A számok előállításáról. Kifejezések és szimbólumok

Sok probléma „maximum és minimum” megoldására, pl. hogy megtaláljuk a legnagyobb és legalacsonyabb értékek változó, sikeresen használhat néhány algebrai állítást, amelyekkel most megismerkedünk.

x y

Vegye figyelembe a következő problémát:

Milyen két részre kell osztani? adott szám hogy a termékük a legnagyobb legyen?

Legyen a megadott számA. Ezután azokat a részeket, amelyekre a szám fel van osztvaA, jelölhető

a/2 + x És a/2 - x;

szám X megmutatja, hogy ezek a részek mennyiben térnek el a szám felétől A. Mindkét oldal szorzata egyenlő

(a/2 + x) · ( a/2 - x) = a 2/4 - x 2.

Nyilvánvaló, hogy a kivett részek szorzata nőni fog, ahogy a X, azaz ahogy e részek közötti különbség csökken. Legnagyobb termékórakor lesz x = 0, azaz abban az esetben, ha mindkét oldal egyenlő a/2.

Így,

két állandó összegű szám szorzata akkor lesz a legnagyobb, ha ezek a számok egyenlőek egymással.

x y z

Tekintsük ugyanazt a kérdést három számra.

Melyik három részre kell osztani ezt a számot, hogy a szorzatuk a legnagyobb legyen?

A probléma megoldása során az előzőre támaszkodunk.

Legyen a szám A három részre osztva. Először tegyük fel, hogy egyik rész sem egyenlő a/3.Akkor lesz köztük egy rész, egy nagy a/3(mindhárom nem lehet kevesebb a/3); jelöljük azzal

a/3+x.

Ugyanígy lesz köztük kisebb rész is a/3; jelöljük azzal

a/3 - y.

Számok XÉs at pozitívak. A harmadik rész nyilván egyenlő lesz

a/3 + y - x.

Számok a/3És a/3 + x - yösszege megegyezik a szám első két részével A, és a köztük lévő különbség, i.e. x - y, kisebb, mint az első két rész közötti különbség, ami egyenlő volt x + y. Mint az előző probléma megoldásából tudjuk, ebből az következik, hogy a termék

a/3 · ( a/3 + x - y)

nagyobb, mint a szám első két részének szorzata A.

Tehát, ha egy szám első két része A cserélje ki számokra

a/3És a/3 + x - y,

és hagyja változatlanul a harmadikat, akkor a termék növekszik.

Legyen most az egyik rész már egyenlő a/3. Akkor a másik kettőnek megvan a formája

a/3+zÉs a/3 - z.

Ha ezt az utolsó két részt egyenlővé tesszük a/3 (ezért az összegük nem változik), akkor a szorzat ismét nő és egyenlő lesz

a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .

Így,

ha az a számot 3 egymással nem egyenlő részre osztjuk, akkor ezen részek szorzata kisebb, mint a 3/27, azaz. mint három egyenlő tényező szorzata, amelyek összeadják a.

Hasonló módon bizonyíthatja ezt a tételt négy tényezőre, ötre stb.

x p · y q

Nézzünk most egy általánosabb esetet.

Milyen x és y értékei esetén a legnagyobb az x p y q kifejezés, ha x + y = a?

Meg kell találnunk, hogy x melyik értékénél a kifejezés

x p ·(a - x) q

eléri legnagyobb érték.

Szorozzuk meg ezt a kifejezést a számmal 1/р p q q. Vegyünk egy új kifejezést

x p / p p · (fejsze ) q / q q,

amely nyilvánvalóan a kezdetivel egy időben éri el legnagyobb értékét.

Mutassuk be a most kapott kifejezést a formában

(fejsze) /q (fejsze) /q · ... · (fejsze) /q ,

ahol az első típus tényezői ismétlődnek p egyszer és kétszer - q egyszer.

A kifejezés összes tényezőjének összege egyenlő

x / p + x / p + ... + x / p + (fejsze) /q+ (fejsze) /q + ... + (fejsze) /q =

= px / p + q (fejsze) / q = x + a - x = a ,

azok. állandó érték.

A korábban bizonyított adatok alapján arra a következtetésre jutottunk, hogy a termék

x/p · x/p · ... · x/p · (fejsze) /q (fejsze) /q · ... · (fejsze) /q

akkor ér el maximumot, ha minden egyedi tényezője egyenlő, pl. Amikor

x/p= (fejsze) /q.

Ennek tudatában a - x = y, a kifejezések átrendezésével megkapjuk az arányt

x / y = p / q.

Így,

az x p y q szorzat az x + y állandó összeggel akkor éri el legnagyobb értékét, amikor

x: y = p: q .

Ugyanígy bizonyítható az is

művek

x p y q z r, x p y q z r t u stb.

állandó mennyiségekkel x + y + z, x + y + z + t stb. akkor érik el legnagyobb értéküket

x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u stb.

Azonos kifejezések. Például az 5*3 jelölés azt jelenti, hogy „adjunk hozzá 5-öt önmagával háromszor”, vagyis egyszerűen rövid jegyzet 5+5+5-ért. A szorzás eredményét ún munka, és a szorzás alatt álló számok szorzók vagy tényezőket. Vannak szorzótáblák is.

Rekord

A szorzást csillag *, kereszt vagy pont jelzi. Hozzászólások

ugyanazt jelenti. A szorzójelet gyakran kihagyják, hacsak nem okoz zavart. Például a szokásos helyett azt írják, hogy .

Ha sok tényező van, akkor ezek egy része ellipszisekkel helyettesíthető. Például az 1-től 100-ig terjedő egész számok szorzata így írható fel

Betűrendben a termék szimbólumot is használják:

Lásd még

Wikimédia Alapítvány.

2010.

Nézze meg, mi a „Termék (matematika)” más szótárakban: - (matematika) a szorzás eredménye. Műalkotás. Zenés darab

. Audiovizuális munka. Szerviz munka... Wikipédia Két vagy több objektum szorzata a kategóriaelméletben olyan fogalmak általánosítása, mint pl Descartes termék készletek, csoportok és a topológiai terek szorzata. Egy objektumcsalád terméke megtalálható a... ... Wikipédiában

A Kronecker-szorzat egy bináris művelet tetszőleges méretű mátrixokon, amelyeket a jelöl. Az eredmény egy blokkmátrix. A Kronecker termékét nem szabad összetéveszteni közönséges szorzás mátrixok A művelet a német... ... Wikipédia nevéhez fűződik

Tudománytörténet Téma szerint Matematika Természettudományok... Wikipédia

I. A matematika tantárgy meghatározása, kapcsolat más tudományokkal és technikával. Matematika (görögül mathematike, máthema szóból tudás, tudomány), a való világ mennyiségi viszonyainak és térbeli formáinak tudománya. "Tiszta... Nagy szovjet enciklopédia

A kategóriaelmélet a matematikának egy olyan ága, amely a matematikai objektumok közötti kapcsolatok tulajdonságait vizsgálja, amelyek nem függenek belső szerkezet tárgyakat. Egyes matematikusok [kik?] a kategóriaelméletet túl elvontnak és alkalmatlannak tartják a... ... Wikipédia számára

Vektor Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd: Vektor ... Wikipédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd a funkciót. A „Megjelenítés” kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is... Wikipédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd: Művelet. Olyan leképezési művelet, amely egy halmaz egy vagy több elemét (argumentumát) egy másik elemhez (értékhez) rendeli. A „művelet” kifejezést általában a... ... Wikipédiára használják

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Rotor. Rotor, vagy vektorörvény differenciál operátor felett vektor mező. Megjelölve (az orosz nyelvű irodalomban) vagy (in angol irodalom), és hogyan vektor szorzás... Wikipédia

Könyvek

• Állítsa be a táblázatokat. Matematika. 4. osztály. 8 táblázat + módszertan, . Oktatóalbum 8 lapból (formátum 68 x 98 cm): - Megosztások. - Szám szorzása és osztása szorzattal. - Mennyiségek összeadása és kivonása. - Mennyiségek szorzása és osztása. - Írásbeli szorzás on...
• Kirik Novgorodets - a 12. század orosz tudósa az orosz könyvkultúrában, Simonov R.A.. A könyvet az első név szerint ismert orosz matematikus és naptárspecialista, Kirik novgorodi szerzetes (1110 - 1156 után) életének és munkásságának szentelte. tudományos értekezést írt 1136-ban, ...

Nézzük meg a szorzás fogalmát egy példa segítségével:

A turisták három napig voltak úton. Minden nap ugyanazt a 4200 m-es utat járták be Mekkora utat tettek meg három nap alatt? Oldja meg a problémát kétféleképpen.

Megoldás:
Tekintsük részletesen a problémát.

Az első napon 4200 métert gyalogoltak a turisták. A második napon a turisták 4200 métert, a harmadik napon pedig 4200 métert sétáltak ugyanazt az utat. Írjuk le matematikai nyelven:
4200+4200+4200=12600m.
Látjuk, hogy a 4200-as szám mintája háromszor ismétlődik, ezért az összeg szorzással helyettesíthető:
4200⋅3=12600m.
Válasz: a turisták három nap alatt 12 600 métert gyalogoltak.

Nézzünk egy példát:

Hogy ne írjunk hosszú bejegyzést, írhatjuk szorzás formájában is. A 2-es szám 11-szer ismétlődik, tehát egy példa a szorzásra így néz ki:
2⋅11=22

Foglaljuk össze. Mi a szorzás?

Szorzás– ez egy olyan cselekvés, amely a kifejezés m n-szeres ismétlését helyettesíti.

Az m⋅n jelölést és ennek a kifejezésnek az eredményét nevezzük számok szorzata, és az m és n számokat hívjuk szorzók.

Nézzük ezt egy példával:
7⋅12=84
A 7⋅12 kifejezést és a 84 eredményt hívjuk számok szorzata.
A 7-es és 12-es számokat hívják szorzók.

A matematikában több szorzási törvény is létezik. Nézzük őket:

A szorzás kommutatív törvénye.

Nézzük a problémát:

5 barátunknak adtunk két almát. Matematikailag a bejegyzés így fog kinézni: 2⋅5.
Vagy adtunk 5 almát két barátunknak. Matematikailag a bejegyzés így fog kinézni: 5⋅2.
Az első és a második esetben 10 darabnak megfelelő számú almát osztunk ki.

Ha megszorozzuk 2⋅5=10 és 5⋅2=10, az eredmény nem változik.

A kommutatív szorzási törvény tulajdonsága:
A tényezők helyének megváltoztatása nem változtatja meg a terméket.
m⋅ n=n⋅m

A szorzás kombinatív törvénye.

Nézzünk egy példát:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 vagy 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 kapjuk,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ b) ⋅ c= a⋅(b⋅ c)

Az asszociatív szorzási törvény tulajdonsága:
Ha egy számot meg szeretne szorozni két szám szorzatával, először megszorozhatja az első tényezővel, majd a kapott szorzatot a másodikkal.

Ha több tényezőt felcserél, és zárójelbe tesz, az eredmény vagy a termék nem változik.

Ezek a törvények mindenre igazak természetes számok.

Bármely természetes szám megszorzása eggyel.

Nézzünk egy példát:
7⋅1=7 vagy 1⋅7=7
a⋅1=a vagy 1⋅a= a
Ha bármely természetes számot megszorozunk eggyel, a szorzat mindig ugyanaz lesz.

Bármely természetes szám szorzata nullával.

6⋅0=0 vagy 0⋅6=0
a⋅0=0 vagy 0⋅a=0
Ha bármely természetes számot megszorozunk nullával, a szorzat nullával lesz egyenlő.

Kérdések a „Szorzás” témához:

Mi a számok szorzata?
Válasz: a számok vagy a számok szorzata az m⋅n kifejezés, ahol m egy tag, n pedig ennek a tagnak az ismétlődéseinek száma.

Mire használják a szorzást?
Válasz: azért, hogy ne hosszú összeadást írjunk, hanem rövidítve. Például 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Mi a szorzás eredménye?
Válasz: a mű értelme.

Mit jelent a 3⋅5 szorzás?
Válasz: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Ha megszorozzuk a milliót nullával, mi a szorzat?
Válasz: 0

1. példa:
Cserélje ki az összeget a következő szorzattal: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Válasz: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

2. példa:
Írd le szorzatként: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Megoldás:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

1. feladat:
Anya vett 3 doboz csokit. Minden doboz 8 db cukorkát tartalmaz. Hány cukorkát vett anya?
Megoldás:
Egy dobozban 8 cukorka van, nálunk 3 ilyen doboz van.
8+8+8=8⋅3=24 cukorka
Válasz: 24 cukorka.

2. feladat:
A rajztanár azt mondta nyolc diákjának, hogy készítsenek hét ceruzát minden leckére. Hány ceruza volt összesen a gyerekeknek?
Megoldás:
Összefoglalhatja a problémát. Az első tanulónak 7 ceruzája volt, a másodiknak 7 ceruzája stb.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
A felvétel kényelmetlenre és hosszúra sikeredett, cseréljük ki az összeget a termékre.
7⋅8=56
A válasz 56 ceruza.

Ha koncertterem 3 csillár világítja meg, egyenként 25 izzóval, akkor ezekben a csillárokban az izzók teljes száma 25 + 25 + 25, azaz 75 lesz.

Azt az összeget, amelyben minden tag egyenlő egymással, rövidebben írjuk: 25 + 25 + 25 helyett 25 3-at írunk. Ez azt jelenti, hogy 25 3 = 75 (43. ábra). A 75-ös számot hívják munka a 25-ös és 3-as számokat, valamint a 25-ös és 3-as számokat hívják szorzók.

Rizs. 43. 25. és 3. szám szorzata

Egy m szám n természetes számmal való szorzata azt jelenti, hogy meg kell találni n tag összegét, amelyek mindegyike egyenlő m-rel.

Az m n kifejezést és ennek a kifejezésnek az értékét nevezzük munka számokmÉsn. A szorzott számokat hívják szorzók. Azok. m és n tényezők.

A 7 4 és 4 7 szorzatok megegyeznek a 28-as számmal (44. ábra).

Rizs. 44. 7 4. termék = 4 7

1. Két szám szorzata nem változik, ha a tényezőket átrendezzük.

kommutatív

a × b = b × a .

Az (5 3) 2 = 15 2 és az 5 (3 2) = 5 6 szorzatok értéke azonos 30. Ez azt jelenti, hogy 5 (3 2) = (5 3) 2 (45. ábra).

Rizs. 45. Termék (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Ha egy számot meg szeretne szorozni két szám szorzatával, először megszorozhatja az első tényezővel, majd a kapott szorzatot a második tényezővel.

A szorzásnak ezt a tulajdonságát ún asszociációs. Betűkkel a következőképpen írják:

A (bc) = (abVel).

n tag összege, amelyek mindegyike 1, egyenlő n-nel. Ezért az 1 n = n egyenlőség igaz.

n tag összege, amelyek mindegyike egyenlő nullával, egyenlő nullával. Ezért a 0 n = 0 egyenlőség igaz.

Ahhoz, hogy a szorzás kommutatív tulajdonsága igaz legyen n = 1 és n = 0 esetén, megegyezünk, hogy m 1 = m és m 0 = 0.

A szorzójelet általában nem írják az alfabetikus tényezők elé: 8 helyett Xírj 8 X, helyett Abírj Ab.

A szorzójelet is kihagyjuk a zárójelek előtt. Például 2 helyett ( egy +b) írjon 2 (a+b) , és helyett ( X+ 2) (y + 3) írja (x + 2) (y + 3).

Ahelyett, hogy ( ab) írással ABC.

Ha a szorzatjelölésben nincs zárójel, a szorzás balról jobbra haladva történik.

A művek elolvasásra kerülnek, az egyes tényezőket megnevezve genitivus eset. Például:

1) 175 60 százhetvenöt hatvan szorzata;

2) 80 (X+ 1 7) – fordulatszám szorzata. r.p.

nyolcvan és x és tizenhét összege

Oldjuk meg a problémát.

Hány háromjegyű szám (46. ábra) készíthető a 2, 4, 6, 8 számokból, ha a számban szereplő számok nem ismétlődnek?

Megoldás.

Egy szám első számjegye bármelyik lehet négy adott számok, a második – bármelyik három mások, a harmadik pedig bármelyik két a maradékokat. Kiderül:

Rizs. 46. ​​A háromjegyű számok összeállításának problémájához

Összességében ezekből a számokból 4 3 2 = 24 lehet háromjegyű számok.

Oldjuk meg a problémát.

A társaság igazgatósága 5 főből áll. A testületnek tagjai közül elnököt és alelnököt kell választania. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?

Megoldás.

A társaság elnökévé 5 fő közül egy választható meg:

Elnök:

Az elnök megválasztása után a fennmaradó négy igazgatósági tag bármelyike ​​választható alelnöknek (47. ábra):

Rizs. 47. A választási problémáról

Ez azt jelenti, hogy ötféleképpen lehet elnököt kiválasztani, és minden egyes megválasztott elnök esetében négyféleképpen lehet kiválasztani egy alelnököt. Ezért, teljes szám A vállalat elnökének és alelnökének megválasztásának módjai a következők: 5 4 = 20 (lásd 47. ábra).

Oldjunk meg egy másik problémát.

Négy út vezet Anikeevo faluból Bolshovo faluba, és három út vezet Bolshovo faluból Vinogradovo faluba (48. ábra). Hányféleképpen juthat el Anikejevből Vinogradovoba Bolsevo falun keresztül?

Rizs. 48. Az utak problémájáról

Megoldás.

Ha A-ból B-be az 1-es úton jut el, akkor háromféleképpen folytathatja az utat (49. ábra).

Rizs. 49. Útvonal opciók

Ugyanígy érvelve három utat kapunk az utazás folytatásához, a 2., 3. és 4. úton indulva. Ez azt jelenti, hogy összesen 4 3 = 12 módon lehet eljutni Anikeevből Vinogradovba.

Oldjunk meg még egy problémát.

A nagymama, apa, anya, lánya és fia családja 5 különböző poharat kapott. Hányféleképpen oszthatók fel a poharak a családtagok között?

Megoldás. Az első családtagnak (például nagymama) 5, a következőnek (legyen apa) 4 választási lehetősége van. A következő (például anya) 3 csészéből választ, a következő kettőt, az utolsó pedig egy maradék csészét kap. Mutassuk meg ezeket a módszereket az ábrán (50. ábra).

Rizs. 50. A probléma megoldásának sémája

Azt találtuk, hogy a nagymama minden egyes csészeválasztásához az apa négy lehetséges választása felel meg, pl. csak 54 módon. Miután apa kiválasztott egy poharat, anyának három választása van, lányának kettő, fiának egy, azaz. csak 3 2 1 módon. Végül azt találjuk, hogy a probléma megoldásához meg kell találnunk a terméket 5 4 3 2 1.

Megjegyezzük, hogy megkaptuk az összes természetes szám 1-től 5-ig szorzatát. Az ilyen szorzatokat rövidebben írjuk le:

5 4 3 2 1 = 5! (értsd: „öt faktoriális”).

Egy szám faktoriális– az összes természetes szám szorzata 1-től erre a számra.

Tehát a válasz a problémára: 5! = 120, azaz A poharakat százhúsz módon oszthatjuk szét a családtagok között.

- (termék) Szorzás eredménye. számok szorzata, algebrai kifejezések, vektorok vagy mátrixok; mutatható ponttal, ferde kereszttel, vagy egyszerűen egymás után egymás után felírva, pl. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Közgazdasági szótár

Az egész számok tudománya. Az egész szám fogalma (lásd a számot), valamint a számokkal végzett aritmetikai műveletek ősidők óta ismertek, és az egyik első matematikai absztrakció. Különleges hely az egész számok között, azaz a számok..., 3... Nagy szovjet enciklopédia

Főnév, s., használt. gyakran Morfológia: (nem) mi? működik, miért? munka, (lásd) mit? minek a munkája? munka, miről? a munkáról; pl. Mi? működik, (nem) mi? működik, miért? működik, (látom) mi? működik,...... Szótár Dmitrieva

Mátrix matematikai objektum, űrlapba írva téglalap alakú asztal számok (vagy gyűrűelemek) és algebrai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás stb.) engedélyezése közte és más hasonló objektumok között. A végrehajtás szabályai... ... Wikipédia

Az aritmetikában a szorzást az azonos tagok összegének rövid jelöléseként értjük. Például az 5*3 jelölés azt jelenti, hogy „5-öt 3-szor hozzá kell adni önmagához”, vagyis egyszerűen az 5+5+5 rövid jelölése. A szorzás eredményét szorzatnak nevezzük, és ... ... Wikipédia

A számelmélet ága, melynek fő feladata az egész mezők tulajdonságainak tanulmányozása algebrai számok véges fok egy mező felett racionális számok. Egy n fokú mező K kiterjesztési mezőjében lévő összes egész szám beszerezhető a... ... Matematikai Enciklopédia

A számelmélet vagy a magasabb aritmetika a matematikának egy olyan ága, amely egész számokat és hasonló objektumokat vizsgál. Számelméletben tág értelemben algebrai és transzcendentális számok, valamint különböző eredetű funkciók, amelyek... ... Wikipédia

A számelmélet egyik ága, amelyben az eloszlási mintákat tanulmányozzák prímszámok(p.h.) a természetes számok között. A központi probléma a legjobb aszimptotikus megoldás. kifejezések a p(x) függvényre, amelyek a p.p számát nem haladják meg az x-et, a... ... Matematikai Enciklopédia

- (V külföldi irodalom skaláris szorzat, pontszorzat, belső szorzat) művelet két vektoron, amelynek eredménye egy olyan szám (skalár), amely nem függ a koordináta-rendszertől, és jellemzi a faktorvektorok hosszát és a ... .. közötti szöget. Wikipédia

Egy K mező feletti L vektortéren definiált szimmetrikus hermitikus forma, amelyet általában e tér definíciójának szerves részének tekintenek, így a tér (a tér típusától és a belső ... Wikipédia tulajdonságaitól függően

Könyvek

• Matematikai feladatgyűjtemény, Bachurin V.. A könyvben tárgyalt matematikai kérdések teljes mértékben megfelelnek a három program bármelyikének tartalmának: iskola, előkészítő tagozat, felvételi vizsgák. És bár ezt a könyvet úgy hívják...
• Élő anyag. Élő és evolúciós folyamatok fizikája, Yashin A.A.. Ez a monográfia a szerző elmúlt néhány év kutatásait foglalja össze. Kísérleti eredmények a könyvben bemutatott Tula szerezte be tudományos iskola terepi biofizika és...