Përcaktoni vlerën natyrore të distancës nga një pikë në një vijë të drejtë. Përcaktimi i distancave

Përcaktimi i distancave

Distancat nga pika në pikë dhe nga pika në vijë

Largësia nga pika në pikë përcaktohet nga gjatësia e vijës së drejtë që lidh këto pika. Siç u tregua më lart, ky problem mund të zgjidhet ose me metodën e trekëndëshit kënddrejtë ose duke zëvendësuar planet e projeksionit, duke lëvizur segmentin në pozicionin e vijës së nivelit.

Largësia nga pika në vijë matet nga një segment pingul i tërhequr nga një pikë në një vijë. Një segment i kësaj pingule përshkruhet në madhësi të plotë në rrafshin e projeksionit nëse është tërhequr në vijën e drejtë të projektuar. Kështu, së pari vija e drejtë duhet të transferohet në pozicionin e projektimit, dhe më pas një pingul nga një pikë e caktuar duhet të ulet mbi të. Në Fig. 1 tregon zgjidhjen e këtij problemi. Për përkthim të drejtpërdrejtë pozicioni i përgjithshëm AB vendoset në pozicionin e nivelit të drejtë x14 IIA1 B1. Pastaj AB transferohet në pozicionin e projektimit duke futur një plan shtesë projeksioni P5, për të cilin është tërhequr një bosht i ri projeksioni x45\A4 B4.

Foto 1

Ngjashëm me pikat A dhe B, pika M është projektuar në planin e projeksionit P5.

Projeksioni K5 i bazës K të pingulit të ulur nga pika M në drejtëzën AB në planin e projeksionit P5 do të përkojë me projeksionet përkatëse të pikave

A dhe B. Projeksioni M5 K5 i MK pingul është vlera natyrore e distancës nga pika M në drejtëzën AB.

Në sistemin e planeve të projeksionit P4/P5, pingulja me MK do të jetë një vijë e nivelit, pasi shtrihet në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksionit P5. Prandaj, projeksioni i tij M4 K4 në rrafshin P4 është paralel me x45, d.m.th. pingul me projeksionin A4 B4. Këto kushte përcaktojnë pozicionin e projeksionit K4 të bazës së pingulës K, e cila gjendet duke tërhequr një drejtëz nga M4 paralel me x45 derisa të kryqëzohet me projeksionin A4 B4. Projeksionet e mbetura të pingules gjenden duke projektuar pikën K në rrafshet e projeksionit P1 dhe P2.

Largësia nga pika në aeroplan

Zgjidhja e këtij problemi është paraqitur në Fig. 2. Distanca nga pika M në rrafshin (ABC) matet me një segment pingul të rënë nga pika në rrafsh.

Figura 2

Meqenëse pingulja me rrafshin e projektuar është një vijë e nivelit, ne kalojmë në këtë pozicion aeroplan i dhënë, si rezultat i së cilës në planin e ri të projeksionit të futur P4 marrim një projeksion të degjeneruar C4 B4 të rrafshit ABC. Më pas, ne projektojmë pikën M në P4 Vlera natyrore e distancës nga pika M në plan përcaktohet nga segmenti pingul

[MK]=[M4 K4]. Projeksionet e mbetura të pingules janë ndërtuar në të njëjtën mënyrë si në problemin e mëparshëm, d.m.th. duke marrë parasysh faktin se segmenti MK në sistemin e planeve të projeksionit P1 / P4 është një vijë niveli dhe projeksioni i tij M1 K1 është paralel me boshtin

x14.

Distanca midis dy vijave

Distanca më e shkurtër ndërmjet vijave të drejta të kryqëzuara matet me madhësinë e segmentit të pingulës së përbashkët me to të prerë nga këto vija të drejta. Problemi zgjidhet duke zgjedhur (si rezultat i dy zëvendësimeve të njëpasnjëshme) një rrafsh projeksioni pingul me një nga vijat e kryqëzuara. Në këtë rast, segmenti pingul i kërkuar do të jetë paralel me planin e përzgjedhur të projeksionit dhe do të përshkruhet mbi të pa shtrembërim. Në Fig. Figura 3 tregon dy linja kryqëzuese të përcaktuara nga segmentet AB dhe CD.

Figura 3

Vijat projektohen fillimisht në rrafshin e projeksionit P4, paralel me një (ndonjë) prej tyre, për shembull AB, dhe pingul me P1.

Në planin e projeksionit P4, segmenti AB do të përshkruhet pa shtrembërim. Pastaj segmentet projektohen në një plan të ri P5 pingul me të njëjtën drejtëz AB dhe planin P4. Në planin e projeksionit P5, projeksioni i segmentit AB pingul me të degjeneron në pikën A5 = B5, dhe vlera e dëshiruar N5 M5 e segmentit NM është pingul me C5 D5 dhe përshkruhet në madhësi të plotë. Duke përdorur linjat e duhura të komunikimit, projeksionet e segmentit MN janë ndërtuar në origjinal

vizatim. Siç u tregua më herët, projeksioni N4 M4 i segmentit të dëshiruar në rrafshin P4 është paralel me boshtin e projeksionit x45, pasi është një vijë e nivelit në sistemin e planeve të projeksionit P4 / P5.

Detyra e përcaktimit të distancës D ndërmjet dy drejtëzave paralele AB në CD - rast i veçantë i mëparshmi (Fig. 4).

Figura 4

Me zëvendësimin e dyfishtë të rrafsheve të projeksionit, drejtëzat paralele kalohen në pozicionin e projektimit, si rezultat i së cilës në rrafshin projeksion P5 do të kemi dy projeksione të degjeneruara A5 = B5 dhe C5 = D5 të drejtëzave AB dhe CD. Distanca ndërmjet tyre D do të jetë e barabartë me vlerën e saj natyrore.

Distanca nga një vijë e drejtë në një rrafsh paralel me të matet me një segment pingul të tërhequr nga çdo pikë e vijës së drejtë në rrafsh. Prandaj, mjafton që rrafshi i pozicionit të përgjithshëm të shndërrohet në pozicionin e rrafshit projektues, të merret një pikë e drejtpërdrejtë dhe zgjidhja e problemit do të reduktohet në përcaktimin e distancës nga pika në plan.

Për të përcaktuar distancën ndërmjet plane paralele, është e nevojshme t'i transferoni ato në pozicionin e projektimit dhe të ndërtoni një pingul me projeksionet e degjeneruara të planeve, segmenti i të cilit midis tyre do të jetë distanca e kërkuar.

155*. Përcaktoni madhësinë natyrore të një segmenti AB të një vije të drejtë në pozicionin e përgjithshëm (Fig. 153, a).

Zgjidhje. Siç dihet, projeksioni i një segmenti të drejtë në çdo plan është i barabartë me vetë segmentin (duke marrë parasysh shkallën e vizatimit), nëse është paralel me këtë plan.

(Fig. 153, b). Nga kjo rezulton se duke transformuar vizatimin është e nevojshme të arrihet paralelizmi i këtij katrori të segmentit. V ose katror H ose plotësoni sistemin V, H me një rrafsh tjetër pingul me katrorin. V ose të pl. H dhe në të njëjtën kohë paralel me këtë segment.

Në Fig. 153, c tregon futjen e një plani shtesë S, pingul me katrorin. H dhe paralel me një segment të caktuar AB.

Projeksioni a s b s është i barabartë me vlerën natyrore të segmentit AB.

Në Fig. 153, d tregon një teknikë tjetër: segmenti AB rrotullohet rreth një vije të drejtë që kalon nga pika B dhe pingul me katrorin. H, në një pozicion paralel

pl. V. Në këtë rast, pika B mbetet në vend dhe pika A zë një pozicion të ri A 1. Horizonti është në një pozicion të ri. projeksion a 1 b || boshti x Projeksioni a" 1 b" është i barabartë me madhësinë natyrore të segmentit AB.

156. Duke pasur parasysh piramidën SABCD (Fig. 154). Përcaktoni madhësinë aktuale të skajeve të piramidës AS dhe CS, duke përdorur metodën e ndryshimit të planeve të projeksionit, dhe skajet BS dhe DS, duke përdorur metodën e rrotullimit dhe merrni boshtin e rrotullimit pingul me katrorin. H.

157*. Përcaktoni distancën nga pika A në vijën e drejtë BC (Fig. 155, a).

Zgjidhje. Distanca nga një pikë në një vijë matet me një segment pingul të tërhequr nga pika në vijë.

Nëse vija e drejtë është pingul me ndonjë rrafsh (Fig. 155.6), atëherë distanca nga pika në vijën e drejtë matet me distancën ndërmjet projeksionit të pikës dhe pikës-projeksionit të drejtëzës në këtë rrafsh. Nëse një vijë e drejtë zë një pozicion të përgjithshëm në sistemin V, H, atëherë për të përcaktuar distancën nga një pikë në një vijë të drejtë duke ndryshuar planet e projeksionit, është e nevojshme të futen dy plane shtesë në sistemin V, H.

Së pari (Fig. 155, c) hyjmë në katror. S, paralel me segmentin BC (boshti i ri S/H është paralel me projeksionin bс), dhe ne ndërtojmë projeksionet b s c s dhe a s. Më pas (Fig. 155, d) prezantojmë një katror tjetër. T, pingul me drejtëzën BC (boshti i ri T/S është pingul me b s me s). Ne ndërtojmë projeksione të një vije të drejtë dhe një pikë - me t (b t) dhe një t. Distanca ndërmjet pikave a t dhe c t (b t) është e barabartë me distancën l nga pika A në drejtëzën BC.

Në Fig. 155, d, e njëjta detyrë realizohet duke përdorur metodën e rrotullimit në formën e saj, e cila quhet metoda e lëvizjes paralele. Së pari, vija e drejtë BC dhe pika A, duke mbajtur pozicionin e tyre relativ të pandryshuar, rrotullohen rreth disa vijës së drejtë (që nuk tregohet në vizatim) pingul me katrorin. H, në mënyrë që drejtëza BC të jetë paralele me katrorin. V. Kjo është e barabartë me lëvizjen e pikave A, B, C në rrafshe paralele me katrorin. H. Në të njëjtën kohë, horizonti. projeksioni sistemi i dhënë(BC + A) nuk ndryshon as në madhësi, as në konfigurim, ndryshon vetëm pozicioni i tij në lidhje me boshtin x. Ne vendosim horizontin. projeksioni i drejtëzës BC paralel me boshtin x (pozicioni b 1 c 1) dhe përcaktoni projeksionin a 1, duke lënë mënjanë c 1 1 1 = c-1 dhe a 1 1 1 = a-1, dhe a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Duke vizatuar vija të drejta b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 paralel me boshtin x, gjejmë pjesën e përparme mbi to. projeksionet b" 1, a" 1, c" 1. Më pas, ne zhvendosim pikat B 1, C 1 dhe A 1 në plane paralele me zonën V (gjithashtu pa i ndryshuar ato pozicioni relativ), në mënyrë që të fitohet B 2 C 2 ⊥ pl. H. Në këtë rast, projeksioni i vijës së drejtë do të jetë pingul me pjesën e përparme akset x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1, dhe për të ndërtuar projeksionin a" 2 ju duhet të merrni b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, vizatoni 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 dhe lini mënjanë a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Tani, duke kaluar me 1 me 2 dhe një 1 a 2 || x 1 marrim projeksionet b 2 nga 2 dhe a 2 dhe distancën e dëshiruar l nga pika A në drejtëzën BC. Distanca nga A në BC mund të përcaktohet duke rrotulluar rrafshin e përcaktuar nga pika A dhe drejtëza BC rreth horizontales së këtij plani në pozicionin T || pl. H (Fig. 155, f).

Në rrafshin e përcaktuar nga pika A dhe drejtëza BC, vizatoni një vijë horizontale A-1 (Fig. 155, g) dhe rrotulloni pikën B rreth saj. R (i specifikuar në vizatim pranë R h), pingul me A-1; në pikën O është qendra e rrotullimit të pikës B. Tani përcaktojmë vlerën natyrore të rrezes së rrotullimit VO (Fig. 155, c). Në pozicionin e kërkuar, pra kur pl. T, e përcaktuar nga pika A dhe drejtëza BC, do të bëhet || pl. H, pika B do të jetë në R h në një distancë Ob 1 nga pika O (mund të ketë një pozicion tjetër në të njëjtën gjurmë R h, por në anën tjetër të O). Pika b 1 është horizonti. projeksioni i pikës B pas zhvendosjes së saj në pozicionin B 1 në hapësirë, kur rrafshi i përcaktuar nga pika A dhe drejtëza BC ka marrë pozicionin T.

Duke vizatuar (Fig. 155, i) vijën e drejtë b 1 1, marrim horizontin. projeksioni i drejtëzës BC, tashmë i vendosur || pl. H është në të njëjtin rrafsh me A. Në këtë pozicion, distanca nga a në b 1 1 është e barabartë me distancën e dëshiruar l. Rrafshi P, në të cilin shtrihen elementet e dhëna, mund të kombinohet me katrorin. H (Fig. 155, j), kthese katrore. R rreth saj është horizonti. gjurmë. Duke lëvizur nga specifikimi i rrafshit me pikën A dhe drejtëzën BC në specifikimin e drejtëzave BC dhe A-1 (Fig. 155, l), gjejmë gjurmët e këtyre drejtëzave dhe vizatojmë gjurmët P ϑ dhe P h përmes tyre. Po ndërtojmë (Fig. 155, m) kombinuar me sheshin. Pozicioni H përpara. gjurmë - P ϑ0 .

Përmes pikës a vizatojmë horizontin. projeksion frontal; frontali i kombinuar kalon nëpër pikën 2 në gjurmën P h paralel me P ϑ0. Pika A 0 - e kombinuar me katrorin. H është pozicioni i pikës A. Në mënyrë të ngjashme, gjejmë pikën B 0. Dielli i drejtpërdrejtë i kombinuar me katror. Pozicioni H kalon nëpër pikën B 0 dhe pikën m (gjurmë horizontale e drejtëzës).

Distanca nga pika A 0 në vijën e drejtë B 0 C 0 është e barabartë me distancën e dëshiruar l.

Ju mund të kryeni ndërtimin e treguar duke gjetur vetëm një gjurmë të P h (Fig. 155, n dhe o). E gjithë ndërtimi është i ngjashëm me një rrotullim rreth një horizontale (shih Fig. 155, g, c, i): gjurma P h është një nga horizontalet pl. R.

Nga metodat e dhëna për zgjidhjen e këtij problemi, metoda e preferuar e transformimit të një vizatimi është metoda e rrotullimit rreth horizontales ose ballore.

158. Jepet piramida SABC (Fig. 156). Përcaktoni distancat:

a) nga maja B e bazës në anën e saj AC duke përdorur metodën e lëvizjes paralele;

b) nga maja S e piramidës në anët BC dhe AB të bazës duke u rrotulluar rreth horizontales;

c) nga maja S në anën AC të bazës duke ndryshuar rrafshet e projeksionit.

159. Jepet një prizëm (Fig. 157). Përcaktoni distancat:

a) ndërmjet brinjëve AD dhe CF duke ndryshuar rrafshet e projeksionit;

b) ndërmjet brinjëve BE dhe CF me rrotullim rreth frontalit;

c) ndërmjet skajeve AD dhe BE me lëvizje paralele.

160. Përcaktoni madhësinë aktuale të katërkëndëshit ABCD (Fig. 158) duke e rreshtuar atë me katrorin. N. Përdorni vetëm gjurmën horizontale të rrafshit.

161*. Përcaktoni distancën ndërmjet vijave të drejta të kryqëzuara AB dhe CD (Fig. 159, a) dhe ndërtoni projeksione të pingulës së përbashkët me to.

Zgjidhje. Distanca ndërmjet vijave të kryqëzimit matet me një segment (MN) pingul me të dyja vijat (Fig. 159, b). Natyrisht, nëse njëra nga vijat e drejta vendoset pingul me ndonjë katror. T, atëherë

segmenti MN pingul me të dy drejtëzat do të jetë paralel me katrorin. Projeksioni i tij në këtë plan do të shfaq distancën e kërkuar. Projeksioni kënd i drejtë Menad MN n AB në pl. T gjithashtu rezulton të jetë një kënd i drejtë midis m t n t dhe a t b t, pasi njëra nga anët e këndit të drejtë është AMN, përkatësisht MN. paralel me katrorin T.

Në Fig. 159, c dhe d, distanca e kërkuar l përcaktohet me metodën e ndryshimit të planeve të projeksionit. Së pari ne prezantojmë një katror shtesë. projeksionet S, pingul me katrorin. H dhe paralel me CD-në e drejtë (Fig. 159, c). Pastaj prezantojmë një katror tjetër shtesë. T, pingul me katrorin. S dhe pingul me të njëjtën vijë të drejtë CD (Fig. 159, d). Tani mund të ndërtoni një projeksion të pingules së përgjithshme duke tërhequr m t n t nga pika c t (d t) pingul me projeksionin a t b t. Pikat m t dhe n t janë projeksione të pikave të prerjes së kësaj pingule me drejtëza AB dhe CD. Duke përdorur pikën m t (Fig. 159, e) gjejmë m s në a s b s: projeksioni i m s n s duhet të jetë paralel me boshtin T/S. Më pas, nga m s dhe n s gjejmë m dhe n në ab dhe cd, dhe prej tyre m" dhe n" në a"b" dhe c"d".

Në Fig. 159, c tregon zgjidhjen e këtij problemi duke përdorur metodën e lëvizjeve paralele. Fillimisht vendosim CD-në e drejtë paralele me katrorin. V: projeksion c 1 d 1 || X. Më pas, lëvizim drejtëzat CD dhe AB nga pozicionet C 1 D 1 dhe A 1 B 1 në pozicionet C 2 B 2 dhe A 2 B 2 në mënyrë që C 2 D 2 të jetë pingul me H: projeksioni c" 2 d" 2 ⊥ x. Segmenti i pingules së kërkuar ndodhet || pl. H, dhe për këtë arsye m 2 n 2 shpreh distancën e dëshiruar l midis AB dhe CD. Gjejmë pozicionin e projeksioneve m" 2, dhe n" 2 në a" 2 b" 2 dhe c" 2 d" 2, pastaj projeksionet m 1 dhe m" 1, n 1 dhe n" 1, më në fund, projeksionet m" dhe n", m dhe n.

162. Jepet piramida SABC (Fig. 160). Përcaktoni distancën midis skajit SB dhe anës AC të bazës së piramidës dhe ndërtoni projeksione të një pingule të përbashkët me SB dhe AC, duke përdorur metodën e ndryshimit të planeve të projeksionit.

163. Jepet piramida SABC (Fig. 161). Përcaktoni distancën midis skajit SH dhe anës BC të bazës së piramidës dhe ndërtoni projeksione të pingulës së përbashkët me SX dhe BC duke përdorur metodën e zhvendosjes paralele.

164*. Përcaktoni distancën nga pika A në rrafshin në rastet kur rrafshi specifikohet nga: a) trekëndëshi BCD (Fig. 162, a); b) gjurmët (Fig. 162, b).

Zgjidhje. Siç e dini, distanca nga një pikë në një plan matet me vlerën e pingulit të tërhequr nga pika në plan. Kjo distancë është projektuar në çdo zonë. projeksionet e përmasave reale, nëse aeroplan i dhënë pingul me katrorin projeksionet (Fig. 162, c). Kjo situatë mund të arrihet duke transformuar vizatimin, për shembull, duke ndryshuar zonën. projeksionet. Le të prezantojmë pl. S (Fig. 16c, d), pingul me katrorin. trekëndëshi BCD. Për ta bërë këtë, ne shpenzojmë në shesh. trekëndëshin horizontal B-1 dhe vendosim boshtin e projeksionit S pingul me projeksionin b-1 horizontal. Ndërtojmë projeksione të një pike dhe të një rrafshi - a s dhe një segment c s d s. Distanca nga a s në c s d s është e barabartë me distancën e dëshiruar l të pikës deri në plan.

për në Rio. 162, d përdoret metoda e lëvizjes paralele. Lëvizim të gjithë sistemin derisa rrafshi horizontal B-1 të bëhet pingul me rrafshin V: projeksioni b 1 1 1 duhet të jetë pingul me boshtin x. Në këtë pozicion, rrafshi i trekëndëshit do të bëhet ballor projektues dhe distanca l nga pika A në të do të jetë pl. V pa shtrembërim.

Në Fig. 162, b rrafshi përcaktohet me gjurmë. Ne prezantojmë (Fig. 162, e) një katror shtesë. S, pingul me katrorin. P: Boshti S/H është pingul me P h. Pjesa tjetër është e qartë nga vizatimi. Në Fig. 162, g problemi u zgjidh duke përdorur një lëvizje: pl. P shkon në pozicionin P 1, d.m.th. bëhet projektues i përparmë. Pista. P 1h është pingul me boshtin x. Ne ndërtojmë pjesën e përparme në këtë pozicion të aeroplanit. gjurma horizontale është pika n" 1,n 1. Gjurma P 1ϑ do të kalojë përmes P 1x dhe n 1. Distanca nga a" 1 në P 1ϑ është e barabartë me distancën e kërkuar l.

165. Është dhënë piramida SABC (shih Fig. 160). Përcaktoni distancën nga pika A në skajin e piramidës SBC duke përdorur metodën e lëvizjes paralele.

166. Është dhënë piramida SABC (shih Fig. 161). Përcaktoni lartësinë e piramidës duke përdorur metodën e zhvendosjes paralele.

167*. Përcaktoni distancën ndërmjet vijave kryqëzuese AB dhe CD (shih Fig. 159,a) si distancë ndërmjet rrafsheve paralele të tërhequra përmes këtyre vijave.

Zgjidhje. Në Fig. 163, dhe rrafshet P dhe Q janë paralel me njëri-tjetrin, nga të cilët pl. Q është tërhequr përmes CD-së paralele me AB, dhe pl. P - përmes AB paralel me katrorin. P. Distanca ndërmjet planeve të tilla konsiderohet të jetë distanca ndërmjet kalimit të drejtëzave AB dhe CD. Sidoqoftë, mund të kufizoni veten në ndërtimin e vetëm një rrafshi, për shembull Q, paralel me AB, dhe më pas të përcaktoni distancën të paktën nga pika A në këtë plan.

Në Fig. 163, c tregon rrafshin Q të tërhequr përmes CD-së paralel me AB; në projeksionet e kryera me "e" || a"b" dhe ce || ab. Duke përdorur metodën e ndryshimit të pl. projeksionet (Fig. 163, c), ne prezantojmë një katror shtesë. S, pingul me katrorin. V dhe në të njëjtën kohë

pingul me katrorin P. Për të vizatuar boshtin S/V, merrni D-1 ballore në këtë plan. Tani vizatojmë S/V pingul me d"1" (Fig. 163, c). Pl. Q do të përshkruhet në shesh. S si drejtëz me s d s. Pjesa tjetër është e qartë nga vizatimi.

168. Është dhënë piramida SABC (shih Fig. 160). Përcaktoni distancën midis brinjëve SC dhe AB Aplikoni: 1) metodën e ndryshimit të zonës. projeksionet, 2) metoda e lëvizjes paralele.

169*. Përcaktoni distancën midis rrafsheve paralele, njëra prej të cilave përcaktohet nga drejtëza AB dhe AC, dhe tjetra me vija të drejta DE dhe DF (Fig. 164, a). Kryeni edhe ndërtimin për rastin kur rrafshet janë të specifikuara me gjurmë (Fig. 164, b).

Zgjidhje. Distanca (Fig. 164, c) ndërmjet planeve paralele mund të përcaktohet duke vizatuar një pingul nga çdo pikë e një rrafshi në një plan tjetër. Në Fig. 164, g u prezantua një katror shtesë. S pingul me katrorin. H dhe për të dy rrafshet e dhëna. Boshti S.H është pingul me horizontalen. projeksioni horizontal i vizatuar në një nga rrafshet. Ne ndërtojmë një projeksion të këtij rrafshi dhe një pikë në një plan tjetër në shesh. 5. Largësia e pikës d s nga drejtëza l s a s është e barabartë me distancën e kërkuar ndërmjet rrafsheve paralele.

Në Fig. 164, d jepet një ndërtim tjetër (sipas metodës së lëvizjes paralele). Në mënyrë që rrafshi i shprehur me drejtëzat e prera AB dhe AC të jetë pingul me katrorin. V, horizont. Ne vendosim projeksionin horizontal të këtij plani pingul me boshtin x: 1 1 2 1 ⊥ x. Distanca në mes të përparme. projeksioni d" 1 i pikës D dhe drejtëza a" 1 2" 1 (projeksioni i përparmë i rrafshit) është i barabartë me distancën e kërkuar ndërmjet planeve.

Në Fig. 164, e tregon futjen e një katrori shtesë. S, pingul me zonën H dhe me rrafshet e dhëna P dhe Q (boshti S/H është pingul me gjurmët P h dhe Q h). Ndërtojmë gjurmë të P-ve dhe Q-ve. Distanca midis tyre (shih Fig. 164, c) është e barabartë me distancën e dëshiruar l midis planeve P dhe Q.

Në Fig. 164, g tregon lëvizjen e planeve P 1 n Q 1, në pozicionin P 1 dhe Q 1, kur horizonti. gjurmët rezultojnë të jenë pingul me boshtin x. Distanca midis fronteve të reja. gjurmët P 1ϑ dhe Q 1ϑ janë të barabarta me distancën e kërkuar l.

170. Jepet ABCDEFGH paralelipiped (Fig. 165). Përcaktoni largësitë: a) ndërmjet bazave të paralelopipedit - l 1; b) midis fytyrave ABFE dhe DCGH - l 2; c) ndërmjet faqeve të ADHE dhe BCGF-l 3.

Distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e pingulit të tërhequr nga pika në vijë. NË gjeometri përshkruese përcaktohet grafikisht duke përdorur algoritmin e mëposhtëm.

Algoritmi

1. Vija e drejtë zhvendoset në një pozicion në të cilin do të jetë paralel me çdo plan projeksioni. Për këtë qëllim përdoren metoda të transformimit të projeksioneve ortogonale.
2. Nga një pikë vizatoni një pingul në një vijë. Në thelb të këtij ndërtimi qëndron teorema mbi projeksionin e një këndi të drejtë.
3. Gjatësia e një pingule përcaktohet duke transformuar projeksionet e saj ose duke përdorur metodën e trekëndëshit kënddrejtë.

Figura e mëposhtme tregon vizatim kompleks pika M dhe drejtëza b e dhënë nga segmenti CD. Ju duhet të gjeni distancën midis tyre.

Sipas algoritmit tonë, gjëja e parë që duhet bërë është të zhvendosim vijën në një pozicion paralel me planin e projeksionit. Është e rëndësishme të kuptohet se pas transformimeve, distanca aktuale midis pikës dhe vijës nuk duhet të ndryshojë. Kjo është arsyeja pse këtu është e përshtatshme të përdoret metoda e zëvendësimit të aeroplanit, e cila nuk përfshin lëvizjen e figurave në hapësirë.

Rezultatet e fazës së parë të ndërtimit janë paraqitur më poshtë. Figura tregon se si një plan shtesë ballor P 4 futet paralel me b. NË sistemi i ri(P 1, P 4) pikat C"" 1, D"" 1, M"" 1 janë në të njëjtën distancë nga boshti X 1 si C"", D"", M"" nga boshti X.

Duke kryer pjesën e dytë të algoritmit, nga M"" 1 ne ulim pingulen M"" 1 N"" 1 në drejtëzën b"" 1, pasi këndi i drejtë MND midis b dhe MN është projektuar në rrafshin P. 4 në madhësi të plotë. Duke përdorur linjën e komunikimit, ne përcaktojmë pozicionin e pikës N" dhe kryejmë projeksionin M"N" të segmentit MN.

Aktiv fazën përfundimtare ju duhet të përcaktoni madhësinë e segmentit MN nga projeksionet e tij M"N" dhe M"" 1 N"" 1. Për këtë po ndërtojmë trekëndësh kënddrejtë M"" 1 N"" 1 N 0, këmba e të cilit N"" 1 N 0 është e barabartë me diferencën (Y M 1 – Y N 1) të distancës së pikave M" dhe N" nga boshti X 1. Gjatësia e hipotenuzës M"" 1 N 0 e trekëndëshit M"" 1 N"" 1 N 0 i përgjigjet distancës së dëshiruar nga M në b.

Zgjidhja e dytë

• Paralelisht me CD-në, ne prezantojmë një plan të ri ballor P 4. Ai kryqëzon P 1 përgjatë boshtit X 1, dhe X 1 ∥C"D". Në përputhje me metodën e zëvendësimit të planeve, ne përcaktojmë projeksionet e pikave C"" 1, D"" 1 dhe M"" 1, siç tregohet në figurë.
• pingul me C"" 1 D"" 1 ndërtojmë një plan shtesë horizontal P 5, mbi të cilin drejtëza b është projektuar në pikën C" 2 = b" 2.
• Distanca midis pikës M dhe vijës b përcaktohet nga gjatësia e segmentit M" 2 C" 2, të treguar me të kuqe.

Detyra të ngjashme:

Këto detyra përfshijnë: detyra për të përcaktuar distancat nga një pikë në një vijë të drejtë, në një plan, në një sipërfaqe; ndërmjet vijave paralele dhe kalimtare; ndërmjet rrafsheve paralele etj.

Të gjitha këto detyra bashkohen nga tre rrethana:

Së pari, meqenëse distanca më e shkurtër midis figurave të tilla është pingul, të gjitha ato zbresin në ndërtimin e drejtëzave dhe planeve reciproke pingule.

Së dyti, në secilën nga këto problema është e nevojshme të përcaktohet gjatësia natyrore e segmentit, domethënë të zgjidhet problemi i dytë kryesor metrikë.

Së treti, këto janë detyra komplekse, ato zgjidhen në disa faza dhe në secilën fazë zgjidhet një problem i veçantë, i vogël, specifik.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e një prej këtyre problemeve.

Detyra: Përcaktoni distancën nga një pikë M në një vijë të drejtë në pozicionin e përgjithshëm A(Figura 4-26).

Algoritmi:

Faza 1: Distanca nga një pikë në një drejtëz është pingul. Që drejt A- pozicioni i përgjithshëm, atëherë për të ndërtuar një pingul me të është e nevojshme të zgjidhet një problem i ngjashëm me atë të dhënë në faqen M4-4 të këtij moduli, domethënë së pari përmes pikës M vizatoni një aeroplan S, pingul A. Ne e përcaktojmë këtë aeroplan si zakonisht, hÇ f, ku h 1^ a 1, a f 2^ a 2

Faza 2: Për të ndërtuar një pingul, duhet të gjeni një pikë të dytë për të. Kjo do të jetë pika TE, që i përket linjës A. Për ta gjetur atë, duhet të zgjidhni një problem pozicional, domethënë të gjeni pikën e kryqëzimit të vijës A me avion S. Ne zgjidhim 1GPZ duke përdorur algoritmin e tretë (Fig. 4-28):

Ne prezantojmë një aeroplan - një ndërmjetës G, G^^ P 1, GÉ aÞ Г 1 = а 1;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S 2.

- b 2Ç a 2 = K 2Þ K 1.

Faza 3: Gjetja e madhësisë aktuale MK Metoda e trekëndëshit kënddrejtë

Zgjidhja e plotë e problemit është paraqitur në Fig. 4-30.

Regjistrimi algoritmik i zgjidhjes:

1. S^a,S = hÇ f = M, h 1^a 1, f 2^a 2.

2. Ne prezantojmë një aeroplan - një ndërmjetës G,

- G^^ P 1, GÉ aÞ Г 1 = а 1 ;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2Ç a 2 = K 2Þ K 1 .

3. Gjetja e madhësisë aktuale MK.

Konkluzione:

1. Zgjidhja e të gjitha problemeve metrike zbret në zgjidhjen e problemit të parë kryesor metrikë - në pinguliteti i ndërsjellë drejt dhe i rrafshët.

2. Gjatë përcaktimit të distancave ndërmjet forma gjeometrike Detyra e dytë kryesore metrike përdoret gjithmonë - për të përcaktuar madhësinë natyrore të një segmenti.

3. Një plan tangjent me një sipërfaqe në një pikë mund të përcaktohet nga dy drejtëza të kryqëzuara, secila prej të cilave është tangjente me një sipërfaqe të caktuar.

Pyetje kontrolli

1. Cilat probleme quhen metrike?

2. Cilat janë dy kryesoret problemet metrike E dini?

3. Pse është më e dobishme të specifikoni një rrafsh pingul me një vijë të përgjithshme?

4. Si quhet rrafshi pingul me një nga drejtëzat e nivelit?

5. Si quhet rrafshi pingul me njërën nga vijat e projektuara?

6. Çfarë quhet rrafsh tangjente në një sipërfaqe?

Ju duhet të përcaktoni distancën nga një pikë në një vijë. Plani i përgjithshëm zgjidhja e problemit:

- përmes pikë e dhënë vizatoni një rrafsh pingul me një vijë të drejtë të dhënë;

- gjeni pikën e takimit të linjës

me një avion;

- përcaktoni vlerën natyrore të distancës.

Nëpër një pikë të caktuar vizatojmë një rrafsh pingul me drejtëzën AB. Rrafshin e përcaktojmë duke prerë vija horizontale dhe ballore, projeksionet e të cilave janë ndërtuar sipas algoritmit të pingulitetit (problem invers).

Gjeni pikën ku drejtëza AB takohet me rrafshin. Kjo detyrë tipike në lidhje me kryqëzimin e një drejtëze me një plan (shih seksionin "Kryqëzimi i një drejtëze me një plan").

Perpendikulariteti i planeve

Planet janë reciprokisht pingul nëse njëri prej tyre përmban një drejtëz pingul me rrafshin tjetër. Prandaj, për të vizatuar një plan pingul me një plan tjetër, së pari duhet të vizatoni një pingul me rrafshin, dhe më pas të vizatoni rrafshin e dëshiruar përmes tij. Në diagram, rrafshi përcaktohet nga dy drejtëza të kryqëzuara, njëra prej të cilave është pingul me rrafshin ABC.

Nëse aeroplanët përcaktohen me gjurmë, atëherë rastet e mëposhtme janë të mundshme:

- nëse dy plane pingule janë projektuar, atëherë gjurmët e tyre kolektive janë reciproke pingule;

- rrafshi i përgjithshëm dhe rrafshi projektues janë pingul, nëse gjurma kolektive e rrafshit projektues është pingul me të njëjtën gjurmë të rrafshit gjenerik;

- nëse gjurmët me të njëjtin emër të dy rrafsheve në pozicionin e përgjithshëm janë pingul, atëherë rrafshet nuk janë pingul me njëri-tjetrin.

Metoda e zëvendësimit të planit të projektimit

Ne e transformojmë paraqitjen hapësinore në një planare duke rrotulluar rrafshet përgjatë shigjetave. Marrim tre plane projektimi të kombinuara në një plan.

Problemi i parë tipik i metodës së zëvendësimit të planit të projektimit

Detyra e parë tipike e metodës së zëvendësimit të planit të projektimit është shndërrimi i një vije të përgjithshme të drejtë fillimisht në një vijë të nivelit dhe më pas në një vijë të drejtë projektuese. Ky problem është një nga më kryesorët, pasi përdoret në zgjidhjen e problemeve të tjera, për shembull, kur përcaktoni distancën midis vijave paralele dhe kalimtare, kur përcaktoni kënd dihedral etj.

Ne bëjmë zëvendësimin H → H 1. Vizatojmë boshtin e ri pingul me projeksionin ballor të vijës së drejtë. Ndërtojmë një projeksion të ri horizontal të drejtëzës, për të cilën vizatojmë ordinatat e drejtëzës të marra nga sistemi i mëparshëm i planeve të projeksionit nga boshti i ri. Vija e drejtë bëhet një vijë e drejtë e projektuar horizontalisht dhe "degjeneron" në një pikë.