Egy vonallal határolt alak, keresse meg a forgástest térfogatát. Lapos alak területe

lapos alak a tengely körül

3. példa

Adott egy lapos alak vonalak határolják , , .

1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak.

2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!

Figyelem! Még akkor is, ha csak a második pontot akarja elolvasni, először Szükségszerűen olvasd el az elsőt!

Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.

1) Készítsünk egy rajzot:

Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát adja meg, a függvény pedig a parabola alsó ágát. Egy triviális parabola áll előttünk, amely „az oldalán fekszik”.

A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.

Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható „normál” módon. Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található:

- a szegmensen ;

- a szegmensen.

Ezért:

Van egy racionálisabb megoldás is: ez abból áll, hogy költözünk inverz függvényekés a tengely mentén történő integráció.

Hogyan juthatunk el inverz függvényekhez? Nagyjából az „x”-t „y”-n keresztül kell kifejeznie. Először is nézzük a parabolát:

Ez elég, de ügyeljünk arra, hogy ugyanaz a függvény származtatható legyen az alsó ágból:

Egyenes vonallal egyszerűbb:

Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ebben az esetben a szakaszon az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: . Mi változott a képletben? Csak egy levél és semmi több.

! jegyzet : Tengelyintegrációs határok el kell helyezniszigorúan alulról felfelé !

A terület megkeresése:

A szegmensben tehát:

Kérem, vegye figyelembe, hogyan végeztem az integrációt, ez a legtöbb racionális módon, és a feladat következő bekezdéséből kiderül, hogy miért.

Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok:

Az eredeti integrandus függvényt kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történt.

Válasz:

2) Számítsa ki a test térfogatát, forgással képződik egy adott ábra tengelye körül.

A rajzot átrajzolom egy kicsit más kivitelben:

Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy „lebegő pillangó”, amely a tengelye körül forog.

A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először az inverz függvényekre kell mennünk. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.

Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvaló, hogy a forgótest térfogatát a térfogatkülönbségként kell keresni.

A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet -vel.

Forgasd el a bekarikázott ábrát zöld, a tengely körül, és a kapott forgástest térfogatával jelöljük.

Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.

A forradalomtest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:

Mi a különbség az előző bekezdésben szereplő képlettől? Csak a levélben.

De az integráció előnye, amelyről nemrégiben beszéltem, sokkal könnyebben megtalálható , ahelyett, hogy először a 4. hatványra emelnénk az integrandust.

Válasz:

Vegye figyelembe, hogy ha ugyanazt a lapos alakot elforgatjuk a tengely körül, akkor természetesen teljesen más forgástestet kapunk, eltérő hangerővel.

7. példa

Számítsa ki a görbék és görbék által határolt alak tengelye körüli elforgatással létrejövő test térfogatát.

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Útközben még néhány függvény grafikonjával ismerkedünk. Mint ez érdekes grafikon páros funkció ….

Egy forradalmi test térfogatának meghatározásához elegendő az ábra jobb felét használni, amelyet kékre árnyékoltam. Mindkét függvény páros, grafikonjaik szimmetrikusak a tengelyre, az ábránk pedig szimmetrikus. Így árnyékolva jobb rész, a tengely körül forgó, minden bizonnyal egybeesik a bal oldali sraffozás nélküli résszel.

Integrálok segítségével keressük meg a forgástestek térfogatát

A matematika gyakorlati hasznossága annak köszönhető, hogy anélkül

konkrét matematikai ismeretek megnehezítik az eszköz és a használat elveinek megértését modern technológia. Életében minden embernek meglehetősen összetett számításokat kell végeznie, általánosan használt berendezéseket kell használnia, kézikönyvekben kell keresnie, használnia szükséges képletek, készítsen egyszerű algoritmusokat a problémák megoldására. BAN BEN modern társadalom egyre több szakterületet igényel magas szint az oktatás a matematika közvetlen alkalmazásához kapcsolódik. Így egy iskolás számára a matematika szakma lesz jelentős téma. Az algoritmikus gondolkodás kialakításában a matematikának a vezető szerepe, fejleszti a cselekvési képességet. adott algoritmusés új algoritmusokat tervezni.

A forradalomtestek térfogatának kiszámításához az integrál használatával kapcsolatos téma tanulmányozása során felkérem a hallgatókat tanórán kívüli tevékenységek fontolja meg a témát: „Forradalomtestek térfogatai integrálok használatával”. Az alábbiakban módszertani ajánlásokat olvashat a téma megvitatásához:

1. Lapos figura területe.

Az algebratanfolyamból tudjuk, hogy a fogalom határozott integrál gyakorlati problémákat adott..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Megtalálni a forgással képzett forgástest térfogatát ívelt trapéz az Ox tengely körül, amelyet az y=f(x) szaggatott vonal, az Ox tengely, az x=a és x=b egyenesek határolnak, a képlet segítségével számítjuk ki

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Hengertérfogat.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">A kúpot forgatással kapjuk meg derékszögű háromszög ABC(C=90) az Ox tengely körül, amelyen az AC láb fekszik.

Az AB szakasz az y=kx+c egyenesen fekszik, ahol https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Legyen a=0, b=H (H a kúp magassága), majd Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Csonkakúp térfogata.

Forgatással csonka kúpot kaphatunk téglalap alakú trapéz ABCD (CDOx) az Ox tengely körül.

Az AB szakasz az y=kx+c egyenesen fekszik, ahol , c=r.

Mivel az egyenes átmegy az A ponton (0;r).

Így az egyenes így néz ki: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Legyen a=0, b=H (H a csonka kúp magassága), majd https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. A labda hangereje.

A labdát úgy kaphatjuk meg, hogy egy (0;0) középpontú kört forgatunk az Ox tengelye körül. Az Ox tengely felett elhelyezkedő félkört az egyenlet adja meg

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Forgástestek térfogatai. Előtanulmányozás G. M. Fikhtengolts tankönyvével fejezet XII, 197., 198. bekezdés* Elemezze részletesen a 198. bekezdésben szereplő példákat.

508. Számítsa ki egy ellipszis Ox tengely körüli forgatásával létrejövő test térfogatát!

És így,

530. Határozza meg az y = sin x szinuszos ív Ox tengelye körüli forgatás által képzett felületét az X = 0 pontból az X = It pontba.

531. Számítsa ki egy h magasságú és r sugarú kúp felületét!

532. Számítsa ki a képződött felületet!

az astroid x3 -)- y* - a3 forgása az Ox tengely körül.

533. Számítsa ki a görbe hurkának 18 ug - x (6 - x) z Ox tengely körüli elforgatásával keletkező felületet!

534. Határozza meg a tórusz felületét, amelyet az X2 - j - (y-3)2 = 4 kör Ox tengely körüli elforgatása eredményez.

535. Számítsa ki az X = költség, y = asint az Ox tengely körüli kör forgásával képzett felületet!

536. Számítsa ki az x = 9t2, y = St - 9t3 görbe hurkának az Ox tengely körüli elforgatásával kialakuló felületet!

537. Határozza meg az x = e*sint, y = el költség görbe ívének Ox tengely körüli elforgatásával képzett felületet

t = 0-tól t = —-ig.

538. Mutassuk meg, hogy az x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) cikloid ív Oy tengely körüli forgásával keletkező felület egyenlő 16 u2 o2-vel.

539. Határozza meg a kardioid poláris tengely körüli elforgatásával kapott felületet!

540. Határozza meg a lemniszkátus forgása által alkotott felületet! A sarki tengely körül.

További feladatok a IV

Síkfigurák területei

541. Keresse meg a görbe által határolt régió teljes területét És az Ox tengely.

542. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És az Ox tengely.

543. Keresse meg a régió területének azt a részét, amely az első kvadránsban található, és amelyet a görbe határol

l koordinátatengelyek.

544. Keresse meg a benne lévő régió területét

hurkok:

545. Keresse meg a görbe egy hurok által határolt terület területét:

546. Keresse meg a hurkon belüli régió területét:

547. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És az Ox tengely.

548. Keresse meg a görbe által határolt terület területét

És az Ox tengely.

549. Keresse meg az Oxr tengely által határolt terület területét

egyenes és görbe

Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát egy határozott integrál segítségével?

kívül egy síkfigura területének meghatározása egy határozott integrál segítségével a téma legfontosabb alkalmazása az egy forgástest térfogatának kiszámítása. Az anyag egyszerű, de az olvasónak fel kell készülnie: meg kell tudni oldani határozatlan integrálok közepes bonyolultságú, és alkalmazza a Newton-Leibniz formulát határozott integrál . A terület megtalálásának problémájához hasonlóan magabiztos rajzkészségre van szükség - ez szinte a legfontosabb (mivel maguk az integrálok gyakran könnyűek). Hozzáértő és gyors térképezési technikákat sajátíthat el módszertani anyag segítségével . De valójában az órán már többször beszéltem a rajzok fontosságáról. .

Általában be integrálszámítás sok érdekes alkalmazás létezik egy határozott integrál segítségével, kiszámíthatja az ábra területét, a forgástest térfogatát, az ív hosszát, a test felületét és még sok mást. Szóval jó móka lesz, légy optimista!

Képzeljünk el valami lapos alakot a koordinátasíkon. Bemutatott? ... Vajon ki mit mutatott be... =))) A területét már megtaláltuk. De emellett ez az ábra is elforgatható és kétféleképpen forgatható:

– az x tengely körül; – az ordináta tengely körül.

Ez a cikk mindkét esetet megvizsgálja. A második forgatási mód különösen érdekes, de valójában a megoldás szinte ugyanaz, mint az elterjedtebb x tengely körüli forgatásnál. Bónuszként visszatérek az ábra területének megtalálásának problémája , és elmondom, hogyan találja meg a területet a második módon - a tengely mentén. Ez nem annyira bónusz, mint az anyag jól illeszkedik a témához.

Kezdjük a legnépszerűbb forgatási típussal.

1. példa

Számítsa ki egy test térfogatát, amelyet egy vonallal határolt alak tengely körüli elforgatásával kapunk.

Megoldás: Akárcsak a terület megtalálásának problémája, a megoldás egy lapos figura rajzával kezdődik. Vagyis egy síkon meg kell alkotni egy vonallal határolt ábrát, és ne felejtsük el, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt. Az oldalakon megtudhatja, hogyan lehet egy rajzot hatékonyabban és gyorsabban elkészíteni Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai És Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét . Ez egy kínai emlékeztető, és ezen a ponton nem fogok tovább időzni.

A rajz itt nagyon egyszerű:

A kívánt lapos figura kék árnyalatú, ez az, amely a tengely körül forog. A forgatás eredményeként egy enyhén tojásdad, a tengelyre szimmetrikus repülő csészealj keletkezik. Valójában a testnek van matematikai neve, de lusta vagyok belenézni a referenciakönyvbe, úgyhogy továbbmegyünk.

Hogyan lehet kiszámítani a forgástest térfogatát?

A forgástest térfogata a következő képlettel számítható ki:

A képletben a számnak az integrál előtt kell lennie. Így történt – minden, ami az életben forog, ehhez az állandóhoz kapcsolódik.

Szerintem az elkészült rajzból könnyen kitalálható, hogyan kell beállítani az „a” és „be” integráció határait.

Funkció... mi ez a függvény? Nézzük a rajzot. A lapos ábrát felül a parabola grafikon határolja. Ez az a függvény, amely a képletben benne van.

Gyakorlati feladatokban esetenként egy lapos figura is elhelyezhető a tengely alatt. Ez nem változtat semmit – a képletben a függvény négyzetes: így egy forradalomtest térfogata mindig nem negatív, ami nagyon logikus.

Számítsuk ki a forgástest térfogatát a következő képlettel:

Mint már megjegyeztem, az integrál szinte mindig egyszerűnek bizonyul, a lényeg az, hogy legyen óvatos.

Válasz:

Válaszában meg kell adnia a méretet - köbegység. Vagyis a forgástestünkben körülbelül 3,35 „kocka” van. Miért köbös egységek? Mert a leguniverzálisabb megfogalmazás. Lehetnek köbcentik, lehetnek köbméterek, lehetnek köbkilométerek stb., ennyi zöld embert tud a képzeleted egy repülő csészealjba tenni.

2. példa

Határozza meg a vonalak által határolt alakzat tengelye körüli elforgatással létrejövő test térfogatát,

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Nézzünk még kettőt összetett feladatok, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozunk.

3. példa

Számítsa ki a test térfogatát, amelyet az ábra abszcissza tengelye körüli elforgatásával kapunk, és amelyet a vonalak határolnak, és

Megoldás:Ábrázoljunk a rajzon egy lapos ábrát, amelyet a ,,, vonalak határolnak, anélkül, hogy megfeledkeznénk arról, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt:

A kívánt figura kék árnyalatú. Amikor a tengelye körül forog, egy szürreális fánk lesz belőle, négy sarkával.

Számítsuk ki a forgótest térfogatát mint a testek térfogatának különbsége.

Először nézzük meg a pirossal bekarikázott ábrát. Ha egy tengely körül forog, csonka kúpot kapunk. Jelöljük ennek a csonkakúpnak a térfogatát -vel.

Tekintsük a zölddel bekarikázott ábrát. Ha forgatod ez az alak a tengely körül egy csonka kúpot is kapsz, csak egy kicsit kisebbet. Jelöljük a térfogatát.

És nyilván a térfogatkülönbség pontosan akkora, mint a mi „fánkunk”.

A forgástest térfogatának meghatározásához a standard képletet használjuk:

1) A pirossal bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:

2) A zölddel bekarikázott ábrát felül egy egyenes határolja, ezért:

3) A kívánt fordulatszám térfogata:

Válasz:

Kíváncsi, hogy be ebben az esetben a megoldás a csonka kúp térfogatának kiszámítására szolgáló iskolai képlet segítségével ellenőrizhető.

Magát a határozatot gyakran rövidebbre írják, valahogy így:

Most pihenjünk egy kicsit, és meséljünk a geometriai illúziókról.

Az embereknek gyakran vannak illúziói a kötetekkel kapcsolatban, amelyeket Perelman (nem az) vett észre a könyvben Szórakoztató geometria. Nézze meg a megoldott feladat lapos alakját - úgy tűnik, hogy kicsi a területe, és a forgótest térfogata valamivel több, mint 50 köbegység, ami túl nagynak tűnik. Egyébként az átlagember egész életében egy 18-as helyiségnek megfelelő folyadékot iszik. négyzetméter, ami éppen ellenkezőleg, túl kicsinek tűnik.

Általában véve a Szovjetunió oktatási rendszere valóban a legjobb volt. Ugyanaz a Perelman-könyv, amelyet még 1950-ben írt, nagyon jól fejleszti, ahogy a humorista mondta, gondolkodást, és megtanítja az embert eredeti, nem szabványos megoldásokat keresni a problémákra. Nemrég nagy érdeklődéssel újraolvastam néhány fejezetet, ajánlom, még a humanisták számára is hozzáférhető. Nem, nem kell mosolyogni, hogy szabadidőt kínáltam, a műveltség és a széles látókör a kommunikációban nagyszerű dolog.

Egy lírai kitérő után éppen illik kreatív feladatot megoldani:

4. példa

Számítsd ki egy egyenesekkel határolt lapos alak tengelye körüli elforgatással létrejövő test térfogatát,, ahol.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Vegyük figyelembe, hogy a zenekarban minden megtörténik, vagyis gyakorlatilag kész korlátai vannak az integrációnak. Próbáljuk meg helyesen megrajzolni a trigonometrikus függvények grafikonjait, ha az argumentumot ketté osztjuk: akkor a grafikonokat kétszer nyújtjuk a tengely mentén. Próbálj meg legalább 3-4 pontot találni trigonometrikus táblázatok szerint és pontosabban fejezze be a rajzot. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A feladat egyébként racionálisan és nem túl racionálisan is megoldható.

Lapos alak tengely körüli elforgatásával keletkezett test térfogatának kiszámítása

A második bekezdés még érdekesebb lesz, mint az első. Az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának kiszámítása is meglehetősen gyakori vendég a tesztmunkában. Útközben figyelembe fogják venni az ábra területének megtalálásának problémája A második módszer a tengely mentén történő integráció, amely lehetővé teszi, hogy ne csak fejleszthesse készségeit, hanem megtanítsa megtalálni a legjövedelmezőbb megoldási utat. Ennek gyakorlati szempontja is van. élet értelme! A matematikatanítási módszereket tanító tanárom mosolyogva emlékezett vissza, sok végzős a következő szavakkal köszönte meg: „A tantárgya sokat segített nekünk, most már hatékony vezetők vagyunk, és optimálisan irányítjuk a személyzetet.” Megragadva az alkalmat, nagy köszönetemet is kifejezem neki, főleg, hogy a megszerzett tudást rendeltetésszerűen használom =).

5. példa

Adott egy lapos alak, amelyet vonalak határolnak ,,.

1) Keresse meg egy lapos alak területét, amelyet ezek a vonalak határolnak. 2) Határozzuk meg a test térfogatát, amelyet ezen vonalak által határolt lapos alak tengely körüli elforgatásával kapunk!

Figyelem! Még akkor is, ha csak a második pontot akarja elolvasni, először Szükségszerűen olvasd el az elsőt!

Megoldás: A feladat két részből áll. Kezdjük a négyzettel.

1) Készítsünk egy rajzot:

Könnyen belátható, hogy a függvény a parabola felső ágát adja meg, a függvény pedig a parabola alsó ágát. Egy triviális parabola áll előttünk, amely „az oldalán fekszik”.

A kívánt figura, amelynek területe megtalálható, kék színű.

Hogyan lehet megtalálni egy figura területét? Megtalálható a „szokásos” módon, amit az órán megbeszéltek Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét . Ezenkívül az ábra területe a területek összegeként található: – a szegmensen ; - a szegmensen.

Ezért:

Miért rossz ebben az esetben a szokásos megoldás? Először is kaptunk két integrált. Másodszor, az integrálok gyökök, az integrálban lévő gyökök pedig nem ajándékok, ráadásul az integráció korlátainak helyettesítése közben összezavarodhat. Valójában az integrálok persze nem gyilkosok, de a gyakorlatban minden sokkal szomorúbb lehet, én csak „jobb” függvényeket választottam a problémára.

Létezik egy racionálisabb megoldás is: inverz függvényekre váltásból és tengely mentén történő integrációból áll.

Hogyan juthatunk el inverz függvényekhez? Nagyjából az „x”-t „y”-n keresztül kell kifejeznie. Először nézzük a parabolát:

Ez elég, de ügyeljünk arra, hogy ugyanaz a függvény származtatható legyen az alsó ágból:

Egyenes vonallal egyszerűbb:

Most nézze meg a tengelyt: kérjük, időnként döntse el fejét 90 fokkal jobbra, miközben magyarázza (ez nem vicc!). A számunkra szükséges ábra a szegmensen fekszik, amelyet a piros pontozott vonal jelöl. Ezenkívül a szakaszon az egyenes a parabola felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az ábra területét a már ismert képlet segítségével kell megtalálni: . Mi változott a képletben? Csak egy levél és semmi több.

! Megjegyzés: A tengely mentén be kell állítani az integrációs határokatszigorúan alulról felfelé !

A terület megkeresése:

A szegmensben tehát:

Kérem, figyelje meg, hogyan végeztem az integrációt, ez a legracionálisabb módja, és a feladat következő bekezdésében kiderül, hogy miért.

Azok az olvasók, akik kételkednek az integráció helyességében, származékokat találok:

Az eredeti integrandus függvényt kapjuk, ami azt jelenti, hogy az integráció megfelelően történt.

Válasz:

2) Számítsuk ki ennek az alakzatnak a tengely körüli elforgatásával keletkező test térfogatát!

A rajzot átrajzolom egy kicsit más kivitelben:

Tehát a kékkel árnyékolt ábra a tengely körül forog. Az eredmény egy „lebegő pillangó”, amely a tengelye körül forog.

A forgástest térfogatának meghatározásához a tengely mentén integráljuk. Először az inverz függvényekre kell mennünk. Ezt már megtettük, és az előző bekezdésben részletesen leírtuk.

Most ismét jobbra döntjük a fejünket, és tanulmányozzuk az alakunkat. Nyilvánvaló, hogy a forgótest térfogatát a térfogatkülönbségként kell keresni.

A pirossal bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, így csonka kúpot kapunk. Jelöljük ezt a kötetet.

A zölddel bekarikázott ábrát a tengely körül elforgatjuk, és a kapott forgástest térfogatával jelöljük.

Pillangónk térfogata megegyezik a térfogatok különbségével.

A forgástest térfogatának meghatározásához a következő képletet használjuk:

Mi a különbség az előző bekezdésben szereplő képlettől? Csak a levélben.

De az integráció előnye, amelyről nemrégiben beszéltem, sokkal könnyebben megtalálható , ahelyett, hogy először a 4. hatványra emelnénk az integrandust.

Legyen T a felső félsíkban elhelyezkedő görbe vonalú trapéz x tengelye körüli elforgatásával létrejött forgástest, amelyet az x tengely, az x=a és x=b egyenesek és a grafikon határol. folyamatos funkció y=f(x) .

Bizonyítsuk be, hogy ez így van a forradalom testét kockára vágjuk és térfogatát a képlettel fejezzük ki

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Először is bebizonyítjuk, hogy ez a forgástest szabályos, ha a forgástengelyre merőleges Oyz-síkot \Pi-nek választjuk. Figyeljük meg, hogy az Oyz síktól x távolságra lévő szakasz egy f(x) sugarú kör, és S(x) területe egyenlő \pi f^2(x)-vel (46. ábra). Ezért az S(x) függvény folytonos az f(x) folytonossága miatt. Következő, ha S(x_1)\leqslant S(x_2), akkor ez azt jelenti, hogy . De a szakaszok vetületei az Oyz síkra f(x_1) és f(x_2) sugarú körök O középponttal, és f(x_1)\leqslant f(x_2) ebből következik, hogy egy f(x_1) sugarú kört tartalmaz egy f(x_2) sugarú kör.

Tehát a forradalom teste szabályos. Ezért kockára vágják, és térfogatát a képlet alapján számítják ki

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Ha egy görbe vonalú trapézt alul és felül is az y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) görbék határolnak, akkor

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

A (3) képlet használható egy forgástest térfogatának kiszámítására is abban az esetben, ha egy forgó alak határa adott parametrikus egyenletek. Ebben az esetben a határozott integráljel alatt változó változást kell használni.

Egyes esetekben célszerűnek bizonyul a forgástesteket nem egyenes körhengerekre bontani, hanem más típusú figurákra.

Például keressük meg görbe trapéz ordináta tengely körüli elforgatásával kapott test térfogata. Először keressük meg egy y# magasságú téglalap elforgatásával kapott térfogatot, amelynek alján a szegmens található. Ez a térfogat egyenlő két egyenes térfogatának különbségével kör alakú hengerek

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

De most már világos, hogy a szükséges mennyiséget felülről és alulról a következőképpen becsülik:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Innen könnyen következik az ordináta tengely körüli forgástest térfogatának képlete:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

4. példa Határozzuk meg egy R sugarú golyó térfogatát.

Megoldás. Az általánosság elvesztése nélkül egy R sugarú kört fogunk figyelembe venni, amelynek középpontja az origóban van. Ez a kör az ökör tengelye körül forogva golyót alkot. A kör egyenlete x^2+y^2=R^2, tehát y^2=R^2-x^2. Figyelembe véve a kör ordináta tengelyhez viszonyított szimmetriáját, először megtaláljuk a szükséges térfogat felét

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Ezért a teljes labda térfogata egyenlő \frac(4)(3)\pi R^3.

5. példa. Számítsd ki egy kúp térfogatát, amelynek h magassága és r alapsugára!

Megoldás. Válasszunk olyan koordinátarendszert, hogy az Ox tengely egybeessen a h magassággal (47. ábra), és vegyük a kúp csúcsát a koordináták origójának. Ekkor az OA egyenes egyenlete y=\frac(r)(h)\,x formában lesz felírva.

A (3) képlet segítségével a következőket kapjuk:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

6. példa. Határozzuk meg az astroid x tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(esetek)(48. ábra).

Megoldás.Építsünk egy astroidot. Tekintsük az asztroid felső részének felét, amely szimmetrikusan helyezkedik el az ordinátához képest. A (3) képlet segítségével és a határozott integráljel alatti változót megváltoztatva megtaláljuk az integráció határait az új t változóra.

Ha x=a\cos^3t=0 , akkor t=\frac(\pi)(2) , ha pedig x=a\cos^3t=a , akkor t=0 . Figyelembe véve, hogy y^2=a^2\sin^6t és dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, kapunk:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Az asztroid forgásával létrejövő teljes test térfogata lesz \frac(32\pi)(105)\,a^3.

7. példa. Határozzuk meg az x tengely és a cikloid első íve által határolt görbe trapéz ordináta tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát \begin(esetek)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(esetek).

Megoldás. Használjuk a (4) képletet: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, és cserélje ki az integráljel alatti változót, figyelembe véve, hogy a cikloid első íve akkor jön létre, amikor a t változó 0-ról 2\pi-re változik. És így,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end(igazított)