itthon » Hallucinogén » Rugalmas legkisebb négyzetek megoldási algoritmusa. Hol alkalmazzák a legkisebb négyzetek módszerét?

Rugalmas legkisebb négyzetek megoldási algoritmusa. Hol alkalmazzák a legkisebb négyzetek módszerét?

Tantárgy : Hozzávetőleges grafikus megoldás egyenletek.

Cél: az egyenletmegoldó készség fejlődésének elősegítése grafikusan táblázatok segítségével.

Az órák alatt:


  1. Idő szervezése(2 perc)

  2. Tudásfrissítés (8 perc)

2) Határozza meg táblázatot.


  1. Cella címe.



  4. Képletek bevitele




  8. Logikai függvények

  1. Új anyagok elsajátítása (10 perc)
Keressük meg táblázatokban grafikusan az x 3 – sin x = 0 egyenlet gyökerét. Az argumentumértékeket – 1,4 és 1,4 között adjuk meg 0,2-es lépésekben

  1. Praktikus munka 51. szám (20 perc)
2) Táblázat segítségével grafikusan oldja meg a sin(x)=1/x egyenletet egy szegmensen 0,1 pontossággal

  1. Házi feladat(2 perc)
Készítsen egyenleteket grafikus megoldáshoz

  1. Óra összefoglalója (3 perc)

Tantárgy:

Felszerelés: számítógép osztály, projektor
Az órák alatt:

1) Táblázatok alkalmazása


  1. Cella címe.

  2. Alapvető táblázat-adattípusok.

  3. Szöveg táblázatokban.

  4. Képletek bevitele

  5. Relatív, abszolút és vegyes linkek.

  6. A beépített funkciók milyen kategóriáit ismeri?

  7. Mondjon példákat matematikai függvényekre!

  8. Logikai függvények

3. Új anyagok elsajátítása (10 perc)

Keressük meg a táblázatokban az x 3 – cos x = 0 egyenlet gyökerét a paraméterválasztás módszerével. Az argumentumértékeket – 1,4 és 1,4 között adjuk meg 0,2-es lépésekben
4. 51. sz. gyakorlati munka (20 perc)



2) Táblázat segítségével oldja meg a cos(x)=1/(x+1) egyenletet egy szegmensen 1-es pontossággal grafikusan és a paraméterválasztás módszerével.
5. Házi feladat (2 perc)

Készítsen egyenleteket a megoldáshoz grafikusan és egy paraméter kiválasztásával.


  1. Óra összefoglalója (3 perc)

Tantárgy: Egyenletek közelítő megoldása paraméterválasztási módszerrel.

Cél: az egyenletmegoldás készségének fejlesztése a paraméterkiválasztás módszerével.

Felszerelés: számítógép osztály, projektor
Az órák alatt:

1. Szervezési pillanat (2 perc)

2. Tudásfrissítés (8 perc)

1) Táblázatok alkalmazása

2) Határozzon meg egy táblázatot.


  1. Cella címe.

  2. Alapvető táblázat-adattípusok.

  3. Szöveg táblázatokban.

  4. Képletek bevitele

  5. Relatív, abszolút és vegyes linkek.

  6. A beépített funkciók milyen kategóriáit ismeri?

  7. Mondjon példákat matematikai függvényekre!

  8. Logikai függvények

3. 51. sz. gyakorlati munka (30 perc)

1) Keresse meg az x 2 = cos x egyenlet gyökerét táblázatokban a paraméterkiválasztás módszerével! Az argumentumértékeket – 3-tól 3-ig adjuk meg 0, 2-es lépésekben


  1. Oldja meg a sinx - 2x = 0 egyenletet a paraméterválasztás módszerével! Argumentumértékek -3-tól 3-ig 0,5-ös lépésekben
3) Táblázat segítségével oldja meg a sin(x)=1/ egyenletet
1-es pontosságú szegmensen grafikusan és a paraméterválasztás módszerével.
5. Házi feladat (2 perc)

Ha néhány fizikai mennyiség egy másik mennyiségtől függ, akkor ez a függés y at mérésével vizsgálható különböző jelentések x. A mérések eredményeként számos értéket kapunk:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Egy ilyen kísérlet adatai alapján elkészíthető az y = ƒ(x) függés grafikonja. A kapott görbe lehetővé teszi az ƒ(x) függvény alakjának megítélését. azonban állandó esélyek, amelyek ebben a függvényben szerepelnek, ismeretlenek maradnak. A módszer lehetővé teszi, hogy meghatározzuk őket legkisebb négyzetek. A kísérleti pontok általában nem fekszenek pontosan a görbén. A legkisebb négyzetek módszere megköveteli, hogy a kísérleti pontok görbétől való eltéréseinek négyzetösszege, i.e.

2 volt a legkisebb.

A gyakorlatban ezt a módszert leggyakrabban (és legegyszerűbben) lineáris kapcsolat esetén alkalmazzák, pl. Amikor y = kx vagy

y = a + bx. Lineáris függőség

nagyon elterjedt a fizikában. És még akkor is, ha a kapcsolat nemlineáris, általában megpróbálnak grafikont felépíteni, hogy egyenest kapjanak. Például, ha feltételezzük, hogy az n üveg törésmutatója a λ fényhullámhosszhoz kapcsolódik az n = a + b/λ 2 összefüggés alapján, akkor n λ -2-től való függését ábrázoljuk a grafikonon. A gyakorlatban ezt a módszert leggyakrabban (és legegyszerűbben) lineáris kapcsolat esetén alkalmazzák, pl. Amikor Vegye figyelembe a függőséget

(az origón áthaladó egyenes). Állítsuk össze a φ értéket pontjaink egyenestől való eltéréseinek négyzetösszegéből


A φ értéke mindig pozitív, és annál kisebbnek bizonyul, minél közelebb vannak pontjaink az egyeneshez. A legkisebb négyzetek módszere szerint k értékét úgy kell megválasztani, hogy φ-nek legyen minimuma
(19)

vagy

, (20)
A számítás azt mutatja, hogy a k értékének meghatározásánál a négyzetes közép hiba egyenlő

ahol n a mérések száma. Gondoljunk most egy kicsit bővebben kemény tok , amikor a pontoknak meg kell felelniük a képletnek y = a + bx

(egy egyenes, amely nem megy át az origón). A feladat egy x i , y i értékkészlet megkeresése legjobb értékek

a és b. Tegyük fel újra φ , másodfokú formaösszeggel egyenlő

x i, y i pontok négyzetes eltérései az egyenestől

;

.

.

és keresse meg a és b azon értékét, amelyre φ-nek van minimuma

(21)

Ezen egyenletek együttes megoldása adja

(23)

A és b meghatározásának négyzetes középhibája egyenlő

.  (24)

A mérési eredmények ezzel a módszerrel történő feldolgozásakor célszerű az összes adatot egy táblázatban összesíteni, amelyben a (19)(24) képletekben szereplő összes mennyiség előzetesen kiszámításra kerül. E táblázatok formáit az alábbi példákban adjuk meg. 1. példa Tanulmányoztam a dinamika alapegyenletétε = M/J (az origón áthaladó egyenes). Az M pillanat különböző értékeinél mérték szöggyorsulásε valamilyen test. Meg kell határozni ennek a testnek a tehetetlenségi nyomatékát. Az erőnyomaték és a szöggyorsulás mérési eredményeit a második és harmadik oszlop tartalmazza 5. táblázat.

5. táblázat
n M, N m ε, s -1 M 2 M ε ε - kM (ε - kM) 2
1 1.44 0.52 2.0736 0.7488 0.039432 0.001555
2 3.12 1.06 9.7344 3.3072 0.018768 0.000352
3 4.59 1.45 21.0681 6.6555 -0.08181 0.006693
4 5.90 1.92 34.81 11.328 -0.049 0.002401
5 7.45 2.56 55.5025 19.072 0.073725 0.005435
∑ – – 123.1886 41.1115 – 0.016436

A (19) képlet segítségével meghatározzuk:

.

A négyzetes hiba meghatározásához a (20) képletet használjuk.

0.005775kg-1 · m -2 .

A (18) képlet szerint megvan

; .

S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.

Miután beállítottuk a megbízhatóságot P = 0,95-re, a Student-együtthatók táblázatát használva n = 5-re, t = 2,78-at kapunk, és meghatározzuk az abszolút hibát ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m2.

Írjuk az eredményeket a következő formában:

J = (3,0 ± 0,2) kg m2;


2. példa Számítsuk ki a fémellenállás hőmérsékleti együtthatóját a legkisebb négyzetek módszerével. Az ellenállás lineárisan függ a hőmérséklettől

Rt = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

A szabad tag határozza meg az R 0 ellenállást 0° C hőmérsékleten, és lejtő munka hőmérsékleti együtthatóα az R 0 ellenálláshoz.

A mérések és számítások eredményeit a táblázat tartalmazza ( lásd a 6. táblázatot).

6. táblázat
n t°, s r, Ohm t-¯t (t-¯t) 2 (t-¯t)r r - bt - a (r - bt - a) 2 .10 -6
1 23 1.242 -62.8333 3948.028 -78.039 0.007673 58.8722
2 59 1.326 -26.8333 720.0278 -35.581 -0.00353 12.4959
3 84 1.386 -1.83333 3.361111 -2.541 -0.00965 93.1506
4 96 1.417 10.16667 103.3611 14.40617 -0.01039 107.898
5 120 1.512 34.16667 1167.361 51.66 0.021141 446.932
6 133 1.520 47.16667 2224.694 71.69333 -0.00524 27.4556
∑ 515 8.403 – 8166.833 21.5985 – 746.804
∑/n 85.83333 1.4005 – – – – –

A (21), (22) képletek segítségével meghatározzuk

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm.

Keressünk egy hibát az α definíciójában. Mivel , akkor a (18) képlet szerint:

.

A (23), (24) képletekkel megvan

;

0.014126 Ohm.

Miután a megbízhatóságot P = 0,95-re állítottuk, a Student-együtthatók táblázatát használva n = 6-ra, azt találjuk, hogy t = 2,57, és meghatározzuk az abszolút hibát: Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 fok -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 jégeső-1 P = 0,95-nél.


3. példa Meg kell határozni a lencse görbületi sugarát a Newton-gyűrűk segítségével. Megmértük a Newton-gyűrűk r m sugarát, és meghatároztuk ezeknek az m gyűrűknek a számát. A Newton-gyűrűk sugarai az R lencse görbületi sugarához és a gyűrűszámhoz kapcsolódnak az egyenlet alapján

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

ahol d 0 a lencse és a síkkal párhuzamos lemez közötti rés vastagsága (vagy a lencse deformációja),

λ a beeső fény hullámhossza.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

akkor az egyenlet alakot vesz fel , amikor a pontoknak meg kell felelniük a képletnek.

.

A mérések és számítások eredményei bekerülnek 7. táblázat.

7. táblázat
n x = m y = r 2, 10 -2 mm 2 m -¯ m (m -¯m) 2 (m -¯ m)y y - bx - a, 10 -4 (y - bx - a) 2 , 10 -6
1 1 6.101 -2.5 6.25 -0.152525 12.01 1.44229
2 2 11.834 -1.5 2.25 -0.17751 -9.6 0.930766
3 3 17.808 -0.5 0.25 -0.08904 -7.2 0.519086
4 4 23.814 0.5 0.25 0.11907 -1.6 0.0243955
5 5 29.812 1.5 2.25 0.44718 3.28 0.107646
6 6 35.760 2.5 6.25 0.894 3.12 0.0975819
∑ 21 125.129 – 17.5 1.041175 – 3.12176
∑/n 3.5 20.8548333 – – – – –

3.5. Legkisebb négyzet alakú módszer

Az első munkát, amely a legkisebb négyzetek módszerének alapjait fektette le, Legendre végezte 1805-ben. Az „Új módszerek az üstökösök pályáinak meghatározására” című cikkében ezt írta: „Miután a probléma minden feltételét maradéktalanul felhasználtuk, úgy kell meghatározni az együtthatókat, hogy hibáik nagysága a lehető legkisebb legyen. Ennek legegyszerűbb módja a négyzetes hibák minimális összegének megállapítása. Jelenleg a módszert nagyon széles körben alkalmazzák számos kísérleti minta által meghatározott ismeretlen funkcionális függőségek közelítésére, hogy a legjobban közelítő analitikai kifejezést kapjunk. egy teljes körű kísérlethez.

Legyen egy kísérlet alapján szükséges a mennyiség funkcionális függésének megállapítása y x-től : Tegyük fel, hogy a kísérlet eredményeként megkaptuknértékeket yaz argumentum megfelelő értékeihezx. Ha a kísérleti pontok az ábrán látható módon a koordinátasíkon helyezkednek el, akkor annak ismeretében, hogy a kísérlet során hibák fordulnak elő, feltételezhetjük, hogy a függés lineáris, azaz.y= fejsze+ bMegjegyzendő, hogy a metódus nem szab korlátozást a függvény típusára vonatkozóan, pl. bármely funkcionális függőségre alkalmazható.

A kísérletező szemszögéből sokszor természetesebb, hogy a mintavétel sorrendjét tekintjükelőre rögzített, i.e. egy független változó, és számít - függő változó Ez különösen egyértelmű, ha alatt időpillanatokat értünk, amelyeket a legszélesebb körben alkalmaznak a műszaki alkalmazásokban, de ez csak egy nagyon gyakori speciális eset. Például szükség van egyes minták méret szerinti osztályozására. Ekkor a független változó a mintaszám, a függő változó pedig az egyedi mérete lesz.

A legkisebb négyzetek módszerét számos oktatási és tudományos publikáció részletesen leírja, különösen az elektro- és rádiótechnikai függvények közelítésével kapcsolatban, valamint a valószínűségszámításról és a matematikai statisztikáról szóló könyvekben.

Térjünk vissza a rajzhoz. A szaggatott vonalak azt mutatják, hogy nem csak a mérési eljárások tökéletlensége, hanem a független változó megadásának pontatlansága is okozhatja a kiválasztott függvénytípust Nincs más hátra, mint a benne szereplő paraméterek kiválasztásaaÉs bNyilvánvaló, hogy a paraméterek száma kettőnél több is lehet, ami csak a lineáris függvényekre jellemző. Általános nézetúgy gondoljuk

.(1)

Ki kell választani az esélyeketa, b, c... hogy a feltétel teljesüljön

. (2)

Keressük az értékeket a, b, c..., konvertálás bal oldal(2) minimálisra. Ennek érdekében meghatározzuk álló pontok(pontok, ahol az első derivált eltűnik) a (2) bal oldalának megkülönböztetésévela, b, c:

(3)

stb. Az így kapott egyenletrendszer annyi egyenletet tartalmaz, ahány ismeretlenta, b, c…. Egy ilyen rendszert nem lehet általános formában megoldani, ezért legalább hozzávetőlegesen meg kell határozni egy konkrét függvénytípust. Ezután két esetet vizsgálunk: a lineáris és a másodfokú függvényeket.

Lineáris függvény .

Tekintsük a különbségek négyzetes összegét kísérleti értékekés függvényértékek a megfelelő pontokban:

(4)

Válasszuk ki a paramétereketaÉs bhogy ennek az összegnek legyen a legkisebb értéke. Így a feladat az értékek megtalálásaaÉs b, amelynél a függvénynek van minimuma, azaz két független változó függvényének tanulmányozásáraaÉs bminimumra. Ennek érdekében megkülönböztetünkaÉs b:

;

.


Vagy

(5)

A és a kísérleti adatokat behelyettesítve kettős rendszert kapunk lineáris egyenletek két ismeretlennelaÉs b. A rendszer megoldása után felírhatjuk a függvényt.

Győződjünk meg erről a talált értékekrőlaÉs bminimuma van. Ehhez megtaláljuk a , és a következőket:

, , .

Ennélfogva,

− = ,

>0,

azok. két változó függvényének elégséges minimális feltétele teljesül.

Másodfokú függvény .

Kapja meg a kísérlet a függvény értékeit pontokban. Legyen az a priori információk alapján egy olyan feltételezés is, hogy a függvény másodfokú:

.

Meg kell találnunk az együtthatókata, bÉs c.Nekünk van

– három változó függvényea, b, c.

Ebben az esetben a (3) rendszer a következőképpen alakul:

Vagy:

Ennek a lineáris egyenletrendszernek a megoldása után meghatározzuk az ismeretleneketa, b, c.

Példa.Kapjuk meg a kísérlet alapján a kívánt függvény négy értékét y = (x ) az argumentum négy értékével, amelyeket a táblázatban adunk meg:



Előző cikk: Következő cikk:

© 2015 .
Az oldalról | Kapcsolatok | Oldaltérkép