Sa është katrori i cilësdo anë të trekëndëshit? Teorema e kosinuseve Teorema (e kosinuseve)

Teorema e kosinuseve Teorema (e kosinuseve). Katrori i çdo brinjë të trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera pa dyfishi i produktit të këtyre brinjëve nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre, c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Vërtetim: Të shënojmë AB = c, BC = a, AC = b. Nga kulmi A ulim një AD pingul. Atëherë AD = b sin C, CD = b cos C, BD = a – b cos C. Nga teorema e Pitagorës kemi c 2 = (a – b cos C) 2 + (b sin C) 2 = a 2 – 2ab cos C + b 2 cos 2 C + b 2 sin 2 C = a 2 + b 2 – 2ab cos C. Merrni parasysh rastet e drejtpërdrejtë dhe kënd i mpirë ME.

Ushtrimi 12 Përgjigje: a) akute; Në cilat vlera të këndit A është katrori i brinjës së trekëndëshit që ndodhet përballë këtij këndi: a) më i vogël se shuma e katrorëve të dy brinjëve të tjera; b) e barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera; V) më shumë se shuma katrorët e dy anëve të tjera? b) i drejtë; c) i mpirë.

Ushtrimi 17 Vërtetoni se shuma e katrorëve të diagonaleve të një paralelogrami është e barabartë me shumën e katrorëve të brinjëve të tij. Dëshmi. Me teoremën e kosinusit kemi: Duke mbledhur këto barazi dhe duke marrë parasysh se kosinusi i këndit ADC është i barabartë me minus kosinusin e këndit BAD, fitojmë pohimin e kërkuar.

Le të jetë AB = c, AC = b, BC = a në trekëndëshin ABC. Vërtetoni se për median m c të nxjerrë nga kulmi C, vlen formula. Nga teorema e kosinusit të aplikuar për trekëndëshat ACD dhe BCD, kemi: Duke shtuar këto barazi, marrim një barazi nga e cila rrjedh menjëherë formula e kërkuar. Ushtrimi 19

Le të AC = b, BC = a në trekëndëshin ABC. Vërtetoni se për përgjysmuesin l c të nxjerrë nga kulmi C, vlen formula ku c, c janë segmentet në të cilat përgjysmuesi ndan anën AB Vërtetim. Me teoremën e kosinusit të aplikuar për trekëndëshat ACD dhe BCD, kemi: Shumëzojmë barazinë e parë me a, të dytin me b dhe zbresim të dytin nga barazia e parë. Duke bërë transformimet e identitetit, marrim një barazi nga e cila rrjedh drejtpërdrejt formula e dëshiruar. Ushtrimi 22

Ushtrimi 27 A është e mundur të përshkruhet një rreth rreth një katërkëndëshi me brinjë 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm? Një formulim më i saktë: a ka një katërkëndësh me brinjë 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth? Zgjidhje. Një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi ABCD nëse me teoremën e kosinusit Nga ku, pra, ekziston një katërkëndësh i tillë.

Vërtetim: 1. Konsideroni A 1 B 1 C 1 me një kënd të drejtë C 1, në të cilin A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. 2. Sipas parimit të Pitagorës, A 1 B 1 2 = A 1 C B 1 C Por AB 2 = AC 2 + BC 2 (sipas kushteve të teoremës). Kjo do të thotë, AB 2 = A 1 B 1 2, nga e cila AB = A 1 B A 1 B 1 C 1 = ABC (në tre anët), prandaj C = C Pra, ABC është drejtkëndëshe me një kënd të drejtë S. Ch., etj. d. S A B

Eksplorimi i turmës numrat natyrorë 1,2,3,... Grekët e lashtë ishin të parët që realizuan idenë e pafundësisë së objekteve të studiuara nga matematika. Pika e kthesës ishte vërtetimi i teoremës a 2 + b 2 = c 2. Sipas legjendës, Pitagora u flijoi perëndive 100 dema në shenjë mirënjohjeje. Pitagorianët (pasuesit dhe studentët e Pitagorës) njihnin treshe (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

N. Kontrollo për kuptime të ndryshme m dhe n. Përveç kësaj, P" title=" Pitagora ose një nga studentët e tij gjetën formula për gjetjen e numër i pafund treshe të tillë: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2, ku m dhe n janë çdo numër natyror i tillë që m>n. Kontrolloni për vlera të ndryshme të m dhe n. Për më tepër, na kontaktoni nga P" class="link_thumb"> 5 Pitagora ose një nga studentët e tij gjetën formula për gjetjen e një grupi të pafund të treshave të tilla: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c = m 2 + n 2, ku m dhe n janë çdo numër natyror i tillë që m >n . Kontrolloni për vlera të ndryshme të m dhe n. Përveç kësaj, ata na erdhën nga Pitagora termat e mëposhtëm"katror" për numrat n 2 dhe kubi për numrat n 3. n. Kontrolloni për vlera të ndryshme të m dhe n. Për më tepër, termat e mëposhtëm na erdhën nga P"> n. Kontrolloni për vlera të ndryshme të m dhe n. Përveç kësaj, termat e mëposhtëm na erdhën nga Pitagora: "katror" për numrat n 2 dhe kub për numrat n 3."> n. Kontrolloni për vlera të ndryshme të m dhe n. Për më tepër, P" title=" Pitagora ose një nga studentët e tij gjetën formula për gjetjen e një grupi të pafund të trinjakëve të tillë: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2 , ku m dhe n janë çdo numër natyror i tillë që kontrolloni për vlera të ndryshme të m dhe n."> title="Pitagora ose një nga studentët e tij gjetën formula për gjetjen e një grupi të pafund të treshave të tilla: a = 2mn, b = m 2 – n 2, c =m 2 + n 2, ku m dhe n janë çdo numër natyror i tillë që m >n . Kontrolloni për vlera të ndryshme të m dhe n. Për më tepër, na kontaktoni nga P"> !}

Pitagora është një shkencëtar grek që jetoi rreth 2500 vjet më parë (564-473 para Krishtit).

Le të jepet trekëndësh kënddrejtë, anët e të cilit A, b Dhe Me(Fig. 267).

Le të ndërtojmë katrorë në anët e tij. Sipërfaqet e këtyre katrorëve janë përkatësisht të barabarta A 2 , b 2 dhe Me 2. Le ta vërtetojmë këtë Me 2 = a 2 +b 2 .

Të ndërtojmë dy katrorë MCOR dhe M’K’O’R’ (Fig. 268, 269), duke marrë si brinjë të secilit prej tyre një segment të barabartë me shumën e këmbëve të trekëndëshit kënddrejtë ABC.

Pasi të kemi përfunduar ndërtimet e paraqitura në figurat 268 dhe 269 në këto katrorë, do të shohim se sheshi MCOR është i ndarë në dy katrorë me sipërfaqe A 2 dhe b 2 dhe katër trekëndësha kënddrejtë të barabartë, secili prej të cilëve është i barabartë me një trekëndësh kënddrejtë trekëndëshi ABC. Sheshi M'K'O'R' u nda në një katërkëndësh (i hijezuar në figurën 269) dhe katër trekëndësha kënddrejtë, secili prej të cilëve është gjithashtu i barabartë me trekëndëshin ABC. Një katërkëndësh me hije është një katror, ​​pasi brinjët e tij janë të barabarta (secila është e barabartë me hipotenuzën e trekëndëshit ABC, d.m.th. Me), dhe këndet janë kënde të drejta ∠1 + ∠2 = 90°, prej nga ∠3 = 90°).

Kështu, shuma e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë (në figurën 268 këto katrore janë të hijezuara) është e barabartë me sipërfaqen e katrorit MCOR pa shumën katër katrorë trekëndësha të barabartë dhe sipërfaqja e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë (në figurën 269 edhe ky katror është i hijezuar) është i barabartë me sipërfaqen e katrorit M’K’O’R’, e barabartë me katrorin MCOR, pa shumën e sipërfaqeve të katër trekëndëshave të ngjashëm. Prandaj, sipërfaqja e një katrori të ndërtuar mbi hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar mbi këmbët.

Ne marrim formulën Me 2 = a 2 +b 2 ku Me- hipotenuzë, A Dhe b- këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë.

Teorema e Pitagorës zakonisht formulohet shkurt si më poshtë:

Katrori i hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Nga formula Me 2 = a 2 +b 2 mund të merrni formulat e mëposhtme:

A 2 = Me 2 - b 2 ;

b 2 = Me 2 - A 2 .

Këto formula mund të përdoren për të gjetur anën e panjohur një trekëndësh kënddrejtë përgjatë dy brinjëve të tij të dhëna.

Për shembull:

a) nëse jepen këmbët A= 4 cm, b= 3 cm, atëherë mund të gjejmë hipotenuzën ( Me):

Me 2 = a 2 +b 2, d.m.th. Me 2 = 4 2 + 3 2 ; me 2 = 25, prej nga Me= √25 = 5 (cm);

b) nëse jepet hipotenuza Me= 17 cm dhe këmbë A= 8 cm, atëherë mund të gjeni një këmbë tjetër ( b):

b 2 = Me 2 - A 2, d.m.th. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, nga ku b= √225 = 15 (cm).

Përfundim: Nëse dy trekëndësha kënddrejtë ABC dhe A kanë hipotenuzë 1 B 1 C 1 Me Dhe Me 1 janë të barabarta, dhe këmba b trekëndëshi ABC është më i gjatë se këmbët b 1 trekëndësh A 1 B 1 C 1,

pastaj këmbën A trekëndëshi ABC më pak këmbë A 1 trekëndësh A 1 B 1 C 1.

Në fakt, bazuar në teoremën e Pitagorës marrim:

A 2 = Me 2 - b 2 ,

A 1 2 = Me 1 2 - b 1 2

Në formulat e shkruara, minuendat janë të barabarta, dhe subtrahendi në formulën e parë është më i madh se nëntrahni në formulën e dytë, prandaj, diferenca e parë është më e vogël se e dyta,

d.m.th. A 2 a 1 2 . Ku A a 1.

Matur me një njësi, atëherë katrori i numrit që shpreh hipotenuzën është i barabartë me shumën e katrorëve të numrave të shprehur duke shtypur këmbët.

Kjo teoremë zakonisht shprehet e shkurtuar si më poshtë:

Katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Kjo marrëdhënie u vu re për herë të parë nga gjeometri grek Pitagora (shekulli VI para Krishtit) dhe për këtë arsye mban emrin e tij - Teorema e Pitagorës .

Teorema.

këndi akut, është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera pa dyfishin e produktit të ndonjërës prej këtyre brinjëve nga segmenti i tij nga kulmi i këndit akut në lartësi.

Le BME- ana e trekëndëshit ABME(Fig. 1 dhe Fig. 2), shtrirë përballë këndit akut A, Dhe BD- lartësia e ulur në cilëndo nga anët e tjera, për shembull, në AME(ose vazhdimi i tij kërkohet të vërtetohet se:

B.C. 2 = AB 2 + AC 2 - 2AS. AD.

Nga trekëndëshat kënddrejtë BDC Dhe ABD prodhimi:

BC 2= BD 2+DME 2 [ 1 ] ;

BD 2= AB 2 - AD 2 [ 2] .

Ne anen tjeter: DME= AC-AD(Fig. 1) ose DME= AD-AS(Fig. 2). Në të dyja rastet për DME 2 marrim të njëjtën shprehje:

DME 2 = (AME-AD) 2 = AME 2 - 2AME . AD + AD 2 ;

DME 2 = (AD-AME) 2 = AD 2 - 2AD . AME + AME 2 .

Në vend të kësaj, zëvendësimi në barazi BD 2 Dhe DC 2 shprehjet e tyre nga barazitë dhe , marrim:

BC 2= AB 2 - A D 2 + AME 2 - 2 AME . AD + A D 2 .

Kjo është barazi, pas pakësimit të anëtarëve -AD 2 Dhe + AD 2 , dhe është pikërisht ajo që duhej vërtetuar.

Komentoni. Teorema e provuar mbetet e vërtetë edhe kur këndi ME drejt. Atëherë segmenti CD do të shkojë në zero, d.m.th. AC do të bëhet e barabartë me AD, dhe do të kemi:

BC 2= AB 2+ AME 2 - 2AME 2 = AB 2 - AME 2 .

E cila është në përputhje me teoremën rreth hipotenuzë në katror.

Teorema.

Në një trekëndësh, katrori i anës përballë këndit të mpirë është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera, i shtuar në dyfishin e produktit të secilës prej këtyre brinjëve nga segmenti i vazhdimit të tij nga kulmi i këndit të mpirë. deri në lartësi. Prova është e ngjashme me atë të mëparshme.

Pasoja.

Nga tre teoremat e fundit nxjerrim se katrori i brinjës së një trekëndëshi është i barabartë me, më i vogël ose më i madh se shuma e katrorëve të brinjëve të tjera, në varësi të faktit nëse këndi i kundërt drejt, i mprehtë ose i hapur.

Kjo nënkupton propozimin e kundërt: Këndi i një trekëndëshi do të jetë i drejtë, i mprehtë ose i mpirë, në varësi të faktit nëse katrori i anës së kundërt është i barabartë me, më i vogël ose më i madh se shuma e katrorëve të brinjëve të tjera.

Llogaritja e lartësisë së një trekëndëshi në bazë të brinjëve të tij.

Le të shënojmë lartësinë e rënë në anën a të trekëndëshit ABME, përmes h a. Për ta llogaritur atë, së pari nga ekuacioni:

b 2 = a 2 + nga 2 - 2aMe’ .

gjeni segmentin bazë c':

.

Pastaj nga DABD ne përcaktojmë lartësinë si një këmbë:

.

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të përcaktoni lartësitë h b dhe h c, të ulura në anët b dhe c.

Llogaritja e medianave të një trekëndëshi në bazë të brinjëve të tij.

Le të jepen brinjët e trekëndëshit ABME dhe ju duhet të llogarisni mesataren e saj BD. Për ta bërë këtë, le ta zgjerojmë atë në një distancë DE = BD dhe periudha E lidheni me A Dhe ME. Pastaj marrim një paralelogram ABCE.

Duke zbatuar teoremën e mëparshme për të, gjejmë: BE 2 = 2 AB 2 + 2 BC 2 -AC 2.

Teorema e Pitagorës- një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, që vendos relacionin

ndërmjet brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Besohet se është vërtetuar nga matematikani grek Pitagora, pas të cilit u emërua.

Formulimi gjeometrik i teoremës së Pitagorës.

Teorema fillimisht u formulua si më poshtë:

Në një trekëndësh kënddrejtë, sipërfaqja e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve,

ndërtuar mbi këmbë.

Formulimi algjebrik i teoremës së Pitagorës.

Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve.

Kjo do të thotë, duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit me c, dhe gjatësitë e këmbëve nëpër a Dhe b:

Të dyja formulimet Teorema e Pitagorës janë ekuivalente, por formulimi i dytë është më elementar, nuk ka

kërkon konceptin e zonës. Kjo do të thotë, deklarata e dytë mund të verifikohet pa ditur asgjë për zonën dhe

duke matur vetëm gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Teorema e Pitagorës kundërt.

Nëse katrori i njërës anë të trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera, atëherë

trekëndësh kënddrejtë.

Ose, me fjalë të tjera:

Për çdo tre numra pozitiv a, b Dhe c, sikurse

ka një trekëndësh kënddrejtë me këmbë a Dhe b dhe hipotenuzë c.

Teorema e Pitagorës për një trekëndësh izoscelular.

Teorema e Pitagorës për një trekëndësh barabrinjës.

Vërtetime të teoremës së Pitagorës.

Aktiv ky moment V literaturë shkencore Janë regjistruar 367 prova të kësaj teoreme. Ndoshta teorema

Pitagora është e vetmja teoremë me një numër kaq mbresëlënës provash. Një diversitet i tillë

mund të shpjegohet vetëm rëndësi themelore teorema për gjeometrinë.

Natyrisht, konceptualisht të gjitha ato mund të ndahen në një numër të vogël klasash. Më të famshmit prej tyre:

provë metoda e zonës, aksiomatike Dhe dëshmi ekzotike(Për shembull,

duke përdorur ekuacionet diferenciale).

1. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës duke përdorur trekëndësha të ngjashëm.

Vërtetimi i mëposhtëm i formulimit algjebrik është më i thjeshti nga provat e ndërtuara

direkt nga aksiomat. Në veçanti, ai nuk përdor konceptin e zonës së një figure.

Le ABC ka një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C. Le të nxjerrim lartësinë nga C dhe shënojnë

themeli i saj nëpërmjet H.

Trekëndëshi ACH të ngjashme me një trekëndësh AB C në dy qoshe. Po kështu, trekëndësh CBH i ngjashëm ABC.

Duke futur shënimin:

marrim:

,

që korrespondon me -

Të palosur a 2 dhe b 2, marrim:

ose , që është ajo që duhej vërtetuar.

2. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës duke përdorur metodën e zonës.

Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Të gjithë ata

përdorni vetitë e zonës, provat e të cilave janë më komplekse se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës.

• Vërtetimi përmes baraziplotësimit.

Le të organizojmë katër drejtkëndëshe të barabarta

trekëndësh siç tregohet në figurë

në të djathtë.

Katërkëndësh me brinjë c- katror,

që nga shuma e dy qoshe të mprehta 90°, a

këndi i shpalosur - 180°.

Sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë, nga njëra anë,

sipërfaqja e një katrori me anë ( a+b), dhe nga ana tjetër, shuma e sipërfaqeve katër trekëndësha Dhe

Q.E.D.

3. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës me metodën infinitezimale.

​

Duke parë vizatimin e paraqitur në figurë dhe

duke parë ndryshimin e anësa, ne mundemi

shkruani relacionin e mëposhtëm për pafundësi

të vogla rritje anësoreMe Dhe a(duke përdorur ngjashmëri

trekëndëshat):

Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, gjejmë:

Më shumë shprehje e përgjithshme për të ndryshuar hipotenuzën në rast të rritjes së të dy këmbëve:

Integrimi ekuacioni i dhënë dhe duke përdorur kushtet fillestare, marrim:

Kështu arrijmë në përgjigjen e dëshiruar:

Siç shihet lehtë, varësia kuadratike në formulën përfundimtare shfaqet për shkak të linjës

proporcionaliteti ndërmjet brinjëve të trekëndëshit dhe rritjeve, ndërsa shuma lidhet me të pavarurin

kontributet nga rritja e këmbëve të ndryshme.

Një provë më e thjeshtë mund të merret nëse supozojmë se njëra nga këmbët nuk përjeton rritje

(V në këtë rast këmbën b). Pastaj për konstantën e integrimit marrim: