egy tört számlálóját elosztjuk egy természetes számmal maradék nélkül)

VI. Elsődleges konszolidáció kiejtéssel a külső beszédben.

A színpad célja:

1. Szervezze meg a gyermekek számára egy új cselekvési módszer asszimilációját a külső beszédben (frontálisan, párokban vagy csoportokban) kiejtéssel kapcsolatos standard problémák megoldása során.

Az oktatási folyamat szervezése a VI.

Számoljon új módon:

• 363. sz. (a; d) - a testületnél, a szabály kimondásával végzett.
• 363. sz. (e; f) - minta szerinti ellenőrzéssel párban.

VII. Önálló munkavégzés szabvány szerinti önellenőrzéssel.

A színpad célja:

1. Szervez önkivégzés a tanulók új cselekvési módra kapnak feladatokat;
2. Önteszt szervezése a szabványhoz való viszonyítás alapján;
3. A végrehajtás eredményei alapján önálló munkavégzés Reflexió megszervezése egy új cselekvési mód asszimilációjáról.

Az oktatási folyamat megszervezése a VII.

Számoljon új módon:

• No. 363 (b; c)

A tanulók ellenőrzik a szabványt, és megjelölik a végrehajtás helyességét. A hibák okait elemzik és a hibákat kijavítják.

A tanár megkérdezi azokat a tanulókat, akik hibáztak, mi ennek az oka?

Ebben a szakaszban fontos, hogy minden diák önállóan ellenőrizze a munkáját.

VIII. Beillesztés a tudásrendszerbe és ismétlés.

A színpad célja:

1. Megszervezni az új ismeretek alkalmazási határainak azonosítását;
2. Az értelmes folytonosság biztosításához szükséges oktatási tartalmak ismétlésének megszervezése.

Az oktatási folyamat megszervezése a VIII.

Szervezze meg a leckében a megoldatlan nehézségek rögzítését a jövőbeli oktatási tevékenységek irányaként;

Szervezzen megbeszélést és rögzítse a házi feladatot.

Az oktatási folyamat megszervezése a IX.

1. Párbeszéd:

Srácok, milyen új ismereteket fedeztetek fel ma? (Megtanulta, hogyan kell egyszerű módon elosztani egy tört természetes számmal)

Fogalmazzon meg egy általános módszert. (Azt mondják)

Milyen módon és milyen esetekben használhatja? (Azt mondják)

Mi az előnye az új módszernek?

Elértük a tanítási célunkat? (Igen)

Milyen tudást használt fel a cél elérése érdekében? (Azt mondják)

Neked minden sikerült?

Mik voltak a nehézségek?

2. Házi feladat: 3.2.4. pont; 365. sz. (l, n, o, p); 370. sz.

3. Tanár:Örülök, hogy ma mindenki aktív volt, és sikerült megtalálni a kiutat a nehézségből. És ami a legfontosabb, nem voltak szomszédok, amikor újat nyitottak és létrehoztak. Köszönöm a leckét gyerekek!

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete