Hogyan találjuk meg egy szám számtani középértékét. Miért kell a számtani közép?

) és a minta átlag(ok).

Enciklopédiai YouTube

• 1 / 5

  Jelöljük az adathalmazt x = (x 1 , x 2 , …, x n), akkor a minta átlagát általában egy vízszintes sáv jelzi a változó felett (ejtsd: " x vonallal").

  A görög μ betű a teljes sokaság számtani középértékének jelölésére szolgál. Olyan valószínűségi változó esetén, amelyre az átlagértéket meghatározták, μ az valószínűségi átlag vagy matematikai elvárás valószínűségi változó. Ha a készlet x egy gyűjtemény véletlen számokμ valószínűségi átlaggal, akkor bármely mintára x én ebből a halmazból μ = E( x én) ennek a mintának a matematikai elvárása.

  A gyakorlatban a különbség μ és x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) az, hogy μ egy tipikus változó, mert inkább egy mintát láthat, mint az egészet Általános népesség. Ezért ha a minta reprezentált véletlenszerűen(valószínűségelmélet szempontjából), akkor x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(de nem μ) egy valószínűségi változóként kezelhető, amelynek valószínűségi eloszlása ​​van a mintán (átlag valószínűségi eloszlása).

  Mindkét mennyiség kiszámítása azonos módon történik:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Példák

  • Mert három számössze kell adni és el kell osztani 3-mal:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).
  • Négy szám esetén össze kell adni őket, és el kell osztani 4-gyel:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

  Vagy egyszerűbb 5+5=10, 10:2. Mivel 2 számot adtunk össze, ami azt jelenti, hogy hány számot adunk össze, elosztunk ennyivel.

  Folyamatos valószínűségi változó

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Néhány probléma az átlag használatával

  A robusztusság hiánya

  Bár a számtani átlagokat gyakran átlagként vagy központi tendenciaként használják, ez a fogalom nem vonatkozik a robusztus statisztikákra, ami azt jelenti, hogy a számtani átlag függ erős befolyást"nagy eltérések" Figyelemre méltó, hogy a nagy ferdeségi együtthatójú eloszlások esetén a számtani átlag nem feltétlenül felel meg az „átlag” fogalmának, és a robusztus statisztikákból származó átlagértékek (például a medián) jobban leírhatják a központi értéket. tendencia.

  Klasszikus példa az átlagjövedelem kiszámítása. A számtani átlag tévesen mediánként értelmezhető, ami arra enged következtetni, hogy többen vannak magasabb jövedelműek, mint amennyi valójában. Az „átlagos” jövedelmet úgy értelmezik, hogy a legtöbb embernek ez a szám körül van a jövedelme. Ez az „átlagos” (a számtani átlag értelmében vett) jövedelem magasabb, mint a legtöbb ember jövedelme, hiszen magas bevétel az átlagtól való nagy eltérés a számtani átlagot erősen torzítja (ellentétben a medián átlagjövedelme „ellenáll” egy ilyen torzításnak). Ez az „átlagos” jövedelem azonban semmit sem mond a mediánjövedelemhez közeli emberek számáról (és a modális jövedelemhez közeli emberek számáról sem). Ha azonban félvállról veszi az „átlag” és a „legtöbb ember” fogalmát, akkor azt a téves következtetést vonhatja le, hogy a legtöbb ember jövedelme magasabb, mint valójában. Például a washingtoni medinai „átlagos” nettó jövedelemről szóló jelentés, amelyet a lakosok összes éves nettó jövedelmének számtani átlagaként számítanak ki, meglepően eredményes lesz. nagy szám Bill Gates miatt. Tekintsük a mintát (1, 2, 2, 2, 3, 9). A számtani átlag 3,17, de hatból öt érték ennél az átlagnál alacsonyabb.

  Kamatos kamat

  Ha a számok szaporodnak, de nem hajtogatni, akkor a geometriai átlagot kell használni, nem a számtani átlagot. Leggyakrabban ez az incidens a pénzügyi befektetések megtérülésének kiszámításakor fordul elő.

  Például, ha egy részvény az első évben 10%-ot esett, a másodikban pedig 30%-ot emelkedett, akkor helytelen a két év „átlagos” növekedését számtani átlagként kiszámítani (-10% + 30%) / 2 = 10%; a helyes átlagot ebben az esetben az összetett éves növekedési ráta adja, amely csak körülbelül 8,16653826392% ≈ 8,2% éves növekedési rátát ad.

  Ennek az az oka, hogy a százalékoknak minden alkalommal új kiindulási pontja van: 30% az 30% az első év eleji árnál kisebb számról: ha egy részvény 30 dollárról indult és 10%-ot esett, akkor a második év elején 27 dollárt ér. Ha a részvény 30%-ot emelkedne, akkor a második év végén 35,1 dollárt érne. Ennek a növekedésnek a számtani átlaga 10%, de mivel a részvény 2 év alatt csak 5,1 dollárral emelkedett, a 8,2%-os átlagos növekedés 35,1 dolláros végeredményt ad:

  [30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ha a 10%-os számtani átlagot ugyanúgy használjuk, akkor nem kapjuk meg jelenlegi érték: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

  kamatos kamat 2 év végén: 90% * 130% = 117%, azaz a teljes növekedés 17%, és az átlagos éves kamatos kamat 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\kb. 108,2\%), azaz átlagosan 8,2%-os éves növekedés Ez a szám két okból is helytelen.

  A fenti képlettel számított ciklikus változó átlagértéke mesterségesen eltolódik a valós átlaghoz képest a numerikus tartomány közepe felé. Emiatt az átlagot más módon számítják ki, nevezetesen a legkisebb szórással rendelkező számot ( középpontja). Ezenkívül a kivonás helyett a moduláris távolságot (vagyis a kerületi távolságot) használják. Például az 1° és 359° közötti moduláris távolság 2°, nem 358° (egy 359° és 360° közötti körön ==0° - egy fok, 0° és 1° között - szintén 1°, összesen -2°).

  Leginkább ekv. A gyakorlatban a számtani átlagot kell használnunk, amely egyszerű és súlyozott számtani átlagként számolható.

  Számtani átlag (SA)-n A leggyakoribb átlagtípus. Olyan esetekben használják, amikor egy változó jellemző térfogata a teljes populációra az egyes egységek jellemző értékeinek összege. A társadalmi jelenségeket egy változó jellemző volumenének additivitása (totalitása) jellemzi, ez határozza meg az SA alkalmazási körét és magyarázza általános mutatóként való elterjedtségét, például: az általános béralap az összes alkalmazott fizetésének összege.

  Az SA kiszámításához el kell osztania az összes jellemző érték összegét a számukkal. Az SA-t 2 formában használják.

  Először vegyünk egy egyszerű számtani átlagot.

  1-CA egyszerű (eredeti, meghatározó forma) egyenlő az átlagolt jellemző egyedi értékeinek egyszerű összegével, osztva ezen értékek teljes számával (amikor a jellemző csoportosítatlan indexértékei vannak):

  Az elvégzett számításokat a következő képletre lehet általánosítani:

  (1)

  Ahol - a változó jellemző átlagértéke, azaz az egyszerű számtani átlag;

  összegzést, azaz egyedi jellemzők összeadását jelenti;

  x- egy változó jellemző egyedi értékei, amelyeket változatoknak nevezünk;

  n - a népesség egységeinek száma

  1. példa, meg kell találni egy munkás (szerelő) átlagos teljesítményét, ha ismert, hogy 15 munkásból hány alkatrészt gyártott, pl. adott egy sor ind. attribútumértékek, db.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

  Az egyszerű SA kiszámítása az (1) képlet segítségével történik, db:

  Példa2. Számítsuk ki az SA-t feltételes adatok alapján a kereskedelmi társaságban szereplő 20 üzletre (1. táblázat). Asztal 1

  A "Vesna" kereskedelmi vállalat üzleteinek megoszlása ​​értékesítési terület szerint, négyzetméter. M

  Nem tárolunk.		Nem tárolunk.

  Az átlagos üzletterület kiszámításához ( ) össze kell adni az összes üzlet területét, és a kapott eredményt el kell osztani az üzletek számával:

  

  Így ennek a kiskereskedelmi vállalkozáscsoportnak az átlagos üzletterülete 71 négyzetméter.

  Ezért egy egyszerű SA meghatározásához el kell osztani egy adott jellemző összes értékének összegét az ezzel a jellemzővel rendelkező egységek számával.

  2

  Ahol f 1 , f 2 , … ,f n – súly (azonos jelek ismétlődésének gyakorisága);

  – a jellemzők nagyságának és gyakoriságának szorzatának összege;

  – a lakossági egységek teljes száma.

  - SA súlyozott - Val vel Olyan opciók közepe, amelyek különböző számú alkalommal ismétlődnek, vagy ahogy mondják, eltérő súlyúak. A súlyok a benne lévő egységek száma különböző csoportok aggregátumok (az azonos opciók csoportba kerülnek). SA súlyozott – csoportosított értékek átlaga x 1 , x 2 , .., x n, – számított: (2)

  Ahol x- lehetőségek;

  f- gyakoriság (súly).

  A súlyozott SA az opciók és a hozzájuk tartozó frekvenciák szorzatának a hányadosa az összes frekvencia összegével. Frekvenciák ( f Az SA képletben megjelenő ) általában ún Mérleg, melynek eredményeként a súlyok figyelembevételével számított SA-t súlyozottnak nevezzük.

  A súlyozott SA számítási technikáját a fent tárgyalt 1. példa segítségével szemléltetjük. Ehhez csoportosítjuk a kiindulási adatokat, és elhelyezzük a táblázatban.

  A csoportosított adatok átlagát a következőképpen határozzuk meg: először az opciókat megszorozzuk a gyakoriságokkal, majd összeadjuk a szorzatokat és a kapott összeget elosztjuk a gyakoriságok összegével.

  A (2) képlet szerint a súlyozott SA egyenlő, db:

  Munkavállalók elosztása alkatrészgyártáshoz

  

  P

  

  Az előző 2. példában bemutatott adatok homogén csoportokba foglalhatók, amelyeket a táblázatban mutatunk be. asztal

  A Vesna üzletek értékesítési terület szerinti megoszlása, négyzetméter m

  Így az eredmény ugyanaz lett. Ez azonban már egy súlyozott számtani középérték lesz.

  Az előző példában a számtani átlagot számoltuk, feltéve, hogy az abszolút gyakoriságok (az üzletek száma) ismertek. Számos esetben azonban az abszolút frekvenciák hiányoznak, de ismertek relatív gyakoriságok vagy ahogy szokták nevezni, az arányt mutató gyakoriságok ill a frekvenciák aránya a teljes halmazban.

  Az SA súlyozott felhasználás kiszámításakor frekvenciák lehetővé teszi a számítások egyszerűsítését, ha a frekvencia nagy, többjegyű számokban van kifejezve. A számítás ugyanúgy történik, mivel azonban az átlagérték 100-szorosára nőtt, az eredményt el kell osztani 100-zal.

  Ekkor a számtani súlyozott átlag képlete így fog kinézni:

  Ahol d– gyakoriság, azaz az egyes frekvenciák részesedése az összes frekvencia összegéből.

  (3)

  A 2. példánkban először definiáljuk fajsúlyüzletek csoportonként in teljes szám Vesna üzletek. Tehát az első csoportban a fajsúly ​​10%-nak felel meg
  . A következő adatokat kapjuk 3. táblázat

  A matematikában a számok számtani átlaga (vagy egyszerűen az átlag) az összes szám összege ezt a készletet, osztva a számukkal. Ez a legáltalánosabb és legelterjedtebb fogalom átlagos méret. Amint azt már megértette, a megtaláláshoz összegeznie kell az Önnek adott összes számot, és el kell osztania a kapott eredményt a kifejezések számával.

  Mi az aritmetikai átlag?

  Nézzünk egy példát.

  1. példa. Adott számok: 6, 7, 11. Meg kell találni az átlagértéküket.

  Megoldás.

  Először is keressük meg ezeknek a számoknak az összegét.

  Most oszd el a kapott összeget a tagok számával. Mivel három tagunk van, ezért osztunk hárommal.

  Ezért a 6, 7 és 11 számok átlaga 8. Miért 8? Igen, mert a 6, 7 és 11 összege megegyezik három nyolcassal. Ez jól látható az ábrán.

  Az átlag kicsit olyan, mint egy számsor „kiegyenlítése”. Mint látható, a ceruzakupacok egy szintre kerültek.

  Nézzünk egy másik példát a megszerzett tudás megszilárdítására.

  2. példa Adott számok: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Meg kell találni a számtani középértéküket.

  Megoldás.

  Keresse meg az összeget.

  3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

  Oszd el a kifejezések számával (ebben az esetben - 15).

  Ezért az átlag ezt a sorozatot a számok 22.

  Most mérlegeljük negatív számok. Emlékezzünk arra, hogyan foglaljuk össze őket. Például van két szám 1 és -4. Keressük meg az összegüket.

  1 + (-4) = 1 - 4 = -3

  Ennek ismeretében nézzünk egy másik példát.

  3. példa Határozzuk meg egy számsor átlagos értékét: 3, -7, 5, 13, -2.

  Megoldás.

  Keresse meg a számok összegét.

  3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

  Mivel 5 tag van, a kapott összeget oszd el 5-tel.

  Ezért a 3, -7, 5, 13, -2 számok számtani átlaga 2,4.

  

  A mi technológiai fejlődésünk korában sokkal kényelmesebb az átlagérték megtalálása számítógépes programok. Microsoft Office Excel- egyikük. Az átlag megtalálása az Excelben gyors és egyszerű. Sőt, ez a program a szoftvercsomag része Microsoft Office. Mérlegeljük rövid utasításokat, érték ezzel a programmal.

  Egy számsor átlagértékének kiszámításához az AVERAGE függvényt kell használni. Ennek a függvénynek a szintaxisa a következő:
  = Átlag(argumentum1, argumentum2, ... argumentum255)
  ahol argumentum1, argumentum2, ... argumentum255 vagy számok vagy cellahivatkozások (a cellák tartományokra és tömbökre utalnak).

  Hogy érthetőbb legyen, próbáljuk ki a megszerzett tudásunkat.

  

  1. Írja be a 11, 12, 13, 14, 15, 16 számokat a C1-C6 cellákba.
  2. Kattintson rá a C7 cellára. Ebben a cellában az átlagértéket fogjuk megjeleníteni.
  3. Kattintson a Képletek fülre.
  4. A megnyitáshoz válassza a További funkciók > Statisztikai elemet
  5. Válassza az ÁTLAG lehetőséget. Ezt követően meg kell nyílnia egy párbeszédpanelnek.
  6. Jelölje ki és húzza oda a C1-C6 cellákat a tartomány beállításához a párbeszédpanelen.
  7. Erősítse meg műveleteit az "OK" gombbal.
  8. Ha mindent jól csinált, akkor a válasznak a C7 - 13.7 cellában kell lennie. Ha a C7 cellára kattint, az (=Átlag(C1:C6)) függvény megjelenik a képletsorban.

  Ez a funkció nagyon hasznos könyvelésnél, számlázásnál, vagy amikor csak egy nagyon hosszú számsor átlagát kell megtalálni. Ezért gyakran használják az irodákban és nagy cégek. Ez lehetővé teszi a nyilvántartások rendjének fenntartását, és lehetővé teszi valami gyors kiszámítását (például havi átlagjövedelem). Az Excel segítségével megkeresheti egy függvény átlagos értékét is.

  Válasz: mindenki kapott egyet 4 körte.

  2. példa Kurzusokhoz angolul Hétfőn 15 fő jött el, kedden - 10, szerdán - 12, csütörtökön - 11, pénteken - 7, szombaton - 14, vasárnap - 8. Keresse meg a tanfolyamok heti átlagos látogatottságát.
  Megoldás: Keressük a számtani átlagot:

  15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8	=	77	= 11
  7		7

  Válasz:Átlagosan angol nyelvtanfolyamokon vettek részt emberek 11 személy naponta.

  3. példa: Egy versenyző két órát lovagolt 120 km/h-val és egy órát 90 km/h-val. Keresse meg az autó átlagsebességét a verseny alatt.
  Megoldás: Keressük az átlagot számtani sebességek autó minden utazási órára:

  120 + 120 + 90	=	330	= 110
  3		3

  Válasz: átlagsebesség autó a verseny alatt volt 110 km/h

  4. példa: 3 szám számtani közepe 6, és 7 másik szám számtani közepe 3. Mi ennek a tíz számnak a számtani közepe?
  Megoldás: Mivel 3 szám számtani átlaga 6, így összegük 6 3 = 18, hasonlóképpen a maradék 7 szám összege 7 3 = 21.
  Ez azt jelenti, hogy mind a 10 szám összege 18 + 21 = 39 lesz, és a számtani átlag egyenlő

  39	= 3.9
  10

  Válasz: 10 szám számtani átlaga az 3.9 .

  Mivel egy stacionárius véletlenszerű folyamat számhalmazának elemeinek száma a végtelenbe hajlik, a számtani átlag a valószínűségi változó matematikai elvárásaihoz hajlik.

  Bevezetés

  Jelöljük a számok halmazát x = (x 1 , x 2 , …, x n), akkor a minta átlagát általában egy vízszintes sáv jelzi a változó felett (ejtsd: " x vonallal").

  A görög μ betűt általában egy egész számhalmaz számtani középértékének jelölésére használják. Olyan valószínűségi változó esetén, amelyre az átlagértéket meghatározták, μ az valószínűségi átlag vagy egy valószínűségi változó matematikai elvárása. Ha a készlet x véletlen számok gyűjteménye μ valószínűségi átlaggal, akkor bármely mintára x én ebből a halmazból μ = E( x én) ennek a mintának a matematikai elvárása.

  A gyakorlatban a különbség μ és x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) az, hogy μ egy tipikus változó, mert inkább egy mintát láthat, mint a teljes sokaságot. Ezért ha a mintát véletlenszerűen ábrázoljuk (valószínűségelmélet szempontjából), akkor x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(de nem μ) egy valószínűségi változóként kezelhető, amelynek valószínűségi eloszlása ​​van a mintán (átlag valószínűségi eloszlása).

  Mindkét mennyiség kiszámítása azonos módon történik:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Példák

  • Három számot össze kell adni, és el kell osztani 3-mal:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).
  • Négy szám esetén össze kell adni őket, és el kell osztani 4-gyel:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

  Folyamatos valószínűségi változó

  Ha van valamilyen függvénynek integrálja f (x) (\displaystyle f(x)) egy változót, majd ennek a függvénynek a számtani átlagát a szakaszon [a; b ] (\displaystyle ) egy határozott integrál határozza meg:

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)

  Itt azt kell érteni b > a . (\displaystyle b>a.)

  Néhány probléma az átlag használatával

  A robusztusság hiánya

  Bár a számtani átlagokat gyakran használják átlagként vagy központi tendenciaként, ez a fogalom nem egy robusztus statisztika, ami azt jelenti, hogy a számtani átlagot erősen befolyásolják a "nagy eltérések". Figyelemre méltó, hogy a nagy ferdeségi együtthatójú eloszlások esetén a számtani átlag nem feltétlenül felel meg az „átlag” fogalmának, és a robusztus statisztikákból származó átlagértékek (például a medián) jobban leírhatják a központi értéket. tendencia.

  Klasszikus példa az átlagjövedelem kiszámítása. A számtani átlag tévesen mediánként értelmezhető, ami arra enged következtetni, hogy többen vannak magasabb jövedelműek, mint amennyi valójában. Az „átlagos” jövedelmet úgy értelmezik, hogy a legtöbb embernek ez a szám körül van a jövedelme. Ez az „átlagos” (a számtani átlag értelmében vett) jövedelem magasabb, mint a legtöbb ember jövedelme, mivel a magas, az átlagtól nagy eltéréssel rendelkező jövedelem a számtani átlagot erősen torzítja (ellentétben a medián átlagjövedelmét). „ellenáll” az ilyen ferdítésnek). Ez az „átlagos” jövedelem azonban semmit sem mond a mediánjövedelemhez közeli emberek számáról (és a modális jövedelemhez közeli emberek számáról sem). Ha azonban félvállról veszi az „átlag” és a „legtöbb ember” fogalmát, akkor azt a téves következtetést vonhatja le, hogy a legtöbb ember jövedelme magasabb, mint valójában. Például a washingtoni medinai "átlagos" nettó jövedelemről szóló jelentés, amelyet a lakosok összes éves nettó jövedelmének számtani átlagaként számítanak ki, meglepően nagy számot adna Bill Gatesnek köszönhetően. Tekintsük a mintát (1, 2, 2, 2, 3, 9). A számtani átlag 3,17, de hatból öt érték ennél az átlagnál alacsonyabb.

  Kamatos kamat

  Ha a számok szaporodnak, de nem hajtogatni, akkor a geometriai átlagot kell használni, nem a számtani átlagot. Leggyakrabban ez az incidens a pénzügyi befektetések megtérülésének kiszámításakor fordul elő.

  Például, ha egy részvény az első évben 10%-ot esett, a másodikban pedig 30%-ot emelkedett, akkor helytelen a két év „átlagos” növekedését számtani átlagként kiszámítani (-10% + 30%) / 2 = 10%; a helyes átlagot ebben az esetben az összetett éves növekedési ráta adja, amely csak körülbelül 8,16653826392% ≈ 8,2% éves növekedési rátát ad.

  Ennek az az oka, hogy a százalékoknak minden alkalommal új kiindulási pontja van: 30% az 30% az első év eleji árnál kisebb számról: ha egy részvény 30 dollárról indult és 10%-ot esett, akkor a második év elején 27 dollárt ér. Ha a részvény 30%-ot emelkedne, akkor a második év végén 35,1 dollárt érne. Ennek a növekedésnek a számtani átlaga 10%, de mivel a részvény 2 év alatt csak 5,1 dollárral emelkedett, a 8,2%-os átlagos növekedés 35,1 dolláros végeredményt ad:

  [30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ha ugyanígy használjuk a 10%-os számtani átlagot, akkor nem kapjuk meg a tényleges értéket: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

  kamatos kamat 2 év végén: 90% * 130% = 117%, azaz a teljes növekedés 17%, és az átlagos éves kamatos kamat 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\kb. 108,2\%), azaz átlagosan 8,2%-os éves növekedés.

  Útvonalak

  Fő cikk: Úticél statisztika

  Az átlag kiszámításakor számtani értékeket Egyes változók esetében, amelyek ciklikusan változnak (például fázis vagy szög), különös figyelmet kell fordítani. Például 1 és 359 átlaga lenne 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180. Ez a szám két okból is helytelen.

  A fenti képlettel számított ciklikus változó átlagértéke mesterségesen eltolódik a valós átlaghoz képest a numerikus tartomány közepe felé. Emiatt az átlagot más módon számítják ki, vagyis a legkisebb szórással rendelkező számot (a középpontot) választják átlagértéknek. Ezenkívül a kivonás helyett a moduláris távolságot (vagyis a kerületi távolságot) használják. Például az 1° és 359° közötti moduláris távolság 2°, nem pedig 358° (egy 359° és 360° közötti körön ==0° - egy fok, 0° és 1° között - szintén 1°, összesen -2°).

  
  
  Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete